高考数学导数题型归纳(文科)-

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导数常见题型归纳

导数常见题型归纳1.高考命题回顾例1.（2013全国1）已知函数()f x ＝2x ax b ++，()g x ＝()xe cx d +，若曲线()yf x =和曲线()yg x =都过点P(0，2)，且在点P 处有相同的切线42y x =+（Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值；（Ⅱ）若x ≥－2时，()f x ≤()kg x ，求k 的取值范围。

分析：⑴2d c b 4,a ==== ⑵由⑴知()24x f 2++=x x ，()()12+=x ex g x设()()()()24122---+=-=x x x ke x f x kg x F x，则()()()122-+='xke x x F 由已知()100≥⇒≥k F ，令()k x x x F ln ,20-==⇒='①若21e k <≤则021≤<-x ，从而当()1,2x x -∈时，()0<'x F ，()x F 递减()+∞∈,1x x 时，()>'x F 0，()x F 递增。

()()()02x 111≥+-=≥x x x F F故当2-≥x 时()0≥x F 即()()x kg x f ≤恒成立。

②若2e k = 则()()()02222>-+='-ee x e x F x 。

()2->x 。

所以()x F 在()+∞-,2上单调递增，而()02=-F .所以-2x ≥时，()0≥x F 恒成立。

③若2e k >，则()()02222222<--=+-=---e k e ke F ，从而()0≥x F 不可能恒成立即()()x kg x f ≤不恒成立。

综上所述。

k 的取值范围[]2,1e例2．（2013全国2）已知函数)ln()(m x e x f x+-=．（Ⅰ）设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当2m ≤时，证明()0f x >．分析：（Ⅰ）1m =。

高考复习文科数学之导数(2)

各地解析分类汇编:导数（2）1 【山东省烟台市莱州一中2013届高三10月月考（文）】函数()32f x x 3x 3x a =++-的极值点的个数是 A.2B.1C.0D.由a 确定【答案】C【解析】函数的导数为222'()3633(21)3(1)0f x x x x x x =++=++=+≥，所以函数()f x 在定义域上单调递增，所以没有极值点，选C.2 【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试文】若a ＞0，b ＞0，且函数32()422f x x ax bx =--+在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ． 9C ．6D ．3【答案】B【解析】函数的导数为2'()1222f x x ax b =--，因为函数在1x =处取得极值，所以'(1)12220f a b =--=，即6a b +=，所以6a b =+≥，所以9ab ≤，当且仅当3a b ==时取等号，所以ab 的最大值为9，选B.3 【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）文】已知()f x 为R 上的可导函数，且x R ∀∈，均有()()f x f x '>，则有A ．2013(2013)(0)e f f -<，2013(2013)(0)f e f > B ．2013(2013)(0)e f f -<，2013(2013)(0)f e f < C ．2013(2013)(0)ef f ->，2013(2013)(0)f e f > D ．2013(2013)(0)ef f ->，2013(2013)(0)f e f <【答案】D【解析】构造函数()(),x f x g x e=则2()()()()()()()x x x x f x e e f x f x f x g x e e '''--'==，因为,x ∀∈R 均有()()f x f x '>，并且0x e >，所以()0g x '<，故函数()()x f x g x e=在R 上单调递减，所以(2013)(0)(2013)(0)g g g g -><，，即20132013(2013)(2013)(0)(0)f f f f e e--><，，也就是20132013(2013)(0)(2013)(0)e f f f e f -><，，故选D ．4 【山东省烟台市莱州一中2013届高三10月月考（文）】下面为函数y xsinx cos x =+的递增区间的是 A.3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭B.(),2ππC.35,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭D.()2,3ππ【答案】C【解析】y 'sinx x cos x sin x x cos =+-=，当0x >时，由'0y >得cos 0x x >，即cos 0x >，所以选C.5 【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考文】已知函数))((R x x f ∈满足1)1(=f ，且)(x f 的导函数21)('<x f ，则212)(+<x x f 的解集为 A. {}11<<-x x B. {}1-<x x C. {}11>-<x x x 或 D. {}1>x x 【答案】D【解析】设1()()()22xF x f x =-+, 则11(1)(1)()11022F f =-+=-=，1'()'()2F x f x =-，对任意x R ∈，有1'()'()02F x f x =-<，即函数()F x 在R 上单调递减，则()0F x <的解集为(1,)+∞，即212)(+<x x f 的解集为(1,)+∞，选D.6 【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试文】某厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时,原油温度（单位：℃）为),50(831)(23≤≤+-=x x x x f ，那么原油温度的瞬时变化率的最小值为 A ．8 B ．320C ．-1D ．-8 【答案】C【解析】原油温度的瞬时变化率为),50(1)1(2)('22≤≤--=-=x x x x x f 故最小值为-1.因此选C.7 【天津市耀华中学2013届高三第一次月考文科】已知函数2()=-f x x cos x ，则(0.6),(0),(-0.5)f f f 的大小关系是A 、(0)<(0.6)<(-0.5)f f fB 、(0)<(-0.5)<(0.6)f f fC 、(0.6)<(-0.5)<(0)f f fD 、(-0.5)<(0)<(0.6)f f f 【答案】B 【解析】因为函数2()=f x x cos x -为偶函数，所以(0.5)(0.5)f f -=，()=2f 'x x sin x +，当02x π<<时，()=20f 'x x s i n x +>，所以函数在02x π<<递增，所以有(0)<(0.5)<(0.6)f f f ，即(0)<(0.5)<(0.6)f f f -，选B.8 【山东省烟台市莱州一中20l3届高三第二次质量检测（文）】设在函数sin cos y x x x =+的图象上的点()00,x y 处的切线斜率为k ，若()0k g x =，则函数()[]00,,k g x x ππ=∈-的图像大致为【答案】A【解析】'sin cos sin cos y x x x x x x =+-=，即切线斜率000()cos k g x x x ==，则函数000()cos g x x x =为奇函数，图象关于原点对称，排除B,C.当0x π=时，()cos 0g πππ=<，排除D ，选A.9【山东省烟台市2013届高三上学期期中考试文】设动直线m x =与函数x x g x x f ln )(,)(2==的图象分别交于点M 、N ，则|MN|的最小值为A ．2ln 2121+ B ．2ln 2121- C ． 2ln 1+ D ．12ln - 【答案】A【解析】x x MN ln ||2-=，令x x x f ln )(2-=x x x x x f 1212)('2-=-=，当220<<x时，0)('<x f ；当22>x 时，0)('>x f ；∴当22=x 时，)(x f 有极小值也有极大值，即.2ln 212121ln 21)22()(min +=-==f x f 故选A 10 【天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考文】已知点P 在曲线14+=x e y 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是___________________ 【答案】0135180α≤<或3[,)4ππ 【解析】2'(1)xxe y e -=+，即切线的斜率为24(1)xxe k e -=+，所以224441(1)212x x x x x x x e e k e e e e e --===-+++++，因为1224x x e e ++≥+=，所以10k -≤<，即1tan 0α-≤<，所以00135180α≤<，即α的取值范围是00135180α≤<。

高考数学导数题型归纳

导数题型归纳例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，4323()1262x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围；（2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值.例2：设函数),10(3231)(223R b a b x a ax x x f ∈<<+-+-= （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围.例3；已知函数32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 处的切线斜率为3-，326()(1)3(0)2t g x x x t x t -=+-++> （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域；（Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。

例4：已知R a ∈，函数x a x a x x f )14(21121)(23++++=．（Ⅰ）如果函数)()(x f x g '=是偶函数，求)(x f 的极大值和极小值；（Ⅱ）如果函数)(x f 是),(∞+-∞上的单调函数，求a 的取值范围．例5、已知函数3211()(2)(1)(0).32f x x a x a x a =+-+-≥ （I ）求()f x 的单调区间；（II ）若()f x 在[0，1]上单调递增，求a 的取值范围。

子集思想例6、已知函数232)1(31)(x k x x f +-=，kx x g -=31)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数．（1）求实数k 的取值范围；（2）若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．例7、已知函数321()22f x ax x x c =+-+ （1）若1x =-是()f x 的极值点且()f x 的图像过原点，求()f x 的极值；（2）若21()2g x bx x d =-+，在（1）的条件下，是否存在实数b ，使得函数()g x 的图像与函数()f x 的图像恒有含1x =-的三个不同交点？若存在，求出实数b 的取值范围；否则说明理由。

专题导数及其应用(解答题)(原卷版)(文科专用)-五年(18-22)高考数学真题分项汇编(全国通用)

专题04 导数及其应用（解答题）（文科专用） 1．【2022年全国甲卷】已知函数f(x)=x 3−x,g(x)=x 2+a ，曲线y =f(x)在点(x 1,f (x 1))处的切线也是曲线y =g(x)的切线．(1)若x 1=−1，求a ；(2)求a 的取值范围．2．【2022年全国乙卷】已知函数f(x)=ax −1x −(a +1)lnx ． (1)当a =0时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)恰有一个零点，求a 的取值范围．3．【2021年甲卷文科】设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围. 4．【2021年乙卷文科】已知函数32()1f x x x ax =-++．（1）讨论()f x 的单调性；（2）求曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标． 5．【2020年新课标1卷文科】已知函数()(2)x f x e a x =-+. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.6．【2020年新课标2卷文科】已知函数f （x ）=2ln x +1．（1）若f （x ）≤2x +c ，求c 的取值范围；（2）设a >0时，讨论函数g （x ）=()()f x f a x a--的单调性． 7．【2020年新课标3卷文科】已知函数32()f x x kx k =-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有三个零点，求k 的取值范围．8．【2019年新课标2卷文科】已知函数()(1)ln 1f x x x x =---.证明：（1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.9．【2019年新课标3卷文科】已知函数32()22f x x ax =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0<<3a 时，记()f x 在区间[]0,1的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围.10．【2018年新课标1卷文科】【2018年新课标I 卷文】已知函数()e 1x f x a lnx =--．（1）设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间；（2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥． 11．【2018年新课标2卷文科】已知函数()()32113f x x a x x =-++．（1）若3a =，求()f x 的单调区间；（2）证明：()f x 只有一个零点．12．【2018年新课标3卷文科】已知函数()21x ax x f x e +-=．（1）求曲线()y f x =在点()0,1-处的切线方程；（2）证明：当1a ≥时，()0f x e +≥．。

高三文科数学常考知识点整理归纳

高三文科数学常考知识点整理归纳数学已成为许多国家及地区的教育范畴中的一部分。

它应用于不同领域中，包括科学、工程、医学、经济学和金融学等。

这次小编给大家整理了高三文科数学常考知识点，供大家阅读参考。

一、导数的应用1.用导数研究函数的最值确定函数在其确定的定义域内可导(通常为开区间)，求出导函数在定义域内的零点，研究在零点左、右的函数的单调性，若左增，右减，则在该零点处，函数去极大值;若左边减少，右边增加，则该零点处函数取极小值。

学习了如何用导数研究函数的最值之后，可以做一个有关导数和函数的综合题来检验下学习成果。

2.生活中常见的函数优化问题1)费用、成本最省问题2)利润、收益问题3)面积、体积最(大)问题二、推理与证明1.归纳推理：归纳推理是高二数学的一个重点内容，其难点就是有部分结论得到一般结论，破解的方法是充分考虑部分结论提供的信息，从中发现一般规律;类比推理的难点是发现两类对象的相似特征，由其中一类对象的特征得出另一类对象的特征，破解的方法是利用已经掌握的数学知识，分析两类对象之间的关系，通过两类对象已知的相似特征得出所需要的相似特征。

2.类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，简而言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。

三、不等式对于含有参数的一元二次不等式解的讨论1)二次项系数：如果二次项系数含有字母，要分二次项系数是正数、零和负数三种情况进行讨论。

2)不等式对应方程的根：如果一元二次不等式对应的方程的根能够通过因式分解的方法求出来，则根据这两个根的大小进行分类讨论，这时，两个根的大小关系就是分类标准，如果一元二次不等式对应的方程根不能通过因式分解的方法求出来，则根据方程的判别式进行分类讨论。

通过不等式练习题能够帮助你更加熟练的运用不等式的知识点，例如用放缩法证明不等式这种技巧以及利用均值不等式求最值的九种技巧这样的解题思路需要再做题的过程中总结出来。

