阶行列式定义
行列式定义性质与计算
二阶行列式是所有位于对角线上的元素和它们不相邻的元素的 总和。
计算方法
用代数余子式展开，然后进行简单的代数运算。
例子
对于二阶行列式
二阶行列式的计算方法
``` |ab| |cd|
二阶行列式的计算方法
```
其值为 a*d - b*c。
三阶行列式的计算方法
01
02
定义
计算方法
三阶行列式是所有位于对角线上的元 素和它们不相邻的元素的总和，共有 6个项，每个项都是不同行不同列的 三个元素的乘积。
矩阵除法中行列式的应用
总结词
矩阵除法中，行列式可以帮助我们确定可 逆矩阵的逆矩阵。
VS
详细描述
在矩阵除法中，我们经常需要求出可逆矩 阵的逆矩阵。这时，行列式可以帮助我们 确定逆矩阵。具体来说，对于一个可逆矩 阵A，其行列式值|A|不为0，这意味着A 存在逆矩阵。通过使用行列式，我们可以 轻松地找到A的逆矩阵。
n阶行列式定义
01
n阶行列式是由n行n列组成的矩阵， 其值由其元素的代数余子式决定。
02
n阶行列式的一般形式为： D=a11a22...ann=(1)^t(P)i=1n(ai1j1+ai2j2+...+ainjn)j 1j2...jn(P)i=1n(ai1j1+ai2j2+...+ainj n)j1j2...jn其中t为P的逆序数，P为排 列。
解法
通过将方程组转化为行列式形式，可以求解未知数 的值。
步骤
将方程组转化为行列式形式后，根据行列式的性质 ，通过展开行列式得到未知数的值。
三阶线性方程组的解法
定义
三阶线性方程组是由三个方程组成的，每个方 程中包含未知数的三阶线性项和常数项。
关于行列式的一般定义和计算方法
关于行列式的一般定义和计算方法（一）n 阶行列式的定义n 阶行列式nnn n n n a a a a a a a a a212222111211=∑-nnn j j j nj j j j j j a a a 21212121)()1(τ2 N 阶行列式是N !项的代数和;3、N 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N 个元素的乘积;特点:(1)(项数)它是3!项的代数和;(2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为:(3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312.它们都是偶排列;三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列.§行列式的性质性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。
即nn n n n n a a a a a a a a a212222111211=nnn n n n a a a a a a a a a212221212111； 行列式对行满足的性质对列也同样满足。
性质2互换行列式的两行（列），行列式的值变号.如: D=d c b a =ad-bc , b a dc =bc-ad= -D以r i 表第i 行，C j 表第j 列。
交换 i ,j 两行记为rjir ↔,交换i,j 两列记作Ci322311332112312213a a a a a a a a a ---322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ++==（1↔C j 。
性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值等于零。
性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k的结果等于用这个常数k 乘这个行列式。
（第i 行乘以k ，记作r i k ⨯）推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。
行列式的定义与计算
行列式的定义与计算行列式是线性代数中的一个重要概念，用于描述线性方程组的性质以及矩阵的特征。
在本文中，将介绍行列式的定义以及计算方法。
一、行列式的定义行列式是一个数学函数，用一种特定的方式将矩阵映射为一个数字。
对于n阶矩阵A = [aij]来说，其行列式记作det(A)或|A|。
行列式的定义如下：当n=1时，矩阵只有一个元素，此时矩阵的行列式就是这个元素本身。
当n>1时，矩阵A可以分为n行n列，可以表示为：A = [a11 a12 (1)a21 a22 (2)... ... ... ...an1 an2 ... ann]其中a11、a12...ann是矩阵A的元素。
对于n>1的情况，行列式的计算可以使用展开定理或按行（列）展开等方法进行。
