初一数学讲义(学生版)

（提示：三角形的内角和等于 180°）
5．如图， O 是直线 AB 上一点 ,OC、OD 、OE 是三条射线 ,则图中互补的角共有（
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
B ）对
6．互为余角的两个角 （ （ A ）只和位置有关 （ C）和位置、数量都有关
） （B ）只和数量有关 （ D）和位置、数量都无关
的长是（
）
A
M
B
C
N
D
A 2（ a-b） B 2a-b
C a+b
D a-b
（三）与角有关的问题
1． 已知：一条射线 OA，若从点 O 再引两条射线 OB、OC ，使∠ AOB= 600，∠ BOC =20 0， 则∠ AOC=____________度 （ 分类讨论 ）
2． A、O、B 共线， OM 、ON 分别为∠ AOC 、∠ BOC 的平分线，猜想∠ MON 的度数，试证明你的结论．
例 6． 解方程 ax b
例 7． 问当 a、 b 满足什么条件时，方程 2x+5-a=1-bx ：（1）有唯一解； （ 2）有无数解； （ 3）无解。
x11x a b
例 8． 解方程
a b ab
二、含绝对值的方程解法 例 9． 解下列方程 5x 2 3
例 10． 解方程 例 11． 解方程
2x 1 5 1
注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化
3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。
二、典型例题
例 1． 若多项式 2 mx2 x2 5x 8 7 x2 3 y 5 x 的值与 x 无关， 求 m 2 2m 2 5m 4 m 的值 .
例 2． x=-2 时，代数式 ax 5 bx 3 cx 6 的值为 8，求当 x=2 时，代数式 ax 5 bx 3 cx 6 的值。
F
10 5
11
D
E
例 8． 将正奇数按下表排成 5 列 :
第一列
第二列
第三列
第一行
1
3
5
7
第二行 15
13
11
9
第三行
17
19
21
23
第四行 31
29
27
25
L
L
第四列
L
第五列
根据上面规律， 2007 应在 A． 125 行 ,3 列 B. 125 行 ,2 列 C. 251 行 ,2 列
D. 251 行,5 列
例 9．（ 2006 年嘉兴市）定义一种对正整数 n 的“ F”运算：①当 n 为奇数时，结果为 3n＋ 5；②当 n 为偶数时，
n
n
结果为 2k （其中 k 是使 2k 为奇数的正整数） ，并且运算重复进行．例如，取
n＝ 26，则：
F② 26
第一次
F① 13
第二次
F② 44
第三次
11
…
若 n＝ 449，则第 449 次“ F 运算”的结果是 __________．
3 x 1 2x 1
第四讲：图形的初步认识
基本要求：
1．如图四个图形都是由 6 个大小相同的正方形组成，其中是正方体展开图的是（
）
A ．①②③
B．②③④
C．①③④
D ．①②④
较高要求：
2．下图可以沿线折叠成一个带数字的正方体，每三个带数字的面交于正方体的
一个顶点，则相交于一个顶点的三个面上的数字之和最小是
a 当 a为负数
说明：（Ⅰ） |a| ≥ 0 即 |a| 是一个非负数； （Ⅱ） |a| 概念中蕴含分类讨论思想。
三、 典型例题
例 1．（ 数形结合思想 ）已知 a、b、 c 在数轴上位置如图：
则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ）
A ． -3a
7．已知∠ 1、∠ 2 互为补角，且∠ 1＞∠ 2，则∠ 2 的余角是（ ）
A. 1 （∠ 1＋∠ 2） B. 1 ∠ 1 C. 1 （∠ 1－∠ 2） D. 1 ∠ 2
2
2
2
2
一、知识框架
第六讲：相交线与平行线
两条
直线
相交
相
交
两条
线
直线
被第
三条
直线 所截
邻补角、对顶角 垂线及性质
对顶角相等 点到直线的距离
a b ad bc . cd
（ 1）则 1 2 的值为
；（ 2）当 2 4 18 时， x =
.
