高考数学二轮复习专题5 平面向量

合集下载

2009年高考第二轮热点专题复习：平面向量

2009年高考第二轮热点专题复习：平面向量考纲指要：重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。

考点扫描：1．向量的概念：①向量；②零向量；③单位向量；④平行向量（共线向量）；⑤相等向量。

2．向量的运算：（1）向量加法；（2）向量的减法；（3）实数与向量的积。

3．基本定理：（1）两个向量共线定理；（2）平面向量的基本定理。

4．平面向量的坐标表示。

5．向量的数量积：（1）两个非零向量的夹角；（2）数量积的概念；（3）数量积的几何意义；（4）向量数量积的性质；（5）两个向量的数量积的坐标运算；（6）垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥b 。

6．向量的应用：（1）向量在几何中的应用；（2）向量在物理中的应用。

考题先知：例1．已知二次函数f （x ）＝x 2－2x ＋6，设向量a ＝（sin x ，2），b ＝（2sin x ，21）， c ＝（cos2x ，1），d ＝（1，2）．当x ∈[0，π]时，不等式f （a·b ）>f （c ·d ）的解集为___________．解：a ·b ＝2sin 2x ＋1≥1， c ·d ＝cos 2x ＋1≥1 ，f （x ）图象关于x ＝1对称，∴f （x ）在（1，＋∞）内单调递增．由f （a ·b ）>f （c ·d ）⇒a ·b >c ·d ，即2sin 2x ＋1>2cos 2x ＋1，又∵x ∈[0，π] ，∴x ∈（434ππ,）．故不等式的解集为（434ππ,）．例2．求函数y =.分析：由于向量沟通了代数与几何的内在联系，因此本题利用向量的有关知识求函数的值域。

解:因为y =所以构造向量21(2p x =+,21(2q x =-,则y p q =-,而(1,0)p q -=, 所以1y p q p q =-<-=,得11y -<<,另一方面:≥得0y ≥,所以原函数的值域是[0,1).点评：在向量这部分内容的学习过程中，我们接触了不少含不等式结构的式子，如||||||||||||||||||a b a b a b a b a b a b a b +≥-+≤+⋅≤⋅≤⋅，；等。

浙江省萧山区第二中学2019届高考数学二轮复习平面向量奔驰定理与三角形四心

平面向量奔驰定理与三角形四心已知O 是ABC ∆内的一点，AOB AOC BOC ∆∆∆,,的面积分别为A S ，B S ，C S ，求证：0=++∙∙∙OC S OB S OA S C B A如图2延长OA 与BC 边相交于点D 则BCCOD ACD BOD ABD COD BOD ACD BD S S DC BD S S S S S S S S A =--===∆∆∆∆∆∆∆图1=OD BC DC OB +BCBDOC =CB BS SS +OB +C B C S S S +OCCB ACOA BOA COD BOD COA COD BOABOD S S S S S S S S S SSOA OD +=++=== 图2∴CB A S S S OD +-=OA∴CB A S S S +-OA =C B BS S S +OB +CB C S S S +OC∴0=++∙∙∙OC S OB S OA S C B A推论O 是ABC ∆内的一点，且0=++∙∙∙OC OB OA z y x ，则z y x S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆OA BCDOA BC有此定理可得三角形四心向量式O 是ABC ∆的重心⇔1:1:1::=∆∆∆AOB COA BOC S S S ⇔0=++OC OB OAO 是ABC ∆的内心⇔c b a S S S AOB COA BOC ::::=∆∆∆⇔0=++∙∙∙OC OB OA c b aO 是ABC ∆的外心⇔C B A S S S AOB COA BOC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆ ⇔02sin 2sin 2sin =++∙∙∙OCC OB B OA AO 是ABC ∆的垂心⇔C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆ ⇔0tan tan tan =++∙∙∙OC C OB B OA A证明：如图O 为三角形的垂心，DBCDB AD CD A ==tan ,tan ⇒AD DB B A :tan :tan = =∆∆COA BOC S S :AD DB :∴B A S S COA BOC tan :tan :=∆∆同理得C B S S AOB COA tan :tan :=∆∆，C A S S AOB BOC tan :tan:=∆∆∴C B A S S S AOB COA BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一4.2三角形“四心”的相关向量问题一．知识梳理：四心的概念介绍：(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； (2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； (4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。

高三数学第二轮专题复习系列：(5)平面向量

高考数学第二轮专题复习系列(5)平面向量一、本章知识结构：二、高考要求1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。

3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。

4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。

7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。

8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。

三、热点分析对本章内容的考查主要分以下三类：1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.3.向量在空间中的应用（在B类教材中）.在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。

对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。

本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。

总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。

考查的重点是基础知识和基本技能。

四、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。

2014年(理科)二轮复习课件：平面向量

B．-3
3 C． 5 1 D． 7
b＝【跟踪练习】【江苏省扬州中学月考）】已知向量 a =(3,4)，（2，－1） ,
2 如果向量 a ＋x b 与－ b 垂直，则实数 x＝ ____. 5
考点 3
【例 3】【无锡市市北高中 2014 届高三期初考试】已知 a, b, c
1 x 2
.
考点 5 平面向量和三角函数的综合应用问题
【例 5】
tan A 则 tan B ＝
【江苏盐城高三中期】在△BAC
7 3
中，若 (CA CB) AB
2 | AB |2 ， 5
【跟踪练习】【江苏扬州中学 2013 — 2014 期中考试模拟】设向量 b (cos , sin ) ， a (cos , sin ) ，其中 0 ，
若 | 2a b || a 2b | ，则 Nhomakorabea.
2
考点 6
平面向量和平面几何的综合问题
【例 6】【河北衡水中学 2013－2014 学年度上学期二调高三】在△ABC 所在平面上有三点 P 、 Q 、 R ，满足 PA PB PC AB , QA QB QC BC ，
RA RB RC CA ，则△PQR 的面积与△ABC 的面积之比为（
B
）
A．1：2
B．1：3
C．1：4
D．1：5
P
A
Q
C R B
【跟踪练习】如图，矩形 ORTM 内放置 5 个大小相同的正方形，其中
BD x AE y AF ，则 x 2 y 2

高考数学二轮复习专题五平面向量

高考数学二轮复习专题五平面向量【重点知识回顾】向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既具有代数特征，又具有几何特征，因此我们要借助于向量可以将某些代数问题转化为几何问题，又可将某些几何问题转化为代数问题，在复习中要体会向量的数形结合桥梁作用。

能否理解和掌握平面向量的有关概念，如：共线向量、相等向量等，它关系到我们今后在解决一些相关问题时能否灵活应用的问题。

这就要求我们在复习中应首先立足课本，打好基础，形成清晰地知识结构，重点掌握相关概念、性质、运算公式法则等，正确掌握这些是学好本专题的关键在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。

二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。

向量的坐标表示e e a →→→12，是平面内的两个不共线向量，为该平面任一向量，则存在唯一实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量λλλλ12112212a e e e e →→→→→=+表示。

