高考理科数学数学导数专题复习
高考数学导数专题复习(基础精心整理)学生版
导数专题复习（基础精心整理）学生版【基础知识】1.导数定义：在点处的导数记作k =相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-2.常见函数的导数公式:①；②；③；④； ⑤；⑥；⑦；⑧ 。
3.导数的四则运算法则：（1） （2） （3）4.导数的应用： （1）利用导数判断函数单调性：①是增函数；②为减函数；③为常数； （2）利用导数求极值：①求导数；②求方程的根；③列表得极值（判断零点两边的导函数的正负）。
（3）利用导数求最值：比较端点值和极值 【基本题型】一、求()y f x =在0x 处的导数的步骤：（1）求函数的改变量()()00y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率()()00f x x f x y x x +∆-∆=∆V ；（3）取极限，得导数()00lim x yf x x→∆'=∆V 。
例1..已知xf x f x x f x ∆-∆+=→∆)2()2(lim ,1)(0则的值是（ ）A. 41-B. 2C. 41D. －2变式1：()()()为则设hf h f f h 233lim ,430--='→（ ）A ．－１ Ｂ．－2 C ．－3D ．1二、导数的几何意义()f x 0x xx f x x f x f x x y x ∆-∆+='=='→∆)()(lim)(|00000'0C ='1()n n x nx -='(sin )cos x x ='(cos )sin x x =-'()ln x x a a a =x x e e =')('1(log )ln a x x a=xx 1)(ln '=)()()()(])()(['+'='x g x f x g x f x g x f 2)()()()()()()(x g x g x f x g x f x g x f '-'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'⋅'='x u u f x u f ))(()(0)(x f x f ⇒>')(0)(x f x f ⇒<')(0)(x f x f ⇒≡')(x f '0)(='x f函数()f x 在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率，即曲线()y f x =在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率是()0f x '，相应地切线的方程是()()000y y f x x x -='-。
高考数学一轮复习专题3.1导数的概念及运算定积分知识点讲解理科版含解析
知识点 7.微积分基本定理
一般地，如果 f(x)是在区间[a，b]上的连续函数，且 F′(x)＝f(x)，那么 错误!f(x)dx＝F(b)－F(a).
b
| 这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.可以把 F(b)－F(a)记为 F(x) ，即 错误!f(x)dx a b
| ＝F(x) )＝F(b)－F(a). a 【特别提醒】
于形如 y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数；
5.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义；
6.了解微积分基本定理的含义。
【重点知识梳理】
知识点 1．导数的概念
(1)函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数：函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率 liΔxm→0 Δy＝liΔxm→0 Δx
x 【答案】e
【方法技巧】
1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．
2．常见形式及具体求导 6 种方法
连乘形式
先展开化为多项式形式，再求导
三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导
分式形式
先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导
根式形式
先化为分数指数幂的形式，再求导
对数形式
先化为和、差形式，再求导
n
n b－a
点ξi(i＝1，2，…，n)，作和式 ∑ f(ξi)Δx＝ ∑
f(ξi)，当 n→∞时，上述和式无限接近于某个
i＝1
i＝1 n
常数，这个常数叫做函数 f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作 错误!f(x误!f(x)dx 中，a，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数 f(x)叫做被
函数 f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有
(完整版)高三复习导数专题
导 数一、导数的基本知识 1、导数的定义：)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000. 2、导数的公式： 0'=C （C 为常数） 1')(-=n n nxx （R n ∈） xx e e =')(a a a x x ln )('= xx 1)(ln '= exx a a log 1)(log '=x x cos )(sin '= x x sin )(cos '-=3、导数的运算法则： [()()]f x g x '+ =()()f x g x ''+ [()()]()()f x g x f x g x '''-=-[()]()af x af x ''= [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+ 2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''-'= 4、掌握两个特殊函数 （1）对勾函数()bf x ax x=+ （ 0a > ，0b >） 其图像关于原点对称（2）三次函数32()f x ax bx cx d =+++(0)a ≠导数导数的概念 导数的运算导数的应用导数的定义、几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值函数的最值 常见函数的导数导数的运算法则 比较两个的代数式大小导数与不等式讨论零点的个数求切线的方程导数的基本题型和方法1、、导数的意义：（1）导数的几何意义：()k f x'=（2）导数的物理意义：()v s t'=2、、导数的单调性：（1）求函数的单调区间；()0()b]f x f x'≥⇔在[a,上递增()0()b]f x f x'≤⇔在[a,上递减（2）判断或证明函数的单调性；()f x c≠（3）已知函数的单调性，求参数的取值范围。