二、行列式的计算（一）二阶行列式二阶行列式的计算公式如下：|A| = a11·a22 - a12·a21（二）三阶行列式三阶行列式的计算公式如下：|A| = a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32 - a13·a22·a31 -a12·a21·a33 - a11·a23·a32（三）n阶行列式n阶行列式的计算可以通过列展开、行展开或使用拉普拉斯定理等方法进行。
这里以列展开为例介绍。
设A为一个n阶矩阵，可以将其表示为A = [a1 a2 ...an]，其中ai为A的第i列。
若选择第k列进行展开，则根据列展开法可得：|A| = a1k·A1k - a2k·A2k + ... + (-1)^(k+1)·ank·Ank其中，Aik是移去第i行第k列元素所形成的(n-1)阶行列式。
根据此公式，可以递归地计算n阶行列式的值。
三、行列式的性质行列式具有以下性质：1. 互换行列式的两行（列），行列式的值变号。
线性代数1-3n阶行列式的定义
第一行只能取a11 第二行只能取a22 第三行只能取a33 第n行只能取ann 这样的乘积项只有一个 即a11a22a33 ann 因此
D(1)N(123 n)a11a22a33 ann a11a22a33 ann
结论 下三角行列式 上三角行列式 对角行列式
定理13 （可选内容） n阶行列式D|aij|的一般项可以记为
(1)N (i1i2in)N( a a j1 j2 jn) i1 j1 i2 j2 ain jn 其中i1 i2 in与j1 j2 jn均为n级排列
这是因为 乘积项中的任意两个元素进行对换后 乘积项 的行标排列和列标排列的奇偶都发生变化 所以对换前后行 标排列与列标排列的逆序数的和的奇偶性不变 因此
a11 a12 a1n a21 a22 a2n
an1 an2 ann
(1)N( j1 j2 jn)a1 j1a2 j2 anjn
பைடு நூலகம்
提问
a11 a12 a13 a14
对于四阶行列式
a21 a31
a22 a32
a23 a33
a24 a34
问
a41 a42 a43 a44
四阶行列式表示的代数和有多少项? 有4!24项
(1)N(4312)a14a23a31a42是否为行列式中的一项? 是 (1)N(4314)a14a23a31a44是否为行列式中的一项? 不是
例1 计算n阶下三角形行列式
a11 0 0 0 a21 a22 0 0 D a31 a32 a33 0 an1 an2 an3 ann 的值 其中aii0(i1 2 n) 解 我们要求出展开式中非零的乘积项
a11 a12 a1n a21 a22 a2n
n阶行列式的定义全
02 行列式的性质
代数余子式
01
代数余子式
在n阶行列式中，去掉元素所在的行和列后，剩下的元素按照原来的排
列顺序构成的n-1阶行列式称为该元素的代数余子式。
02
代数余子式的计算
代数余子式等于(-1)^(i+j) * (n-1)阶行列式，其中i和j分别为元素所在
的行号和列号。
03
代数余子式的性质
代数余子式与元素所在的行和列的顺序无关，但与元素的位置有关。
n阶行列式的定义全
目录
• 行列式的定义 • 行列式的性质 • 行列式的展开 • 行列式的计算方法 • 行列式的应用
01 行列式的定义二阶行Fra bibliotek式总结词
二阶行列式是2x2矩阵的行列式值 ，由其主对角线上的元素相乘减 去副对角线上的元素相乘得到。
详细描述
对于2x2矩阵[a, b; c, d]，其行列 式值为ad-bc，即主对角线元素a 和d相乘减去副对角线元素b和c相 乘。
n阶行列式
总结词
n阶行列式是nxn矩阵的行列式值，由其主对角线上的元素相乘减去副对角线上 的元素相乘得到。
详细描述
对于nxn矩阵，其行列式值的计算方法可以归纳为Laplace展开，即从n阶行列式 中任取k行和k列，形成一个k阶行列式，然后乘以相应的代数余子式，并求和。 最终得到的值即为n阶行列式的值。
线性方程组的求解
行列式可以用来求解线性方程组，通过对方程组的系数矩阵进行行 列式变换，可以求解方程组的解。
向量空间
行列式可以用来定义向量空间的一组基，以及基之间的变换关系。
在微积分中的应用
微分学
行列式在微分学中用于计算多元函数的偏导数和 全微分。
工程数学 1-2 n阶行列式的定义
a11a23a32
a11 a12 a13
列标排列的逆序数为
t (132) = 1 + 0 = 1,
∴ a21 a22 a31 a32
a23 = ∑ ( −1)t a1 p1 a2 p2 a3 p3 . a33
定义
由 n 个数组成的 n 阶行列式等于所有 取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 的代数和 ( −1)t a1 p1 a 2 p2 L a npn . ∑ a11 记作 D= a 21 M a n1 a12 a 22 M L a1 n L a2 n M
逆序数为0),因此 变化次数, 而标准排列是偶排列(逆序数为 变化次数 而标准排列是偶排列 逆序数为 因此 知推论成立. 知推论成立.
