2015届高考理科数学第一轮总复习教(学)案79

学案37 合情推理与演绎推理

导学目标： 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．

自主梳理

自我检测

1．(2010·)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x) 等于( )

A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)

2．(2010·质检)给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：

①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；

②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d”；

③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”．其中类比结论正确的个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．3

3．(2009·)在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．4．(2010·)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________________________________．

5．(2011·月考)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除，其演绎推理的“三段论”的形式为___________________________________________．

探究点一归纳推理

例1 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n

，n ∈N *

，猜想这个数列的通项公式，这个

猜想正确吗？请说明理由．

变式迁移1 观察：①sin 210°＋cos 2

40°＋sin 10°cos 40°＝34

；

②sin 26°＋cos 2

36°＋sin 6°cos 36°＝34

.

由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．

探究点二 类比推理

例2 (2011·月考)在平面，可以用面积法证明下面的结论：

从三角形部任意一点，向各边引垂线，其长度分别为p a ，p b ，p c ，且相应各边上的高分别为h a ，h b ，h c ，则有p a h a ＋p b h b ＋p c h c

＝1.

请你运用类比的方法将此结论推广到四面体中并证明你的结论．

变式迁移2 在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径r＝a2＋b2

，将此结论类比到空间有_______________________________________________．2

探究点三演绎推理

例3在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D、E是垂足．求证：AB的中点M到D、E的距离相等．

变式迁移3 指出对结论“已知2和3是无理数，证明2＋3是无理数”的下述证明是否为“三段论”，证明有错误吗？

证明：∵无理数与无理数的和是无理数，而2与3都是无理数，∴2＋3也是无理数．

1．合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．合情推理的过程概括为：从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想.一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，其可靠性还需进一步证明．2．归纳推理与类比推理都属合情推理：(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．它是一种由部分到整体，由个别到一般的推理．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，它是一种由特殊到特殊的推理．

3．从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，把这种推理称为演绎推理，也就是由一般到特殊的推理，三段论是演绎推理的一般模式，包括大前提，小前提，结论．

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．(2011·华侨中学模拟)定义A *B ，B *C ，C *D ，D *A 的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的(A)、(B)所对应的运算结果可能是( )

A ．

B *D ，A *D B ．B *D ，A *

C C ．B *C ，A *D

D ．C *D ，A *D 2．(2011·模拟)设f (x )＝1＋x

1－x

，又记f 1(x )＝f (x )，f k ＋1(x )＝f (f k (x ))，k ＝1,2，…，

则f 2 010(x )等于( )

A ．－1x

B ．x C.x －1x ＋1 D.1＋x 1－x

3．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”；

②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a·b )·c ＝a·(b·c )”；

④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b |＝|a|·|b |”；

⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“

a·c b·c ＝a

b

”． 以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

4．(2009·)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：

他们研究过图(1)中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图(2)中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．

下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )

A ．289

B ．1 024

C ．1 225

D ．1 378

5．已知整数的数对如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，