高考数学理科导数大题目专项训练及答案
高考数学理科导数大题目专项训练及答案1.已知函数f(x)在区间[e,0)上定义，其中e为自然对数的底，a为实数。
Ⅰ）求函数f(x)的解析式；Ⅱ）是否存在实数a<0，使得当x在[e,0)范围内时，f(x)的最小值是3？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由；Ⅲ）设g(x)=1/(x+e)，求f(x)和g(x)在[e,0)上的导数，并求它们的导数之差。
2.若存在实常数k和b，使得函数f(x)=ax+lnx（x∈(0,e]）和g(x)=ln|x|（x∈[e,0)）在其定义域上的任意实数x上满足以下条件：1）当a=-1时，|f(x)|>g(x)+1；2）2f(x)≥kx+b且g(x)≤kx+b。
则称直线l:y=kx+b为f(x)和g(x)的“隔离直线”。
已知h(x)=x^2，(x)=2lnx（其中e为自然对数的底数）。
1)求F(x)=h(x)−(x)的极值；2)函数h(x)和(x)是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由。
3.设关于x的方程x-mx-1=0有两个实根α、β，且α<β。
定义函数f(x)=(x-α)/(x-β)。
I）求f(α)的值；II）判断f(x)在区间(α,β)上的单调性，并加以证明；III）若λ,μ为正实数，①试比较f(α),f((λα+μβ)/(λ+μ)),f(β)的大小；②证明|f((λα+μβ)/(λ+μ))-f()|<|α-β|/(λ+μ)。
4.若函数f(x)=(x^2+ax+b)ex在x=1处取得极值。
I）求a与b的关系式（用a表示b），并求f(x)的单调区间；II）是否存在实数m，使得对任意a∈(0,1)及x1,x2∈[0,2]总有|f(x1)-f(x2)|<(m+2)a+m^2)e^-1+1恒成立，若存在，求出m 的范围；若不存在，请说明理由。
5.若函数f(x)=lnx，g(x)=x-2/x。
1）求函数ϕ(x)=g(x)+kf(x)（k为实数）的单调区间；2）若对所有的x∈[e,+∞)都有xf(x)≥ax-a成立，求实数a的取值范围。
专题13 导数的概念及其意义、导数的运算(解析版)
6．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为( )
A．y=2x+1B．y=2x+ C．y= x+1D．y= x+
【答案】D
解析：设直线 在曲线 上的切点为 ，则 ，函数 的导数为 ，则直线 的斜率 ，设直线 的方程为 ，即 ，
【小问2详解】 ，则 在点 处的切线方程为 ，整理得 ，设该切线与 切于点 ， ，则 ，则切线方程为 ，整理得 ，则 ，整理得 ，令 ，则 ，令 ，解得 或 ，
令 ，解得 或 ，则 变化时， 的变化情况如下表：
0
1
0
0
0
则 的值域为 ，故 的取值范围为 .
4.（2022·新高考Ⅰ卷T22）已知函数 和 有相同 最小值．
2．函数f(x)的导函数：函数f′(x)＝ 为f(x)的导函数．
基本题型：
1．设 为可导函数，且满足 ，则 为（）
A．1B．
C．2D．
【答案】B
【分析】利用导数的定义进行求解.
【详解】因为 ，所以 ，即
所以 .
2．已知函数 ，且 ，则 的值为（）
A． B．2C． D．
【答案】D
【分析】利用导数定义，可求得 ，代入 ，即得解
②当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切线的斜率为k＝3x .
∵点A在曲线上，∴y0＝x ，∴ ＝3x ，∴x －3x ＋4＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，
解得x0＝－1或x0＝2(舍去)，∴y0＝－1，k＝3，此时切线方程为y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0.
故经过点P的曲线的切线有两条，方程为12x－y－16＝0或3x－y＋2＝0.
高考理科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练
理科数学《导数的综合应用》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 含参数的分类讨论例1 已知函数3()12f x ax x =-，导函数为()f x '， （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若(1)6,()f f x '=-求函数在[—1，3]上的最大值和最小值。
【答案】略【解析】（I ）22()3123(4)f x ax ax '=-=-，（下面要解不等式23(4)0ax ->，到了分类讨论的时机，分类标准是零）当0,()0,()(,)a f x f x '≤<-∞+∞时在单调递减； 当0,,(),()a x f x f x '>时当变化时的变化如下表：此时，()(,)f x -∞+∞在单调递增， 在(单调递减； （II ）由(1)3126, 2.f a a '=-=-=得由（I ）知，()(f x -在单调递减,在单调递增。
【易错点】搞不清分类讨论的时机，分类讨论不彻底【思维点拨】分类讨论的难度是两个，（1）分类讨论的时机，也就是何时分类讨论，先按自然的思路推理，由于参数的存在，到了不能一概而论的时候，自然地进入分类讨论阶段；（2）分类讨论的标准，要做到不重复一遗漏。
还要注意一点的是，最后注意将结果进行合理的整合。
