高考数学大一轮复习第一章第一节集合教师用书理0

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高考数学一轮复习第1章第1节集合教师用书文北师大版3

第一章集合与常用逻辑用语[深研高考·备考导航] 为教师备课、授课提供丰富教学资源[五年考情][重点关注]综合近5年全国卷高考试题，我们发现高考命题在本章呈现以下规律：1．从考查题型看：一般是一个选择题，个别年份是两个选择题，从考查分值看，在5分左右，题目注重基础，属容易题．2．从考查知识点看：主要考查集合的关系及其运算，有时综合考查一元二次不等式的解法，突出对数形结合思想的考查，对常用逻辑用语考查较少，有时会命制一道小题．3．从命题思路看：(1)集合的运算与一元二次不等式的解法相结合考查．(2)充分条件、必要条件与其他数学知识(导数、平面向量、三角函数、集合运算等)相结合考查．(3)全称命题、特称命题、含逻辑联结词命题与其他数学知识相结合考查．(4)通过对近5年全国卷高考试题分析，可以预测，在2018年，本章内容考查的重点是：①集合的关系及其基本运算；②全称命题、特称命题、含逻辑联结词命题真假的判断；③充分条件，必要条件的判断．[导学心语]根据近5年的全国卷高考命题特点和规律，复习本章时，要注意以下几个方面：1．全面系统复习，深刻理解知识本质(1)重视对集合相关概念的理解，深刻理解集合、空集、五个特殊集合的表示及子集、交集、并集、补集等概念，弄清集合元素的特征及其表示方法．(2)重视充分条件、必要条件的判断，弄清四种命题的关系．(3)重视含逻辑联结词命题真假的判断，掌握特称命题、全称命题否定的含义．2．熟练掌握解决以下问题的方法和规律(1)子集的个数及判定问题．(2)集合的运算问题．(3)充分条件、必要条件的判断问题．(4)含逻辑联结词命题的真假判断问题．(5)特称命题、全称命题的否定问题．3．重视数学思想方法的应用(1)数形结合思想：解决有关集合的运算问题时，可利用Venn图或数轴更直观地求解．(2)转化与化归思想：通过运用原命题和其逆否命题的等价性，进行恰当转化，巧妙判断命题的真假．第一节集合[考纲传真] 1.了解集合的含义，元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．1．集合的基本概念(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．2．集合间的基本关系(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.(2)真子集：若A⊆B，并且A≠B，则A B或B A.(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个．(2)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.(4)∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何集合都有两个子集．( )(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C.( )(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( )(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )[解析] (1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．(2)错误．集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是抛物线y＝x2上的点集．因此A，B，C不相等．(3)错误．当x＝1时，不满足互异性．(4)错误．当A＝∅时，B，C可为任意集合．[答案] (1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论正确的是( )【导学号：66482000】A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉AD[由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝22，知a∉A.]3．(2016·全国卷Ⅰ)设集合A ＝{1,3,5,7}，B ＝{x |2≤x ≤5}，则A ∩B ＝( ) A ．{1,3} B ．{3,5} C ．{5,7}D ．{1,7}B [集合A 与集合B 的公共元素有3,5，故A ∩B ＝{3,5}，故选B.]4．(2016·全国卷Ⅲ)设集合A ＝{0,2,4,6,8,10}，B ＝{4,8}，则∁A B ＝( ) A ．{4,8} B ．{0,2,6} C ．{0,2,6,10}D ．{0,2,4,6,8,10}C [∵集合A ＝{0,2,4,6,8,10}，B ＝{4,8}， ∴∁A B ＝{0,2,6,10}．]5．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为________．2 [集合A 表示圆心在原点的单位圆上的点，集合B 表示直线y ＝x 上的点，易知直线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝1相交，且有2个交点，故A ∩B 中有2个元素．](1)( ) A ．1 B ．3 C ．5D ．9(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B ．98 C ．0D ．0或98(1)C (2)D [(1)当x ＝0，y ＝0,1,2时，x －y ＝0，－1，－2；当x ＝1，y ＝0,1,2时，x －y ＝1,0，－1；当x ＝2，y ＝0,1,2时，x －y ＝2,1,0.根据集合中元素的互异性可知，B 的元素为－2，－1,0,1,2，共5个．(2)若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0得a ＝98，所以a 的取值为0或98.][规律方法] 1.研究集合问题，首先要抓住元素，其次看元素应满足的属性；特别地，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性，如题(1)．2．由于方程的不定性导致求解过程用了分类讨论思想，如题(2)．[变式训练1] 已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋3x －2＝0}，若A ＝∅，则实数a 的取值范围为________．【导学号：66482001】⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－98 [∵A ＝∅，∴方程ax 2＋3x －2＝0无实根，当a ＝0时，x ＝23不合题意；当a ≠0时，Δ＝9＋8a ＜0，∴a ＜－98.](1)已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( ) A ．A B B ．B A C ．A ⊆BD ．B ＝A(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．(1)B (2)(－∞，4] [(1)易知A ＝{x |－1≤x ≤1}，所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}，因此B A .(2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4.][规律方法] 1.B ⊆A ，应分B ＝∅和B ≠∅两种情况讨论．2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、韦恩(Venn)图化抽象为直观进行求解．[变式训练2] (1)(2017·长沙雅礼中学质检)若集合A＝{x|x＞0}，且B⊆A，则集合B 可能是( )【导学号：66482002】A．{1,2} B．{x|x≤1}C．{－1,0,1} D．R(2)(2017·湖南师大附中模拟)已知集合A＝{x|x＝x2－2，x∈R}，B＝{1，m}，若A⊆B，则m的值为( )A．2 B．－1C．－1或2 D．2或 2(1)A(2)A[(1)因为A＝{x|x＞0}，且B⊆A，再根据选项A，B，C，D可知选项A 正确．(2)由x＝x2－2，得x＝2，则A＝{2}．因为B＝{1，m}，且A⊆B，所以m＝2.]☞角度1(1)(2015·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为( )A．5 B．4C．3 D．2(2)(2017·郑州调研)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝( )A．[0,1] B．(0,1]C．[0,1) D．(－∞，1](1)D(2)A[(1)集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素．(2)M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lg x≤0}＝{x|0<x≤1}，M∪N＝[0,1]．]☞角度2 集合的交、并、补的混合运算(1)(2016·山东高考)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，则∁U(A∪B)＝( )A．{2,6} B．{3,6}C．{1,3,4,5} D．{1,2,4,6}(2)(2017·太原一模)已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)＜0}，N＝{x||x|≤1}，则阴影部分表示的集合是( )图111A．[－1,1) B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞) D．(－3，－1)(1)A(2)D[(1)∵A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，∴A∪B＝{1,3,4,5}．又U＝{1,2,3,4,5,6}，∴∁U(A∪B)＝{2,6}．(2)由题意可知，M＝(－3,1)，N＝[－1,1]，∴阴影部分表示的集合为M∩(∁U N)＝(－3，－1)．][规律方法] 1.求集合的交集和并集时首先应明确集合中元素的属性，然后利用交集和并集的定义求解．2．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．易错警示：在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽视空集的情况，一定要先考虑∅是否成立，以防漏解．[思想与方法]1．在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，对求出的字母的值，应检验是否满足集合元素的互异性，以确保答案正确．2．求集合的子集(真子集)个数问题，需要注意的是：首先，过好转化关，即把图形语言转化为符号语言；其次，当集合的元素个数较少时，常利用枚举法解决．3．对于集合的运算，常借助数轴、Venn图求解．(1)对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围，关键在于转化成关于参数的方程或不等式关系．(2)对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图，这是数形结合思想的又一体现．[易错与防范]1．集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简．2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，以防漏解．3．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．4．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心．。

高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合教师用书理新人教版

第一章集合与常用逻辑用语第1讲集合教师用书理新人教版(建议用时：25分钟)一、选择题1.(2015·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则( )A.A＝BB.A∩B＝∅C.A BD.B A解析∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，∴2，3∈A且2，3∈B，1∈A但1∉B，∴B A.答案 D2.(2016·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|(x＋1)·(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝( )A.{1}B.{1，2}C.{0，1，2，3}D.{－1，0，1，2，3}解析由(x＋1)(x－2)<0，得－1<x<2，又x∈Z，所以B＝{0，1}，因此A∪B＝{0，1，2，3}.答案 C3.(2017·肇庆模拟)已知集合A＝{x|lg x>0}，B＝{x|x≤1}，则( )A.A∩B≠∅B.A∪B＝RC.B⊆AD.A⊆B解析由B＝{x|x≤1}，且A＝{x|lg x>0}＝(1，＋∞)，∴A∪B＝R.答案 B4.已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}.若P∪M＝P，则a的取值范围是( )A.(－∞，－1]B.[1，＋∞)C.[－1，1]D.(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析因为P∪M＝P，所以M⊆P，即a∈P，得a2≤1，解得－1≤a≤1，所以a的取值范围是[－1，1].答案 C5.(2016·山东卷)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B＝( )A.(－1，1)B.(0，1)C.(－1，＋∞)D.(0，＋∞)解析由y＝2x，x∈R，知y>0，则A＝(0，＋∞).又B＝{x|x2－1<0}＝(－1，1).因此A∪B＝(－1，＋∞).答案 C6.(2016·浙江卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合P＝{1，3，5}，Q＝{1，2，4}，则(∁U P )∪Q ＝( )A.{1}B.{3，5}C.{1，2，4，6}D.{1，2，3，4，5}解析 ∵U ＝{1，2，3，4，5，6}，P ＝{1，3，5}，∴∁U P ＝{2，4，6}，∵Q ＝{1，2，4}，∴(∁U P )∪Q ＝{1，2，4，6}.答案 C7.若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A.1B.3C.7D.31解析具有伙伴关系的元素组是－1，12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2. 答案 B8.已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝( )A.{x |x ≥0}B.{x |x ≤1}C.{x |0≤x ≤1}D.{x |0<x <1}解析 ∵A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，∴A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}，在数轴上表示如图.∴∁U (A ∪B )＝{x |0<x <1}.答案 D二、填空题9.已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵1∉{x |x 2－2x ＋a >0}，∴1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}，即1－2＋a ≤0，∴a ≤1.答案 (－∞，1]10.(2016·天津卷)已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{y |y ＝2x －1，x ∈A }，则A ∩B ＝________. 解析由A ＝{1，2，3}，B ＝{y |y ＝2x －1，x ∈A }，∴B ＝{1，3，5}，因此A ∩B ＝{1，3}. 答案 {1，3}11.集合A ＝{x |x <0}，B ＝{x |y ＝lg[x (x ＋1)]}，若A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，则A －B ＝________.解析由x (x ＋1)>0，得x <－1或x >0，∴B ＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)，∴A －B ＝[－1，0).答案 [－1，0)12.(2017·石家庄质检)已知集合A ＝{x |x 2－2 016x －2 017≤0}，B ＝{x |x <m ＋1}，若A ⊆B ，则实数m 的取值范围是________.解析由x 2－2 016x －2 017≤0，得A ＝[－1，2 017]，又B ＝{x |x <m ＋1}，且A ⊆B ，所以m ＋1>2 017，则m >2 016.答案 (2 016，＋∞)能力提升题组(建议用时：10分钟)13.(2016·全国Ⅲ卷改编)设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则(∁R S )∩T ＝( )A.[2，3]B.(－∞，－2)∪[3，＋∞)C.(2，3)D.(0，＋∞) 解析易知S ＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，∴∁R S ＝(2，3)，因此(∁R S )∩T ＝(2，3).答案 C14.(2016·黄山模拟)集合U ＝R ，A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A.{x |x ≥1}B.{x |1≤x <2}C.{x |0<x ≤1}D.{x |x ≤1}解析易知A ＝(－1，2)，B ＝(－∞，1)，∴∁U B ＝[1，＋∞)，A ∩(∁U B )＝[1，2).因此阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}.答案 B15.(2017·南昌十所省重点中学模拟)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N |14≤2x ≤16，B ＝{x |y ＝ln(x 2－3x )}，则A ∩B 中元素的个数是________.解析由14≤2x ≤16，x ∈N ， ∴x ＝0，1，2，3，4，即A ＝{0，1，2，3，4}.又x 2－3x >0，知B ＝{x |x >3或x <0}，∴A ∩B ＝{4}，即A ∩B 中只有一个元素.答案 116.已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＋n＝________.解析A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，由A∩B＝(－1，n)可知m<1，则B＝{x|m<x<2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.所以m＋n＝0.答案0。

【精选】高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第一节集合教师用书理

第一节集合☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆自|主|排|查1．集合的含义与表示方法集合的含义：研究对象叫做元素(1)，一些元素组成的总体叫做。

集合中元素的性质：集合、确定性无序性、。

互异性属于，记为①∈(2)元素与集合的关系：。

；不属于，记为∉②列举法集合的表示方法：(3)、和。

图示法描述法(4)常用数集的记号：自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R。

2．集合间的基本关系A B或B A微点提醒1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件。

2．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身。

3．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心。

4．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性\”而导致解题错误。

5．记住以下结论(1)若集合A中有n个元素，则其子集的个数为2n，真子集的个数为2n－1。

(2)A∪B＝A⇔B⊆A；A∩B＝A⇔A⊆B。

小|题|快|练一、走进教材1．(必修1P12B组T4改编)满足{0,1}⊆A{0,1,2,3}的集合A的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4【解析】由题意得A可为{0,1}，{0,1,2}，{0,1,3}。

故选C。

【答案】C 2．(必修1P12B组T1改编)已知集合A＝{0,1,2}，集合B满足A∪B＝{0,1,2}，则集合B有________个。

【解析】由题意知B⊆A，则集合B有8个。

【答案】8二、双基查验1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝( )A．{－1,0,1} B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2} D．{0,1}【解析】M∪N表示属于M或属于N的元素构成的集合，故M∪N＝{－1,0,1,2}。

故选B。

【答案】B 2．设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}，则M∩N＝( )A．[0,1] B．[0,1)C．(0,1] D．(0,1)【解析】∵x2<1，∴－1<x<1。

高考数学一轮复习第一章第一节集合理新人教A版

{x|x≥0}，Q＝xxx＋－12≥0
，则
P∩(∁RQ)＝( D )
A．(－∞，2)
B．(－∞，－1]
C．(－1,0)
D．[0,2]
试题
解析
由题意可知 Q＝{x|x≤－1 或 x>2} ，则 ∁ RQ ＝ {x| － 1<x≤2}，所以 P∩(∁RQ)＝ {x|0≤x≤2}．故选 D.
考点一
集合的基本概念 |
试题
解析
题组训练
1．已知集合 S＝{x|3x＋a＝0}，如果
1∈S，那么 a 的值为( A )
A．－3
B．－1
C．1
D．3
∵1∈S，∴3＋a＝0， a＝－3.
考点一
题组训练
试题
解析
2．设集合 A＝{1,2,4}，集合 B＝{x|x
＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合 B
中的元素个数为( C )
A．4
试题
解析
典题悟法演练冲关
(1)已知全集 A＝{x∈N|x2＋
必记结论若集合 A 中有 n 个元素，则其子集个数为 2n，真子集个数为 2n－1，非空真子集的个数为 2n－2.
易误提醒易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．
知识点二
[自测练习]
试题
解析
知识点一知识点二知识点三
2．已知集合 A＝{x|x＝a＋(a2－ 1)i}(a∈R，i 是虚数单位)，若 A ⊆R，则 a＝( C ) A．1 B．－1 C．±1 D．0
B．5
C．6
D．7
∵a∈A，b∈A，x＝a ＋b，∴x＝ 2,3,4,5,6,8，∴B 中有 6 个元素，故选 C.
考点一

高考数学一轮复习第1章第1节集合教学案文含解析北师大版

第一节集合[考纲传真] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系：属于或不属于，分别记为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．(4)常见数集的记法A B或B A1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩∁U A＝∅；A∪∁U A＝U；∁U(∁U A)＝A.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何集合都至少有两个子集．( )(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C．( )(3)若{x2，x}＝{－1,1}，则x＝－1．( )(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C．( )[解析](1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．(2)错误．集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是抛物线y＝x2上的点集．因此A，B，C不相等．(3)正确．(4)错误．当A＝∅时，B，C可为任意集合．[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论正确的是( )A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉AD [由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝22知，a∉A.]3．设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝( )A．{1,2,3,4} B．{1,2,3}C．{2,3,4} D．{1,3,4}A [A∪B＝{1,2,3,4}．]4．设集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，则∁A B＝( )A．{4,8} B．{0,2,6}C．{0,2,6,10} D．{0,2,4,6,8,10}C [∁A B＝{0,2,6,10}．]5．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝( )A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－2＜x＜3}C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}A [∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，∴A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．]为( )A ．3B ．4C ．5D ．6B [因为集合M 中的元素x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，所以当b ＝4，a ＝1,2,3时，x ＝5,6,7. 当b ＝5，a ＝1,2,3时，x ＝6,7,8. 由集合元素的互异性，可知x ＝5,6,7,8. 即M ＝{5,6,7,8}，共有4个元素．]2．若集合A ＝{x ∈R|ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B.98 C ．0 D ．0或98D [若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0得a ＝98，所以a 的取值为0或98.]3．已知a ，b ∈R，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019为( )A ．1B ．0C ．－1D ．±1 C [由已知得a ≠0，则b a＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.]4．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________. 1 [由A ∩B ＝{3}知a ＋2＝3或a 2＋4＝3. 解得a ＝1.][规律方法] 与集合中的元素有关的问题的求解策略 (1)确定集合中的元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．【例1】 (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N}，则( ) A ．B ⊆A B ．A ＝B C ．A BD ．B A(2)(2019·大庆模拟)集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪⎪x ＋1x －3≤0，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则集合B的子集个数为( )A ．5B ．8C ．3D ．2(3)已知集合A ＝{x ∈R|x 2＋x －6＝0}，B ＝{x ∈R|ax －1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的取值集合为________．(1)C (2)B (3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，12，0 [(1)A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，则A B ，故选C.(2)由x ＋1x －3≤0得－1≤x ＜3，则A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }＝{1,2,5}，其子集的个数为23＝8个．(3)A ＝{－3,2}，若a ＝0，则B ＝∅，满足B ⊆A ，若a ≠0，则B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，由B ⊆A 知，1a ＝－3或1a ＝2，故a ＝－13或a ＝12，因此a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，12，0.] A ≠，应分(1)(2018·长沙模拟已知集合合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．8(2)已知集合A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{x |x ≤a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．(1)C (2)[2，＋∞)[(1)由A⊆C⊆B得C＝{0}或{0，－1}或{0,1}或{0，－1,1}，故选C.(2)A＝{x|0≤x≤2}，要使A⊆B，则a≥2.]►考法1 集合的运算【例2】(1)(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝( ) A．{0} B．{1}C．{1,2} D．{0,1,2}(2)(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁R A＝( )A．{x|－1＜x＜2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}(3)(2019·桂林模拟)已知集合M＝{x|－1＜x＜3}，N＝{－1,1}，则下列关系正确的是( )A．M∪N＝{－1,1,3} B．M∪N＝{x|－1≤x＜3}C．M∩N＝{－1} D．M∩N＝{x|－1＜x＜1}(1)C (2)B (3)B [(1)由题意知，A＝{x|x≥1}，则A∩B＝{1,2}．(2)法一：A＝{x|(x－2)(x＋1)＞0}＝{x|x＜－1或x＞2}，所以∁R A＝{x|－1≤x≤2}，故选B.法二：因为A＝{x|x2－x－2＞0}，所以∁R A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B.(3)M∪N＝{x|－1≤x＜3}，M∩N＝{1}，故选B.]►考法2 利用集合的运算求参数【例3】(1)设集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是( )A．－1＜a≤2B．a＞2C．a≥－1 D．a＞－1(2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( )A．0 B．1 C．2 D．4(3)(2019·厦门模拟)已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2－3x＋2＜0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是( )A．a≤1B．a＜1C．a≥2D．a＞2(1)D (2)D (3)C [(1)由A∩B≠∅知，集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示：易知a＞－1，故选D.(2)由题意可知{a，a2}＝{4,16}，所以a＝4，故选D.(3)B＝{x|1＜x＜2}，由A∩B＝B知B⊆A，则a≥2，故选C.]( )A．(－1,0) B．(0,1)C．(－1,3) D．(1,3)(2)(2019·西安模拟)设集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B＝{x|x≤2，x∈Z}，则(∁R A)∩B＝( )A．{1} B．{2}C．{1,2} D．∅(3)(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B ＝( )A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}(4)(2019·长沙模拟)已知集合A＝{1,3,9,27}，B＝{y|y＝log3x，x∈A}，则A∩B＝( )A．{1,3} B．{1,3,9}C．{3,9,27} D．{1,3,9,27)(1)C (2)D (3)C (4)A [(1)A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜3}，所以A∪B＝{x|－1＜x＜3}，故选C.(2)A＝{x|x≤1或x≥2}，则∁R A＝{x|1＜x＜2}．又集合B＝{x|x≤2，x∈Z}，所以(∁R A)∩B＝∅，故选D.(3)∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．故选C.(4)因为A ＝{1,3,9,27}，B ＝{y |y ＝log 3x ，x ∈A }＝{0,1,2,3}，所以A ∩B ＝{1,3}．]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{0,2}，B ＝{－2，－1,0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,2} B ．{1,2}C ．{0}D ．{－2，－1,0,1,2}A [由题意知A ∩B ＝{0,2}．]2．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z，y ∈Z}，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4A [由x 2＋y 2≤3知，－3≤x ≤3，－3≤y ≤ 3.又x ∈Z，y ∈Z，所以x ∈{－1,0,1}，y ∈{－1，0,1}，所以A 中元素的个数为9，故选A.]3．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，则( )A ．A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜32 B ．A ∩B ＝∅C ．A ∪B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜32 D ．A ∪B ＝RA [因为B ＝{x |3－2x ＞0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜32，A ＝{x |x ＜2}，所以A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜32，A ∪B ＝{x |x ＜2}．故选A.]4．(2015·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N}，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2D [分析集合A 中元素的特点，然后找出集合B 中满足集合A 中条件的元素个数即可．集合A 中元素满足x ＝3n ＋2，n ∈N，即被3除余2，而集合B 中满足这一要求的元素只有8和14.故选D.]。