文科数学高考题型归纳

文科数学高考题型归纳文科高考数学题型（一）第一章集合与常用逻辑用语 1第一节集合 2题型1 集合的基本概念 3题型2 集合间的基本关系 3题型3 集合的运算 4第二节命题及其关系、充分条件与必要条件 7题型4 四种命题及关系 7题型5 充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明 8 题型6 充分条件、必要条件中的含参数问题 8第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 9题型7 判断含逻辑联结词的命题的真假 9题型8 全(特)称命题的否定 10题型9 根据命题真假求参数的范围 10第二章函数 11第一节函数的概念及其表示 12题型10 映射与函数的概念 12题型11 同一函数的判断 13题型12 函数解析式的求法 13题型13 函数定义域的求解 15第二节函数的基本性质奇偶性、单调性、周期性 19题型15 函数的奇偶性 20题型16 函数的单调性(区间) 22题型17 函数的周期性 23题型18 函数性质的综合 24第三节二次函数与幂函数 26题型19 二次函数图像的应用 29题型20 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系 29 题型21 二次方程ax2+bx+c=0(a0)的实根分布及条件 29题型22 二次函数动轴定区间、定轴动区间问题 30题型23 二次函数图像恒成立问题 31题型24 幂函数的定义及基本性质 31题型25 幂函数性质的综合应用 32第四节指数函数与对数函数 33题型26 指(对)数运算及指(对)数方程、指(对)数不等式 34 题型27 指数函数与对数函数的图像及性质 35题型28 指数函数与对数函数中的恒成立问题 39第五节函数的图像及应用 40题型29 判断函数的图像 41题型30 函数图像的应用 43第六节函数的综合 45题型32 函数与不等式的综合 45题型33 函数中的创新题 47第三章导数 48第一节导数的概念与运算 48题型34 导数的定义 49题型35 求函数的导数 49题型36 导数的几何意义 50第二节导数的应用 51题型37 利用导函数研究函数的图像 52题型38 利用导数研究函数的单调性 53题型39 利用导函数研究函数的极值与最值 57题型40 方程解(函数零点)的个数问题 58题型41 不等式恒成立与存在性问题 59题型42 利用导数证明不等式 61题型43 导数在实际问题中的应用 63文科高考数学题型（二）第四章三角函数 64第一节三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式 65 题型44 终边相同的角的集合的表示与识别 66题型45 等分角的象限问题 67题型46 弧长与扇形面积公式的计算 68题型47 三角函数定义题 68题型48 三角函数线及其应用 68题型49 象限符号与坐标轴角的三角函数值 70题型50 同角求值条件中出现的角和结论中出现的角是相同的70题型51 诱导求值与变形 71第二节三角函数的图像与性质 72题型52 已知解析式确定函数性质 74题型53 函数的值域(最值) 77题型54 根据条件确定解析式 79题型55 三角函数图像变换 81第三节三角恒等变换 83题型56 两角和与差公式的证明 84题型57 化简求值 84题型58 三角函数综合 86第四节解三角形 87题型59 正弦定理的应用 88题型60 余弦定理的应用 88题型61 判断三角形的形状 89题型62 正、余弦定理与向量的综合 89题型63 解三角形的综合应用 90第五章平面向量 92第一节向量的线性运算 92题型64 共线向量的基本概念 94题型65 平面向量的线性表示 95题型66 共线向量基本定理及应用 96题型67 平面向量基本定理及应用 97题型68 向量与三角形的四心 98题型69 向量的坐标运算 99题型70 向量平行(共线)充要条件的坐标表示100第二节平面向量的数量积 100题型71 平面向量的数量积第六章数列 105第一节等差数列与等比数列 106题型72 等差、等比数列的通项及基本量的求解 107 题型73 等差、等比数列的求和 108题型74 等差、等比数列的性质及其应用 109题型75 判断或证明数列是等差、等比数列 111第二节数列的通项公式与求和 112题型76 数列通项公式的求解 113题型77 数列的求和 117第三节数列的综合 121题型78 等差数列与等比数列的综合 121题型79 数列与函数、不等式的综合 122题型80 数列的应用题 127文科高考数学题型（三）第七章不等式 128第一节不等式的性质与基本不等式 128题型81 不等式的性质 129题型82 比较数(式)的大小与比较法证明不等式 130题型83 基本不等式及其应用 130题型84 利用基本不等式求函数最值 131题型85 利用基本不等式证明不等式 133第二节不等式的解法 134题型86 有理不等式的解法 134第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题136 题型87 二元一次不等式组表示的平面区域 136题型88 平面区域的面积 137题型89 求解目标函数的取值范围(或最值) 137题型90 求解目标函数中参数的取值范围 139题型91 简单线性规划问题的实际运用 141第四节不等式的综合 141题型92 不等式恒成立问题中求参数的取值范围 142题型93 函数与不等式综合 143第八章立体几何 144第一节空间几何体及其表面积和体积 145题型94 几何体的表面积与体积 146题型95 旋转体的表面积、体积与球面距离 148题型96 几何体的外接球与内切球 149第二节空间几何体的直观图与三视图 150题型97 斜二测画法与直观图 151题型98 空间几何体的三视图 152第三节空间点、直线、平面之间的关系 156题型99 证明点共面、线共面或点共线及线共点 157 题型100 异面直线的判定 159第四节直线、平面平行的判定与性质 159题型证明空间中直线、平面的平行关系 161题型102 与平行有关的探究开放性问题 165第五节直线、平面垂直的判定与性质 166题型103 证明空间中直线、平面的垂直关系 168 题型104 与垂直有关的探究开放性问题 174第九章直线与圆的方程 175第一节直线的方程与两条直线的位置关系 176题型105 倾斜角与斜率的计算 177题型106 直线的方程 178题型107 两直线位置关系的判定 180题型108 有关距离的计算 181题型109 对称问题 181第二节圆的方程 183题型110 求圆的方程 184题型111 用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件 184 题型112 点与圆的位置关系判断 185题型113 直线系方程和圆系方程 185题型114 与圆有关的轨迹问题 186题型115 与圆有关的最值或取值范围问题 187第三节直线与圆、圆与圆的位置关系 188题型116 直线与圆的位置关系 189题型117 圆与圆的位置关系 192题型118 圆与圆锥曲线的综合 193第十章圆锥曲线 194第一节椭圆及其性质 194题型119 椭圆的定义与标准方程 196题型120 离心率的值及取值范围 197题型121 焦点三角形 198第二节双曲线及其性质 200题型122 双曲线的定义与标准方程 201题型123 双曲线的渐近线 202题型124 离心率的值及取值范围 204题型125 焦点三角形 205第三节抛物线及其性质 206题型126 抛物线的定义与方程 207题型127 与抛物线有关的距离和最值问题 208题型128 抛物线中三角形、四边形的面积问题 208 第四节曲线与方程 209题型129 求动点的轨迹方程 210第五节直线与圆锥曲线 212题型130 直线与圆锥曲线的位置关系 213题型131 弦长与面积问题 215题型132 中点弦问题 217题型133 平面向量在解析几何中的应用 220题型134 定点问题 221题型135 定值问题 223点击。

文科高考数学导数知识点

文科高考数学导数知识点导数是高中数学中重要的知识点之一，它是微积分的基础。

掌握导数的概念和运算规则，对于理解数学的发展和应用具有重要意义。

本文将对文科高考中与导数相关的知识点进行探讨和总结。

一、导数的定义与计算导数是描述函数变化率的概念，它表示函数在某一点上的瞬时变化率。

对于一个函数f(x)，其在点x处的导数可以用极限的概念表示为：f'(x) = lim（h→0）（f(x+h) - f(x)）/h其中h为接近于0的一个无限小的实数。

在计算导数时，常用的求导法则包括常数法则、幂法则、和差法则、积法则和商法则等。

这些法则在导数的计算中提供了方便的方法，使我们能够快速准确地求得函数的导数。

二、导数的几何意义导数的几何意义体现在函数曲线上的切线斜率上。

函数曲线在某一点上的切线斜率等于该点的导数值。

这意味着导数可以告诉我们函数在某一点上是上升还是下降，以及上升或下降的速率。

利用导数的几何意义可以解决很多与函数变化率相关的问题，例如求极大值和极小值点、确定函数在某个区间上的单调性以及判定函数的凸凹性等。

三、导数的应用导数不仅仅是一种数学工具，它还在实际问题的建模和求解中具有广泛的应用。

例如，在经济学中，导数可以用来解决边际成本、边际效益和最优决策等问题；在物理学中，导数可以用来描述物体的运动状态、速度和加速度等；在生物学中，导数可以用来研究物种的增长和衰退规律等。

导数在各个领域的应用都展示了它的重要性和实用性。

四、导数与其他数学概念的联系导数与其他数学概念之间存在着紧密的联系，它们相互依存、相互推进，共同构成了数学学科的核心。

在微积分中，导数与积分是密切相关的。

导数可以通过积分来求解，而积分则可以通过导数来解释和解决问题。

导数与函数的极限、连续性以及泰勒级数展开等概念也有紧密的关联。

掌握导数的知识，有助于我们更好地理解和运用这些数学概念。

五、导数在解决实际问题中的应用举例最后，我们通过举例来说明导数在解决实际问题中的应用。

冲刺高考文科数学必看题型归纳

冲刺高考文科数学必看题型归纳随着高中阶段的学习即将结束，文科同学们的高考备战也进入冲刺阶段。

作为高考的一大考试科目，数学在文科生的备考中显得尤其重要。

为此，本篇文章将对文科数学的必看题型进行归纳，帮助同学们在时间紧迫、压力巨大的备考过程中更好地掌握知识点，备战高考。

一、函数1. 函数的奇偶性：（1）$f(-x)=-f(x)$，则函数为奇函数；（2）$f(-x)=f(x)$，则函数为偶函数；（3）$f(x)\ne f(-x)$，则函数既不是奇函数也不是偶函数。

2. 函数的周期性：（1）对于任意一个实数$x$，都有$f(x+T)=f(x)$，则函数是以$T$（$T>0$）为周期的周期函数，$T$ 称为函数的周期；（2）当$T$ 为最小正周期时，函数是最简周期函数。

3. 函数的单调性：（1）若对于函数$y=f(x)$，当$x_1<x_2$ 时有$f(x_1)<f(x_2)$，则函数$f(x)$ 在区间$(x_1,x_2)$ 内是严格单调递增的；（2）若对于函数$y=f(x)$，当$x_1<x_2$ 时有$f(x_1)>f(x_2)$，则函数$f(x)$ 在区间$(x_1,x_2)$ 内是严格单调递减的。

4. 函数极值问题：（1）极大值：若存在$x_0\in D_f$，使得$f(x)\le f(x_0)$，则称$f(x_0)$ 为函数$f(x)$ 在定义域$D_f$ 上的极大值；（2）极小值：若存在$x_0\in D_f$，使得$f(x)\ge f(x_0)$，则称$f(x_0)$ 为函数$f(x)$ 在定义域$D_f$ 上的极小值；（3）极值：极大值和极小值统称为极值。

二、解析几何1. 点、向量的基本概念：（1）点：在xoy 坐标系中，设坐标轴OX、OY 的交点为坐标原点O，则任意一点$P(x,y)$ 都可表示为向量$\overrightarrow{OP}(x,y)$。

（2）向量：向量是具有大小和方向的几何量，用向量符号$\overrightarrow{a}$ 表示。

高考文科数学导数【学生】

11 导数一、选择题 1．（福建11）如果函数y=f (x )的图象如右图，那么导函数/()y f x =的图象可能是（ A ）2．（辽宁6）设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为（ A ）A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B ．[]10-，C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，3．（全国Ⅰ4）曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为（ B ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°4．（全国Ⅱ7）设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （ A ） A ．1B ．12C ．12-D ．1-二、填空题1．（北京13）如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f =_________；2函数()f x 在1x =处的导数(1)f '=_________．2-BCAy12 3 42．（江苏14）13)(3+-=x ax x f 对于[]1,1-∈x 总有0)(≥x f 成立，则a = 4三、解答题10．(山东21)（本小题满分12分）设函数2132()x f x x eax bx -=++，已知2x =-和1x =为()f x 的极值点．（Ⅰ）求a 和b 的值；（Ⅱ）讨论()f x 的单调性；（Ⅲ）设322()3g x x x =-，试比较()f x 与()g x 的大小．解：（Ⅰ）因为122()e (2)32x f x x x ax bx -'=+++1e (2)(32)x x x x ax b -=+++，又2x =-和1x =为()f x 的极值点，所以(2)(1)0f f ''-==，因此6203320a b a b -+=⎧⎨++=⎩，，解方程组得13a =-，1b =-．（Ⅱ）因为13a =-，1b =-，所以1()(2)(e1)x f x x x -'=+-，令()0f x '=，解得12x =-，20x =，31x =．因为当(2)x ∈-∞-，(01)，时，()0f x '<；当(20)(1)x ∈-+∞，，时，()0f x '>．所以()f x 在(20)-，和(1)+∞，上是单调递增的；在(2)-∞-，和(01)，上是单调递减的．（Ⅲ）由（Ⅰ）可知21321()e 3x f x x x x -=--，故21321()()e (e )x x f x g x x x x x ---=-=-，令1()ex h x x -=-，则1()e1x h x -'=-．令()0h x '=，得1x =，因为(]1x ∈-∞，时，()0h x '≤，所以()h x 在(]1x ∈-∞，上单调递减．故(]1x ∈-∞，时，()(1)0h x h =≥；因为[)1x ∈+∞，时，()0h x '≥，所以()h x 在[)1x ∈+∞，上单调递增．故[)1x ∈+∞，时，()(1)0h x h =≥．所以对任意()x ∈-∞+∞，，恒有()0h x ≥，又20x ≥，因此()()0f x g x -≥，故对任意()x ∈-∞+∞，，恒有()()f x g x ≥． 1．（安徽20）（本小题满分12分）设函数323()(1)1,32a f x x x a x a =-+++其中为实数。