题型二 已知单调性求参数取值范围问题 例1 已知函数321()53f x x x ax =++-， 若函数在),1[+∞上是单调增函数，求a 的取值范围【答案】【解析】2'()2f x x x a =++,依题意在),1[+∞上恒有0y '≥成立， 方法1：函数2'()2f x x x a =++，对称轴为1x =-，故在),1[+∞上'()f x 单调递增，故只需0)1('≥f 即可，得3-≥a ，所以a 的取值范围是[3,)+∞；方法2： 由022≥++='a x x y ，得x x a 2--2≥，只需2max --2a x x ≥（），易得2max --23x x =-（），因此3-≥a ，，所以a 的取值范围是[3,)+∞； 【易错点】本题容易忽视0)1('≥f 中的等号 【思维点拨】已知函数()f x 在区间(,)a b 可导：1. ()f x 在区间(,)a b 内单调递增的充要条件是如果在区间(,)a b 内，导函数()0f x '≥，并且()f x '在(,)a b 的任何子区间内都不恒等于零；2. ()f x 在区间(,)a b 内单调递减的充要条件是如果在区间(,)a b 内，导函数()0f x '≤，并且()f x '在(,)a b 的任何子区间内都不恒等于零；说明：1.已知函数()f x 在区间(,)a b 可导,则()0f x '≥在区间内(,)a b 成立是()f x 在(,)a b 内单调递增的必要不充分条件2.若()f x 为增函数，则一定可以推出()0f x '≥；更加具体的说，若()f x 为增函数，则或者()0f x '>，或者除了x 在一些离散的值处导数为零外，其余的值处都()0f x '>；3. ()0f x '≥时，不能简单的认为()f x 为增函数，因为()0f x '≥的含义是()0f x '>或()0f x '=，当函数在某个区间恒有()0f x '=时，也满足()0f x '≥,但()f x 在这个区间为常函数. 题型三 方程与零点1．已知函数()3231f x ax x =-+，若()f x 存在三个零点，则a 的取值范围是（ ）A. (),2-∞-B. ()2,2-C. ()2,+∞D. ()()2,00,2-⋃ 【答案】D【解析】很明显0a ≠ ，由题意可得： ()()2'3632f x ax x x ax =-=- ，则由()'0f x = 可得1220,x x a==，由题意得不等式： ()()122281210f x f x a a =-+< ，即： 2241,4,22a a a><-<< ， 综上可得a 的取值范围是 ()()2,00,2-⋃.本题选择D 选项.【易错点】找不到切入点，“有三个零点”与函数的单调性、极值有什么关系？挖掘不出这个关系就无从下手。
掌握高考数学中的导数与极限运算技巧有哪些关键点
掌握高考数学中的导数与极限运算技巧有哪些关键点导数与极限是高考数学中的重要内容，对于理工科考生来说尤其重要。
掌握导数与极限运算的关键点能够帮助考生提高解题效率，下面将介绍几个关键点。
一、理解导数的定义导数是描述函数在某一点的变化率的指标。
在掌握导数运算的关键点之前，我们需要先理解导数的定义。
导数的定义是函数的极限，即函数在某一点的导数等于该点处函数的极限。
这个定义非常重要，理解了这个定义之后才能更好地应用导数进行运算。
二、掌握导数基本运算法则在高考数学中，常见的导数基本运算法则有常数倍法则、和差法则、乘积法则、商法则等。
掌握这些法则是解题的基础，可以帮助考生更快速地求导数。
以乘积法则为例，乘积的导数等于一项的导数乘以另一项，再加上另一项的导数乘以一项，即(d(uv)/dx = u'v + uv')。
熟练掌握这些法则能够帮助考生迅速解题。
三、学会运用导数的性质导数具有一些特殊的性质，掌握这些性质可以简化计算过程。
比如，导数的和的导数等于各项导数的和，导数的差的导数等于各项导数的差，导数的幂的导数等于指数乘以底数的导数等等。
掌握这些性质可以在解题过程中灵活运用，提高解题效率。
四、了解常见的导数公式在高考数学中，有一些常见的函数的导数公式是需要掌握的，比如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。
熟悉这些公式能够帮助考生更快地求出函数的导数。
需要注意的是，在使用这些公式时，要注意各种函数的复合运算，灵活运用链式法则。
五、熟练掌握极限运算的技巧极限是导数的基础，因此对极限运算的技巧的掌握也是非常重要的。
在高考数学中，常见的极限运算技巧有利用夹逼定理、利用等价无穷小、利用洛必达法则等。
熟练掌握这些技巧可以帮助考生更快地求解极限问题，尤其是在计算极限时遇到不确定型的问题。
综上所述，掌握高考数学中的导数与极限运算技巧的关键点主要包括理解导数的定义、掌握导数基本运算法则、学会运用导数的性质、了解常见的导数公式以及熟练掌握极限运算的技巧。
2023年高考数学(理科)一轮复习—— 导数的综合问题 第四课时 双变量问题
训练2 设a∈R，函数f(x)＝ln x－ax，若f(x)有两个相异零点x1，x2，求证：ln x1 ＋ln x2＞2.
证明 由已知得ln x1－ax1＝0，ln x2－ax2＝0，
所以
a＝ln
x1＋ln x1＋x2
x2＝ln
xห้องสมุดไป่ตู้－ln x1－x2
x2，
所以 ln x1＋ln x2＞2 等价于xx11＋ －xx22ln xx12＞2，
索引
①－②得 a＝x1x＋21＋ln2xx11－－xx222－－2lnx2x2， ∵a＞2，f′(x)＝2x－(a＋2)＋ax＝2x2－（a＋x 2）x＋a＝2（x－1x）x－a2，x＞0， 则 f(x)在1，a2上单调递减，a2，＋∞上单调递增， ∴当 x∈1，a2时，f′(x)＜0， 当 x∈a2，＋∞时，f′(x)＞0， 若证 f′x1＋2 x2＞0，只需证x1＋2 x2＞a2，
解 由题意，k＝f（x1）x1－－xf（2 x2）， 则原不等式化为 x1＋x2＋f（x1）x1－－xf（2 x2）＞0， 不妨设 x1＞x2＞0，则(x1＋x2)(x1－x2)＋f(x1)－f(x2)＞0， 即 x21－x22＋f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＋x21＞f(x2)＋x22.
即xxxx1212＋－11ln xx12＞2，
索引
设 x1＞x2，令 t＝xx12＞1，g(t)＝ln t－2（tt＋－11）， 则 g′(t)＝1t －（t＋41）2＝t（（tt－＋11））22＞0， 所以 g(t)＞g(1)＝0，即 ln t＞2（tt＋－11）， 即得tt＋ －11ln t＞2，所以原题得证.
索引
设 g(x)＝f(x)＋x2＝ln x＋x2－ax＋1， 则 g′(x)＝x1＋2x－a＝2x2－xax＋1， 由已知，当 x1＞x2＞0 时，不等式 g(x1)＞g(x2)恒成立， 则 g(x)在(0，＋∞)上是增函数. 所以当 x＞0 时，g′(x)≥0，即 2x2－ax＋1≥0，即 a≤2x2x＋1＝2x＋x1恒成立， 因为 2x＋1x≥2 2，当且仅当 2x＝1x，即 x＝ 22时取等号， 所以2x＋1xmin＝2 2.
