高考真题第十五篇计数原理

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计数原理_2012~2018高考真题

计数原理高考真题汇总2017~2018年一. 排列与组合1. (2018·新课标2·理)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果, 哥德巴赫猜想是 “每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”, 如30=7+23, 在不超过30的素数中, 随机选取两个不同的数, 其和等于30的概率是( ) A.121 B. 141 C. 151 D. 181 [答案与解析].符合题意的素数有: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29共10个, 故不同的取法有210C =45种其中和为30的组合有: {7, 23}, {11, 19}, {13, 17}三种, 故P=453=151, 选C. 2. (2018·上海9)有编号互不相同的五个砝码，共中5克， 3克， 1克砝码各一个， 2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是_____（结果用最简分数表示） [答案与解析].砝码有5个, 故不同的取法有35C =10种, 总质量为9克的仅{9, 3, 1}, {9, 2, 2}两种, 故P=102=51, 3. (2018·浙江)从1, 3, 5, 7, 9中任取2个数字, 从0, 2, 4, 6中任取2个数字, 一共可以组成____个没有重复数字的四位数.(用数学作答)[答案与解析].先从两组中各任取2个数作全排列, 减去0为首位的情况.即331325442425A C C A C C -=1260个4. (2018·新课标1·理) 从2位女生, 4位男生中选3人参加科技比赛, 且至少有1位女生入选, 则不同的选法共有______种. (用数字填写答案)[答案与解析].方法一: 先从两女生中选出1人, 余下2个名额在4男1女中任意选取.故2512C C =20, 但这里包括了2名女生入选的情况, 若2名女生入选再乘12C 就重复了, 所以, 即不同的选法共有20–1422C C =16.方法二: 在六人中任取三人, 减去作是男生的情况 3436C C -=16 方法三: 分女生有1人, 2人入选两种情况讨论2412C C +1422C C =165.（2017•新课标Ⅱ,6）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A.12种B.18种C.24种D.36种 [答案与解析].D 4项工作分成3组，可得：=6，安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，可得：6×=36种．故选D ．6.（2017·天津,14）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．（用数字作答） [答案与解析].1 080 根据题意，分2种情况讨论：①、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一共四位数即可，有A 54=120种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数； ②、四位数中只有一个偶数数字，在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有C 53•C 41=40种取法，将取出的4个数字全排列，有A 44=24种顺序，则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数；则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个；故答案为：1080．7.（2017•浙江,16）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有____种不同的选法．（用数字作答) [答案与解析]. 660第一类，先选1女3男，有C 63C 21=40种，这4人选2人作为队长和副队有A 42=12种，故有40×12=480种，第二类，先选2女2男，有C 62C 22=15种，这4人选2人作为队长和副队有A 42=12种，故有15×12=180种，根据分类计数原理共有480+180=660种，故答案为：660二. 二项式定理1. (2018·全国3·理)522⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中x 4的系数为( )A. 10B. 20C. 40D. 80[答案与解析].T r+1=r r r r x x C --2)5(25, 由10–2r –r=4, 解得r=2, 于是所求系数为2252⨯C =40, 故选C.2. (2018·天津·理10)在521⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中x 2的系数为_______[答案与解析]. T r+1=2552r rrrxxC ---,由25r r --=2, 解得r=2, 于是所求系数为2252-⨯C =25 3 (2018·上海3)在(1+x )7的二项展开式中, x 2项的系数为________ (结果用数值表示)[答案与解析].4. (2018·浙江)二项式8321⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式的常数项是______ .[答案与解析].5.（2017•新课标Ⅰ,6）（1+）（1+x ）6展开式中x 2的系数为（）A.15B.20C.30D.35[答案与解析].C （2x ﹣y ）5的展开式的通项公式： T r+1=（2x ）5﹣r （﹣y ）r =25﹣r （﹣1）rx 5﹣r y r ．令5﹣r=2，r=3，解得r=3．令5﹣r=3，r=2，解得r=2． ∴（x+y ）（2x ﹣y ）5的展开式中的x 3y 3系数=+23×=40．故选C ．6.（2017•新课标Ⅲ,4）（x+y ）（2x ﹣y ）5的展开式中的x 3y 3系数为（） A.﹣80 B.﹣40 C.40 D.80[答案与解析].C （1+ ）（1+x）6展开式中：若（1+ ）=（1+x﹣2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：若（1+ ）提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：由（1+x）6通项公式可得．可知r=2时，可得展开式中x2的系数为．可知r=4时，可得展开式中x2的系数为．（1+ ）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15=30．故选C．7.（2017•浙江,13）已知多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，则a4=________，a5=________．[答案与解析].16；4 多项式（x+1）3（x+2）2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，（x+1）3中，x的系数是：3，常数是1；（x+2）2中x的系数是4，常数是4，a4=3×4+1×4=16；a5=1×4=4．故答案为：16；4．8.（2017•山东,11）已知（1+3x）n的展开式中含有x2的系数是54，则n=________．[答案与解析]. （1+3x）n的展开式中通项公式：T r+1= （3x）r=3r x r．∵含有x2的系数是54，∴r=2．∴=54，可得=6，∴=6，n∈N*．解得n=4．故答案为：4．2015~2016年一. 排列与组合1.(2016·全国Ⅱ，5)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12D.9[答案与解析].B [从E点到F点的最短路径有6种，从F点到G点的最短路径有3种，所以从E 点到G点的最短路径为6×3＝18种，故选B.]2.(2016·全国Ⅲ，12)定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数.若m＝4，则不同的“规范01数列”共有() A.18个 B.16个 C.14个 D.12个[答案与解析].C [第一位为0，最后一位为1，中间3个0，3个1，三个1在一起时为000111，001110；只有2个1相邻时，共A24种，其中110100；110010；110001，101100不符合题意，三个1都不在一起时有C34种，共2＋8＋4＝14.]3.(2016·四川，4)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A.24B.48C.60D.72[答案与解析].D [由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1，3，5；分为两步：先从1，3，5三个数中选一个作为个位数有C13，再将剩下的4个数字排列得到A44，则满足条件的五位数有C13·A44＝72.选D.]4.(2016·北京，8)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多[答案与解析].B [取两个球往盒子中放有4种情况：①红＋红，则乙盒中红球数加1个；②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1个；③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1个；④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1个；因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多.③和④的情况随机，③和④对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响，①和②出现的次数是一样的，所以对B选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样.综上选B.]5.(2015·四川，6)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( ) A.144个 B.120个 C.96个 D.72个[答案与解析].B [由题意,首位数字只能是4,5,若万位是5,则有3×A 34＝72个；若万位是4，则有2×A 34个＝48个，故40 000大的偶数共有72＋48＝120个.选B.]6.(2015·广东，12)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言(用数字作答).[答案与解析].1 560 [依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A 240＝40×39＝1 560条毕业留言.]二. 二项式定理1.(2016·四川，2)设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A.-15x 4 B.15x 4 C.-20i x 4 D.20i x 4[答案与解析]. A [由题可知，含x 4的项为C 26x 4i 2＝－15x 4.选A.]2.(2015·新课标全国Ⅰ，10)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A.10 B.20 C.30 D.60[答案与解析].C [T k ＋1＝C k 5(x 2＋x )5－k y k ，∴k ＝2.∴C 25(x 2＋x )3y 2的第r ＋1项为C 25C r 3x 2(3－r )x r y 2，∴2(3－r )＋r ＝5，解得r ＝1，∴x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.]3.(2015·湖南，6)已知⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a ＝( )A. 3B.－ 3C.6D.－6[答案与解析].D [⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式通项T r ＋1＝C r 5x 5－r 2(－1)r a r ·x －r 2＝(－1)r a r C r 5x 52－r ，令52－r ＝32，则r ＝1，∴T 2＝－a C 15x 32，∴－a C 15＝30，∴a ＝－6，故选D.]4.(2015·陕西，4)二项式(x ＋1)n (n ∈N ＋)的展开式中x 2的系数为15，则n ＝( ) A.4 B.5 C.6 D.7[答案与解析].C [由题意易得：C n －2n ＝15，C n －2n ＝C 2n ＝15，即n （n －1）2＝15，解得n ＝6.]5.(2016·全国Ⅰ，14)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是______________(用数字填写答案).[答案与解析].10 [(2x ＋x )5展开式的通项公式T k ＋1＝C k 5(2x )5－k (x )k＝C k 525－k x 5－k2，k ∈{0,1,2,3,4,5}，令5－k 2＝3解得k ＝4，得T 5＝C 4525－4x 5－42＝10x 3，∴x 3的系数是10.] 6.(2016·北京，10)在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________.[答案与解析]. 60 [展开式的通项T r ＋1＝C r 6·16－r ·(－2x )r ＝C r 6(－2x )r .令r ＝2得T 3＝C 26·4x 2＝60x 2，即x 2的系数为60.]7.(2015·北京，9)在(2＋x )5的展开式中，x 3的系数为________(用数字作答).[答案与解析].40 [展开式通项为：T r ＋1＝C r 525－r x r ，∴当r ＝3时，系数为C 35·25－3＝40.]8.(2015·天津，12)在⎝⎛⎭⎫x －14x 6的展开式中，x 2的系数为________. [答案与解析].1516 [⎝⎛⎭⎫x －14x 6的展开式的通项T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫－14x r ＝C r 6⎝⎛⎭⎫－14r x 6－2r ；当6－2r ＝2时，r ＝2，所以x 2的系数为C 26⎝⎛⎭⎫－142＝1516.]2014年一. 计数原理1.(2014·大纲全国，5)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A.60种B.70种C.75种D.150种[答案与解析].C[从中选出2名男医生的选法有C26＝15种，从中选出1名女医生的选法有C15＝5种，所以不同的选法共有15×5＝75种，故选C.]2.(2014·辽宁，6)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24[答案与解析].D[3人中每两人之间恰有一个空座位，有A33×2＝12种坐法，3人中某两人之间有两个空座位，有A33×A22＝12种坐法，所以共有12＋12＝24种坐法.]3.(2014·四川，6)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种[答案与解析].B[当最左端排甲时，不同的排法共有A55种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有C14A44种.故不同的排法共有A55＋C14A44＝9×24＝216种.]4 (2014·重庆，9)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168[答案与解析].B[依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为A33A34＝144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为A22A22A33＝24，因此满足题意的排法种数为144－24＝120，选B.]5.(2014·安徽，8)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有()A.24对B.30对C.48对D.60对[答案与解析].C[法一直接法：如图，在上底面中选B1D1，四个侧面中的面对角线都与它成60°，共8对，同样A1C1对应的也有8对，下底面也有16对，这共有32对；左右侧面与前后侧面中共有16对.所以全部共有48对.法二间接法：正方体的12条面对角线中，任意两条垂直、平行或成角为60°，所以成角为60°的共有C212－12－6＝48对.]6.(2014·福建，10)用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球.由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()A.(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5B.(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5C.(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)D.(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)[答案与解析].A[分三步：第一步,5个无区别的红球可能取出0个,1个,…,5个,则有(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)种不同的取法；第二步，5个无区别的蓝球都取出或都不取出，则有(1＋b5)种不同取法；第三步，5个有区别的黑球看作5个不同色，从5个不同色的黑球中任取0个，1个，…，5个，有(1＋c)5种不同的取法，所以所求的取法种数为(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5，故选A.]7.(2014·广东，8)设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|x i∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为()A.60B.90C.120D.130[答案与解析].D[易知|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝1或2或3，下面分三种情况讨论.其一：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝1，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取一个让其等于1或－1，其余等于0，于是有C15C12＝10种情况；其二：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝2，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取两个让其都等于1或都等于－1或一个等于1、另一个等于－1，其余等于0，于是有2C25＋C25C12＝40种情况；其三：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝3，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取三个让其都等于1或都等于－1或两个等于1、另一个等于－1或两个等于－1、另一个等于1，其余等于0，于是有2C35＋C35C13＋C35C23＝80种情况.由于10＋40＋80＝130，故答案为D.]8.(2014·北京，13)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种.[答案与解析].36[将A、B捆绑在一起，有A22种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A44种摆法，共有A22A44＝48种摆法，而A、B、C 3件在一起，且A、B相邻，A、C相邻有CAB、BAC两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有2×A33＝12种摆法，故A、B相邻，A、C不相邻的摆法有48－12＝36种.]9 (2014·浙江，14)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种(用数字作答).[答案与解析].60 [分情况：一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人，种数为C 23C 11A 24＝36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A 34＝24，则获奖情况总共有36＋24＝60(种).]二. 二项式定理1.(2014·湖北，2)若二项式⎝⎛⎭⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝( ) A.2 B.54 C.1 D.24[答案与解析].C [T r ＋1＝C r 7·(2x )7－r ·⎝⎛⎭⎫a x r＝27－r C r 7a r ·1x2r －7.令2r －7＝3，则r ＝5.由22·C 57a 5＝84得a ＝1，故选C.]2.(2014·浙江，5)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( )A.45B.60C.120D.210[答案与解析].C [在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n 4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.从而f (3，0)＝C 36＝20，f (2，1)＝C 26·C 14＝60,f (1，2)＝C 16·C 24＝36,f (0，3)＝C 34＝4，故选C.]3.(2014·四川，2)在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A.30 B.20 C.15 D.10[答案与解析].C [只需求(1＋x )6的展开式中含x 2项的系数即可,而含x 2项的系数为C 26＝15，故选C.]4.(2014·湖南，4)⎝⎛⎭⎫12x －2y 5的展开式中x 2y 3的系数是( ) A.－20 B.－5 C.5 D.20[答案与解析].A [展开式的通项为T k ＋1＝C k 5(12x )5－k ·(－2y )k ＝(－1)k ·22k －5C k 5x 5－k ·y k ，令5－k ＝2，得k ＝3.则展开式中x 2y 3的系数为(－1)3·22×3－5C 35＝－20，故选A.]5.(2014·新课标全国Ⅰ，13)(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________(用数字填写答案).[答案与解析].－20 [由二项展开式公式可知，含x 2y 7的项可表示为x ·C 78xy 7－y ·C 68x 2y 6，故(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为C 78－C 68＝C 18－C 28＝8－28＝－20.]6.(2014·新课标全国Ⅱ，13)(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝________(用数字作答). [答案与解析].12 [T r ＋1＝C r 10x 10－r a r ,令10－r ＝7,得r ＝3,∴C 310a 3＝15，即10×9×83×2×1a 3＝15,∴a 3＝18，∴a ＝12.]7.(2014·安徽，13)设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝⎛⎭⎫1＋xa n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n .若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图所示，则a ＝________. [答案与解析].3 [根据题意知a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4，结合二项式定理得⎩⎨⎧C 1n ·1a＝3，C 2n·1a 2＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧n －1＝83a ，n ＝3a ，解得a ＝3.]8.(2014·山东，14)若⎝⎛⎭⎫ax 2＋bx 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________. [答案与解析].2[T r ＋1＝C r 6(ax 2)6－r ⎝⎛⎭⎫b x r＝C r 6a 6－r b r x 12－3r ，令12－3r ＝3，则r ＝3. ∴C 36a 3b 3＝20，即ab ＝1.∴a 2＋b 2≥2ab ＝2，即a 2＋b 2的最小值为2.]9.(2014·大纲全国，13)⎝⎛⎭⎫ x y －yx 8的展开式中x 2y 2的系数为________(用数字作答). [答案与解析].70[T r ＋1＝C r 8·⎝⎛⎭⎫x y 8－r ·⎝⎛⎭⎫－y x r＝(－1)r ·C r 8·x 16－3r 2·y 3r －82，令⎩⎨⎧16－3r2＝2，3r －82＝2，得r ＝4.所以展开式中x 2y 2的系数为(－1)4·C 48＝70.]2013年一. 计数原理1. (2013·四川8). 从1, 3, 5, 7, 9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ,b ，共可得到lg lg a b -的不同值的个数是（）（A ）9 （B ）10 （C ）18 （D ）20答案C解析：lg lg a b -=lg ,=有4×5−2 =18种，2为情况所以选C2. (2013·福建5).满足a , b ∈{–1, 0, 1, 2}，且关于的方程ax 2+2x +b =0有实数解的有序数对的个数为（）A. 14B. 13C. 12D. 10[答案与解析]. B 方程ax 2+2x +b =0有实数解. 分类讨论.① 当a =0时, 2x +b =0有实数解, 此时b 可以取4个值, 故有4个有序数对. ② 当a ≠0时, 方程ax 2+2x +b =0有实数解. 则△=4–4ab ≥0, 即ab ≤1, 此时(2. 1), (1, 2), (2, 2)三个不符合题意, 故有3×4–3=9个综上, 有9+4=13个.3. (2013·山东10). 用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 (A) 243 (B) 252 (C) 261 (D) 279[答案与解析]. B 有重复数字的三位数有9×10×10=900. 没有重复数字的三位数有2919A C =648. 所以有重复数字的三位数的个数为900–648=252.4. (2013·新课标II 14）). 从n 个正整数1, 2, 3, 4, 5, ... , n 中任意取出两个不同的数，若其和为5的概率是141，则n ＝_________。