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第章集合与常用逻辑用语第一节集合[考纲传真](教师用书独具)1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．(对应学生用书第1页)[基础知识填充]1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．(4)常见数集的记法A(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个．(2)任何集合是其本身的子集，即：A⊆A.(3)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.(4)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.(5)∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何集合都有两个子集．()(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．()(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.()(4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．()(5)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．(6)若A∩B＝A∩C，则B＝C.()[解析](1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．(2)错误．三个集合分别表示函数y＝x2的定义域(－∞，＋∞)，值域[0，＋∞)，抛物线y＝x2上的点集．(3)错误．当x＝1时，不满足互异性．(4)正确．两个集合均为不大于1的实数组成的集合．(5)正确．由交集、并集、子集的概念知，正确．(6)错误．当A＝∅时，B，C可为任意集合．[答案](1)×(2)×(3)×(4)√(5)√(6)×2．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤22}，a＝2，则下列结论正确的是()【导学号：79140000】A．{a}⊆A B．a⊆A C．{a}∈A D．a∉AD [由题意知A ＝{0,1,2}，由a ＝2，知a ∉A .]3．若集合A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}，则A ∩B ＝( )A ．{x |－2＜x ＜－1}B ．{x |－2＜x ＜3}C ．{x |－1＜x ＜1}D ．{x |1＜x ＜3}A [∵A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}， ∴A ∩B ＝{x |－2＜x ＜－1}．故选A.]4．设全集U ＝{x |x ∈N ＋，x ＜6}，集合A ＝{1,3}，B ＝{3,5}，则∁U (A ∪B )等于( )A ．{1,4}B ．{1,5}C ．{2,5}D ．{2,4}D [由题意得A ∪B ＝{1,3}∪{3,5}＝{1,3,5}．又U ＝{1,2,3,4,5}，∴∁U (A ∪B )＝{2,4}．]5．已知集合A ＝{x 2＋x,4x }，若0∈A ，则x ＝________.－1 [由题意，得⎩⎨⎧ x 2＋x ＝0，4x ≠0或⎩⎨⎧4x ＝0，x 2＋x ≠0，解得x ＝－1.](对应学生用书第2页)(1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M中的元素个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6(2)已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，ba ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019为( )A ．1B ．0C ．－1D ．±1(1)B (2)C [(1)因为集合M 中的元素x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，所以当b ＝4，a ＝1,2,3时，x ＝5,6,7.当b ＝5，a ＝1,2,3时，x ＝6,7,8. 由集合元素的互异性，可知x ＝5,6,7,8.即M＝{5,6,7,8}，共有4个元素．(2)由已知得a≠0，则ba＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.]A.92 B.98C．0 D．0或98(2)已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________.【导学号：79140001】(1)D(2)－32[(1)若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a＝0时，x＝23，符合题意；当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0得a＝9 8，所以a的取值为0或9 8.(2)因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3. 当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，此时集合A中有重复元素3，所以m＝1不符合题意，舍去；当2m2＋m＝3时，解得m＝－32或m＝1(舍去)，此时当m＝－32时，m＋2＝12≠3符合题意．所以m＝－3 2.](1)已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( )A ．AB B ．B AC ．A ⊆BD ．B ＝A(2)已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}，B ＝{x |－m ＜x ＜m }．若B ⊆A ，则m 的取值范围为________．(1)B (2)m ≤1 [(1)由题意知A ＝{x |－1≤x ≤1}，所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}，因此B A .(2)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A ，当m ＞0时，因为A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}＝{x |－1＜x ＜3}．当B ⊆A 时，有所以⎩⎨⎧－m ≥－1，m ≤3，－m ＜m .所以0＜m ≤1.综上所述，m 的取值范围为m ≤1.]则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．(1)D (2)(－∞，4] [(1)由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2，所以A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． (2)∵B ⊆A ，∴当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎨⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4.]◎角度1 集合的运算(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x ＜1}，则( )A ．A ∩B ＝{x |x ＜0} B ．A ∪B ＝RC ．A ∪B ＝{x |x ＞1}D ．A ∩B ＝∅(2)(2018·九江一中)设U ＝R ，A ＝{－3，－2，－1，0,1,2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁U B )＝( )A ．{1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－3，－2，－1,0}D ．{2}(1)A (2)C [(1)∵B ＝{x |3x ＜1}，∴B ＝{x |x ＜0}．又A ＝{x |x ＜1}，∴A ∩B ＝{x |x ＜0}，A ∪B ＝{x |x ＜1}．故选A. (2)由题意得∁U B ＝{x |x ＜1}，∴A ∩(∁U B )＝{－3，－2，－1,0}，故选C.] ◎角度2 利用集合的运算求参数(2018·合肥第二次质检)已知A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)A [集合A ∩B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2a －1，2a －1≥1，解得a ≥1，故选A.] ◎角度3 新定义集合问题如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x,0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝______.{0,6} [由题意可知－2x ＝x 2＋x ，所以x ＝0或x ＝－3.而当x ＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x ＝－3时，A ＝{－6,0,6}，所以A ∩B ＝{0,6}．]A ∩B ＝{1}，则B ＝( ) A ．{1，－3} B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}(2)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |(x －1)(x ＋3)＜0}，N ＝{x ||x |≤1}，则阴影部分(如图1-1-1)表示的集合是()图1-1-1A．[－1,1) B．(－3,1] C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞) D．(－3，－1)(3)设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝________.【导学号：79140002】(1)C(2)D(3){0}∪[2，＋∞)[(1)∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.(2)由题意可知，M＝(－3,1)，N＝[－1,1]，∴阴影部分表示的集合为M∩(∁N)＝(－3，－1)．U(3)由已知A＝{x|0＜x＜2}，B＝{y|y≥0}，又由新定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．]。

2024年高考数学一轮复习(新高考版) 第1章 §1-1 集合

②若x∈M，则x2∈M.则集合M可能是
√A.{－1,1} √C.{1}
B.{－1,1,2,4} D.{1，－2,2}
由题意可知3∉M且4∉M，而－2或2与4同时出现，所以－2∉M且2∉M，所以满足条件的非空集合M有{－1,1}，{1}.
(2)函数f(x)＝ x2－2x－3 的定义域为A，集合B＝{x|－a≤x≤4－a}，若 B⊆A，则实数a的取值范围是__(－__∞__，__－__3_]_∪__[_5_，_＋__∞__)__.
(2)已知集合M＝{1,2,3,4}，A⊆M，集合A中所有元素的乘积称为集合A的 “累积值”，且规定：当集合A只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0.设集合A的累积值为n. ①若n＝3，则这样的集合A共有____2____个；
若n＝3，据“累积值”的定义得A＝{3}或A＝{1,3}，这样的集合A共有2个；
√A.[1,4)
C.[4，＋∞)
B.(1,4) D.(4，＋∞)
由题意可得A＝{x|1<x<4}. 因为A∪B＝{x|x>1}，所以1≤a<4.
题型四集合的新定义问题
例5 (1)(多选)当一个非空数集F满足条件“若a，b∈F，则a＋b，a－b， ab∈F，且当b≠0时， ab∈F”时，称F为一个数域，以下说法正确的是
(2)设全集U＝R，A＝{x|－2≤x<4}，B＝{x|y＝ x＋2}，则图中阴影部分表示的集合为 A.{x|x≤－2} B.{x|x>－2}
√C.{x|x≥4}
D.{x|x≤4}
观察Venn图，可知阴影部分的元素由属于B而不属于A的元素构成，所以阴影部分表示的集合为(∁UA)∩B. ∵A＝{x|－2≤x<4}，U＝R， ∴∁UA＝{x|x<－2或x≥4}，又B＝{x|y＝ x＋2 }⇒B＝{x|x≥－2}， ∴(∁UA)∩B＝{x|x≥4}.

2024年高考数学高三大一轮复习专题01 集合

专题01 集合【知识精讲】一、集合的基本概念 1．元素与集合的关系：a A a A∈⎧⎨∉⎩属于，记为不属于，记为.2．集合中元素的特征：即一个集合一旦3．集合的分类：有限集与无限集，特别地，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记作∅.4．常用数集及其记法：注意：实数集R 不能表示为{x |x 为所有实数}或{R }，因为“{ }”包含“所有”“全体”的含义.5．集合的表示方法：自然语言、列举法、描述法、图示法. 二、集合间的基本关系或集合A ∅⊆，必记结论：（1）若集合A 中含有n 个元素，则有2n 个子集，有21n −个非空子集，有21n −个真子集，有22n −个非空真子集．（2）子集关系的传递性，即,A B B C A C ⊆⊆⇒⊆. 注意：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解. 三、集合的基本运算 1．集合的基本运算{|B x x =|{B x x ={|UA x =2．集合运算的相关结论B A ⊆ B B ⊆ A A A = ∅=∅B A ⊇B B ⊇A A =A ∅=()UU A A =UU =∅ UU ∅=()U A A =∅()U A A U =3．必记结论(.)UUU A B A B A A B B A B A B ⊆⇔=⇔=⇔⊇=⇔∅【题型精讲】题型一集合的基本概念【例1-1】设集合{}22,2,1A a a a =−+−，若4A ∈，则a 的值为（）．A ．1−，2B ．3−C ．1−，3−，2D ．3−，2【答案】D 【解析】【分析】由集合中元素确定性得到：1a =−，2a =或3a =−，通过检验，排除掉1a =−. 【详解】由集合中元素的确定性知224a a −+=或14a −=．当224a a −+=时，1a =−或2a =；当14a −=时，3a =−．当1a =−时，{}2,4,2A =不满足集合中元素的互异性，故1a =−舍去；当2a =时，{}2,4,1A =−满足集合中元素的互异性，故2a =满足要求；当3a =−时，{}2,14,4A =满足集合中元素的互异性，故3a =−满足要求．综上，2a =或3a =−．故选：D ．【例1-2】（多选题）设集合{}22,,Z M a a x y x y ==−∈，则下列是集合M 中的元素的有（） A ．4n ，Z n ∈ B ．41n +，Z n ∈ C ．42n +，Z n ∈ D ．43n +，Z n ∈【答案】ABD 【解析】【分析】分别对x ，y 取整数，1x n =+，1y n =−可判断A ；由21x n =+，2y n =可判断B ；令()()42n x y x y +=+−，通过验证不成立可判断C ；由22x n =+，21y n =+可判断D ，进而可得正确选项. 【详解】对于A ：因为()()22411n n n =+−−，Z n ∈，1Z n +∈，1Z n −∈，所以4n M ，故选项A正确；对于B ：因为()()2241212n n n +=+−，Z n ∈，21Z n +∈，2Z n ∈，所以41n M ，故选项B 正确；对于C ：若()42Z n n M +∈∈，则存在x ，Z y ∈使得2242x y n ，则()()42n x y x y +=+−，易知x y +和x y −同奇或同偶，若x y +和x y −都是奇数，则()()x y x y +−为奇数，而42n +是偶数，矛盾；若x y +和x y −都是偶数，则()()x y x y +−能被4整除，而42n +不能被4整除，矛盾，所以42nM ，故选项C 不正确；对于D ：()()22432221n n n +=+−+，22Z n +∈，21Z n +∈，所以43n M ，故选项D正确；故选：ABD.【例1-3】集合*83A x NN x ⎧⎫=∈∈⎨⎬−⎩⎭，用列举法可以表示为A =_________．【答案】{1,2}、{2,1} 【解析】【分析】根据集合元素属性特征进行求解即可. 【详解】因为83N x*∈−，所以31,2,4,8−=x ，可得2,1,1,5=−−x ，因为x N ∈，所以1,2x =，集合{1,2}A =．故答案为：{1,2}【练习1-1】已知集合 {}20,,32A m m m =−+，且 2A ∈，则实数m 的值为（）A ．3B ．2C ．0或3D ．0或2或3【答案】A 【解析】【分析】依题意可得2m =或2322m m −+=，求出方程的根，再代入集合中检验即可；【详解】解：因为{}20,,32A m m m =−+，且2A ∈，所以2m =或2322m m −+=，解得2m =或0m =或3m =，当2m =时2320m m −+=，即集合A 不满足集合元素的互异性，故2m ≠，当0m =时集合A 不满足集合元素的互异性，故0m ≠，当3m =时{}0,3,2A =满足条件；故选：A【练习1-2】已知集合{}220A x x x a =−+>，且1A ∉，则实数a 的所有取值构成的集合是________．【答案】(],1−∞ 【解析】【分析】根据集合与元素见的关系直接列不等式，进而得解. 【详解】由1A ∉，得21210a −⨯+≤，解得1a ≤，故答案为：(],1−∞.【练习1-3】已知,x y 均为非零实数，则代数式xy x yx y xy++的值所组成的集合的元素个数是______．【答案】2 【解析】【分析】分析题意知代数式xy x yx y xy++的值与,x y 的符号有关，按其符号的不同分3种情况讨论，分别求出代数式的值，即可得解. 【详解】根据题意分2种情况讨论：当,x y 全部为负数时，xy 为正数，则1111xyx y x y xy++=−−+=−；当,x y 全部为正数时，xy 为正数，则1113xy x y x y xy++=++=；当,x y 一正一负时，xy 为负数，则1111xy x y x y xy++=−−=−；综上可知，xy x yx y xy++的值为1−或3，即代数式的值所组成的集合的元素个数是2 故答案为：2题型二集合的基本关系【例2-1】若集合1|(21),9A x x k k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，41|,99B x x k k Z ⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭，则集合,A B 之间的关系为（） A ．A B B ．B A C ．A B = D ．A B ≠【答案】C 【解析】【分析】根据子集的定义证得A B ⊆和B A ⊆，即可得出结论. 【详解】设任意1x A ∈，则1111(21),9x k k Z =+∈，当12,k n n Z =∈时1141(41)999x n n =+=+，所以1x B ∈；当121,k n n Z =−∈时，1141(41)999x n n =−=−，所以1x B ∈．所以A B ⊆又设任意2x B ∈，则2222414(41),999x k k k Z =±=±∈ 因为22412(2)1k k +=+，22412(21)1k k −=−+，且22k 表示所有的偶数，221k −表示所有的奇数．所以2241k k Z ±∈()与21()n n Z +∈都表示所有的奇数．所以2x A ∈．所以B A ⊆故A B =．故选：C.【例2-2】已知集合{}2230A x x x =−−=，{}20B x ax =−=，且B A ⊆，则实数a 的值为___________. 【答案】2a =−或23a =或0 【解析】【分析】先求得集合A ，分情况讨论，0,a B ==∅满足题意；当0a ≠时，{}220B x ax a ⎧⎫=−==⎨⎬⎩⎭，因为B A ⊆，故得到21a =−或23a =，解出即可.【详解】解：已知集合{}{}22301,3A x x x =−−==−，{}20B x ax =−=，当0,a B ==∅，满足B A ⊆；当0a ≠时，{}220B x ax a ⎧⎫=−==⎨⎬⎩⎭，因为B A ⊆，故得到21a =−或23a=，解得2a =−或23a =；故答案为：2a =−或23a =或0.【例2-3】已知{}(){}22240,2110A xx x B x x a x a =+==+++−=∣∣. (1)若A 是B 的子集，求实数a 的值； (2)若B 是A 的子集，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)1a =； (2)1a −或1a =. 【解析】【分析】（1）由题得{}4,0B A ==−，解2Δ0402(1)401a a >⎧⎪−+=−+⎨⎪−⨯=−⎩即得解；（2）由题得B A ⊆，再对集合B 分三种情况讨论得解. (1)解：由题得{}4,0A =−.若A 是B 的子集，则{}4,0B A ==−，所以2Δ0402(1),1401a a a >⎧⎪−+=−+∴=⎨⎪−⨯=−⎩.(2)解：若B 是A 的子集，则B A ⊆.①若B 为空集，则()22Δ4(1)41880a a a =+−−=+<，解得1a <−； ②若B 为单元素集合，则()22Δ4(1)41880a a a =+−−=+=，解得1a =−. 将1a =−代入方程()222110x a x a +++−=，得20x =，即{}0,0x B ==，符合要求； ③若B 为双元素集合，{}4,0B A ==−，则1a =. 综上所述，1a −或1a =.【练习2-1】设集合18045,Z 2k M x x k ⎧⎫==⋅︒+︒∈⎨⎬⎩⎭，18045,Z 4kN x x k ⎧⎫==⋅︒+︒∈⎨⎬⎩⎭，则两集合间的关系是（） A ．MNB ．M NC ．N MD ．M N ⋂=∅【答案】B 【解析】【分析】变形(){}2145,Z M x x k k ==+⨯︒∈，(){}145,Z N x x k k =+⨯︒∈，分析比较即可得解. 【详解】由题意可(){}18045,Z 2145,Z 2kM x x k x x k k ⎧⎫==⋅︒+︒∈==+⨯︒∈⎨⎬⎩⎭即M 为45︒的奇数倍构成的集合，又(){}18045,Z 145,Z 4kN x x k x x k k ⎧⎫==⋅︒+︒∈==+⨯︒∈⎨⎬⎩⎭，即N 为45︒的整数倍构成的集合，M N ∴⊆，即M N 故选：B【练习2-2】已知集合{|4A x x =≥或}5x <−，{}|13B x a x a =+≤≤+，若B A ⊆，则实数a 的取值范围_________．【答案】{|8a a <−或}3a ≥ 【解析】【分析】根据B A ⊆，利用数轴，列出不等式组，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，或要使B A ⊆，只需35a +<−或14a +≥，解得8a <−或3a ≥．所以实数a 的取值范围{|8a a <−或}3a ≥. 故答案为：{|8a a <−或}3a ≥【练习2-3】满足{}1A ⊆ {1，2，3}的所有集合A 是___________．【答案】{1}或{1，2}或{1，3} 【解析】【分析】由题意可得集合A 中至少有一个元素1，且为集合{1，2，3}的真子集，从而可求出集合A 【详解】因为{}1A ⊆ {1，2，3}，所以集合A 中至少有一个元素1，且为集合{1，2，3}的真子集，所以集合A 是{1}或{1，2}或{1，3}，故答案为：{1}或{1，2}或{1，3}题型三集合的基本运算【例3-1】已知集合{}21A x x =−≤≤，集合{}2log 1B x x =<，则A B =（） A ．∅ B ．(0,1] C ．[2,1]− D ．(0,2)【答案】B 【解析】【分析】先求解集合B ，再利用交集运算即可. 【详解】解：由题得集合{|02}B x x =<<，所以{|01}A B x x =<≤. 故选：B ．【例3-2】已知U=R 是实数集，21M x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，{N x y ==，则()N M =R （）A ．(),0∞−B ．(),1−∞C ．(]0,1D ．()0,1【答案】D【解析】【分析】先求得集合M 、N ，再运用集合的交集、补集运算求得答案.【详解】解：∵{}221002x M x x x x x x ⎧⎫⎧⎫−=>=<=<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，{{}1N x y x x ===≥， ∴(){}{}{}10201R N M x x x x x x ⋂=<⋂<<=<<，故选：D.【例3-3】已知集合{2}A xa x a =<<∣，{4B x x =≤−或}3x ≥. (1)当2a =时，求()R A B ⋃；(2)若R A B ⊆，求a 的取值范围.【答案】(1){44}xx −<<∣ (2)3,2⎛⎤−∞ ⎥⎝⎦ 【解析】【分析】（1）由补集和并集的定义可运算求得结果；（2）分别在A =∅和A ≠∅两种情况下，根据交集为空集可构造不等式求得结果.(1) 由题意得{}24A x x =<<，{4B x x =≤−或}3x ≥， {}R 43B x x ∴=−<<，故(){}R 44A B x x ⋃=−<<.(2)当0a ≤时，A =∅，符合题意，当0a >时，由23a ≤，得302<≤a ，故a 的取值范围为3,2⎛⎤−∞ ⎥⎝⎦．【练习3-1】已知集合{}1,0,1,2A =−，集合{}lg 0B x x =>，则() AB =R （） A ．{}1,0,1−B ．{}1,0−C ．{}0,1D ．(],1−∞ 【答案】A【解析】【分析】解不等式后由补集与交集的概念运算【详解】因为集合{}{}lg 01B x x x x =>=>，所以{}1R B x x =≤，又集合{}1,0,1,2A =−，所以(){} 1,0,1A B =−R ，故选：A 【练习3-2】设全集为R ，{|1A x x =<−或}4x >，{}123B x a x a =−≤≤+.(1)若1a =，求A B ，()R A B .(2)已知A B =∅，求实数a 的取值范围.【答案】(1){}45A B xx ⋂=<≤∣，(){}R 15A B x x ⋃=−≤≤∣； (2)12a ≤. 【解析】【分析】（1）当1a =时求出集合B ，再进行交集，补集，并集运算即可求解；（2）讨论B =∅和B ≠∅两种情况，列不等式解不等式即可求解.(1)因为1a =，所以{}05B x x =≤≤∣，{}R |14A x x =−≤≤，所以{}45A B xx ⋂=<≤∣，(){}R 15A B x x ⋃=−≤≤∣. (2)因为A B =∅，当B =∅时，满足A B =∅，所以123a a −>+，得23a <−；当B ≠∅时，因为A B =∅，所以23111234a a a a +≥−⎧⎪−≥−⎨⎪+≤⎩，解得2132a −≤≤，综上实数a 的取值范围为：12a ≤. 题型四 Venn 图及其应用【例4-1】如图，三个圆的内部区域分别代表集合A ，B ，C ，全集为I ，则图中阴影部分的区域表示（）A ．ABC ⋂⋂B ．()I AC B ⋂⋂ C ．()I A B C ⋂⋂D ．()I B C A ⋂⋂【答案】B【解析】【分析】找到每一个选项对应的区域即得解.【详解】解：如图所示，A. A B C ⋂⋂对应的是区域1；B. ()I A C B ⋂⋂对应的是区域2；C. ()I A B C ⋂⋂对应的是区域3；D. ()I B C A ⋂⋂对应的是区域4.故选：B【例4-2】已知全集R U =，集合{}|2,1x A y y x ==>，{}|24B x x =−<<，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．[2,2]−B ．(2,2)−C ．(2,2]−D ．[2,2)−【答案】C【解析】【分析】求出集合A ，阴影部分表示为：()U B A ⋂，再分析求解即可.【详解】因为{}|2,1x A y y x ==>，所以()2,A =+∞，又{}|24B x x =−<<，全集R U =，所以图中阴影部分表示的集合为()(2,2]U B A =−．故选：C.【练习4-1】已知M ，N 为R 的两个不相等的非空子集，若M N M ⋂=，则（）A ．M N =RB ．M N ⋃=R RC ．N M ⋃=R RD ．M N ⋃=R R R【答案】C【解析】【分析】依题意可得M N ，结合韦恩图即可判断；【详解】解：依题意M N M ⋂=，所以M N ，则集合M ，N 与R 的关系如下图所示：所以N M ⋃=R R ；故选：C【练习4-2】已知全集U =R ，集合{}290A x x =−>，122x B x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则图中阴影部分所表示的集合为（）A ．{}3x x <B ．{}13x x −<<C ．{}1x x >−D ．{}11x x −<≤【答案】B【解析】【分析】根据不等式的解法和指数函数的性质，分别求得集合,A B ，结合题意和集合的运算法则，即可求解.【详解】由不等式290−>x ，解得33x −<<，即集合{}33A x x =−<<，又由122x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，解得1x ≤−，即集合{}1B x x =≤−，则{}|1U B x x =>−，又因为图中阴影部分表示的集合为()U A B ∩，所以(){}|13U AB x x =−<<.故选：B.题型五集合中的创新型问题【例5-1】定义集合,A B 的一种运算：2{|,,}A B x x a b a A b B ⊗==−∈∈，若{}1,0A =−，{}1,2B =，则A B ⊗中的元素个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】根据集合的新定义确定集合中的元素.【详解】因为2{|,,}A B x x a b a A b B ⊗==−∈∈，{}1,0A =−，{}1,2B =，所以{0,1,2}A B ⊗=−−，故集合A B ⊗中的元素个数为3，故选：C.【例5-2】（多选题）设P 是一个数集，且至少含有两个元素.若对任意的a b P ∈，，都有a ab a b ab P b+−∈，，，（除数0b ≠），则称P 是一个数域.则关于数域的理解正确的是（）A ．有理数集Q 是一个数域B ．整数集是数域C ．若有理数集Q M ⊆，则数集M 必为数域D ．数域必为无限集【答案】AD【解析】【分析】根据数域的定义逐项进行分析即可求解.【详解】对于A ，若Q a b ∈，，则()Q Q Q Q 0aa b a b ab b b+∈−∈∈∈≠，，，，所以有理数集Q 是一个数域，故A 正确；对于B ，因为1Z Z,∈∈，2所以1Z 2∉，所以整数集不是数域，故B 不正确；对于C,令数集}{Q 2M =，则1,M M ∈但1M ，故C 不正确；对于D ，根据定义，如果()0a b b ≠，在数域中，那么,2,,a b a b a kb +++（k 为整数），都在数域中，故数域必为无限集，故D 正确.故选：AD.【例5-3】已知有限集合{}123,,,,n A a a a a =⋅⋅⋅，定义集合{}1,,i j B a a i j n i j *=+≤<≤∈N 中的元素的个数为集合A 的“容量”，记为()L A ．若集合{}13A x x *=∈≤≤N ，则()L A =______；若集合{}1A x x n *=∈≤≤N ，且()4041L A =，则正整数n 的值是______．【答案】 3 2022【解析】【分析】化简A ，可得()L A ；根据“容量”定义可得{}1A x x n *=∈≤≤N 的()4041L A =，解方程即可.【详解】{}{}131,2,3A x x *=∈≤≤=N ，则集合{}3,4,5B =，所以()3L A =．若集合{}1A x x n *=∈≤≤N ，则集合(){}{}3,4,,13,4,,21B n n n =⋅⋅⋅−+=⋅⋅⋅−，故()212234041L A n n =−−=−=，解得2022n =．故答案为：3；2022【练习5-1】设集合{}3,4,5P =，{}6,7Q =，定义(){},|,P Q a b a P b Q ⊗=∈∈，则P Q ⊗中元素的个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D【解析】【分析】用列举法表示出集合，即可得到结论.【详解】因为集合{}3,4,5P =，{}6,7Q =，定义(){},|,P Q a b a P b Q ⊗=∈∈,所以(){}()()()()()(){},|,3,6,3,7,4,6,4,7,5,6,5,7P Q a b a P b Q ⊗=∈∈=.一共6个元素.故选：D【练习5-2】若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合1,2A ，{}22,0B x ax a ==≥，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a 的取值集合为_____. 【答案】10,,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 【解析】【分析】分“鲸吞”或“蚕食”两种情况分类讨论求出a 值，即可求解【详解】当0a =时，B =∅，此时满足B A ⊆，当0a >时，B ⎧⎪=⎨⎪⎩，此时,A B 集合只能是“蚕食”关系，所以当,A B 集合有公共元素1=−时，解得2a =，当,A B 2=时，解得12a =，故a 的取值集合为10,,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 故答案为：10,,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭。

