抛物线定义及性质

D．(0，1)
答案 B 解析 因为抛物线的准线方程为 x＝－p2＝－1，∴p2＝1， ∴焦点坐标为(1，0)，故选 B.
3．(2014·安徽文)抛物线 y＝14x2 的准线方程是(
)
A．y＝－1
B．y＝－2
C．x＝－1
D．x＝－2
答案 A 解析 抛物线 y＝14x2 的标准方程为 x2＝4y，所以其准线方程 为 y＝－1.
距离相等的点的轨迹为( A )
(A)直线 (B)抛物线 (C)双曲线 (D)椭圆
求标准方程 想 一 想
如何建立直角坐标系？
l N
M·
· F
过F做直线FK垂直于直线l，垂足为K。以直线KF为x轴，线段KF的垂直平分线为y轴，建立如图所 示的直角坐标系xOy。
设︱KF︱= p
p 则F（ ，0），l：x = -
p
2
2
设动点M的坐标为（x，y），
由定义可知，
(xp)2y2 xp
2
2
y l
M· N
·
x
o
K
F
化简得 y2 = 2px（p＞0）
方程 y2 = 2px（p＞0）叫做 抛物线的标准方程。
其 中 焦 点 F 2 p ,0 ,准 线 方 程 为 x 2 p ,开 口 向 右
其中 p 为正常数，它的几何意义是:
x p 2
3、抛物线的顶点：
抛物线和轴的交点。原点O（0，0）
F ( p ,0) x 2
4、抛物线的离心率 y2=2px离心率都是 1
图形 y l
OF
方程
y2 = 2px （p>0） x
y FO
l
y2 = -2px （p>0） x
焦点
准线
F ( p ,0) x p
2
2
F ( p ,0) x p
抛物线定义及性质
一、定义 平面内到一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛 L
物线。
▲定点F 叫做抛物线的焦点。
F
o
x
▲定直线l 叫做抛物线的准线
注：如果定点F在定直线l上，所求的轨迹是？ 过定点F垂直于直线l的一条直线
1.平面上到定点 A(1,1) 和到定直线 l : x 2 y 3
(3)焦点到准线的距离是2.
y 2 4 x ,y 2 4 x ,x 2 4 y ,x 2 4 y
例3 (1)抛物线
y 2 px 2
上一点M到焦点的距离是
a ( a p ) ,则点M到准线的距离是________,
a
2
点M的横坐标是_____.
a p
2
(2)抛物线
y 1 2 x 上与2 焦点的距离等于9的点的坐标是___________；
因为|AF|＋|BF|＝3，根据抛物线的定义，|AG|＝|AF|，|BE| ＝|BF|，
所以|AG|＋|BE|＝3，所以|MD|＝|BE|＋2 |AG|＝32， 所以线段 AB 的中点到 y 轴的距离为32－14＝54，故选 C.
【答案】 C
探究 1 “看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多 抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形， 由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．
y
P (x0, y0 )
OF
x
通径的长度：2P
P越大,开口越开阔
3、焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。
焦半径公式：
|PF|=x0+p/2
下面请大家推导出其余三种标准方程抛物线的焦半径公式。
例1 求下列抛物线的焦点坐标和准线.
1、 y 2 4 x
2、 x 4 y 2
练习1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
2
2
范围 x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
y F
O
y
O F
x2 = 2py （p>0） x l
l x2 = -2py
x （p>0）
F (0, p ) y p
y≥0 x∈R
2
2
F (0, p ) 2
y p 2
y≤0 x∈R
顶点 (0,0)
对称轴
e
x轴
1 y轴
2、通径：
通过焦点且垂直对称轴的直线， 与抛物线相交于两点，连接这 两点的线段叫做抛物线的通径。
(6,6 2)
练习2
如图,M点是抛物线
y 4 x 上一点,F是抛2 物线
的焦点, 以Fx为始边,FM为终边的角
,求
.
FM
4
xFM60o
y M
OF
x
2．(2015·陕西文)已知抛物线 y2＝2px(p>0)的准线经过点
(－1，1)，则抛物线焦点坐标为( )
A．(－1，0)
B．(1，0)
C．(0，－1)
【答案】 D
(2)已知 F 是抛物线 y2＝x 的焦点，A，B 是该抛物线上的两
点，|AF|＋|BF|＝3，则线段 AB 的中点 D 到 y 轴的距离为( )
3
A.4
B.1
5
7
C.4
பைடு நூலகம்
D.4
【解析】 因为抛物线 y2＝x 的准线方程为 x＝－14.
如图所示，过点 A，B，D 分别作直线 x＝－14的垂线，垂足分别为 G，E，M，
焦点到准线的距离
图 形﹒ y
焦点
o
x
﹒
y
﹒o
x
y
o
x
﹒
y
o
x
准线
标准方程
二、抛物线的性质
抛物线
y 2px 的2几何性质：
(p＞0)
1、抛物线的范围
y
y 它在 轴的右边，向右上方
和右下方无限伸展。 .
2、抛物线的对称性： O
x 关于 轴对称
这条对称轴叫抛物线的轴
注意：
抛物线只有一条对称轴； 没有对称中心
4．设抛物线 y2＝8x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到 该抛物线焦点的距离是________．
答案 6
例4.点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程.
分析： 如图可知 原条件等价于M点到F（4，0）和到x＝－4距离相等，
由抛物线的定义，点M的 轨迹是以F（4，0） 为焦点，x＝－4为准线 的抛物线．所求方程是 y2＝16x．
(1)y2 20x;
(5,0),x5
(3)2y25x0;
(5 , 0), x 5
8
8
(2)y 2x2;
(0, 1), y 1
8
8
(4)x2 16y0.
(0,4),y4
例2 根据下列条件写出抛物线的标准方程：
(1)焦点是F(0,-2)；
x2 8 y
(2)准线方程是
；
y 1 .
x2 4y
y
M (x , y )
-4
-5
F(4,0) x
题型一 抛物线定义的应用
例 1 (1)动圆与定圆 A：(x＋2)2＋y2＝1 外切，且和直线
x＝1 相切，则动圆圆心的轨迹是( )
A．直线
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
【解析】 设动圆的圆心为 C，则 C 到定圆 A：(x＋2)2＋y2 ＝1 的圆心的距离等于动圆的半径 r＋1，而动圆的圆心到直线 x ＝1 的距离等于 r，所以动圆到直线 x＝2 距离为 r＋1，根据抛物 线的定义知，动圆的圆心轨迹为抛物线，所以答案为 D.