高考计数原理

高考：计数原理(1)排列与组合的主要公式①排列数公式：(1)(1)()()mn n A n n n m m n n m ==--+≤-…!!，(1)(2)21n n A n n n n ==--…!．②组合数公式：()mn n C m n m =-!!!(1)(1)()(1)21n n n m m n m m --+=≤-……．③组合数性质：(i )()m n m n n C C m n -=≤，11m m m n n n C C C -+=+； (ii )0122n nn n n n C C C C ++++=…；(iii )02413512n n n n n n n C C C C C C -+++=++++=……．常见的解题策略有以下几种： ①特殊元素优先安排的策略； ②合理分类与准确分步的策略； ③排列、组合混合问题先选后排的策略； ④正难则反、等价转化的策略； ⑤相邻问题捆绑处理的策略； ⑥不相邻问题插空处理的策略； ⑦定序问题除法处理的策略； ⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略； ⑩构造模型的策略．主要的计数思想有分类与分步、模型处理思想、优限法思想、正难则反思想、先选后排思想等；常见问题的类型基本上是组合与排列问题、至多与至少问题、相邻与不相邻问题等.要点二：二项式定理关于二项式定理的知识 (1)二项式定理011()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++……，其中各二项式系数就是组合数r n C ，展开式共有(n+1)项，第r+1项是1r n r rr n T C a b -+=．(2)二项展开式的通项公式二项展开式的第r+1项1r n r rr n T C a b -+=(r ＝0，1，…，n )叫做二项展开式的通项公式．(3)二项式系数的性质①对称性：r n rn n C C -=(r ＝0，1，2，…，n )．②递推性：11r r rn n n C C C -+=+③增减性与最大值：逐渐增大,随后又逐渐减小若n 是偶数，则中间项12n ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第项的二项式系数最大，其值为2nn C ．若n 是奇数，则中间两项1322n n ⎛++⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭第项和第项的二项式系数相等，并且最大，其值为1122n n nnCC-+=．④所有二项式系数和等于2n，即012n n n n n C C C +++=…．奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即021312n n n n n C C C C -++=++=……．类型一：两个计数原理1. 某学习小组有8名同学，从男生中选2人，女生中选1人参加数学、物理、化学三种竞赛，要求每科均有1人参加，共有180种不同的选法，那么该小组中男、女同学各有多少人？【解析】设男生有x 人，则女生有(8-x )人，依题意，得：21383180x x C C A -⋅⋅=(1)(8)61802x x x -∴-⋅=，即3298600x x x -++=，解得123562x x x ===-，，（舍），故男生有5人，女生有3人；或男生有6人，女生有2人.2.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有 ( )A ．504种B ．960种C ．1008种D ．1108种【解析】分两类：甲、乙排1、2号或6、7号，共有2×214244A A A 种方法；甲、乙排中间，丙排7号或不排7号，共有24113243334()A A A A A +种方法；故共有1008种不同的排法．3.同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有（）A．6种B．9种C．11种D．23种【解析】解法1：设四人A，B，C，D写的贺年卡分别是a，b，c，d，当A拿贺年卡b，则B可拿a，c，d中的任何一个，即B拿a，C拿d，D拿c或B拿c，D拿a，C拿d或B拿d，C拿a，D拿c，所以A 拿b时有三种不同分配方法．同理，A拿c，d时也各有三种不同的分配方式．由分类计数原理，四张贺年卡共有3＋3＋3=9种分配方式．解法2：让四人A，B，C，D依次拿一张别人送出的贺年卡．如果A先拿有3种，此时写被A拿走的那张贺年卡的人也有3种不同的取法．接下来，剩下的两个人都各只有一种取法．由分步计数原理，四张贺年卡不同的分配方式有3×3×1×1=9种．∴应选B．4.现有6名同学同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )A．56B．65C．5654322⨯⨯⨯⨯⨯D．6×5×4×3×2【解析】因为每名同学有5个讲座可选，6位同学共有5×5×5×5×5×5＝56种选法．5.用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A．324 B．328 C．360 D．648【解析】利用分类计数原理，共分两类：(1)0作个位，共2972A=个偶数；(2)0不作个位，共111488256A A A=个偶数，共计72+256＝328个偶数，故选B．类型二：排列与组合及分类、分布原理的应用6. 下表是高考第一批录取的一份志愿表. 如果有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满意的选择. 若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有多少种不同的填表方法？【解析】填表过程可分两步.第一步，确定填报学校及其顺序，则在4所学校中选出3所并加排列，共有34A种不同的排法；第二步，从每所院校的3个专业中选出2个专业并确定其顺序，其中又包含三小步，因此总的排列数有222333A A A ⋅⋅.综合以上两步，由分步计数原理得不同的填表方法有：322243335184A A A A ⋅⋅⋅=种.7.某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有_______种．(用数字作答)【解析】两类：第一棒是丙有11412448C C A =种传递方案，第一棒是甲、乙中一人有11421448C C A =种传递方案．因此共有方案48+48＝96种．8.现安排甲、乙、丙、丁、戌5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是( ) A ．152 B ．126 C ．90 D ．54【解析】分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有233318C A ⨯=；若有1人从事司机工作，则方案有123343108C C A ⨯⨯=种，所以共有18+108＝126种，故B 正确．9. 8个人分两排坐，每排4人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排方法？【解析】解法一：由题意可分为“乙、丙坐前排，甲坐在前排的8人做法”和“乙、丙坐后，甲坐在前排的8人做法”两类情况. 在每类情况下，划分“乙、丙坐下”，“甲坐下”，“其他五人坐下”三个步骤，因此共有不同的排法有：2152154254458640A A A A A A ⋅⋅+⋅⋅=种.解法二：采取“总方法数减去不合题意的方法总数”. 把“甲坐在第一排的8人坐法数”看成“总方法数”，这个数目是1747A A ⋅. 在这种前提下，不合题意的方法是“甲坐第一排，且乙、丙坐两排的8人坐法”，这个数目是1111542345A C A A A ⋅⋅⋅⋅. 其中第一个因数14A 表示甲坐在第一排的方法数，12C 表示从乙、丙中任选一人的方法数，13A 表示把选出的这个人安排在第一排的方法数，下一个14A 则表示乙、丙中未安排的那个人坐在第二排的方法数，55A 就是其他五人的坐法数，于是总的方法数为：171111547423458640A A A C A A A ⋅-⋅⋅⋅⋅=种.10.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 ( ) A ．18 B ．24 C ．30 D ．36【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分到一个班的种数是24C ，顺序有33A 种，而甲、乙被分到同一个班有正种，所以种数是23343330C A A -=．11.从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( )A ．70种B ．80种C ．100种D ．140种【解析】直接法：一男两女，有12545630C C =⨯=种，两男一女，有215410440C C =⨯=种，共计70种．间接法：任意选取3984C =种，其中都是男医生有3510C =种，都是女医生有344C =种，于是符合条件的有84－10－4＝70种．类型三：求二项展开式特定项和有关二项展开式的系数问题12. 已知223(3)nx x +的展开式各项系数和比它的二项式系数和大992. （1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项.【思路点拨】先由条件列方程求出n. （1）需考虑二项式系数的性质；（2）需列不等式确定r. 【解析】令x=1得展开式的各项系数之和为2(13)2n n+=，而展开式的二项式系数的和为0122n n n n n n C C C C ++++=…，故有222992n n -=，所以n=5.（1）因n=5，故展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项. 故223226335()(3)90T C x x x =⋅=，22232233345()(3)270T C x x x =⋅=. （2）设展开式中第r+1项的系数最大，21045233155()(3)3r r rrr rr T C x x C x+-+=⋅=⋅⋅，故有1155115533,33.r rr r r r r r C C C C --++⎧⋅≥⋅⎪⎨⋅≥⋅⎪⎩即31,613.51r r r r ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩ 解得7922r ≤≤. ,4r N r ∈∴=，即展开式中第5项的系数最大.22641243355()(3)405T C x x x =⋅=.13.6⎛⎫展开式中，3x 系数等于________．【解析】42435615T C x ⎛⎫⎛== ⎝，所以3x 系数等于15． 14.在20()x 的展开式中，系数为有理数的项共有_________项．【解析】二项展开式的通项公式为20120)r r r r T C x -+==2020)r r r r C x y -(0≤r ≤20)，要使系数为有理数，则r 必为4的倍数，所以r 可为0、4、8、12、16、20共6种，故系数为有理数的项共有6项．15.（2017 南昌模拟）若()43218x ax ⎛- ⎝的展开式中含3x 项的系数是16，则a = . 【解析】42ax ⎛ ⎝的展开式的通项公式为：()4214rx r r T C ax -+⎛= ⎝=()584241,0,1,2,3,4r rrrC axr ---=．令5832r -=，得r =2；令5822r -=-，得4r = ． ∴依题设，有224816C a -= ，解得2a =±．故答案为：±2．。

高考计数原理-打印版

高中数学计数原理(解析版)