三、n阶行列式的定义 阶行列式的定义
三阶行列式
a11 D = a 21 a 31
说明
a12 a 22 a 32
a13 a 23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a 33 − a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33
排列32514 中， 例如 排列 逆序 3 2 5 1 4 逆序 逆序
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数. 逆序数 排列32514 中， 例如 排列
0
0
1
3 2 5 1 4
1 逆序数为3 逆序数为
故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5. 故此排列的逆序数为
排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列 奇排列; 逆序数为奇数的排列称为奇排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 偶排列
a11 ∴
3-1 n阶行列式的概念
行列式理论是研究线性方程组的解法而产生的. 行列式理论是研究线性方程组的解法而产生的. 近代,被广泛应用于数学, 近代,被广泛应用于数学,物理以及工程技术等 许多领域. 许多领域. 在线性代数中,更是一个不可缺少的重要工具. 在线性代数中,更是一个不可缺少的重要工具. 主要介绍定义,性质,计算及克莱姆法则. 主要介绍定义,性质,计算及克莱姆法则. 定义
(a , b)
证明: 证明 (1)相邻对换
AabB → AbaB
A,B中的每一个数的逆序数都没有发生改变, 所以只需考虑a ,b的逆序数 若 a > b a的逆序数不变, b 的逆序数减少1 若
a < b a 的逆序数增加1,b 的逆序数不变, 所以, AabB, AbaB 的奇偶性不同
7
(2)一般对换
Aak1k2 kmbB → Abk1k2 kmaB
情况太复杂,改变思考角度 不是通过一次性得到结果,而是作如下过程:
(a , b)
Aak1k2 kmbB
m+1 +1次相邻对换 作m+1次相邻对换 作m次相邻对换 次相邻对换
→
由(1)知, 改变了2m+1(奇数) 次奇偶性 奇偶性当然改变.
8
→
Ak1k2 kmbaB Abk1k2 kmaB
1
第一节 n阶行列式的概念 阶行列式的概念
2
一,排列及其逆数 由n个自然数组成的一个有序数组, 定义3.1.1 定义3.1.1 称为由这n个自然数的一个全排列 全排列,简称排列 全排列 排列 记作: i1i2 in 例
自然数 1,2 1,2,3 1,2,3,4 123 1234 132 12 213 231 …… …… 312 4321 n(n-1) 321 ( -1)…321
第一章 第一节 n阶行列式的定义和性质(2)
第一章 行列式行列式的概念是在研究线性方程组的解的过程中产生的. 它在数学的许多分支中都有着非常广泛的应用，是常用的一种计算工具。
特别是在本门课程中，它是研究后面线性方程组、矩阵及向量组的线性相关性的一种重要工具。
§1.1 n 阶行列式定义和性质一、 二、三阶行列式定义的引出1. 二阶行列式例1：二阶线性方程组⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a且021122211≠-a a a a . 解：利用加减消元可求得122122112121121122122111221221,.b a a b a b b a x x a a a a a a a a --==--取 2112221122211211a a a a a a a a D -==，2122212221211b a a b a b a b D -==，得 .,2211DD x DD x ==定义1 二阶行列式 由22个数排成2行2列所组成下面的式子（或符号）2112221122211211a a a a a a a a -=称为二阶行列式，行列式中每一个数称为行列式的元素，数ij a 称为行列式的元素,它的第一个下标i 称为行标,表明该元素位于第i 行,第二个下标j 称为列标, 表明该元素位于第j 列.位于第i 行第j 列的元素称为行列式的),(j i 元。
2阶行列式由22个数组成，两行两列；展开式是一个数或多项式；若是多项式则必有2!2=项，且正负项的各数相同。
应用：解线性方程例2：解方程组.328322121⎩⎨⎧-=-=+x x x x 解 D 2132-=13)2(2⨯--⨯=,7-=1D 2338--=)3(3)2(8-⨯--⨯=,7-=1112112121212a b D a b b a a b ==-2D 3182-=18)3(2⨯--⨯=.14-=因,07≠-=D 故所给方程组有唯一解1x D D 1=77--=,1=2x DD 2=714--=.2=2.三阶行列式定义2由23个数排成3行3列所组成下面的式子（符号） 333231232221131211a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++称为三阶行列式。
n阶行列式的定义
例4 证明对角行列式
1 2
12 n;
n
2
1
nn1
1 2 12 n .
n
证明 第一式是显然的,下面证第二式.
若记 i ai,ni1, 则依行列式定义
2
1
a1n
a2,n1
n
an1
1 tnn121a1na2,n1 an1
nn1
1 2 12 n .
证毕
例5 设
a11 a12 a1n
思考题解答
解 含 x3 的项有两项,即
x1 1 2
f x 1 x 1 1
32 x 1
对应于
1 1 2x 1
1 t a11a22a33a44 1 t1243 a11a22a34a43
1 t a11a22a33a44 x3 , 1 t1243 a11a22a34a43 2x3
nn
0 0 ann a11a22 ann .