. 平面向量的数量积数量积的几何意义：（2）数量积的运算法则i j x y →→，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数，，使得()a x i y j x y a a x y →→→→→=+=，称，为向量的坐标，记作：，，即为向量的坐标()()()设，，，a x y b x y →→==1122()()()则，，，a b x y y y x y x y →→±=±=±±11121122()()λλλλa x y x y →==1111，，()()若，，，A x y B x y 1122()则，AB x x y y →=--2121()()||AB x x y y A B →=-+-212212，、两点间距离公式（）··叫做向量与的数量积（或内积）。

高考数学二轮复习7大专题汇总

高考数学二轮复习7 大专题汇总专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：侧重掌握函数的单一性，奇偶性，周期性，对称性。

这些性质往常会综合起来一同观察，而且有时会观察详细函数的这些性质，有时会观察抽象函数的这些性质。

一元二次函数：一元二次函数是贯串中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了认识，高中阶段更多的是将它与导数进行连接，依据抛物线的张口方向，与x 轴的交点地点，进而议论与定义域在x 轴上的摆放次序，这样能够判断导数的正负，最后达到求出单一区间的目的，求出极值及最值。

不等式：这一类问题经常出此刻恒成立，或存在性问题中，其本质是求函数的最值。

自然对于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的联合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是特别必需的。

专题二：数列。

以等差等比数列为载体，观察等差等比数列的通项公式，乞降公式，通项公式和乞降公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前 n 项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。

专题三：三角函数，平面向量，解三角形。

三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有波及，有时观察三角函数的公式之间的相互转变，从而求单一区间或值域 ; 有时观察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，自然正弦，余弦定理是很好的工具。

向量能够很好得实现数与形的转变，是一个很重要的知识连接点，它还能够和数学的一大难点分析几何整合。

专题四：立体几何。

立体几何中，三视图是每年必考点，主要出此刻选择，填空题中。

大题中的立体几何主要观察成立空间直角坐标系，经过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。

此外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，侧重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应当掌握三棱柱，长方体。

空间直线与平面的地点关系应以证明垂直为要点，自然常观察的方法为间接证明。

专题五：分析几何。

2023届高考二轮总复习试题(适用于老高考旧教材) 数学(理)复数、平面向量(含解析)

2.复数、平面向量考向1 复数的概念、运算及几何意义1.(2022·河南开封一模)设(1+i 4n+3)z=i,n ∈Z ,则在复平面内,复数z 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.(2022·全国甲·理1)若z=-1+√3i,则zz -1=( )A.-1+√3iB.-1-√3iC.-13+√33iD.-13−√33i3.(2022·全国乙·理2)已知z=1-2i,且z+a z +b=0,其中a ,b 为实数,则( ) A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2 C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-24.(2022·山东潍坊一模)已知复数z 满足z+3=4z +5i,则在复平面内复数z 对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 5.(2022·新高考Ⅰ·2)若i(1-z )=1,则z+z =( ) A.-2B.-1C.1D.2考向2 平面向量的概念及线性运算6. (2022·河南名校联盟一模)如图,在△ABC 中,点M 是AB 上的点且满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,P 是CM 上的点,且MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.12a +14b B.35a +15b C.14a +12bD.310a +35b7.(2022·河南名校联盟一模)下列关于平面向量的说法正确的是( ) A.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,则点A ,B ,C ,D 必在同一直线上 B.若a ∥b 且b ∥c ,则a ∥cC.若G 为△ABC 的外心,则GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 D.若O 为△ABC 的垂心,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 8.(2022·新高考Ⅰ·3)在△ABC 中,点D 在边AB 上,BD=2DA.记CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ,则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.3m -2nB.-2m +3nC.3m +2nD.2m +3n9.(2022·河南许昌质检)正方形ABCD 中,P ,Q 分别是边BC ,CD 的中点,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x=( ) A.1113B.65C.56D.3210.(2022·河南名校联盟一模)如图,在同一个平面内,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α,且tan α=7,向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°,且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2.若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m ∈R ,n ∈R ),则n-m= . 考向3 平面向量的数量积11.(2022·新高考Ⅱ·4)已知向量a =(3,4),b =(1,0),c =a +t b ,若<a ,c >=<b ,c >,则实数t=( ) A.-6 B.-5C.5D.612. (2022·新高考八省第二次T8联考)如图,在同一平面内沿平行四边形ABCD 两边AB ,AD 向外分别作正方形ABEF ,正方形ADMN ,其中AB=2,AD=1,∠BAD=π4,则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗=( )A.-2√2B.2√2C.0D.-1 13.(2022·山东威海期末)已知向量a ,b 满足|a |=|b |=2,且a -b 在a 上的投影为2+√3,则<a ,b >=( )A.π6 B.π3C.2π3D.5π614.(2022·山东潍坊期末)已知正方形ABCD 的边长为2,MN 是它的内切圆的一条弦,点P 为正方形四条边上的动点,当弦MN 的长度最大时,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( ) A.[0,1]B.[0,√2]C.[1,2]D.[-1,1]15.(2022·山东济宁一模)等边三角形ABC 的外接圆的半径为2,点P 是该圆上的动点,则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A.4 B.7C.8D.111 3,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b=.16.(2022·全国甲·理13)设向量a,b的夹角的余弦值为2.复数、平面向量1.B 解析: ∵i 4n+3=i 4n ·i 3=-i, ∴(1+i 4n+3)z=(1-i)z=i, ∴z=i1-i =i (1+i )(1-i )(1+i )=-12+12i,∴复数z 在复平面内对应的点为-12,12位于第二象限. 故选B . 2.C 解析: zz -1=√3i(-1+√3i )(-1-√3i )-1=√3i(-1)2+(√3)2-1=-13+√33i,故选C .3.A 解析: ∵z=1-2i, ∴z =1+2i,∴z+a z +b=1-2i +a (1+2i)+b=a+b+1+(2a-2)i =0, ∴{a +b +1=0,2a -2=0, 解得{a =1,b =-2.故选A .4.A 解析: 设z=x+y i,x ,y ∈R ,则z =x-y i,由z+3=4z +5i 得(x+y i)+3=4(x-y i)+5i,即(x+3)+y i =4x+(5-4y )i,于是得{x +3=4x ,y =5-4y ,解得x=y=1,则有z=1+i 对应的点为(1,1),所以在复平面内复数z 对应的点在第一象限. 故选A .5.D 解析: ∵i(1-z )=1, ∴z=i -1i=1+i, ∴z =1-i . ∴z+z =2. 故选D .6.B 解析: AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +15MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +15(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=45AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =45×34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =35a +15b .7.D 解析: 若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,则直线AB 与CD 平行或重合,∴点A ,B ,C ,D 不一定在同一直线上,A 错;当b =0时,满足a ∥b 且b ∥c ,不能得出a ∥c ,B 错; 当G 为△ABC 的重心,则GA⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,C 错; 若O 为△ABC 的垂心,则OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,同理OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴D 正确,故选D . 8.B解析: 如图.∵BD=2DA ,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ,所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2m +3n . 故选B .9.C 解析: ∵P ,Q 分别是正方形边BC ,CD 的中点,∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +A D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =x (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+y -12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x-12y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(x+y )AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴{x -12y =1,x +y =12,∴{x =56,y =-13,故选C . 10.12解析: 由题意在题图中以O 为原点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向为x 轴非负半轴,过O 与OA 垂直向上为y 轴正方向建立平面直角坐标系(图略),则A (1,0),∵向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α, tan α=7,∴cos α=√210,sin α=7√210, 又|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,∴C15,75,cos(α+45°)=-35,sin(α+45°)=45,∴B -35,45, ∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴15,75=m (1,0)+n -35,45,∴{m -35n =15,45n =75,解得{m =54,n =74,∴n-m=12. 11.C 解析: 由题意得c =(3+t ,4),cos <a ,c >=cos <b ,c >,故9+3t+16|c |×5=3+t|c |×1,解得t=5.故选C .12.C 解析: AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +A A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos π4+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos 3π4+0=√2−√2=0.选C . 13.D 解析: (a -b )·a =|a -b ||a |cos <a -b ,a >=(2+√3)·2, 即a 2-a ·b =4+2√3,a ·b =-2√3.所以|a ||b |cos <a ,b >=-2√3,cos <a ,b >=-√32,<a ,b >=5π6.14.A 解析: 由题当弦MN 长度最大时,即MN 为直径,设弦MN 的中点为O ,由题意,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-1=|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2|-1,由1≤|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤√2,得PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[0,1]. 15.C解析: 如图所示,建立平面直角坐标系,设△ABC 的边长为a ,则asinA =2R=4(R 为△ABC 外接圆半径),所以a=2√3,A (0,3),B (-√3,0),C (√3,0),△ABC 的外接圆的方程为x 2+(y-1)2=4,设P 点坐标为(2cos θ,1+2sin θ),θ∈R ,PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ (PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=4+2√3cos θ+2sin θ=4+4cos θ-π6≤8,当cos θ-π6=1时,等号成立.故选C .。