计数原理计数原理包含排列组合与二项式定理，在高考数学中通常是以填空题的形式呈现.另外在解答题中与统计概率相结合比较普遍.高考中通常难度不是很大，主要考查是排列与组合的先后顺序或者是有条件限制的排列与组合.二项式定理也是高考考查的一个重点，主要考查二项式定理的展开.本专题通过列举排列组合与二项式定理常见的考题类型，总结此些类型题目的解题方法以及易错点，能够让你在高考中遇到计数原理类型的题目能够迎刃而解. 【满分技巧】捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.对于二项式定理的应用，只要会求对应的常数项以及对应的n 项即可，但是应注意是二项式系数还是系数.【考查题型】填空题【限时检测】（建议用时：60分钟）一、单选题1．（2020·上海嘉定区·高三一模）已知0x ≠，*n N ∈，则“2n =”是“1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中存在常数项”的（） A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】A【分析】运用二项式的展开式的通项公式，结合充分性、必要性的定义进行判断即可. 【详解】1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为：211()r n r r r n rr n n T C x C x x --+=⋅⋅=⋅，当2n r =时，存在常数项，此时n 为正偶数，因此当2n =时，一定能推出1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中存在常数项，但是由1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中存在常数项不一定能推出2n =.因此“2n =”是“1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中存在常数项”的充分非必要条件.故选：A2．（2020·上海徐汇区·高三一模）设T 是平面直角坐标系xOy 上以()0,2A 、()1B -、)1C-为顶点的正三角形．考虑以下五种平面上的变换：①绕原点作120︒的逆时针旋转；②绕原点作240︒的逆时针旋转；③关于直线OA 的对称；④关于直线OB 的对称；⑤关于直线OC 的对称．任选三种．．变换(可以相同)共有125种变换方式，若要使得T 变回起始位置(即点A 、B 、C 分别都在原有位置)，共有（）种变换方式？ A ．12 B ．16C ．20D ．24【答案】C【分析】要使得T 变回起始位置，可通过三次旋转变换或者一次旋转变换+两次对称变换结合得到. 【详解】第一类：只用旋转变化时：可以按①或者②旋转3次得到；第二类：使用对称与旋转结合时，不能出现相同的对称变换，()1若第一位选择旋转变化，可选①或者②，则第二位的对称变化可在③、④、⑤中任选一种，前两位确定以后第三位就跟着确定，故方法有：23=6⨯种；()2若旋转在第二位，第一位的对称可在③、④、⑤中任选一种，则第二位旋转也在①或者②中选一种，前两位确定以后第三位就跟着确定，故方法有：23=6⨯种；()3若旋转在第三位，第一位的对称可在③、④、⑤中任选一种，则第二位的对称不能选第一位的，前两位定了以后第三位也跟着确定，故有23=6⨯种. 综上所述：共有6662=20+++种方法. 故选：C.【点睛】排列组合的题目关键是找到分类的标准，做到不重不漏.3．（2020·上海市建平中学高三月考）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若 3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（） A ．144 B ．72 C ．54 D ．36【答案】B【分析】两位女生相邻，将其捆绑在一起，和另一位女生不相邻，采用插空法．【详解】根据题意，把3位女生的两位捆绑在一起看做一个复合元素，和剩下的一位女生，插入到2位男生全排列后形成的3个空中的2个空中，故有22232372A A A =种，故选：B ．【点睛】本题考查排列组合，需熟练掌握捆绑、插空法，属于基础题二、填空题4．（2019·上海高考真题）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有_____种（结果用数值表示）【答案】24【分析】首先安排甲，可知连续2天的情况共有4种，其余的人全排列，相乘得到结果. 【详解】在5天里，连续2天的情况，一共有4种剩下的3人全排列：33A故一共有：33424A ⨯=种【点睛】本题考查基础的排列组合问题，解题的关键在于对排列组合问题中的特殊元素，要优先考虑，然后再考虑普通元素.5．（2019·上海高考真题）在6x⎛+ ⎝的二项展开式中，常数项的值为__________【答案】15【分析】写出二项展开式通项，通过3602r-=得到4r =，从而求得常数项.【详解】二项展开式通项为：366622666rr r r rr r r C x C x x C x----⋅⋅=⋅⋅=⋅ 当3602r-=时，4r = ∴常数项为：4615C =本题正确结果：15【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.6．（2018·上海高考真题）在()71x +的二项展开式中，2x 项的系数为 .（结果用数值表示）．【答案】21.【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x 2的系数．【详解】二项式（1+x ）7展开式的通项公式为 T r+1=7rC •x r ，令r=2，得展开式中x 2的系数为27C =21．故答案为：21．【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.7．（2020·上海闵行区·高三一模）新冠病毒爆发初期，全国支援武汉的活动中，需要从A 医院某科室的6名男医生(含一名主任医师)､4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，要求至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有___________种.(用数字作答) 【答案】90【分析】根据题意，先算出从6名男医生(含一名主任医师)､4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生的选派方案种数，再算出男女主任都没有参加的选派方案种数，两者相减求得结果. 【详解】根据题意，从6名男医生(含一名主任医师)､4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，共有3264206120C C ⋅=⨯=种选派方案，如果所选的男女主任都没有参加，共有215330C C ⨯=种选派方案，所以至少有一名主任医师参加有1203090-=种，故答案为：90.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关组合的综合问题，方法如下：（1）要用好两个计数原理；（2）可以用间接法求解，用总的减去不满足条件的就是要求的；（3）也可以用直接法求解，包括男主任参加女主任不参加、男主任不参加女主任参加和男女主任都参加，相加即可.8．（2020·上海嘉定区·高三一模）甲和乙等5名志愿者参加进博会A B C D 、、、四个不同的岗位服务，每人一个岗位，每个岗位至少1人，且甲和乙不在同一个岗位服务，则共有___________种不同的参加方法(结果用数值表示). 【答案】216【分析】先求出没有条件限制的种数，再求出甲和乙在同一个岗位服务的分配方法，利用间接法，即可得解.【详解】由题意得，有且只有2人分到一组，然后再分到四个不同的岗位，则有2454240C A =种方法，甲和乙在同一个岗位服务的分配方法有4424A =种，所以甲和乙不在同一个岗位服务的方法有24024216-=种，故答案为：216.【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.9．（2020·上海高三一模）在81x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中4x 项的系数为__________．【答案】28【分析】写出二项展开式的通项公式，令x 的指数等于4，求出r 可得结果. 【详解】二项展开式的通项公式为882881()(1)r rr r r r C x C x x---=-，0,1,2,,8r =，令824r -=，得2r，所以二项展开式中4x 项的系数为228(1)28C -=.故答案为：28【点睛】关键点点睛：利用二项展开式的通项公式求解是解题关键.10．（2020·上海长宁区·高三一模）在61()x x+的二项展开式中，2x 项的系数为__________. 【答案】15【分析】写出二项展开式通项公式，由x 的指数为2求得项数，从而得到系数．【详解】由题意6621661rrrr rr T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令622r -=，得2r，所以2x 项的系数为2615C =．故答案为：15．11．（2020·上海崇明区·高三一模）若23(2)na b +的展开式中有一项为412ma b ，则m =__________．【答案】60【分析】根据二项展开式的通项公式，得出23(2)na b +的展开式的第1r +项，求出412a b 的系数，即可得出结果.【详解】因为23(2)na b +展开式的第1r +项为22312r n r n r r r n T C ab --+=，令224312n r r -=⎧⎨=⎩，解得64n r =⎧⎨=⎩，则426260m C ==. 故答案为：60.【点睛】本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.12．（2020·上海大学附属中学高三三模）二项式153x x 展开式中的常数项是______．【答案】5005【分析】写出二项式153x x 展开式的通项，令x 的指数为零，求出参数的值，然后代入通项即可求出该二项式展开式中的常数项.【详解】二项式15展开式的通项为()5155615151kkkk kk C C x--⎛⋅⋅=⋅-⋅ ⎝，令5506k -=，得6k =，因此，该二项式展开式中的常数项为()661515005C ⋅-=. 故答案为：5005.【点睛】本题考查二项式展开式中常数项的求解，一般利用二项展开式通项中x 的指数为零来求解，考查运算求解能力，属于中等题. 三、解答题13．（2020·上海奉贤区·高三二模）两个数列{}n α、{}n β，当{}n α和{}n β同时在0n n =时取得相同的最大值，我们称{}n α与{}n β具有性质P ，其中*n ∈N .（1）设2022(1)x +的二项展开式中k x 的系数为k a （0,1,2,3,,2022k =⋅⋅⋅），k ∈N ，记01a c =，12a c =，⋅⋅⋅，依次下去，20222023a c =，组成的数列是{}n c ；同样地，20221()x x-的二项展开式中k x 的系数为kb （0,1,2,3,,2022k =⋅⋅⋅），k ∈N ，记01b d =，12b d =，⋅⋅⋅，依次下去，20222023b d =，组成的数列是{}n d ；判别{}nc 与{}nd 是否具有性质P ，请说明理由；（2）数列{}t dn -的前n 项和是n S ，数列{19823}n -的前n 项和是n T ，若{}n S 与{}n T 具有性质P ，*,N d t ∈，则这样的数列{}t dn -一共有多少个？请说明理由；（3）两个有限项数列{}n a 与{}n b 满足11()n n n n a a b b λ++-=-，*n ∈N ，且110a b ==，是否存在实数λ，使得{}n a 与{}n b 具有性质P ，请说明理由.【分析】（1）2022(1)x +展开式中系数最大项为101110112022C x ，然后再判断20221()x x-展开式中1011x 的系数是否是最大值，即可得结果；（2）令19823nn b =-，则3(13)331982198231322n n n T n n -=-=+-⋅-，结合11n n nn T T T T -+≥⎧⎨≥⎩，求得6n =，求得n T 的最大值，由{}n S 与{}n T 具有性质P ，可得6n =时，max ()10800n S =，由n a t dn =-，结合60,70t d t d ->-<求得t 的范围，再由n a t dn =-是等差数列，可得6(6)6=108002t d t d S -+-⨯=，然后联立*,27360067t d N t d d t d ⎧∈⎪-=⎨⎪<<⎩，解出数列{}t dn -的个数；（3）由11()n n n n a a b b λ++-=-进行迭代，可得n n a b λ=，因为{}n a 与{}n b 具有性质P ，所以00n n a b =，从而可1λ= 【详解】解：（1）2022(1)x +展开式的通项为12022r r r T C x +=，则数列{}n c 的通项为-12022n n c C = 故数列{}n c 中的最大值为101110122022c C =20221()x x -展开式的通项为'2022202221202220221(1)rr r r rr r T C x C x x --+⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，而当202221011r -=时，得10112r N =∉，所以{}n c 与{}n d 不具有性质P（2）令19823nn b =-，则3(13)331982198231322n n n T n n -=-=+-⋅-，由11n n n n T T T T -+≥⎧⎨≥⎩，即113333198231982(1)322223333198231982(1)32222n n n n n n n n -+⎧+-⋅≥-+-⋅⎪⎪⎨⎪+-⋅≥++-⋅⎪⎩，解得13198231982n n +⎧≤⎨≥⎩，因为*2,n n N ≥∈，673729,32187== 所以当6n =时，6max 33()19826+31080022n T =⨯-⋅=, 因为 {}n S 与{}n T 具有性质P ，所以6n =时，max ()10800n S =，因为n a t dn =-，所以60,70t d t d ->-<，因为n a t dn =-，所以6(6)6=108002t d t d S -+-⨯=，由*,27360067t d N t d d t d⎧∈⎪-=⎨⎪<<⎩，解得360636134313,,,516518718t t t d d d ===⎧⎧⎧⋅⋅⋅⎨⎨⎨===⎩⎩⎩共有102个数列；（3）因为11()n n n n a a b b λ++-=-，*n ∈N 当2n ≥，*n ∈N 时，112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋅⋅⋅+-+ 112211()()()n n n n b b b b b b b λλλ---=-+-+⋅⋅⋅+-+所以n n a b λ=当1n =时，110a b ==符合上式所以n n a b λ=，因为{}n a 与{}n b 是有限项数列，所以一定存在最大项，设00max max (),()n n n n a a b b ==，因为{}n a 与{}n b 具有性质P ，所以00n n a b =，1λ=显然成立，假设1λ>，则显然00max max (),()n n n n a a b b ==，000n n n a b b λ=>矛盾同理，1λ<也矛盾，所以1λ=【点睛】此题考查了二项式定理、数列求和、不等式的性质等性质，综合性强，考查了运算能力，属于难题.14．（2019·上海浦东新区·高三二模）已知各项均不为零的数列{}n a 满足11,a =前n 项的和为n S ，且22212,,2n n nS S n n n a *--=∈≥N ，数列{}n b 满足1,n n n b a a n +=+∈N*. （1）求23,a a ；（2）求2019S ；（3）已知等式11k k n n kC n C --=⋅对0,,k n k n ≤≤∈N*成立. 请用该结论求有穷数列{},1,2,,,k k n b C k n =的前n 项和n T .【答案】（1）见解析；（2）4078379；（3）()2222nn n ++⋅-【分析】（1）由222*122n n n S S n n N n a ，，--=∈≥，可得212n n S S n -+=，结合a 1＝1，依次求得a 2，a 3的值；（2）由212n n S S n -+=（n ≥2），得212(1)n n S S n ++=+，两式作差可得a n +a n +1＝4n +2，结合等差数列的前n 项和求S 2019；（3）由b k ＝a k +a k +1＝4k +2，得123123nn n n n n n T b C b C b C b C =++++，然后结合已知组合数公式的性质求解有穷数列{}12kk n b C k n =，，，，，的前n 项和T n ．【详解】（1）因为()22221122,2n n n n n S S n a nS S n ---==-≥，又数列{}n a 各项均不为零，所以212n n S S n -+=.当2n =时，211218S S a a a +=++=，所以26a =. 当3n =时，()32123218S S a a a +=++=，所以34a =.（2）由（1）知()211212,242,221,1n n n n n n S S n n a a n n S S n n -++⎧+=≥⎪⇒+=+≥⎨+=+≥⎪⎩. ()()()()2019123452018201914246201821009S a a a a a a a =+++++++=++++++⨯4078379=.（3）由（2）知7,142,2n n b n n =⎧=⎨+≥⎩.1212nn n n n n T b C b C b C =+++()()1232374232n nn n n n n n n C n C C nC C C C =++++++++()()121012301121742n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C ----=++++++++++--()()17421221n n n n n -=+-+--()2222n n n =++⋅-.【点睛】本题考查数列递推式，考查了数列的分组求和与等差数列前n 项和，考查二项式系数的性质，是难题．15．（2020·上海青浦区·复旦附中青浦分校高三月考）等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中， 112a b ==，222a b b ==+，n S 是{}n b 前n 项和.(1)若 lim 3n n S b →∞=-，求实数b 的值； (2)是否存在正整数b ，使得数列{}n b 的所有项都在数列{}n a 中?若存在，求出所有的b ，若不存在，说明理由；(3)是否存在正实数b ，使得数列{}n b 中至少有三项在数列{}n a 中，但{}n b 中的项不都在数列{}n a 中?若存在，求出一个可能的b 的值，若不存在，请说明理由.【答案】(1) 1b =-.(2) 所有的符合题意的*2()b k k N =∈.(3) 2b =.【解析】试题分析：(1)数列{}n b 是等比数列，其前n 和的极限存在，因此有公式q 满足1q <，且极限为11b q -；(2)由于b 是正整数，因此可对b 按奇偶来分类讨论，因此当b 为奇数时，等比数列{}n b 的公比不是整数，是分数，从而数列{}n b 从第三项开始每一项都不是整数，都不在数列{}n a 中，而当b 为偶数时，数列{}n b 的所有项都在{}n a 中，设2b k =，则2212k q k +==+，12(1)n n b k -=⋅+展开有0112112(n n n n n b C k C k ----=++ 2111)n n n n C k C ----+022122()n n n n k C k C ---=+++，这里用到了二项式定理，22(1)ma k m =+-，结论为真；(3)存在时只要找一个b ，首先b 不能为整数，下面我们只要写两数列的通项公式，让m k b a =(,3)m k ≥，取特殊值求出b ，如取4,3m k ==，可得2b =，此时4b 在数列{}n a 中，由于2b =是无理数，会发现数列{}n a 除第一项以外都是无理数，而38b =是整数，不在数列{}n a 中，命题得证，(如取其它的,m k 又可得到另外的b 值)．试题解析：（1）对等比数列{}n b ，公比2122b b q +==+．因为01q <<，所以40b -<<．２分解方程231(1)2b b =--+，４分得4b =或1-．因为40b -<<，所以1b =-．６分（2）当b 取偶数(2,*)b k k N =∈时，{}n b 中所有项都是{}n a 中的项． 8分证: 由题意：均在数列中，当时，110112*********()2(1)2()2n n n n n n n n n n n b b k C k C k C k C ----------+==+=++++ 021*******(1)1n n n n n n k C k C k C ------⎡⎤=+++++-⎣⎦说明{}n b 的第n 项是{}n a 中的第021321111n n n n n n C k C k C ------++++项． 10分当b 取奇数(21,*)b k k N =+∈时，因为n b 不是整数，所以数列的所有项都不在数列中． 12分综上，所有的符合题意的．（3）由题意，因为12,b b 在{}n a 中，所以{}n b 中至少存在一项()3m b m ≥在{}n a 中，另一项()t b t m ≠不在{}n a 中． 14分由m k b a =得12(1)2(1)2m bk b -+=+-，取4m =得()321212b k b ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，即()()2242b k +=-. 取k =4，得222b =（舍负值）．此时43b a =． 16分当222b =时，38b =，()()21222n a n =+-，对任意n ，3n a b ≠. 18分综上，取222b =．(此问答案不唯一，请参照给分)考点：(1)数列的极限，无穷等比数列的和；(2)等差数列与等比数列的通项公式；(3)数列的项的综合问题．。

【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编计数原理(精解精析)

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编计数原理（精解精析）一，选择题1．(2021年高考全国乙卷理科)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑，冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同地分配方案共有( )A ．60种B ．120种C ．240种D ．480种【结果】C思路：依据题意,有一个项目中分配2名志愿者,其余各项目中分配1名志愿者,可以先从5名志愿者中任选2人,组成一个小组,有25C 种选法。

然后连同其余三人,看成四个圆素,四个项目看成四个不同地位置,四个不同地圆素在四个不同地位置地排列方式数有4！种,依据乘法原理,完成这件事,共有254!240C ⨯=种不同地分配方案,故选：C ．【点睛】本题考查排列组合地应用问题,属基础题,关键是首先确定人数地分配情况,然后利用先选后排思想求解．2．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)25()()x x y xy ++地展开式中x 3y 3地系数为( )A ．5B ．10C ．15D ．20【结果】C【思路】5()x y +展开式地通项公式为515r rr r T C xy -+=（r N ∈且5r ≤）所以2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭地各项与5()x y +展开式地通项地乘积可表示为：56155r rrr rrr xT xC xy C xy --+==和22542155r r rr r r r T C x y xC y y y x x --++==在615rrr r xT C xy -+=中,令3r =,可得：33345xT C x y =,该项中33x y 地系数为10,在42152r r r r T C x x y y -++=中,令1r =,可得：521332T C y x xy =,该项中33x y 地系数为5所以33x y 地系数为10515+=故选：C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式地通项公式,还考查了赋值法，转化能力及思路能力,属于中档题．3．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)24121x x ++()()地展开式中3x 地系数为( )A ．12B ．16C ．20D ．24【结果】A【思路】因为2442412112=1x x x x x +++++()()()(),所以3x 地系数为314424812C C +=+=,故选A ．【点评】本题主要考查二项式定理,利用展开式通项公式求展开式指定项地系数,是常规考法。

2015-2019年高考真题---计数原理和概率统计

2015-2019年高考真题---计数原理和概率统计一、单选题1．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A．24 B．18 C．12 D．92．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油3．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为A．0.6B．0.5C．0.4D．0.34．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是A．13B．12C．23D．345．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，()2295.44%P μσξμσ-<<+=．）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%6．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（）A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 7．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A ．45B ．35C ．25D ．158．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（） A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元9．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 A ．13B ．12C ．23D ．5610．二项式()()1nx n N *+∈的展开式中2x项的系数为15，则n =（） A ．4B ．5C ．6D ．711．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（） A ．134石B ．169石C ．338石D ．1365石12．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为A ．10B ．20C ．40D ．8013．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．8π C ．12D ．4π 14．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p = A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.315．(x 2+x +y )5的展开式中，x 5y 2的系数为 A ．10B ．20C ．30D ．6016．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有 A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个17．已知(1)n x 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）． A ．122B ．112C ．102D ．9218．从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 A ．518B ．49C ．59D ．7919．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.720．下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为A ．5，5B ．3，5C ．3，7D ．5，721．（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12B ．16C ．20D ．2422．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差D ．极差23．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（） A ．110B ．35C ．310D ．2524．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（）A ．16B ．14C ．13D ．1225．设复数()()1,z x yi x y R =-+∈，若1z ≤，则y x ≥的概率为（） A ．3142π+B ．112π+ C ．1142π-D ．112π- 26．若样本数据1210,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的标准差为（） A ．8B ．15C ．16D ．3227．重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是 ( ) A ．19 B ．20 C ．21.5D ．2328．已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+，变量y 与z 正相关．下列结论中正确的是（）A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关29．在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≤”的概率，2p 为事件“12xy ≤” 的概率，则（） A ．1212p p << B ．1212p p << C ．2112p p << D ．2112p p << 30．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 A ．24 B ．48 C ．60D ．7231．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 32．在区间上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“12x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则（） A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p <<D ．321p p p <<33．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．112B ．114C ．115D ．11834．已知随机变量i ξ满足P （i ξ=1）=p i ，P （i ξ=0）=1—p i ，i =1，2.若0<p 1<p 2<12，则 A ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ<2D()ξ B ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ C ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ<2D()ξD ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ35．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（） A ．310B ．15C ．110D ．12036．在区间[]0,2上随机地取一个数x ,则事件“121-1log 2x ≤+≤（）1”发生的概率为( )A．34B．23C．13D．1437．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为A．23B．35C．25D．15二、解答题38．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．39．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足．．的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.40．改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：支付金额支付方式（Ⅰ）估计该校学生中上个月A ，B 两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B 的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．41．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）, 其频率分布直方图如下：（1）记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较。