1234
例3
0421
D
?
0056
0008
1234
0421
D 0
0
5
6 a a a a 11 22 33 44 1 4 5 8 160.
0008
同理可得下三角行列式
a11
0 00
a21 a22 0 0
an1
an2
an3 ann
a11a22 ann .
其中 p1 p2 pn 为自然数1，2，，n 的一个排列， t 为这个排列的逆序数．
a11 a12 a1nDa21 a22 a2n
an1 an2 ann
1
a a a t p1 p2pn
1 p1 2 p2
npn
p1 p2 pn
《线性代数》1-3n阶行列式的定义
05 矩阵与行列式关系探讨
矩阵概念回顾
矩阵定义
由数字组成的矩形阵列， 通常用大写字母表示，如 A、B、C等。
矩阵维度
矩阵的行数和列数，决定 了矩阵的规模。
矩阵元素
矩阵中的每个数字，用带 下标的字母表示，如 $a_{ij}$表示第i行第j列的 元素。
矩阵与行列式之间联系与区别
联系
行列式可以看作是一种特殊的矩阵，即方阵。对于n阶方阵，其行列式值可以通 过矩阵元素计算得出。
二阶行列式常用于解决二 元一次方程组等问题。
三阶行列式（3x3）计算步骤
选择第一行的元素，分别与 其对应的代数余子式相乘后
相加；
确定三阶行列式的形式，即 一个3x3的矩阵；
01
按照“+ - +”的符号规律依
次计算各项；
02
03
得到的结果即为三阶行列式 的值；
04
05
三阶行列式在计算向量混合 积、判断矩阵可逆性等方面
拉普拉斯定理
在n阶行列式中，任意取定k行（列），由这k行（列）的元素所构成的一切k阶 子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D的值
说明
拉普拉斯定理是按行展开定理的推广，它将n阶行列式的计算转化为k阶子式的 计算，降低了计算复杂度
拉普拉斯定理证明过程
构造法证明
通过构造一个特殊的矩阵，利用矩阵 的乘法和行列式的性质来证明拉普拉 斯定理
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列式 求解线性方程组的方法；
对于n元线性方程组，如果系数 行列式D不等于0，则方程组有唯
一解；
唯一解可以通过各未知数对应 的系数行列式的代数余子式与D 的比值求得；
克拉默法则在计算量较大时可 能不太适用，但其具有理论意 义和实用价值。
1.1 行列式的定义
a11 0 M 0
a12 L a1n a22 L a2 n = a11a22 L ann M M 0 L ann
②下三角形行列式 主对角线上方元素全为零的行列式称为下三角形 主对角线上方元素全为零的行列式称为下三角形 行列式, 行列式 即
a11 a21 M a n1
0 a22 M
L L
0 0 = a11a22 L ann M
二阶行列式
D = a11 A11 + a12 A12 + L + a1n A1n = ∑ a1 j A1 j
j =1
n
其中 A1 j 为元素 a1 j 的代数余子式 的代数余子式.
2.几种特殊的行列式 2.几种特殊的行列式 几种特殊的
⑴ 三角形行列式 ①上三角形行列式 主对角线下方元素全为零的行列式称为上三角 主对角线下方元素全为零的行列式称为上三角 形行列式, 形行列式 即
A13 = ( −1)
1+ 3
由行列式的定义计算得: 由行列式的定义计算得
D = 1 × ( −21) + ( −1) × ( −30) + 0 × 22 = 9
二.n 阶行列式的定义
1.n 1. 阶行列式的定义
定义3 个元素组成的一个算式， 定义 由n2 个元素组成的一个算式，记为 D a11 a12 L a1n
a
b
c d
= ad − bc
并称之为二阶行列式. 并称之为二阶行列式. a , b , c , d 称为二阶行列式 二阶行列式 的元素；横排称为行，竖排称为列 的元素；横排称为行，竖排称为列. 左上角到右下角的对角线称为主对角线;左下角 左上角到右下角的对角线称为主对角线; 主对角线 到右上角的对角线称为次对角线 到右上角的对角线称为次对角线. 次对角线
线性代数1-3n阶行列式的定义
行列式的值具有可消性，即 行或列中某些元素为0时，其 对应的因子也为0。
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线性代数1-3n阶行列式的定义
• 1阶行列式 • 2阶行列式 • 3阶行列式 • n阶行列式
01
1阶行列式
定义
1阶行列式表示为|a|，其中a是一个数。
它表示数a的绝对值。
计算方法
计算方法很简单，直接取绝对值即可 。
如果a是正数，则|a|=a；如果a是负数， 则|a|=-a；如果a=0，则|a|=0。
计算方法
01
按照定义，三阶行列式是由三个行组成的矩阵，每个行有3个元素。
02
计算三阶行列式时，需要按照定义展开，即按照行优先的顺序展开。
03
具体计算方法为：将第一行的元素与第二行对应元素的代数余子式相乘，加上 第一行的元素与第三行对应元素的代数余子式相乘，最后加上第二行的元素与 第三行对应元素的代数余子式相乘。