2023年高考数学(文科)一轮复习——导数的概念及运算

第1节导数的概念及运算考试要求 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x3，y＝x 的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).2.函数y＝f(x)的导函数如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，称它为f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx.3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos__x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin__x f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)f ′(x )＝a x ln__a f (x )＝ln xf ′(x )＝1x f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)f ′(x )＝1x ln a4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0).1.f ′(x 0)代表函数f (x )在x ＝x 0处的导数值；(f (x 0))′是函数值f (x 0)的导数，且(f (x 0))′＝0.2.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f （x ）′＝－f ′（x ）[f （x ）]2(f (x )≠0).3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率.( )(2)函数f (x )＝sin(－x )的导数f ′(x )＝cos x .( ) (3)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0).( )(4)曲线y ＝f (x )在某点处的切线与曲线y ＝f (x )过某点的切线意义是相同的.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×解析 (1)f ′(x 0)表示y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，(1)错. (2)f (x )＝sin(－x )＝－sin x ，则f ′(x )＝－cos x ，(2)错. (3)求f ′(x 0)时，应先求f ′(x )，再代入求值，(3)错.(4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程组的思想求切线的方程，在曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切线可以不止一条，(4)错.2.某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h (t )＝10－4.9t 2＋8t (距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为( ) A.9.1米/秒 B.6.75米/秒 C.3.1米/秒D.2.75米/秒答案 C解析 h ′(t )＝－9.8t ＋8， ∴h ′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1.3.(2022·银川质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≤0，－x 2＋ax ，x >0为奇函数，则曲线f (x )在x ＝2处的切线斜率等于( ) A.6 B.－2C.－6D.－8答案 B解析 f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x ). 取x >0，得x 2－2x ＝－(－x 2＋ax )，则a ＝2. 当x >0时，f ′(x )＝－2x ＋2.∴f ′(2)＝－2.4.(2020·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝e x x ＋a .若f ′(1)＝e4，则a ＝________.答案 1 解析由f ′(x )＝e x （x ＋a ）－e x（x ＋a ）2，可得f ′(1)＝e a （1＋a ）2＝e 4，即a （1＋a ）2＝14，解得a ＝1.5.(2021·全国甲卷)曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为________.答案 5x －y ＋2＝0解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －1x ＋2′＝（2x －1）′（x ＋2）－（2x －1）（x ＋2）′（x ＋2）2＝5（x ＋2）2，所以k ＝y ′|x ＝－1＝5（－1＋2）2＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0.6.(易错题)设函数f (x )的导数为f ′(x )，且f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.答案－ 2解析由f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，得f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x －sin x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2·cos π2－sin π2，解得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－cos π4－sin π4＝－ 2.考点一导数的运算1.下列求导运算不正确的是( ) A.(sin a )′＝cos a (a 为常数)B.(sin 2x )′＝2cos 2xC.(x )′＝12xD.(e x －ln x ＋2x 2)′＝e x －1x ＋4x 答案 A解析 ∵a 为常数，∴sin a 为常数，∴(sin a )′＝0，故A 错误.由导数公式及运算法则知B 、C 、D 正确.2.若f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2，则f ′(x )＝________.答案 1－1x －2x 2＋2x 3解析由已知f (x )＝x －ln x ＋2x －1x 2.∴f ′(x )＝1－1x －2x 2＋2x 3.3.设f ′(x )是函数f (x )＝cos xe x ＋x 的导函数，则f ′(0)的值为________. 答案 0 解析因为f (x )＝cos xe x＋x ，所以f ′(x )＝（cos x ）′e x －（e x ）′cos x （e x ）2＋1＝－sin x －cos xe x ＋1，所以f ′(0)＝－1e 0＋1＝0.4.已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f (1)＝________. 答案－234解析因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ， ∴f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x .令x ＝2，得f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12，则f ′(2)＝－94. ∴f (1)＝1＋3×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－94＋0＝－234.感悟提升 1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. 考点二导数的几何意义角度1 求切线的方程例1 (1)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0，0)处的切线方程为________.(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为________.答案 (1)3x －y ＝0 (2)x －y －1＝0 解析 (1)y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝3e x (x 2＋3x ＋1)，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k ＝e 0×3＝3，所以所求切线方程为3x －y ＝0.(2)∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0). 又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x . ∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 角度2 求曲线的切点坐标例2 (2022·皖豫名校联考)若曲线y ＝e x ＋2x 在其上一点(x 0，y 0)处的切线的斜率为4，则x 0＝( ) A.2 B.ln 4 C.ln 2D.－ln 2答案 C解析 ∵y ′＝e x ＋2，∴e x 0＋2＝4，∴e x 0＝2，x 0＝ln 2. 角度3 导数与函数图象问题例3 已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.答案 0解析由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13. ∵g (x )＝xf (x )， ∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题意可知f (3)＝1， ∴g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.感悟提升 1.求曲线在点P (x 0，y 0)处的切线，则表明P 点是切点，只需求出函数在P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P 处的导数不存在，则切线垂直于x 轴，切线方程为x ＝x 0.2.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.训练1 (1)(2022·沈阳模拟)曲线f (x )＝2e x sin x 在点(0，f (0))处的切线方程为( ) A.y ＝0 B.y ＝2x C.y ＝xD.y ＝－2x(2)(2021·长沙检测)如图所示，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋3是曲线y＝f(x)在x＝1处的切线，令h(x)＝f（x）x，h′(x)是h(x)的导函数，则h′(1)的值是()A.2B.1C.－1D.－3答案(1)B(2)D解析(1)∵f(x)＝2e x sin x，∴f(0)＝0，f′(x)＝2e x(sin x＋cos x)，∴f′(0)＝2，∴所求切线方程为y＝2x.(2)由图象知，直线l经过点(1，2).则k＋3＝2，k＝－1，从而f′(1)＝－1，且f(1)＝2，由h(x)＝f（x）x，得h′(x)＝xf′（x）－f（x）x2，所以h′(1)＝f′(1)－f(1)＝－1－2＝－3.考点三导数几何意义的应用例4 (1)已知曲线f(x)＝x ln x在点(e，f(e))处的切线与曲线y＝x2＋a相切，则实数a 的值为________.(2)(2022·河南名校联考)若函数f(x)＝ln x＋2x2－ax的图象上存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________.答案(1)1－e(2)[2，＋∞)解析(1)因为f′(x)＝ln x＋1，所以曲线f(x)＝x ln x在x＝e处的切线斜率为k＝2，又f(e)＝e，则曲线f (x )＝x ln x 在点(e ，f (e))处的切线方程为y ＝2x －e. 由于切线与曲线y ＝x 2＋a 相切，故可联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋a ，y ＝2x －e ，得x 2－2x ＋a ＋e ＝0，所以由Δ＝4－4(a ＋e)＝0，解得a ＝1－e. (2)∵直线2x －y ＝0的斜率为k ＝2，又曲线f (x )上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，∴f ′(x )＝1x ＋4x －a ＝2在(0，＋∞)内有解，则a ＝4x ＋1x －2，x >0. 又4x ＋1x ≥24x ·1x ＝4，当且仅当x ＝12时取“＝”.∴a ≥4－2＝2.∴a 的取值范围是[2，＋∞).感悟提升 1.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组)并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上.2.利用导数的几何意义求参数范围时，注意化归与转化思想的应用.训练2 (1)(2021·洛阳检测)函数f (x )＝ln x －ax 在x ＝2处的切线与直线ax －y －1＝0平行，则实数a ＝( ) A.－1 B.14 C.12D.1(2)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则2a ＋b ＝________. 答案 (1)B (2)1解析 (1)∵f (x )＝ln x －ax ，∴f ′(x )＝1x －a .又曲线y ＝f (x )在x ＝2处切线的斜率k ＝f ′(2)，因此12－a ＝a ，∴a ＝14.(2)y ＝x 3＋ax ＋b 的导数为y ′＝3x 2＋a ，可得在点(1，1)处切线的斜率为k ＝3＋a ，又k ＋1＝3，1＋a ＋b ＝3，解得k ＝2，a ＝－1，b ＝3，即有2a ＋b ＝－2＋3＝1.公切线问题求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，其中直线与抛物线相切可用判别式法. 一、共切点的公切线问题例1 设点P 为函数f (x )＝12x 2＋2ax 与g (x )＝3a 2ln x ＋2b (a >0)的图象的公共点，以P 为切点可作直线l 与两曲线都相切，则实数b 的最大值为( ) A.23e 34 B.32e 34 C.43e 23D.34e 23答案 D解析设P (x 0，y 0)，由于P 为公共点，则12x 20＋2ax 0＝3a 2ln x 0＋2b .又点P 处的切线相同，则f ′(x 0)＝g ′(x 0)，即x 0＋2a ＝3a 2x 0，即(x 0＋3a )(x 0－a )＝0.又a >0，x 0>0，则x 0＝a ，于是2b ＝52a 2－3a 2ln a .设h (x )＝52x 2－3x 2ln x ，x >0，则h ′(x )＝2x (1－3ln x ).可知：当x ∈(0，e 13)时，h (x )单调递增；当x ∈(e 13，＋∞)时，h (x )单调递减. 故h (x )max ＝h (e 13)＝32e 23，于是b 的最大值为34e 23，选D. 二、切点不同的公切线问题例2 曲线y ＝－1x (x <0)与曲线y ＝ln x 的公切线的条数为________. 答案 1解析设(x 1，y 1)是公切线和曲线y ＝－1x 的切点，则切线斜率k 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′|x ＝x 1＝1x 21，切线方程为y ＋1x 1＝1x 21(x －x 1)，整理得y ＝1x 21·x －2x 1.设(x 2，y 2)是公切线和曲线y ＝ln x 的切点，则切线斜率k 2＝(ln x )′|x ＝x 2＝1x 2，切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，整理得y ＝1x 2·x ＋ln x 2－1.令1x 21＝1x 2，－2x 1＝ln x 2－1，消去x 2得－2x 1＝ln x 21－1.设t ＝－x 1>0，即2ln t －2t －1＝0，只需探究此方程解的个数.易知函数f (x )＝2ln x －2x －1在(0，＋∞)上单调递增，f (1)＝－3<0，f (e)＝1－2e >0，于是f (x )＝0有唯一解，于是两曲线的公切线的条数为1.1.函数f (x )＝x 2＋ln x ＋sin x ＋1的导函数f ′(x )＝( ) A.2x ＋1x ＋cos x ＋1 B.2x －1x ＋cos x C.2x ＋1x －cos xD.2x ＋1x ＋cos x答案 D解析由f (x )＝x 2＋ln x ＋sin x ＋1得f ′(x )＝2x ＋1x ＋cos x . 2.曲线y ＝x ＋1x －1在点(3，2)处的切线的斜率是( )A.2B.－2C.12D.－12答案 D解析 y ′＝（x ＋1）′（x －1）－（x ＋1）（x －1）′（x －1）2＝－2（x －1）2，故曲线在点(3，2)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝3＝－2（3－1）2＝－12. 3.(2021·安徽皖江名校联考)已知f (x )＝x 3＋2xf ′(0)，则f ′(1)＝( ) A.2 B.3C.4D.5答案 B解析 f ′(x )＝3x 2＋2f ′(0)， ∴f ′(0)＝2f ′(0)，解得f ′(0)＝0， ∴f ′(x )＝3x 2，∴f ′(1)＝3.4.(2022·豫北十校联考)已知f (x )＝x 2，则过点P (－1，0)，曲线y ＝f (x )的切线方程为( ) A.y ＝0 B.4x ＋y ＋4＝0 C.4x －y ＋4＝0 D.y ＝0或4x ＋y ＋4＝0 答案 D解析易知点P (－1，0)不在f (x )＝x 2上，设切点坐标为(x 0，x 20)，由f (x )＝x 2可得f ′(x )＝2x ，∴切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝2x 0. ∵切线过点P (－1，0)，∴k ＝x 20x 0＋1＝2x 0，解得x 0＝0或x 0＝－2，∴k ＝0或－4，故所求切线方程为y ＝0或4x ＋y ＋4＝0.5.(2022·昆明诊断)若直线y ＝ax 与曲线y ＝ln x －1相切，则a ＝( ) A.e B.1C.1eD.1e 2答案 D解析由y ＝ln x －1，得y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0－1)，则⎩⎨⎧ax 0＝ln x 0－1，a ＝1x 0，解得a ＝1e 2. 6.已知函数f (x )在R 上可导，其部分图象如图所示，设f （4）－f （2）4－2＝a ，则下列不等式正确的是( )A.a <f ′(2)<f ′(4)B.f ′(2)<a <f ′(4)C.f ′(4)<f ′(2)<aD.f ′(2)<f ′(4)<a 答案 B解析由函数f (x )的图象可知，在[0，＋∞)上，函数值的增长越来越快，故该函数图象在[0，＋∞)上的切线斜率也越来越大. 因为f （4）－f （2）4－2＝a ，所以f ′(2)<a <f ′(4).7.函数f (x )＝(2x －1)e x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为________. 答案 π4解析由f (x )＝(2x －1)e x ，得f ′(x )＝(2x ＋1)e x ，∴f ′(0)＝1，则切线的斜率k ＝1，又切线倾斜角θ∈[0，π)，因此切线的倾斜角θ＝π4.8.已知曲线f (x )＝13x 3－x 2－ax ＋1存在两条斜率为3的切线，则实数a 的取值范围是________. 答案 (－4，＋∞) 解析 f ′(x )＝x 2－2x －a ，依题意知x 2－2x －a ＝3有两个实数解，即a ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4有两个实数解， ∴y ＝a 与y ＝(x －1)2－4的图象有两个交点， ∴a >－4.9.(2021·济南检测)曲线y ＝f (x )在点P (－1，f (－1))处的切线l 如图所示，则f ′(－1)＋f (－1)＝________.答案－2解析∵直线l过点(－2，0)和(0，－2)，∴直线l的斜率f′(－1)＝0＋2－2－0＝－1，直线l的方程为y＝－x－2.则f(－1)＝1－2＝－1.故f′(－1)＋f(－1)＝－1－1＝－2.10.已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程.解(1)因为f′(x)＝3x2－8x＋5，所以f′(2)＝1，又f(2)＝－2，所以曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y －4＝0.(2)设切点坐标为(x0，x30－4x20＋5x0－4)，因为f′(x0)＝3x20－8x0＋5，所以切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)，又切线过点(x0，x30－4x20＋5x0－4)，所以x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)·(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，所以经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.11.已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标.解(1)根据题意，得f′(x)＝3x2＋1.所以曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率k＝f′(2)＝13，所以所求的切线方程为13x－y－32＝0.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x20＋1，所以直线l的方程为y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16.又直线l过点(0，0)，则(3x20＋1)(0－x0)＋x30＋x0－16＝0，整理得x30＝－8，解得x0＝－2，所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，l的斜率k′＝13，所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26).12.若函数f(x)＝a ln x(a∈R)与函数g(x)＝x在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为()A.4B.12 C.e2 D.e答案 C解析由已知得f′(x)＝ax，g′(x)＝12x，设切点横坐标为t，∴⎩⎨⎧a ln t＝t，at＝12t，解得t＝e2，a＝e2.13.曲线y＝x2－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是________. 答案 2解析设曲线在点P(x0，y0)(x0>0)处的切线与直线x－y－2＝0平行，则y′|x＝x0＝⎝⎛⎭⎪⎫2x－1x| x＝x0＝2x0－1x0＝1.∴x0＝1，y0＝1，则P(1，1)，则曲线y＝x2－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离d＝|1－1－2|12＋（－1）2＝ 2.14.(2021·宜昌质检)已知函数f(x)＝1x＋1＋x＋a－1的图象是以点(－1，－1)为对称中心的中心对称图形，g(x)＝e x＋ax2＋bx，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线y＝g(x)在点(0，g(0))处的切线互相垂直，求a＋b的值.解由y＝x＋1x的图象关于点(0，0)对称，且y＝f(x)的图象可由y＝x＋1x的图象平移得到，且函数f(x)＝1x＋1＋x＋a－1＝1x＋1＋(x＋1)＋a－2的图象是以点(－1，－1)为对称中心的中心对称图形，得a－2＝－1，即a＝1，所以f(x)＝1x＋1＋x.对f(x)求导，得f′(x)＝1－1（x＋1）2，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率k1＝f′(1)＝1－14＝3 4.对g(x)求导，得g′(x)＝e x＋2x＋b，则曲线y＝g(x)在点(0，g(0))处的切线斜率k2＝g′(0)＝b＋1.由两曲线的切线互相垂直，得(b＋1)×34＝－1，即b＝－73，所以a＋b＝1－73＝－43.。