高考数学-计数原理(含22年真题讲解)

高考数学-计数原理（含22年真题讲解）1．【2022年新高考2卷】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（）A．12种B．24种C．36种D．48种【答案】B【解析】【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!×2×2=24种不同的排列方式，故选：B2．【2022年北京】若(2x−1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a2+a4=（）A．40B．41C．−40D．−41【答案】B【解析】【分析】利用赋值法可求a0+a2+a4的值.【详解】令x=1，则a4+a3+a2+a1+a0=1，令x=−1，则a4−a3+a2−a1+a0=(−3)4=81，=41，故a4+a2+a0=1+812故选：B.)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为________________（用3．【2022年新高考1卷】(1−yx数字作答）．【解析】【分析】(1−yx )(x+y)8可化为(x+y)8−yx(x+y)8，结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因为(1−yx )(x+y)8=(x+y)8−yx(x+y)8，所以(1−yx )(x+y)8的展开式中含x2y6的项为C86x2y6−yxC85x3y5=−28x2y6，(1−yx)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为-28故答案为：-284．【2022年浙江】已知多项式(x+2)(x−1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2=__________，a1+a2+a3+a4+a5=___________．【答案】8−2【解析】【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令x=0求出a0，再令x=1即可得出答案．【详解】含x2的项为：x⋅C43⋅x⋅(−1)3+2⋅C42⋅x2⋅(−1)2=−4x2+12x2=8x2，故a2=8；令x=0，即2=a0，令x=1，即0=a0+a1+a2+a3+a4+a5，∴a1+a2+a3+a4+a5=−2，故答案为：8；−2．1．（2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测）62x⎫⎪⎭展开式中的常数项为（）A．60B．64C．－160D．240【答案】A【解析】先得到二项式的通项公式，再令x 的指数为0得到项数，从而得到常数项大小．【详解】解：62x ⎫⎪⎭的二项展开式的通项公式为()()62213666C 22C r r r rr r r rT x x x---+=⋅⋅-⋅=-⋅⋅．令630r -=，解得2r =，所以展开式的常数项为()2262C 60-⋅=．故选：A ．2．（2022·江苏无锡·模拟预测）二项式()()()237121212x x x ++++++的展开式中，含2x 项的二项式系数为（） A ．84 B ．56 C ．35 D ．21【答案】B 【解析】【分析】易知展开式中，含2x 项的二项式系数为222222234567C C C C C C +++++，再利用组合数的性质求解. 【详解】解：因为二项式为()()()237121212x x x ++++++，所以其展开式中，含2x 项的二项式系数为：222222234567C C C C C C +++++，3222244567=C C C C C ++++，32225567=C C C C +++，322667=C C C ++，3277=C C +，38=C 56=.故选：B3．（2022·湖南·邵阳市第二中学模拟预测）将5名志愿者分配到4个不同的社区进行抗疫，每名志愿者只分配到1个社区，每个社区至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（） A ．120种 B ．240种 C ．360种 D ．480种【答案】B 【解析】【分析】将5名志愿者分为4组，每组的人数分别为2、1、1、1，再将这4组志愿者分配到4个不同的社区，利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】将5名志愿者分为4组，每组的人数分别为2、1、1、1，再将这4组志愿者分配到4个不同的社区，由分步乘法计数原理可知，不同的分配方案种数为2454C A 240=.故选：B.4．（2022·吉林·三模（理））对于91x ⎛- ⎝的展开式，下列说法不正确的是（）A ．有理项共5项B ．二项式系数和为512C ．二项式系数最大的项是第4项和第5项D ．各项系数和为1- 【答案】C 【解析】【分析】由二项式展开式的通项公式与二项式系数的性质求解判断. 【详解】91x ⎛- ⎝的展开式的通项公式为 (939219912rr rr rr r T C C xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，当0,2,4,6,8r =时，展开式的项为有理项，所以有理项有5项，A 正确；所有项的二项式系数和为92512=，B 正确；因为二项式的展开式共有10项，所以二项式系数最大的项为第5项和第6项，C 错误；令1x =，所有项的系数和为()9121-=-，D 正确. 故选：C5．（2022·全国·模拟预测（理））为帮助用人单位培养和招聘更多实用型、复合型和紧缺型人才，促进高校毕业生更高质量就业，教育部于2021年首次实施供需对接就业育人项目．某市今年计划安排甲、乙、丙3所高校与5家用人单位开展供需对接，每家用人单位只能对接1所高校，且必有高校与用人单位对接．若甲高校对接1家用人单位，乙、丙两所高校分别至少对接1家用人单位，则不同的对接方案共有（） A ．50种 B ．60种 C ．70种 D ．80种【答案】C 【解析】【分析】将方案分为乙、丙高校各对接2家用人单位和乙、丙高校其中一所对接1家用人单位，另一所对接3家用人单位两种情况，根据分组分配的方法可计算得到每种情况对应的方案数，加和即可求得结果. 【详解】若乙、丙高校各对接2家用人单位，则对接方案有125430C C ⋅=种；若乙、丙高校其中一所对接1家用人单位，另一所对接3家用人单位，则对接方案有131252C C C 40=种；综上所述：不同的对接方案共有304070+=种. 故选：C.6．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））已知()()()()727012723111x a a x a x a x -=+-+-++-，则3a =（）A ．280B ．35C ．35-D ．280-【答案】A 【解析】【分析】将()()()()727012723111x a a x a x a x -=+-+-++-化为()727012721t a a t a t a t -=++++，利用展开式的通项求解即可.【详解】()()()()727012723111x a a x a x a x -=+-+-++-，令1=x t -，则=1x t + ∴()727012721t a a t a t a t -=++++，()721t -展开式的通项为：()717C (2)1rrr r T t -+=-，令4r =，可得()3437C 2280t t =，所以3280a =.故选：A.7．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）()251(1)x x x -+-的展开式中4x 的系数为（）A ．25-B ．25C ．5-D ．5【答案】A 【解析】【分析】根据题意()2525551(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x -+-----=+，借助二项展开式通项得5(1)x -的展开式为()5151C ,0,1,2, (5)k kk T x k -+=-=，分析求解．【详解】∵()2525551(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x -+-----=+5(1)x -的展开式为()()55155C 11C ,0,1,2,...,5k kk k k kk T x x k --+=-=-=，令3k =，得()332251C 10x x -=-，则224(10)10x x x -=-，令2k =，得()223351C 10x x -=，则34(10)10x x x -=-，令1k =，得()14451C 5x x -=-，∵()251(1)x x x -+-的展开式中4x 的系数为()()()1010525-+-+-=-.故选：A ．8．（2022·全国·模拟预测）数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数222222321231112220=+++=+++．设222225a b c d =+++，其中a ，b ，c ，d 均为自然数，则满足条件的有序数组(),,,a b c d 的个数是（） A ．28 B ．24 C ．20 D ．16【答案】A 【解析】【分析】分类讨论四个数的组成后，由计数原理求解【详解】显然a ，b ，c ，d 均为不超过5的自然数，下面进行讨论．最大数为5的情况：①2222255000=+++，此时共有144A =种情况；最大数为4的情况：②2222254300=+++，此时共有2412A =种情况；③2222254221=+++，此时共有2412A =种情况．当最大数为3时，222222223322253321+++>>+++，故没有满足题意的情况．综上，满足条件的有序数组(),,,a b c d 的个数是4121228++=．故选：A9．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）已知21nn a =+，则关于()()()()()()123456x a x a x a x a x a x a ------的展开式，以下命题错误的是（）A ．展开式中系数为负数的项共有3项B ．展开式中系数为正数的项共有4项C ．含5x 的项的系数是126-D ．各项的系数之和为212 【答案】C 【解析】【分析】写出展开式各项的系数判断其正负即判断选项ABC 的真假；求出各项的系数之和即可判断选项D 的真假. 【详解】解：原式=()()()()()()359173365x x x x x x ------，所以6x 的系数为1，是正数；5x 的系数为3591733651320------=-<，4x 的系数为35+39+317+333+365+59++33650⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯>，3x 的系数为(3)(5)(9)(3)(5)(17)(17)(33)(65)0---+---++---<，2x 的系数为3591791733650⨯⨯⨯++⨯⨯⨯>，x 的系数为(3)(5)(9)(17)(33)+(5)(9)(17)(33)(65)0-----+-----<，常数项为3591733650⨯⨯⨯⨯⨯>，所以展开式中系数为负数的项共有3项，展开式中系数为负数的项共有4项，所以选项AB 正确，选项C 错误.设()()()()()()()359173365f x x x x x x x =------，所以2345621(1)2222222f =⋅⋅⋅⋅⋅=.所以各项的系数之和为212，所以选项D 正确. 故选：C10．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）数列{}n a 中，11a =，121n n a a +=+，012345515253545556C C C C C C a a a a a a +++++的值为（）A ．761B ．697C ．518D ．454【答案】D 【解析】【分析】由()1121n n a a ++=+，结合等比数列的定义和通项公式可求出21nn a =-，结合二项式定理可求出012345515253545556C C C C C C a a a a a a +++++的值. 【详解】解：因为()112221n n n a a a ++=+=+，又11a =，所以{}1n a +以2为首项，2为公比的等比数列，所以11222n n n a -+=⨯=，所以21n n a =-，则012345515253545556C C C C C C a a a a a a +++++()01223344556012345555555555555C 2C 2C 2C 2C 2C 2C C C C C C =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-+++++又01223344556555555C 2C 2C 2C 2C 2C 2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()0011223344555555552C 2C 2C 2C 2C 2C 2=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯()5212486=⨯+=，0123455555555C C C C C C 232+++++==，所以012345515253545556C C C C C C a a a a a a +++++48632454=-=，故选：D11．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）某地区安排A ，B ，C ，D ，E ，F 六名党员志愿者同志到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个地区至少安排一人，至多安排三人，且A ，B 两人安排在同一个社区，C ，D 两人不安排在同一个社区，则不同的分配方法总数为（） A ．72 B ．84 C ．90 D ．96【答案】B 【解析】【分析】分为每个社区各两人和一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人两种分配方式，第二种分配方式再分AB 两人一组去一个社区，AB 加上另一人三人去一个社区，进行求解，最后相加即为结果. 【详解】第一种分配方式为每个社区各两人，则CE 一组，DF 一组，或CF 一组，DE 一组，由2种分组方式，再三组人，三个社区进行排列，则分配方式共有332A 12=种；第二种分配方式为一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人，当AB 两人一组去一个社区，则剩下的4人，1人为一组，3人为一组，则必有C 或D 为一组，有1323C C 种分配方法，再三个社区，三组人，进行排列，有133233C C A 12=种分配方法；当AB 加上另一人三人去一个社区，若选择的是C 或D ，则有12C 种选择，再将剩余3人分为两组，有1232C C 种分配方法，将将三个社区，三组人，进行排列，有11232323C C C A 36=种分配方法；若选择的不是C 或D ，即从E 或F 中选择1人和AB 一起，有12C 种分配方法，再将CD 和剩余的1人共3人分为两组，有2种分配方法，将三个社区，三组人，进行排列，有13232C A 24=种分配方法，综上共有12+12+36+24=84种不同的分配方式故选：B12．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著.该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数.某中学研究性学习小组有甲、乙、丙、丁四人，该小组拟全部收集九宫算、运筹算、了知算、成数算和把头算等5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分工收集方案共有（）种. A ．108 B ．136 C ．126 D ．240【答案】C 【解析】【分析】对甲收集的方案种数进行分类讨论，结合分组分配原理以及分类加法计数原理可求得结果. 【详解】分以下两种情况讨论：①若甲只收集一种算法，则甲有3种选择，将其余4种算法分为3组，再分配给乙、丙、丁三人，此时，不同的收集方案种数为23433C A 108=种；②若甲收集两种算法，则甲可在运筹算、成数算和把头算3种算法中选择2种，其余3种算法分配给乙、丙、丁三人，此时，不同的收集方案种数为2333C A 18=种.综上所述，不同的收集方案种数为10818126+=种. 故选：C.13．（2022·广东佛山·模拟预测）“五经”是儒家典籍《周易》、《尚书》、《诗经》、《礼记》、《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座，每经排1节，连排5节，则《诗经》、《春秋》分开排的情况有________种．【答案】72 【解析】【分析】由于《诗经》、《春秋》分开排，先将《周易》、《尚书》、《礼记》进行排列，然后再把《诗经》、《春秋》插入到4个空位中即可得到答案【详解】先将《周易》、《尚书》、《礼记》进行排列，共有33A 种排法再从产生的4个空位中选2个安排《诗经》、《春秋》，共有24A 种排法所以满足条件的情形共有3234A A 72=种．故答案为：7214．（2022·上海市光明中学模拟预测）已知二项式623x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则其展开式中3x 的系数为____________．【答案】540- 【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式即可求解. 【详解】由题意可知，623x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()621231663C C 3r r rr r rr T x x x --+⎛⎫=⨯⨯-⨯ =-⨯⎪⎝⎭，令1233r -=，解得3r =.所以二项式623x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为()()363C 27205034=-=-⨯⨯-.故答案为：540-.15．（2022·吉林·三模（理））为了保障疫情期间广大市民基本生活需求，市政府准备了茄子、辣椒、白菜、角瓜、菜花、萝卜、黄瓜、土豆八种蔬菜，并从中任选五种，以“蔬菜包”的形式发给市民．若一个“蔬菜包”中不同时含有土豆和萝卜，且角瓜、黄瓜、辣椒最多只含有两种，则可以组成___________种不同的“蔬菜包”．【答案】27 【解析】【分析】运用加法分类计数原理，结合组合的定义进行求解即可. 【详解】当土豆和萝卜都不含有时，蔬菜包的种数为2333C C 3⋅=；当土豆和萝卜中只含有一种时，蔬菜包的种数为1221323333C (C C C C )2(3331)24⋅+⋅=⨯+⨯=，所以可以组成种不同“蔬菜包”种数为32427+=，故答案为：2716．（2022·湖南·模拟预测）()()5321x x -+的展开式的中4x 的系数是______．【答案】5 【解析】【分析】由()()()()5553321211xx x x x -+=+-+，则分别求出()51x +中的4x 与x 的系数即可求解．【详解】()()()()5553321211x x x x x -+=+-+，所以展开式中4x 的系数是14552C 1C 5⋅-⋅=．故答案为：517．（2022·江苏无锡·模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，已知甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，则这5个人的名次排列情况共有________种．【答案】54 【解析】【分析】根据甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，分甲是第5名和甲不是第5名分类求解. 【详解】解：因为甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，当甲是第5名时，则乙可以为第2，3，4名，有3种情况，剩下的3人全排列有33A 6=种，此时，由分步计数原理得共有1863=⨯种情况；当甲不是第5名时，则甲乙排在第2，3，4名，有23A 6=种情况，剩下的3人全排列有33A 6=种，此时，由分步计数原理得共有6636⨯=种情况；综上：甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，则这5个人的名次排列情况共有18+36=54种情况，故答案为：5418．（2022·山东泰安·模拟预测）古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式.”在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美.如图所示的是清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》，其以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，无论顺着读还是逆着读，皆成佳作.数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）.数学上把20200202这样的对称数叫回文数，若两位数的回文数共有9个（11，22，…，99）.则所有四位数的回文数中能被3整除的个数是___________.【答案】30 【解析】【分析】所有四位数的回文数中要能被3整除，这四个数的和是3的偶数倍数，分类讨论即可. 【详解】要能被3整除，则四个数的和是3的偶数倍数.满足条件的回文数分为以下几类：和为6的回文数：1221+++，3003+++，此时有1213⨯+=个.和为12的回文数：3333+++，2442+++，1551+++，6006+++，此时有2226⨯+=个.和为18的回文数：1881+++，2772+++，3663+++，4554+++，9009+++，此时有4219⨯+=个.和为24的回文数：3993+++，4884+++，5775+++，6666+++，此时有3217⨯+=个.和为30的回文数：7887+++，6996+++，此时有224⨯=个. 和为36的回文数：9999+++，此时有1个. 故共有36974130+++++=个. 故答案为：30.19．（2022·辽宁沈阳·三模）若()2345501234512a a x a x a x a x a x x =+++-++，则012345a a a a a a +++++=_______．【答案】243##53【解析】【分析】根据二项展开式可得012345012345a a a a a a a a a a a a +++++=-+-+-，令1x =-，即可得解. 【详解】解：()512x -的展开式得通项为()()155C 22C r rr r rr T x x +=-=-，则012345012345a a a a a a a a a a a a +++++=-+-+-，令1x =-，则50123453243a a a a a a -+-+-==，即012345243a a a a a a +++++=. 故答案为：243.20．（2022·浙江·绍兴一中模拟预测）某科室有4名人员，两男两女，参加会议时一排有5个位置，从左到右排，则两女员工不相邻（中间隔空位也叫不相邻），且左侧的男员工前面一定有女员工的排法有_______种（结果用数字表示）．【答案】44【解析】【分析】应用分类分步计数，结合排列组合数及插空法求左侧的男员工前面一定有女员工的排法数. 【详解】先排两男和空位，再把两女插空，分两种情形：第一种，先排两男和空位，最左边是空位时，排两男和空位共22A 2=种，将女生插空时又分两种情形：先排两男和空位时，空位两侧排两名女生时计22A 2=种；空位两侧共排一名女生时计111222C C C 8=种，共计()2211122222A A +C C C 20=种；第二种，先排两男和空位，最左边是男生时，排两男和空位共41222C A =种，将女生插空共1123C C 6=种，共计12112223C A C C 24=种，综上，共计()221111211222222223A A C C C C A C C 44++=种．故答案为：44。