03
行列式的值等于主对角线上的元素之积减去副对角线上的元 素之积。
计算方法
01
计算二阶行列式，需要先计算出矩阵中各元素的代数余子式。
02
行列式的值等于主对角线上的元素之积减去副对角线上的元素
之积。
如果行列式中存在0元素，则可以简化计算过程。
03
性质
01
行列式的值与矩阵的转置无关 。
02
行列式的值与矩阵的行变换或 列变换无关。
03
行列式的值是非负的，且等于0 当且仅当矩阵是奇异的（即行列 式中至少有一个元素为0）。
03
3阶行列式
式的扩展，由三个行组成的矩阵，每 个行有3个元素。
02
三阶行列式通常表示为3|a b c|，其中a、b、c分别表示三个 行中的元素。
1-3 n阶行列式的定义
(1) a 23 a 31a 42 a 56 a14 a65 → a14 a 23 a 31a 42 a 56 a65 ,
431265的逆序数为 的逆序数为
t = 1 + 0 + 2 + 2 + 1 + 0 = 6,
前边应带正号. 所以 a 23 a 31a 42 a 56 a14 a65 前边应带正号
它等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 的 代数和
∑ (−1) a
t
1 p1
a2 p2 L anpn . （其中 p1 p2 L pn 为自然数
1， L，n 的一个排列，t 为这个排列的逆序数． 2， )
a11 a12 L a1n 即：D = a21 a22 L a2n LLLLLLL an1 an 2 L ann =
λn
= ( − 1)
= ( − 1)
t [n ( n −1 )L21]
n ( n −1 ) 2
a1na2 ,n−1 Lan1
证毕
λ1λ2 Lλn .
定理2 定理2 n阶ห้องสมุดไป่ตู้列式也可定义为
D = ∑ (− 1) a p1q1 a p2 q2 L a pn qn
t
是两个n级排列,t ,t为行 其中 p1 p2 L pn , q1 q2 L qn是两个n级排列,t为行 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 证明 交换 a p q a p q L a p q 中 a p q 与 a 1 1 2 2 n n p q 1 1 得
λ1 λ2
O
= λ1λ2 Lλn ;
λn
λ1
n ( n −1 ) 2
λ2
关于行列式的一般定义和计算方法
精心整理关于行列式的一般定义和计算方法 n 阶行列式的定义n2 3(2)(为:(3)(性质即行列式对行满足的性质对列也同样满足。
性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号.如:D=dc b a =ad-bc ,ba d c=bc-ad=-D以r i 表第i 行，C j 表第j 列。
交换 i ,j 两行记为r j i r ↔,交换i,j 两列记作C i ↔C j 。
性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值等于零。
性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k 的结果等于用这个常数k 乘这个行列式。
（第i 行乘以k ，记作r i k ⨯）推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行列式符号的前面。
推论2：如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么行列式值等于零。
推论性质D 等于两个行列式nnn n a a a 21性质一个⎩⎨⎧≠==∑=ji j i DA a nk jk k i 01（1）和⎩⎨⎧≠==∑=ji j i D A a nk kj ki 01（2）行列式的计算1．利用行列式定义直接计算例1计算行列式解D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=.该项列标排列的逆序数t （n －1n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故 2．利用行列式的性质计算例2一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足则称3因此化n 列都4解将D n 按第1行展开2n n a a -=-.5．逆推公式法逆推公式法：对n 阶行列式D n 找出D n 与D n －1或D n 与Dn －1,D n －2之间的一种关系——称为逆推公式（其中D n ,D n －1,D n －2等结构相同），再由递推公式求出D n 的方法称为递推公式法。