【大高考】(全国通用)高考数学复习第一章第一节集合名师课件理

【例 2】 (2015·四川内江模拟)已知集合 A＝{x|－2≤x≤7}，B ＝{x|m＋1<x<2m－1}，若 B⊆A，求实数 m 的取值范围. [解题指导](1)关键点：B 为不确定集合，且 B⊆A； (2)讨论：B＝∅或 B≠∅； (3)求解：根据两种情况列不等式组求解.
解当 B＝∅时，有 m＋1≥2m－1，则 m≤2. 当 B≠∅时，若 B⊆A，如图.
[点评] 分类讨论要注意分类标准的寻求和层次的划分，做到分类标准合理、自然，层次划分明确、清晰，对讨论的问题的分类做到不重不漏.
【例1】已知集合A＝{a－2，2a2＋5a，12}，且－3∈A，则a ＝________. 解析 ∵－3∈A，∴－3＝a－2 或－3＝2a2＋5a. ∴a＝－1 或 a＝－32. (1)当 a＝－1 时，a－2＝－3，2a2＋5a＝－3，与元素互异性矛盾，应舍去. (2)当 a＝－32时，a－2＝－27，2a2＋5a＝－3.
集合A称为集合B的真子集
记为A B或B A
对于两个集合A、B，如果A⊆B，
集合相等同时_B__⊆_A__，那么就称集合A和
A＝B
集合B相等
2.集合间的基本运算
自然语言
符号语言
一般地，由所有的属于
集合A且__属于集合B的元
A∩B＝
素构成的集合，称为集
交集
{x|x∈A，
合 A 与集合 B 的 _交__集__ ，
解法、求参数值等. 系有加强的趋势.
知识点一集合的概念及其表示
1.集合与元素 (1)元素的性质：_确__定__性___、无序性、__互__异__性__； (2)元素与集合的关系：①属于与不属于；②符号表示：∈，∉. 2.集合的表示方法：__列__举__法__、__描__述__法__、Venn图示法. 3.集合的分类 (1)有限集：元素的个数是有限个； (2)无限集：元素的个数是无限个； (3)空集：不含有任何元素.

高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.2命题及其关系、充分条件与必要条件教师用书理苏教版

第一章集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件教师用书理苏教版1.四种命题及相互关系2.四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.3.充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件；(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；(4)如果q⇒p，且p⇏q，则p是q的必要不充分条件；(5)如果p⇏q，且q⇏p，则p是q的既不充分又不必要条件.【知识拓展】从集合角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A B，则p是q的必要不充分条件；(6)若A B且A⊉B，则p是q的既不充分又不必要条件.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题.( ×)(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.(×)(3)若一个命题是真命题，则其逆否命题也是真命题.( √)(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.( √)(5)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立.( √)(6)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件.( √)1.下列命题中为真命题的是________.(填序号)①命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题；②命题“若x>1，则x2>1”的否命题；③命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题；④命题“若x2>0，则x>1”的逆否命题.答案①解析对于①，其逆命题是若x>|y|，则x>y，是真命题，这是因为x>|y|≥y，必有x>y.2.(教材改编)命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是________________________.答案若x≤y，则x2≤y2解析根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”.3.(教材改编)给出下列命题：①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；②命题“如果△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；③命题“若a>b>0，则3a>3b>0”的逆否命题；④命题“若m>1，则不等式mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题.其中真命题的序号为________.答案①②③解析①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题为：“若b2－4ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”，根据一元二次方程根的判定知其为真命题.②命题“如果△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题为：“如果△ABC 为等边三角形，那么AB＝BC＝CA”，由等边三角形的定义可知其为真命题.③原命题“若a>b>0，则3a>3b>0”为真命题，由原命题与其逆否命题有相同的真假性可知其逆否命题为真命题.④原命题的逆命题为：“若不等式mx 2－2(m ＋1)x ＋(m －3)>0的解集为R ，则m >1”，不妨取m ＝2验证，当m ＝2时，有2x 2－6x －1>0，Δ＝(－6)2－4×2×(－1)>0，其解集不为R ，故为假命题.4.(2016·北京改编)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的______________条件. 答案既不充分又不必要解析若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为菱形，a ＋b ，a －b 表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，所以“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分又不必要条件. 5.在下列三个结论中，正确的是________.(写出所有正确结论的序号) ①若A 是B 的必要不充分条件，则綈B 也是綈A 的必要不充分条件；②“⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac ≤0”是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R ”的充要条件；③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件. 答案 ①②解析易知①②正确.对于③，若x ＝－1，则x 2＝1，充分性不成立，故③错误.题型一命题及其关系例1 (2016·扬州模拟)下列命题： ①“若a 2<b 2，则a <b ”的否命题； ②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a >1，则ax 2－2ax ＋a ＋3>0的解集为R ”的逆否命题； ④“若3x (x ≠0)为有理数，则x 为无理数”的逆否命题. 其中正确的命题是________.(填序号) 答案 ③④解析对于①，否命题为“若a 2≥b 2，则a ≥b ”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，为假命题；对于③，当a >1时，Δ＝－12a <0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确. 思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时，需注意： ①对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写； ②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.(1)命题“若x>0，则x2>0”的否命题是__________.(2)(2016·徐州模拟)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是______________________________.答案(1)若x≤0，则x2≤0(2)若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3解析(2)由于一个命题的否命题既否定题设又否定结论，因此原命题的否命题为“若a＋b ＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”.题型二充分必要条件的判定例2 (1)(2016·江苏南京学情调研)已知直线l，m，平面α，m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”的____________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)(2)(2016·泰州模拟)给出下列三个命题：①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件；②“α>β”是“cos α<cos β”的必要不充分条件；③“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件.其中正确命题的序号为________.答案(1)必要不充分(2)③解析(1)根据直线与平面垂直的定义：若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直.现在是直线与平面内给定的一条直线垂直，而不是任意一条，故由“l⊥m”推不出“l⊥α”，但是由定义知“l⊥α”可推出“l⊥m”，故填必要不充分.(2)因为函数y＝3x在R上为增函数，所以“a>b”是“3a>3b”的充要条件，故①错；由余弦函数的性质可知“α>β”是“cos α<cos β”的既不充分又不必要条件，故②错；当a＝0时，f(x)＝x3是奇函数，当f(x)是奇函数时，由f(－1)＝－f(1)得a＝0，所以③正确.思维升华充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题.(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题.(1)函数f(x)＝13x－1＋a (x≠0)，则“f(1)＝1”是“函数f(x)为奇函数”的________条件.(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”填写)(2)(2017·镇江质检)已知p ：关于x 的不等式x 2＋2ax －a ≤0有解，q ：a >0或a <－1，则p 是q 的________条件.(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”填写)答案 (1)充要 (2)必要不充分解析 (1)f (x )＝13x－1＋a (x ≠0)为奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0，即13－x －1＋a ＋13x －1＋a ＝0，所以a ＝12，此时f (1)＝13－1＋12＝1，反之也成立，因此填“充要”.(2)关于x 的不等式x 2＋2ax －a ≤0有解，则4a 2＋4a ≥0⇒a ≤－1或a ≥0，从而q ⇒p ，反之不成立，故p 是q 的必要不充分条件. 题型三充分必要条件的应用例3 已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }.若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围.解由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2， ∴0≤m ≤3.1＋m ≤10，∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0，3]. 引申探究1.若本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件. 解若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，方程组无解，即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件.2.本例条件不变，若x ∈綈P 是x ∈綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 解由例题知P ＝{x |－2≤x ≤10}， ∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ⇒S 且S ⇏P . ∴[－2，－m ，1＋m ].∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞).思维升华充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验.(2016·盐城期中)设集合A ＝{x |x 2＋2x －3<0}，集合B ＝{x ||x ＋a |<1}.(1)若a ＝3，求A ∪B ；(2)设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，若p 是q 成立的必要不充分条件，求实数a 的取值范围. 解 (1)解不等式x 2＋2x －3<0，得－3<x <1，故A ＝(－3，1). 当a ＝3时，由|x ＋3|<1，得－4<x <－2，故B ＝(－4，－2)，所以A ∪B ＝(－4，1).(2)因为p 是q 成立的必要不充分条件，所以集合B 是集合A 的真子集. 又集合A ＝(－3，1)，B ＝(－a －1，－a ＋1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a －1≥－3，－a ＋1<1或⎩⎪⎨⎪⎧－a －1>－3，－a ＋1≤1，解得0≤a ≤2，即实数a 的取值范围是0≤a ≤2.1.等价转化思想在充要条件中的应用典例 (1)已知p ，q 是两个命题，那么“p ∧q 是真命题”是“綈p 是假命题”的__________条件.(2)已知条件p ：x 2＋2x －3>0；条件q ：x >a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是________.思想方法指导等价转化是将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题，在解题中经常用到.本题可将题目中条件间的关系和集合间的关系相互转化.解析 (1)因为“p ∧q 是真命题”等价于“p ，q 都为真命题”，且“綈p 是假命题”等价于“p 是真命题”，所以“p ∧q 是真命题”是“綈p 是假命题”的充分不必要条件. (2)由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1，由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件. 所以{x |x >ax |x <－3或x >1}，所以a ≥1.答案 (1)充分不必要 (2)[1，＋∞)1.下列命题中的真命题为________.(填序号) ①若1x ＝1y，则x ＝y ；②若x 2＝1，则x ＝1； ③若x ＝y ，则x ＝y ； ④若x <y ，则x 2<y 2. 答案 ①2.(教材改编)命题“若a >b ，则2a>2b－1”的否命题为________________. 答案若a ≤b ，则2a≤2b－1解析 ∵“a >b ”的否定是“a ≤b ”，“2a>2b－1”的否定是“2a≤2b－1”，∴原命题的否命题是“若a ≤b ，则2a≤2b－1”.3.(2016·南京模拟)给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是________. 答案 1解析原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，则函数y ＝f (x )是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题.因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个. 4.(2015·重庆改编)“x ＞1”是“12log (x ＋2)＜0”的____________条件.答案充分不必要解析由x ＞1⇒x ＋2＞3⇒12log (x ＋2)＜0，12log (x ＋2)＜0⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，故“x ＞1”是“12log (x ＋2)＜0”的充分不必要条件.5.(2016·山东改编)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的______________条件. 答案充分不必要解析若直线a 和直线b 相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a 和直线b 可能平行或异面或相交.6.已知集合A ＝{x ∈R |12<2x<8}，B ＝{x ∈R |－1<x <m ＋1}，若x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是__________. 答案 (2，＋∞)解析 A ＝{x ∈R |12<2x<8}＝{x |－1<x <3}，∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A B ，∴m ＋1>3，即m >2.7.设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的________条件. 答案充要解析由Venn 图易知充分性成立.反之，A ∩B ＝∅时，由Venn 图(如图)可知，存在A ＝C ，同时满足A ⊆C ，B ⊆∁U C .故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件.*8.(2015·湖北改编)设a 1，a 2，…，a n ∈R ，n ≥3.若p ：a 1，a 2，…，a n 成等比数列；q ：(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2，则下列说法正确的是________.(填序号)①p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件； ②p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件； ③p 是q 的充分必要条件；④p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件. 答案 ②解析若p 成立，设a 1，a 2，…，a n 的公比为q ，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝a 21(1＋q 2＋…＋q2n －4)·a 22(1＋q 2＋…＋q2n －4)＝a 21a 22(1＋q 2＋…＋q2n －4)2，(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2＝(a 1a 2)2(1＋q 2＋…＋q2n －4)2，故q 成立，故p 是q 的充分条件.取a 1＝a 2＝…＝a n ＝0，则q成立，而p 不成立，故p 不是q 的必要条件.9.(2016·无锡模拟)设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的__________条件. 答案充要解析设f (x )＝x |x |，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，所以f (x )是R 上的增函数，所以“a >b ”是“a |a |>b |b |”的充要条件. 10.有三个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②“若a >b ，则a 2>b 2”的逆否命题；③“若x ≤－3，则x 2＋x －6>0”的否命题. 其中真命题的序号为____________. 答案 ①解析命题①为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”是真命题；因为命题“若a >b ，则a 2>b 2”是假命题，故命题②是假命题；命题③为“若x >－3，则x 2＋x －6≤0”，因为x 2＋x －6≤0⇔－3≤x ≤2，故命题③是假命题.综上知只有命题①是真命题.11.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且以2为周期，则“f (x )为[0，1]上的增函数”是“f (x )为[3，4]上的减函数”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案充要解析 ∵x ∈[0，1]时，f (x )是增函数，又∵y ＝f (x )是偶函数，∴当x ∈[－1，0]时，f (x )是减函数. 当x ∈[3，4]时，x －4∈[－1，0]， ∵T ＝2，∴f (x )＝f (x －4).故x ∈[3，4]时，f (x )是减函数，充分性成立. 反之，若x ∈[3，4]时，f (x )是减函数，此时x －4∈[－1，0]， ∵T ＝2，∴f (x )＝f (x －4)，则当x ∈[－1，0]时，f (x )是减函数. ∵y ＝f (x )是偶函数，∴当x ∈[0，1]时，f (x )是增函数，必要性也成立.故“f (x )为[0，1]上的增函数”是“f (x )为[3，4]上的减函数”的充要条件.12.若x <m －1或x >m ＋1是x 2－2x －3>0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________. 答案 [0，2]解析由已知易得{x |x 2－2x －x |x <m －1或x >m ＋1}，又{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x <－1或x >3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m －1，m ＋1<3，或⎩⎪⎨⎪⎧－1<m －1，m ＋1≤3，∴0≤m ≤2.13.若“数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)是递增数列”为假命题，则λ的取值范围是___________. 答案 [32，＋∞)解析若数列a n ＝n 2－2λn (n ∈N *)是递增数列，则有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1>2λ对任意的n ∈N*都成立，于是可得3>2λ，即λ<32.故所求λ的取值范围是[32，＋∞).*14.下列四个结论中：①“λ＝0”是“λa ＝0”的充分不必要条件；②在△ABC 中，“AB 2＋AC 2＝BC 2”是“△ABC 为直角三角形”的充要条件； ③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 全不为零”的充要条件； ④若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为零”的充要条件. 正确的是________. 答案 ①④解析由λ＝0可以推出λa ＝0，但是由λa ＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确；由AB 2＋AC 2＝BC 2可以推出△ABC 是直角三角形，但是由△ABC 是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确；由a 2＋b 2≠0可以推出a ，b 不全为零，反之，由a ，b 不全为零可以推出a 2＋b 2≠0，所以“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为零”的充要条件，而不是“a ，b 全不为零”的充要条件，所以③不正确，④正确.15.已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝p n＋q (p ≠0，且p ≠1).求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.证明充分性：当q ＝－1时，a 1＝p －1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)，当n ＝1时也成立. ∴a n ＝pn －1(p －1)，n ∈N *.又a n ＋1a n ＝p n p －p n －1p －＝p ，∴数列{a n }为等比数列.必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q ；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝pn －1(p －1).∵p ≠0，且p ≠1，{a n }为等比数列， ∴a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p .∴p p －p ＋q＝p ，即p －1＝p ＋q ，∴q ＝－1.综上所述，q ＝－1是数列{a n }为等比数列的充要条件.。