【11】计数原理【2023年高考数学复习——大题狂练解答210道】

2023年高考数学复习——大题狂练：计数原理（15题）一．解答题（共15小题）1．（2022春•杨陵区校级期末）3名男同志和3名女同志到4辆不同的公交车上服务．（1）若每辆车上都需要人但最多安排男、女各1名，有多少种安排方法？（2）若男、女各包2辆车，有多少种安排方法？2．（2022春•济宁期末）已知展开式的二项式系数和为32，各项系数和为243．（1）求n、a的值；（2）若将展开式中的各项重新排列，求有理项互不相邻的概率．3．（2022春•闵行区校级期末）求满足下列方程组的正整数的解：（1）；（2）．4．（2022春•肇东市校级期末）（1）计算：；（2）已知，（m＞1）；求的值．5．（2022春•白水县期末）某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，求：（1）物理和化学至少选一门的选法种数；（2）物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选的选法种数．6．（2022春•驻马店期末）已知函数．（1）当0＜x＜1时，求f（f（x））表达式的展开式中二项式系数最大的项；（2）当x＞1时，若，求a6．7．（2022春•云浮期末）（1）求（1﹣2x）10展开式中第8项的二项式系数及第4项的系数；（2）若（1﹣2x）10＝a0+a1x+⋯+a10x10，求a1+a2+⋯+a10.注：结果用数值表示．8．（2022春•梅州期末）在的展开式的二项式系数和为64．（1）求n的值；（2）求展开式的常数项．9．（2022春•周至县校级期末）某批产品中有一等品100个，二等品80个，三等品30个．从其中任取10个进行检验，那么：（1）全部抽到一等品的结果有多少种？（2）抽不到一等品的结果有多少种？（3）恰抽到5个一等品的结果有多少种？（4）恰抽到1个一等品、2个二等品的结果有多少种？（5）至少抽到1个一等品的结果有多少种？10．（2022春•大兴区期末）将二项式（2x﹣）n展开，若展开式中各项的二项式系数之和为64．（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）求展开式中的常数项．11．（2022春•红桥区校级期末）已知数字1，2，3，4，5．（1）可以组成多少个没有重复数字的五位数；（2）可以组成多少个没有重复数字的五位偶数．12．（2022春•阎良区期末）某学习小组有4名男生和3名女生共7人．（1）将这7人排成一排，4名男生相邻有多少种不同的排法？（2）从中选出2名男生和2名女生分别承担4种不同的任务，有多少种不同的选派方法？13．（2022春•宜春期末）根据条件，分别求解：（1）求（x2﹣2xy+y2）5展开式中x3y7的系数；（2）求值：．14．（2022春•青浦区校级期末）（1）解不等式；（2）已知，，成等差数列，求的值．15．（2022春•海林市校级月考）有6本不同的书，在下列不同的条件下，各有多少种不同的分法？（1）分给甲、乙、丙3人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；（2）分成三组，一组4本，另外两组各1本；（3）甲得1本，乙得1本，丙得4本．2023年高考数学复习——大题狂练：计数原理（15题）参考答案与试题解析一．解答题（共15小题）1．（2022春•杨陵区校级期末）3名男同志和3名女同志到4辆不同的公交车上服务．（1）若每辆车上都需要人但最多安排男、女各1名，有多少种安排方法？（2）若男、女各包2辆车，有多少种安排方法？【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；数学运算．【分析】（1）根据题意，分3步进行分析：①先将3名男同志安排到公交车上，②在剩余的1辆车安排1名女同志，③在安排了男同志的3辆车上安排2名女同志，由分步计数原理计算可得答案；（2）根据题意，分2步进行分析：①将男同志和女同志各自分为2组，②将4组安排到4辆车上，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，分3步进行分析：①先将3名男同志安排到公交车上，有A＝24种安排方法，②在剩余的1辆车安排1名女同志，有3种安排方法，③在安排了男同志的3辆车上安排2名女同志，有A＝6种安排方法，则有24×3×6＝432种安排方法；（2）根据题意，分2步进行分析：①男同志分为2组，有C＝3种分组方法，同理，将女同志分为2组，也有3种分组方法，②将4组安排到4辆车上，有A＝24种安排方法，则有3×3×24＝216种安排方法．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．2．（2022春•济宁期末）已知展开式的二项式系数和为32，各项系数和为243．（1）求n、a的值；（2）若将展开式中的各项重新排列，求有理项互不相邻的概率．【考点】二项式定理．【专题】整体思想；综合法；二项式定理；数学运算．【分析】（1）根据题中的条件，列出等式，即可解出；（2）利用二项式定理展开式的通项公式，结合排列组合，即可解出．【解答】解：（1）由题意可知：解得：．（2）由（1）可知二项式为其通项公式为：．由二项式展开式的通项公式可知：当k＝1，3，5时，会得到二项式展开式的有理项．所以二项式的展开式中有理项共3项，所以将展开式各项重新排列，其中有理项互不相邻的概率为：．【点评】本题考查了二项式定理，排列组合以及概率，学生的数学运算能力，属于基础题．3．（2022春•闵行区校级期末）求满足下列方程组的正整数的解：（1）；（2）．【考点】排列及排列数公式；组合及组合数公式．【专题】对应思想；转化法；排列组合；数学运算．【分析】利用排列、组合公式列方程，并化简求值即可，注意n的范围．【解答】解：（1）由＝，可得2n（2n﹣1）（2n﹣2）＝28n（n﹣1），而n≥2，故2n﹣1＝7，可得n＝4；（2）﹣＝+，可得﹣＝+n+1，所以2n+3＝，则n2﹣3n﹣4＝（n﹣4）（n+10）＝0，而n≥2，故n＝4．【点评】本题考查了组合数公式的应用问题，也考查了逻辑推理与证明的应用问题，是基础题．4．（2022春•肇东市校级期末）（1）计算：；（2）已知，（m＞1）；求的值．【考点】排列及排列数公式；组合及组合数公式．【专题】计算题；方程思想；定义法；排列组合；数学运算．【分析】（1）根据排列数的计算公式即可得解；（2）根据结合题意可得m＝2，利用化简整理，再代入组合数的计算公式计算．【解答】解：（1）∵，则，∴；（2）∵，则m+2m﹣1＝5或m＝2m﹣1，解得m＝2或m＝1（舍去），∵，则．【点评】本题考查了排列组合数公式的应用问题，是基础题目．5．（2022春•白水县期末）某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，求：（1）物理和化学至少选一门的选法种数；（2）物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选的选法种数．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；数学运算．【分析】（1）根据题意，用间接法分析：先计算“在7门中任选3门”的选法，排除其中“物理和化学都没有选”的情况，即可得答案；（2）根据题意，分3种情况讨论，由加法原理计算可得答案；【解答】解：（1）根据题意，在7门中任选3门，有C＝35种选法，其中物理和化学都没有选的选法有C＝10种，则物理和化学至少选一门的选法有35﹣10＝25种；（2）根据题意，若物理和化学至少选一门，有3种情况：①只选物理有且物理和历史不同时选，有C C＝6种选法；②选化学，不选物理，有C C＝10种选法；③物理与化学都选，有C C＝4种选法，则有6+10+4＝20种选法．【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．6．（2022春•驻马店期末）已知函数．（1）当0＜x＜1时，求f（f（x））表达式的展开式中二项式系数最大的项；（2）当x＞1时，若，求a6．【考点】二项式定理．【专题】整体思想；综合法；二项式定理；数学运算．【分析】（1）利用题中的条件，表示出f（f（x）），即可解出；（2）表示出f2（x）的表达式，对代数式x8进行变形，即可解出．【解答】解：（1）∵0＜x＜1∴∴∴二项式系数最大的项为（2）由题意得，当x＞1时，f2（x）＝x8＝[1﹣（1﹣x）]8∵展开式的通项为：∴，∴a6＝28【点评】本题考查了二项式定理，学生的数学运算能力，属于基础题．7．（2022春•云浮期末）（1）求（1﹣2x）10展开式中第8项的二项式系数及第4项的系数；（2）若（1﹣2x）10＝a0+a1x+⋯+a10x10，求a1+a2+⋯+a10.注：结果用数值表示．【考点】二项式定理．【专题】整体思想；综合法；二项式定理；数学运算．【分析】（1）利用二项式定理的展开式，即可直接解出；（2）利用赋值法，即可解出．【解答】解：（1）（1﹣2x）10展开式的通项是T r+1＝C＝（﹣2）r C x r，因此（1﹣2x）10展开式中第8项的二项式系数为，其第4项的系数为．（2）已知，令x＝0，得a0＝1；令x＝1，得．所以a1+a2+⋯+a10＝（a0+a1+a2+⋯+a10）﹣a0＝0．【点评】本题考查了二项式定理的展开式，学生的数学运算能力，属于基础题．8．（2022春•梅州期末）在的展开式的二项式系数和为64．（1）求n的值；（2）求展开式的常数项．【考点】二项式定理．【专题】对应思想；定义法；二项式定理；数学运算．【分析】（1）根据二项式系数和求出n＝6，（2）求出展开式的通项公式，令x的次数为0，进行求解即可．【解答】解：（1）∵的展开式的二项式系数和为64，∴，解得n＝6．（2）展开式的通项公式为，令6﹣3r＝0，解得r＝2，所以常数项为．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，根据二项式系数和求出n的值，利用展开式的通项公式进行求解是解决本题的关键，是基础题．9．（2022春•周至县校级期末）某批产品中有一等品100个，二等品80个，三等品30个．从其中任取10个进行检验，那么：（1）全部抽到一等品的结果有多少种？（2）抽不到一等品的结果有多少种？（3）恰抽到5个一等品的结果有多少种？（4）恰抽到1个一等品、2个二等品的结果有多少种？（5）至少抽到1个一等品的结果有多少种？【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；数学运算．【分析】（1）根据题意，在100个一等品中选10个即可，由组合数公式计算可得答案；（2）根据题意，在二等品、三等品中选10个即可，由组合数公式计算可得答案；（3）根据题意，在100个一等品中选5个，在二等品、三等品中选5个即可，由组合数公式计算可得答案；（4）根据题意，在100个一等品中选1个，在80个二等品中选2个，在30个三等品中选7个即可，由组合数公式计算可得答案；（5）根据题意，先计算“在所有产品中任取10件”的取法，排除其中“没有1件一等品”的取法，分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，要求全部抽到一等品，在100个一等品中选10个即可，有种取法，（2）抽不到一等品，在二等品、三等品中选10个即可，有种取法，（3）恰好抽到5个一等品，还有5件是二等品或三等品，在100个一等品中选5个，在二等品、三等品中选5个即可，有种抽取方法，（4）恰抽到1个一等品、2个二等品，还有7个是三等品，在100个一等品中选1个，在80个二等品中选2个，在30个三等品中选7个即可，有种抽取方法，（5）在所有产品中任取10件，有种取法，其中没有1件一等品的取法有种，则至少抽到1个一等品的结果有种．【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意组合数公式的应用，属于基础题．10．（2022春•大兴区期末）将二项式（2x﹣）n展开，若展开式中各项的二项式系数之和为64．（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）求展开式中的常数项．【考点】二项式定理．【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数学运算．【分析】（Ⅰ）根据二项式系数和公式建立方程即可求解；（Ⅱ）求出展开式的通项公式，令x的指数为0，进而可以求解．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得2n＝64，解得n＝6；（Ⅱ）展开式的通项公式为T＝C，r＝0，1， (6)令6﹣2r＝0，解得r＝3，所以展开式的常数项为C＝﹣160．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．11．（2022春•红桥区校级期末）已知数字1，2，3，4，5．（1）可以组成多少个没有重复数字的五位数；（2）可以组成多少个没有重复数字的五位偶数．【考点】排列、组合及简单计数问题；计数原理的应用．【专题】对应思想；转化法；排列组合；逻辑推理．【分析】（1）将5个数进行全排列，利用排列数公式即可得出答案；（2）先排个位数，从2，4中选一个数排在个位，其余的位置即剩下的4个数进行全排列，即可得出答案．【解答】解：（1）由题意可得：将5个数进行全排列，即＝120个；（2）先排个位数，从2，4中选一个数排在个位有：＝2个，其余的位置即剩下的4个数进行全排列，即＝24个，所以可以组成＝48个没有重复数字的五位偶数．【点评】本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于基础题．12．（2022春•阎良区期末）某学习小组有4名男生和3名女生共7人．（1）将这7人排成一排，4名男生相邻有多少种不同的排法？（2）从中选出2名男生和2名女生分别承担4种不同的任务，有多少种不同的选派方法？【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】对应思想；转化法；排列组合；逻辑推理．【分析】（1）利用捆绑法求解；（2）先分别选出2名男生和女生，再全排列求解．【解答】解：（1）因为4名男生相邻，所以看作一个元素，则将4个元素全排列再将4个男生全排列，然后由分步计数原理得：•＝576种不同的站法；（2）选出2名男生有种选法，选出2名女生有种选法，然后全排列有种排法，再利用分步计数原理得••＝432种不同的选派方法．【点评】本题考查了排列组合的混合问题，捆绑法是最基本的指导思想，属于基础题．13．（2022春•宜春期末）根据条件，分别求解：（1）求（x2﹣2xy+y2）5展开式中x3y7的系数；（2）求值：．【考点】二项式定理．【专题】整体思想；综合法；二项式定理；数学运算．【分析】（1）利用二项式定理的展开式，即可解出；（2）利用排列数和组合数公式，即可解出．【解答】解：（1）（x2﹣2xy+y2）5＝（x﹣y）10，∴x3y7的系数为：C＝﹣120；（2）＝＝＝．【点评】本题考查了二项式定理，排列数组合数的运算，学生的数学运算能力，属于基础题．14．（2022春•青浦区校级期末）（1）解不等式；（2）已知，，成等差数列，求的值．【考点】组合及组合数公式；等差数列的通项公式；排列及排列数公式．【专题】对应思想；转化法；排列组合；逻辑推理．【分析】（1）由排列数公式及性质列出不等式组即可求解；（2）由题意，2＝+，利用组合数公式及性质化简，然后求解方程即可得答案．【解答】解：（1）因为，所以＜6×，所以（8﹣m）（7﹣m）＜6，又，解得m＝6；（2）因为，，成等差数列，所以2＝+，所以2＝+，即＝+，所以n2﹣21n+98＝0，又n≥12，且n∈N*，解得n＝14，所以，＝＝91．【点评】本题考查了组合数公式的应用问题，也考查了逻辑推理与证明的应用问题，是基础题目．15．（2022春•海林市校级月考）有6本不同的书，在下列不同的条件下，各有多少种不同的分法？（1）分给甲、乙、丙3人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；（2）分成三组，一组4本，另外两组各1本；（3）甲得1本，乙得1本，丙得4本．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】对应思想；转化法；排列组合；逻辑推理．【分析】n个不同元素按某些条件分配给k个不同的对象是分配问题，解决此类问题，常先分组后分配．【解答】解：根据题意，有6本不同的书，（1）分给甲、乙、丙3人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本，先将6本不同的书分成1本，2本，3本共3组，有种，再将3组分配给甲、乙、丙3人有种，故共有种；（2）分成三组，一组4本，另外两组各1本，只需从6本中选4本一组，其余2本为两组，共种；（3）甲得1本，乙得1本，丙得4本，分步处理，先从6本中选4本给丙，其余2本分给甲、乙各一本，有种．【点评】本题考查了排列组合的混合问题，属于基础题．考点卡片1．等差数列的通项公式【知识点的认识】等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为a n＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为a m，则第n项为a n＝a m+（n﹣m）d．【例题解析】eg1：已知数列{a n}的前n项和为S n＝n2+1，求数列{a n}的通项公式，并判断{a n}是不是等差数列解：当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，∴a n＝，把n＝1代入2n﹣1可得1≠2，∴{a n}不是等差数列考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是等差数列，题中a n的求法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下．eg2：已知等差数列{a n}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7则这个数列的通项公式为解：∵等差数列{a n}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7，∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，解得a＝2．∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，∴数列a n是以1为首项，4为公差的等差数列，∴a n＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．故答案：4n﹣3．这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质，即等差中项的特点，通过这个性质然后解方程一样求出首项和公差即可．【考点点评】求等差数列的通项公式是一种很常见的题型，这里面往往用的最多的就是等差中项的性质，这也是学习或者复习时应重点掌握的知识点．2．计数原理的应用【知识点的认识】1．两个计数原理（1）分类加法计数原理：N＝m1+m2+…+m n（2）分步乘法计数原理：N＝m1×m2×…×m n2．两个计数原理的比较分类加法计数原理分步乘法计数原理共同点都是计数原理，即统计完成某件事不同方法种数的原理．不同点分类完成，类类相加分步完成，步步相乘n类方案相互独立，且每类方案中的每种方法都能独立完成这件事n个步骤相互依存，每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整【解题方法】1．计数原理的应用（1）如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类加法计数原理；（2）如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步乘法计数原理．2．解题步骤（1）指明要完成一件什么事，并依事件特点确定是“分n类”还是“分n步”；（2）求每“类”或每“步”中不同方法的种数；（3）利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法总数；（4）作答．【命题方向】分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法．常见考题类型：（1）映射问题（2）涂色问题（①区域涂色②点的涂色③线段涂色④面的涂色）（3）排数问题（①允许有重复数字②不允许有重复数字）3．排列及排列数公式【考点归纳】1．定义（1）排列：一般地，从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）（2）排列数：从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示．2．相关定义：（1）全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列．（2）n的阶乘：正整数由1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示．（规定0!＝1）3．排列数公式（1）排列计算公式：＝．m，n∈N+，且m≤n．（2）全排列公式：＝n•（n﹣1）•（n﹣2）•…•3•2•1＝n!．4．组合及组合数公式【考点归纳】1．定义（1）组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m个元素的一个组合．（2）组合数：从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号表示．2．组合数公式：＝．m，n∈N+，且m≤n．3．组合数的性质：性质1性质2 ．5．排列、组合及简单计数问题【知识点的知识】1、排列组合问题的一些解题技巧：①特殊元素优先安排；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排；④相邻问题捆绑处理；⑤不相邻问题插空处理；⑥定序问题除法处理；⑦分排问题直排处理；⑧“小集团”排列问题先整体后局部；⑨构造模型；⑩正难则反、等价转化．对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．2、排列、组合问题几大解题方法：（1）直接法；（2）排除法；（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；（10）指定元素排列组合问题：①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．6．二项式定理【二项式定理】又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n＝∁n i a n﹣i•b i．通过这个定理可以把一个多项式的多次方拆开．例1：用二项式定理估算1.0110＝ 1.105．（精确到0.001）解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101•19×0.01+C102•18•0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．故答案为：1.105．这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．例2：把把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是．解：由题意T8＝C107×＝120×3i＝360i．故答案为：360i．通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．【性质】1、二项式定理一般地，对于任意正整数n，都有这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各项的系数叫做二项式系数．注意：（1）二项展开式有n+1项；（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；（4）二项式定理通常有如下变形：①；②；（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．2、二项展开式的通项公式二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．注意：（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是∁n r；（2）字母b的次数和组合数的上标相同；（3）a与b的次数之和为n．3、二项式系数的性质．（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；（2）增减性与最大值：当k＜时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的两项，相等，且同时取得最大值．。