例5证明证明：将D n 按第1列展开得由此得递推公式：1n n n D a xD -=+，利用此递推公式可得6．利用范德蒙行列式 例6计算行列式解把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n －1行的－1倍加到第n 行，便得范德蒙行列式7．加边法（升阶法）解：0nna D2,,1101na n x+--（箭形行列式）8则当9把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以利计算。
02第二节n阶行列式的定义
02 第二节 n阶行列式的定义第二节 n阶行列式的定义定义1：对于一个由n行n列组成的矩阵A，其对应的行列式记为|A|或det(A)，称为n阶行列式。
行列式是由n个元素排成n行n列的式子，它可以用一个数，一个向量或一个矩阵来表示。
在数学中，行列式是一个非常重要的概念，在许多数学分支和实际应用中都有广泛的应用。
对于一个n阶矩阵A，可以将其展开成一个n项的代数和，每一项都是A中取自不同行不同列的n个元素的乘积。
这个展开式称为A的行列式，记为|A|或det(A)。
例如，对于一个3x3矩阵A：可以将其展开为：|A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32其中，a11、a22、a33等表示A中的元素。
定义2：对于一个n阶矩阵A，如果有一个非零常数c，使得|cA|=c^n|A|成立，则称矩阵A可乘当，或者称为可乘方的。
根据定义2，可以发现行列式的性质：1）如果矩阵A可乘当，则|cA|=c^n|A|成立，其中c是非零常数。
例如，如果矩阵A=【3 4；2 5】，则cA=【3c 4c；2c 5c】，c^n表示c的n 次方。
2）如果矩阵A是可乘方的，则它的转置矩阵也是可乘方的，且它们的行列式互为转置行列式。
即，如果|A|=a_11a_22.a_nn，则|A‘|=a_11a_12*.*a_nn。
例如，设A=【1 2 3；4 5 6；7 8 9】，则|A|=54，它的转置矩阵为【1 4 7；2 5 8；3 6 9】，则它的行列式为|A‘|=54。
定义3：设n阶矩阵A和B是相似的矩阵，即存在一个可逆矩阵P，使得AP=PB成立。
如果矩阵A和B是相似的，则它们的行列式也相等，即|A|=|B|。
例如，设A=【1 0；0 2】，B=【2 0；0 4】，它们是相似的矩阵，它们的行列式分别为|A|=2和|B|=4，所以它们的行列式是相等的。
1.1行列式的定义
一、二阶行列式我们用记号表示代数和，称为二阶行列式.在行列式中，横向称为行，纵向称为列；一般用表示第行第列的元素.二阶行列式的运算法则是：主对角线上的元素和的乘积减去次对角线上的元素和的乘积.即.例1 .例2设，问(1) 当为何值时，；(2) 当为何值时，.解：因为,故(1)当或时，；(2)当且时，.二、三阶行列式我们用记号表示代数和, 称为三阶行列式，即.三阶行列式的代数和，可以用画线(图1-1)的方法记忆，其中各实线联结的3个元素的乘积是代数和中的正项，各虚线联结的3个元素的乘积是代数和中的负项.图1-1 计算三阶行列式的画线记忆法在计算三阶行列式时，还可以按行列式的某一行(列)展开，其运算法则是：在三阶行列式中，任意选定某一行，依次用该行中每一个元素乘以划去该元素所在的行和所在列后剩下的元素组成的二阶行列式，代数和中每一项的符号是(分别为元素所在的行号和列号.按行列式的列展开与按行展开完全类似).例如，按三阶行列式的第一行展开，有.这里，，和分别被称为元素，和的余子式，记作，和；而，和分别被称为元素，和的代数余子式，记作，和.一般地，元素的代数余子式.代数余子式就是在余子式前加上符号因子.综上所述，按三阶行列式的第一行展开，有;若按三阶行列式的第行展开，其表示式为：?()例3 计算.解：按行列式的第一行展开，有=53.若按行列式的第一列展开，则有.从例3可看出，在计算行列式时，应尽可能选择零元素较多的行或列来展开，以达到减化计算的目的.例4满足什么条件时解：设，注意到，该行列式的第三列中只有元素，故按第3列展开较为简便，则，只要或时，就有.例5>0的充分必要条件是什么？解：注意到，原式中第三行有两个零元素，按第三行展开较为简便，即=，>0当且仅当>2.因此可得>0的充分必要条件是>2.三、阶行列式类似于二阶和三阶行列式，我们给出阶行列式的定义.定义1用个元素(1, 2 ,,)组成的记号称为阶行列式.若按第行展开，则阶行列式可表示为：.阶行列式可以简记作det，其中数称为行列式的元素.。
1-3 n阶行列式的定义
其中 p1 p2 pn 为自然数 1， 2， ，n 的一个排列， t 为这个排列的逆序数．
a11 a12 a1n D a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
p1 p2 pn t p p p 1 a1 p a2 p anp
二、n阶行列式的定义
定义
由 n 2 个数组成的 n 阶行列式等于所有 取自不同行不同列的 n 个元素的乘积 的代数和
t ( 1 ) a1 p1 a2 p2 anpn .