导数专题,导数题型归纳

导数专题,导数题型归纳贾老师高考数学一轮复【题型归纳】系列辅导资料导数专题：导数题型归纳目录：第1节：导数的概念与导函数题型48：导数的概念与求极限知识点摘要：本题型主要考察导数的概念和求导函数的极限值。

需要掌握导数的定义和求导法则，以及极限的基本概念和计算方法。

典型例题精讲精练：例题1：已知函数$f(x)=x^2+3x-4$，求$f(x)$在$x=2$处的导数。

解析：根据导数的定义，导数$f'(x)$表示函数$f(x)$在$x$处的变化率。

因此，我们可以使用导数的定义来求$f(x)$在$x=2$处的导数：f'(2)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}$$将函数$f(x)=x^2+3x-4$代入上式，得到：f'(2)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(2+\Delta x)^2+3(2+\Delta x)-4-(2^2+3\times 2-4)}{\Delta x}$$化简得：f'(2)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(4\Delta x+\Deltax^2)+3\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}(4+\Deltax+3)=\boxed{7}$$因此，$f(x)$在$x=2$处的导数为$7$。

例题2：已知函数$f(x)=\sqrt{x^2+1}$，求$f'(x)$。

解析：根据导数的定义，导数$f'(x)$表示函数$f(x)$在$x$处的变化率。

因此，我们可以使用导数的定义来求$f(x)$的导数：f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$将函数$f(x)=\sqrt{x^2+1}$代入上式，得到：f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sqrt{(x+\Delta x)^2+1}-\sqrt{x^2+1}}{\Delta x}$$分子有两个根号，难以计算，因此我们需要进行有理化。

2023年高考数学(文科)一轮复习——利用导数研究函数的零点问题

则f(x)＝ex＋(a－e)x－ax2>ex＋(a－e)x－ax2＝a(x－x2)>0，
此时函数f(x)在区间(0，1)内没有零点. 综上，实数a的取值范围为(－∞，0).
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索引
2.设函数 f(x)＝12x2－mln x，g(x)＝x2－(m＋1)x，m>0. (1)求函数 f(x)的单调区间；解函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
索引
题型二根据零点个数确定参数范围
例2 (2020·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝x3－kx＋k2. (1)讨论f(x)的单调性；解 (1)f′(x)＝3x2－k. 当k＝0时，f(x)＝x3，故f(x)在(－∞，＋∞)单调递增. 当k<0时，f′(x)＝3x2－k>0，故f(x)在(－∞，＋∞)单调递增.
点是x0.因为x0不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点x0叫做隐零点；若x0容易求出，就叫做显零点，而后解答就可继续进行，实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法.
索引
例设函数f(x)＝ex－ax－2. (1)求f(x)的单调区间；解 (1)f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－a. 当a≤0时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)单调增区间为(－∞，＋∞)，无单调减区间. 当a>0时，令f′(x)<0，得x<ln a，令f′(x)>0，得x>ln a，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，单调递增区间为(ln a，＋∞).
当x∈(0，1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0，1)上单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减，
∴x＝1是φ(x)唯一的极值点，且是极大值点，因此x＝1也是φ(x)的最大值点，

高考数学题型归纳之导数题型解题方法

高考数学题型归纳之导数题型解题方法高考数学题型归纳之导数题型解题方法导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。

在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面：1.导数的常规问题：(1)刻画函数(比初等方法精确细微);(2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线);(3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便)等关于次多项式的导数问题属于较难类型。

2.关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。

3.导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。

知识整合1.导数概念的理解。

2.利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值。

这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。

要求学生抽空抄录并且阅读成诵。

其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。

如此下去,除假期外,一年便可以积累40多则材料。

如果学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。

课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。

要练说，先练胆。

说话胆小是幼儿语言发展的障碍。

不少幼儿当众说话时显得胆怯：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子。

总之，说话时外部表现不自然。

我抓住练胆这个关键，面向全体，偏向差生。

一是和幼儿建立和谐的语言交流关系。

每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，消除幼儿畏惧心理，让他能主动的、无拘无束地和我交谈。

二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。

或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学模式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的机会，培养幼儿爱说话敢说话的兴趣，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地帮助和鼓励他把话说完、说好，增强其说话的勇气和把话说好的信心。

高考文科数学知识点

高考文科数学知识点【导语】在高考复习进程中，文科的学生要怎样做好数学知识点的复习准备呢？下面是作者收集整理的高考文科数学知识点以供大家学习。

高考文科数学知识点：导数一、综述导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。

在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面：1.导数的常规问题：(1)刻画函数(比初等方法精确细微);(2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线);(3)运用问题(初等方法常常技能性要求较高，而导数方法显得简便)等关于次多项式的导数问题属于较难类型。

2.关于函数特点，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。

3.导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引发注意。

二、知识整合1.导数概念的知道。

2.利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的值与最小值。

复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。

课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。

3.要能正确求导，必须做到以下两点：(1)熟练掌控各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。

(2)对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。

高考文科数学知识点：不等式不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的运用。

因此不等式运用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的增进作用。

在解决问题时，要根据题设与结论的结构特点、内在联系、挑选适当的解决方案，终究归结为不等式的求解或证明。

不等式的运用范畴十分广泛，它始终贯串在全部中学数学当中。

诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的肯定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，终究都可归结为不等式的求解或证明。

高考文科数学导数真题汇编(带答案)

高考文科数学导数真题汇编(带答案)高考数学文科导数真题汇编答案一、客观题组4.设函数f(x)在R上可导，其导函数f'(x)，且函数f(x)在x=-2处取得极小值，则函数y=xf'(x)的图象可能是。

5.设函数f(x)=x^2-2x，则f(x)的单调递减区间为。

7.设函数f(x)在R上可导，其导函数f'(x)，且函数f(x)在x=2处取得极大值，则函数y=xf'(x)的图象可能是。

8.设函数f(x)=1/(2x-lnx)，则x=2为f(x)的极小值点。

9.函数y=1/(2x-lnx)的单调递减区间为(0,1]。

11.已知函数f(x)=x^2+bx+c的图象经过点(1,2)，且在点(2,3)处的切线斜率为4，则b=3.12.已知函数f(x)=ax^2+bx+c的图象过点(1,1)，且在点(2,3)处的切线斜率为5，则a=2.二、大题组2011新课标】21.已知函数f(x)=aln(x/b)+2，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.(1) 求a、b的值；(2) 证明：当x>1，且x≠b时，f(x)>2ln(x/b)。

解析】1) f'(x)=a/(xlnb)+2/x，由于直线x+2y-3=0的斜率为-1/2，且过点(1,f(1))，解得a=1，b=1.2) 由(1)知f(x)=ln(x)+1，所以f(x)-2ln(x/b)=ln(x/b)+1>0，当x>1，且x≠b时，f(x)>2ln(x/b)成立。

2012新课标】21.设函数f(x)=ex-ax-2.(1) 求f(x)的单调区间；(2) 若a=1，k为整数，且当x>0时，(x-k)f'(x)+x+1>0，求k的最大值。

解析】1) f(x)的定义域为(-∞,+∞)，f'(x)=ex-a，若a≤0，则f'(x)>0，所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增。

人教版高考数学(文科)题型复习：导数

导数及其应用导数复习概念及其应用一、定义及意义1. 定义及概念: 0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的意义，①物理意义：瞬时速率，变化率 ②几何意义：切线斜率000()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-③代数意义：函数增减速率二、导数的计算1.基本初等函数的导数公式 ① （c 为常数），即常数的导数等于0。

②③；④； ⑤；2.导数的运算法则①[()()]()()f x g x f x g x '''±=±②[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•③2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''•-•'= 3.复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=•三、导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性一般的，在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>（等于），那么函数()y f x =在这个区间单调递增；如果()0f x '<（等于），那么函数()y f x =在这个区间单调递减；如果恒有，则在这一区间上为常函数。

(单调增或单调减区间内，可以存在'()=0f x )2.函数的极值与导数极值：设函数在点附近（区间）有定义，如果对附近的所有点，都有，则说是函数的一个极大值，记作；如果对附近的所有点，都有，则说是函数的一个极小值，记作。

设函数可导，且在点处连续，判定是极大（小）值的方法是：（Ⅰ）如果在点附近的左侧，右侧，则为极大值；（Ⅱ）如果在点附近的左侧，右侧，则为极小值；注意：导数为0的不一定是极值点，如；函数y=f(x)在一点的导数值为0是函数y=f(x)在这点取极值的既不充分又不必要条件；3．函数的最大值与最小值（最大值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最小值。