2015-2017计数原理概率统计全国高考真题_New

2015-2017计数原理概率统计全国高考真题2015-2017计数原理概率统计全国高考真题1．（2015全国1卷10题）25++的展开式中，()x x y52x y的系数为（）（A）10 （B）20 （C）30 （D）60【答案】C【解析】在25++的5个因式中，2个取因式中x x y()2x剩余的3个因式中1个取x，其余因式取y,故52x y的系数为212C C C=30，故选 C.5322、（2015全国1卷19题）．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x和年销售量i y（i=1,2，···，8）数据作i了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xryu rwu r821()ii x x =-∑ 821()ii w w =-∑ 81()()iii x x y y =--∑ 81()()iii w w yy =--∑46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中iiw x =，w u r=1881i i w =∑（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与x 个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ⅱ）年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据11(,)u v ,22(,)u v ，……，(,)nnu v ,其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：【答案】（Ⅰ）y c x =+y 关于年宣传费用x 的回归方程类型；（Ⅱ）$100.668y x =+46.24 【解析】试题分析：（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）令w x=，先求出建立y 关于w 的线性回归方程，即可y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）（ⅰ）利用y 关于x 的回归方程先求出年销售量y 的预报值，再根据年利率z 与x 、y 的关系为z=0.2y-x 即可年利润z 的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值，列出关于x 的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用. 试题解析：（Ⅰ）由散点图可以判断，y c x =+适合作为年销售y 关于年宣传费用x 的回归方程类型.（Ⅱ）令w x =y 关于w 的线性回归方程，由于$81821()()()iii ii w w yy dw w ==--=-∑∑=108.8=6816， ∴$cy dw =-$=563-68×6.8=100.6.∴y 关于w 的线性回归方程为$100.668y w =+， ∴y 关于x 的回归方程为$100.668y x =+.（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当x =49时，年销售量y的预报值$100.66849y =+=576.6，576.60.24966.32z=⨯-=$.（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值0.2(100.668)13.620.12zx x x x =+-=-++$，∴当x =13.6=6.82，即46.24x =时，z$取得最大值. 故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.……12分考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识3、（2015全国2卷3题）．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量（单位：万吨）柱形图。

【精品提分练习】高考数学一轮复习第十五章第5课计数原理与排列、组合

第二章计数原理与概率____第5课__计数原理与排列、组合____1. 理解分类计数原理与分步计数原理，理解排列和组合的意义．1. 阅读：选修23第5～25页．基础诊断1. 有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书．(1) 从中任取一本，有________种不同的取法；(2) 若取外语、数学、物理各一本，有________种不同的取法．2. 从5名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有________种．3. 高二(1)班有4位同学，从甲、乙、丙3门课程中选一门，则恰好有2人选修甲课程的不同选法有________种．4. 将3封信投入6个信箱内，不同的投法有______种．考向问：(1) P可表示平面上多少个不同的点？(2) P可表示平面上多少个第二象限的点？(3) P可表示多少个不在直线y＝x上的点？某班共有男生28名，女生20名，从该班选出学生代表参加学生代表大会．(1) 若学校分配给该班1名代表，则有多少种不同的选法？(2) 若学校分配给该班2名代表，且男、女各一名，则有多少种不同的选法？考向例2海岛上信号站的值班员用红、黄、白三色各三面旗向附近海域出示旗语，在旗标上纵排挂，可以是一面、两面、三面，则这样的旗语有多少种？在5天内安排3次不同的考试，若每天至多安排一次考试，则有________种不同的方法；若不限制每天考试的次数，则有________种不同的方法．考向例3有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法(不一定六名同学都能参加)?(1) 每人恰好参加一项，每项人数不限；(2) 每项限报一人(每项均有人参加)，且每人至多参加一项；(3) 每项限报一人(每项均有人参加)，但每人参加的项目不限．自测反馈1. 某外商计划在4个候选城市中投资3个不同项目，且在同一城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有________种．2. 甲有3本不同的书，乙去借阅，至少借1本的方法有________种．3. 将4封信投入3个信箱中，则不同的方法共有________种．4. 4个同学，争夺3项竞赛的冠军，冠军获得的可能情况有________种．1. 要分清分类和分步原理：前者针对“分类”问题，后者针对“分步”问题．2. 解决复杂问题时，需要灵活运用两个原理进行解题，即可先分类，在某一类中再分步，在某一步中再分类．3. 你还有哪些体悟，写下来：第5课计数原理与排列、组合基础诊断1. (1) 12解析：任取一本，则外语书5种，数学书4种，物理书3种，则共有5＋4＋3＝12(种)．(2) 60解析：各取一本时的共有5×4×3＝60(种)．2. 25解析：从7人中任选3人共有C37种方法，如果选出三人无女生，有C35种方法，因此至少选1名女生的共有C37－C35＝25(种)方法．3. 24解析：分步计数，恰有2人选修课程甲，共有C24＝6种结果，因此余下的两人各有两种选法，2×2＝4种结果，因此共有6×4＝24(种)结果．4. 216解析：每一封信都有6种投法，则共有6×6×6＝216(种)投法．范例导航例1解析：(1) 确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：第一步确定a的值，共有6种确定方法；第二步确定b的值，也有6种确定方法．根据分步计数原理，得到平面上的点的个数是6×6＝36(个)．(2) 确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a<0，所以有3种确定方法；第二步确定b，由于b>0，所以有2种确定方法．由分步计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2＝6(个)．(3) 点P(a，b)在直线y＝x上的充要条件是a＝b.因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线y＝x上的点有6个．由(1)得不在直线y＝x上的点共有36－6＝30(个)．解析：(1) 选出1名代表有2类方式：第1类从男生中选1名，有28种选法；第2类从女生中选1名，有20种选法．根据分类计数原理，共有28＋20＝48(种)不同的选法．(2) 可分两个步骤完成：第一步：选出1名男生代表，共有28种不同的选法；第二步：选出1名女生代表，共有20种不同的选法．根据分步计数原理，共有28×20＝560(种)不同的选法．例2解析：悬挂一面旗共有3种旗语；悬挂两面旗共有3×3＝9(种)旗语；悬挂三面旗共有3×3×3＝27(种)旗语．由分类计数原理，共有3＋9＋27＝39(种)旗语．60125解析：若每天至多安排一次考试，先安排第一场考试，有5种方法；再安排第二场考试，有4种方法；最后安排第三场考试，有3种方法，共有5×4×3＝60(种)方法．若不限制每天考试的次数，先安排第一场考试，有5种方法；再安排第二场考试，有5种方法；最后安排第三场考试，有5种方法，共有5×5×5＝125(种)方法．例3解析：(1) 每人都可以从这三项比赛项目中选报一项，各有3种办法，由分步计数原理，知共有报名方法36＝729(种)．(2) 每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，由分步计数原理，共有报名方法6×5×4＝120(种)．(3) 由于每人参加的项目不限，因此每个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步计数原理，得共有不同报名方法63＝216(种)．【变式题】某校艺术节期间欲举办一台大型文艺演出，需在2名老师，6名男生和8名女生中挑选节目主持人．(1) 若只需1人主持，有多少种不同的选法？(2) 若需老师、男生、女生各一人共同主持，有多少种不同的选法？(3) 若需师、生各一人主持，有多少种不同选法？解析：(1) 若只需一人主持，有2＋6＋8＝16(种)不同的选法．(2) 若需老师、男生、女生各一人共同主持，有2×6×8＝96(种)不同的选法．(3) 若需师、生各1人主持，有2×(6＋8)＝28(种)不同的选法．自测反馈1. 60解析：投资方案可分为两类情况，一是在一个城市投资两个项目，在另一个城市投资1个项目，将项目分成2个与1个，有3种；项目在4个城市选两个有4×3＝12(种)，则这种情况有3×12＝36(种)；二是在三个城市各投资一个项目，获得投资的城市有C34＝4(种)，安排项目与城市对应，有3×2×1＝6(种)，则这种情况有4×6＝24(种)．由分类计数原理共有36＋24＝60(种)方案．2. 7解析：借书方法可分为3类，第1类只借1本，有3种不同方法；第2类借2本，有C23＝3(种)不同方法；第3类将3本书全部借走，有1种方法．根据分类计数原理可知有3＋3＋1＝7(种)不同的借书方法．3. 81解析：由于每封信都有3种不同的投法，故由分步计数原理可得，4封信共有34＝81(种)投法．4. 64解析：由于每项竞赛的冠军都有4种情况，故由分步计数原理可得，3项竞赛共有43＝64(种)冠军获得的情况．。