专题24 导数(理科)解答题20题-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(原卷版)
导数（理科）解答题20题1．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知函数2()e x f x ax x =+-. （1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性；（2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围.2．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设函数()()ln f x a x =-，已知0x =是函数()y xf x =的极值点． （1）求a ； （2）设函数()()()x f x g x xf x +=．证明:()1g x <．3．（2021·河北衡水中学模拟预测）已知函数()ln a f x x x=-． （1）若0a >，证明：()f x 在定义域内是增函数；（2）若()f x 在[1,e]上的最小值为32，求a 的值．4．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知0a >且1a ≠，函数()(0)ax x f x x a=>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间； （2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．5．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知函数()()1ln f x x x =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<. 6．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直． （1）求b ．（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1． 7．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷精编版））已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-有两个零点.（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设x 1，x 2是()f x 的两个零点，证明：122x x +<.8．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+． （1）当a e =时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f （x ）≥1，求a 的取值范围．9．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e x y =的切线.10．（2021·广西玉林·模拟预测（理））已知函数321()23f x x ax =-+，a ∈R ．（1）求()f x 的单调区间；（2）令1a =，记函数()f x 图象上的极大值和极小值对应的点分别为M ，N ，试判断线段MN 与曲线()f x 是否存在异于M ，N 的公共点，若存在，请确定公共点坐标；若不存在，请说明理由．11．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）已知函数()()()22ln 12f x x ax x x =+++-．（1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2）若0x =是()f x 的极大值点，求a ．12．（17年全国3卷）已知函数()1ln f x x a x =--． （1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222nm +++<，求m 的最小值． 13．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷精编版））已知函数()2ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥.（1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2202e f x --<<.14．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版））设函数()cos 2(1)(cos 1)f x x x αα=+-+，其中α＞0，记 ()f x 的最大值为A ．（Ⅰ）求()'f x ；（Ⅱ）求A ；（Ⅲ）证明()2f x A '≤.15．（2021·河南·模拟预测（理））已知函数()()1e xf x x x =-+.（1）判断()f x 的单调性.（2）证明：()()322e e e 2e f x x x x ≥-++-.16．（2021·云南红河·模拟预测（理））已知函数()1log 2ln a f x x x x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（a 为常数，0a >且1a ≠）.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）当a e =时，若()()2132g x f x mx x =-+有两个极值点1x ，2x ，证明：12ln ln 0x x +>.17．（2022·全国·模拟预测）已知函数2()ln 22(1)(0)f x x ax a x a =+++≠. （1）讨论函数()f x 的极值；（2）当0a <时，证明：[()2]1a f x +≥-恒成立.18．（2021·河北衡水中学模拟预测）已知函数()(1)ln f x a x b x =-+的图象在(1,(1))f 处的切线为1y x =-.（1）若函数1()()1x g x f x x +=--，求函数()g x 的单调区间； （2）设函数()e x h x =图象上存在一点()()00,M x h x 处的切线为直线l ，若直线l 也是曲线()y f x =((1,))x ∈+∞的切线，证明：实数0x 存在，且唯一.19．（2021·四川成都·一模（理））已知函数()sin 2,f x x ax a R =-∈. （1）a ≥12时，求函数f （x ）在区间[0，π]上的最值；（2）若关于x 的不等式f （x ）≤ax cos x 在区间（0，+∞）上恒成立，求a 的取值范围. 20．（2021·四川·内江市教育科学研究所一模（理））已知a ，b ∈R ，函数()322f x ax bx x =+-+．（1）若函数()f x 在点()1,1处的切线与x 轴平行，求a ，b 的值；（2）3b a =，过点()0,0可以作曲线()y f x =的三条切线，求实数a 的取值范围．。
人教A版高考总复习一轮理科数学精品课件 第3章 导数及其应用 指点迷津三 在导数应用中如何构造函数
.
答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)
解析:构造
()
F(x)= ,则
'()·-()
F'(x)= 2 ,当
x<0 时,xf'(x)-f(x)>0,
可以推出当 x<0 时,F'(x)>0,F(x)在(-∞,0)上单调递增.
()
∵F(x)= 为奇函数,
∴F(x)在(0,+∞)上也单调递增.根据f(1)=0可得F(1)=0,F(-1)=0,
起看看常考的几种形式.
F(x)=f(x)sin x,F'(x)=f'(x)sin x+f(x)cos x;
()
'()sin -()cos
F(x)= ,F'(x)=
;
2
sin
si n
F(x)=f(x)cos x,F'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x;
()
'()cos +()sin
F(x)=xnf(x),F'(x)=nxn-1f(x)+xnf'(x)=xn-1[nf(x)+xf'(x)];
()
'()· - -1 ()
F(x)= ,F'(x)=
2
=
'()- ()
.