高考文科数学导数专题复习

高考文科数学导数专题复习第1讲变化率与导数、导数的计算知识梳理1.导数的概念1函数y ＝fx 在x ＝x 0处的导数f ′x 0或y ′|x ＝x 0,即f ′x 0＝0lim x ∆→错误!. 2函数fx 的导函数f ′x ＝0lim x ∆→错误!为fx 的导函数. 2.导数的几何意义函数y ＝fx 在点x 0处的导数的几何意义,就是曲线y ＝fx 在点Px 0,fx 0处的切线的斜率,过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′x 0x －x 0.3.基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f ′x ,g ′x 存在,则有：考点一导数的计算例1 求下列函数的导数：1y ＝e x ln x ；2y ＝x 错误!；解 1y ′＝e x ′ln x ＋e x ln x ′＝e x ln x ＋e x 错误!＝错误!e x .2因为y ＝x 3＋1＋错误!, 所以y ′＝x 3′＋1′＋错误!′＝3x 2－错误!.训练1 1 已知函数fx 的导函数为f ′x ,且满足fx ＝2x ·f ′1＋ln x ,则f ′1等于A.－eB.－1解析由fx＝2xf′1＋ln x,得f′x＝2f′1＋错误!,∴f′1＝2f′1＋1,则f′1＝－1.答案B22015·天津卷已知函数fx＝ax ln x,x∈0,＋∞,其中a为实数,f′x为fx的导函数.若f′1＝3,则a的值为________.2f′x＝a错误!＝a1＋ln x.由于f′1＝a1＋ln 1＝a,又f′1＝3,所以a＝3.答案23考点二导数的几何意义命题角度一求切线方程例22016·全国Ⅲ卷已知fx为偶函数,当x≤0时,fx＝e－x－1－x,则曲线y＝fx在点1,2处的切线方程是________.解析1设x>0,则－x<0,f－x＝e x－1＋x.又fx为偶函数,fx＝f－x＝e x－1＋x,所以当x>0时,fx＝e x－1＋x.因此,当x>0时,f′x＝e x－1＋1,f′1＝e0＋1＝2.则曲线y＝fx在点1,2处的切线的斜率为f′1＝2,所以切线方程为y－2＝2x－1,即2x－y＝0.答案2x－y＝0训练22017·威海质检已知函数fx＝x ln x,若直线l过点0,－1,并且与曲线y＝fx相切,则直线l的方程为＋y－1＝0 －y－1＝0 ＋y＋1＝0 －y＋1＝02∵点0,－1不在曲线fx＝x ln x上,∴设切点为x0,y0.又∵f′x＝1＋ln x,∴错误!解得x＝1,y0＝0.∴切点为1,0,∴f′1＝1＋ln 1＝1.∴直线l的方程为y＝x－1,即x－y－1＝00.答案B命题角度二求切点坐标例32017·西安调研设曲线y＝e x在点0,1处的切线与曲线y＝错误!x>0上点P处的切线垂直,则P的坐标为________.解析由y′＝e x,知曲线y＝e x在点0,1处的切线斜率k1＝e0＝1.设Pm,n,又y＝错误!x>0的导数y′＝－错误!,曲线y＝错误!x>0在点P处的切线斜率k2＝－错误!.依题意k1k2＝－1,所以m＝1,从而n＝1.则点P的坐标为1,1.答案1,1训练3若曲线y＝x ln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0,则点P的坐标是________.解析1由题意得y′＝ln x＋x·错误!＝1＋ln x,直线2x－y＋1＝0的斜率为2.设Pm,n,则1＋ln m＝2,解得m＝e,所以n＝eln e＝e,即点P的坐标为e,e. 答案1e,e命题角度三求与切线有关的参数值或范围例42015·全国Ⅱ卷已知曲线y＝x＋ln x在点1,1处的切线与曲线y＝ax2＋a＋2x＋1相切,则a＝________.解析由y＝x＋ln x,得y′＝1＋错误!,得曲线在点1,1处的切线的斜率为k＝y′|x＝1＝2,所以切线方程为y－1＝2x－1,即y＝2x－1.又该切线与y＝ax2＋a＋2x＋1相切,消去y,得ax2＋ax＋2＝0,∴a≠0且Δ＝a2－8a＝0,解得a＝8.答案8训练41.函数fx＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线,则实数a的取值范围是________.函数fx＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线,即f′x＝2在0,＋∞上有解,而f′x＝错误!＋a,即错误!＋a在0,＋∞上有解,a＝2－错误!,因为a＞0,所以2－错误!＜2,所以a的取值范围是－∞,2.答案 2－∞,22.点P是曲线x2－y－ln x＝0上的任意一点,则点P到直线y＝x－2的最小距离为解析点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点,当过点P的切线和直线y＝x－2平行时,点P 到直线y＝x－2的距离最小,直线y＝x－2的斜率为1,令y＝x2－ln x,得y′＝2x－错误!＝1,解得x＝1或x＝－错误!舍去,故曲线y＝x2－ln x上和直线y＝x－2平行的切线经过的切点坐标为1,1,点1,1到直线y＝x－2的距离等于错误!,∴点P到直线y＝x－2的最小距离为错误!.答案D第2讲导数在研究函数中的应用知识梳理函数的单调性与导数的关系函数y＝fx在某个区间内可导,则：1若f′x>0,则fx在这个区间内单调递增；2若f′x<0,则fx在这个区间内单调递减；3若f′x＝0,则fx在这个区间内是常数函数.考点一利用导数研究函数的单调性例1设fx＝e x ax2＋x＋1a＞0,试讨论fx的单调性.解f′x＝e x ax2＋x＋1＋e x2ax＋1＝e x ax2＋2a＋1x＋2＝e x ax＋1x＋2＝a e x错误!x＋2①当a＝错误!时,f′x＝错误!e x x＋22≥0恒成立,∴函数fx在R上单调递增；②当0＜a＜错误!时,有错误!＞2,令f′x＝a e x错误!x＋2＞0,有x＞－2或x＜－错误!,令f′x＝a e x错误!x＋2＜0,有－错误!＜x＜－2,∴函数fx在错误!和－2,＋∞上单调递增,在错误!上单调递减；③当a＞错误!时,有错误!＜2,令f′x＝a e x错误!x＋2＞0时,有x＞－错误!或x＜－2,令f′x＝a e x错误!x＋2＜0时,有－2＜x＜－错误!,∴函数fx在－∞,－2和错误!上单调递增；在错误!上单调递减.训练12016·四川卷节选设函数fx＝ax2－a－ln x,gx＝错误!－错误!,其中a∈R,e＝…为自然对数的底数.1讨论fx的单调性；2证明：当x>1时,gx>0.1解由题意得f′x＝2ax－错误!＝错误!x>0.当a≤0时,f′x<0,fx在0,＋∞内单调递减.当a>0时,由f′x＝0有x＝错误!,当x∈错误!时,f′x<0,fx单调递减；当x∈错误!时,f′x>0,fx单调递增.2证明令sx＝e x－1－x,则s′x＝e x－1－1.当x>1时,s′x>0,所以e x－1>x,从而gx＝错误!－错误!>0.考点二求函数的单调区间例22015·重庆卷改编已知函数fx＝ax3＋x2a∈R在x＝－错误!处取得极值.1确定a的值；2若gx＝fx e x,求函数gx的单调减区间.解1对fx求导得f′x＝3ax2＋2x,因为fx在x＝－错误!处取得极值,所以f′错误!＝0,即3a·错误!＋2·错误!＝错误!－错误!＝0,解得a＝错误!.2由1得gx＝错误!e x故g′x＝错误!e x＋错误!e x＝错误!e x＝错误!xx＋1x＋4e x.令g′x<0,得xx＋1x＋4<0.解之得－1<x<0或x<－4.所以gx的单调减区间为－1,0,－∞,－4.训练2 已知函数fx＝错误!＋错误!－ln x－错误!,其中a∈R,且曲线y＝fx在点1,f1处的切线垂直于直线y＝错误!x.1求a的值；2求函数fx的单调区间.解1对fx求导得f′x＝错误!－错误!－错误!,由fx在点1,f1处的切线垂直于直线y ＝错误!x知f′1＝－错误!－a＝－2,解得a＝错误!.2由1知fx＝错误!＋错误!－ln x －错误!,x>0.则f′x＝错误!.令f′x＝0,解得x＝－1或x＝5.但－10,＋∞,舍去.当x∈0,5时,f′x<0；当x∈5,＋∞时,f′x>0.∴fx的增区间为5,＋∞,减区间为0,5.考点三已知函数的单调性求参数例32017·西安模拟已知函数fx＝ln x,gx＝错误!ax2＋2xa≠0.1若函数hx＝fx－gx存在单调递减区间,求a的取值范围；2若函数hx＝fx－gx在1,4上单调递减,求a的取值范围.解1hx＝ln x－错误!ax2－2x,x>0.∴h′x＝错误!－ax－2.若函数hx在0,＋∞上存在单调减区间,则当x>0时,错误!－ax－2<0有解,即a>错误!－错误!有解.设Gx＝错误!－错误!,所以只要a>Gx min.又Gx＝错误!错误!－1,所以Gx min＝－1.所以a>－1.即实数a的取值范围是－1,＋∞.2由hx在1,4上单调递减,∴当x∈1,4时,h′x＝错误!－ax－2≤0恒成立,则a≥错误!－错误!恒成立,所以a≥Gx max.又Gx＝错误!错误!－1,x∈1,4因为x∈1,4,所以错误!∈错误!,所以Gx max＝－错误!此时x＝4,所以a≥－错误!.当a＝－错误!时,h′x＝错误!＋错误!x－2＝错误!＝错误!,∵x∈1,4,∴h′x＝错误!≤0,当且仅当x＝4时等号成立.∴hx在1,4上为减函数.故实数a的取值范围是错误!.训练3已知函数fx＝x3－ax－1.1若fx在R上为增函数,求实数a的取值范围；2若函数fx的单调减区间为－1,1,求a的值.解1因为fx在R上是增函数,所以f′x＝3x2－a≥0在R上恒成立,即a≤3x2对x∈R恒成立.因为3x2≥0,所以只需a≤0.又因为a＝0时,f′x＝3x2≥0,当且仅当x＝0时取等号.∴fx＝x3－1在R上是增函数.所以实数a的取值范围是－∞,0.2f′x＝3x2－a.当a≤0时,f′x≥0,fx在－∞,＋∞上为增函数,所以a≤0不合题意.当a>0时,令3x2－a<0,得－错误!<x<错误!,∴fx的单调递减区间为错误!,依题意,错误!＝1,即a＝3.第3讲导数与函数的极值、最值知识梳理1.函数的极值与导数的关系1函数的极小值与极小值点:若函数fx在点x＝a处的函数值fa比它在点x＝a附近其他点的函数值都小,f′a＝0,而且在点x＝a附近的左侧f′x<0,右侧f′x>0,则点a叫做函数的极小值点,fa叫做函数的极小值.2函数的极大值与极大值点:若函数fx在点x＝b处的函数值fb比它在点x＝b附近其他点的函数值都大,f′b＝0,而且在点x＝b附近的左侧f′x>0,右侧f′x<0,则点b叫做函数的极大值点,fb叫做函数的极大值.2.函数的最值与导数的关系1函数fx在a,b上有最值的条件:如果在区间a,b上函数y＝fx的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.2求y＝fx在a,b上的最大小值的步骤考点一用导数研究函数的极值命题角度一根据函数图象判断极值例1设函数fx在R上可导,其导函数为f′x,且函数y＝1－xf′x的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是A.函数fx有极大值f2和极小值f1B.函数fx有极大值f－2和极小值f1C.函数fx有极大值f2和极小值f－2D.函数fx有极大值f－2和极小值f2解析由题图可知,当x<－2时,1－x>3,此时f′x>0；当－2<x<1时,0<1－x<3,此时f′x<0；当1<x<2时,－1<1－x<0,此时f′x<0；当x>2时,1－x<－1,此时f′x>0,由此可以得到函数fx在x＝－2处取得极大值,在x＝2处取得极小值.答案D命题角度二求函数的极值例2求函数fx＝x－a ln xa∈R的极值.解由f′x＝1－错误!＝错误!,x>0知：1当a≤0时,f′x>0,函数fx为0,＋∞上的增函数,函数fx无极值；2当a>0时,令f′x＝0,解得x＝a.