二轮复习专题目录

二轮复习专题目录
专题00 高效二轮复习从提高数学阅读理解能力开始
专题01 集合背景下的数学问题
专题02 一元二次不等式问题
专题03 基本不等式问题
专题04 三角化简与求值
专题05 三角函数图像与性质
专题06 平面向量的线性运算
专题07 平面向量的数量积
专题08 二次函数问题
专题09 函数的简单性质及其应用
专题10 导数及其应用
专题11 函数与方程问题
专题12 函数综合问题
专题13 等差数列与等比数列
专题14 数列的性质及其应用
专题15 数列中的探究性问题
专题16 立体几何中的证明问题
专题17 直线、圆及圆锥曲线方程
专题18 点、线、圆的位置关系
专题19 解析几何中的定点、定直线、定圆问题
专题20 解析几何中的定值和最值问题
专题21 变换视角处理代数与几何问题
专题22 数学模型及其应用
专题23 分类讨论思想。

二轮复习小专题平面向量等和线法

等和线：平面内的一组基底OA,OB及任一向量 OP
OP OA OB,若点P在直线AB上或平行于 AB的直线上，则 k(定值），反之亦成立。我们把
直线AB或平行于 AB的直线叫做等和线
深入研究
若OC
OD，那么OC
xOA
yOB
x
OA
y
OB
OD
x y 1,即x y
过C点作直线l // AB,在l上任作一点C'，连接OC 'AB D'
BE
2 3
BC, 若DE
1
AB
2
AC1, 2
R，则1
2的
值为 ________.
解析：
过点A作AF DE，设AF与BC的延长线交于点H，
易知AF
FH，即DF为BC的中位线，因此1
2
1 2
：若所求的式子是系数的线性关系式而不是系数和呢？
考虑到向量可以通过数乘继而将向量进行拉伸压缩反向等操作，那么理论上来说，所有的系数之间的线性关系，我们都可以通过
的等和线，所以系数和k的取值范围是1,3
0<k<1 k=0
k>1
：若是基底向量中有一个变化的向量，该如何处理，是否可以用等和线呢？
如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A 为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，
设AC DE AP,则的最小值为_____.
AN AM
,
AD AM
3,4
例2、给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角
为 2 ，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，若
3
OC xOA yOBx, y R,则x y的最大值是_____.

高考数学二轮复习平面向量的线性运算知识要点

高考数学二轮复习平面向量的线性运算知识要点在中国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。

为大家推荐了平面向量的线性运算知识要点，请大家仔细阅读，希望你喜欢。

1.向量的基本概念(1)向量既有大小又有方向的量叫做向量.物理学中又叫做矢量.如力、速度、加速度、位移就是向量.向量可以用一条有向线段(带有方向的线段)来表示，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.向量也可以用一个小写字母a，b，c表示，或用两个大写字母加表示(其中前面的字母为起点，后面的字母为终点)(5)平行向量方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量.平行向量也叫做共线向量.若向量a、b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量平行.(6)相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.①向量相等有两个要素：一是长度相等，二是方向相同，二者缺一不可.②向量a，b相等记作a=b.③零向量都相等.④任何两个相等的非零向量，都可用同一有向线段表示，但特别要注意向量相等与有向线段的起点无关.2.对于向量概念需注意(1)向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但向量的模可以比较大小.(2)向量共线与表示它们的有向线段共线不同.向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一条直线上;而有向线段共线则是指线段必须在同一条直线上.(3)由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，它是可以任意平行移动的，因此用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，由此也可得到：任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上.小编为大家提供的平面向量的线性运算知识要点，大家仔细阅读了吗?最后祝同学们学习进步。

最新-名师导学2021届高三数学理二轮复习课件：专题2第5讲平面向量及其应用精品

【命题立意】本题主要考查向量的数量积运算、向量的模及代数运算、二次函数的图象与性质，考查转化化归思想、抽象概括能力及运算求解能力，试题难度：难．
平面向量 (1)向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则． (2)向量减法的法则：三角形法则． (3)实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，记作 λa，规定： |λa|＝|λ|·|a|. (4)向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且仅有一
1．平面向量的概念与线性运算例1(1)如图，A、B 分别是射线 OM、 ON 上的两点，给出下列向量．
①O→A＋2O→B；②12O→A＋13O→B；③ 34O→A＋13O→B；④34O→A－15O→B.这四个向量中以 O 为起点，终点在阴影区域内的是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
∴A→E＝A→C＋23C→B＝23A→B＋13A→C，则A→D·A→E＝12(A→B＋A→C)·13(2A→B＋A→C) ＝16(2A→B2＋3A→B·A→C＋A→C2) ＝16(2×22＋3×2×2×cos 120°＋22)＝1.
【点评】平面向量的数量积既有几何运算法则，
又有坐标运算，因此涉及与平面几何有关的问题，应充分将几何运算法则与几何图形和实数与平面向量乘法的几何意义恰当结合进行运算求解．
(2)设 f(t)＝D→M·B→N，g(t)＝at＋4－2a(a＞0)，分别根据以下条件，求出实数 a 的取值范围：
Ⅰ.存在 t1，t2∈(0，1)，使得f（2t1）＝g(t2)； Ⅱ.对任意 t1∈(0，1)，恒存在 t2∈(0，1)，使得 f（2t1）＝g(t2)．
【解析】(1)过点 M 作坐标轴的垂线段，则依题
＝2 2
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 .