+1
结论:(1)如果题目中出现nf(x)+xf'(x)形式,构造函数F(x)=xnf(x);
(0,+∞)上也单调递减.根据f(-4)=0可得F(-4)=0,F(4)=0,根据函数的单调性、
高考理科数学数学导数专题复习
高考数学导数专题复习考试内容导数的背影．导数的观点．多项式函数的导数．利用导数研究函数的单一性和极值．函数的最大值和最小值．证明不等式恒建立考试要求：（1）认识导数观点的某些实质背景．（2）理解导数的几何意义．（3）掌握常用函数导数公式，会求多项式函数的导数．（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的观点，并会用导数求多项式函数的单一区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实质问题的最大值和最小值．（6）会利用导数证明不等式恒建立问题及有关问题知识重点1.导数的观点 导数的几何意义、物理意x 在 x0 处导数（导函数的简称）的定义：设 x 0 是函数 y f ( x) 定义域的一点，假如自变量常有函数的导数 y f (x 0 x) f ( x 0 )有增量，则函数值xx y 也惹起相应的增量 y f (x 0 x) f (x 0 ) ；比值 x导数导数的运算 之间的均匀变化率；假如极限 称为函数 在 点 x 0 到 x 0y f ( x)xlimyf (x 0 x) f ( x 0 )xlim x函数的单一性x 0x 0存在，则称函数 y f ( x) 在点 x 0 处可导，并把这个极限叫做导数的应用''|函数的极值limyf (x 0x) f (x 0 ) yf ( x)在 x 0 处的导数，记作f ( x 0 ) 或 y'limx.xx，即 f( x 0 ) = x 0x x注：函数的最值① x 是增量，我们也称为“改变量”，因为x 可正，可负，但不为零 .②以知函数定义域为 ， yf ' ( x) 的定义域为，则与B 关系为.y f (x)ABAA B2. 函数在点 x 0 处连续与点x处可导的关系：y f (x)⑴函数 yf ( x) 在点 x 0 处连续是y f (x)在点 x 0 处可导的必需不充分条件 .能够证明，假如 y f (x) 在点 x0处可导，那么y点 x0 处连续 .f (x)事实上，令 x x 0 x，则x x0相当于x 0 .lim f ( x) lim f (x0 x) lim [ f ( x x0 ) f ( x0 ) f (x0 )] 于是xx0x 0 x 0f (x0 x) f (x0 )x f ( x )] lim f (x0 x) f ( x0 )lim f (x ) ' (x ) 0 f (x ) f (x ).lim [ lim fx 0 x 0 x 0 x x 0x 0 0 0 0 0⑵假如 y f ( x) 点x0处连续，那么 y f ( x) 在点 x0 处可导，是不建立的 .y | x |例： f ( x) | x |在点 x 0 0 处连续，但在点x 0 0处不行导，因为x x，当 x ＞0 时，y ylim y1；当x ＜0 时，1x 不存在.x x ，故 x 0注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3.导数的几何意义和物理意义：（1）几何意义：函数y f (x) 在点 x0处的导数的几何意义就是曲线 y f ( x) 在点 ( x0 , f ( x)) 处的切线的斜率，也就是说，曲线y f (x) 在点P(x0 , f ( x)) 处的切线的斜率是 f ' ( x0 ) ，切线方程为 y y 0 f ' ( x)( x x0 ).（2）物理意义：位移的导数是速度，速度的导数是加快度。
高考总复习二轮理科数学精品课件 专题6 函数与导数 培优拓展15 函数的隐零点问题与极值点偏移问题
(1)若 f(x)是 R 上的减函数,求实数 a 的取值范围;
(2)若 f(x)有两个极值点 x1,x2,其中
2
x1<x2,求证:x2-x1> +2.
e
(1)解 由题意
+2
f'(x)=a+ e ≤0
在 R 上恒成立,
+2
∴-a≥ e 恒成立,
令
+2
g(x)= ,x∈R,则-a≥g(x)max,
个交点.
(方法二)由(1)知,f(x)=x3-3x2+x+2,设g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4,由题
设知1-k>0.
当x≤0时,g'(x)=3x2-6x+1-k>0,g(x)单调递增,
g(-1)=k-1<0,g(0)=4,所以g(x)=0在(-∞,0]有唯一实根.
当x>0时,令h(x)=x3-3x2+4,则g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x).
0
1
x0= +x0≥2,由 x0∈(0,1),所以等号不成立,
0
所以 ex-ln x>2 恒成立.
规律方法已知不含参函数f(x),导函数方程f'(x)=0的根存在,却无法求出,设
方程f'(x)=0的根为x0,要注意确定x0的合适范围,以及f'(x0)=0成立得出一关
系式,利用该关系式进行等价转化.
0
由 g'(x0)=0 得e =x0+3,所以
0 (0 +3)+2
g(x0)=
=x0+1,由于
高考总复习二轮理科数学精品课件 专题6 函数与导数 增分2 利用导数证明不等式
由题意可得 f(1)=2,f'(1)=e.故 a=1,b=2.
x
(2)证明 (方法一)要证明 e ln
只需证明 ln
2
x+e
设函数 g(x)=ln
只需证明
>
2e-1
x+ >1(x>0),
1
(x>0),即证明
e
ln
2
1
x+e − e >0,
2
1
x+ − (x>0),
2
1
0<a≤ 时,f(x)≥ ax+
e
2
+ 1.
1e0 -0
1 x
1 0
(1)解 由题意 f'(x)= e .设切点为 A(x0,y0),切线的斜率 k= e =
,
解得
e
e
x0=1,∴A(1,),k=,
∴切线的方程为
e
y-
=
e
(x-1),即
e
y=x.