高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语教师用书理

第一章⎪⎪⎪集合与常用逻辑用语第一节集合突破点(一) 集合的基本概念基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．集合的有关概念(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作a ∈A ；若b 不属于集合A ，记作b ∉A . (3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． 2．常用数集及记法数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法 NN *或N ＋ZQR考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求元素(个数)或已知元素个数求参数[例( ) A ．1 B ．3 C ．5D ．9(2)若集合A ＝{x ∈R|ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B.98 C ．0D ．0或98[解析] (1)∵A ＝{0,1,2}，∴B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }＝{0，－1，－2,1,2}．故集合B 中有5个元素．本节主要包括3个知识点： 1.集合的基本概念； 2.集合间的基本关系； 3.集合的基本运算.(2)当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0，即a ＝98.故a ＝0或98.[答案] (1)C (2)D [方法技巧]求元素(个数)的方法高考中，常利用集合元素的互异性确定集合中的元素，一般给定一个新定义集合，如“已知集合A ，B ，求集合C ＝{z |z ＝x *y ，x ∈A ，y ∈B }(或集合C 的元素个数)，其中‘*’表示题目设定的某一种运算”．具体的解决方法：根据题目规定的运算“*”，一一列举x ，y 的可能取值(应用列举法和分类讨论思想)，从而得出z 的所有可能取值，然后根据集合元素的互异性进行检验，相同元素重复出现只算作一个元素，判断出该集合的所有元素，即得该集合元素的个数．元素与集合的关系[例2] (1)设集合A ＝{2,3,4}，B ＝{2,4,6}，若x ∈A ，且x ∉B ，则x ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6(2)(2017·成都诊断)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． [解析] (1)因为x ∈A ，且x ∉B ，故x ＝3. (2)因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.[答案] (1)B (2)－32[方法技巧]利用元素的性质求参数的方法已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值．具体解法： (1)确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值． (2)互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点二]设集合P ＝{x |x 2－2x ≤0}，m ＝30.5，则下列关系正确的是( ) A ．m P B ．m ∈P C ．m ∉PD ．m ⊆P解析：选C 易知P ＝{x |0≤x ≤2}，而m ＝30.5＝3>2，∴m ∉P ，故选C.2．[考点一]已知集合A ＝{1,2,4}，则集合B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A }中元素的个数为( ) A ．3 B ．6 C ．8D ．9解析：选D 集合B 中的元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个．3．[考点二](2017·杭州模拟)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，ba，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C 因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，则b a＝－1，所以a＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.4．[考点一]已知P ＝{x |2<x <k ，x ∈N}，若集合P 中恰有3个元素，则k 的取值范围为________．解析：因为P 中恰有3个元素，所以P ＝{3,4,5}，故k 的取值范围为5<k ≤6. 答案：(5,6]5．[考点一]若集合A ＝{x ∈R|ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a ＝________. 解析：当a ＝0时，方程无解；当a ≠0时，则Δ＝a 2－4a ＝0，解得a ＝4.故符合题意的a 的值为4.答案：4突破点(二) 集合间的基本关系基础联通抓主干知识的“源”与“流”表示关系文字语言记法集合间的基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素A⊆B或B⊇A真子集集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于AA B或B A相等集合A的每一个元素都是集合B的元素，集合B的每一个元素也都是集合A的元素A⊆B且B⊆A⇔A＝B空集空集是任何集合的子集∅⊆A空集是任何非空集合的真子集∅B且B≠∅考点贯通抓高考命题的“形”与“神”集合子集个数的判定含有n个元素的集合，其子集的个数为2n；真子集的个数为2n－1(除集合本身)；非空真子集的个数为2n－2(除空集和集合本身，此时n≥1)．[例1] 已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4[解析] 由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，所以A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，所以满足条件的集合C为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2，3,4}，共4个．[答案] D[易错提醒](1)注意空集的特殊性：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(2)任何集合的本身是该集合的子集，在列举时千万不要忘记．集合间的关系考法(一)[例2] 已知集合A＝{x|y＝1－x2，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则( )A．A B B．B AC ．A ⊆BD ．B ＝A[解析] 由题意知A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R}，所以A ＝{x |－1≤x ≤1}，所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}，所以B A .故选B. [答案] B [方法技巧]判断集合间关系的三种方法(1)列举法：根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系．(2)结构法：从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断．(3)数轴法：在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系．[提醒] 在用数轴法判断集合间的关系时，其端点能否取到，一定要注意用回代检验的方法来确定．如果两个集合的端点相同，则两个集合是否能同时取到端点往往决定了集合之间的关系．考法(二) 根据集合间的关系求参数[例3] 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．[解析] ∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]． [答案] (－∞，3] [易错提醒]将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时，应注意子集与真子集的区别，此类问题多与不等式(组)的解集相关．确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易产生增解或漏解．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一]集合A＝{x∈N|0<x<4}的真子集个数为( )A．3 B．4C．7 D．8解析：选C 因为A＝{1,2,3}，所以其真子集的个数为23－1＝7.2．[考点二·考法(一)](2017·长沙模拟)设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则( )A．P⊆Q B．Q⊆PC．∁R P⊆Q D．Q⊆∁R P解析：选C 因为P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}＝{y|y≤1}，所以∁R P＝{y|y>1}，又Q＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}，所以∁R P⊆Q，故选C.3．[考点二·考法(二)]已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋3}，且A⊆B，则a＝( ) A．1 B．0 C．－2 D．－3解析：选C ∵A⊆B，∴a＋3＝1，解得a＝－2.故选C.4．[考点二·考法(二)]已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________．解析：集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2,4]，因为A⊆B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即实数a－b的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]突破点(三) 集合的基本运算基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．集合的三种基本运算符号表示图形表示符号语言集合的并集A∪B A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 集合的交集A∩B A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}集合的补集若全集为U，则集合A的补集为∁U A∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∪A＝A，A∪∅＝A.(2)A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A .(3)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B ⇔A ∩(∁U B )＝∅.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求交集或并集[例1] A B x x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z}，则A ∪B ＝( )A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}(2)(2016·全国乙卷)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－3，－32 B.⎝⎛⎭⎪⎫－3，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 [解析] (1)因为B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z}＝{x |－1<x <2，x ∈Z}＝{0,1}，A ＝{1,2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}．(2)∵x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3，∴A ＝{x |1<x <3}．∵2x －3>0，∴x >32，∴B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >32.∴A ∩B ＝{x |1<x <3}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3.[答案] (1)C (2)D [方法技巧]求集合的交集或并集时，应先化简集合，再利用交集、并集的定义求解．交、并、补的混合运算[例2] (1)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{2,3,5,6}，集合B ＝{1,3,4,6,7}，则集合A ∩∁U B ＝( )A ．{2,5}B ．{3,6}C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8}(2)已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝( ) A ．{x |x ≥0} B ．{x |x ≤1} C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0<x <1}[解析] (1)因为∁U B ＝{2,5,8}，所以A ∩∁U B ＝{2,3,5,6}∩{2,5,8}＝{2,5}． (2)∵A ∪B ＝{x |x ≤0}∪{x |x ≥1}＝{x |x ≤0或x ≥1}， ∴∁U (A ∪B )＝{x |0<x <1}． [答案] (1)A (2)D[方法技巧]集合混合运算的解题思路进行集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分．当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算；当集合用不等式形式表示时，可借助数轴求解，对于端点值的取舍，应单独检验．集合的新定义问题[例3] (2017·合肥模拟)对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )．设A ＝{y |y ＝x 2－3x ，x ∈R}，B ＝{y |y ＝－2x ，x ∈R}，则A ⊕B 等于( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，0B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－94∪[0，＋∞) D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－94∪(0，＋∞) [解析] 因为A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ≥－94，B ＝{y |y <0}，所以A －B ＝{y |y ≥0}，B －A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪ y <－94， A ⊕B ＝(A －B )∪(B －A )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ≥0或y <－94. 故选C. [答案] C [方法技巧]解决集合新定义问题的两个着手点(1)正确理解新定义．耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口．(2)合理利用集合性质．运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用．1．[考点一](2016·北京高考)已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{－1,0,1,2,3}，则A∩B＝( )A．{0,1} B．{0,1,2}C．{－1,0,1} D．{－1,0,1,2}解析：选C 集合A＝{x|－2<x<2}，集合B＝{－1,0,1,2,3}，所以A∩B＝{－1,0,1}．2．[考点一](2017·长春模拟)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1<0}，则A∪B ＝( )A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)解析：选C ∵A＝(0，＋∞)，B＝(－1,1)，∴A∪B＝(－1，＋∞)．故选C.3．[考点二](2017·贵阳模拟)设集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(∁R B)＝( )A．(1,4) B．(3,4)C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)解析：选B 由题意知B＝{x|－1≤x≤3}，所以∁R B＝{x|x<－1或x>3}，所以A∩(∁R B)＝{x|3<x<4}，故选B.4．[考点三]定义集合A，B的一种运算：A*B＝{x|x＝x1·x2，其中x1∈A，x2∈B}，若A ＝{1,2}，B＝{1,2}，则A*B中的所有元素之和为( )A．5 B．6 C．7 D．9解析：选C ∵A*B＝{x|x＝x1·x2，其中x1∈A，x2∈B}，且A＝{1,2}，B＝{1,2}，∴A*B ＝{1,2,4}，故A*B中的所有元素之和为1＋2＋4＝7.5．[考点二]设全集U＝R，A＝{x|x(x＋3)<0}，B＝{x|x<－1}，则图中阴影部分表示的集合为________．解析：因为A＝{x|x(x＋3)<0}＝{x|－3<x<0}，∁U B＝{x|x≥－1}，阴影部分为A∩(∁U B)，所以A∩(∁U B)＝{x|－1≤x<0}．答案：{x|－1≤x<0}[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.(2016·全国丙卷)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝( )A．[2,3] B．(－∞，2]∪[3，＋∞)C．[3，＋∞) D．(0,2]∪[3，＋∞)解析：选D 由题意知S＝{x|x≤2或x≥3}，则S∩T＝{x|0<x≤2或x≥3}．故选D.2．(2015·新课标全国卷Ⅱ)已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，则A∩B＝( )A．{－1,0} B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{0,1,2}解析：选A 由题意知B＝{x|－2<x<1}，所以A∩B＝{－1,0}．故选A.3．(2012·新课标全国卷)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( )A．3 B．6 C．8 D．10解析：选D 列举得集合B＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．4．(2016·全国甲卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2＜9}，则A∩B＝( )A．{－2，－1,0,1,2,3} B．{－2，－1,0,1,2}C．{1,2,3} D．{1，2}解析：选D ∵x2＜9，∴－3＜x＜3，∴B＝{x|－3＜x＜3}．又A＝{1,2,3}，∴A∩B＝{1,2,3}∩{x|－3＜x＜3}＝{1,2}，故选D.5．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B ＝( )A．{1,4} B．{2,3} C．{9,16} D．{1,2}解析：选A 因为x＝n2，所以当n＝1,2,3,4时，x＝1,4,9,16，所以集合B＝{1,4,9,16}，所以A∩B＝{1,4}．[课时达标检测] 基础送分课时——精练“12＋4”，求准求快不深挖一、选择题1．若集合A ＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A 的真子集的个数是( ) A ．16 B ．8 C ．4D ．3解析：选D 集合A 中有两个元素，则集合A 的真子集的个数是22－1＝3.选D. 2．若集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈A }，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{0,1}D ．{0，－1}解析：选C 因为B ＝{y |y ＝x 2，x ∈A }＝{0,1}，所以A ∩B ＝{0,1}．3．已知集合A ＝{y |y ＝|x |－1，x ∈R}，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( ) A ．－3∈A B ．3∉B C ．A ∩B ＝BD ．A ∪B ＝B解析：选C 由题A ＝{y |y ≥－1}，因此A ∩B ＝{x |x ≥2}＝B . 4．设集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N ＝( ) A ．[0,1] B ．(0,1] C ．[0,1)D ．(－∞，1]解析：选A M ＝{x |x 2＝x }＝{0,1}，N ＝{x |lg x ≤0}＝{x |0＜x ≤1}，M ∪N ＝[0,1]．5．已知集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C ∵32－x∈Z ，∴2－x 的取值有－3，－1,1,3，又∵x ∈Z ，∴x 值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4.6．已知全集为整数集Z.若集合A ＝{x |y ＝1－x ，x ∈Z}，B ＝{x |x 2＋2x >0，x ∈Z}，则A ∩(∁ZB )＝( )A ．{－2}B ．{－1}C ．[－2,0]D ．{－2，－1,0}解析：选D 由题可知，集合A ＝{x |x ≤1，x ∈Z}，B ＝{x |x >0或x <－2，x ∈Z}，故A ∩(∁ZB )＝{－2，－1,0}，故选D.7．(2017·成都模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |x 2－1<0}，则图中的阴影部分表示的集合为( )A ．(－∞，1]∩(2，＋∞)B ．(－1,0)∪[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2]解析：选B 因为A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |－1<x <1}，所以A ∪B ＝{x |－1<x ≤2}，A ∩B ＝{x |0≤x <1}．故图中阴影部分表示的集合为∁(A ∪B )(A ∩B )＝(－1,0)∪[1,2]．8．设全集U ＝R ，已知集合A ＝{x ||x |≤1}，B ＝{x |log 2x ≤1}，则(∁U A )∩B ＝( ) A ．(0,1] B ．[－1,1]C ．(1,2]D ．(－∞，－1]∪[1,2]解析：选C 由|x |≤1，得－1≤x ≤1，由log 2x ≤1，得0<x ≤2，所以∁U A ＝{x |x >1或x <－1}，则(∁U A )∩B ＝(1,2]．9．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫5，b a，a －b ，B ＝{b ，a ＋b ，－1}，若A ∩B ＝{2，－1}，则A ∪B ＝( )A ．{2,3}B ．{－1,2,5}C ．{2,3,5}D ．{－1,2,3,5}解析：选D 由A ∩B ＝{2，－1}，可得⎩⎪⎨⎪⎧b a＝2，a －b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2.当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，此时B ＝{2,3，－1}，则A ∪B ＝{－1,2,3,5}；当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，此时不符合题意，舍去．故A ∪B ＝{－1,2,3,5}．10．设集合A ＝{x |y ＝lg(－x 2＋x ＋2)}，B ＝{x |x －a >0}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－1]C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2]解析：选B 集合A ＝{x |y ＝lg(－x 2＋x ＋2)}＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x >a }，因为A ⊆B ，所以a ≤－1.11．已知全集U ＝{x ∈Z|0<x <8}，集合M ＝{2,3,5}，N ＝{x |x 2－8x ＋12＝0}，则集合{1,4,7}为( )A ．M ∩(∁U N )B ．∁U (M ∩N )C ．∁U (M ∪N )D ．(∁U M )∩N解析：选C 由已知得U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，N ＝{2,6}，M ∩(∁U N )＝{2,3,5}∩{1,3,4,5,7}＝{3,5}，M ∩N ＝{2}，∁U (M ∩N )＝{1,3,4,5,6,7}，M ∪N ＝{2,3,5,6}，∁U (M ∪N )＝{1,4,7}，(∁U M )∩N ＝{1,4,6,7}∩{2,6}＝{6}，故选C.12．(2017·沈阳模拟)已知集合A ＝{x ∈N|x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素之和为( )A ．15B ．16C ．20D ．21解析：选D 由x 2－2x －3≤0，得(x ＋1)(x －3)≤0，又x ∈N ，故集合A ＝{0,1,2,3}．∵A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，∴A *B 中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，∴A *B ＝{1,2,3,4,5,6}，∴A *B 中的所有元素之和为21.二、填空题13．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，定义集合A ×B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，集合A ×B 中属于集合{(x ，y )|log x y ∈N}的元素的个数是________．解析：由定义可知A ×B 中的元素为(1,2)，(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(4,8)．其中使log x y ∈N 的有(2,2)，(2,4)，(2,8)，(4,4)，共4个．答案：414．设集合I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z}，A ＝{1,2}，B ＝{－2，－1,2}，则A ∩(∁I B )＝________. 解析：∵集合I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z}＝{－2，－1,0,1,2}，A ＝{1,2}，B ＝{－2，－1,2}，∴∁I B ＝{0,1}，则A ∩(∁I B )＝{1}．答案：{1}15．集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，B ＝{y |y ＝x ，0≤x ≤4}，则A ∩(∁R B )＝________. 解析：A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝x ，0≤x ≤4}＝{y |0≤y ≤2}，∴∁R B ＝{y |y <0或y >2}．∴A ∩(∁R B )＝[－3,0)．答案：[－3,0)16．已知集合A ＝{y |y 2－(a 2＋a ＋1)y ＋a (a 2＋1)>0}，B ＝⎩⎨⎧y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝12x 2－x ＋52，0≤x ≤3.若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________．解析：A ＝{y |y <a 或y >a 2＋1}，B ＝{y |2≤y ≤4}．当A ∩B ＝∅时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋1≥4，a ≤2，∴3≤a ≤2或a ≤－3，∴a 的取值范围是(－∞，－ 3 ]∪[3，2]．答案：(－∞，－ 3 ]∪[3，2] 第二节命题及其关系、充分条件与必要条件本节主要包括2个知识点： 1.命题及其关系； 2.充分条件与必要条件.突破点(一) 命题及其关系基础联通抓主干知识的“源”与“流” 1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及相互关系3．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”命题的真假判断[例1] A ．若1x ＝1y，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝y D ．若x <y ，则x 2<y 2[解析] 取x ＝－1，排除B ；取x ＝y ＝－1，排除C ；取x ＝－2，y ＝－1，排除D. [答案] A[方法技巧]判断命题真假的思路方法(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，把它写成“若p ，则q ”的形式，然后联系其他相关的知识，经过逻辑推理或列举反例来判定．(2)一个命题要么真，要么假，二者必居其一．当一个命题改写成“若p ，则q ”的形式之后，判断这个命题真假的方法：①若由“p”经过逻辑推理，得出“q”，则可判定“若p，则q”是真命题；②判定“若p，则q”是假命题，只需举一反例即可．四种命题的关系逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．[例2] (1)命题“若a>b，则a－1>b－1”的否命题是( )A．若a>b，则a－1≤b－1B．若a>b，则a－1<b－1C．若a≤b，则a－1≤b－1D．若a<b，则a－1<b－1(2)给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是( )A．3 B．2 C．1 D．0[解析] (1)根据否命题的定义可知，命题“若a>b，则a－1>b－1”的否命题应为“若a≤b，则a－1≤b－1”．(2)原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．[答案] (1)C (2)C[方法技巧]1．写一个命题的其他三种命题时的注意事项(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p，则q”形式．(2)若命题有大前提，需保留大前提．2．判断四种命题真假的方法(1)利用简单命题判断真假的方法逐一判断．(2)利用四种命题间的等价关系：当一个命题不易直接判断真假时，可转化为判断其等价命题的真假．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一]下列命题中为真命题的是( )A．mx2＋2x－1＝0是一元二次方程B ．抛物线y ＝ax 2＋2x －1与x 轴至少有一个交点 C ．互相包含的两个集合相等 D ．空集是任何集合的真子集解析：选C A 中，当m ＝0时，是一元一次方程，故是假命题；B 中，当Δ＝4＋4a <0，即a <－1时，抛物线与x 轴无交点，故是假命题；C 是真命题；D 中，空集不是本身的真子集，故是假命题．2．[考点二]命题“若x 2＋y 2＝0，x ，y ∈R ，则x ＝y ＝0”的逆否命题是( ) A ．若x ≠y ≠0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2＝0 B ．若x ＝y ≠0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2≠0 C ．若x ≠0且y ≠0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2≠0 D ．若x ≠0或y ≠0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2≠0解析：选D 将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可．由x ＝y ＝0知x ＝0且y ＝0，其否定是x ≠0或y ≠0.故原命题的逆否命题是“若x ≠0或y ≠0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2≠0”．3．[考点二]命题“若△ABC 有一个内角为π3，则△ABC 的三个内角成等差数列”的逆命题( )A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题解析：选D 原命题显然为真命题，原命题的逆命题为“若△ABC 的三个内角成等差数列，则△ABC 有一个内角为π3”，它是真命题．故选D.4．[考点二]有下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”的逆否命题； ④“若A ∩B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题．其中为真命题的是________(填写所有真命题的序号)．解析：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题是“若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，显然是真命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题是“若两个三角形面积不相等，则这两个三角形不全等”，显然是真命题；③若x 2－2x ＋m ＝0有实数解，则Δ＝4－4m ≥0，解得m ≤1，所以“若m ≤1，则x 2－2x ＋m ＝0有实数解”是真命题，故其逆否命题是真命题；④若A ∩B ＝B ，则B ⊆A ，故原命题是假命题，所以其逆否命题是假命题．故真命题为①②③.答案：①②③突破点(二) 充分条件与必要条件基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．充分条件与必要条件的概念若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件p 是q 的充分不必要条件p ⇒q 且q ⇒/ p p 是q 的必要不充分条件 p ⇒/ q 且q ⇒p p 是q 的充要条件 p ⇔q p 是q 的既不充分也不必要条件p ⇒/ q 且q ⇒/ p2.p 成立的对象构成的集合为A ，q 成立的对象构成的集合为Bp 是q 的充分条件 A ⊆B p 是q 的必要条件 B ⊆A p 是q 的充分不必要条件 A B p 是q 的必要不充分条件 B A p 是q 的充要条件A ＝B考点贯通抓高考命题的“形”与“神”充分条件与必要条件的判断[例1] x ，y 满足x ＋y ＞2，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2016·天津高考)设x ＞0，y ∈R ，则“x ＞y ”是“x ＞|y |”的( ) A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，y ＞1，∴x ＋y ＞2，即p ⇒q .而当x ＝0，y ＝3时，有x ＋y ＝3＞2，但不满足x ＞1且y ＞1，即q ⇒/ p ．故p 是q 的充分不必要条件．(2)当x ＝1，y ＝－2时，x ＞y ，但x ＞|y |不成立；若x ＞|y |，因为|y |≥y ，所以x ＞y .所以x ＞y 是x ＞|y |的必要而不充分条件．[答案] (1)A (2)C [方法技巧]充分、必要条件的三种判断方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断．(2)集合法：根据p ，q 成立对应的集合之间的包含关系进行判断．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的何种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的何种条件．充分条件与必要条件的应用[例2] (1)( )A ．a ≥1B ．a >1C ．a ≥4D ．a >4(2)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则m 的取值范围为________．[解析] (1)命题可化为∀x ∈[1,2)，a ≥x 2恒成立． ∵x ∈[1,2)，∴x 2∈[1,4)． ∴命题为真命题的充要条件为a ≥4.∴命题为真命题的一个充分不必要条件为a >4，故选D. (2)由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]． [答案] (1)D (2)[0,3][方法技巧]根据充分、必要条件求参数的思路方法根据充分、必要条件求参数的值或取值范围的关键是合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，然后通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．1．[考点一](2017·长沙四校联考)“x >1”是“log 2(x －1)<0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 由log 2(x －1)<0得0<x －1<1，即1<x <2，故“x >1”是“log 2(x －1)<0”的必要不充分条件，选B.2．[考点二]已知“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，则k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，－1]解析：选A 由3x ＋1<1，得3x ＋1－1＝－x ＋2x ＋1<0，解得x <－1或x >2.因为“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，所以k ≥2.3．[考点一](2017·太原模拟)“已知命题p ：cos α≠12，命题q ：α≠π3”，则命题p是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若cos α≠12，则α≠2k π±π3(k ∈Z)，则α也必然不等于π3，故p ⇒q ；若α≠π3，但α＝－π3时，依然有cos α＝12，故q ⇒/p .所以p 是q 的充分不必要条件．4．[考点二]已知p ：x >1或x <－3，q ：x >a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－3，＋∞)D ．(－∞，－3)解析：选A 设P ＝{x |x >1或x <－3}，Q ＝{x |x >a }，因为q 是p 的充分不必要条件，所以Q P ，因此a ≥1.5．[考点一]已知函数f (x )＝13x－1＋a (x ≠0)，则“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的________条件．(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填写)解析：若f (x )＝13x －1＋a 是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，即f (－x )＋f (x )＝0， ∴13－x －1＋a ＋13x－1＋a ＝2a ＋3x1－3x ＋13x－1＝0，即2a ＋3x－11－3x ＝0，∴2a －1＝0，即a ＝12，f (1)＝12＋12＝1.若f (1)＝1，即f (1)＝12＋a ＝1，解得a ＝12，所以f (x )＝13x －1＋12，f (－x )＝13－x－1＋12＝－13x －1－12＝－f (x )，故f (x )是奇函数．∴“f (1)＝1”是“函数f (x )为奇函数”的充要条件．答案：充要[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2014·新课标全国卷Ⅱ)函数f (x ) 在x ＝x 0 处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0；q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( )A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解析：选C 设f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但是f (x )是单调增函数，在x ＝0处不存在极值，故若p ，则q 是一个假命题，由极值的定义可得若q ，则p 是一个真命题．故选C.2．(2012·新课标全国卷)下面是关于复数z ＝2－1＋i的四个命题：p 1：|z |＝2；p 2：z 2＝2i ；p 3：z 的共轭复数为1＋i ；p 4：z 的虚部为－1.其中的真命题为( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4解析：选C ∵复数z ＝2－1＋i ＝－1－i ，∴|z |＝2，z 2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i ，z的共轭复数为－1＋i ，z 的虚部为－1，综上可知p 2，p 4是真命题．[课时达标检测] 基础送分课时——精练“12＋4”，求准求快不深挖一、选择题1．设m ∈R ，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( ) A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0 B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0 C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m >0 D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0解析：选D 根据逆否命题的定义，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．2．“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若(2x －1)x ＝0，则x ＝12或x ＝0，即不一定是x ＝0；若x ＝0，则一定能推出(2x －1)x ＝0.故“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．3．“a <0，b <0”的一个必要条件为( ) A ．a ＋b <0 B ．a －b >0 C.a b >1D.a b<－1解析：选A 若a <0，b <0，则一定有a ＋b <0，故选A.4．已知命题p ：“若x ≥a 2＋b 2，则x ≥2ab ”，则下列说法正确的是( ) A ．命题p 的逆命题是“若x <a 2＋b 2，则x <2ab ” B ．命题p 的逆命题是“若x <2ab ，则x <a 2＋b 2”C．命题p的否命题是“若x<a2＋b2，则x<2ab”D．命题p的否命题是“若x≥a2＋b2，则x<2ab”解析：选C 命题p的逆命题是“若x≥2ab，则x≥a2＋b2”，故A，B都错误；命题p 的否命题是“若x<a2＋b2，则x<2ab”，故C正确，D错误．5．若f(x)是定义在R上的函数，则“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的( ) A．必要不充分条件B．充要条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A f(x)是定义在R上的奇函数可以推出f(0)＝0，但f(0)＝0不能推出函数f(x)为奇函数，例如f(x)＝x2.故选A.6．原命题p：“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．4解析：选C 当c＝0时，ac2＝bc2，所以原命题是错误的；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是错误的；逆命题为“设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b”，它是真命题；由于否命题与逆命题的真假一致，所以逆命题与否命题都为真命题．综上所述，真命题有2个．7．“a＝2” 是“函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[2，＋∞)上为增函数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A “a＝2”可以推出“函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[2，＋∞)上为增函数”，但反之不能推出．故“a＝2”是“函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．8．(2017·杭州模拟)已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A 因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1，或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1，且y＝－1，因为綈q⇒綈p但綈p⇒/綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．9．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当四边形ABCD 为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC ⊥BD ；当四边形ABCD 中AC ⊥BD 时，四边形ABCD 不一定是菱形，还需要AC 与BD 互相平分．综上知，“四边形ABCD 为菱形”是“AC ⊥BD ”的充分不必要条件．10．(2017·烟台诊断)若条件p ：|x |≤2，条件q ：x ≤a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(－∞，2]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：选A p ：|x |≤2等价于－2≤x ≤2.因为p 是q 的充分不必要条件，所以有[－2,2]⊆(－∞，a ]，即a ≥2.11．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是( ) A ．①和② B ．②和③ C ．③和④D ．②和④解析：选D 只有一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行时，这两个平面才相互平行，所以①为假命题；②符合两个平面相互垂直的判定定理，所以②为真命题；垂直于同一直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以③为假命题；根据两个平面垂直的性质定理易知④为真命题．12．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当k ＝1时，l ：y ＝x ＋1，由题意不妨令A (－1,0)，B (0,1)，则S △AOB ＝12×1×1＝12，所以充分性成立；当k ＝－1时，l ：y ＝－x ＋1，也有S △AOB ＝12，所以必要性不成立．二、填空题13．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是________．解析：“a ＋b ＋c ＝3”的否定是“a ＋b ＋c ≠3”，“a 2＋b 2＋c 2≥3”的否定是“a 2＋b 2＋c 2<3”，故根据否命题的定义知，该命题的否命题为：若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3.答案：若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3 14．有下列几个命题：①“若a >b ，则1a >1b”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a ≤b ，则1a ≤1b”，假命题．②原命题的逆命题为：“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真命题．③原命题为真命题，故逆否命题为真命题．答案：②③15．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，若p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围为________．解析：因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3；又p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8.故实数m 的取值范围是[3,8)．答案：[3,8)16．已知α：x ≥a ，β：|x －1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________．解析：α：x ≥a ，可看作集合A ＝{x |x ≥a }，∵β：|x －1|<1，∴0<x <2，∴β可看作集合B ＝{x |0<x <2}．又∵α是β的必要不充分条件，∴BA ，∴a ≤0.答案：(－∞，0] 第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词本节主要包括2个知识点： 1.简单的逻辑联结词； 2.全称量词与存在量词.突破点(一) 简单的逻辑联结词基础联通抓主干知识的“源”与“流”命题p∧q、p∨q、綈p的真假判定p q p∧q p∨q 綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真简记为“p∧q两真才真，一假则假；p∨q一真则真，两假才假；綈p与p真假相反”．考点贯通抓高考命题的“形”与“神”含逻辑联结词命题的真假判断[例1] (2017·大连模拟)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题的序号是( ) A．①③ B．①④C．②③ D．②④[解析] 依题意可知，命题p为真命题，命题q为假命题，则綈p为假命题，綈q为真命题．所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为真命题，(綈p)∨q为假命题．[答案] C[方法技巧]判断含有逻辑联结词命题真假的关键及步骤(1)判断含有逻辑联结词的命题真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义，应根据命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断．(2)判断命题真假的步骤根据复合命题的真假求参数。

2020高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语第一节集合教师用书理

第一节集合☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆自|主|排|查1．集合的含义与表示方法(1)集合的含义：研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合。