高中数学_平面向量教学设计学情分析教材分析课后反思

平面向量【高考考纲解读】1.平面向量是高考必考内容，每年每卷均有一个小题 ( 选择题或填空题) ，一般出此刻第 3～7 或第 13～15 题的地点上，难度较低．主要观察平面向量的模、数目积的运算、线性运算等，数目积是其观察的热门．2.有时也会以平面向量为载体，与三角函数、分析几何等其余知知趣交汇综合命题，难度中等 .【要点、难点分析】1、（1）平面向量共线定理向量 a(a≠0)与b共线当且仅当存在独一一个实数λ，使b＝λa.（2）平面向量基本定理假如 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一直量 a，有且只有一对实数λ，λ，使 a＝λe ＋λe ，此中 e ，e12112212是一组基底 .2.平面向量的两个充要条件若两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)a∥b?a＝λb? x1y2－x2y1＝0.(2)a⊥b?a·b＝0? x1x2＋ y1y2＝0.3.平面向量的三个性质(1)若 a＝ (x， y)，则 |a|＝ a·a＝x2＋ y2.(2)→（ x2－ x1）2＋（ y2－ y1）2.若 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 |AB|＝(3)若 a＝ (x1， y1 )， b＝ (x2， y2)，θ为 a 与 b 的夹角，则 cos θ＝a·b x1x2＋ y1 y2|a||b|＝x12＋ y12 x22＋ y22.4.平面向量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件： O 为平面上一点，则A，B，P 三点共线→→→此中λ1＋λ2＝1).的充要条件是 OP＝λ1＋λ2OA OB ((2)三角形中线向量公式：若P 为△ OAB 的边 AB 的中点，则向量→→ →→ 1 → →OP与向量 OA，OB的关系是 OP＝2(OA＋OB).→ → →(3)三角形重心坐标的求法： G 为△ ABC 的重心 ? GA＋GB＋GC＝0? G x A＋x B＋x C，y A＋y B＋y C.33【高考真题】[练真题·考什么 ]1． (2018 ·全国卷Ⅱ )已知向量a， b 知足 |a |＝ 1， a·b＝－ 1，则 a·(2a － b) ＝ () A ． 4 B ． 3C ． 2D ． 02．(2018 ·全国卷Ⅰ )在△ ABC 中， AD 为 BC 边上的中线，→＝E 为 AD 的中点，则EB()3 → 1 → 1 → 3 →A. 4AB －4AC B．4AB －4AC3 → 1 → 1 → 3 →C. 4AB ＋4AC D ．4AB ＋4AC4． (2016 ·全国卷Ⅱ)已知向量 a ＝ (1 ， m )， b＝ (3 ，－ 2) ，且 (a ＋ b)⊥ b ，则 m ＝ ()3A．－ 8B．－ 6C ． 6D ． 84·全国卷Ⅰ)已知向量 a ，b 的夹角为60°，|a|＝ 2，|b|＝ 1，则 |a＋ 2 b |＝ ________.6．(201753．(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，→ →→()则 PA ·(PB ＋ PC )的最小值是A．－ 2 B ．－3 24C．－3D．－ 1→→→分析：解法一：设 BC 的中点为 D，AD 的中点为 E，则有PB＋PC＝2PD，→ →→→ →则PA·＋PC ＝·(PB)2PAPD→→→→＝2(PE＋EA·－EA) (PE)→ 2→ 2＝2(PE－EA )．→3 2＝3，而EA2＝24→2→ → →当 P 与 E 重合时，PE有最小值 0，故此时PA·(PB＋PC)取最小值，→ 233最小值为－2EA ＝－2×＝－.应选 B.42解法二：以 AB 所在直线为 x 轴， AB 的中点为原点成立平面直角坐标系，如图，则 A(－ 1,0)， B(1,0)， C(0， 3)，设 P(x ， y)，取 BC 的中点 D ，则 D1， 23 .2→ →→→ →13＝2(x ＋ 1)1 3＋ PC2PA ·PD ＝2(－ 1－x ，－ y) ·2 －y ·x －＋y ·y －2＝PA ·(PB)＝2－x ，222212 132 3 33( x))42x ＋4 ＋ y －( y －444.4所以，当 x ＝－1，y ＝→ → →33时， PA ＋PC)获得最小值，最小值为 2×－＝－3，44·(PB 42应选 B.【规律方法】求数目积的最值，一般要先利用向量的线性运算，尽可能将所求向量转变为长度和夹角已知的向量，利用向量的数目积运算成立目标函数，利用函数知识求解最值．【典型例题】命热题点角一度1 平面向量的线性运算【训练 1】 (2017衡·阳二模)如图，正方形ABCD 中，M ，N 分别→→ →是 BC ，CD 的中点，若AC ＝λAM ＋μBN ，则 λ＋μ＝()868 A.2B.3C.5D.5分析法一如图以AB ，AD 为坐标轴成立平面直角坐标系，设→1→1， 1 →正方形边长为 1， AM ＝ 1， 2 ，BN ＝－ 2 ， AC ＝ (1， 1).→ → →1 ＋ μ－ 1 ， 1 ＝ λ－ μ λ∵ AC ＝ λAM ＋ μBN ＝ λ， 2 ， 2＋ μ，1 2 216 λ－ 2μ＝ 1，λ＝ 5 ， 8∴ λ解之得2 故 λ＋ μ＝ 5.2 ＋ μ＝ 1，μ＝ 5 ，法二：方程思想uuuuruuur1 uuuruuur uuuruuuur uuur AM ABAD以则有2 ，为基底来表示ABADAM,AN, uuur uuur 1 uuurBN AD ABuuur 4 uuuur 2uuur2AB= AMBN解得uuur5 52 uuuur 4uuurADAMBN5 5uuur uuur uuur 6 uuuur 2 uuur 所以AB AD AM BNAC 5 5所以+= 8yDNC MAB x5【训练 2】在平行四边形ABCD中， M,N分别为 DC,BC中点，若uuurACuuuurAMuuurAN ,求+ 的值规律方法1．平面向量线性运算的两个技巧(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转变到三角形或平行四边形中，灵巧运用三角形法例、平行四边形法例，密切联合图形的几何性质进行运算．(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式表现的，常利用共线向量定理(当 b≠ 0 时， a∥ b? 存在独一实数λ，使得 a＝λb)来判断 .热命点题角二度 1平面向量的数目积【例1】 (1)已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b| ＝ 10，则a·b ＝．→ →(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点则，DE·CB的值为；→ →DE·DC的最大值为．(2)法一如图，以AB，AD为坐标轴成立平面直角坐标系，则 A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，设 E(t，0)， t∈[0，1]，→→则 DE＝(t，－ 1)，CB＝(0，－ 1)，→ →所以 DE·CB＝(t，－ 1) ·(0，－1)＝1.→→ →因为 DC＝(1，0)，所以 DE·DC＝ (t，－ 1) ·(1，0)＝ t≤1，→ →故 DE·DC的最大值为 1.法二→ →如图，不论 E 点在哪个地点， DE在CB方向上的投影都是 CB → →→＝1，所以 DE·＝|CB ·＝，CB| 1 1→→当 E 运动到 B 点时， DE在DC方向上的投影最大，即为 DC＝1，→ →→所以(DE·＝|DC ·＝1.DC)max| 1（43．）已知向量a＝(1， 3)，b＝(3，m)，且 b在 a 上的投影为3，则向量a 与 b 的夹角为．分析：设向量 a 与 b 的夹角为θ.∵b 在 a 上的投影为3，且|a|＝12＋3 2＝2，a·b＝3＋ 3m，∴|b|cosθ＝|b|×a·b＝3＋ 3m·＝＝3，解得 m＝ 3.∴|b|＝2 3.∴cosθ＝a b|a||b|2|a||b|3＋3×33π2×23＝2 .∵θ∈[0，π]，∴向量a 与 b 的夹角θ为6.规律总结：求两个向量的数目积有三种方法：1、利用定义；2、利用向量的坐标运算；3、利用数目积的几何意义．【讲堂小结】1、本节课你有哪些收获2、本节课运用了哪些思想方法【作业】平面向量对应的活页作业NO.15学情分析本节课是高三二轮专题复习课，学生已经在第一轮的学习中基本掌握了平面向量基本定理的基本观点及运算，本节课是在此基础长进一步增强对平面向量的综合运用。