(2)证明 (方法一)①当 a=1 时,要证
x
x
x-1
1
e-1
1
(x>0),∴只需证明
则下面证明
eln
2
x+
>
ห้องสมุดไป่ตู้
1
(x>0),设
e-1
g(x)min>0,g'(x)= 2 .
g(x)=eln
2
1
x+ − =eln
高三理科数学复习题《函数与导数》
高三理科数学复习题 函数与导数1.已知函数()axexx x f --11+=.()1设0>a ，讨论()x f y =的单调性；()2若对任意()1,0∈x 恒有()1>x f ，求a 的取值范围.2.已知函数()x a x x f ln +=，其中a 为常数，且1-≤a .()1当1-=a 时，求()x f 在[]2,e e ()71828.2≈e 上的值域；()2若()1-e x f ≤对任意[]2,e e x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.3.已知函数()xe x a xf ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1，其中0>a . ()1求函数()x f 的零点；()2讨论()x f y =在区间()0,-∞上的单调性； ()3在区间⎥⎦⎤⎝⎛∞2,--a 上，()x f 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.4.已知函数()R a xx a x f ∈=,1-ln .()1若曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线与直线02=+y x 垂直，求a 的值； ()2求函数()x f 的单调区间；()3当1=a，且2≥x 时，证明：()5-21-x x f ≤.5.已知函数()xa x x f +=ln .()1当0<a 时，求函数()x f 的单调区间；()2若函数()x f 在[]e ,1上的最小值是23，求a 的值.6.已知函数()x xp px x f ln 2--=.()1若2=p ，求曲线()x f 在点()()1,1f 处的切线方程；()2若函数()x f 在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围； ()3设函数()xe x g 2=，若在[]e ,1上至少存在一点0x ，使得()()00x g x f >成立，求实数p的取值范围.7.已知函数()x x x f -3=.()1求函数()x f y =的单调区间；()2设0>a ，如果过点()b a ,可作曲线()x f y =的三条切线，证明：()a f b a <<-.8.已知函数()x ax x f -2= ()0,≠∈a R a ，()x x g ln =.()1当1=a 时，判断函数()()x g x f -在定义域上的单调性；()2若函数()x f y =与()x g y =的图像有两个不同的交点N M 、，求a 的取值范围； ()3设点()11,y x A 和()22,y x B ()21x x <是函数()x g y =图像上的两点，平行于AB 的切线以()00,y x P 为切点，求证：201x x x <<.9.已知函数()()0ln -->=a x a x x f .()1若1=a ，求()x f 的单调区间及()x f 的最小值；()2若0>a ，求()x f 的单调区间；()3试比较222222ln 33ln 22ln nn +++与()()()12121-++n n n 的大小()2*≥∈n N n 且，并证明你的结论.10.已知函数()()xx x f 1ln 1++=和()()1ln -1-+=x x x g .()1函数()x f y =在区间()+∞,0上是增函数还是减函数？说明理由； ()2求证：函数()x g y =在区间()3,2上有唯一零点；()3当0>a 时，不等式()()x g k x xf '>恒成立（其中()x g '是()x g 的导函数，*N k ∈），求k 的最大值.11.设函数()x axx x f ln -1+=在[)+∞,1上是增函数.()1求正实数a 的取值范围；()2设1,0>>a b ，求证：bb a bb a ba +<+<+ln1.12.已知函数()()02-21-ln 2<=a x ax x x f .()1若函数()x f 在定义域内单调递增，求a 的取值范围；()2若21-=a 且关于x 的方程()b x x f +=21-在[]4,1上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围；()3设各项为正的数列{}n a 满足*112ln ,1N n a a a a n n n ∈++==+，.求证：1-2nn a ≤.13.已知函数()xxx x f 1ln +=.()1若函数在区间⎪⎭⎫⎝⎛+31,m m （其中0>m ）上存在极值，求实数m 的取值范围； ()2如果当1≥x 时，不等式()1+≥x k x f 恒成立，求实数k 的取值范围；()3求证：()[]()2-21! 1n en n ∙+>+ ()*N n ∈.14.设函数()ax x x f -ln =()R a ∈.()1判断函数()x f 的单调性；()2当ax x <ln 在()+∞,0上恒成立时，求a 的取值范围；()3证明：e n n<⎪⎭⎫ ⎝⎛+11()*N n ∈.15.已知函数()ax x x x f -ln 2+=.()1若函数()x f 在其定义域上为增函数，求a 的取值范围； ()2设()*11N n na n∈+=，求证：()()n n a a a a a an n 21ln ----32222121++<+++ .。
高考二轮复习理科数学课件高考小题突破11导数的简单应用
∴02 +ax0-a=0 有 2 个不同实数解,∴Δ=a2+4a>0,解得 a>0 或 a<-4.故 a 的取
值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞).
考点二
导数与函数的单调性
考向1比较大小或解不等式
例 2(1)(2022 全国甲,理 12)已知
A.c>b>a
B.b>a>c
31
1
1
a= ,b=cos ,c=4sin ,则(
A.a<b<c
B.b<c<a
C.b<a<c
D.c<a<b
解析 ∵a=ln 1.012=ln 1.020 1>ln 1.02=b,∴排除 A,D.令 f(x)=ln(1+x)( 1 + 2-1),x≥0,则 f(0.02)=ln 1.02-(
1+2-(1+)
,当
(1+) 1+2
1
2
1.04-1)=b-c.∵f'(x)=
(x2,ln(-x2))(x2<0)上的切线为
1
x1= (x-x1).若该切线
1
y=e.当
x<0 时,y=ln(-x),点
1
y-ln(-x2)= (x-x2).
