一维非稳态导热问题的数值解
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计算传热学程序报告
题目:一维非稳态导热问题的数值解
姓名:
学号:
学院:能源与动力工程学院
专业:工程热物理
日期:2014年5月25日
一维非稳态导热问题数值解
求解下列热传导问题:
⎪
⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=====≤≤=∂∂-
∂∂1,10),(,1),0(0)0,()0(01T 22ααL t L T t T x T L x t T
x
1.方程离散化
对方程进行控制体积分得到:
dxdt t T
dxdt x T t
t t
e
w t
t t
e
w ⎰
⎰⎰
⎰∆+∆+∂∂=∂∂α
1
2
2
⎰
⎰
-=∂∂-∂∂∆+∆+e
w
t t t w e t
t t
dx T T dt x T x T )(1])()([α
非稳态项:选取T 随x 阶梯式变化,有
x T T dx T T t p t t p e
w
t t t ∆-=-∆+∆+⎰
)()(
扩散项:选取一阶导数随时间做显示变化,有
t x
T
x T dt x T x T t w t e w e t
t t
∆∂∂-∂∂=∂∂-∂∂⎰
∆+])()[(])()[(
进一步取T 随x 呈分段线性变化,有 e P E e x T T x T )()(
δ-=∂∂ , w
W P w x T T x T )()(δ-=∂∂ 整理可以得到总的离散方程为:
2
21x
T T T t T T t
W
t P t E t P t t E ∆+-=∆-∆+α 2.计算空间和时间步长 取空间步长为:
h=L/N 网格Fourier 数为:
2
2
0x
t
x t
F ∆∆=
∆∆=α(小于0.5时稳定) 时间步长为:
α
2
0h F n =
3.建立温度矩阵与边界条件 T=ones(N+1,M+1)
T(:,1)=Ti (初始条件温度都为0) T(1,:)=To (边界条件x=0处温度为1) T(N+1,:)=Te (边界条件x=L 处温度为0) 4.差分法求解温度 由离散方程可得到:
t P t
W
t P t E t t E T T T T F T -+-=∆+)2(0 转化为相应的温度矩阵形式:
),()],(2),1(),1([)1,(0k m T k m T k m T k m T F k m T +*--++*=+ 5.输入界面
考虑到方程的变量,采用inputdlg 函数设置5个输入变量,对这5个变量设置了默认值,如图1所示。在计算中可以改变不同的数值,得到不同的结果,特别注意稳定条件的临界值是0.5。根据设置的默认值,得到的计算结果如图2所示。
图1 matlab变量输入界面
图2 默认值的计算结果
6.结果分析
根据上面的分析,给出了程序的输入界面,以及默认值状态下的数值解。可以通过改变不同的输入值,得到需要的分析结果,总结出了下面4点结论:
(1)取F0=0.48,得到一维非稳态导热结果如下图所示
图2 F0=0.48时一维非稳态导热
从图中可以看出,对于长度L=1的细杆,初始时刻t=0时温度为0,边界条件x=0时,T=1,边界条件x=1时,T=0。随着时间的增加,温度从x=0通过导热的形式传递到x=1,不同时刻不同位置杆的温度都不同,并且随着时间的增加,杆的温度也逐渐增加。
(2)取F0=0.48,可以得到不同位置的温度响应曲线,如下图所示
图3 F0=0.48时不同x位置处的温度响应
图中红色曲线代表x=0.1位置的温度瞬态响应,黑色曲线代表x=0.2位置的温度瞬态响应,蓝色曲线代表x=0.4位置的温度瞬态响应。从图中可以看出,随
着x的增加,曲线与x轴的交点值越大,温度开始传递到该位置的所需的时间越长。随着x的增加,温度响应曲线的变化速率越慢,最终的达到的温度也越低。(3)取F0=0.25,得到不同位置的温度响应曲线如下图所示
图4 F0=0.25时不同x位置处的温度响应
图中三条曲线分别是x=0.1,x=0.2,x=0.4位置的温度瞬态响应。与图3的F0=0.48进行对比,两种情况下的F0值不同,F0值越大表明热扩散系数 的值越大。从图中可以看出热扩散系数对于导热的影响,F0=0.25时,与F0=0.48相比较,各位置开始响应时所需的时间较长,而且各位置响应曲线的变化速率较小,最终的达到的温度也较低,说明了热扩散系数越小,热传导越慢,传递效率越低。(4)取F0=0.51,得到非稳定的数值解如图所示
图5 F0=0.51时一维非稳态导热
图6 F0=0.51时不同x位置处的温度响应
从图中可以看出,对于显示格式的离散方程,并不是所有的F0值都能得到有意义的解,必须要求F0<0.5时才能得到稳定的数值解,当F0>0.5时,会出现物理上不真实的解。
附件:(matlab程序)
function heat_conduction() %一维齐次热传导方程
%设置输入界面
options={'空间杆长L','空间点数N' ,'时间点数M','扩散系数a','稳定条件的值Fo(临界值0.5)',}; topic='一维非稳态导热';%标题栏显示
lines=1;%输入行为1行
def={'1','100','1000','1','0.48'};%默认值输入
f=inputdlg(options,topic,lines,def);%输入框设置
L=eval(f{1});%设置输入值
N=eval(f{2});
M=eval(f{3});
a=eval(f{4});
Fo=eval(f{5});%Fo的值必须小于0.5,小于0.5波动
%计算空间步长与时间步长
h=L/N;%空间步长
x1=0:h:L;
x=x1';
n=Fo*h^2/a;%时间步长
tm=n*M;%传导总时间
t1=0:n:tm;
t=t1';
%计算初始条件与边界条件
Ti=x.*0;%初始条件
To=1+t.*0;%x=0的边界条件
Te=t.*0;%x=L的边界条件
%建立温度矩阵T
T=ones(N+1,M+1);
T(:,1)=Ti;%第一列为初始条件
T(1,:)=To;%第一行为x=0边界条件
T(N+1,:)=Te;%最后一行为x=L边界条件
%利用差分法求解温度矩阵T
for k=1:M
m=2;
while m<=N;
T(m,k+1)=Fo*(T(m+1,k)+T(m-1,k)-2*T(m,k))+T(m,k);
m=m+1;
end
end
%将时间空间的一维坐标转化为二维坐标
[Y,X]=meshgrid(t1,x);
%根据温度矩阵T绘图
subplot(2,2,1);
mesh(X,Y,T);%三维图绘制