集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性。

(2)元素与集合的关系：①属于，记为∈；②不属于，记为∉。

(3)集合的表示方法：列举法、描述法和图示法。

(4)常用数集的记号：自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R。

2．集合间的基本关系A B或B A微点提醒1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件。

2．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身。

3．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心。

4．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性\”而导致解题错误。

5．记住以下结论(1)若集合A中有n个元素，则其子集的个数为2n，真子集的个数为2n－1。

(2)A∪B＝A⇔B⊆A；A∩B＝A⇔A⊆B。

小|题|快|练一、走进教材1．(必修1P12B组T4改编)满足{0,1}⊆A{0,1,2,3}的集合A的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4【解析】由题意得A可为{0,1}，{0,1,2}，{0,1,3}。

故选C。

【答案】 C2．(必修1P12B组T1改编)已知集合A＝{0,1,2}，集合B满足A∪B＝{0,1,2}，则集合B有________个。

【解析】由题意知B⊆A，则集合B有8个。

故选B。

【答案】 B2．设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}，则M∩N＝( )A．[0,1] B．[0,1)C．(0,1] D．(0,1)【解析】∵x2<1，∴－1<x<1。

2019届高考数学一轮复习教师用书文

2019届高考数学一轮复习教师用书文第一节集合1．集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2．集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．3．集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．授课提示：对应学生用书第1页◆教材通关◆1．元素与集合(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)集合中元素与集合的关系有且仅有两种：属于(用符号“∈”表示)和不属于(用符号“∉”表示)．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．2．集合间的基本关系A B[必记结论]集合的子集、真子集个数的规律为：含n 个元素的集合有2n 个子集，有2n－1个真子集(除集合本身)，有2n－1个非空子集，有2n－2个非空真子集(除集合本身和空集，此时n ≥1)．3．集合的基本运算(1)A ∩∅＝∅，A ∪∅＝A ；(2)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B ⇔A ∩(∁U B )＝∅；(3)A ∪(∁U A )＝U ，A ∩(∁U A )＝∅，∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．[小题诊断]1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}，则( )A ．A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <32B ．A ∩B ＝∅C ．A ∪B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <32D ．A ∪B ＝R解析：因为A ＝{x |x <2}，B ＝{x |3－2x >0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <32，所以A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <32，A ∪B ＝{x |x <2}．故选A.答案：A2．设集合M ＝{－1,1}，N ＝{x |x 2－x ＜6}，则下列结论正确的是( ) A ．N ⊆M B ．N ∩M ＝∅ C ．M ⊆ND ．M ∩N ＝R解析：由已知得集合M ＝{－1,1}，N ＝{x |x 2－x ＜6}＝{x |－2＜x ＜3}，所以M ⊆N ，故选C.答案：C3．(2018·唐山模拟)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2,4}，B ＝{2,5}，则(∁U A )∪B ＝( )A ．{3,4,5}B ．{2,3,5}C ．{5}D ．{3}解析：因为U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2,4}，所以∁U A ＝{3,5}，又B ＝{2,5}，所以(∁U A )∪B ＝{2,3,5}．答案：B4．(2018·衡水中学联考)若集合B ＝{x |x ≥0}，且A ∩B ＝A ，则集合A 可能是( ) A ．{1,2} B ．{x |x ≤1} C ．{－1,0,1}D ．R解析：由A ∩B ＝A 得A ⊆B ，因为B ＝{x |x ≥0}，所以集合A 可能是{1,2}，故选A. 答案：A5．已知全集U ＝R ，集合A ＝{0,1,2,3,4,5}，B ＝{x ∈R |x ≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{0,1}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}解析：由Venn 图可知，阴影部分的元素由属于A 且不属于B 的元素构成，所以用集合表示为A ∩∁U B .∵U ＝R ，A ＝{0,1,2,3,4,5}，B ＝{x ∈R |x ≥2}，∴A ∩∁U B ＝{0,1}，故选A. 答案：A6．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，y ＝4x 2－1}，则A ∩B 的元素个数是________．解析：集合A 是以原点为圆心，半径等于1的圆周上的点的集合，集合B 是抛物线y ＝4x 2－1上的点的集合，观察图象可知，抛物线与圆有3个交点，因此A ∩B 中含有3个元素．答案：3◆ 易错通关 ◆1．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身． 2．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．3．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．[小题纠偏]1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |7－6x ≤0}，集合B ＝{x |y ＝lg(x ＋2)}，则(∁U A )∩B 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，76B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫76，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，76 D ．⎝⎛⎭⎪⎫－2，－76解析：依题意得A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥76，∁U A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜76；B ＝{x |x ＋2＞0}＝{x |x ＞－2}，因此(∁U A )∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2＜x ＜76. 答案：A2．若集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆A ，则由m 的可取值组成的集合为________．解析：当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝∅，满足B ⊆A ；若B ≠∅，且满足B ⊆A ，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≥－3，m ≤3，∴2≤m ≤3.故m ＜2或2≤m ≤3，即所求集合为{m |m ≤3}．答案：{m |m ≤3}3．已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x ≤0}，则满足A ∪B ＝{0,1,2}的集合B 的个数为________．解析：由A 中的不等式解得0≤x ≤2，x ∈N ，即A ＝{0,1,2}．∵A ∪B ＝{0,1,2}，∴B 可能为{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，∅，共8个．答案：8授课提示：对应学生用书第2页考点一集合的概念与关系自主探究基础送分考点——自主练透[题组练通]1．已知集合A ＝{1，－1}，B ＝{1,0，－1}，则集合C ＝{a ＋b |a ∈A ，b ∈B }中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：由题意，当a ＝1，b ＝1时，a ＋b ＝2；当a ＝1，b ＝0时，a ＋b ＝1；当a ＝1，b ＝－1时，a ＋b ＝0；当a ＝－1，b ＝1时，a ＋b ＝0；当a ＝－1，b ＝0时，a ＋b ＝－1；当a ＝－1，b ＝－1时，a ＋b ＝－2.因此集合C ＝{2,1,0，－1，－2}，共有5个元素．故选D.答案：D2．(2018·兰州模拟)已知集合A ＝{x |y ＝ln(x ＋3)}，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( )A ．A ＝B B ．A ∩B ＝∅C ．A ⊆BD ．B ⊆A解析：A ＝{x |x ＞－3}，B ＝{x |x ≥2}，结合数轴可得：B ⊆A . 答案：D3．已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π4＋π4，k ∈Z，集合N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π8－π4，k ∈Z，则( ) A ．M ∩N ＝∅ B ．M ⊆N C ．N ⊆MD ．M ∪N ＝N解析：由题意可知，M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k ＋8π－π4，k ∈Z＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝2n π8－π4，n ∈Z，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪ x ＝2k π8－π4或⎭⎪⎬⎪⎫x ＝k －8π－π4，k ∈Z，所以M ⊆N ，故选B.答案：B4．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝________.解析：由log 2x ≤2，得0＜x ≤4，即A ＝{x |0＜x ≤4}，而B ＝(－∞，a )，由于A ⊆B ，如图所示，则a ＞4，即c ＝4. 答案：41．集合中元素的互异性常常容易被忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．如题组中1易错．2．已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的条件，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析．如题组中2,4均用了数轴进行分析求解．考点二集合的基本运算多维探究题点多变考点——多角探明[锁定考向] 集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力．常见的命题角度有：(1)集合的基本运算；(2)利用集合运算求参数或范围．角度一集合的基本运算1．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.答案：B2．设集合A ＝{x ∈Z ||x |≤2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪32x≤1，则A ∩B ＝( ) A ．{1,2} B ．{－1,2} C ．{－2,1,2}D ．{－2，－1,0,2}解析：A ＝{－2，－1,0,1,2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2x －32x ≥0＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥32或x ＜0，所以A ∩B ＝{－2，－1,2}，故选C.答案：C3．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－1}，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}，则∁R (A ∩B )＝( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12B ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：A ＝{y |y ＝x 2－1}＝[0，＋∞)，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}＝⎝⎛⎭⎪⎫0，12，所以A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以∁R (A ∩B )＝(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 答案：D解决集合运算的两个方法角度二利用集合运算求参数或范围4．(2017·高考全国卷Ⅱ)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( )A ．{1，－3}B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}解析：因为A ∩B ＝{1}，所以1∈B ，所以1是方程x 2－4x ＋m ＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m ＝3，方程为x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，所以B ＝{1,3}．答案：C5．已知集合A ＝{x |log 2x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜c }，若A ∪B ＝B ，则c 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞) C ．(0,2]D ．[2，＋∞)解析：A ＝{x |log 2x ＜1}＝{x |0＜x ＜2}，因为A ∪B ＝B ，所以A ⊆B ，所以c ≥2，所以c ∈[2，＋∞)，故选D.答案：D6．(2017·合肥模拟)已知A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞D ．(1，＋∞)解析：因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.答案：A根据集合运算的结果确定参数的取值范围解决此类问题的步骤一般为：(1)化简所给集合；(2)用数轴表示所给集合；(3)根据集合端点间关系列出不等式(组)；(4)解不等式(组)；(5)检验，通过返回代入验证端点是否能够取到．解决此类问题多利用数形结合的方法，结合数轴或Venn 图进行求解．[即时应用]1．(2017·高考全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝( )A．{1,2,3,4} B．{1,2,3}C．{2,3,4} D．{1,3,4}解析：由题意得A∪B＝{1,2,3,4}．答案：A2．(2017·高考浙江卷)已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，则P∪Q＝( ) A．(－1,2) B．(0,1)C．(－1,0) D．(1,2)解析：P∪Q＝(－1,2)．答案：A3．(2017·高考山东卷)设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝( )A．(1,2) B．(1,2]C．(－2,1) D．[－2,1)解析：由4－x2≥0，解得－2≤x≤2，由1－x＞0，解得x＜1，∴A∩B＝{x|－2≤x＜1}．故选D.答案：D4．(2018·长沙模拟)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2－3x＋a＝0，a∈A}，若A∩B≠∅，则a的值为( )A．1 B．2C．3 D．1或2解析：当a＝1时，B中元素均为无理数，A∩B＝∅；当a＝2时，B＝{1,2}，A∩B＝{1,2}≠∅；当a＝3时，B＝∅，则A∩B＝∅，所以a的值为2，故选B.答案：B5．设集合A＝{0,1}，集合B＝{x|x＞a}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是( ) A．a≤1 B．a≥1C．a≥0 D．a≤0解析：由A∩B＝∅知0∉B,1∉B，∴a≥1，故选B.答案：B考点三集合的新定义问题创新探究交汇创新考点——突破疑难与集合有关的新定义问题属于信息迁移类问题，它是化归思想的具体运用，是近几年高考的热点问题，这类试题的特点是：通过给出的新的数学概念或新的运算法则，在新的情境下完成某种推理证明，或在新的运算法则下进行运算.常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型.解决此类题型的关键是理解问题中的新概念、新公式、新运算、新法则等的含义，然后分析题目中的条件，设法进行套用.[典例] 设A是自然数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k2∉A，且k∉A，那么k是A 的一个“酷元”，给定S＝{x∈N|y＝lg(36－x2)}，设M⊆S，集合M中有两个元素，且这两个元素都是M的“酷元”，那么这样的集合M有( )A．3个B．4个C．5个D．6个解析：由36－x2＞0可解得－6＜x＜6，又x∈N，故x可取0,1,2,3,4,5，故S＝{0,1,2,3,4,5}．由题意可知：集合M不能含有0,1，且不能同时含有2,4.故集合M可以是{2,3}、{2,5}、{3,5}、{3,4}、{4,5}．答案：C[即时应用]1．设A，B是两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A，且x∉B}．若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10＜0}，则A－B＝( )A．{0,1} B．{1,2}C．{0,1,2} D．{0,1,2,5}解析：∵A＝{x∈N|0≤x≤5}＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{x|x2－7x＋10＜0}＝{x|2＜x＜5}，A－B＝{x|x∈A且x∉B}，∴A－B＝{0,1,2,5}．故选D.答案：D2．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P⊗Q＝{z|z＝a÷b，a∈P，b∈Q}，若P＝{－1,0,1}，Q＝{－2,2}，则集合P⊗Q中元素的个数是( )A．2 B．3C．4 D．5解析：当a＝0时，无论b取何值，z＝a÷b＝0；当a＝－1，b＝－2时，z＝1 2；当a ＝－1，b ＝2时，z ＝－12；当a ＝1，b ＝－2时，z ＝－12；当a ＝1，b ＝2时，z ＝12.故P ⊗Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－12，12，该集合中共有3个元素，所以选B.答案：B课时作业单独成册对应学生用书第187页A 组——基础对点练1．(2017·高考天津卷)设集合A ＝{1,2,6}，B ＝{2,4}，C ＝{1,2,3,4}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{1,2,3,4,6}解析：由题意知A ∪B ＝{1,2,4,6}， ∴(A ∪B )∩C ＝{1,2,4}．答案：B2．(2018·成都市模拟)设集合A ＝{0,1}，B ＝{x |(x ＋2)(x －1)＜0，x ∈Z }，则A ∪B ＝( )A ．{－2，－1,0,1}B ．{－1,0,1}C ．{0,1}D ．{0} 解析：因为集合A ＝{0,1}，B ＝{x |(x ＋2)(x －1)＜0，x ∈Z }＝{－1,0}，所以A ∪B ＝{－1,0,1}．故选B.答案：B3．设集合A ＝{x |x ＜2}，B ＝{y |y ＝2x－1}，则A ∩B ＝( ) A ．(－∞，3) B ．[2,3) C ．(－∞，2)D ．(－1,2)解析：A ＝{x |x ＜2}，因为y ＝2x－1＞－1，所以B ＝{y |y ＝2x－1}＝(－1，＋∞)，所以A ∩B ＝(－1,2)，故选D.答案：D4．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：根据题意，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，又∵a ≠0，∴a ＋b ＝0，即a ＝－b ，∴b a＝－1，b ＝1.故a ＝－1，b ＝1，则b －a ＝2.故选C.答案：C5．已知集合A ＝{－2，－1,0,1,2,3}，B ＝{x |x ＋1x －2＜0}，则A ∩B ＝( ) A ．{－2，－1,0,1,2,3} B ．{－1,0,1,2} C ．{－1,2}D ．{0,1}解析：由题意，得B ＝{x |－1＜x ＜2}，所以A ∩B ＝{0,1}，故选D. 答案：D6．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{y |y ＝3x －2，x ∈A }，则A ∩B ＝( ) A ．{1} B ．{4} C ．{1,3}D ．{1,4}解析：由题意，得B ＝{1,4,7,10}，∴A ∩B ＝{1,4}．答案：D7．(2018·长沙市模拟)已知集合P ＝{x |－2 016≤x ≤2 017}，Q ＝{x | 2 017－x ＜1}，则P ∩Q ＝( )A ．(2 016,2 017)B ．(2 016,2 017]C ．[2 016,2 017)D ．(－2 016,2 017)解析：由已知可得Q ＝{x |0≤2 017－x ＜1}＝(2 016，2 017]，则P ∩Q ＝(2 016,2 017]．答案：B8．(2018·石家庄模拟)函数y ＝x －2与y ＝ln(1－x )的定义域分别为M ，N ，则M ∪N ＝( )A ．(1,2]B ．[1,2]C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．(－∞，1)∪[2，＋∞)解析：使x －2有意义的实数x 应满足x －2≥0，∴x ≥2，∴M ＝[2，＋∞)，y ＝ln(1－x )中x 应满足1－x ＞0，∴x ＜1，∴N ＝(－∞，1)，所以M ∪N ＝(－∞，1)∪[2，＋∞)，故选D.答案：D9．(2018·沈阳市模拟)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |0≤x ＜6}，则集合(∁U A)∩B＝( )A．{x|0＜x＜2} B．{x|0＜x≤2}C．{x|0≤x＜2} D．{x|0≤x≤2}解析：∵U＝R，A＝{x|x≥2}，∴∁U A＝{x|x＜2}．又B＝{x|0≤x＜6}，∴(∁U A)∩B＝{x|0≤x ＜2}．故选C.答案：C10．(2017·天津模拟)设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝( ) A．{1} B．{2}C．{0,1} D．{1,2}解析：N＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，又M＝{0,1,2}，所以M∩N＝{1,2}．答案：D11．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B＝( )A．{1,4} B．{2,3}C．{9,16} D．{1,2}解析：n＝1,2,3,4时，x＝1,4,9,16，∴集合B＝{1,4,9,16}，∴A∩B＝{1,4}．答案：A12．(2018·长春市模拟)已知集合A＝{x|x2－x＋4＞x＋12}，B＝{x|2x－1＜8}，则A∩(∁R B )＝( )A．{x|x≥4} B．{x|x＞4}C．{x|x≥－2} D．{x|x＜－2或x≥4}解析：由题意易得，A＝{x|x＜－2或x＞4}，B＝{x|x＜4}，则A∩(∁R B)＝{x|x＞4}．故选B.答案：B13．已知集合A＝{－1,2,3,6}，B＝{x|－2＜x＜3}，则A∩B＝________.答案：{－1,2}14．已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(∁U B)＝________.解析：∁U B＝{2}，∴A∪∁U B＝{1,2,3}．答案：{1,2,3}15．集合{－1,0,1}共有__________个子集．解析：集合{－1,0,1}的子集有∅，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1,1}，{0,1}，{－1,0,1}，共8个．答案：816．已知集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(∁U B)＝__________.答案：{1,2,3,5}B 组——能力提升练1．已知全集U ＝{0,1,2,3}，∁U M ＝{2}，则集合M ＝( ) A ．{1,3} B ．{0,1,3} C ．{0,3}D ．{2}解析：M ＝{0,1,3}．答案：B2．已知集合A ＝{0,1,2}，B ＝{1，m }．若A ∩B ＝B ，则实数m 的值是( ) A ．0 B ．2 C ．0或2D ．0或1或2 解析：∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，∴m ＝0或m ＝2. 答案：C3．(2018·南昌市模拟)已知集合A ＝{x ∈R |0＜x ≤5}，B ＝{x ∈R |log 2x ＜2}，则(∁A B )∩Z ＝( )A ．{4}B ．{5}C ．[4,5]D ．{4,5}解析：∵集合A ＝{x ∈R |0＜x ≤5}，B ＝{x ∈R |log 2x ＜2}＝{x |0＜x ＜4}，∴∁A B ＝{x |4≤x ≤5}，∴(∁A B )∩Z ＝{4,5}，故选D.答案：D4．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋2≤0，B ＝{x |y ＝lg(－x 2＋4x ＋5)}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．(－2，－1] B ．[－2，－1] C ．(－1,1]D ．[－1,1]解析：依题意，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋2≤0＝{x |－2<x ≤1}，B ＝{x |y ＝lg(－x 2＋4x ＋5)}＝{x |－x 2＋4x ＋5>0}＝{x |－1<x <5}，∴∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥5}，A ∩(∁R B )＝(－2，－1]，选A.答案：A5．(2018·惠州模拟)已知集合A ＝{0,1}，B ＝{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈A }，则集合B 的子集的个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．8解析：由题意知，B ＝{0,1,2}，则集合B 的子集的个数为23＝8.故选D. 答案：D6．(2018·太原市模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x (x ＋2)＜0}，B ＝{x ||x |≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是( )A．(－2,1)B．[－1,0]∪[1,2)C．(－2，－1)∪[0,1]D．[0,1]解析：因为集合A＝{x|x(x＋2)＜0}，B＝{x||x|≤1}，所以A＝{x|－2＜x＜0}，B＝{x|－1≤x≤1}，所以A∪B＝(－2,1]，A∩B＝[－1,0)，所以阴影部分表示的集合为∁A∪B(A∩B)＝(－2，－1)∪[0,1]，故选C.答案：C7．(2018·郑州质量预测)设全集U＝{x∈N*|x≤4}，集合A＝{1,4}，B＝{2,4}，则∁U(A∩B)＝( )A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{1,3,4} D．{2,3,4}解析：因为U＝{1,2,3,4}，A∩B＝{4}，所以∁U(A∩B)＝{1,2,3}，故选A.答案：A8．(2018·广雅中学测试)若全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x ＝0}关系的Venn图是( )解析：由题意知，N＝{x|x2＋x＝0}＝{－1,0}，而M＝{－1,0,1}，所以N M，故选B.答案：B9．已知集合A满足条件{1,2}⊆A，则集合A的个数为( )A．8 B．7C．4 D．3解析：由题意可知，集合A中必含有元素1和2，可含有3,4,5中的0个、1个、2个，则集合A可以为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，共7个．故选B.答案：B10．已知集合A＝{2,0,1,4}，B＝{k|k∈R，k2－2∈A，k－2∉A}，则集合B中所有的元素之和为( )A．2 B．－2C．0 D． 2解析：若k 2－2＝2，则k ＝2或k ＝－2，当k ＝2时，k －2＝0，不满足条件，当k ＝－2时，k －2＝－4，满足条件；若k 2－2＝0，则k ＝±2，显然满足条件；若k 2－2＝1，则k ＝±3，显然满足条件；若k 2－2＝4，得k ＝±6，显然满足条件．所以集合B 中的元素为－2，±2，±3，±6，所以集合B 中的元素之和为－2，故选B.答案：B11．给出下列四个结论： ①{0}是空集； ②若a ∈N ，则－a ∉N ；③集合A ＝{x |x 2－2x ＋1＝0}中有两个元素；④集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Q ⎪⎪⎪6x ∈N是有限集．其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：对于①，{0}中含有元素0，不是空集，故①错误；对于②，比如0∈N ，－0∈N ，故②错误；对于③，集合A ＝{x |x 2－2x ＋1＝0}＝{1}中有一个元素，故③错误；对于④，当x ∈Q 且6x ∈N 时，6x可以取无数个值，所以集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Q ⎪⎪⎪6x∈N是无限集，故④错误．综上可知，正确结论的个数是0.故选A. 答案：A12．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z }，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，定义集合A B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }，则A B 中元素的个数为( )A ．77B ．49C ．45D ．30解析：集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z }，所以集合A 中有5个元素(即5个点)，即图中圆内及圆上的整点．集合B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }中有25个元素(即25个点)，即图中正方形ABCD 内及正方形ABCD 上的整点．集合A B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }中的元素可看作正方形A 1B 1C 1D 1内及正方形A 1B 1C 1D 1上除去四个顶点外的整点，共7×7－4＝45个．答案：C13．设全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1,2,3,5,8}，B ＝{1,3,5,7,9}，则(∁U A )∩B ＝________.解析：依题意得U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，∁U A ＝{4,6,7,9,10}，(∁U A )∩B ＝{7,9}．答案：{7,9}14．集合A ＝{x ∈R ||x －2|≤5}中的最小整数为________．解析：由|x －2|≤5，得－5≤x －2≤5，即－3≤x ≤7，所以集合A 中的最小整数为－3. 答案：－315．若集合A ＝{x |(a －1)x 2＋3x －2＝0，x ∈R }有且仅有两个子集，则实数a 的值为________．解析：由题意知，方程(a －1)x 2＋3x －2＝0，x ∈R ，有一个根，∴当a ＝1时满足题意，当a ≠1时，Δ＝0，即9＋8(a －1)＝0，解得a ＝－18.答案：1或－18第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1．理解命题的概念．2．了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系． 3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．授课提示：对应学生用书第4页◆ 教材通关 ◆1．四种命题及其关系 (1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系．[必记结论]由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．[提醒] 易混否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．充分条件、必要条件与充分必要条件的概念qp1．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( ) A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3解析：同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题．答案：A2．命题“若a2＜b，则－b＜a＜b”的逆否命题为( )A．若a2≥b，则a≥b或a≤－bB．若a2＞b，则a＞b或a＜－bC．若a≥b或a≤－b，则a2≥bD．若a＞b或a＜－b，则a2＞b解析：因为“a2＜b”的否定为“a2≥b”，“－b＜a＜b”的否定为“a≥b或a≤－b ”，所以逆否命题为“若a ≥b 或a ≤－b ，则a 2≥b ”．答案：C3．(2018·唐山模拟)已知a ，b 为实数，则“a 3＜b 3”是“2a ＜2b”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：由于函数y ＝x 3，y ＝2x 在R 上单调递增，所以a 3＜b 3⇔a ＜b ⇔2a ＜2b ，即“a 3＜b 3”是“2a ＜2b”的充要条件．答案：C4．已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p 的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定解析：命题p ：“正数a 的平方不等于0”写成“若a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q 是p 的否命题．答案：B5．(2016·高考四川卷)设p ：实数x ，y 满足x ＞1且y ＞1，q ：实数x ，y 满足x ＋y ＞2，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，y ＞1，∴x ＋y ＞2，即p ⇒q .而当x ＝0，y ＝3时，有x ＋y ＝3＞2，但不满足x ＞1且y ＞1，即q p ．故p 是q 的充分不必要条件．答案：A6．命题“对任意x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A ．a ≥4 B ．a ＞4 C ．a ≥1D ．a ＞1解析：要使“对任意x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题，只需要a ≥4，∴a ＞4是命题为真的充分不必要条件．答案：B◆ 易错通关 ◆1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．易忽视A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且BA )与A 的充分不必要条件是B (B ⇒A 且A B )两者的不同．[小题纠偏]1．设a ，b 均为非零向量，则“a ∥b ”是“a 与b 的方向相同”的________条件．答案：必要不充分2．“在△ABC 中，若C ＝90°，则A ，B 都是锐角”的否命题为：________. 解析：原命题的条件：在△ABC 中，C ＝90°，结论：A ，B 都是锐角．否命题是否定条件和结论，即“在△ABC 中，若C ≠90°，则A ，B 不都是锐角”．答案：在△ABC 中，若C ≠90°，则A ，B 不都是锐角授课提示：对应学生用书第5页考点一命题及其关系自主探究基础送分考点——自主练透[题组练通]1．命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三个内角成等差数列”的逆命题( )A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题解析：原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三个内角成等差数列，则△ABC有一内角为π3”，它是真命题．答案：D2．(2018·焦作质检)设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .给出命题s ：若|q |＝2，则S 6＝7S 2，则在命题s 的逆命题、否命题、逆否命题中，错误命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：若|q |＝2，则q 2＝2，S 6＝a 1－q61－q＝a 1－q2＋q 2＋q 41－q＝7·a 1－q 21－q ＝7S 2，所以原命题为真，从而逆否命题为真；而当S 6＝7S 2时，显然q ≠1，这时a 1－q 61－q＝7·a 1－q 21－q，解得q ＝－1或|q |＝2，因此，逆命题为假，否命题为假，故错误命题的个数为2.答案：B3．命题“若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ”的否命题是( ) A ．若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c B ．若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤b C ．若a ＋c ＞b ＋c ，则a ＞b D ．若a ＞b ，则a ＋c ≤b ＋c解析：否命题是将原命题的条件和结论都否定，故命题“若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ”的否命题是“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”，故选A.答案：A1.判断命题真假的方法(1)判定一个命题是真命题，需经过严格推理证明，而要说明它是假命题，只需举出一个反例即可．(2)利用原命题与逆否命题、逆命题与否命题具有相同的真假性对所给命题的真假进行间接判断．2．由原命题写出其他三种命题的方法由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将原命题的条件与结论互换即得到逆命题，将原命题的条件与结论同时否定即得否命题，将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．考点二充分必要条件的判定互动探究重点保分考点——师生共研[典例] (1)(2018·合肥教学质检)“x ≥1”是“x ＋1x≥2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件(3)(2018·衡阳联考)设p ：x 2－x －20＞0，q ：log 2(x －5)＜2，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：(1)由题意得x ＋1x ≥2⇔x ＞0，所以“x ≥1”是“x ＋1x≥2”的充分不必要条件，故选A.(2)设集合A ＝{(x ，y )|x ≠y }，B ＝{(x ，y )|cos x ≠cos y }，则A 的补集C ＝{(x ，y )|x ＝y }，B 的补集D ＝{(x ，y )|cos x ＝cos y }，显然C D ，所以B A .于是“x ≠y ”是“cos x ≠cosy ”的必要不充分条件．(3)∵x 2－x －20＞0，∴x ＞5或x ＜－4，∴p ：x ＞5或x ＜－4.∵log 2(x －5)＜2，∴0＜x －5＜4，即5＜x ＜9，∴q ：5＜x ＜9，∵{x |5＜x ＜x |x ＞5或x ＜－4}，∴p 是q 的必要不充分条件．故选B.答案：(1)A (2)C (3)B充要条件的3种判断方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的某种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的某种条件.[即时应用]1．(2018·合肥模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：设命题a ：“若p ，则q ”，可知命题a 是祖暅原理的逆否命题，则a 是真命题．故p 是q 的充分条件．设命题b ：“若q ，则p ”，若A 比B 在某些等高处的截面积小一些，在另一些等高处的截面积大一些，且大的总量与小的总量相抵，则它们的体积还是一样的．所以命题b 是假命题，即p 不是q 的必要条件．综上所述，p 是q 的充分不必要条件．故选A.答案：A2．设a ，b ∈R ，则“log 2a ＞log 2b ”是“2a －b＞1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：log 2a ＞log 2b ⇔a ＞b ＞0,2a －b＞1⇔a ＞b ，所以“log 2a ＞log 2b ”是“2a －b＞1”的充分不必要条件．故选A.答案：A3．已知命题甲是“⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x 2＋xx －1≥0”，命题乙是“{x |log 3(2x ＋1)≤0}”，则( ) A ．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件 B ．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件解析：由x 2＋xx －1≥0，即x (x ＋1)(x －1)≥0且x ≠1，解得－1≤x ≤0或x ＞1.∵log 3(2x＋1)≤0，∴0＜2x ＋1≤1，解得－12＜x ≤0.∴甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件．故选B.答案：B考点三根据充分、必要条件求参数的取值范围变式探究母题变式考点——多练题型[典例] (2018·济南月考)已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．是否存在实数m ，使得x ∈P 是x ∈S 的充分必要条件？若存在，求出m 的取值范围．解析：P ＝{x |x 2－8x －20≤0}＝{x |－2≤x ≤10}．要使x ∈P 是x ∈S 的充分必要条件，则P ＝S ，即{x |－2≤x ≤10}＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，此时，m 不存在，即不存在实数m ，使得x ∈P 是x ∈S 的充分必要条件．[变式探究1]母题条件若改为“x ∈P 是x ∈S 的必要条件”，问题不变．解析：∵x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即x ∈S ⇒x ∈P ，∴S P ，∴1－m ＞1＋m 或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，1－m ≤1＋m ，∴m ≤3. [变式探究2]母题条件若改为“綈P 是綈S 的必要不充分条件”，问题不变．解析：∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴S 是P 的必要不充分条件， ∴P 是S 的充分不必要条件，∴P S ⇔⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＞1－m ，1－m ≤－2，1＋m ≥10，∴m ≥9.利用充要条件求参数的值或范围的关键点和注意点(1)关键点：是合理转化条件，准确将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算．(2)注意点：注意区间端点值的检验.[即时应用]1．(2018·日照模拟)已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由2x 2－3x ＋1≤0，得12≤x ≤1，∴命题p 为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1. 由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1， ∴命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}．綈p 对应的集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞1或x ＜12，綈q 对应的集合B ＝{x |x ＞a ＋1或x ＜a }． ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴a ＋1≥1且a ≤12，∴0≤a ≤12，即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 2．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜2x＜8，x ∈R，B ＝{x |－1＜x ＜m ＋1，x ∈R }，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．解析：A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜2x＜8，x ∈R＝{x |－1＜x ＜3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ，∴A B ，∴m ＋1＞3，即m ＞2. 答案：(2，＋∞)课时作业单独成册对应学生用书第189页A 组——基础对点练1．(2017·高考天津卷)设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由|x －1|≤1，得0≤x ≤2，∵0≤x ≤2⇒x ≤2，x ≤20≤x ≤2，故“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要而不充分条件，故选B. 2．命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( ) A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数 B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数 C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数 D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数解析：由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”，故选C.答案：C3．已知命题“若函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上是增函数，则m ≤1”，则下列结论正确的是( )A ．否命题“若函数f (x )＝e x－mx 在(0，＋∞)上是减函数，则m ＞1”是真命题B．逆命题“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”是假命题C．逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”是真命题D．逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题解析：命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．答案：D4．“a＝－2”是“直线l1：ax－y＋3＝0与l2：2x－(a＋1)y＋4＝0互相平行”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当a＝－2时，直线l1：2x＋y－3＝0，l2：2x＋y＋4＝0，所以直线l1∥l2；若l1∥l2，则－a(a＋1)＋2＝0，解得a＝－2或a＝1.所以“a＝－2”是“直线l1：ax－y＋3＝0与l2：2x－(a＋1)y＋4＝0互相平行”的充分不必要条件，故选A.答案：A5．设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( )A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0解析：由原命题和逆否命题的关系可知D正确．答案：D6．(2018·惠州市调研)设函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|是偶函数”是“y＝f(x)的图象关于原点对称”的( )A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：设f(x)＝x2，y＝|f(x)|是偶函数，但是不能推出y＝f(x)的图象关于原点对称．反之，若y＝f(x)的图象关于原点对称，则y＝f(x)是奇函数，这时y＝|f(x)|是偶函数，故选C.答案：C7．(2018·南昌十校模拟)命题“已知a，b，c为实数，若abc＝0，则a，b，c中至少有一个等于0”，在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：原命题为真命题，逆命题为“已知a ，b ，c 为实数，若a ，b ，c 中至少有一个等于0，则abc ＝0”，也为真命题．根据命题的等价关系可知其否命题、逆否命题也是真命题，故在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为3.答案：D8．(2018·石家庄模拟)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m,1)，则“m ＝1”是“a ∥b ”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：向量a ＝(1，m )，b ＝(m,1)，若a ∥b ，则m 2＝1，即m ＝±1，故“m ＝1”是“a ∥b ”的充分不必要条件，选A.答案：A9．(2018·武汉市模拟)设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q ＜0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n ＜0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：a 1＞0，a 2n －1＋a 2n ＝a 1q2n －2(1＋q )＜0⇒1＋q ＜0⇒q ＜－1⇒q ＜0，而a 1＞0，q ＜0，取q ＝－12，此时a 2n －1＋a 2n ＝a 1q 2n －2(1＋q )＞0.故“q ＜0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n＜0”的必要不充分条件．答案：B10．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“a ⊥b ”是“α⊥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为α⊥β，b ⊥m ，所以b ⊥α，又直线a 在平面α内，所以a ⊥b ；但直线a ，m 不一定相交，所以“a ⊥b ”是“α⊥β”的必要不充分条件，故选B.答案：B11．(2018·南昌市模拟)a 2＋b 2＝1是a sin θ＋b cos θ≤1恒成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为a sin θ＋b cos θ＝a 2＋b 2sin(θ＋φ)≤a 2＋b 2，所以由a 2＋b 2＝1可推得a sin θ＋b cos θ≤1恒成立．反之，取a ＝2，b ＝0，θ＝30°，满足a sin θ＋b cos θ≤1，但不满足a 2＋b 2＝1，即由a sin θ＋b cos θ≤1推不出a 2＋b 2＝1，故a 2＋b 2＝1是a sin θ＋b cos θ≤1恒成立的充分不必要条件．故选A.答案：A12．(2018·洛阳统考)已知集合A ＝{1，m 2＋1}，B ＝{2,4}，则“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若A ∩B ＝{4}，则m 2＋1＝4， ∴m ＝±3，而当m ＝3时，m 2＋1＝4，∴“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的充分不必要条件．答案：A13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的__________条件．解析：由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，故a ≤b ⇔sin A ≤sinB ．答案：充要14．“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”的__________条件．解析：由log 12(x ＋2)＜0，得x ＋2＞1，解得x ＞－1，所以“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”的充分不必要条件．答案：充分不必要15．命题“若x >1，则x >0”的否命题是__________．答案：若x ≤1，则x ≤016．如果“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为__________．解析：由x 2>1，得x <－1，或x >1，又“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，知由“x <a ”可以推出“x 2>1”，反之不成立，所以a ≤－1，即a 的最大值为－1.答案：－1B 组——能力提升练1．(2018·湖南十校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若A ＝B ＝0，则S n ＝0，故数列{a n }不是等比数列；若数列{a n }是等比数列，则a 1＝Aq ＋B ，a 2＝Aq 2－Aq ，a 3＝Aq 3－Aq 2，由a 3a 2＝a 2a 1，得A ＝－B .故选B.答案：B2．已知函数f (x )＝3ln(x ＋x 2＋1)＋a (7x ＋7－x)，x ∈R ，则“a ＝0”是“函数f (x )为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由题意知f (x )的定义域为R ，易知y ＝ln(x ＋x 2＋1)为奇函数，y ＝7x ＋7－x为偶函数．当a ＝0时，f (x )＝3ln(x ＋x 2＋1)为奇函数，充分性成立；当f (x )为奇函数时，则a ＝0，必要性成立．因此“a ＝0”是“函数f (x )为奇函数”的充要条件．故选C.答案：C3．l 1，l 2表示空间中的两条直线，若p ：l 1，l 2是异面直线；q ：l 1，l 2不相交，则( ) A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 C ．p 是q 的充要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解析：两直线异面，则两直线一定无交点，即两直线一定不相交；而两直线不相交，有可能是平行，不一定异面，故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件，故选A.答案：A4．“x 1>3且x 2>3”是“x 1＋x 2>6且x 1x 2>9”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件。