二轮复习-平面向量爪子图的应用(优秀生)-教师版

形如AD xAB yAC =+条件的应用一、基础知识1、平面向量基本定理：若平面上两个向量12,e e 不共线，则对平面上的任一向量a ，均存在唯一确定的()12,λλ，（其中12,R λλ∈），使得1122a e e λλ=+。

其中12,e e 称为平面向量的一组基底。

（1）不共线的向量即可作为一组基底表示所有的向量（2）唯一性：若1122a e e λλ=+且1122a e e μμ=+，则1122λμλμ=⎧⎨=⎩2、“爪”字型图及性质：（1）已知,AB AC 为不共线的两个向量，则对于向量AD ，必存在,x y ，使得AD xAB yAC =+。

则：当01x y <+<时，则D 与A 位于BC 同侧，且D 位于A 与BC 之间当1x y +>时，则D 与A 位于BC 两侧当1x y +=时，若0,0x y >>，则D 在线段BC 上、若0xy <，则D 在线段BC 延长线上（2）若D 在线段BC 上，且::BD CD m n =，则n mAD AB AC m n m n=+++ 3、AD xAB yAC =+中,x y 确定方法（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定,x y （2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程AD xAB yAC =+，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于,x y 的方程，再进行求解（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于,x y 的方程，再进行求解B二、典型例题【例1-1】在ABC 中，D 为BC 边的中点，H 为AD 的中点，过点H 作一直线MN 分别交,AB AC 于点,M N ，若,AM xAB AN yAC ==，则4x y +的最小值是（） A.94B. 2C. 3D. 1 思路：若要求出4x y +的最值，则需从条件中得到,x y 的关系。

北大附中2014届高考数学二轮复习专题精品训练《平面向量》含答案

北大附中2014届高考数学二轮复习专题精品训练：平面向量本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在平行四边形ABCD 中,E 、F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC=AE+AF λμ，其中λ、μ∈R ，则λ+μ=( ) A ．1B ．23C ．43D ．83 【答案】C2．若非零不共线向量a 、b 满足|a －b|＝|b|，则下列结论正确的个数是( ) ①向量a 、b 的夹角恒为锐角；②2|b|2>a ·b ； ③|2b|>|a －2b|； ④|2a|<|2a －b|.A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C 3．向量a,b 满足，则向量a 与b 的夹角为( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°【答案】C4．已知,,),3,1(→→→→→→→+=-=-=b a OB b a OA a 若AOB ∆是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则AOB ∆的面积为( ) A ．3 B ．2C ．22D ．4【答案】D5．1已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为( ) A ．17B ．18C ．19D ．20【答案】C6．已知,,a b c为非零的平面向量. 甲：则( )A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】Ｂ7．设OA = a ，OB = b ， OC = c ，当(),λμλμ=+∈R c a b ，且1λμ+=时，点C 在( ) A ．线段AB 上B ．直线AB 上C ．直线AB 上，但除去A 点D ．直线AB 上，但除去B 点【答案】B8．下列命题正确的是( )A ．若a b a c ⋅=⋅ ，则b c = ；B ． a b ⊥ 的充要条件是0a b ⋅=C ．若a 与b 的夹角是锐角的必要不充分条件是0a b ⋅>； D ． //a b 的充要条件是a b λ=【答案】C9．已知向量()21=，a ，()2x =-，b ，若a ∥b ，则a +b 等于( ) A ．()2,1-- B ．()2,1C ．()3,1-D ．()3,1-【答案】A10．对于直角坐标系内任意两点P 1(11,y x )、P 2(22,y x ) , 定义运算“⊗”如下：P 1⊗P 2=(11,y x )⊗(22,y x )=).,(12212121y x y x y y x x +-若点M 是与坐标原点O 相异的点，且M ⊗(1,1)=N ，则∠MON 的大小为( )A ． 90ºB ． 60ºC ．45ºD ． 30º【答案】C11．已知向量a =(3,4),b =(2,-1),如果向量b x a +与b -垂直，则x 的值为( )A ．52-B ．323C ． 233D ．2【答案】A 12．若，则( ) A ．B ．C ．D ．【答案】B第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．若向量b a 、的夹角为150，4,3==b a ，则+a 2【答案】214．已知D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++=，则||||AP PD 的值为。

