相似三角形的判定教案

《相似三角形的判定》教案
课标要求
1．掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；
2．了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、三边成比例的两个三角形相似；
3．了解相似三角形判定定理的证明．
教学目标
知识与技能：
1．了解相似三角形及相似比的概念；
2．掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论；
3．掌握相似三角形判定方法：平行线法、三边法、两边夹一角法、两角法；
4．进一步熟悉运用相似三角形的判定方法解决相关问题．
过程与方法：
类比全等三角形的判定方法探究相似三角形的判定，体会特殊与一般的关系，从而掌握相似三角形的判定方法．
情感、态度与价值观：
发展学生的探究能力，渗透类比思想，体会特殊与一般的关系．
教学重点
掌握相似三角形的概念，能运用相似三角形的判定方法判定两个三角形相似．
教学难点
探究三角形相似的条件，并运用相似三角形的判定定理解决问题．
教学流程
一、知识迁移
类比相似多边形的相关知识回答下面的问题：
1．对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．
2．相似三角形的对应角相等，对应边成比例．
师介绍：“相似”用符号“∽”来表示，读作“相似于”，2题可以用符号表示为
∵△ABC∽△DEF，
∴A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F；AB AC BC DE DF EF
==．
如何判断两个三角形相似呢？反过来
∵A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F；AB AC BC DE DF
k
EF
===
∴△ABC∽△DEF．
师介绍：△ABC与△DEF的相似比为k，△DEF与△ABC的相似比为1
k
．
追问：当k＝1，这两个三角形有怎样的关系？
引出课题：如何判断两个三角形相似呢？有没有更简单的方法？回顾学习三角形全等时，我们知道，除了可以验证所有的角和边分别相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS，SAS，ASA，AAS）．类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？
二、探究归纳
（一）平行线分线段成比例
探究1：如图，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2都相交的平行线l3，l4，l5．分别度量l3，l4，l5在l1上截得的两条线段AB ，BC和在l2上截得的两条线段DE，EF的长度，
AB BC 与
DE
EF
相等吗？任意平移l5．
AB
BC
与
DE
EF
还相等吗？
当l3//l4//l5时，
有AB DE
BC EF
=，
BC EF
AB DE
=，
AB DE
AC DF
=，
BC EF
AC DF
=等．
基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．迁移：将基本事实应用到三角形中，
当DE//BC时，有
AD AE BD CE =，BD CE AD AE =，AD AE AB AC =，BD CE
AB AC
=
等． 结论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
应用：如图AB //CD //EF ，AF 与BE 相交于点G ，AG ＝2，GD ＝1，DF ＝5，求BC
CE
的值．
（二）相似三角形的判定
思考：如图1，在△ABC 中，DE ∥BC ，且DE 分别交AB ，AC 于点 D ，E ， △ADE 与△ABC 有什么关系？
图1 图2
分析：用定义证明△ADE ∽△ABC , 需要具备的条件：角：∠A =∠A ，∠ADE =∠B ，∠AED =∠C ；边：
AD AE DE
AB AC BC
==
． 如何证明
AE DE
AC BC
=
呢？ 判定三角形相似的定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
变式：如图2，DE ∥BC ，且 DE 分别交 BA ，CA 的延长线于点 D ，E ，△ABC 与△ADE 相似吗？
符号语言： ∵DE //BC ∴△ABC ∽△ADE
应用：如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，且 AD ＝3，DB ＝2．写出图中的相似三角形，并指出其相似比．
探究2：任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的 k 倍．度量这两个三角形的角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论．
在△ABC 与△A′B′C′中，如果满足
AB BC AC
A B B C A C
==
''''''，求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′．
判定三角形相似的定理一：三边成比例的两个三角形相似． 符号语言：
AB BC AC
A B B C A C ==
''''''
ABC A B C '''∴∆∆∽
类比：对于在△ABC 与△A ′B ′C ′中，如果,AB AC
A A A
B A C
'=∠=∠''''，这两个三角形一定相似吗？
判定三角形相似的定理二：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 符号语言：
,AB AC
A A A
B A
C '=∠=∠''''
ABC A B C '''∴∆∆∽
思考：对于在△ABC 与△A ′B ′C ′中，如果,AB AC
B B A B A
C '=∠=∠''''
，这两个三角形一定相似吗？试着画画看．
应用：例1根据下列条件，判断△ABC 和△A ′B ′C ′是否相似，并说明理由： （1）AB =4 cm ，BC =6 cm ，AC =8 cm ，A ′B ′=12 cm ，B ′C ′=18 cm ，A ′C ′=24 cm ． （2）∠A =120°，AB =7 cm ，AC =14 cm ，∠A ′=120°，A ′B ′=3 cm ，A ′C ′=6 cm ． 追问：这两个三角形的相似比是多少？
练习：判断图中的两个三角形是否相似．为什么？
探究3：观察两副三角尺，其中有同样两个锐角（30°与 60°，或 45°与 45°）的两个三角尺大小可能不同，它们相似吗？试着说说理由．
迁移：对于在△ABC 与△A ′B ′C ′中，如果,A A B B ''∠=∠∠=∠，这两个三角形一定相似吗？
判定三角形相似的定理三：两角分别相等的两个三角形相似． 符号语言：
,A A B B ''∠=∠∠=∠
ABC A B C '''∴∆∆∽
应用：例2如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AB=10，AC=8．E 是 AC 上一点，AE ＝5，ED ⊥AB ，垂足为 D ．求 AD 的长．
问题：根据三角形相似的条件，判定两个直角三角形相似有哪些方法呢？
思考：我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL ”来判定．那么，满足斜边和一条
直角边成比例的两个直角三角形相似吗？
判定直角三角形相似定理：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似．
练习：如图，在Rt△ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，求证：（1）△ACD∽△ABC；（2）△CBD∽△ABC．
三、应用提高
1．如图，△ABC 中，DE∥FG∥BC，找出图中所有的相似三角形．
第1题图第2题图
2．有一块三角形的草地，它们一条边长为25m．在图纸上，这条边长为5cm，其他两条边的长都为4cm，求其他两条边的实际长度．
3．底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？证明你的结论．
四、体验收获
说一说你的收获．
1．三角形相似的定义；
2．平行线分线段成比例的基本事实、推论及在三角形中的运用；
3．三角形相似的判定方法．
五、拓展提升
1．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4cm，5cm 和6cm，另一个三角形框架的一边长为2cm，它的另外两条边长应当是多少？说出你的制作方案．
2．如图，△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，求证△ADE∽△EFC；
六、课内检测
1．根据下列条件，判断△ABC 与△A′B′C′是否相似，并说明理由：
（1）∠A=40°，AB=8 cm，AC=15 cm，∠A′=40°，A′B′=16cm ，A′C′=30 cm．（2）AB=10 cm，BC=8 cm，AC=16 cm，A′B′=16cm ，B′C′=12.8cm ，A′C′=25.6cm．
2．如果Rt△ABC 中的两条直角边分别为3和4，那么以3k和4k（k为正整数）为直角边的直角三角形一定与Rt△ABC 相似吗？为什么？
七、布置作业
必做题：教材42页习题27.2第2、3、7题．
选做题：教材44页习题27.2第13题．
附：板书设计
教学反思：§ 27．2．1 相似三角形的判定
一：相似三角形
二：平行线分线段成比例基本事实
1．推论
2．在三角形中的应用
三：相似三角形的判定定理
例题板演学生板演。