新课标2023版高考数学一轮总复习第1章预备知识第1节集合教师用书

第一节集合考试要求：借助集合的有关概念，解决集合间的关系，并能进行集合的基本运算．一、教材概念·结论·性质重现1．元素与集合、集合与集合间的关系(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系：属于(用符号“∈”表示)和不属于(用符号“”表示)．(3)集合的表示法：列举法、描述法．(4)集合与集合间的基本关系①子集：集合A中任意一个元素都是集合B中的元素．用符号表示为A⊆B(或B⊇A)．Venn图如图所示：②真子集：集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x A．用符号表示为：A B(或B A)．Venn图如图所示：③集合相等：集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素．用符号表示为A＝B．Venn图如图所示：2．集合的基本运算(1)交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合．用符号表示为A∩B＝{x|x ∈A，且x∈B}．Venn图如图所示：(2)并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合．用符号表示为A∪B＝{x|x ∈A，或x∈B}．Venn图如图所示：(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U的补集．用符号表示为∁U A＝{x|x∈U，且x A}．Venn图如图所示：3．集合的运算性质(1)并集的性质：A∪∅＝∅∪A＝A；A∪A＝A．(2)交集的性质：A∩∅＝∅∩A＝∅；A∩A＝A．(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅．1．A∪B＝A⇔B⊆A．2．A∩B＝A⇔A⊆B．3．∁U(∁U A)＝A．4．常用结论(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有(2n－1)个，非空真子集有(2n－2)个．(2)子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C．(3)∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)集合{x2＋x,0}中的实数x可取任意值．( ×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( ×)(3)对任意集合A，B，一定有A∩B A∪B．( ×)(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C．( ×)(5)直线y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点组成的集合是{(1,4)}．( √)2．若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论中正确的是( )A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a AD解析：因为22不是自然数，所以a A．3．已知集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<2}，则A∩B＝( )A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－1,2)D ．∅C 解析：在数轴上标出集合A ，B ，如图所示．故A ∩B ＝{x |－1<x <2}．4．(2021·北京卷)已知集合A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |0≤x ≤2}，则A ∪B ＝( ) A ．(－1,2) B ．(－1,2] C ．[0,1) D ．[0,1]B 解析：由题意可得：A ∪B ＝{x |－1<x ≤2}，即A ∪B ＝(－1,2]．5．若全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,3,4}，N ＝{2,3,4}，则集合(∁U M )∩(∁U N )等于( ) A ．{5,6} B ．{1,5,6} C ．{2,5,6} D ．{1,2,5,6}A 解析：因为U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{1,3,4}，N ＝{2,3,4}，所以∁U M ＝{2,5,6}，∁U N＝{1,5,6}，所以(∁U M )∩(∁U N )＝{5,6}．故选A ．考点1 集合的概念——基础性1．(2021·南昌市高三测试)设集合{a ，b ，ab }＝{1,2,4}，则a ＋b ＝( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．6C 解析：因为2＝1×4，所以a ＝1，b ＝4，ab ＝2或a ＝4，b ＝1，ab ＝2，所以a ＋b ＝5．故选C ．2．若集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A ．92 B ．98 C ．0 D ．0或98D 解析：当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0，即a ＝98．故选D ．3．(多选题)已知集合M ＝{－2,3x 2＋3x －4，x 2＋x －4}．若2∈M ，则满足条件的实数x 可能为( )A ．2B ．－2C ．－3D ．1AC解析：由题意得，2＝3x2＋3x－4或2＝x2＋x－4．若2＝3x2＋3x－4，即x2＋x－2＝0，解得x＝－2或x＝1．检验：当x＝－2时，x2＋x－4＝－2，与元素互异性矛盾，舍去；当x＝1时，x2＋x－4＝－2，与元素互异性矛盾，舍去．若2＝x2＋x－4，即x2＋x－6＝0，解得x＝2或x＝－3．经验证x＝2或x＝－3满足条件．故选AC．4．已知P＝{x|2<x<k，x∈N}．若集合P中恰有3个元素，则k的取值范围为________．(5,6]解析：因为P中恰有3个元素，所以P＝{3,4,5}，故k的取值范围为(5,6]．与集合中的元素有关问题的求解思路(1)确定集合中元素的特征，即集合是数集还是点集或其他集合．(2)看清元素的限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，但要检验参数是否满足集合元素的互异性．考点2 集合的基本关系——综合性(1)(多选题)若集合A＝{x|x≥1}，则满足B⊆A的集合B可以是( )A．{2,3} B．{x|x≥2}C．{0,1,2} D．{x|x≥0}AB解析：因为集合A＝{x|x≥1}，且B⊆A，所以集合B可以是集合{2,3}，也可以是{x|x≥2}．故选AB．(2)已知集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－m<x<m}．若B⊆A，则m的取值范围为________．(－∞，1]解析：当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A．当m>0时，A＝{x|－1<x<3}，若B⊆A，在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －m ≥－1，m ≤3，－m <m ，所以0<m ≤1．综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]．1．若在例1(2)中，条件“B ⊆A ”，改为“A ⊆B ”，结果如何？解：因为A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－m <x <m }，且A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≤－1，m ≥3，－m <m ，解得m ≥3．故m 的取值范围为[3，＋∞)．2．若在例1(2)中，条件“B ⊆A ”，改成“AB ”，则m 的取值范围为________．[3，＋∞) 解析：因为A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－m <x <m }，且A B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≤－1，m >3，－m <m ，或⎩⎪⎨⎪⎧－m <－1，m ≥3，－m <m ，解得m ≥3．故m 的取值范围为[3，＋∞)．1．判断两集合关系的方法(1)列举法：先用列举法表示集合，再从元素中寻求关系．(2)化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往往需对表达式变形、化简，探寻两个集合间的关系．2．根据两集合的关系求参数的方法已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对含参数的集合是否为空集进行分类讨论，做到不漏解．(1)若集合中的元素是一一列举的，依据集合间的关系，将其转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性．(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需检验端点值能否取到．1．设全集U ＝R ，则集合M ＝{0,1,2}和N ＝{x |x ·(x －2)·log 2x ＝0}的关系可表示为( )A 解析：因为N ＝{x |x ·(x －2)·log 2x ＝0}＝{1,2}，M ＝{0,1,2}，所以N 是M 的真子集．故选A ．2．(1)满足{1,2}⊆A ⊆{1,2,3,4,5}的集合A 的个数为________． 8 解析：因为集合A 满足{1,2}⊆A ⊆{1,2,3,4,5}，所以集合A 中必有1,2，集合A 还可以有元素3,4,5，满足条件的集合A 有：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}共有8个．(2)满足{1,2}A {1,2,3,4,5}的集合A 的个数为 6 ．考点3 集合的运算——应用性考向1 集合的运算(1)设集合A ＝{x |x ≥1}，B ＝{x |－1<x <2}，则A ∪B ＝( )A ．{x |x >－1}B ． {x |x ≥1}C ．{x |－1<x <1}D ．{x |1≤x <2}A 解析：由交集的定义结合题意可得：A ∪B ＝{x |x >－1}．故选A ．(2)(2021·新高考全国Ⅱ卷)设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{1,3,6}，B ＝{2,3,4}，则A ∩(∁UB )＝( )A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}B 解析：由题设可得∁U B ＝{1,5,6}，故A ∩(∁U B )＝{1,6}．(3)(2020·全国Ⅲ卷)已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6C 解析：由题意，A ∩B 中的元素满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ＝8，且x ，y ∈N *．由x ＋y ＝8≥2x ，得x ≤4，所以满足x ＋y ＝8的有(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，故A ∩B 中元素的个数为4．例2(1)中的条件不变，试求∁R (A ∩B )．解：因为A ＝{x |x ≥1}，B ＝{x |－1<x <2}，所以A ∩B ＝{x |1≤x <2}，所以∁R (A ∩B )＝{x |x <1或x ≥2}．求解集合运算的思路与原则(1)思路：先化简集合，再由交集、并集、补集的定义求解． (2)原则：先计算括号里面的，再按运算顺序求解．考向2 集合运算的应用(1)(2020·全国Ⅰ卷)设集合A ＝{x |x 2－4≤0}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}，且A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．2D ．4B 解析：集合A ＝{x |x 2－4≤0}＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |2x ＋a ≤0}＝．由A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}，可得－12a ＝1，则a ＝－2．(2)(2021·西安模拟)已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}，B ＝{x |x ＞a }．若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，1]D ．(－∞，1)A 解析：因为集合A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}＝{x |1≤x ≤3}，又A ∩B ＝∅，所以a ≥3．根据集合的运算结果求参数的值或范围的方法(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．1．设集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，则A ∩B 中元素的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3C 解析：如图．因为圆x2＋y2＝1和直线x＋y＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2．故选C．2．设集合A＝{－1,1,2,3,5}，B＝{2,3,4}，C＝{x|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝( ) A．{2} B．{2,3}C．{－1,2,3} D．{1,2,3,4}D解析：易知A∩C＝{1,2}，所以 (A∩C)∪B＝{1,2}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}．故选D．3．已知集合M＝{x∈N*|2x＜8}，N＝{x|x＜a}．若M∩N有且仅有1个元素，则实数a 的取值范围是( )A．(0,1] B．[0,1]C．(1,2] D．[1,2]C解析：因为M＝{x∈N*|x＜3}＝{1,2}，N＝{x|x＜a}，且M∩N只有一个元素，所以M∩N＝{1}，所以1＜a≤2，所以a的取值范围是(1,2]．。