12
(1 x) 5
例 4．（方程的思想）如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高 高为 h 厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（
a 厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面
）
不考虑瓶子的厚度 .
a
A．
ab
50 元。从收
入的角度考虑，选择哪家公司有利？
例 6． 三个数 a 、 b、 c 的积为负数，和为正数，且
x
a
b
c
ab
ac
bc
，
a b c ab ac bc
则 ax3 bx 2 cx 1的值是 _______ 。
例 7．如图，平面内有公共端点的六条射线 OA，OB，OC，OD，OE，OF ，从射线 OA 开始按逆时针方向依次在
其中能表示 B 是线段 AC 的中点的有（
）
A．1 个
B． 2 个
C． 3 个
D．4 个
3．已知线段 MN ，P 是 MN 的中点， Q 是 PN 的中点， R 是 MQ 的中点，那么 MR = ______ MN ．
4．如图所示， B、 C 是线段 AD 上任意两点， M 是 AB 的中点， N 是 CD 中点，若 MN=a ， BC=b，则线段 AD
()
A． 7
B． 8
C． 9
D． 10
3．一个正方体的展开图如右图所示，每一个面上都写有一个自然数并且相对 两个面所写的两个数之和相等，那么 a+b-2c= （ ）
A ．40
B.38
C.36
D. 34
4．下图是某一立方体的侧面展开图，则该立方体是（
）
1 6245 3
c 84 b 25 a
A
B
C
D
．
．
．
．
9．下面是四个立体图形的展开图，则相应的立体图形依次是
()
A．正方体、圆柱、三棱柱、圆锥 C．正方体、圆柱、三棱锥、圆锥
B. 正方体、圆锥、三棱柱、圆柱 D.正方体、圆柱、四棱柱、圆锥
13．对右面物体的视图描绘错误的是
（）
（四）新颖题型
16. 正方体每一面不同的颜色对应着不同的数字，将四个这样的正方体如图拼成一个水平放置的长方体，那么长
第一讲 和绝对值有关的问题
一、 知识结构框图：
二、 绝对值的意义：
(1) 几何意义：一般地，数轴上表示数 a 的点到原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作 |a| 。 (2) 代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；
③零的绝对值是零。
a 当 a为正数 也可以写成： | a | 0 当 a为 0
B ． 2c － a C．2a－ 2b D ． b
例 2． 已知： x 0 z ， xy 0 ，且 y z x ， 那么 x z y z x y 的值（ ）
A ．是正数
B ．是负数
C ．是零
D ．不能确定符号
例 3．（分类讨论思想 ）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的 3 倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧， 两点之间的距离为 8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？
4 与 2 ，3 与 5， 2 与 6 ， 4 与 3.
并回答下列各题：
（ 1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：
___
.
（ 2）若数轴上的点 A 表示的数为 x，点 B 表示的数为― 1，则 A 与 B 两点间的距离
可以表示为 ________________.
（ 3）结合数轴求得 x 2 x 3 的最小值为
方体的下底面数字和为
.
第五讲：线段和角
一、知识结构图
直线
线段 直线性质 射线
线段的比较和画法
线段的中点
线段性质
两点间的距离
平角
直角
锐角
钝角
角的分类
周角
角
角的比较、度量和画法
角平分线
相关角
余角和补角
定义 性质
同角（或等角） 的补角相等
同角（或等角） 的余角相等
二、典型问题：
（一）数线段——数角——数三角形 问题 1、直线上有 n 个点，可以得到多少条线段？
，取得最小值时 x 的取值范围为 ___.
（ 4） 满足 x 1 x 4 3 的 x 的取值范围为
______ .
第二讲：代数式的化简求值问题
一、 知识链接
1．“代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容
.
2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。
b
B．
ab
h
C．
ab
h
D．
ah
例 5． 小杰到食堂买饭，看到 A、B 两窗口前面排队的人一样多，就站在 A 窗口队伍的里面，过了 2 分钟，他
发现 A 窗口每分钟有 4 人买了饭离开队伍， B 窗口每分钟有 6 人买了饭离开队伍，且 B 窗口队伍后面每分钟增
加 5 人。此时，若小李迅速从 A 窗口队伍转移到 B 窗口后面重新排队，将比继续在 A 窗口排队提前 30 秒买到