J：计数原理(文科2013年) Word版含答案

J 单元计数原理J1 基本计数原理14．J1、J2 从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有____种．(用数字作答)14．60 从6人逐次选出1人，2人，3人分别给奖项即可，方法数为C 16C 25C 33＝60.J2 排列、组合14．J1、J2 从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有____种．(用数字作答)14．60 从6人逐次选出1人，2人，3人分别给奖项即可，方法数为C 16C 25C 33＝60. 15．J2 已知F 为双曲线C ：x 29－y216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点，若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A(5，0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．15．44 由题意可知，a ＝3，b ＝4，|PQ|＝4b ＝16，三角形PQF 的周长为|PQ|＋|PF|＋|QF|＝|PF|－|PA|＋|QF|－|QA|＋2|PQ|＝4a ＋8b ＝44.10．J2 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB⊥AC，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172B ．210 C.132D ．310 10．C 由题意可将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1还原为长方体ABDC －A 1B 1D 1C 1，则球的直径即为长方体ABDC －A 1B 1D 1C 1的体对角线AD 1，所以球的直径AD 1＝AB 2＋AC 2＋AA 21＝32＋42＋122＝13，则球的半径为132，故选C.8．J2 执行如图1－2所示的程序框图，若输入n ＝8，则输出S ＝( )图1－2A.49B.67C.89D.10118．A 由程序框图可以得到 S ＝122－1＋142－1＋162－1＋182－1 ＝11×3＋13×5＋15×7＋17×9＝121－13＋13－15＋15－17＋17－19＝49，故选A. 3．J2 已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( ) A.35，－45 B.45，－35 C ．－35，45 D ．－45，353．A 由A ，B 坐标可知，AB →＝(3，－4)，对应的单位向量为e ＝（3，－4）32＋（－4）2＝35，－45，故选A.J3 二项式定理5．J3 (x ＋2)8的展开式中x 6的系数是( ) A ．28 B ．56 C ．112 D ．2245．C 含x 6的项是展开式的第三项，其系数为C 28×22＝112.J4 单元综合23．J4 设数列{a n }：1，－2，－2，3，3，3，－4，－4，－4，－4，…，(－1)k －1k ，…，(－1)k －1k ，k 个…，即当（k －1）k 2<n≤k （k ＋1）2(k∈N *)时，a n ＝(－1)k －1k.记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n∈N *)．对于l∈N *，定义集合P l ＝{n|S n 是a n 的整数倍，n∈N *，且1≤n≤l}．(1)求集合P 11中元素的个数； (2)求集合P 2 000中元素的个数．23．解：(1)由数列{a n }的定义得a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝－2，a 4＝3，a 5＝3，a 6＝3，a 7＝－4，a 8＝－4，a 9＝－4，a 10＝－4，a 11＝5，所以S 1＝1，S 2＝－1，S 3＝－3，S 4＝0，S 5＝3，S 6＝6，S 7＝2，S 8＝－2，S 9＝－6，S 10＝－10，S 11＝－5，从而S 1＝a 1，S 4＝0×a 4，S 5＝a 5，S 6＝2a 6，S 11＝－a 11，所以集合P 11中元素的个数为5.(2)先证：S i(2i ＋1)＝－i(2i ＋1)(i∈N *)．事实上，①当i ＝1时，S i(2i ＋1)＝S 3＝－3，－i(2i ＋1)＝－3，故原等式成立； ②假设i ＝m 时成立，即S m(2m ＋1)＝－m(2m ＋1)，则i ＝m ＋1时，S (m ＋1)(2m ＋3)＝S m(2m ＋1)＋(2m ＋1)2－(2m ＋2)2＝－m(2m ＋1)－4m －3＝－(2m 2＋5m ＋3)＝－(m ＋1)(2m ＋3)．综合①②可得S i(2i ＋1)＝－i(2i ＋1)．于是S (i ＋1)(2i ＋1)＝S i(2i ＋1)＋(2i ＋1)2＝－i(2i ＋1)＋(2i ＋1)2＝(2i ＋1)(i ＋1)．由上可知S i(2i ＋1)是2i ＋1的倍数，而a i(2i ＋1)＋j ＝2i ＋1(j ＝1，2，…，2i ＋1)，所以S i(2i＋1)＋j＝S i(2i ＋1)＋j(2i ＋1)是a i(2i ＋1)＋j (j ＝1，2，…，2i ＋1)的倍数，又S (i ＋1)(2i ＋1)＝(i ＋1)(2i＋1)不是2i ＋2的倍数．而a (i ＋1)(2i ＋1)＋j ＝－(2i ＋2)(j ＝1，2，…，2i ＋2)，所以S (i ＋1)(2i ＋1)＋j＝S (i ＋1)(2i ＋1)－j(2i ＋2)＝(2i ＋1)(i ＋1)－j(2i ＋2)不是a (i ＋1)(2i ＋1)＋j (j ＝1，2，…，2i ＋2)的倍数，故当l ＝i(2i ＋1)时，集合P l 中元素的个数为1＋3＋…＋(2i －1)＝i 2，于是，当l ＝i(2i ＋1)＋j(1≤j≤2i＋1)时，集合P l 中元素的个数为i 2＋j. 又2 000＝31×(2×31＋1)＋47.故集合P 2 000中元素的个数为312＋47＝1 008.。

锦囊妙解创新导学专题·高中数学·计数原理

锦囊妙解创新导学专题·高中数学·计数原理计数原理是高中数学学科中比较重要的一个概念，它能帮助学生们更好地理解数理逻辑，也能给学生日常生活带来很多方便，比如计算重量、价格、数量等等。

下面就来讲解一下计数原理。

一、什么是计数原理计数原理（Counting Principle）是指，如果一个任务有 m 个步骤，而每一步都有 n选择，那么在总共完成这个任务时，可以由此产生的组合总数为 m×n。

计数原理也是一种计算机科学，它是一种使用数学原理来确定或者说证明某种结果的方法。

二、计数原理的用途计数原理可以用于解决一些组合问题，比如：有 3 件衣服要从 5 件衣服中选择，那么可以有多少种选择方案？因为每件衣服有 5选择，所以就可以使用计数原理，将选择方案的总数算出来，为5×5×5=125种。

计数原理也可以用于计算排列组合，比如有 5 个学生要排成一排，那么排法有多少种？这时可以使用计数原理，5 个学生可以组成多少种排列方式呢？由计数原理可知，排列方式的总数是5×4×3×2×1=120种。

同样，计数原理也可以用于计算重量、价格和数量等，只要知道每个因素的选择数量就可以确定总数。

三、计数原理的运算步骤1.确计算的结果：根据题目确定想要计算的结果，比如排列数、组合数等。

2.定变量：找出每一步骤有多少个选项，确定每个步骤的变量。

3.算结果：按照计数原理，每一步的变量的乘积就是最终的结果。

四、总结计数原理是高中数学重要概念，它是一种有着广泛应用的数学原理，可用于解决组合问题、排列组合问题，也可以用于计算重量、价格和数量等。

学习计数原理可以帮助我们更好地理解数理逻辑，进而给我们日常生活带来更多方便。

高考真题理科数学计数原理

高考真题理科数学计数原理(总13页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2012年高考真题理科数学解析汇编：计数原理一、选择题1 ．（2012年高考（天津理））在251(2)x x-的二项展开式中,x 的系数为（） A ．10B ．10-C ．40D ．40-2 ．（2012年高考（新课标理））将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有（） A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种3 ．（2012年高考（浙江理））若从1,2,2,,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有（） A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种4 ．（2012年高考（重庆理））8的展开式中常数项为（） A ．1635B ．835 C ．435 D ．1055 ．（2012年高考（四川理））方程22ay bx c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--,且,,a b c 互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有（） A ．60条B ．62条C ．71条D ．80条6 ．（2012年高考（四川理））7(1)x +的展开式中2x 的系数是（） A ．42B ．35C ．28D ．217 ．（2012年高考（陕西理））两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有（） A ．10种B ．15种C ．20种D ．30种8 ．（2012年高考（山东理））现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张.不同取法的种数为（） A ．232B ．252C ．472D ．4849 ．（2012年高考（辽宁理））一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为（） A ．3×3!B ．3×(3!)3C ．(3!)4D ．9!10．（2012年高考（湖北理））设a ∈Z ,且013a ≤<,若201251a +能被13整除,则a =（） A ．0B ．1C ．11D ．1211．（2012年高考（大纲理））将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有（） A ．12种B ．18种C ． 24种D ．36种12．（2012年高考（北京理））从0,2 中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为（） A ．24B ．18C ．12D ．613．（2012年高考（安徽理））6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品,已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为（）A ．1或3B ．1或4C ．2或3D ．2或414．（2012年高考（安徽理））2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是（） A ．3-B ．2-C ．2D ．3二、填空题15．（2012年高考（浙江理））若将函数()5f x x =表示为()()()()250125111f x a a x a x a x =+++++++其中0a ,1a ,2a ,,5a 为实数,则3a =______________.16．（2012年高考（重庆理））某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个1节,则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为_______(用数字作答).17．（2012年高考（上海理））在6)2(xx -的二项展开式中,常数项等于 _________ . 18．（2012年高考（上海春））若52345012345(21),x a a x a x a x a x a x -=+++++则012345a a a a a a +++++=___.19．（2012年高考（陕西理））5()a x +展开式中2x 的系数为10, 则实数a 的值为__________.20．（2012年高考（湖南理））(6的二项展开式中的常数项为_____.(用数字作答)21．（2012年高考（广东理））(二项式定理)621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为_________.(用数字作答)22．（2012年高考（福建理））4()a x +的展开式中3x 的系数等于8,则实数a =_________.23．（2012年高考（大纲理））若1()nx x+的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中21x 的系数为___________.2012年高考真题理科数学解析汇编：计数原理参考答案一、选择题 1. 【答案】D【命题意图】本试题主要考查了二项式定理中的通项公式的运用,并借助于通项公式分析项的系数.【解析】∵25-1+15=(2)()r r r r T C x x -⋅-=5-10-352(1)r r r rC x -,∴103=1r -,即=3r ,∴x 的系数为40-.2. 【解析】选A 甲地由1名教师和2名学生:122412C C =种3. 【答案】D【解析】1,2,2,,9这9个整数中有5个奇数,4个偶数.要想同时取4个不同的数其和为偶数,则取法有:4个都是偶数:1种;2个偶数,2个奇数:225460C C =种;4个都是奇数:455C =种.∴不同的取法共有66种.4. 【答案】B【解析】841881()2r r r r r r r T C C x --+==,令404r r -=⇒=,故展开式中的常数项为4458135()28T C ==.【考点定位】本题考查利用二项展开式的通项公式求展开公的常数项.5. [答案]B[解析]方程22ay b x c =+变形得222b cy b a x -=,若表示抛物线,则0,0≠≠b a 所以,分b=-3,-2,1,2,3五种情况:(1)若b=-3,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==-===-=2,1,0,233,1,0,2,23,2,0,2c ,13,2,1,0,2或或或，或或或或或或或或或c a c a a c a ; (2)若b=3,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==-===-=2,1,0,233,1,0,2,23,2,0,2c ,13,2,1,0,2或或或，或或或或或或或或或c a c a a c a 以上两种情况下有9条重复,故共有16+7=23条; 同理当b=-2,或2时,共有23条; 当b=1时,共有16条. 综上,共有23+23+16=62种[点评]此题难度很大,若采用排列组合公式计算,很容易忽视重复的18条抛物线. 列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用.6. [答案]D[解析]二项式7)1(x +展开式的通项公式为1+k T =k k x C 7,令k=2,则2273x C T 、= 21C x 272=∴的系数为[点评]:高考二项展开式问题题型难度不大,要得到这部分分值,首先需要熟练掌握二项展开式的通项公式,其次需要强化考生的计算能力.7. 解析:先分类:3:0,3:1,3:2共计3类,当比分为3:0时,共有2种情形;当比分为3:1时,共有12428C A 种情形;当比分为3:2时,共有225220C A 种情形;总共有282030种,选D.8. 【解析】若没有红色卡,则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张,若都不同色则有64141414=⨯⨯C C C 种,若2色相同,则有14414241223=C C C C ;若红色卡片有1张,则剩余2张若不同色,有19214142314=⨯⨯⨯C C C C 种,如同色则有72242314=C C C ,所以共有4727219214464=+++,故选C.9. 【答案】C【解析】此排列可分两步进行,先把三个家庭分别排列,每个家庭有3!种排法,三个家庭共有33!3!3!(3!)⨯⨯=种排法;再把三个家庭进行全排列有3!种排法.因此不同的坐法种数为4(3!),答案为C【点评】本题主要考查分步计数原理,以及分析问题、解决问题的能力,属于中档题.10.考点分析:本题考察二项展开式的系数.解析:由于51=52-1,152...5252)152(1201120122011120122012020122012+-+-=-C C C ,又由于13|52,所以只需13|1+a,0≤a<13,所以a=12选D.11.答案A【命题意图】本试题考查了排列组合的用用.【解析】利用分步计数原理,先填写最左上角的数,有3种,再填写右上角的数为2种,在填写第二行第一列的数有2种,一共有32212⨯⨯=.12. 【答案】B【解析】由于题目要求是奇数,那么对于此三位数可以分成两种情况:奇偶奇,偶奇奇.如果是第一种奇偶奇的情况,可以从个位开始分析3种选择,之后二位,有2种选择,最后百位2种选择,共12种;如果是第二种情况偶奇奇,分析同理,个位有3种选择,十位有2种选择,百位有一种选择,共6种,因此总共12618+=种,选B.【考点定位】本题是排列组合问题,属于传统的奇偶数排列的问题,解法不唯一,需先进行良好的分类之后再分步计算,该问题即可迎刃而解.13. 【解析】选D261315132C -=-=①设仅有甲与乙,丙没交换纪念品,则收到4份纪念品的同学人数为2人 ②设仅有甲与乙,丙与丁没交换纪念品,则收到4份纪念品的同学人数为4人14. 【解析】选D第一个因式取2x ,第二个因式取21x得:1451(1)5C ⨯-= 第一个因式取2,第二个因式取5(1)-得:52(1)2⨯-=- 展开式的常数项是5(2)3+-=二、填空题 15. 【答案】10【解析】法一:由等式两边对应项系数相等.即:545543315544310100a C a a a C a C a a =⎧⎪+=⇒=⎨⎪++=⎩. 法二:对等式:()()()()2550125111f x x a a x a x a x ==+++++++两边连续对x 求导三次得:2234560624(1)60(1)x a a x a x =++++,再运用赋值法,令1x =-得:3606a =,即310a =.16. 【答案】53 【解析】语文、数学、英语三门文化课间隔一节艺术课,排列有种排法,语文、数学、英语三门文化课相邻有3344A A 种排法,语文、数学、英语三门文化课两门相邻有3312122223A C C A C 种排法.故所有的排法种数有在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为3322113343222366235A A C A C C A p A +==. 【考点定位】本题在计数时根据具体情况运用了插空法,做题时要注意体会这些方法的原理及其实际意义.17. [解析] 展开式通项rr r r r r r r r r xC x x C T 2666612)1(2)1(---+-=-=,令6-2r =0,得r =3,故常数项为1602336-=⨯-C .18. 1 19.解析:5()a x +展开式中第k 项为555k k k kT C a x ,令2k ,2x 的系数为23510C a,解得1a .20. 【答案】-160【解析】(6的展开式项公式是663166C (C 2(1)rr r r rr r r T x ---+==-.由题意知30,3r r -==,所以二项展开式中的常数项为33346C 2(1)160T =-=-. [来源:数理化网] 【点评】本题主要考察二项式定理,写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法.21.解析:20.621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()621231661kk k k kk T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭,令1233k -=,解得3k =,所以621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为3620C =.22. 【答案】2【解析】r 414,3r r T C a x r -+==∵∴时,34348,=2C a a -=∴【考点定位】该题主要考查二项式定理、二项式定理的项与系数的关系,考查计算求解能力.23.答案56【命题意图】本试题主要考查了二项式定理中通项公式的运用.利用二项式系数相等,确定了n 的值,然后进一步借助于通项公式,分析项的系数.【解析】根据已知条件可知26268n n C C n =⇔=+=,所以81()x x+的展开式的通项为818r r r T C x -+=,令8225r r -=-⇔=所以所求系数为5856C =.2012年高考真题理科数学解析汇编：计数原理一、选择题24 ．（2012年高考（天津理））在251(2)x x-的二项展开式中,x 的系数为（） A ．10B ．10-C ．40D ．40-25 ．（2012年高考（新课标理））将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有（） A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种26 ．（2012年高考（浙江理））若从1,2,2,,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有（） A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种27 ．（2012年高考（重庆理））8的展开式中常数项为（）A ．1635 B ．835 C ．435 D ．10528 ．（2012年高考（四川理））方程22ay b x c =+中的,,{3,2,0,1,2,3}a b c ∈--,且,,a b c 互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有（） A ．60条B ．62条C ．71条D ．80条29 ．（2012年高考（四川理））7(1)x +的展开式中2x 的系数是（） A ．42B ．35C ．28D ．2130 ．（2012年高考（陕西理））两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有（） A ．10种B ．15种C ．20种D ．30种31 ．（2012年高考（山东理））现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张.不同取法的种数为（） A ．232B ．252C ．472D ．48432 ．（2012年高考（辽宁理））一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为（） A ．3×3!B ．3×(3!)3C ．(3!)4D ．9!33．（2012年高考（湖北理））设a ∈Z ,且013a ≤<,若201251a +能被13整除,则a =（） A ．0B ．1C ．11D ．1234．（2012年高考（大纲理））将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有（） A ．12种B ．18种C ． 24种D ．36种35．（2012年高考（北京理））从0,2 中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为（） A ．24B ．18C ．12D ．636．（2012年高考（安徽理））6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品,已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为（） A ．1或3B ．1或4C ．2或3D ．2或437．（2012年高考（安徽理））2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是（） A ．3-B ．2-C ．2D ．3二、填空题38．（2012年高考（浙江理））若将函数()5f x x =表示为()()()()250125111f x a a x a x a x =+++++++其中0a ,1a ,2a ,,5a 为实数,则3a =______________.39．（2012年高考（重庆理））某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个1节,则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为_______(用数字作答).40．（2012年高考（上海理））在6)2(xx -的二项展开式中,常数项等于 _________ . 41．（2012年高考（上海春））若52345012345(21),x a a x a x a x a x a x -=+++++则012345a a a a a a +++++=___.42．（2012年高考（陕西理））5()a x +展开式中2x 的系数为10, 则实数a 的值为__________.43．（2012年高考（湖南理））(6的二项展开式中的常数项为_____.(用数字作答)44．（2012年高考（广东理））(二项式定理)621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为_________.(用数字作答)45．（2012年高考（福建理））4()a x +的展开式中3x 的系数等于8,则实数a =_________.46．（2012年高考（大纲理））若1()nx x+的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中21x 的系数为___________.2012年高考真题理科数学解析汇编：计数原理参考答案一、选择题 24. 【答案】D【命题意图】本试题主要考查了二项式定理中的通项公式的运用,并借助于通项公式分析项的系数.【解析】∵25-1+15=(2)()r r r r T C x x -⋅-=5-10-352(1)r r r rC x -,∴103=1r -,即=3r ,∴x 的系数为40-.25. 【解析】选A 甲地由1名教师和2名学生:122412C C =种26. 【答案】D【解析】1,2,2,,9这9个整数中有5个奇数,4个偶数.要想同时取4个不同的数其和为偶数,则取法有:4个都是偶数:1种;2个偶数,2个奇数:225460C C =种;4个都是奇数:455C =种.∴不同的取法共有66种.27. 【答案】B【解析】841881()2r r r r r r r T C C x --+==,令404r r -=⇒=,故展开式中的常数项为4458135()28T C ==.【考点定位】本题考查利用二项展开式的通项公式求展开公的常数项.28. [答案]B[解析]方程22ay b x c =+变形得222b cy b a x -=,若表示抛物线,则0,0≠≠b a 所以,分b=-3,-2,1,2,3五种情况:(1)若b=-3,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==-===-=2,1,0,233,1,0,2,23,2,0,2c ,13,2,1,0,2或或或，或或或或或或或或或c a c a a c a ; (2)若b=3,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==-===-=2,1,0,233,1,0,2,23,2,0,2c ,13,2,1,0,2或或或，或或或或或或或或或c a c a a c a 以上两种情况下有9条重复,故共有16+7=23条; 同理当b=-2,或2时,共有23条; 当b=1时,共有16条. 综上,共有23+23+16=62种[点评]此题难度很大,若采用排列组合公式计算,很容易忽视重复的18条抛物线. 列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用.29. [答案]D[解析]二项式7)1(x +展开式的通项公式为1+k T =k k x C 7,令k=2,则2273x C T 、= 21C x 272=∴的系数为[点评]:高考二项展开式问题题型难度不大,要得到这部分分值,首先需要熟练掌握二项展开式的通项公式,其次需要强化考生的计算能力.30. 解析:先分类:3:0,3:1,3:2共计3类,当比分为3:0时,共有2种情形;当比分为3:1时,共有12428C A 种情形;当比分为3:2时,共有225220C A 种情形;总共有282030种,选D.31. 【解析】若没有红色卡,则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张,若都不同色则有64141414=⨯⨯C C C 种,若2色相同,则有14414241223=C C C C ;若红色卡片有1张,则剩余2张若不同色,有19214142314=⨯⨯⨯C C C C 种,如同色则有72242314=C C C ,所以共有4727219214464=+++,故选C.32. 【答案】C【解析】此排列可分两步进行,先把三个家庭分别排列,每个家庭有3!种排法,三个家庭共有33!3!3!(3!)⨯⨯=种排法;再把三个家庭进行全排列有3!种排法.因此不同的坐法种数为4(3!),答案为C【点评】本题主要考查分步计数原理,以及分析问题、解决问题的能力,属于中档题.33.考点分析:本题考察二项展开式的系数.解析:由于51=52-1,152...5252)152(1201120122011120122012020122012+-+-=-C C C ,又由于13|52,所以只需13|1+a,0≤a<13,所以a=12选D.34.答案A【命题意图】本试题考查了排列组合的用用.【解析】利用分步计数原理,先填写最左上角的数,有3种,再填写右上角的数为2种,在填写第二行第一列的数有2种,一共有32212⨯⨯=.35. 【答案】B【解析】由于题目要求是奇数,那么对于此三位数可以分成两种情况:奇偶奇,偶奇奇.如果是第一种奇偶奇的情况,可以从个位开始分析3种选择,之后二位,有2种选择,最后百位2种选择,共12种;如果是第二种情况偶奇奇,分析同理,个位有3种选择,十位有2种选择,百位有一种选择,共6种,因此总共12618+=种,选B.【考点定位】本题是排列组合问题,属于传统的奇偶数排列的问题,解法不唯一,需先进行良好的分类之后再分步计算,该问题即可迎刃而解.36. 【解析】选D261315132C -=-=①设仅有甲与乙,丙没交换纪念品,则收到4份纪念品的同学人数为2人 ②设仅有甲与乙,丙与丁没交换纪念品,则收到4份纪念品的同学人数为4人37. 【解析】选D第一个因式取2x ,第二个因式取21x得:1451(1)5C ⨯-= 第一个因式取2,第二个因式取5(1)-得:52(1)2⨯-=- 展开式的常数项是5(2)3+-=二、填空题 38. 【答案】10【解析】法一:由等式两边对应项系数相等.即:545543315544310100a C a a a C a C a a =⎧⎪+=⇒=⎨⎪++=⎩. 法二:对等式:()()()()2550125111f x x a a x a x a x ==+++++++两边连续对x 求导三次得:2234560624(1)60(1)x a a x a x =++++,再运用赋值法,令1x =-得:3606a =,即310a =.39. 【答案】53 【解析】语文、数学、英语三门文化课间隔一节艺术课,排列有种排法,语文、数学、英语三门文化课相邻有3344A A 种排法,语文、数学、英语三门文化课两门相邻有3312122223A C C A C 种排法.故所有的排法种数有在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为3322113343222366235A A C A C C A p A +==. 【考点定位】本题在计数时根据具体情况运用了插空法,做题时要注意体会这些方法的原理及其实际意义.40. [解析] 展开式通项rr r r r r r r r r xC x x C T 2666612)1(2)1(---+-=-=,令6-2r =0,得r =3,故常数项为1602336-=⨯-C .41. 142.解析:5()a x +展开式中第k 项为555k k k k T C a x ,令2k ,2x 的系数为23510C a ,解得1a .43. 【答案】-160【解析】(6的展开式项公式是663166C (C 2(1)r r r r r r r r T x ---+==-.由题意知30,3r r -==,所以二项展开式中的常数项为33346C 2(1)160T =-=-. [来源:数理化网] 【点评】本题主要考察二项式定理,写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法.44.解析:20.621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()621231661k k k k k k T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭,令1233k -=,解得3k =,所以621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为3620C =. 45. 【答案】2【解析】r 414,3r r T C a x r -+==∵∴时,34348,=2C a a -=∴【考点定位】该题主要考查二项式定理、二项式定理的项与系数的关系,考查计算求解能力.46.答案56【命题意图】本试题主要考查了二项式定理中通项公式的运用.利用二项式系数相等,确定了n 的值,然后进一步借助于通项公式,分析项的系数.【解析】根据已知条件可知26268n n C C n =⇔=+=,所以81()x x+的展开式的通项为818r r r T C x -+=,令8225r r -=-⇔= 所以所求系数为5856C =.。