a11 记作 D a21 a n1
a12
a1n
a22 a2 n an 2 ann
简记作det(aij ). 数 aij 称为行列式det(aij ) 的元素．
a11 0 0 0 a 21 a 22 0 0 a11a22 ann . 下三角形行列式 a n1 a n 2 a n 3 a nn
例1
计算对角行列式
0 0 0 4 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0 0
0 0 0 4
0 0 3 0
0 2 0 0
1 0 0 0
1 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解 方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需 要而定义的. 2、 n 阶行列式共有 n! 项，每项都是位于不同 行、不同列 的 n个元素的乘积,
1 2
12 n ;
n
1
n n1 2
2
1
12 n .
n
记忆如下行列式——三角行列式
a11 a12 a1n 0 a22 a2 n a11a22 ann . 0 0 ann
上三角形行列式
一、概念的引入
行列式定义
解 分析
展开式中项的一般形式是 a1 p1a2 p2 anpn . pn n, pn1 n 1, pn3 n 3, p2 2, p1 1, 所以不为零的项只有 a11a22 ann .
a11 a12 a1n
0
a22
a2n
1
t431265 0 1 2 2 0 1 6
所以 a14a23a31a42a56a65 是六阶行列式中的项.
a32a43a14a51a25a66 下标的逆序数为
t452316 8
所以 a32a43a14a51a25a66 不是六阶行列式中的项.
a11a23a35a43a56a64
1.1.2 n阶行列式的定义
一、n阶行列式的定义
定义 由 n2 个数组成的n 阶行列式等于所有
取自不同行不同列的n 个元素的乘积
的代数和
(1) p1 p2 pn a1 p1 a2 p2 anpn .
a11 a12 a1n
记作 D a21 a22 a2n
an1 an2 ann
an1
1
a a τnn121 1n 2,n1
an1
nn1
1 2 12 n .
证毕
例7 设
a11 a12 a1n
D1
a21 a22 a2n
an1 an2 ann
a11 a12b1 a1nb1n
D2
a21b a22 a2nb2n
123a11a22a33 1 132 11 23 32
a31 a32 a33 1 213 a12a21a33 1 231 a12a23a31
第三节n 阶行列式的定义
a11 0 0 0Leabharlann D4a21 a32
a22 a32
0 a33
0 a11a22a33a44 0
a41 a42 a43 a44
三、特殊行列式
(1) 对角行列式(主对角线以下和以上的元素都为零)
a11
D
a22
a a11 22 ann
(2)
D an1
ann
a2,n1
a1n
t (n(n1)21)
(1)
a1n a2 ,n1
0 0
a41 0 0 0
a11 0 0 0
D4
a21 a321
a22 a32
0 a33
0 0
a41 a42 a43 a44
a11 0 0 0
0 D1 0
0
a22 0 0 a33
0 0
(1)t(1234 )
a11a22a33a44
0
0 a44 a11a22a33a44
0 0 0 a14
0 D2 0
p1
a2
p2
anpn称为由上数表所确定的n阶行列式，
简记作 det(a，ij )其中t =t( p1p2 ...pn ), 为行列aij式D 的
(i, j)元.
a11 a12 D a21 a22
an1 an2
a1n
a2n
(1)t( p1 p2
p1 p2 pn
ann
a a pn ) 1 p1 2 p2
0 a23 a32 0
0 0
(1)t(4321) a14a23a32a41
a41 0 0 0 a14a23a32a41
其中 t(4321) 0 1 2 3 3 4 6. 2
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c21 c22 c23 (1)tc1p1c2p2c3p3.