高三高考数学二轮复习复数与平面向量

复数与平面向量[回归教材]1．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的相关概念 (1)复数的分类①z 是实数⇔b ＝0；②z 是虚数⇔b ≠0；③z 是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0. (2)共轭复数z ＝a －b i. (3)复数的模|z |＝a 2＋b 2.(4)复数的相等： a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． 2．复数的运算法则(1)加减法：类比多项式的加减法运算； (2)乘法：类比多项式的乘法运算； (3)除法：分母实数化． 3．复数中常用结论(1)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈Z )． (2)z ·z ＝|z |2＝|z |2，|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|，⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1||z 2|，|z n |＝|z |n .4．平面向量的线性运算：加法、减法及数乘运算 (1)两个运算法则：三角形法则和平行四边形法则． (2)共线向量定理：a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0(a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2))． (3)三点共线的2个结论①若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)． ②OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1. 5．平面向量的数量积设a ，b 为非零向量，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则 (1)a·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2. (2)cos θ＝a·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.(3)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0⇔|a ＋b |＝|a －b |. 6．利用数量积求长度(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 7．有关向量夹角的2个结论(1)两个向量a 与b 的夹角为锐角，则有a·b >0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a 与b 的夹角为钝角，则有a·b <0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．8．三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则(1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a 2sin A . (2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0. (3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →. (4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0. [保温训练]1．设复数z 满足1－z1＋z ＝i ，则z 的共轭复数为( )A ．iB ．－iC ．2iD ．－2i A [∵1－z 1＋z ＝i ，∴z ＝1－i 1＋i＝－2i2＝－i ， ∴z ＝i.故选A ．]2．(2020·曲靖二模)若复数2a ＋2i1＋i (a ∈R )是纯虚数，则复数2a ＋2i 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [2a ＋2i 1＋i ＝2(a ＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝a ＋1＋(1－a )i 是纯虚数，则⎩⎨⎧a ＋1＝0，1－a ≠0，a ＝－1, 2a ＋2i ＝－2＋2i ，对应点为(－2,2)，在第二象限．故选B ．]3．(2020·山西省一模)已知平面向量a ，b 满足|a |＝13，|b |＝1，且|2a ＋b |＝|a ＋b |，则a 与b 的夹角为( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6C [因为平面向量a ，b 满足|a |＝13，|b |＝1，且|2a ＋b |＝|a ＋b |, 所以|2a ＋b |2＝|a ＋b |2，所以2ab ＝－3a 2，所以 2|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－3a 2，所以cos 〈a ，b 〉＝－12，所以a 与b 的夹角为2π3.故选C ．]4．(2020·重庆模拟)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－1,1)，c ＝(m,2)，且(a －2b )⊥c ，则实数m ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．任意实数B [∵a ＝(1,2)，b ＝(－1,1)，∴a －2b ＝(3,0)，∵c ＝(m,2)，(a －2b )⊥c ，则(a －2b )·c ＝3m ＝0，解得m ＝0.故选B ．] 5．已知命题p ：复数z ＝1－2i 1＋i的虚部是－32，命题q ：复数(2＋i )(1－2i )＝4－3i ，以下命题真假判断正确的是( )A ．p 真q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 真D ．p 假q 假A [因为z ＝1－2i 1＋i ＝(1－2i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝－12－32i ，所以其虚部为－32，所以p 为真命题；因为(2＋i )(1－2i )＝2－4i ＋i －2i 2＝4－3i ，所以q 为真命题，故选A ．] 6．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则EM →＝( )A ．12AC →＋13AB → B ．12AC →＋16AB → C ．16AC →＋12AB →D ．16AC →＋32AB →C [如图，∵EC →＝2AE →，∴EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →.]7．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2，k )，且(a ＋2b )∥(3a －b )，则实数k ＝________. －6 [a ＋2b ＝(－3,3＋2k )，3a －b ＝(5,9－k )，由题意可得－3(9－k )＝5(3＋2k )，解得k ＝－6.]8．已知向量a 与b 的夹角为60°，|a |＝1，|a －b |＝3，则|b |＝________. 2 [∵|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝3，|a |＝1，向量a 与b 的夹角为60°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝12|b |，|a |2＝1，∴|b |2－|b |－2＝0，解得|b |＝2或|b |＝－1(舍去)．]。

20届高考数学(理)二轮复习第2部分专题5 规范答题示例5

典例5 (12分)(2018·全国Ⅰ)设椭圆C ：x22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2,0).(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB . 审题路线图(1)l 与x 轴垂直→l 的方程为x ＝1→将l 的方程与椭圆C 的方程联立→解得A 点坐标→得到直线AM 的方程(2)先考虑l 与x 轴垂直或l 与x 轴重合的特殊情况→要证的结论→再考虑l 与x 轴不垂直也不重合的一般情况→设l 的方程并与椭圆方程联立→得x 1＋x 2，x 1x 2→用过两点的斜率公式写出k MA ，k MB →计算k MA ＋k MB →得k MA ＋k MB ＝0→∠OMA ＝∠OMB .评分细则第(1)问：写出F 的坐标得1分，联立方程得出A 点坐标得1分，写出直线AM 的两个方程得1分.第(2)问：写出直线l 与x 轴重合时的情况得1分，写出l 与x 轴垂直时的情况得1分，写出既不垂直又不重合的情况得1分，以上情况漏写一种扣1分；写出k MA ，k MB 的表达式得1分，写出k AM ＋k BM 关于x 1，x 2的表达式得1分，联立直线与椭圆方程得出x 1＋x 2，x 1x 2分别关于k 的表达式得1分，将x 1＋x 2，x 1x 2代入k AM ＋k BM ，求得k AM ＋k BM ＝0得1分，得出总结论得2分.跟踪演练5 (2019·全国Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P . (1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |.解设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).(1)由题设得F ⎝⎛⎭⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32，由题设可得x 1＋x 2＝52. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，令Δ>0，得t <12，则x 1＋x 2＝－12(t －1)9.从而－12(t －1)9＝52，得t ＝－78.所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得y 2－2y ＋2t ＝0，所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3，代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13，即A (3,3)，B ⎝⎛⎭⎫13，－1，故|AB |＝4133.。