又当x∈0,a时,f′x<0；当x∈a,＋∞,f′x>0,从而函数fx在x＝a处取得极小值,且极小值为fa＝a－a ln a,无极大值.综上,当a≤0时,函数fx无极值；当a>0时,函数fx在x＝a处取得极小值a－a ln a,无极大值.命题角度三已知极值求参数例3已知关于x的函数fx＝－错误!x3＋bx2＋cx＋bc在x＝1处有极值－错误!,试求b,c 的值.解∵f′x＝－x2＋2bx＋c,由fx在x＝1处有极值－错误!,可得错误!解得错误!或错误!若b＝1,c＝－1,则f′x＝－x2＋2x－1＝－x－12≤0,fx没有极值.若b＝－1,c＝3,则f′x ＝－x2－2x＋3＝－x＋3x－1.当x变化时,fx与f′x的变化情况如下表：∴当x＝1时,fx有极大值－错误!,满足题意.故b＝－1,c＝3为所求.训练1设函数fx＝ax3－2x2＋x＋ca>0.1当a＝1,且函数图象过0,1时,求函数的极小值；2若fx在R上无极值点,求a的取值范围.解由题意得f′x＝3ax2－4x＋1.1函数图象过0,1时,有f0＝c＝1.当a＝1时,f′x＝3x2－4x＋1.令f′x>0,解得x<错误!或x>1；令f′x<0,解得错误!<x<1.所以函数在错误!和1,＋∞上单调递增；在错误!上单调递减.故函数fx的极小值是f1＝13－2×12＋1＋1＝1. 2若fx在R上无极值点,则fx在R上是单调函数,故f′x≥0或f′x≤0恒成立.当a＝0时,f′x＝－4x＋1,显然不满足条件；当a≠0时,f′x≥0或f′1≤0恒成立的充要条件是Δ＝－42－4×3a×1≤0,即16－12a≤0,解得a≥错误!.综上,a的取值范围是错误!.考点二利用导数求函数的最值例4 2017·郑州模拟已知函数fx＝x－k e x.1求fx的单调区间；2求fx在区间0,1上的最小值.解1由fx＝x－k e x,得f′x＝x－k＋1e x,令f′x＝0,得x＝k－1.当x变化时,fx与f′x的变化情况如下表：所以,fx的单调递减区间是－∞,k－1；单调递增区间是k－1,＋∞.2当k－1≤0,即k≤1时,函数fx在0,1上单调递增,所以fx在区间0,1上的最小值为f0＝－k,当0<k－1<1,即1<k<2时,由1知fx在0,k－1上单调递减,在k－1,1上单调递增,所以fx在区间0,1上的最小值为fk－1＝－e k－1.当k－1≥1,即k≥2时,函数fx在0,1上单调递减,所以fx在区间0,1上的最小值为f1＝1－k e.综上可知,当k≤1时,fx min＝－k；当1<k<2时,fx min＝－e k－1；当k≥2时,fx min＝1－k e.训练2设函数fx＝a ln x－bx2x>0,若函数fx在x＝1处与直线y＝－错误!相切,1求实数a,b的值；2求函数fx在错误!上的最大值.解1由fx＝a ln x－bx2,得f′x＝错误!－2bxx>0.∵函数fx在x＝1处与直线y＝－错误!相切.∴错误!解得错误!2由1知fx＝ln x－错误!x2,则f′x＝错误!－x＝错误!,当错误!≤x≤e时,令f′x>0,得错误!<x<1,令f′x<0,得1<x<e,∴fx在错误!上单调递增,在1,e上单调递减,∴fx max＝f1＝－错误!.考点三函数极值与最值的综合问题例5已知函数fx＝错误!a>0的导函数y＝f′x的两个零点为－3和0.1求fx的单调区间；2若fx的极小值为－e3,求fx在区间－5,＋∞上的最大值.解1f′x＝错误!＝错误!.令gx＝－ax2＋2a－bx＋b－c,由于e x>0.令f′x＝0,则gx＝－ax2＋2a－bx＋b－c＝0,∴－3和0是y＝gx的零点,且f′x与gx的符号相同.又因为a>0,所以－3<x<0时,gx>0,即f′x>0,当x<－3或x>0时,gx<0,即f′x<0,所以fx的单调递增区间是－3,0,单调递减区间是－∞,－3,0,＋∞.2由1知,x＝－3是fx的极小值点,所以有错误!解得a＝1,b＝5,c＝5,所以fx＝错误!.因为fx的单调递增区间是－3,0,单调递减区间是－∞,－3,0,＋∞.所以f0＝5为函数fx的极大值,故fx在区间－5,＋∞上的最大值取f－5和f0中的最大者,又f－5＝错误!＝5e5>5＝f0,所数fx在区间－5,＋∞上的最大值是5e5.训练3 2017·衡水中学月考已知函数fx＝ax－1－ln xa∈R.1讨论函数fx在定义域内的极值点的个数；2若函数fx在x＝1处取得极值,x∈0,＋∞,fx≥bx－2恒成立,求实数b的最大值.解1fx的定义域为0,＋∞,f′x＝a－错误!＝错误!.当a≤0时,f′x≤0在0,＋∞上恒成立,函数fx在0,＋∞上单调递减.∴fx在0,＋∞上没有极值点.当a>0时,由f′x<0,得0<x<错误!；由f′x>0,得x>错误!,∴fx在错误!上递减,在错误!上递增,即fx在x＝错误!处有极小值.综上,当a≤0时,fx在0,＋∞上没有极值点；当a>0时,fx在0,＋∞上有一个极值点.2∵函数fx在x＝1处取得极值,∴f′1＝a－1＝0,则a＝1,从而fx＝x－1－ln x.因此fx≥bx－21＋错误!－错误!≥b,令gx＝1＋错误!－错误!,则g′x＝错误!,令g′x＝0,得x＝e2,则gx在0,e2上递减,在e2,＋∞上递增,∴gx min＝g e2＝1－错误!,即b≤1－错误!.故实数b的最大值是1－错误!.第4讲导数与函数的综合应用考点一利用导数研究函数的性质例12015·全国Ⅱ卷已知函数fx＝ln x＋a1－x.1讨论fx的单调性；2当fx有最大值,且最大值大于2a－2时,求a的取值范围.解1fx的定义域为0,＋∞,f′x＝错误!－a.若a≤0,则f′x>0,所以fx在0,＋∞上单调递增.若a>0,则当x∈错误!时,f′x>0；当x∈错误!时,f′x<0.所以fx在错误!上单调递增,在错误!上单调递减.2由1知,当a≤0,fx在0,＋∞上无最大值；当a>0时,fx在x＝错误!取得最大值,最大值为f 错误!＝ln错误!＋a错误!＝－ln a＋a－1.因此f 错误!>2a－2等价于ln a＋a－1<0.令ga＝ln a＋a－1,则ga在0,＋∞上单调递增,g1＝0.于是,当0<a<1时,ga<0；当a>1时,ga>0.因此,a的取值范围是0,1.训练1设fx＝－错误!x3＋错误!x2＋2ax.1若fx在错误!上存在单调递增区间,求a的取值范围；2当0＜a＜2时,fx在1,4上的最小值为－错误!,求fx在该区间上的最大值.解1由f′x＝－x2＋x＋2a＝－错误!错误!＋错误!＋2a,当x∈错误!时,f′x的最大值为f′错误!＝错误!＋2a；令错误!＋2a＞0,得a＞－错误!.所以,当a＞－错误!时,fx在错误!上存在单调递增区间.2已知0＜a＜2,fx在1,4上取到最小值－错误!,而f′x＝－x2＋x＋2a的图象开口向下,且对称轴x＝错误!,∴f′1＝－1＋1＋2a＝2a＞0,f′4＝－16＋4＋2a＝2a－12＜0,则必有一点x0∈1,4,使得f′x0＝0,此时函数fx在1,x0上单调递增,在x0,4上单调递减,f1＝－错误!＋错误!＋2a＝错误!＋2a＞0,∴f4＝－错误!×64＋错误!×16＋8a＝－错误!＋8a＝－错误!a＝1.此时,由f′x0＝－x错误!＋x0＋2＝0x0＝2或－1舍去,所以函数fx max＝f2＝错误!.考点二利用导数研究函数的零点或方程的根例2 2015·北京卷设函数fx＝错误!－k ln x,k>0.1求fx的单调区间和极值；2证明：若fx存在零点,则fx在区间1,错误!上仅有一个零点. 1解由fx＝错误!－k ln xk>0,得x>0且f′x＝x－错误!＝错误!.由f′x＝0,解得x＝错误!负值舍去.fx与f′x在区间0,＋∞上的情况如下：所以fx的单调递减区间是0,错误!,单调递增区间是错误!,＋∞.fx在x＝错误!处取得极小值f错误!＝错误!.2证明由1知,fx在区间0,＋∞上的最小值为f错误!＝错误!.因为fx存在零点,所以错误!≤0,从而k≥e.当k＝e时,fx在区间1,错误!上单调递减,且f错误!＝0,所以x＝错误!是fx 在区间1,错误!上的唯一零点.当k>e时,fx在区间0,错误!上单调递减,且f1＝错误!>0,f错误!＝错误!<0,所以fx在区间1,错误!上仅有一个零点.综上可知,若fx存在零点,则fx在区间1,错误!上仅有一个零点.训练22016·北京卷节选设函数fx＝x3＋ax2＋bx＋c.1求曲线y＝fx在点0,f0处的切线方程；2设a＝b＝4,若函数fx有三个不同零点,求c的取值范围.解1由fx＝x3＋ax2＋bx＋c,得f′x＝3x2＋2ax＋b.因为f0＝c,f′0＝b,所以曲线y＝fx 在点0,f0处的切线方程为y＝bx＋c.2当a＝b＝4时,fx＝x3＋4x2＋4x＋c,所以f′x＝3x2＋8x＋4.令f′x＝0,得3x2＋8x＋4＝0,解得x＝－2或x＝－错误!.当x变化时,fx与f′x的变化情况如下：所以,当c>0且c－错误!<0,存在x1∈－4,－2,x2∈错误!,x3∈错误!,使得fx1＝fx2＝fx3＝0.由fx的单调性知,当且仅当c∈错误!时,函数fx＝x3＋4x2＋4x＋c有三个不同零点.考点三导数在不等式中的应用命题角度一不等式恒成立问题例32017·合肥模拟已知fx＝x ln x,gx＝x3＋ax2－x＋2.1如果函数gx的单调递减区间为错误!,求函数gx的解析式；2对任意x∈0,＋∞,2fx≤g′x＋2恒成立,求实数a的取值范围.解1g′x＝3x2＋2ax－1,由题意3x2＋2ax－1<0的解集是错误!,即3x2＋2ax－1＝0的两根分别是－错误!,1.将x＝1或－错误!代入方程3x2＋2ax－1＝0,得a＝－1.所以gx＝x3－x2－x ＋2.2由题意2x ln x≤3x2＋2ax－1＋2在x∈0,＋∞上恒成立,可得a≥ln x－错误!x－错误!,设hx＝ln x－错误!x－错误!,则h′x＝错误!－错误!＋错误!＝－错误!,令h′x＝0,得x＝1或－错误!舍,当0<x<1时,h′x>0,当x>1时,h′x<0,所以当x＝1时,hx取得最大值,hx max＝－2,所以a≥－2,所以a的取值范围是－2,＋∞.训练3已知函数fx＝x2－ln x－ax,a∈R.1当a＝1时,求fx的最小值；2若fx>x,求a的取值范围.解1当a＝1时,fx＝x2－ln x－x,f′x＝错误!.当x∈0,1时,f′x<0；当x∈1,＋∞时,f′x>0.所以fx的最小值为f1＝0.2由fx>x,得fx－x＝x2－ln x－a＋1x>0.由于x>0,所以fx>x等价于x－错误!>a＋1.令gx ＝x－错误!,则g′x＝错误!.当x∈0,1时,g′x<0；当x∈1,＋∞时,g′x>0.故gx有最小值g1＝1.故a＋1<1,a<0,即a的取值范围是－∞,0.命题角度二证明不等式例42017·昆明一中月考已知函数fx＝ln x－错误!.1求函数fx的单调递增区间；2证明：当x>1时,fx<x－1.1解f′x＝错误!－x＋1＝错误!,x∈0,＋∞.由f′x>0得错误!解得0<x<错误!.故fx的单调递增区间是错误!.2证明令Fx＝fx－x－1,x∈0,＋∞.则有F′x＝错误!.当x∈1,＋∞时,F′x<0,所以Fx在1,＋∞上单调递减,故当x>1时,Fx<F1＝0,即当x>1时,fx<x－1.故当x>1时,fx<x－1.训练4 2017·泰安模拟已知函数fx＝ln x.1求函数Fx＝错误!＋错误!的最大值；2证明：错误!＋错误!<x－fx；1解Fx＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!,F′x＝错误!,当F′x>0时,0<x<e；当F′x<0时,x>e,故Fx在0,e上是增函数,在e,＋∞上是减函数,故Fx max＝F e＝错误!＋错误!.2证明令hx＝x－fx＝x－ln x,则h′x＝1－错误!＝错误!,当h′x<0时,0<x<1；当h′x>0时,x>1,故hx在0,1上是减函数,在1＋∞上是增函数,故hx min＝h1＝1.又Fx max＝错误!＋错误!<1,故Fx<hx,即错误!＋错误!<x－fx.。

