2020年深圳市普通高中高三年级线上统一测试数学试题

绝密★启用前 试卷类型：（A ）

深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试

数 学（文科） 2020．3

本试卷共23小题，满分150分．考试用时120分钟．

一、选择题：本题共 12 小题，每小题5分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合{1 2 3 4 5}A =，，，，

，{0 2 4 6}B =，，，，则集合A B 的子集共有

3．已知向量(1, )OA k =-，(1, 2)OB =，(2, 0)OC k =+，且实数0k >,若A 、B 、C 三点共线，则k = 4．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……，这就是着名的斐波那契数列，它的递推公式是)Ν,3(21*--∈≥+=n n a a a n n n ，其中11=a ，

12=a .若从该数列的前100项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为

5．设2

3

.0=a ，3.0)2(=b ，2log 3.0=c ，则下列正确的是

6．如图所示的茎叶图记录了甲，乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分）．若

A ．2个

B ．4个

C ．6个

D ．8个

A ．2

B

C ．1

D

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

A ．

3

1 B ．

100

33 C ．

2

1 D ．

100

67 A ．c b a >> B ．b c a >>

C ．b a c >>

D ．c a b >>

这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值为

7．若双曲线22

221x y a b

-=（0a >，0b >）的焦距为25，且渐近线经过点(1,2)-，则此双

曲线的方程为

8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个长方体切割而成的三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为

9．已知函数π()sin()(0)3

f x A x b A =++>的最大值、最小值分别为3和1-，关于函数()f x 有如下四个结论： ① 2A =，1b = ；

②函数()f x 的图象C 关于直线5π

6

x =-对称； ③函数()f x 的图象C 关于点2π

(,0)3

对称； ④函数()f x 在区间π5π

(,

)66

内是减函数． 其中，正确的结论个数是

A ． 2和6

B ．4和6

C ．2和7

D ．4和7

A ． 2

214x y -=

B ．2

214

y x -=

C ．22

1416x y -=

D ．22

1164

x y -=

A ．12

B ．16

C ．24

D ．32

10

．函数()cos )f x x x =⋅的图象大致为

11．已知直三棱柱111ABC A B C -，90ABC ∠=︒，12AB BC AA ===，1BB 和11B C 的中点分别为E 、F ，则AE 与CF 夹角的余弦值为 12．函数()f x 是定义在(0,)+∞上的可导函数，()f x '为其导函数，若()()(1)x

xf x f x x e '+=-，

且(2)0f =，则()0f x >的解集为 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共 20 分． 13．若π

1

sin()43

α+=

，则sin2α=________. 14．在ABC ∆中，角A ，B ，

C 的对边分别为a ，b ，c ，若()(sin sin )a b A B +-=()sin a c C -， 2b =，则ABC ∆的外接圆面积为________.

15

的球内，则该圆柱的最大体积为________.

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

A

．

5

B ．

25

C ．

45

D

．

5

A ．(0, 1)

B ．(0, 2)

C ．(1, 2)

D ．(1, 4)

A .

16. 设椭圆C :)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，其焦距为c 2，O 为坐标

原点，点P 满足a OP 2=,点A 是椭圆C 上的动点，且2113F F AF PA ≤+恒成立，则椭圆C 离心率的取值范围是________.

三 、 解答题： 共70分．解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 第17 ～2 1 题为必考题， 每个试题考生都必须作答． 第22 、 23 题为选考题，考生根据要求作答． (一 ) 必考题：共 60 分． 17．（本小题满分12分）

已知数列{}n a ，14a =，1(1)4(1)n n n a na n ++-=+()n *

∈N .

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1

1

n n n b a a +=

⋅，求数列{}n b 前n 项和为n T .

18．（本小题满分12分）

某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量y （单位：万件）与月销售单价x （单位：元/件）之间的关系，对近6个月的月销售量i y 和月销售单价

i x (1,2,3,,6)i =数据进行了统计分析，得到一组检测数据如表所示：

（1）若用线性回归模型拟合y 与x 之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工求得回

归直线方程分别为：ˆ4105y

x =-+，ˆ453y x =+和1043ˆ+-=x y ，其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的．请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是正确的，并说明理由；

（2）若用c bx ax y ++=2模型拟合y 与x 之间的关系，可得回归方程为

25.90875.0375.0ˆ2++-=x x y

，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型的相关指数2R 分别为9702.0和9524.0，请用2R 说明哪个回归模型的拟合效果更好；

（3）已知该商品的月销售额为z （单位：万元），利用（2）中的结果回答问题：当月销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大（精确到01.0）

参考数据：91.806547≈.