(教师用书)高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语课堂过关理-人教版高三全册数学试题

第一章集合与常用逻辑用语第1课时集合的概念(对应学生用书(文)、(理)1～2页)了解集合的含义；体会元素与集合的“属于”关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的数学对象或数学问题；了解集合之间包含与相等的含义；能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．① 学会区分集合与元素，集合与集合之间的关系.②学会自然语言、图形语言、集合语言之间的互化.③集合含义中掌握集合的三要素. ④不要求证明集合相等关系和包含关系．1. (必修1P 10第5题改编)已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m}，若3∈A，则m ＝________．答案：－32解析：因为3∈A，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3满足题意．所以m ＝－32.2. (必修1P 7第4题改编)已知集合A ＝{(x ，y)|－1≤x≤1，0≤y<2，x 、y∈Z }，用列举法可以表示集合A 为________．答案：{(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}解析：集合A 表示不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x≤1，x ∈Z ，0≤y<2，y ∈Z 确定的平面区域上的格点集合，所以用列举法表示集合A 为{(－1，0)，(－1，1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}．3. (必修1P 17第6题改编)已知集合A ＝[1，4)，B ＝(－∞，a)，A B ，则a∈________．答案：[4，＋∞)解析：在数轴上画出A 、B 集合，根据图象可知．4. (原创)若集合A ＝{x|y ＝x ＋1，x ∈R }，B ＝{y|y ＝x 2－1，x ∈R }，则集合A 、B 的关系是________．答案：A＝B解析：由集合A、B的意义得A＝{x|x≥－1}，B＝{y|y≥－1}，所以A＝B.5. (必修1P9练习1改编)设M为非空的数集，M{0，1，2，3}，且M中至少含有一个偶数元素，则这样的集合M共有________个．答案：12解析：集合{0，1，2，3}的所有子集共有24＝16(个)，只含有奇数的集合{1，3}的所有子集共有22＝4(个)，故满足要求的集合M共有16－4＝12(个)．1. 集合的含义及其表示(1) 集合的定义：一般地，一定X围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．其中集合中的每一个对象称为该集合的元素．(2) 集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性．(3) 集合的常用表示方法：列举法、描述法、Venn图法．(4) 集合的分类：若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类可分为点集、数集等．应当特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，解题时切勿忽视空集的情形．(5) 常用数集及其记法：自然数集记作N；正整数集记作N或N＋；整数集记作Z；有理数集记作Q；实数集记作R；复数集记作C．2. 两类关系(1) 元素与集合之间的关系包括属于与不属于关系，反映了个体与整体之间的从属关系．(2) 集合与集合之间的关系①包含关系：如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B 的子集，记为A B或B A，读作“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”．②真包含关系：如果A B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为AB 或BA，读作“集合A真包含于集合B”或“集合B真包含集合A”．③相等关系：如果两个集合所含的元素完全相同，即A中的元素都是B中的元素且B 中的元素都是A中的元素，则称这两个集合相等．(3) 含有n个元素的集合的子集共有2n个，真子集共有2n－1个，非空子集共有2n－1个，非空真子集有2n－2个．题型1集合的基本概念例1 已知集合A ＝{x|ax 2－3x ＋2＝0，a ∈R }． (1) 若A 是空集，求a 的取值X 围；(2) 若A 中只有一个元素，求a 的值，并将这个元素写出来； (3) 若A 中至多有一个元素，求a 的取值X 围．解： (1) 若A 是空集，则Δ＝9－8a ＜0，解得a ＞98.(2) 若A 中只有一个元素，则Δ＝9－8a ＝0或a ＝0，解得a ＝98或a ＝0；当a ＝98时，这个元素是43；当a ＝0时，这个元素是23.(3) 由(1)(2)知，当A 中至多有一个元素时，a 的取值X 围是a≥98或a ＝0.备选变式（教师专享）已知a≤1时，集合[a ，2－a]中有且只有3个整数，则a 的取值X 围是________．答案：－1<a≤0解析：因为a≤1，所以2－a≥1，所以1必在集合中．若区间端点均为整数，则a ＝0，集合中有0，1，2三个整数，所以a ＝0适合题意；若区间端点不为整数，则区间长度2<2－2a<4，解得－1<a<0，此时，集合中有0，1，2三个整数，－1<a<0适合题意．综上，a 的取值X 围是－1<a≤0.变式训练设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 2＋14，k ∈Z ，N ＝{x|x ＝k 4＋12，k ∈Z }，则M________N.答案：真属于题型2集合间的基本关系例2 (2014·兴化期中)已知集合A ＝{x|4－2k<x<2k －8}, B ＝{x|－k<x<k}, 若A B, 则实数k 的取值X 围是____________．答案：(0, 4]解析：由A 真属于B 知，B ≠，－k<k ，即k>0.若A ＝，则还需4－2k≥2k－8，∴ 0<k≤3.若A≠，则⎩⎪⎨⎪⎧4－2k<2k －8，－k≤4－2k ，2k －8≤k，∴ 3<k ≤4.综上，实数k 的取值X 围是(0, 4] . 备选变式（教师专享）(2014·启东中学期中)已知集合M ＝{x|5－|2x －3|∈N *}，则M 的所有非空真子集的个数是________．答案：254解析：∵ 5－|2x －3|∈N *，∴ |2x －3|＝1，2，3，4，∴ x ＝－12，0，12，1，2，52，3，72，即M ＝{－12，0，12，1，2，52，3，72}，故M 中共有8个元素，因此M 的所有非空真子集的个数是28－2＝254.变式训练集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1，集合B ＝{a 2，a ＋b ，0}，若A ＝B ，求a 2 014＋b 2 015的值．解：由于a≠0，由b a ＝0，得b ＝0，则A ＝{a ，0，1}，B ＝{a 2，a ，0}．由A ＝B ，可得a 2＝1.又a 2≠a ，则a≠1，则a ＝－1.所以a2 014＋b2 015＝1.题型3根据集合的关系求参数的取值X 围例3 集合A ＝{x|－2≤x≤5}，集合B ＝{x|m ＋1≤x≤2m－1}． (1) 若BA ，某某数m 的取值X 围；(2) 当x∈R 时，没有元素x 使x∈A 与x∈B 同时成立，某某数m 的取值X 围．解：(1) 当m ＋1＞2m －1即m ＜2时，B ＝满足BA ；当m ＋1≤2m－1即m≥2时，要使B A 成立，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m≤3.综上所述，当m≤3时有BA.(2) 因为x∈R ，且A ＝{x|－2≤x≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x≤2m－1}，又没有元素x 使x∈A 与x∈B 同时成立，则①若B ＝，即m ＋1＞2m －1，得m ＜2时满足条件；②若B≠，则要满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m－1，m ＋1＞5，解得m ＞4；或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m－1，2m －1＜－2，无解．综上所述，实数m 的取值X 围为m ＜2或m ＞4.备选变式（教师专享）已知集合A ＝{y|y ＝－2x，x ∈[2，3]}，B ＝{x|x 2＋3x －a 2－3a>0}．若A B ，某某数a的取值X 围．解：由题意有A ＝[－8，－4]，B ＝{x|(x －a)(x ＋a ＋3)>0}．①当a ＝－32时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x∈R ，x ≠－32，所以AB 恒成立；②当a<－32时，B ＝{x|x<a 或x>－a －3}．因为AB ，所以a>－4或－a －3<－8，解得a>－4或a>5(舍去)，所以－4<a<－32；③当a>－32时，B ＝{x|x<－a －3或x>a}．因为AB ，所以－a －3>－4或a<－8(舍去)，解得－32<a<1.综上，当AB 时，实数a 的取值X 围是(－4，1)．1. 已知全集S ＝{1，2，a 2－2a ＋3}，A ＝{1，a}，∁S A ＝{3}，则实数a 等于________．答案：2解析：由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，a 2－2a ＋3＝3，则a ＝2.2. (2014·潍坊模拟改)设集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5}，C ＝{x|x ＝b －a ，a ∈A ，b ∈B}，则C 中元素的个数是________．答案：4解析：∵ A＝{1，2，3}，B ＝{4，5}，∴ C ＝{x|x ＝b －a ，a ∈A ，b ∈B}＝{1，2，3，4}，∴ C 中共有4个元素．3. 若x∈A，则1x ∈A ，就称A 是“伙伴关系集合”，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是________．答案：3解析：具有伙伴关系的元素组是－1；12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.4. 已知全集U ＝R ，集合M ＝{x|－2≤x－1≤2}和N ＝{x|x ＝2k －1，k ＝1，2，…}的韦恩(Venn)图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有________个．答案：2解析：由题图示可以看出阴影部分表示集合M 和N 的交集，所以由M ＝{x|－1≤x≤3}，得M∩N＝{1，3}，有2个．5. (2014·全国交流卷改)已知集合A ＝{a 1，a 2，…，a n }，其中a k >0(k ＝1，2，…，n ，n ∈N *)，集合B ＝{(a ，b )|a∈A，b ∈A ，a －b∈A}，则集合B 的元素至多有________个．答案：（n －1）n 2解析：集合B 的元素至多有1＋2＋3＋…＋(n －1)＝（1＋n －1）（n －1）2＝n （n －1）2个．1. (2014·某某质检改)已知集合A ＝{x|x ＞2}，B ＝{x|x ＜2m}，且A (∁R B)，则m 的值可以是________．答案：1解析：易知∁R B ＝{x|x≥2m}，要使A(∁R B)，则2m≤2，∴ m ≤1.2. (2014·某某模拟)已知集合M ＝{1，m}，N ＝{n ，log 2n}．若M ＝N ，则(m －n)2 015＝________．答案：－1或0解析：因为M ＝N ，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1，log 2n ＝m 或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝m ，log 2n ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1，m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，m ＝2.故(m －n)2 015＝－1或0.3. 已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ax －1x －a <0，且2∈A，3A ，则实数a 的取值X 围是________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12∪(2，3] 解析：因为2∈A，所以2a －12－a ＜0，即(2a －1)(a －2)＞0，解得a ＞2或a ＜12.①若3∈A，则3a －13－a ＜0，即(3a －1)(a －3)＞0，解得a ＞3或a ＜13，所以3A 时，13≤a≤3.②由①②可知，实数a 的取值X 围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12∪(2，3]． 4. (2014·某某)已知集合{a ，b ，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系：① a≠2；② b ＝2；③ c≠0有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c ＝________．答案：201解析：若①正确，则②③不正确，由③不正确得c ＝0，由①正确得a ＝1，所以b ＝2，与②不正确矛盾，故①不正确；若②正确，则①③不正确，由①不正确得a ＝2，与②正确矛盾，故②不正确；若③正确，则①②不正确，由①不正确得a ＝2，由②不正确及③正确得b ＝0，c ＝1，故③正确．故100a ＋10b ＋c ＝100×2＋10×0＋1＝201.1. 研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．注意区分{x|y ＝f(x)}、{y|y ＝f(x)}、{(x ，y)|y ＝f(x)}三者的不同．对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性．2. 空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A B ，则需考虑A ＝和A≠两种可能的情况．3. 判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．4. 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn 图帮助分析．请使用课时训练(A )第1课时(见活页)．第2课时集合的基本运算(对应学生用书(文)、(理)3～4页)理解两个集合的交集与并集的含义；会求两个简单集合的交集与并集，理解给定集合的一个子集的补集的含义；会求给定子集的补集，会用韦恩图表示集合的关系及运算．① 在给定集合中会求一个子集的补集，补集的含义在数学中就是对立面.②会求两个简单集合的交集与并集；交集的关键词是“且”，并集的关键词是“或”.③会使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算；对于数集有时也可以用数轴表示．1. (必修1P14习题10改编)已知全集U＝{x|x<4，且x∈N}，集合A＝{0，1}，B＝{1，2，3}，则(∁U A)∩B＝________．答案：{2，3}解析：全集U＝{0，1，2，3}，A＝{0，1}，∴∁U A＝{2，3}．又B＝{1，2，3}，∴(∁U A)∩B ＝{2，3}．2. (必修1P17第13题改编)A、B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈A∪B，且x A∩B}．若A＝{x|y＝x2－3x}，B＝{y|y＝3x}，则A×B＝________．答案：(－∞，3)解析：A＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，B＝(0，＋∞)．A∪B＝R，A∩B＝[3，＋∞)．所以A×B＝(－∞，3)．3. (必修1P14习题10改编)已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝[3，＋∞)，则图中阴影部分所表示的集合为________．答案：{1，2}解析：由题意，阴影部分表示A∩(∁U B)．因为∁U B＝{x|x<3}，所以A∩(∁U B)＝{1，2}．4. (必修1P12例2改编)某班有50名学生报名参加A、B两项比赛，参加A项的有30人，参加B项的有33人，且A、B都不参加的同学比A、B都参加的同学的三分之一多一人，则只参加A项、没有参加B项的学生有________人．答案：9解析：设A、B都参加的有x人，都不参加的有y人，如图所示．则⎩⎪⎨⎪⎧30－x ＋x ＋33－x ＋y ＝50，y ＝13x ＋1，解得x ＝21.故只参加A 项，没有参加B 项的同学有30－21＝9(人)．5. (必修1P 17第6题改编)已知A ＝{1，2，3}，B ＝{x∈R |x 2－ax ＋1＝0，a ∈A}，则A∩B ＝B 时，a ＝________．答案：1或2解析：验证a ＝1时B ＝满足条件；验证a ＝2时B ＝{1}也满足条件．1. 集合的运算(1) 交集：由属于A 且属于B 的所有元素组成的集合，叫做集合A 与B 的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A 且x∈B}．(2) 并集：由属于A 或属于B 的所有元素组成的集合，叫做集合A 与B 的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A 或x∈B}．(3) 全集：如果集合S 含有我们所研究的各个集合的全部元素，那么这个集合就可以看作一个全集，通常用U 来表示．一切所研究的集合都是这个集合的子集．(4) 补集：集合A 是集合S 的一个子集，由S 中所有不属于A 的元素组成的集合叫做A 的补集(或余集)，记作∁S A ，即∁S A ＝{x|x∈S，但xA}．2. 常用运算性质及一些重要结论 (1) A∩A＝A ，A ∩＝，A ∩B ＝B ∩A；(2) A∪A＝A ，A ∪＝A ，A ∪B ＝B∪A；(3) A∩(∁U A)＝，A ∪(∁U A)＝U ； (4) A∩B＝AAB ，A ∪B ＝ABA ；(5) ∁U (A∩B)＝(∁U A )∪(∁U B)，∁U (A∪B)＝(∁U A )∩(∁U B)．题型1集合的运算例1 已知U ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫9x －1，x ∈Z ，M ＝{x||x －4|≤1, x ∈Z }，N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫6x ∈Z ， x ∈N ，则M∩(∁U N)＝________．答案：{4，5}解析：集合U 为函数y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫9x －1的定义域内的整数集，由9x －1>0，即9－x x >0，解得0<x<9，又x∈Z ，所以x 可取1，2，3，4，5，6，7，8，故U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}．集合M 为满足不等式|x －4|≤1的整数集，解|x －4|≤1，得3≤x≤5，又x∈Z ，所以x 可取3，4，5，故M ＝{3，4，5}．集合N 是使6x 为整数的自然数集合，显然当x ＝1时，6x ＝6；当x ＝2时，6x ＝3；当x ＝3时，6x ＝2；当x ＝6时，6x＝1.所以N ＝{1，2，3，6}．所以M∩(∁U N)＝{4，5}．变式训练设集合A ＝{x 2，2x －1，－4}，B ＝{x －5，1－x ，9}，若A∩B＝{9}，求A∪B. 解：由9∈A，可得x 2＝9或2x －1＝9，解得x ＝±3或x ＝5.当x ＝3时，A ＝{9，5，－4}，B ＝{－2，－2，9}，B 中元素重复，故舍去；当x ＝－3时，A ＝{9，－7，－4}，B ＝{－8，4，9}，A ∩B ＝{9}满足题意，故A∪B＝{－8，－7，－4，4，9}；当x ＝5时，A ＝{25，9，－4}，B ＝{0，－4，9}，此时A∩B＝{－4，9}与A∩B＝{9}矛盾，故舍去．综上所述，A ∪B ＝{－8，－7，－4，4，9}．题型2根据集合的运算求参数的取值X 围例2 (2014·启东检测)已知集合A ＝{x|x 2－2x －3>0}，B ＝{x|x 2－4x ＋a ＝0，a ∈R }． (1) 存在x∈B，使得A∩B≠，求a 的取值X 围；(2) 若A∩B＝B ，求a 的取值X 围．解：(1) 由题意得B≠，故Δ＝16－4a≥0，解得a≤4.①令f(x)＝x 2－4x ＋a ＝(x －2)2＋a －4，对称轴为x ＝2, ∵ A ∩B ≠，又A ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞), ∴ f(3)<0，解得a<3. ②由①②得a 的取值X 围为(－∞，3)． (2) ∵ A∩B＝B ，∴ BA.当Δ＝16－4a<0，即a>4时，B 是空集，这时满足A ∩B ＝B ；当Δ＝16－4a≥0，即a≤4. ③ 令f(x)＝x 2－4x ＋a ，对称轴为x ＝2， ∵ A ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)≠，∴ f(－1)<0，解得a<－5.④ 由③④得a<－5.综上得a 的取值X 围为(－∞，－5)∪(4，＋∞)．备选变式（教师专享）(2014·兴化期中)已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x|0≤ax ＋1≤3}．若A∪B＝B ，某某数a 的取值组成的集合．解：∵ A∪B＝B ，∴ AB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ＋1≤3，0≤2a ＋1≤3，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a≤2，－12≤a≤1.∴－12≤a ≤1.∴ 实数a 的取值组成的集合为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.变式训练已知A ＝{x|ax －1>0}，B ＝{x|x 2－3x ＋2>0}． (1) 若A∩B＝A ，某某数a 的取值X 围； (2) 若A∩∁R B ≠，某某数a 的取值X 围．解：(1) 由于A∩B＝A 得A B ，由题意知B ＝{x|x>2或x<1}．若a>0，则x>1a≥2，得0＜a≤12；若a ＝0，则A ＝，成立；若a ＜0，则x ＜1a＜1，根据数轴可知均成立．综上所述，a ≤12.(2) ∁R B ＝{x|1≤x≤2}，若a ＝0，则A ＝，不成立；若a ＜0，则x ＜1a＜1，不成立；若a ＞0，则x ＞1a ，由1a ＜2得a ＞12.综上所述，a ＞12.题型3集合的综合应用例3(2014·某某期中)已知集合M ＝{(x ，y)|x －3≤y ≤x －1}，N ＝{P|PA≥2PB ，A(－1，0)，B(1，0)}，则表示M∩N 的图形面积等于________．答案：23＋83π解析：设P(x ，y)，由PA 2≥2PB 2，知(x ＋1)2＋y 2≥2(x －1)2＋2y 2.整理得(x －3)2＋y 2≤8，则集合M∩N 示意图如下：∴ S M ∩N ＝S △HGN ＋2S 扇GNF .又N(3，0)到HG 距离d ＝2，从而△HGN 为等边三角形， ∴ S △HGN ＝34×(22)2＝23， 2S 扇GNF ＝2×12lr ＝lr ＝r 2θ＝8×π3＝83π.综上知M ∩N 的图形面积为S △HGN ＋ 2S 扇GNF ＝23＋83π.备选变式（教师专享）(2014·某某八市联考)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）⎪⎪⎪y －3x －2＝3，N ＝{(x ，y)|ax ＋2y ＋a ＝0}，且M∩N＝，则a ＝________．答案：－6或－2解析：易知集合M 中的元素表示的是过点(2，3)且斜率为3的直线上除点(2，3)外的所有点．要使M∩N＝，则N 中的元素表示的是斜率为3且不过点(2，3)的直线，或过点(2，3)且斜率不为3的直线，∴－a2＝3或2a ＋6＋a ＝0，∴ a ＝－6或a ＝－2.题型4集合运算有关的新定义问题例4(2014·某某模拟改)用C(A)表示非空集合A 中的元素个数，定义A*B ＝⎩⎪⎨⎪⎧C （A ）－C （B ），C （A ）≥C（B ），C （B ）－C （A ），C （A ）<C （B ），若A ＝{1，2}，B ＝{x|(x 2＋ax)(x 2＋ax ＋2)＝0}，且A*B ＝1，设实数a 的所有可能取值构成的集合是S ，则C(S)＝________．答案：3解析：由A ＝{1，2}，得C(A)＝2. 由A*B ＝1，得C(B)＝1或C(B)＝3.由(x2＋ax)(x2＋ax＋2)＝0，得x2＋ax＝0或x2＋ax＋2＝0.当C(B)＝1时，方程(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0只有实根x＝0，这时a＝0.当C(B)＝3时，必有a≠0，这时x2＋ax＝0有两个不相等的实根x1＝0，x2＝－a，方程x2＋ax＋2＝0必有两个相等的实根，且异于x1＝0，x2＝－a，由Δ＝a2－8＝0，得a＝±22，可验证均满足题意．故S＝{－22，0，22}，C(S)＝3.备选变式（教师专享）(必修1P14习题13改编)对任意两个集合M、N，定义：M－N＝{x|x∈M且x N}，M*N＝(M－N)∪(N－M)，设M＝{y|y＝x2，x∈R}，N＝{y|y＝3sinx，x∈R}，则M*N＝________．答案：{y|y>3或－3≤y<0}解析：∵ M＝{y|y＝x2，x∈R}＝{y|y≥0}，N＝{y|y＝3sinx，x∈R}＝{y|－3≤y≤3}，∴ M－N＝{y|y>3}，N－M＝{y|－3≤y<0}，∴ M*N＝(M－N)∪(N－M)＝{y|y>3}∪{y|－3≤y<0}＝{y|y>3或－3≤y<0}．1. (2014·某某中学期中)若集合A＝{－1，0，1}，B＝{y|y＝cos(πx)，x∈A}，则A∩B ＝________．答案：{－1，1}解析：由题意，B＝{－1，1}，所以A∩B＝{－1，1}．2. (2014·某某卷改)设集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}，则∁R(A∪B)＝________．答案：(－∞，－1]∪(4，＋∞)解析：由题意，集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{y|1≤y≤4}，所以A∪B＝{x|－1<x≤4}，∁R(A∪B)＝(－∞，－1]∪(4，＋∞)．3. 如图，已知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合A＝{2，3，4，5，6，8}，B＝{1，3，4，5，7}，C＝{2，4，5，7，8，9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为________．答案：{2，8}解析：阴影部分表示的集合为A∩C∩(∁U B)＝{2，8}．4. (2014·日照模拟)设集合A＝{x|x2＋2x－3＞0}，B＝{x|x2－2ax－1≤0，a＞0}．若A∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值X 围是________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，43 解析：A ＝{x|x 2＋2x －3＞0}＝{x|x ＞1或x ＜－3}，因为函数y ＝f(x)＝x 2－2ax －1的对称轴为x ＝a ＞0，f(－3)＝6a ＋8＞0，根据对称性可知，要使A∩B 中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有f(2)≤0且f(3)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥34，a ＜43，即34≤a ＜43.5. 设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x|x∈P，且x Q}，如果P ＝{x|log 2x<1}，Q ＝{x||x －2|<1}，那么P －Q ＝________．答案：{x|0<x≤1}解析：由log 2x<1，得0<x<2，所以P ＝{x|0<x<2}；由|x －2|<1，得1<x<3，所以Q ＝{x|1<x<3}．由题意，得P －Q ＝{x|0<x ≤1}．1. (2014·通州中学期中)已知集合A ＝{x|x ＞2，或x ＜－1}，B ＝{x|a≤x≤b}．若A∪B ＝R ，A ∩B ＝{x|2<x≤4}，则ba＝________．答案：－4解析：由题意得B ＝{x|－1≤x≤4}，∴ a ＝－1，b ＝4，故ba＝－4.2. 设全集U ＝R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥2，B ＝{y|y ＝lg(x 2＋1)}，则(∁U A )∩B＝________．答案：{x|x≥0}解析：由于A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥2＝{x|x≤－1}，B ＝{y|y ＝lg(x 2＋1)}＝{y|y≥0}，所以(∁U A )∩B＝{x|x>－1}∩{y|y ≥0}＝{x|x≥0}．3. 设全集I ＝R ，已知集合M ＝{}x |（x ＋3）2≤0，N ＝{x|x 2＋x －6＝0}．(1) 求(∁I M )∩N；(2) 记集合A ＝(∁I M )∩N，已知集合B ＝{x|a －1≤x≤5－a ，a ∈R }，若B∪A＝A ，某某数a 的取值X 围．解：(1) ∵ M＝{x|(x ＋3)2≤0}＝{－3}，N ＝{x|x 2＋x －6＝0}＝{－3，2}， ∴∁I M ＝{x|x∈R 且x≠－3}， ∴(∁I M )∩N＝{2}． (2) A ＝(∁I M )∩N＝{2}， ∵ A ∪B ＝A ， ∴ B A ，∴ B ＝或B ＝{2}，当B ＝时，a －1>5－a ，∴ a>3；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝2，5－a ＝2，解得a ＝3.综上所述，所求a 的取值X 围为{a|a≥3}．4. 已知A 、B 均为集合U ＝{1，2，3，4，5，6}的子集，且A∩B＝{3}，(∁U B )∩A＝{1}，(∁U A )∩(∁U B)＝{2，4}，则B ∩(∁U A)＝________．答案：{5，6}解析：依题意及韦恩图得B∩(∁U A)＝{5，6}．1. 集合的运算结果仍然是集合．进行集合运算时应当注意： (1) 勿忘对空集情形的讨论； (2) 勿忘集合中元素的互异性；(3) 对于集合A 的补集运算，勿忘A 必须是全集的子集；(4) 已知两集合间的关系求参数或参数X 围问题时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常合理利用数轴、Venn 图化抽象为直观．还要注意“回代检验”，从而对所求数值进行合理取舍．2. 在集合运算过程中应力求做到“三化”(1) 意义化：首先明确集合的元素的意义，它是怎样的类型的对象(数集、点集，图形等)？是表示函数的定义域、值域，还是表示方程或不等式的解集？(2) 具体化：具体求出相关集合中函数的定义域、值域或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式．(3) 直观化：借助数轴、直角坐标平面、韦恩图等将有关集合直观地表示出来，从而借助数形结合思想解决问题．请使用课时训练(B)第2课时(见活页)．[备课札记]第3课时简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(对应学生用书(文)、(理)5～6页)了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义；理解必要条件、充分条件、充要条件的意义；了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；了解全称量词与存在量词的意义；了解含有一个量词的命题的否定的意义．① 会分析四种命题的相互关系.②会判断必要条件、充分条件与充要条件.③能用“或”“且”“非”表述相关的数学内容(真值表不做要求).④能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容.⑤能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1. 命题“x ∈R ，|x|≤0”的否定是“________________”．答案：x ∈R ，|x|>0解析：根据“x ∈M ，p (x)”的否定为“x ∈M ，p(x)”可直接写出答案．2. 若命题p 的否命题为q ，命题q 的逆否命题为r ，则p 与r 的关系是__________．答案：互为逆命题3. 已知p 、q 是r 的充分条件，r 是s 的充分条件，则s 是p 的__________条件．答案：必要不充分4. (原创)写出命题“若x ＋y ＝5，则x ＝3且y ＝2”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．答案：逆命题：若x ＝3且y ＝2，则x ＋y ＝5.是真命题．否命题：若x ＋y≠5，则x≠3或y≠2.是真命题．逆否命题：若x≠3或y≠2，则x ＋y≠5.是假命题．5. 设函数f(x)＝log 2x ，则“a＞b”是“f(a)＞f(b)”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)条件．答案：必要不充分解析：因为f(x)＝log 2x 在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当a>b>0时，f(a)>f(b)；反之，当f(a)>f(b)时，a>b.故“a＞b”是“f(a)＞f(b)”的必要不充分条件．6. (课本习题综合改编)已知命题p ：a ∈R ，且a>0，a ＋1a ≥2，命题q ：x 0∈R ，sinx 0＋cosx 0＝ 3. 给出下列判断：① p 是假命题；② q 是真命题；③ p 且(q)是真命题；④(p)且q 是真命题．其中正确的判断有________．(填序号) 答案：③解析：依题意可知，命题p 为真，命题q 为假，由真值表知，正确的命题只有③.1. 四种命题及其关系 (1) 四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若非p，则非q逆否命题若非q，则非p(2) 四种命题间的逆否关系(3) 四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．2. 充分条件与必要条件(1) 如果p q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2) 如果p q，且q p，那么称p是q的充要条件，记作p q.(3) 如果p q，q/p，那么称p是q的充分不必要条件．(4) 如果q p，p/q，那么称p是q的必要不充分条件．(5) 如果p/ q，且q/ p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．3. 简单的逻辑联结词(1) 用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．(2) 用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．(3) 一个命题p的否定记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．(4) 命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断p∧q中p、q有一假为假，p∨q有一真为真，p与非p必定是一真一假．4. 全称量词与存在量词(1) 全称量词与全称命题短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“x”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题“对M中任意一个x，都有p(x)成立”可用符号简记为x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．(2) 存在量词与存在性命题短语“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“x”表示．含有存在量词的命题，叫做存在性命题．存在性命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为x∈M，p(x)，读作“存在一个x属于M，使p(x)成立”．5. 含有一个量词的命题的否定命题命题的否定x∈M，p(x) x∈M，p(x)x∈M，p(x) x∈M，p(x)[备课札记]题型1充分、必要关系例1 (2014·黄冈中学改)下面四个命题：①“直线a∥直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；②“直线l⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l⊥平面α”；③“直线a、b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a、b不相交”；④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”．其中正确的命题是________．(填序号)答案：②④解析：由立体几何知识知“直线a∥直线b”是“a平行于b所在的平面”的既不充分也不必要条件，①错误；“直线a、b为异面直线”是“直线a、b不相交” 的充分不必要条件，③错误；由线面垂直的定义知，②正确；由α内不共线三点可能在β的同侧或异侧知，④正确．备选变式（教师专享）把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题．(1) 正三角形的三个内角相等；(2) 已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.解：(1) 原命题：若一个三角形是正三角形，则它的三个内角相等．逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则这个三角形是正三角形．否命题：若一个三角形不是正三角形，则它的三个内角不全相等．逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，那么这个三角形不是正三角形．(2) 原命题：已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.逆命题：已知a、b、c、d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b且c＝d.否命题：已知a、b、c、d是实数，若a与b，c与d不都相等，则a＋c≠b＋d.逆否命题：已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d，则a与b，c与d不都相等．题型2命题及其关系例2 (2014·某某中学调研)已知命题p：“若a＝b，则|a|＝|b|”，则命题p及其逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是________.答案：2解析：由向量知识可知原命题为真，逆命题为假，由互为逆否命题等价知，p的否命题为假，逆否命题为真，故正确命题的个数为2.变式训练(2014·某某考前调研改)下列有关命题的说法正确的是________．(填序号)①命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”；②若一个命题是真命题，则其逆命题也是真命题；③命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“对任意x∈R，均有x2＋x＋1<0”；④命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题．答案：④解析：命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，所以①不正确；原命题与逆命题不等价，所以②不正确；命题“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“对任意x∈R，均有x2＋x＋1≥0”，所以③不正确；命题“若x＝y ，则sinx＝siny”是真命题，所以逆否命题为真命题，④正确．题型3逻辑联结词及真假性判断例3 (2014·阜宁中学调研)已知命题p：指数函数f(x)＝(2a－6)x在R上是单调减函数；命题q：关于x的方程x2－3ax＋2a2＋1＝0的两根均大于3.若p或q为真，p且q为假，某某数a的X围．解：由p 真得0<2a －6<1，即3<a<72；由q 真得⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4（2a 2＋1）≥0，3a2>3，9－9a ＋2a 2＋1>0，解得a>52；若p 或q 为真，p 且q 为假，则p 、q 一真一假．若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧3<a<72，a ≤52.解集为；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a≤3或a ≥72，a>52，解得52<a ≤3或a≥72.综上所述52<a ≤3或a≥72.备选变式（教师专享）已知命题p ：不等式|x －1|>m 的解集是R ，命题q ：f(x)＝2－mx 在区间(0，＋∞)上是减函数，若命题“p 或q”为真，命题“p 且q”为假，某某数m 的取值X 围．解：当p 真时，m<0，当q 真时，2－m>0, 即m<2；由命题“p 或q”为真，命题“p 且q”为假可得p 真q 假或p 假q 真，故⎩⎪⎨⎪⎧m<0，m ≥2，或⎩⎪⎨⎪⎧m≥0，m<2.所以0≤m<2.所以实数m 的取值X 围是0≤m<2. 题型4全称命题与存在命题例4 若命题“x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1＜0”是真命题，则实数a 的取值X 围是________．答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析：∵x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1＜0是真命题，∴Δ＝(a －1)2－4＞0，即(a －1)2＞4，∴ a －1＞2或a －1＜－2，∴ a ＞3或a ＜－1. 备选变式（教师专享）(2014·泗阳中学检测)已知实数a>0，命题p ： x ∈R ，|sinx|>a 有解；命题q ：x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，sin 2x ＋asinx －1≥0.(1) 写出q ；(2) 若p 且q 为真，某某数a 的取值X 围．解：(1)q ：x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，sin 2x ＋asinx －1<0；(2) p 且q 为真，则p 、q 同时为真，由于实数a>0，则 p ：0<a<1； q ：x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，sinx ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，则由sin 2x ＋asinx －1≥0得a≥1sinx －sinx ，令t ＝sinx ，则t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，函数f(t)＝1t －t 在区间(0，＋∞)上为减函数，则当t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1时，f(t)＝1t －t≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝22，要使a≥1sinx －sinx 在x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4上恒成立，则a≥22.综上可知，22≤a<1.1. 命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是________________________________________________________________________________________________．答案：存在一个能被2整除的数不是偶数2. (2014·某某、某某一模)“p∨q 为真命题”是“p 为假命题”成立的________条件.答案：必要不充分解析：“p∨q 为真命题”就是p 、q 中至少有一个为真；“p 为假命题”即得p 为真命题，可见“p 为假命题”可推出“p∨q 为真命题”，而“p∨q 为真命题”不能推出“綈p 为假命题”，故“p∨q 为真命题”是“p 为假命题”成立的必要不充分条件．3. “若a ＋b 为偶数，则a 、b 必定同为奇数或偶数”的逆否命题为______________________________．答案：若a 、b 不同为奇数且不同为偶数，则a ＋b 不是偶数4．已知命题p 1：函数y ＝ln(x ＋1＋x 2)是奇函数，p 2：函数y ＝x 12为偶函数，则下列四个命题：① p 1∨p 2；② p 1∧p 2；③ (p 1)∨p 2；④ p 1∧(p 2)．其中，真命题是________．(填序号)答案：①④解析：由函数的奇偶性可得命题p 1为真命题，命题p 2为假命题，再由命题的真值表可得②③为假，①④为真．5．(2014·海门调研)给出如下命题：①若“p 且q”为假命题，则p 、q 均为假命题；②命题“若a>b ，则2a>2b－1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b－1”； ③命题“x 0∈R ，2x 0≤0”的否定是“x ∈R ，2x>0”；④“a≥5” 是 “x ∈[1，2]，x 2－a≤0恒成立”的充要条件．其中所有正确的命题是________. (填序号) 答案：②③1. (2014·启东检测)已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则p 是q 的________．(填“逆命题”“否命题”“逆否命题”或“否定”)答案：否命题解析：根据四种命题的关系知，“正数a 的平方不等于0”的否命题是“若a 不是正数，则它的平方等于0”．故填“否命题”．2. (2014·海门调研)已知f(x)＝x 2－2x ＋3，g(x)＝kx －1，则“|k|≤2”是“f(x)≥g(x)在R 上恒成立”的________(填“充分不必要”“必要而不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．答案：充分不必要解析：若f(x)≥g(x)在R 上恒成立，即x 2－(2＋k)x ＋4≥0恒成立，等价于(2＋k)2－16≤0，即k∈[－6，2]．由{k||k|≤2}[－6，2]知，“|k|≤2”是“f(x)≥g(x)在R 上恒成立”的充分不必要条件．3. (2014·某某师大三模改)下列命题正确的个数是________． ①命题“x 0∈R ，x 20＋1>3x 0”的否定是“x ∈R ，x 2＋1≤3x”；②“函数f(x)＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”是“a＝1”的必要不充分条件； ③ x 2＋2x≥ax 在x∈[1，2]上恒成立(x 2＋2x)min ≥(ax)max 在x∈[1，2]上恒成立； ④“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“a ·b <0”．答案：2解析：根据存在性命题的否定是全称命题，∴①正确；f(x)＝1＋cos2ax 2－1－cos2ax 2＝cos2ax ，最小正周期是2π|2a|＝πa ＝±1，∴②正确；当a ＝2时，x 2＋2x≥2x 在x∈[1，2]上恒成立，而(x 2＋2x)min ＝3＜2x max ＝4，∴③不正确；∵ a·b ＝|a||b|cos 〈a ，b 〉，当〈a ，b 〉＝π时a·b <0，∴④错误．故命题正确的个数是2.4. 设数列{a n }、{b n }、{}满足：b n ＝a n －a n ＋2，＝a n ＋2a n ＋1＋3a n ＋2(n ＝1，2，3，…)，求证：{a n }为等差数列的充分必要条件是{}为等差数列且b n ≤b n ＋1(n ＝1，2，3，…)．证明：必要性：设{a n }是公差为d 1的等差数列，则 b n ＋1－b n ＝(a n ＋1－a n ＋3) － (a n －a n ＋2)＝ (a n ＋1－a n ) － (a n ＋3－a n ＋2)＝ d 1－ d 1＝0，所以b n ≤b n ＋1(n ＝1，2，3，…)成立．又＋1－＝(a n ＋1－a n )＋2(a n ＋2－a n ＋1)＋3(a n ＋3－a n ＋2)＝ d 1＋2d 1＋3d 1＝6d 1(常数)(n ＝1，2，3，…)，所以数列{}为等差数列．充分性：设数列{}是公差为d 2的等差数列，且b n ≤b n ＋1(n ＝1，2，3，…)． ∵ ＝a n ＋2a n ＋1＋3a n ＋2， ① ∴ ＋2＝a n ＋2＋2a n ＋3＋3a n ＋4， ②①－②，得－＋2＝(a n －a n ＋2)＋2 (a n ＋1－a n ＋3)＋3 (a n ＋2－a n ＋4)＝b n ＋2b n ＋1＋3b n ＋2. ∵ －＋2＝(－＋1)＋(＋1－＋2)＝－2d 2， ∴ b n ＋2b n ＋1＋3b n ＋2＝－2d 2， ③ 从而有b n ＋1＋2b n ＋2＋3b n ＋3＝－2d 2， ④④－③，得(b n ＋1－b n )＋2 (b n ＋2－b n ＋1)＋3 (b n ＋3－b n ＋2)＝0.⑤ ∵ b n ＋1－b n ≥0，b n ＋2－b n ＋1≥0，b n ＋3－b n ＋2≥0，∴由⑤得b n ＋1－b n ＝0(n ＝1，2，3，…)．由此不妨设b n ＝d 3(n ＝1，2，3，…)，则a n －a n ＋2＝d 3(常数)．由此＝a n ＋2a n ＋1＋3a n ＋2＝4a n ＋2a n ＋1－3d 3，从而＋1＝4a n ＋1＋2a n ＋2－5d 3，两式相减得＋1－＝2(a n ＋1－a n ) －2d 3，因此a n ＋1－a n ＝12(＋1－)＋d 3＝12d 2＋d 3(常数) (n ＝1，2，3，…)，∴数列{a n }为等差数列．1. 在判断四个命题间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性与等价性，判断四种命题真假的关键是熟悉四种命题的概念与互为逆否命题是等价的，即“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”，而互逆命题、互否命题是不等价的，当一个命题直接判断不易进行时，通常可转化为判断其等价命题的真假；而判断一个命题为假命题只需举出反例即可．2. 充要条件的三种判断方法 (1) 定义法：根据pq ，qp 进行判断；(2) 集合法：根据p 、q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3) 等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．3. 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意： (1) 把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；(2) 要注意区间端点值的检验．4. 含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1) p∨q：p 、q 中有一个为真，则p∨q 为真，即有真为真； (2) p∧q：p 、q 中有一个为假，则p∧q 为假，即有假即假； (3) 綈p ：与p 的真假相反，即一真一假，真假相反．5. 要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是存在性命题，对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”．判定全称命题“x ∈M ，p(x)”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p(x)成立；要判断存在性命题是真命题，只。