2014高三数学二轮复习：平面向量的综合应用典型例题

2014高三数学：平面向量的综合应用典型例题1．利用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题例1、若非零向量b a ,满足||||b a =.0)2(=⋅+b b a ,则b a ,的夹角为（）A ．30oB ．60oC ．120oD ．150o1、非零向量a .b .c 满足||||||c b a ==,c b a =+,则向量a .b 夹角为（）A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°2 ．已知向量(1,cos ),(1,2cos )θθ=-=a b 且⊥ab ,则cos 2θ等于（）A ．1-B ．0C ．12D ．223已知平面向量a ()2m =-,,b ()13=,,且()-⊥a b b ,则实数m 的值为（）A ．23-B ．23C ．43D ．634．设非零向量a,b 的夹角为θ,记θθsin cos ),(b a b a f -=.若21,e e 均为单位向量,且2321=⋅e e ,则向量),(21e e f 与),(12e e f -的夹角为____rad.5．已知A,B,C 是函数x e y =图象上的三点,横坐标分别为1,,1+-t t t .(1)当t=1时,求实数x,y 的值,使得OC y OA x OB +=,其中O 为坐标原点;(2)①证明:对任意实数t,A,B,C 三点不在同一条直线上;②问△ABC 是锐角三角形、直角三角形、还是钝角三角形?说明理由.6 ．已知O 是ABC ∆的外心,10,6==AC AB ,若AC y AB x AO ⋅+⋅=且5102=+y x ,则=∠BAC cos _____________.7、在ABC ∆中,若22()||5CA CB AB AB +⋅=,则tan tan AB= ________. 【答案】73 8、已知O 为△ABC 的外心,210||,16||==AC AB , 若AC y AB x AO +=,且32x+25y=25,则||OA →==_____.【答案】109、已知)2,3(),2,(x AC x x AB -==,若∠BAC 是钝角,则x 的取值范围是___________2．利用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题例2、已知非零向量a ,b 满足|a |=|a +b |=1,a 与b 夹角为120°,则向量b 的模为________.1、在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,()2,0A,()0,1B ,则点集{},1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的平面区域的面积是________.【答案】42、已知ABC ∆是边长为4的正三角形,D 、P 是ABC ∆内部两点,且满足11(),48AD AB AC AP AD BC =+=+,则APD ∆的面积为__________.【答案】343、若向量→a 、→b 满足|→a |=1,|→b |=2,且→a 与→b 的夹角为π3,则|→a +2→b |=_______ 【答案】 214、已知向量a =(2,1),a ·b =10,|a +b |52=,则|b |=__________【答案】55、已知在等边三角形ABC 中,点P 为线段AB 上一点,且(01)AP AB =≤≤λλ.(1)若等边三角形边长为6,且13=λ,求CP ;(2)若CP AB PA PB ⋅≥⋅,求实数λ的取值范围. 3．利用向量的坐标运算，用已知向量表示未知向量例3、已知点O 是，，内的一点，090BOC 150AOB =∠=∠∆ABC ,,,OA c OC b OB a ===设且,3,1,2===c b a 试用.,c b a 表示和1、如图，，的夹角为与，的夹角为与5OC ,30OA OC 120OB ,100===OA OB OA 用OB OA ，表示.OC 2、如图,在△OAB 中,已知P 为线段AB 上的一点,.OP x OA y OB =⋅+⋅(1)若BP PA =,求x ,y 的值;(2)若3BP PA =,||4OA =,||2OB =,且OA 与OB 的夹角为60°时,求OP AB ⋅ 的值.4．利用向量的数量积问题例题4、是圆C:22(1)(3)1x y -+-=上的一个动点,A(3,1),则OP OA 的最小值为______【答案】2(3-1) 1、直角三角形ABC 中,90,2ACB AC BC ︒∠===, P 是斜边AB 上的一个三等分点,则CP CB CP CA ⋅+⋅=__.【答案】41、在ABC ∆中,已知||||||2AB BC CA ===,则向量AB BC =（）A ．2B ．2-C ．23D．23-2、如图, 在等腰三角形ABC 中, 底边2=BC , DC AD =, 12AE EB =, 若12BD AC ⋅=-, 则AB CE ⋅=_____.【答案】3、在ABC ∆中,6BC=,BC 边上的高为2,则AB AC ⋅的最小值为________.【答案】5-4、在ABC ∆中,90=C 且3CA CB ==,点M 满足,2MA BM =则CB CM ⋅等于（）A ．2B ．3C ．4D ．65、若等腰梯形ABCD 中,//AB CD ,3AB =,2BC =,45ABC ∠=,则AC BD ⋅ 的值为________【答案】36、在ABC ∆中,已知a .b .c 成等比数列,且33,cos 4a c B +==,则AB BC ⋅=（B ） A ．32B ．32-C ．3D ．-37、如图,在正方形ABCD 中,已知2AB =,M 为BC 的中点,若N 为正方形内(含边界)任意一点,则AM AN ⋅的取值范围是______.）在Rt ΔAB C 中,C ∠=90.,若ΔABC 所在平面内的一点P 满足过0=++PC PB PA λ(I)当λ= 1时,222||||||PC PB PA +=_______(II) 222||||||PC PB PA +的最小值为______.【答案】(1)5;(2)1. 8、在△ABC 中,O 是中线AM 上一个动点,若AM=4,则的最小值是（B ） A ．-4 B ．-8C ．-10D ．-125．利用向量的数量积解决有关系数问题例5、如图,在△ABC 中,D,E 分别为边BC,AC 的中点. F 在边AB 上,且,则x+y的值为____【答案】521、向量b n a m b a --==若),3,2(),2,1(与b a 2+共线(其中,,0mm n R n n∈≠且）则等于_【答案】21-2、已知O 为△ABC 的外心,,120,2,20=∠==BAC aAC a AB 若AC AB AO βα+=,则βα+的最小值为____ 【答案】23、已知O 是锐角三角形△ABC 的外接圆的圆心,且,A θ∠=若cos cos 2,sin sin B CAB AC mAO C B+=则m =（）A ．sin θB ．cos θC ．tan θD ．不能确定4、已知ABC 和点M 满足0MA MB MC ++=.若存在实数m 使得AB AC mAM +=成立,则m = （）A ．2B ．3C ．4D ．55、如图,AB 是圆O 的直径,C D 、是圆O 上的点,60CBA ∠=,45ABD ∠=,CD xOA yBC =+,则x y +的值为（）A ．33-B ．13-C ．23D ．36、已知向量(3,4)a =, (2,1)b =-,如果向量a xb -与b 垂直,则x 的值为（ C ）A ．233B ．323C ．25D ．25-COAB D7、已知向量AB 与AC 的夹角为0120,且|AB →|=3, |AC →|=2,若λ=+AP AB AC ,且⊥AP BC ,则实数λ的值为__________.【答案】7128、已知△ABC 中,点D 是BC 的中点,过点D 的直线分别交直线AB.AC 于E 、F 两点,若()0>=λλAE AB ,AF AC μ=()0>μ,则14λμ+的最小值是________【答案】29 9、设21,e e 为单位向量,非零向量R y x e y e x b ∈+=,,21,若21,e e 的夹角为6π,则||||b x 的最大值等于________.6.利用向量的数量积解决与直线相关问题.例题6、已知A,B,C 是函数x e y =图象上的三点,横坐标分别为1,,1+-t t t .(1)当t=1时,求实数x,y 的值,使得OC y OA x OB +=,其中O 为坐标原点;(2)①证明:对任意实数t,A,B,C 三点不在同一条直线上;②问△ABC 是锐角三角形、直角三角形、还是钝角三角形?说明理由.1、将函数y =2x 的图像按向量a →平移后得到函数y =2x +6的图像,给出以下四个命题:①a →的坐标可以是(-3.0);②a →的坐标可以是(0,6);③a →的坐标可以是(-3,0)或(0,6);④a →的坐标可以有无数种情况,其中真命题的个数是（ D ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．42、是平面上一定点,A ．B ．C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足).,0[)||||(+∞∈⋅++=λλAC ACAB AB OA OP 则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ B ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心3设P 是△ABC 所在平面内的一点,2BC BA BP +=,则（B ）A ．0PA PB += B ．0PC PA += C ．0PB PC +=D ．0PA PB PC ++=4、P 是ABC ∆所在平面内一点,若PB PA CB +=λ,其中R ∈λ,则P 点一定在（B ）(A)ABC ∆内部 (B)AC 边所在直线上 (C)AB 边所在直线上 (D)BC 边所在直线上7.利用向量的数量积解决与三角函数的综合.例题7、设向量(2,sin ),(1,cos ),a b θθθ==为锐角.