c c c p1p2p3 31 32 33
其中p1p2p3是1、2、3这三个数的一个排列，t是这 个排列的逆序数，共有3!＝6项求和。其中求和符号 Σ表示连加。
完全类似，我们可以定义n阶行列式。
定义1 设有 n 2 个数，排成n行n列的数表
列共有n! 个, 因此形如（1）式的项共有n!项。所有
这n!项的代数和
(-1 t a1)p1a2p2annp
p1p2pn
称为n阶行列式（determinant），记为
a11 a12 a1n
D a21 a22 a2n
an1 an2 ann
或者简记作Δ（ a ）ij 或者det( a ij)。 数 a i(ji 1 ,2 , ,n ;j 1 ,2 , ,n )称为行列式Δ (a ij )的元素。
0(1)n(n1)/2a1na2n1an1
an1 0 0
证：第一式是显然的。下面我们只证明第二个结 果。
根据行列式的定义
0 0 a1n
0 a2,n1
an1
0
0
(-1 t a1)p1a2p2annp
p1p2pn
0 (-t1a1n )a2,n1an1
其中t为n(n-1)……21的逆序数，因此由第一节的例2
a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2n
a n1 a n2 a n3
作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以
符号 ( 1)t, 得到形如
(-1 t a1 )p1a2p2annp
(1)
的项，其中 p1p2 pn 为自然数1，2，……，n的
一个全排列，t为这个排列的逆序数。由于这样的排
能满足上述关系的排列只有一个，即1,2……n，所以 行列式中可能不为0的项只有一项，即 (-1t a)11a22ann, 这一项的符号显然为正（因为t＝0），所以
Da1aa1k 0 0
D a1k a kk 0 0 c11 c1k b11 b1n
c k1 c kk bn1 bnn
角线。
例1 证明主对角行列式（其中对角线上的元素为 aii(i1,2,,n)其余的元素为0）的值为
a11 0 0 a22
0 0 a11a22 ann
0 0 ann
次对角行列式（其中对角线上的元素为 aij,ijn1,
i1,2,,n ，其余的元素为0）的值为
0 0 a1n
0 a2,n1
显然，按此定义给出的二阶行列式和三阶行列
式与我们前面所说的定义是一致的。 以后为方便起见，我们称行列式中 a11,a22,,ann
为行列式的主对角线，
a 11 a 12 a 1 n
a 21 a 22 a 2 n
a n1 a n 2 a nn
而称 a1n,a2n1,an1的线段为行列式的次对角线或副对
a11 a1k
b11 b1n
D1
D2
ak1 akk
bn1 bnn
证明 DD1D2
记 Ddetd(ij)，其中 d ij a i,j(i 1 ,2 , ,k ;j 1 ,2 , ,k )
d k i,k j b i,j ( i 1 ,2 , ,n ;j 1 ,2 , ,n )
于是D中可能不为0的项可以记为
( 1 ) t d 1 r 1 d k k d k r 1 r k 1 d k n r k n ( 1 ) t a 1 r 1 a k k b 1 p r 1 b n np
这里，pi rki k，而t为排列 r 1 ,r 2 r k(k p 1 ) (k p n )
（4）排列123, 231, 312的逆序数分别为0, 2, 2, 而排列321, 213, 132的逆序数分别为3, 1, 1, 即在6项 求和中，取行标为标准顺序的排列时，其列标排列为 偶排列时，则该项的代数符号为正；当列标排列为奇 排列时，则该项的代数符号为负 。
因此，我们可以把三阶行列式的定义写成
的逆序数。以s、m分别表示r1,r2 rk 和 p1 pn的逆序
数 ，则显然有t ＝s＋m。因此
D
( 1) s m a1r1 a krk b1 p1 bnp n
r1 rk p1 p n
( 1) s a1r1
a krk
( 1) m b1 p1
bnpn
的行，称为行标；第二个下标j表示元素所在的列， 称为列标。从上述表达式可以发现三阶行列式有如下 特点：
（1）表达式共有3!＝6项求代数和。且每项均为
不同行不同列的三个元素的乘积；
（2）6项中有3项的代数符号为正，3项的代数符 号为负；
（3）如果把每一项元素的行标按1、2、3依次排 列，则每一项元素的列标排列分别为123, 231, 312以 及321, 213, 132, 恰好是1、2、3这三个数的所有可能 的排列。
第二节 n 阶行列式的定义
为给出n阶行列式的定义，让我们来分析前面所 讲的三阶行列式的定义。在§1中的（6）我们定义
c11 c12 c13 c21 c22 c23c11c22c33c12c23c31c13c21c32 c31 c32 c33
c13c22c31c12c21c33c11c23c32,
对行列式中元素 ，c ij 第一个下标i表示元素所在
可知t＝n(n－1)/2。
例2 证明下三角行列式
a11 0 0
D a21
a22
0
a11a22
ann
an1 an2 ann
证： 由于当j > i时，aij 0，因此行列式的求和
表达式中可能不为0的项的n个因子的下标 ip i 应有pi i
即 p 11 ,p22 , ,pnn而在所有排列 p1p2 pn 中，
考察D的一般项( 1 )td 1 r 1 d kkd rk 1 r k 1 d k n r k n, 由于当i ≤ k，j > k时，dij ，0 因此 r1,r2,,rk，只有
在1, 2，…，k中选取时，该项才可能不为0。而根据
行列式的定义，当 r1,r2,,rk在1, 2，…，k中选取时， rk1,rk2,,rkn只能在k+1, k+2，…，k+n中选取。