基于MARC的含圆孔正方形薄板四周受力性能的有限元分析报告

基于MARC的含圆孔正方形薄板四周受标题：针对含圆孔的正方形板四周受力性能的有限元分析摘要：采用通用的有限元程序MARC研究含圆孔的正方形板四周受力问题。

在工件工作时，小孔的边缘会产生应力集中的现象，极端情况下甚至会发生破坏，导致失效。

通过对该模型的分析，计算出其最大应力、最大位移及所发生的位置，得出其承载能力和变形特征，使该力学模型更好服务于建造等工程方面。

关键词:圆孔、正方形板、受均布力、最大应力、最大位移、位置、四分之一Title: hole for a square plate with four weeks of the force Finite Element AnalysisAbstract: In view of daily life, building structure, mechanical steel structure of the existence of multi-shaped plate with a circularhole is the mechanical model, its bearing capacity and designstudies and calculations of concern. In this paper, generalfinite element program MARC square hole of the plate four weekswith the force the issue. Through analysis of the model tocalculate the maximum stress, maximum displacement and thelocation of occurrence, reached its carrying capacity anddeformation characteristics. So that the mechanical model tobetter serve the construction and other projects.Keywords: round hole, square plate, force, maximum stress, maximum displacement, position, deformationcharacteristics,horizontal direction, vertical direction, aquarter正文1.引言：鉴于日常生活中建筑结构，机械钢架等结构中多存在含圆孔的正形板的力学模型，其承载性能和设计方法的研究和计算值得关注。

有限元分析在模具行业应用广泛，初步学习弹性力学及有限元的知识，分析平面应力应变问题，以解决平面薄板在受均不力时的有限元分析。

从而解决了，在薄板上中心椭圆孔，在均布力的作用下产生的应力、位移的问题。

2.理论分析：如图所示，在厚度为t=1cm的正方形板中有一只r=0.5cm的圆孔，正方形板四周受分布力p的作用。

已知：E=210GPa，u=0.3，l=10cm，p=1KN/cm。

计算最大应力、最大位移及所发生的位置。

(一) 小圆孔的方形板，四边受均布拉力q，如下图模型因孔口尺寸<<模型尺寸，故孔口引起的应力扰动局限于小围；因孔边距边界较远（>1.5倍孔口尺寸），故孔口与边界不相互干扰。

故本模型属于“小孔口问题”。

弹性体开孔时，在小孔口附近，将发生应力集中现象。

小空口应力集中现象有两个特点：一是孔附近应力高度集中，即孔附近的应力远远大于远处的应力或大于无孔时的应力；二是应力集中的局限性，即由于孔的存在而引起的应力扰动围主要集中在距孔边1.5倍空口尺寸的围，在此围外可以忽略不计。

取圆孔中心为坐标原点建立如上图坐标系，为方便考察圆孔附近应力，采用极坐标。

将外边界改造成为圆边界，以远大于r的某一长度为半径R作大圆，如图中虚线所示。

由应力的的局部性可见，在大圆处如A点，应力情况与无孔时相同，即δx=q，δy=q，τxy=0坐标变换式（4-6）得该处极坐标应力分量为δp=q，τxy=0。

因此，可以引用圆环的轴对称解答，取q2→-q，于是因R＞＞r，得双向均布拉力场下圆孔应力解答δρ=q（1-r2/ρ2）δψ=q（1+r2/ρ2）τρψ=τψρ=0由上可知，在孔边处，环向正应力是无孔时该处最大应力的两倍。

说明开孔后应力明显增大，且与孔径的相对大小无关。

最大应力发生在孔边，ρ=r，σφ=2q，应力集中系数为2。

（二）单边受均布拉力，模型如下：作为应力集中的具体说明，以带小圆孔的方形框单向受均布拉力进行分析则有：（1）沿着y 轴，即θ=π/2或3π/2时，由上式第二式得环向应力： 由此可知，在孔边环向应力是无孔时的3倍，且随着点的位置远离孔边，应力很快趋于无孔时的应力值。

（三）薄板平面问题分析：（1） 在平面应力问题中需考虑的应力分量有三个，应变分量有三个，位移分量有两个。

应力向量、应变向量、位移向量分别为（2）物理方程：()x y z Eμσσε+=-0zx xz γγ==1()y y x Eεσμσ=-xy yxxy yx GGττγγ==={}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=xy y x εεεε{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=v u f（3）应力分量位移分量3.模型建立： 解：根据已知条件，本例属平面应变问题，应取横截面建立有限元模型。