2
若该切线经过原点,则 ln(-x2)-1=0,解得 x2=-e,此时切线方程为
y=- .
e
(3)(2022新高考Ⅰ,15)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取
1
1
y'= ,则
=1,则
+
高三数学导数复习精选题(含答案)
导数单元检测题一、选择题：(每小题5分，共50分)1． 在曲线y=x 2上切线的倾斜角为4π的点为 （ ） A ．（0，0） B ．（2，4） C ．（161,41） D ．（41,21）2．函数f (x)=（x+2a ）(x-a)2的导数为 （ ）A ．2（x 2-a 2）B ．3（x 2+a 2）C ．3（x 2-a 2）D ．2（x 2+a 2）3．（理）函数y=222)1(2+x x 的导数是 （ ） A ．y /=3232)1(8)1(4+-+x x x x B ．y /=3222)1(4)1(4+-+x x x xC ．y /=3232)1(8)1(2+-+x x x xD ．y /=322)1(4)1(4+-+x x x x （文）方程x 3-6x 2+9x-10=0的实根的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．04．点P 在曲线y=x 3-x+2上移动，设点P 处切线的倾斜角为α则α的取值范围是 （ ）A ．[0，2π] B ．[0，2π]∪[43π，π） C ．[43π，π） D ．（2π，43π]5．正方体的棱长l 从4cm 增加到4.01cm 时，它的体积增加了（精确到0.01cm 3） ( )A ． 0.5 0cm 3B ．0.49cm 3C ． 0.48 cm 3D ．0.51 cm 36．函数f (x)=ax 3+x+1有极值的充要条件是 （ ） A ．a ＞0 B ．a ＜0 C ．a ≥0 D ．a ≤07．（理）函数y=x+24x x -最大值为 （ ） A ．2+22 B ．2 C ．2+2 D ．4（文）函数y=x 3-12x+16,x ∈[-2，3]的最大值是 （ ） A ．32 B ．35 C ．40 D ．60 8．（理）若曲线y=x1有一切线与直线2x-y+1=0垂直，则切点是 （ ） A ．（2，22） B ．（-22，-22） C ．（2，-22） D ．（-2，22） （文）曲线y=271032+x 过点P （5，11）的切线方程为 （ ） A ．3x-y-4=0 B ．3x+y-4=0 C ．3x+y+4=0 D ．3x-y+4=09．（理）已知f (3)=2，f /（3）= -2，则3)(32lim3--→x x f x x 的值是 （ ）A ．-4B ．0C ．8D ．10（文）由线y=x 2在P 处的切线的斜率为3，则P 点的坐标为 （ ） A ．（-23，49） B ．（23，-49） C ．（23，49） D ．（-23，-49） 10．设函数f (x)=ax 3+bx 2+cx+d 在x=0处有极大值1，在x=2处有极小值0，则常数a ，b ，c ，d 分别为 （ ） A ．-41，-43，0，1 B ．-41，-43，0，-1 C ．41，-43，0，-1 D ．41，-43，0，1 二、填空题：(每小题5分，共25分)11．若直线y=kx 与直线y=x 3-3x 2+2x 相切，则k= ． 12．设f (x)=x 2(2-x),则f (x)的单调递增区间是 ．13．如果函数f (x)=ax 3-x 2+x-5在（-∞，+∞）上递增，则a 的取值范围是 ． 14．水以20m 3/分的速度流入一圆锥形容器，设容器深30m ，上底直径12，当水深10m 时，水面上升的速度为 ． 15．已知f (x)=x 3-21x 2-2x+5,求函数f (x)的递增区间 ．三、 解答题： 16．（12分）已知f (x)的导数f /（x ）=3x 2-2(a+1)x+a-2，且f (0)=2a ，当a ＞2时，求不等式f (x)＜0的解集．17．（12分）(理)当x ＞0时，证明不等式：xx1＜ln(1+x)＜x ． （文）函数f (x)= x 3-ax 2+1,是否存在实数a,使f (x)在区间[0，33]上为减函数，且在区间 （33，1]上是增函数？并说明理由． 18．（12分）已知a 为实数，f (x)=(x 2－4)(x －a). ⑴求导数f /（x ）;⑵若f /（-1）=0，求f (x)在[-2，2]上的最值；⑶若f (x)在（-∞，-2]和[2，+∞）上都是递增的，求a 的取值范围． 19．（12分）用总长14.8m 的一钢条做成一个长方体容器的框架。
数学课标通用(理科)一轮复习配套教师用书：第三章 导数及其应用 导数的综合应用
§3.3 导数的综合应用考点1 利用导数研究生活中的优化问题［典题1］某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米,体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元（π为圆周率)．(1）将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；（2)讨论函数V(r）的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．[解] (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元,底面的总成本为160πr2元．所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意，得200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h＝错误!（300－4r2),从而V(r）＝πr2h＝错误!（300r－4r3）．因为r>0，又由h>0可得0＜r<5错误!，故函数V（r）的定义域为(0,5错误!)．(2）因为V（r）＝错误!（300r－4r3），故V′（r)＝错误!（300－12r2),令V′（r)＝0，解得r＝5或－5(r＝－5＜0，舍去）．当r∈(0，5）时,V′(r）〉0，故V(r）在(0，5）上为增函数；当r∈(5,5错误!)时，V′(r）〈0，故V（r)在(5,5错误!）上为减函数．由此可知，V（r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8。
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．[点石成金] 利用导数解决生活中的优化问题的四步骤（1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′（x)，解方程f′(x)＝0；(3）比较函数在区间端点和f′（x)＝0的点的函数值的大小,最大（小)者为最大（小)值;(4)回归实际问题作答。
某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克）与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝错误!＋10（x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（1)求a 的值；（2)若该商品的成本为3元千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：(1)因为当x ＝5时,y ＝11， 所以错误!＋10＝11，a ＝2.(2）由（1)知，该商品每日的销售量y ＝错误!＋10（x －6)2。
高考总复习二轮理科数学精品课件 专题6 函数与导数 考点突破练17 基本初等函数、函数的应用
基本初等函数、函数的应用
一、选择题
1.(2022 浙江,7)已知 2a=5,log83=b,则 4a-3b=( C )
A.25
25
C. 9
B.5
解析 由 log83=b,得 8 =3,即 2 =3,则 2
b
3b
5
D.3
a-3b
=
2
3
2
=
5
a-3b 25
,所以 4 = 9 ,故选
3
天)的 Logistic 模型:I(t)=1+e-0.23(-53),其中 K 为最大确诊病例数.当 I(t*)=0.95K
时,标志着已初步遏制疫情,则 t*约为(ln 19≈3)( C )
A.60
B.63
C.66
解析 由
1+e
=0.95K,得e
*
-0.23( -53)
-0.23( * -53)
1
m-ln =-4k+a-(- ln
2
2
2
4-4b +a,
2
2
4- b +a),即-4k+ b =0.