导数(文科)解答题20题-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(解析版)

1导数（文科）解答题20题1．（2021年北京市高考数学试题）已知函数()232xf x x a-=+．（1）若0a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若()f x 在1x =-处取得极值，求()f x 的单调区间，以及其最大值与最小值．【答案】（1）450x y +-=；（2）函数()f x 的增区间为(),1-∞-、()4,+∞，单调递减区间为()1,4-，最大值为1，最小值为14-.【分析】（1）求出()1f 、()1f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）由()10f '-=可求得实数a 的值，然后利用导数分析函数()f x 的单调性与极值，由此可得出结果. 【详解】（1）当0a =时，()232xf x x -=，则()()323x f x x-'=，()11f ∴=，()14f '=-，此时，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()141y x -=--，即450x y +-=；（2）因为()232x f x x a -=+，则()()()()()()222222223223x a x x x x a f x x a x a -+----'==++，由题意可得()()()224101a f a -'-==+，解得4a =，故()2324x f x x -=+，()()()()222144x x f x x +-'=+，列表如下：x (),1-∞-1-()1,4-4()4,+∞()f x ' +-+()f x增极大值减极小值增所以，函数()f x 的增区间为(),1-∞-、()4,+∞，单调递减区间为()1,4-. 当32x <时，()0f x >；当32x >时，()0f x <.所以，()()max 11f x f =-=，()()min 144f x f ==-.2．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知函数()(1)ln 1f x x x x =---.试卷第2页，共27页证明：（1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. 【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）先对函数()f x 求导，根据导函数的单调性，得到存在唯一0x ，使得0()0f x '=，进而可得判断函数()f x 的单调性，即可确定其极值点个数，证明出结论成立；（2）先由（1）的结果，得到0()(1)20f x f <=-<，22()30f e e =->，得到()0f x =在0(,)x +∞内存在唯一实根，记作x α=，再求出1()0f α=，即可结合题意，说明结论成立. 【详解】（1）由题意可得，()f x 的定义域为(0,)+∞，由()(1)ln 1f x x x x =---，得11()ln 1ln x f x x x x x-'=+-=-，显然1()ln f x x x'=-单调递增；又(1)10f '=-<，1ln 41(2)ln 2022f -'=-=>，故存在唯一0x ，使得0()0f x '=；又当0x x >时，0()0f x '>，函数()f x 单调递增；当00x x <<时，0()0f x '<，函数()f x 单调递减；因此，()f x 存在唯一的极值点；（2）由（1）知，0()(1)2f x f <=-，又22()30f e e =->，所以()0f x =在0(,)x +∞内存在唯一实根，记作x α=. 由01x α<<得011x α<<，又1111()()(1)ln 10f f αααααα=---==，故1α是方程()0f x =在0(0,)x 内的唯一实根；综上，()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数. 【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、极值、以及函数零点的问题，属于常考题型.33．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知函数32()1f x x x ax =-++．（1）讨论()f x 的单调性；（2）求曲线()y f x =过坐标原点的切线与曲线()y f x =的公共点的坐标．【答案】(1)答案见解析；(2) 和()11a ---，. 【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性； (2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共点坐标. 【详解】(1)由函数的解析式可得：()232f x x x a '=-+，导函数的判别式412a ∆=-，当14120,3a a ∆=-≤≥时，()()0,f x f x '≥在R 上单调递增，当时，的解为：12113113,33a ax x --+-==，当113,3a x ⎛⎫--∈-∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，单调递增；当113113,33a a x ⎛⎫--+-∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，单调递减；当113,3a x ⎛⎫+-∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，单调递增；综上可得：当时，在R 上单调递增，当时，在113a ⎛---∞ ⎝⎭，113a⎫+-+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增，在113113a a ⎡⎢⎣-+-⎦-上单调递减. (2)由题意可得：()3200001f x x x ax =-++，()200032f x x x a '=-+，则切线方程为：()()()322000000132y x x ax x x a x x --++=-+-，切线过坐标原点，则：()()()32200000001320x x ax x x a x --++=-+-,试卷第4页，共27页整理可得：3200210x x --=，即：()()20001210x x x -++=，解得：，则，()0'()11f x f a '==+切线方程为：()1y a x =+, 与联立得321(1)x x ax a x -++=+，化简得3210x x x --+=,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，()1x ∴-是321x x x --+的一个因式，∴该方程可以分解因式为()()2110,x x --=解得121,1x x ==-,()11f a -=--，综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和()11a ---，. 【点睛】本题考查利用导数研究含有参数的函数的单调性问题，和过曲线外一点所做曲线的切线问题，注意单调性研究中对导函数，要依据其零点的不同情况进行分类讨论；再求切线与函数曲线的公共点坐标时，要注意除了已经求出的切点，还可能有另外的公共点(交点),要通过联立方程求解，其中得到三次方程求解时要注意其中有一个实数根是求出的切点的横坐标，这样就容易通过分解因式求另一个根.三次方程时高考压轴题中的常见问题，不必恐惧，一般都能容易找到其中一个根，然后在通过分解因式的方法求其余的根.4．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；（2）若f （x ）≥1，求a 的取值范围．【答案】（1）21e -（2）[1,)+∞ 【分析】（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，根据点斜式得切线方程，求出与坐标轴交点坐标，最后根据三角形面积公式得结果；（2）解法一：利用导数研究，得到函数()f x 得导函数()’f x 的单调递增，当a=1时由5()’10f =得()()11min f x f ==,符合题意；当a>1时，可证1()(1)0f f a''<，从而()'f x 存在零点00x >，使得01001()0x f x ae x -'=-=，得到min ()f x ，利用零点的条件，结合指数对数的运算化简后，利用基本不等式可以证得()1x ≥恒成立；当01a <<时，研究()f 1.即可得到不符合题意.综合可得a 的取值范围.解法二：利用指数对数的运算可将()111lna x lnx f x elna x e lnx +-≥++-≥+转化为, 令()xg x e x =+,上述不等式等价于()()1g lna x g lnx +-≥,注意到()g x 的单调性，进一步等价转化为1lna lnx x ≥-+，令()1h x lnx x =-+,利用导数求得()max h x ，进而根据不等式恒成立的意义得到关于a 的对数不等式，解得a 的取值范围. 【详解】（1）()ln 1x f x e x =-+，1()x f x e x'∴=-，(1)1k f e '∴==-. (1)1f e =+，∴切点坐标为(1,1+e ),∴函数f(x)在点(1,f (1)处的切线方程为1(1)(1)y e e x --=--,即()12y e x =-+,∴切线与坐标轴交点坐标分别为2(0,2),(,0)1e --, ∴所求三角形面积为1222||=211e e -⨯⨯--;（2）解法一：1()ln ln x f x ae x a -=-+, 11()x f x ae x-'∴=-，且0a >. 设()()g x f x =',则121()0,x g x ae x -'=+> ∴g(x )在(0,)+∞上单调递增，即()f x '在(0,)+∞上单调递增，当1a =时，()01f '=,∴()()11min f x f ==,∴()1f x ≥成立.当1a >时，11a < ，111a e -<∴，111()(1)(1)(1)0a f f a e a a-''∴=--<,∴存在唯一00x >，使得01001()0x f x ae x -'=-=，且当0(0,)x x ∈时()0f x '<，当0(,)x x ∈+∞时()0f x '>，011x ae x -∴=，00ln 1ln a x x ∴+-=-，因此01min 00()()ln ln x f x f x ae x a -==-+000011ln 1ln 2ln 122ln 1a x a a x a x x =++-+≥-+⋅=+>1, ∴()1,f x >∴()1f x ≥恒成立；试卷第6页，共27页当01a <<时， (1)ln 1,f a a a =+<<∴(1)1,()1f f x <≥不是恒成立. 综上所述，实数a 的取值范围是[1,+∞).解法二：()111x lna x f x ae lnx lna elnx lna -+-=-+=-+≥等价于 11lna x lnx e lna x lnx x e lnx +-++-≥+=+,令()xg x e x =+,上述不等式等价于()()1g lna x g lnx +-≥,显然()g x 为单调增函数，∴又等价于1lna x lnx +-≥，即1lna lnx x ≥-+，令()1h x lnx x =-+,则()111x h x x x-=-=' 在()0,1上h’(x)>0,h(x)单调递增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)单调递减， ∴()()10max h x h ==,01lna a ≥≥，即，∴a 的取值范围是[1,+∞).【点睛】本题考查导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，分类讨论思想和等价转化思想，属较难试题.5．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知函数f （x ）=2sin x －x cos x －x ，f′（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）(],0a ∈-∞. 【分析】（1）求导得到导函数后，设为()g x 进行再次求导，可判断出当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，从而得到()g x 单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位置，证得结论；（2）构造函数()()h x f x ax =-，通过二次求导可判断出()()min 2h x h a π''==--，()max 222h x h a ππ-⎛⎫''==- ⎪⎝⎭；分别在2a ≤-，20a -<≤，202a π-<<和22a π-≥的情况下根据导函数的符号判断()h x 单调性，从而确定()0h x ≥恒成立时a 的取值范围.【详解】7（1）()2cos cos sin 1cos sin 1f x x x x x x x x '=-+-=+-令()cos sin 1g x x x x =+-，则()sin sin cos cos g x x x x x x x '=-++= 当()0,x π∈时，令()0g x '=，解得：2x π=∴当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '< ()g x ∴在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减又()0110g =-=，1022g ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，()112g π=--=-即当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x >，此时()g x 无零点，即()f x '无零点()02g g ππ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭ 0,2x ππ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x = 又()g x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 0x x ∴=为()g x ，即()f x '在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的唯一零点综上所述：()f x '在区间()0,π存在唯一零点（2）若[]0,x π∈时，()f x ax ≥，即()0f x ax -≥恒成立令()()()2sin cos 1h x f x ax x x x a x =-=--+ 则()cos sin 1h x x x x a '=+--，()()cos h x x x g x '''==由（1）可知，()h x '在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减且()0h a '=-，222h a ππ-⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，()2h a π'=-- ()()min 2h x h a π''∴==--，()max 222h x h a ππ-⎛⎫''==- ⎪⎝⎭①当2a ≤-时，()()min 20h x h a π''==--≥，即()0h x '≥在[]0,π上恒成立()h x ∴在[]0,π上单调递增()()00h x h ∴≥=，即()0f x ax -≥，此时()f x ax ≥恒成立 ②当20a -<≤时，()00h '≥，02h π⎛⎫'> ⎪⎝⎭，()0h π'<1,2x ππ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10h x '=()h x ∴在[)10,x 上单调递增，在(]1,x π上单调递减又()00h =，()()2sin cos 10h a a ππππππ=--+=-≥()0h x ∴≥在[]0,π上恒成立，即()f x ax ≥恒成立试卷第8页，共27页③当202a π-<<时，()00h '<，2022h a ππ-⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭20,2x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()20h x '=()h x ∴在[)20,x 上单调递减，在2,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增()20,x x ∴∈时，()()00h x h <=，可知()f x ax ≥不恒成立④当22a π-≥时，()max 2022h x h a ππ-⎛⎫''==-≤ ⎪⎝⎭()h x ∴在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 00h x h可知()f x ax ≥不恒成立综上所述：(],0a ∈-∞ 【点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.6．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭；（2）1a e >.【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）根据()10f >及（1）的单调性性可得()min 0f x >，从而可求a 的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为()0,∞+，又()23(1)()ax ax f x x+-'=，因为0,0a x >>，故230ax +>，当10x a<<时，()0f x '<；当1x a >时，()0f x '>；所以()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭.9（2）因为()2110f a a =++>且()y f x =的图与x 轴没有公共点，所以()y f x =的图象在x 轴的上方，由（1）中函数的单调性可得()min 1133ln 33ln f x f a a a ⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭，故33ln 0a +>即1a e>.【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.7．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知函数32()f x x kx k =-+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有三个零点，求k 的取值范围．【答案】（1）详见解析；(2)4(0,)27. 【分析】（1）'2()3f x x k =-，对k 分0k ≤和0k >两种情况讨论即可；（2）()f x 有三个零点，由（1）知0k >，且()03(03kf kf ⎧->⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解不等式组得到k 的范围，再利用零点存在性定理加以说明即可. 【详解】（1）由题，'2()3f x x k =-，当0k ≤时，'()0f x ≥恒成立，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当0k >时，令'()0f x =，得3k x =±'()0f x <，得33kkx < 令'()0f x >，得3kx <-3kx >()f x 在(,)33k k -上单调递减，在 (,3k-∞-，(,)3k +∞上单调递增.（2）由（1）知，()f x 有三个零点，则0k >，且(03()03kf kf ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩试卷第10页，共27页即22203203k k ⎧+>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，解得4027k <<，当4027k <<>20f k =>，所以()f x在上有唯一一个零点，同理1k --<32(1)(1)0f k k k --=--+<，所以()f x在(1,k --上有唯一一个零点，又()f x在(上有唯一一个零点，所以()f x 有三个零点，综上可知k 的取值范围为4(0,)27. 【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及已知零点个数求参数的范围问题，考查学生逻辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题.8．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知函数f （x ）=2ln x +1．（1）若f （x ）≤2x +c ，求c 的取值范围；（2）设a >0时，讨论函数g （x ）=()()f x f a x a--的单调性．【答案】（1）1c ≥-；（2）()g x 在区间(0,)a 和(,)a +∞上单调递减，没有递增区间【分析】（1）不等式()2f x x c ≤+转化为()20f x x c --≤，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进行求解即可；（2）对函数()g x 求导，把导函数()'g x 的分子构成一个新函数 ()m x ，再求导得到()m x '，根据()m x '的正负，判断 ()m x 的单调性，进而确定()'g x 的正负性，最后求出函数()g x 的单调性. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为：(0,)+∞()2()202ln 120()f x x c f x x c x x c ≤+⇒--≤⇒+--≤*，设()2ln 12(0)h x x x c x =+-->，则有 22(1)()2x h x x x-'=-=，当1x >时，()0,()h x h x '<单调递减，当01x <<时，()0,()h x h x '>单调递增，所以当1x =时，函数()h x 有最大值，即max ()(1)2ln11211h x h c c ==+-⨯-=--，要想不等式()*在(0,)+∞上恒成立，只需max ()0101h x c c ≤⇒--≤⇒≥-；（2）()()()2ln 12ln 12ln ln (0x a x a g x x x a x a+-+-==>--且 )x a ≠因此22(ln ln )()()x a x x x a g x x x a --+'=-，设 ()2(ln ln )m x x a x x x a =--+，则有()2(ln ln )m x a x '=-，当x a >时，ln ln x a >，所以()0m x '<， ()m x 单调递减，因此有()()0m x m a <=，即 ()0g x '<，所以()g x 单调递减；当0x a <<时，ln ln x a <，所以()0m x '>， ()m x 单调递增，因此有()()0m x m a <=，即 ()0g x '<，所以()g x 单调递减，所以函数()g x 在区间(0,)a 和 (,)a +∞上单调递减，没有递增区间. 【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，以及利用导数判断含参函数的单调性，考查了数学运算能力，是中档题.9．（2020年北京市高考数学试卷）已知函数2()12f x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．【答案】（Ⅰ）2130x y +-=，（Ⅱ）32. 【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值. 【详解】（Ⅰ）因为()212f x x =-，所以()2f x x '=-，设切点为()00,12x x -，则022x -=-，即01x =，所以切点为()1,11，由点斜式可得切线方程为：()1121y x -=--，即2130x y +-=. （Ⅱ）显然0t ≠，因为()y f x =在点()2,12t t -处的切线方程为：()()2122y t t x t --=--，令0x =，得212y t =+，令0y =，得2122t x t+=，所以()S t =()221121222||t t t +⨯+⋅，不妨设0t >(0t <时，结果一样)，则()423241441144(24)44t t S t t t t t++==++，所以()S t '=4222211443(848)(324)44t t t t t +-+-=222223(4)(12)3(2)(2)(12)44t t t t t t t -+-++==，由()0S t '>，得2t >，由()0S t '<，得02t <<，所以()S t 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增，所以2t =时，()S t 取得极小值，也是最小值为()16162328S ⨯==. 【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.10．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知函数()(2)x f x e a x =-+. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞；（2）1(,)e+∞.【分析】（1）将1a =代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；（2）若()f x 有两个零点，即(2)0x e a x -+=有两个解，将其转化为2xe a x =+有两个解，令()(2)2xe h x x x =≠-+，求导研究函数图象的走向，从而求得结果. 【详解】（1）当1a =时，()(2)x f x e x =-+，'()1x f x e =-，令'()0f x <，解得0x <，令'()0f x >，解得0x >，所以()f x 的减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞；（2）若()f x 有两个零点，即(2)0x e a x -+=有两个解，从方程可知，2x =-不成立，即2xe a x =+有两个解，令()(2)2x e h x x x =≠-+，则有'22(2)(1)()(2)(2)x x x e x e e x h x x x +-+==++，令'()0h x >，解得1x >-，令'()0h x <，解得2x <-或21x -<<-，所以函数()h x 在(,2)-∞-和(2,1)--上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增，且当2x <-时，()0h x <，而2x +→-时，()h x →+∞，当x →+∞时，()h x →+∞，所以当2xe a x =+有两个解时，有1(1)a h e >-=，所以满足条件的a 的取值范围是：1(,)e+∞. 