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第一节集合☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆1．集合的含义与表示方法(1)集合的含义：研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合。

集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性。

(2)元素与集合的关系：①属于，记为∈；②不属于，记为∉。

(3)集合的表示方法：列举法、描述法和图示法。

(4)常用数集的记号：自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R。

2．集合间的基本关系A B或B A相等集合A，B的元素完全相同A⊆B，B⊆A A＝B空集不含任何元素的集合。

空集是任何集合A的子集∀x，x∉∅，∅⊆A ∅3.集合的基本运算表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集属于集合A且属于集合B的元素组成的集合{x|x∈A，且x∈B}A∩B并集属于集合A或属于集合B的元素组成的集合{x|x∈A，或x∈B}A∪B补集全集U中不属于集合A的元素组成的集合{x|x∈U，x∉A}∁U A 微点提醒1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件。

2．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身。

3．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心。

4．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性\”而导致解题错误。

5．记住以下结论(1)若集合A中有n个元素，则其子集的个数为2n，真子集的个数为2n－1。

(2)A∪B＝A⇔B⊆A；A∩B＝A⇔A⊆B。

小|题|快|练一、走进教材1．(必修1P12B组T4改编)满足{0,1}⊆A{0,1,2,3}的集合A的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4【解析】由题意得A可为{0,1}，{0,1,2}，{0,1,3}。

故选C。

【答案】 C2．(必修1P12B组T1改编)已知集合A＝{0,1,2}，集合B满足A∪B＝{0,1,2}，则集合B有________个。

【解析】由题意知B⊆A，则集合B有8个。

故选B。

【答案】 B2．设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}，则M∩N＝( )A．[0,1] B．[0,1)C．(0,1] D．(0,1)【解析】∵x2<1，∴－1<x<1。

∴N＝{x|－1＜x＜1}。

∴M∩N＝{x|0≤x<1}。

故选B。

【答案】 B3．设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁U A＝( )A．∅B．{2}C．{5} D．{2,5}【解析】由题意知U＝{x∈N|x≥2}，A＝{x∈N|x≥5}，所以∁U A＝{x∈N|2≤x＜5}＝{2}。

故选B。

【答案】 B4．已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则∁R(A∪B)＝________。

【解析】∵A∪B＝{x|2<x<10}，∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}。

【答案】 {x |x ≤2或x ≥10}5．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为________。

【解析】集合A 表示圆心在原点的单位圆，集合B 表示直线y ＝x ，易知直线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝1相交，且有2个交点，故A ∩B 中有2个元素。

【答案】 2) A ．1 B ．3 C ．5D ．9(2)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．【解析】 (1)当x ＝0，y ＝0时，x －y ＝0；当x ＝0，y ＝1时，x －y ＝－1；当x ＝0，y ＝2时，x －y ＝－2；当x ＝1，y ＝0时，x －y ＝1；当x ＝1，y ＝1时，x －y ＝0；当x ＝1，y ＝2时，x －y ＝－1；当x ＝2，y ＝0时，x －y ＝2；当x ＝2，y ＝1时，x －y ＝1；当x ＝2，y ＝2时，x －y ＝0。

根据集合中元素的互异性知，B 中元素有0，－1，－2,1,2，共5个。

故选C 。

(2)由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32，当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，故m ＝－32。

【答案】 (1)C (2)－32反思归纳用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合。

集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意。

分类讨论的思想方法常用于解决集合问题。

【变式训练】 (1)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)(2)已知集合A ＝{x 2＋x,4x }，若0∈A ，则x ＝____。

【解析】 (1)若1∈A ，则1－2＋a >0，解得a >1。

因为1∉A ，所以a ≤1。

故选B 。

(2)由题意，得⎩⎨⎧ x 2＋x ＝0，4x ≠0或⎩⎨⎧4x ＝0，x 2＋x ≠0，解得x ＝－1。

【答案】 (1)B (2)－1A ．7B ．8C ．15D ．16(2)(2017·襄阳模拟)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________。

【解析】 (1)A ＝{x |－1≤x ≤3，x ∈N *}＝{1,2,3}，其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个。

或因为集合A 中有3个元素，所以其真子集的个数为23－1＝7(个)。

故选A 。

(2)当B ＝∅时，满足B ⊆A ，此时有m ＋1≥2m －1，即m ≤2，当B ≠∅时，要使B ⊆A ，则有⎩⎨⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m >2，解得2<m ≤4。

综上可得m ≤4。

【答案】 (1)A (2)(－∞，4]【母题变式】本典例(2)中，是否存在实数m ，使A ⊆B ？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由。

【解析】由A ⊆B ，得⎩⎨⎧ m ＋1<－2，2m －1>7，即⎩⎨⎧m <－3，m >4，不等式组无解，故不存在实数m ，使A ⊆B 。

【答案】不存在，理由见解析反思归纳根据集合的关系求参数的关键点及注意点1.根据两集合的关系求参数，其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且常要对参数进行讨论。

2.注意点：注意区间端点的取舍。

提醒：解决两个集合的包含关系时，要注意空集的情况。

【拓展变式】(1)(2016·辽宁师大附中测试)已知集合A＝{0,1}，B＝{x|x⊆A}，则下列集合A与B的关系中正确的是( )A．A⊆B B．A BC．B A D．A∈B(2)(2016·银川二中考试)已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是( )A．(0,1] B．[1，＋∞)C．(0,1) D．(1，＋∞)【解析】(1)因为x⊆A，所以B＝{∅，{0}，{1}，{0,1}}，则集合A＝{0,1}是集合B中的元素，所以A∈B。

故选D。

(2)解法一：由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0,1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c)。

由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1。

故选B。

解法二：因为A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0,1)，取c＝1，则B＝(0,1)，所以A⊆B成立，可排除C，D；取c＝2，则B＝(0,2)，所以A⊆B成立，可排除A。

故选B。

【答案】(1)D (2)B考点三集合的运算…………多维探究【典例3】(1)(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B＝( )A．{1} B．{1,2}C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}(2)(2016·天津高考)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{y |y ＝3x －2，x ∈A }，则A ∩B ＝( ) A ．{1} B ．{4} C ．{1,3}D ．{1,4}(3)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≥2}，B ＝{y |y ＝lg(x 2＋1)}，则(∁U A )∩B ＝( )A ．{x |x ≤－1或x ≥0}B ．{(x ，y )|x ≤－1，y ≥0}C ．{x |x ≥0}D ．{x |x ＞－1}【解析】 (1)由已知可得B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }＝{x |－1<x <2，x ∈Z }＝{0,1}，∴A ∪B ＝{0,1,2,3}，故选C 。

(2)由题意得，B ＝{1,4,7,10}，所以A ∩B ＝{1,4}。

故选D 。

(3)∵全集U ＝R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥2＝{x |x ≤－1}，∴∁U A ＝{x |x ＞－1}，∵B ＝{y |y ＝lg(x 2＋1)}＝{y |y ≥0}， ∴(∁U A )∩B ＝{x |x ≥0}。

故选C 。

【答案】 (1)C (2)D (3)C 角度二：根据集合运算结果求参数【典例4】 (1)已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m 等于( ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3D ．1或3(2)集合M ＝{x |－1≤x <2}，N ＝{y |y <a }，若M ∩N ≠∅，则实数a 的取值范围一定是( ) A ．－1≤a <2 B ．a ≤2 C ．a ≥－1D ．a >－1【解析】 (1)由A ∪B ＝A 得B ⊆A ，有m ∈A ，所以有m ＝m 或m ＝3，即m ＝3或m ＝1或m ＝0，又由集合中元素的互异性知m ≠1。

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