4
4
又 k≠0,所以 b2=16.因为 b>0,所以 b=4.故选 B.
9.已知函数f(x)=ax2-4ax+2(a<0),则关于x的不等式f(x)>log2x的解集是( C )
A.(-∞,4)
|log2 |, > 0,
f2(x)+ 2m=(m+ 2)f(x)恰有 5 个不同的实根,则 m 的取值范围为( D )
A.(0,1)
B.(1,+∞)
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高考理科数学数学导数专题复习高考数学导数专题复习考试内容导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．证明不等式恒成立考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景．（2）理解导数的几何意义．（3）掌握常用函数导数公式，会求多项式函数的导数．（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．（6）会利用导数证明不等式恒成立问题及相关问题知识要点导数导数的概念导数的运算导数的应用导数的几何意义、物理意义函数的单调性函数的极值函数的最值常见函数的导数导数的运算法则1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000. 注：①x ∆是增量，我们也称为“改变量”，因为x ∆可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ⊇. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系：⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ∆+=0，则0x x →相当于0→∆x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 000000x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=∆+=→∆→∆→).()(0)()(lim lim )()(lim )]()()([lim 000'0000000000x f x f x f x f xx f x x f x f x x x f x x f x x x x =+⋅=+⋅∆-∆+=+∆⋅∆-∆+=→∆→∆→∆→∆⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为xx x y ∆∆=∆∆||，当x ∆＞0时，1=∆∆x y ；当x ∆＜0时，1-=∆∆xy ，故x yx ∆∆→∆0lim不存在. 注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义和物理意义：（1）几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=-（2）物理意义：位移的导数是速度，速度的导数是加速度。
4. 求导数的四则运算法则：''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=（c 为常数）)0(2'''≠-=⎪⎭⎫⎝⎛v v u v vu v u 注：①v u ,必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、 积、商不一定不可导.例如：设xx x f 2sin 2)(+=，xx x g 2cos )(-=，则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导，但它们和=+)()(x g x f x x cos sin +在0=x 处均可导.5. 复合函数的求导法则：)()())(('''x u f x f x ϕϕ=或x u x u y y '''⋅= 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6. 函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数.⑵常数的判定方法；如果函数)(x f y =在区间I 内恒有)('x f =0，则)(x f y =为常数. 注：①0)(φx f 是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有0)(φx f ，有一个点例外即x =0时f （x ） = 0，同样0)(πx f 是f （x ）递减的充分非必要条件.②一般地，如果f （x ）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.7. 极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理） 当函数)(x f 在点0x 处连续时：①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值； ②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值. 也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号，而不是)('x f =0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）. 注①： 若点0x 是可导函数)(x f 的极值点，则)('x f =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数3)(x x f y ==，0=x 使)('x f =0，但0=x 不是极值点.②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x 处不可导，但点0=x 是函数的极小值点. 8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较. 注：函数的极值点一定有意义. 9. 几种常见的函数导数：I.0'=C （C 为常数） x x cos )(sin '= 2'11)(arcsin xx -=1')(-=n n nx x （R n ∈） x x sin )(cos '-= 2'11)(arccos xx --=II. x x 1)(ln '= e xx a a log 1)(log '= 11)(arctan 2'+=x xx x e e =')( a a a x x ln )('=11)cot (2'+-=x x arcIII. 求导的常见方法： ①常用结论：xx 1|)|(ln '=. ②形如))...()((21n a x a x a x y ---=或))...()(())...()((2121n n b x b x b x a x a x a x y ------=两边同取自然对数，可转化求代数和形式.③无理函数或形如x x y =这类函数，如x x y =取自然对数之后可变形为x x y ln ln =，对两边求导可得x x x x x y y x y y x x x y y +=⇒+=⇒⋅+=ln ln 1ln '''.经典例题剖析考点一：求导公式。
例1. ()f x '是31()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是 。
解析：()2'2+=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3考点二：导数的几何意义。
例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+= 。
解析：因为21=k ，所以()211'=f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()251=f ，所以()()31'1=+f f答案：3例3.曲线32242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。
解析：443'2--=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 答案：025=-+y x点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。
考点三：导数的几何意义的应用。
例4.已知曲线C ：x x x y 2323+-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。
解析：Θ直线过原点，则()000≠=x x y k 。
由点()00,y x 在曲线C 上，则02030023x x x y +-=，∴2302000+-=x x x y 。
又263'2+-=x x y ，∴ 在()00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'0200+-==x x x f k ，∴26323020020+-=+-x x x x ，整理得：03200=-x x ，解得：230=x 或00=x （舍），此时，830-=y ，41-=k 。
所以，直线l 的方程为x y 41-=，切点坐标是⎪⎭⎫⎝⎛-83,23。
答案：直线l 的方程为x y 41-=，切点坐标是⎪⎭⎫⎝⎛-83,23点评：本小题考查导数几何意义的应用。