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高考真题第十五篇计数原理一、排列与组合二、二项式定理排列与组合排列与组合一、选择题1．(2018全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A ．112B ．114C ．115D ．1182．（2017新课标Ⅱ）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种3．（2017山东）从分别标有，，，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是A ．B ．C ．D ． 4．(2016年全国II)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A ．24B ．18C ．12D ．95．（2016四川）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为A ．24B ．48C ．60D ．726．（2015四川）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个7．（2014新课标1）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为12⋅⋅⋅99518495979A ．18 B ．38 C ．58 D ．788．（2014广东）设集合，那么集合A 中满足条件“”的元素个数为A ．60B ．90C ．120D ．1309．（2014安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为的共有A ．24对B ．30对C ．48对D ．60对10．（2014福建）用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由()()b a ++11的展开式ab b a +++1表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球，面“ab ”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、从5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是A ．()()()555432111c b a a a a a +++++++ B ．()()()554325111c b b b b b a +++++++ C ．()()()554325111c b b b b b a +++++++ D ．()()()543255111c c c c c b a +++++++ 11．（2013山东）用0，1，…，9十个数学，可以组成有重复数字的三位数的个数为A ．243B ．252C ．261D ．27912．（2012新课标）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种13．（2012浙江）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种14．（2012山东）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，并且红色卡片至多1张，不同取法的种(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x x x i ∈-=1234513x x x x x ≤++++≤60︒数是A．232 B．252 C．472 D．48415．（2010天津）如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用A．288种B．264种C．240种D．168种16．（2010山东）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有A．36种B．42种C．48种D．54种17．（2010广东）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。

如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是A．1205秒B．1200秒C．1195秒D．1190秒18．（2010湖北）现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。

甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是A．152 B．126 C．90 D．54二、填空题19．(2018全国卷Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有___种．（用数字填写答案）20．(2018浙江)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成个没有重复数字的四位数．(用数字作答)21．（2017浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法．（用数字作答）22．（2017天津）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个．（用数字作答）23．（2015广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言．（用数字作答）24（2014浙江）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）．25．（2014北京）把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种．26．（2014广东）从0,1,2,3,4,5,6,7,8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为．27．（2014江西）10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．28．（2013北京）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是．29．（2012湖北）回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99．3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则（Ⅰ）4位回文数有个；（Ⅱ）位回文数有个．30．给个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案如下图所示：21()n n ++∈N n 4n≤由此推断，当时，黑色正方形互不相邻．．．．的着色方案共有种，至少有两个黑色正方形相邻．．的着色方案共有种，（结果用数值表示） 31．（2013新课标2）从个正整数1，2，…，中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则=________． 32．（2013浙江）将六个字母排成一排，且均在的同侧，则不同的排法共有________种（用数字作答）．33．（2010浙江）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复. 若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人. 则不同的安排方式共有______________种（用数字作答）．6n n n 114n F E D C B A ,,,,,B A ,C排列与组合答案部分1．C 【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，从中随机选取两个不同的数有210C 种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的有3对，所以所求概率21031C 15==P ，故选C ． 2．D 【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有24C 种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有2343C A 36⨯=种．故选D ．3．C 【解析】不放回的抽取2次有1198C C 9872=⨯=，如图可知(1,2)与(2,1)是不同，所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同有11542C C =40，所求概率为405728=． 4．B 【解析】由题意可知E F →有6种走法，F G →有3种走法，由乘法计数原理知，共有6318⨯= 种走法，故选B ．5．D 【解析】由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为1、3、5中任选一个，有13A 种方法，其他数位上的数可以从剩下的4个数字中任选，进行全排列,有44A 种方法，所以其中奇数的个数为1434A A 72=，故选D ． 6．B 【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有个；若万位上排5，则有个.所以共有个，选B ． 7．D 【解析】4422728P -==． 8．D 【解析】易知12345||||||||||x x x x x ++++=1或2或3，下面分三种情况讨论．其一：213，4，5，6，7，8，92，3，4，5，6，7，8，91342A ⨯343A ⨯342A ⨯343524120A +⨯=⨯=12345||||||||||x x x x x ++++=1，此时，从12345,,,,x x x x x 中任取一个让其等于1或-1，其余等于0，于是有115210C C =种情况；其二：12345||||||||||x x x x x ++++=2，此时，从12345,,,,x x x x x 中任取两个让其都等于1或都等于-1或一个等于1、另一个等于-1，其余等于0，于是有221552240C C C +=种情况；其三：12345||||||||||x x x x x ++++=3，此时，从12345,,,,x x x x x 中任取三个让其都等于1或都等于-1或两个等于1、另一个等于-1或两个等于-1、另一个等于1，其余等于0,于是有3313255353280C C C C C ++=种情况．由于104080130++=．9．C 【解析】直接法：如图，在上底面中选11B D ，四个侧面中的面对角线都与它成，共8对，同样11A C 对应的也有8对，下底面也有16对，这共有32对；左右侧面与前后侧面中共有16对，所以全部共有48对．间接法：正方体的12条面对角线中，任意两条垂直、平行或成角为，所以成角为的共有21212648C --=． 10．A 【解析】分三步：第一步，5个无区别的红球可能取出0个，1个，…，5个，则有2345(1)a a a a a +++++种不同的取法；第二步，5个无区别的篮球都取出或都不取出，则有5(1)b +种不同的取法；第三步，5个有区别的黑球看作5个不同色，从5个不同色的黑球任取0个，1个，…，5个，有5(1)c +种不同的取法，所以所求的取法种数为2345(1)a a a a a +++++5(1)b +5(1)c +．11．B 【解析】能够组成三位数的个数是9×10×10=900，能够组成无重复数字的三位数的个数是9×9×8 =648．故能够组成有重复数字的三位数的个数为900648252-=．12．A 【解析】先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有122412C C =种． 13．D 【解析】和为偶数，则4个数都是偶数，都是奇数或者两个奇数两个偶数，则有44224545156066C C C C ++⋅=++=种取法．14．C 【解析】若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有14C ⨯14C ⨯14C =64，若2张同色，则有21213244144C C C C ⨯⨯⨯=，若红色1张，其余2张不60︒60︒60︒1同色，则有12114344192C C C C ⨯⨯⨯=，其余2张同色则有11243472C C C ⨯⨯=，所以共有64+144+192+72=472．另解1：,答案应选C ．另解2：． 15．B 【解析】B ，D ，E ，F 用四种颜色，则有441124A ⨯⨯=种涂色方法；B ，D ，E ，F 用三种颜色，则有334422212192A A ⨯⨯+⨯⨯⨯=种涂色方法；B ，D ，E ，F 用两种颜色，则有242248A ⨯⨯=种涂色方法；所以共有24+192+48=264种不同的涂色方法．16．B 【解析】分两类：一类为甲排在第一位共有4424A =种，另一类甲排在第二位共有133318A A =种，故编排方案共有241842+=种，故选B ． 17．C ．【解析】共有5！=120个不同的闪烁，每个闪烁要完成5次闪亮需用时间为5秒，共5⨯120=600秒；每两个闪烁之间的间隔为5秒，共5⨯(120—1)=595秒。