【点睛】本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线x y e =和直线(2)y a x =+有两个交点，利用过点(2,0)-的曲线x y e =的切线斜率，结合图形求得结果.11．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知函数32()22f x x ax =-+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0<<3a 时，记()f x 在区间[]0,1的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围.【答案】(1)见详解；(2) 8[,2)27. 【分析】(1)先求()f x 的导数，再根据a 的范围分情况讨论函数单调性；(2) 讨论a 的范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终求得M m -的取值范围. 【详解】(1)对32()22f x x ax =-+求导得2'()626()3af x x ax x x =-=-.所以有当0a <时，(,)3a -∞区间上单调递增，(,0)3a区间上单调递减，(0,)+∞区间上单调递增；当0a =时，(,)-∞+∞区间上单调递增；当0a >时，(,0)-∞区间上单调递增，(0,)3a 区间上单调递减，(,)3a+∞区间上单调递增.(2)若02a <≤，()f x 在区间(0,)3a 单调递减，在区间(,1)3a单调递增，所以区间[0,1]上最小值为()3af .而(0)2,(1)22(0)f f a f ==-+≥，故所以区间[0,1]上最大值为(1)f .所以332(1)()(4)[2()()2]233327a a a a M m f f a a a -=-=---+=-+，设函数3()227x g x x =-+，求导2'()19x g x =-当02x <≤时)'(0g x <从而()g x 单调递减.而02a <≤，所以38222727a a ≤-+<.即M m -的取值范围是8[,2)27.若23a <<，()f x 在区间(0,)3a 单调递减，在区间(,1)3a单调递增，所以区间[0,1]上最小值为()3af 而(0)2,(1)22(0)f f a f ==-+≤，故所以区间[0,1]上最大值为(0)f .所以332(0)()2[2()()2]33327a a a a M m f f a -=-=--+=，而23a <<，所以3812727a <<.即M m -的取值范围是8(,1)27.综上得M m -的取值范围是8[,2)27. 【点睛】(1)这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少.考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算.思考量不大，由计算量补充. 12．（2018年全国卷Ⅲ文数高考试题文档版）已知函数()21xax x f x e +-=．（1）求曲线()y f x =在点()0,1-处的切线方程；（2）证明：当1a ≥时，()0f x e +≥．【答案】（1）切线方程是210x y --=（2）证明见解析【分析】（1）求导，由导数的几何意义求出切线方程．（2）当a 1≥时，()12f x e 1x x e x x e +-+≥++-（）,令12gx 1x e x x +=++-，只需证明gx 0≥即可．【详解】（1）()()2212xax a x f x e-++'-=，()02f '=．因此曲线()y f x =在点()0,1-处的切线方程是210x y --=．（2）当1a ≥时，()()211x xf x e x x e e +-+≥+-+．令()211x g x x x e +=+-+，则()121x g x x e +=++'，()120x g x e +''=+>当1x <-时，()()10g x g '-'<=，()g x 单调递减；当1x >-时，()()10g x g '-'>=，()g x 单调递增；所以()g x ()1=0g ≥-．因此()0f x e +≥．【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，由导数的几何意义可求出切线方程，第二问构造12g(x)1x e x x +=++-很关键，本题有难度．13．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II ））已知函数()()32113f x x a x x =-++．（1）若3a =，求()f x 的单调区间；（2）证明：()f x 只有一个零点．【答案】（1）f （x ）在（–∞，323-，（33++∞）单调递增，在（323-33+单调递减．（2）见解析. 【详解】分析：（1）将3a =代入，求导得2()63f x x x '=--，令()0f x '>求得增区间，令()0f x '<求得减区间；（2）令321()(1)03f x x a x x =-++=，即32301x a x x -=++，则将问题转化为函数32()31x g x a x x =-++只有一个零点问题，研究函数()g x 单调性可得. 详解：（1）当a =3时，f （x ）=3213333x x x ---，f ′（x ）=263x x --．令f ′（x ）=0解得x =33-x =323+当x ∈（–∞，33-∪（323++∞）时，f ′（x ）>0；当x ∈（323-33+ f ′（x ）<0．故f （x ）在（–∞，33-，（323++∞）单调递增，在（323-33+递减．（2）由于210x x ++>，所以()0f x =等价于32301x a x x -=++．设()g x =3231xa x x -++，则g ′（x ）=()()2222231x x x x x ++++≥0，仅当x =0时g ′（x ）=0，所以g（x ）在（–∞，+∞）单调递增．故g （x ）至多有一个零点，从而f （x ）至多有一个零点．又f （3a –1）=221116260366a a a ⎛⎫-+-=---< ⎪⎝⎭，f （3a +1）=103>，故f （x ）有一个零点．综上，f （x ）只有一个零点．点睛：（1）用导数求函数单调区间的步骤如下：①确定函数()f x 的定义域；②求导数()'f x ；③由()0f x '>（或()0f x '<）解出相应的x 的取值范围，当()0f x '>时，()f x 在相应区间上是增函数；当()0f x '<时，()f x 在相应区间上是减增函数.（2）本题第二问重在考查零点存在性问题，解题的关键在于将问题转化为求证函数()g x 有唯一零点，可先证明其单调，再结合零点存在性定理进行论证.14．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））（2018年新课标I 卷文）已知函数()e 1xf x a lnx =--．（1）设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间；（2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥．【答案】(1) a =212e ；f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．(2)证明见解析. 【详解】分析：(1)先确定函数的定义域，对函数求导，利用f ′（2）=0，求得a =212e ，从而确定出函数的解析式，之后观察导函数的解析式，结合极值点的位置，从而得到函数的增区间和减区间；(2)结合指数函数的值域，可以确定当a ≥1e 时，f （x ）≥e ln 1exx --，之后构造新函数g（x ）=e ln 1exx --，利用导数研究函数的单调性，从而求得g （x ）≥g （1）=0，利用不等式的传递性，证得结果.详解：（1）f （x ）的定义域为()0+∞，，f ′（x ）=a e x –1x．由题设知，f ′（2）=0，所以a =212e ．从而f （x ）=21e ln 12e x x --，f ′（x ）=211e 2e x x-．当0<x <2时，f ′（x ）<0；当x >2时，f ′（x ）>0．所以f （x ）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）当a ≥1e 时，f （x ）≥e ln 1exx --．设g （x ）=e ln 1e x x --，则()e 1'e x g x x=-．当0<x <1时，g′（x ）<0；当x >1时，g′（x ）>0．所以x =1是g （x ）的最小值点．故当x >0时，g （x ）≥g （1）=0．因此，当1a e≥时，()0f x ≥．点睛：该题考查的是有关导数的应用问题，涉及到的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要保证函数的生存权，先确定函数的定义域，之后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间，第二问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果.15．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷））设函数2()[(31)32]x f x ax a x a e =-+++.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线斜率为0，求a ；（Ⅱ）若()f x 在1x =处取得极小值，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）12 （Ⅱ）(1,)+∞ 【详解】分析：（1）求导()'f x ，构建等量关系(2)0k f ='=，解方程可得参数a 的值；（2）对a 分1a >及1a ≤两种情况进行分类讨论，通过研究()'f x 的变化情况可得()f x 取得极值的可能，进而可求参数a 的取值范围. 详解：解：（Ⅰ）因为()()23132e x f x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦，所以()()211e xf x ax a x ⎡⎤=-++⎣⎦'.()()2221e f a -'=，由题设知()20f '=，即()221e 0a -=，解得12a =. （Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得()()()()211e 11e x xf x ax a x ax x ⎡⎤=-++=--⎣⎦'. 若a >1，则当1,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>.所以()f x 在x =1处取得极小值.若1a ≤，则当()0,1x ∈时，110ax x -≤-<，所以()0f x '>.所以1不是()f x 的极小值点. 综上可知，a 的取值范围是()1,+∞.方法二：()()()11e xf x ax x =--'.（1）当a =0时，令()0f x '=得x =1.()(),f x f x '随x 的变化情况如下表：∴()f x 在x =1处取得极大值，不合题意. （2）当a >0时，令()0f x '=得121,1x x a==. ①当12x x =，即a =1时，()()21e 0x f x x '=-≥， ∴()f x 在R 上单调递增， ∴()f x 无极值，不合题意.②当12x x >，即0<a <1时，()(),f x f x '随x 的变化情况如下表：∴()f x 在x =1处取得极大值，不合题意.③当12x x <，即a >1时，()(),f x f x '随x 的变化情况如下表：x1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 1a 1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1()1,+∞()f x ' + 0 − 0+()f x↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗∴()f x 在x =1处取得极小值，即a >1满足题意. （3）当a <0时，令()0f x '=得121,1x x a==. ()(),f x f x '随x 的变化情况如下表：x1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 1a 1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1()1,+∞()f x ' − 0 + 0−()f x↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘∴()f x 在x =1处取得极大值，不合题意. 综上所述，a 的取值范围为()1,+∞.点睛：导数类问题是高考数学中的必考题，也是压轴题，主要考查的形式有以下四个：①考查导数的几何意义，涉及求曲线切线方程的问题；②利用导数证明函数单调性或求单调区间问题；③利用导数求函数的极值最值问题；④关于不等式的恒成立问题.解题时需要注意的有以下两个方面：①在求切线方程问题时，注意区别在某一点和过某一点解题步骤的不同；②在研究单调性及极值最值问题时常常会涉及到分类讨论的思想，要做到不重不漏；③不等式的恒成立问题属于高考中的难点，要注意问题转换的等价性.16．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷精编版））已知函数2()ln (21)f x x ax a x =+++. （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a <时，证明3()24f x a≤--. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）先求函数导数(21)(1)'()(0)ax x f x x x++=>，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当0a ≥时，'()0f x >，则()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a <时，()f x 在1(0,)2a-单调递增，在1(,)2a-+∞单调递减. （2）证明3()24f x a≤--，即证max 3()24f x a ≤--，而max 1()()2f x f a =-，所以需证11ln()1022a a-++≤，设g （x ）=ln x -x +1 ，利用导数易得max ()(1)0g x g ==，即得证. 【详解】（1）()f x 的定义域为（0，+∞），()()‘1211)22(1x ax f x ax a x x++=+++=. 若a ≥0，则当x ∈（0，+∞）时，’)(0f x ＞，故f （x ）在（0，+∞）单调递增. 若a ＜0，则当10,2x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '＞时；当x ∈1()2a ∞-+，时，’)(0f x <. 故f （x ）在’)(0f x ＞单调递增，在1()2a∞-+，单调递减. （2）由（1）知，当a ＜0时，f （x ）在12x a=-取得最大值，最大值为111()ln()1224f a a a-=---. 所以3()24f x a ≤--等价于113ln()12244a a a ---≤--，即11ln()1022a a-++≤. 设g （x ）=ln x -x +1，则’1(1)g x x=-. 当x ∈（0,1）时，()0g x '>；当x ∈（1，+∞）时，()0g x '<.所以g （x ）在（0,1）单调递增，在（1，+∞）单调递减.故当x =1时，g （x ）取得最大值，最大值为g （1）=0.所以当x ＞0时，g （x ）≤0.从而当a ＜0时，11ln()1022a a-++≤，即3()24f x a ≤--.【点睛】利用导数证明不等式的常见类型及解题策略：（1）构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式. （2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.17．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷精编版））设函数2()(1)x f x x e =-.（I ）讨论函数()f x 的单调性；（II ）当0x ≥时，()1f x ax ≤+，求实数a 的取值范围.【答案】（I ）函数()f x 在(,1)-∞和1,+)∞上单调递减，在(1)上21单调递增. （II ）[1,)+∞. 【详解】试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号确定单调区间；（2）对a 分类讨论，当a ≥1时，()()()11e 11x f x x x x ax =-+≤+≤+，满足条件；当0a ≤时，取()()()200000511111x f x x x ax -=>-+=>+，当0＜a ＜1时，取0541a x --=()()()20000111f x x x ax >-+>+. 试题解析：解（1）f ’(x )=(1-2x -x 2)e x令f’(x )=0得x 2，x 2当x ∈（-∞，2时，f’(x )<0；当x ∈（22时，f’(x )>0；当x ∈（2+∞）时，f’(x )<0所以f (x )在（-∞，2），（2+∞）单调递减，在（2，2 (2) f (x )=(1+x )（1-x ）e x当a ≥1时，设函数h (x )=（1-x ）e x ，h ’(x )= -xe x ＜0（x ＞0），因此h (x )在[0，+∞)单调递减，而h (0)=1，故h (x )≤1，所以f (x )=（x +1）h (x )≤x +1≤ax +1当0＜a ＜1时，设函数g （x ）=e x -x -1，g ’（x ）=e x -1＞0（x ＞0），所以g （x ）在在[0，+∞)单调递增，而g (0)=0，故e x ≥x +1当0＜x ＜1，()()()211f x x x >-+，()()()221111x x ax x a x x -+--=---，取0541a x --=则()()()()20000000,1,110,1x x x ax f x ax ∈-+-=>+ 当 ()()0000051011211a x f x x x ax -≤=>-+=>+时，取（）综上，a 的取值范围[1，+∞）点睛:利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.18．（2020年天津市高考数学试卷）已知函数3()ln ()f x x k x k R =+∈，()'f x 为()f x 的导函数．（Ⅰ）当6k =时，试卷第22页，共27页（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值；（Ⅱ）当3k -时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．【答案】（Ⅰ）（i ）98y x =-；（ii ）()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值；（Ⅱ）证明见解析. 【分析】(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可； (ii)首先求得()g x '的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；（Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令12x t x =，将原问题转化为与t 有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论. 【详解】(Ⅰ) (i) 当k =6时，()36ln f x x x =+，()26'3f x x x=+.可得()11f =，()'19f =，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()191y x -=-，即98y x =-. (ii) 依题意，()()32336ln ,0,g x x x x x x=-++∈+∞.从而可得()2263'36g x x x x x =-+-，整理可得：323(1)(1)()x x g x x '-+=，令()'0g x =，解得1x =.当x 变化时，()()',g x g x 的变化情况如下表：所以，函数g (x )的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)；23g (x )的极小值为g (1)=1，无极大值.（Ⅱ）证明：由3()ln f x x k x =+，得2()3k f x x x'=+.对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+-- ⎪⎝⎭. ①令1()2ln ,[1,)h x x x x x=--∈+∞.当x >1时，22121()110h x x x x '⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，由此可得()h x 在[)1,+∞单调递增，所以当t >1时，()()1h t h >，即12ln 0t t t-->.因为21x ≥，323331(1)0t t t t -+-=->，3k ≥-，所以()()332322113312ln 33132ln x t t t k t t tt t t t t t ⎛⎫⎛⎫-+-+------- ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭32336ln 1t t t t=-++-. ②由(Ⅰ)(ii)可知，当1t >时，()()1g t g >，即32336ln 1t t t t-++>，故32336ln 10t t t t-++-> ③由①②③可得()()()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+-->.所以，当3k ≥-时，任意的[)12,1,x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．试卷第24页，共27页(4)考查数形结合思想的应用．19．（2019年天津市高考数学试卷（文科））设函数()ln (1)x f x x a x e =--，其中a R ∈. （Ⅰ）若0a ≤，讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若10a e<<，（i ）证明()f x 恰有两个零点（ii ）设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点，且10x x >，证明0132x x ->. 【答案】（I ）()f x 在(0,)+∞内单调递增.；（II ）（i ）见解析；（ii ）见解析. 【分析】（I ）；首先写出函数的定义域，对函数求导，判断导数在对应区间上的符号，从而得到结果；（II ）（i ）对函数求导，确定函数的单调性，求得极值的符号，从而确定出函数的零点个数，得到结果；（ii ）首先根据题意，列出方程组，借助于中介函数，证得结果. 【详解】（I ）解：由已知，()f x 的定义域为(0,)+∞，且211'()[(1)]x x xax e f x ae a x e x x-=-+-=，因此当0a ≤时，210x ax e ->，从而'()0f x >，所以()f x 在(0,)+∞内单调递增.（II ）证明：（i ）由（I ）知，21'()xax e f x x-=，令2()1x g x ax e =-，由10a e<<，可知()g x 在(0,)+∞内单调递减，又(1)10g ae =->，且221111(ln )1(ln )1(ln )0g a a a a a=-=-<，故()0g x =在(0,)+∞内有唯一解，从而'()0f x =在(0,)+∞内有唯一解，不妨设为0x ，则011lnx a <<，当0(0,)x x ∈时，0()()'()0g x g x f x x x=>=，所以()f x 在0(0,)x 内单调递增；当0(,)x x ∈+∞时，0()()'()0g x g x f x x x=<=，所以()f x 在0(,)x +∞内单调递减，25因此0x 是()f x 的唯一极值点.令()ln 1h x x x =-+，则当1x >时，1()10h'x x=-<，故()h x 在(1,)+∞内单调递减，从而当1x >时，()(1)0h x h <=，所以ln 1x x <-，从而1ln 111111(ln )ln ln (ln 1)ln ln ln 1(ln )0a f a e h a a aa a a a=--=-+=<，又因为0()(1)0f x f >=，所以()f x 在0(,)x +∞内有唯一零点，又()f x 在0(0,)x 内有唯一零点1，从而，()f x 在(0,)+∞内恰有两个零点.（ii ）由题意，01'()0()0f x f x =⎧⎨=⎩，即0120111ln (1)x x ax e x a x e ⎧=⎨=-⎩，从而1011201ln x x x x e x --=，即102011ln 1x x x x e x -=-，因为当1x >时，ln 1x x <-，又101x x >>，故10220101(1)1x x x x ex x --<=-，两边取对数，得120ln ln x x e x -<，于是10002ln 2(1)x x x x -<<-，整理得0132x x ->，【点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想、化归与转化思想，考查综合分析问题和解决问题的能力. 20．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知函数()()1ln f x x x =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<. 【答案】（1）()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，判断其符号可得函数的单调区间；（2）设1211,x x a b==，原不等式等价于122x x e <+<，前者可构建新函数，利用极值点偏移可证，后者可设21x tx =，从而把12x x e +<转化为()()1ln 1ln 0t t t t -+-<在()1,+∞上的恒成立问题，利用导数可证明该结论成立. 【详解】（1）函数的定义域为()0,∞+，。