由于对称性，只需取四分之一离散化即可。

采用三角形单元计算，并将计算结果与理论值比较。

建模时，在对称面上加相应的边界条件。

第一步：生成有限元网格采用由几何实体转化为网格的方法生成有限元网格，所有数据采用国际单位。

本模型的试题单元按已知的条件，可将正方形板均分为四等分，其受力结果完全相同，故以板的四分之一为受力分析单元，如下图Cr B r Ar 2)ln 21(2+++=σCr B rA2)ln 23(2+++-=θσ0==r r θθττ将四分之一正方形右、上两条直边界25等分，左、下两条直边界22等分，圆弧边界划分为10等分，并设定合适的偏置系数，如下图采用DELAUNAY 网格划分方法自动划分三角形单元，使用该法生成的三角形单元趋向于等边三角形，如下图第二步：边界条件的处理（载荷集度为-100KN/m，弹性模量 2.1e11，泊松比0.3）边界条件一般有三种：简支端，自由端，固支端。

依题意，给该模型各边施加约束，由材料特性定义，本模型的线弹性静力分析问题，只要定义弹性模量及泊松比即可在图形区用不同的颜色显示所加的边界条件，施加边界条件后，图形区中显示如下所示将定义的材料特性指定到所有单元上，在图形区用颜色显示材料特性第三步：选取作业参数并提交MARC运行分析第四步：后处理（1）选择Displacement X，指定显示容为X方向位移S x 指定显示方式为云图显示指定显示方式为数值显示局部放大，如下图显示最大X方向位移为1.28193e-8m（位置为模型边界右下角所在点处）（2）选择Displacement Y ，指定显示容为Y方向位移S y，分别指定显示方式为云图显示、数值显示，局部放大显示最大Y方向位移为1.28165e-8m（位置为模型边界左上角所在点处）（3）选择Displacement ，指定显示容为位移S，分别指定显示方式为云图显示、数值显示，局部放大显示最大位移为1.78826e-8m（位置为模型边界右上角所在点处）（4）选择Camp 11 of stress ( X方向应力δx )显示最大X方向应力为195538Pa（位置为模型圆弧边界左上角所在点处）（5）选择Camp 22 of stress ( Y方向应力δy )显示最大Y方向应力为194323Pa（位置为模型圆弧边界右下角所在点处）（6）选择Camp 33 of stress ( Z方向应力δz )显示最大Z方向应力为66481.1Pa（位置为模型圆弧边界左上角所在点处） 66243.6Pa(位置为模型圆弧边界右下角所在点处）(7) 选择Camp 12 of stress (XY方向应力δxy )显示绝对值最大XY方向应力为-98286.3Pa（位置为模型圆弧边界中点所在点处）（8）选择Camp 23 of stress (YZ方向应力δyz) 显示应力都为零（9）选择Camp 31 of stress (ZX方向应力δzx) 显示应力都为零4.数据对比: 通过理论分析，并计算出相应理论解与MARK计算结果比较项目（坐标位置）理论值MARK计算结果X方向最大位移S x max（0.05，0，0） 1.29e-8m 1.28193e-8m Y方向最大位移S y max（0，0.05，0） 1.28e-8m 1.28165e-8m 最大位移S max（0.05，0.05，0） 1.76e-8m 1.78826e-8m X方向最大应力δ11max（0，0.005,0）195637Pa 195538Pa Y方向最大应力δ22max（0.005,0,0）188456Pa 194323Pa Z方向最大应力δ33max（圆弧边界上）674566Pa 66481.1Pa XY方向最大应力δ12max（0.005,0.005,0）-105667Pa -98286.3Pa YZ方向最大应力δ23max 0 0ZX方向最大应力δ31max 0 05.结论：（1）通过理论计算值与MARC运行计算值的比较，控制误差在允许围可以发现两者数据能基本上吻合（2）小孔口的应力集中现象有以下特征：集中性—孔口附近应力>>远处的应力，孔口附近应力>>无孔时的应力。

局部性—应力集中区域很小，约在距孔边1.5倍孔径（D）围。

曲率半径愈小，应力愈大。

（3）以数据分析可知，模型四周受均布力时最大位移发生在有尺寸剧变的位置——方形板四个直角边界，在此处强度受削弱严重，变形最大。

同时由模型单边受力位移分析与计算可知，小圆孔的存在也会引起较无孔时强度的削弱，受力时变形位移也增大。

6.参考文献：（1）王润富、国荣主编《弹性力学及有限单元法》高等教育（2）梁清香等编著《有限元与MARC实现》第2版机械工业（3）徐芝纶主编《弹性力学简明教程》第2版高等教育（4）晓东、波主编《平板中心圆孔边应力集中的有限元分析》。