(1)若136a b ⋅=,求sin cos θθ+的值;(2)若//a b ,求sin(2)3πθ+的值.1、已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),(1,0)a a a b c ββ===-(Ⅰ)求向量b c +的长度的最大值;(Ⅱ)设a 4π=,且()a b c ⊥+,求cos β的值.2、已知向量a →=(cos3x 2,sin 3x 2),b →=(cos x 2,―sin x 2),且x ∈[0,π2].(1) 已知a →∥b →,求x;(2)若f(x)=a →·b →―2λ|a →+b →|+2λ的最小值等于―3,求λ的值.3、设(cos ,(1)sin ),(cos ,sin ),(0,0)2a b παλαββλαβ=-=><<<是平面上的两个向量,若向量a b +与a b -互相垂直.(Ⅰ)求实数λ的值;(Ⅱ)若45a b ⋅=,且4tan 3β=,求tan α的值. 4、设平面向量)23,21(),1,3(=-=b a ,若存在实数)0(≠m m 和角θ,其中)2,2(ππθ-∈,使向量θθtan ,)3(tan 2⋅+-=-+=b a m d b a c ,且d c ⊥.(Ⅰ)求)(θf m =的关系式;(Ⅱ)若]3,6[ππθ-∈,求)(θf 的最小值,并求出此时的θ值. 8.利用向量的新型的综合.例题8、已知两个非零向量a 与b ,定义sin θ⨯=a b a b ,其中θ为a 与b 的夹角. 若()3,4-a =, ()0,2b =,则⨯a b 的值为（ D ）A ．8- B ．6- C ．8D ．61、定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),令a ⊙b= mq-np,下面说法错误的是（）A ．若a 与b 共线,则a ⊙b =0 B ．a ⊙b =b ⊙a C ．对任意的λ∈R,有(λa)⊙b =λ(a ⊙b)D ．(a ⊙b)2+(a·b)2= |a|2|b|22、已知向量a=(x +z,3),b=(2,y-z),且a ⊥ b.若x ,y 满足不等式1x y +≤,则z 的取值范围为（ D ）A ．[-2,2]B ．[-2,3]C ．[-3,2]D ．[-3,3]3、称(,)||d a b a b =-为两个向量,a b 间的距离.若a b 、满足:①||=1;b ②a b ≠; ③对任意的,t R ∈恒有(,)(,)d a tb d a b ≥,则（ B ）A ．()()a b a b +⊥-B ．()b a b ⊥-C ．a b ⊥D ．()a a b ⊥-4、以下命题:①若||||||a b a b ⋅=⋅,则a ∥b ;②a =(-1,1)在b =(3,4)方向上的投影为15;③若△ABC 中,a=5,b =8,c =7,则BC ·CA =20;④若非零向量a 、b 满足||||a b b +=,则|2||2|b a b >+.其中所有真命题的标号是______________【答案】①②④5、已知)2,3(),2,(x AC x x AB -==,若∠BAC 是钝角,则x 的取值范围是___________【答案】解析:不共线与且AC AB AC AB 0<⋅可得⎪⎭⎫⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-∈,340,3131,x 6、定义*a b 是向量a 和b 的“向量积”,它的长度*sin a b a b α=,其中α为向量a 和b 的夹角,若()2,0u =,(1,3u v -=-,则*()u u v +=_____________.【答案】23【平面向量的综合应用】一、选择题1.设A 、B 、C 、D 四点坐标依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，则四边形ABCD 为( ) A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形2.已知△ABC 中，AB =a ，AC =b ，a ·b <0，S △ABC =415,|a |=3,|b |=5,则a 与b 的夹角是( ) A.30°B.－150°C.150°D.30°或150°二、填空题3.将二次函数y =x 2的图象按向量a 平移后得到的图象与一次函数y =2x －5的图象只有一个公共点(3，1)，则向量a =_________.4.等腰△ABC 和等腰Rt △ABD 有公共的底边AB ，它们所在的平面成60°角，若AB =16 cm,AC =17 cm,则CD =_________.三、解答题5.如图，在△ABC 中，设AB =a ，AC =b ，AP =c , AD =λa ,(0<λ<1),AE =μb (0<μ<1),试用向量a ，b 表示c .6.正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为a ,侧棱长为2a . (1)建立适当的坐标系，并写出A 、B 、A 1、C 1的坐标； (2)求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.7.已知两点M (－1，0)，N (1，0)，且点P 使NP NM PN PM MN MP ⋅⋅⋅,,成公差小于零的等差数列. (1)点P 的轨迹是什么曲线？(2)若点P 坐标为(x 0,y 0),Q 为PM 与PN 的夹角，求tan θ.8.已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点. (1)用向量法证明E 、F 、G 、H 四点共面； (2)用向量法证明：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有)(41OD OC OB OA OM +++=.参考答案一、1.解析：AB =(1，2），DC =(1，2），∴AB =DC ，∴AB ∥DC ，又线段AB 与线段DC 无公共点，∴AB ∥DC 且|AB |=|DC |，∴ABCD 是平行四边形，又|AB |=5，AC =(5，3），|AC |=34，∴|AB |≠|AC },∴ABCD不是菱形，更不是正方形；又BC =(4，1），∴1·4+2·1=6≠0,∴AB 不垂直于BC ，∴ABCD 也不是矩形，故选D. 答案：D2.解析：∵21415=·3·5sin α得sin α=21,则α=30°或α=150°. 又∵a ·b ＜0,∴α=150°. 答案：C二、3.(2,0) 4.13 cm三、5.解：∵BP 与BE 共线，∴BP =m BE =m (AE －AB )=m (μb －a ), ∴AP =AB +BP =a +m (μb －a )=(1－m )a +m μb①又CP 与CD 共线，∴CP =n CD =n (AD －AC )=n (λa －b ), ∴AP =AC +CP =b +n (λa －b )=n λa +(1－n )b②由①②，得(1－m ）a +μm b =λn a +(1－n )b .∵a 与b 不共线，∴⎩⎨⎧=-+=-+⎩⎨⎧-==-010111m n m n n m a m μλμλ即 ③解方程组③得：m =λμμλμλ--=--11,11n 代入①式得c =(1－m )a +m μb =πμ-11［λ(1－μ)a +μ(1－λ)b ］. 6.解：(1)以点A 为坐标原点O ，以AB 所在直线为Oy 轴，以AA 1所在直线为Oz 轴，以经过原点且与平面ABB 1A 1垂直的直线为Ox 轴，建立空间直角坐标系.由已知，得A (0，0，0），B (0，a ,0）,A 1(0,0,2a ),C 1(－,2,23aa 2a ). (2)取A 1B 1的中点M ，于是有M (0，2,2a a ），连AM ，MC 1，有1MC =(－23a ,0,0）,且AB =(0，a ,0）,1AA =(0,02a )由于1MC ·AB =0，1MC ·1AA =0，所以M C 1⊥面ABB 1A 1，∴AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.∵1AC =),2,2,0(),2,2,23(a aAM a a a =-a a a AM AC 49240221=++=⋅∴a a a AM a a a a AC 2324||,324143||22221=+==++=而 2323349,cos 21=⨯>=<∴aa aAM AC所以AM AC 与1所成的角，即AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.7.解：(1)设P (x ,y ）,由M (－1，0），N (1，0）得，PM =－MP =(－1－x ,－y ）,NP PN -= =(1－x ,－y ),MN =－NM =(2,0),∴MP ·MN =2(1+x ), PM ·PN =x 2+y 2－1,NP NM ⋅ =2(1－x ).于是，NP NM PN PM MN MP ⋅⋅⋅,,是公差小于零的等差数列，等价于⎩⎨⎧>=+⎪⎩⎪⎨⎧<+---++=-+03 0)1(2)1(2)]1(2)1(2[211222x y x x x x x y x 即所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆. (2)点P 的坐标为(x 0,y 0),30,1cos 21,3041||cos 42)24)(24()1()1(||||,210220002020*******πθθθ<≤≤<∴≤<-=⋅⋅=∴-=-+=+-⋅++=⋅=-+=⋅x x PNPM PN PM x x x y x y x PN PM y x PN PM||3cos sin tan ,411cos 1sin 02022y x x =-==∴--=-=∴θθθθθ 8.证明：(1）连结BG ，则EH EF EH BF EB BD BC EB BG EB EG +=++=++=+=)(21由共面向量定理的推论知：E 、F 、G 、H 四点共面，(其中21BD =EH ）(2）因为BD AB AD AB AD AE AH EH 21)(212121=-=-=-=.所以EH ∥BD ，又EH ⊂面EFGH ，BD ⊄面EFGH 所以BD ∥平面EFGH .(3）连OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG 由(2）知BD EH 21=，同理BD FG 21=，所以FG EH =，EH FG ,所以EG 、FH 交于一点M 且被M 平分，所以).(41)](21[21)](21[212121)(21OD OC OB OA OD OC OB OA OG OE OG OE OM +++=+++==+=.。