控制论基础

请同学们试一试
• x定=f(x定)=bx定(1-x定)＝bx定-bx定2
• x定1＝0 • x定2＝1-1/b
0<b≤1 b>1
还有没有其他解呢？
• x周=f2(x周)=b[bx周(1-x周)][1-bx周(1-x周)]
• x周1=((b+1)+sqrt((b+1)(b-3)))/2b • x周2=((b+1)-sqrt((b+1)(b-3)))/2b
多样性和限制
• 一个系统的状态空间所包含的所有状态的 数量即是系统的多样性（Variety）； • 由于这个数量的范围往往非常大，所以多 样性经常用LOG形式表达，即：
– V ＝ log2(|S|) [bit]
• 实际系统的可能状态往往小于系统状态空 间所包含的所有状态，这时我们称系统是 被限制的系统。系统限制C可以定义为：
– M: P(s, t) －> P(s,t+1) – 其中Mij ＝ P(sj(t+1)|si(t))
转换关系的类型
• 动态转换关系为
– 一一对应关系：系统的多样性，熵和信息保持 不变 – 多对一关系：系统多样性减少，熵减少 – 一对多关系：系统多样性增加，熵增加 – 多对多关系：不一定
循环过程－自作用 Self-Application
封闭（Closure）
• 如果吸引子覆盖整个状态空间的话，那么 我们称系统针对于组织性是封闭的（Close to Organization）。 • 系统的组织封闭性定义了系统的个性。
– 因为封闭性限定了系统属性的变化范围，而事 物的属性取值往往是人们对于事物识别和分类 的标准。
• 另一种更为复杂的封闭性是自生成（SelfProduction)，例如生物的新陈代谢过程。
– sB(y), sy, n such that fn(s) y
• 当一个系统进入一个吸引子的盆地后，最终会落入吸引子中，这时系 统的多样性降低了，熵减小了，不确定性也减少了，也可以说组织性 增加了。 • 由于这一过程是系统自己完成的，所以又称其为自组织。 • 所有具有吸引子的动态系统都会最终落入某一个吸引子中，从而完成 其自组织的过程。 • 如果系统是由很多部件组成的，那么这种自组织过程往往意味着各个 部件之间的同步，协同和依赖关系的形成。 • 吸引子可以有多种类似，如定常吸引子，周期吸引子，和混沌吸引子 （即奇异吸引子）。具体的例子见前面的生态模型。
– C ＝ Vmax － V
多样性和熵
• 当我们不知道系统目前处于哪个状态，但是知道系统处于 不同状态的概率的时候，我们可以通过熵的概念来表达我 们对应系统的了解程度：
H ( P) P( s) log P( s)
sS
• H ＝ 0 时，系统的状态完全确定 • H ＝ logN ＝ V 时（即最大时,N代表状态空间中 包含的所有状态的数量），系统的状态完全未知。 • 所以H是对系统的不确定性一种测量
• 研究对象的复杂性
– 往往被研究系统中对象的数量都非常大，无法用经典科学的方法 求解（比如说大脑，生态系统，社会系统等等）
• 动态过程的非线性 • 。。。
精品课件！
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小结
• 这个PPT时候根据我目前的有限理解对复杂 系统的一些基本概念进行的介绍。
– 熵，信息，自组织，控制，反馈，建模，知识， 学习。。。
概述
• 控制论的一些核心概念
– 关系的概念（Relational Concepts） – 循环过程（Circular Processes） – 目标与控制（Goal-Directness and Control） – 认知（Cognition）
• 复杂系统科学概况 • 讨论
PPT主要内容取自F. Heylighen 的“Cybernetics and Second-Order Cybernetics”
必要知识定理
• 部分知识可以用数学表达为系统在干扰的情况下， 对于响应的不确定性（熵），即：
– H(R|D) – H(R|D)＝0意味着？＝H(R)意味着？
• 所以可以根据这一定义对必要多样性定理进行修 改：
– H(E)>=H(D)+H(R|D)-H(R)-B
• 即关键变量的熵可以通过以下三种方式维持
– I＝H(观测前)－H(观测后)
系统状态的变化表达
• 从以上状态空间的定义和系统状态的静态 表达，我们可以定义系统状态的变化为一 种不同时刻的状态空间之间的转换关系T：
– T : S －> S : s(t) －> s(t+1)
• 当我们仅知道系统状态的概率分布时，这 种转换关系可以用马尔克夫链，M来表达：
建构主义（Constructivism）
• 核心问题：一个系统是如何建立关于环境的一个 模型的？ • 经典的假设是系统的模型是关于环境的一个映射。 换句话说客观环境直接决定系统的模型。 • 控制论的观点是系统的知识是系统自身通过与外 界的交互和内部的自组织机制建构出来的。 • 与经典计算模型的本质区别可以不言而喻了。。。
b>3
当b大于3.57时
• x混=f∞(x混) • 不再稳定 • 也不再有周期
混沌解
b=4
罗杰斯特模型的分岔状态空间图
定常
周期
混 沌
x定2＝1-1/b
b
对于一个混沌系统，当初始值有微 小差别会有什么结果？
状态变量
时间
蝴蝶效应：初值敏感
自组织（Self-Organization）
• 假设 f() 代表系统的动态变化过程，y 代表系统的状态，那么 y＝f(y) 代表系统一个平衡点。 • 当 y 代表一组系统状态（状态空间的一个子集）时，往往把y称作系 统（动态过程）的一个吸引子。 • 吸引子可以带有自己的盆地 B(y)，即
限制与信息
• 可以看出对系统的限制（C），会使得系统只能 处于某些状态，而不能处于其他状态； • 这将导致系统的熵的减小，即不确定性的降低。 所以C对应于系统最大熵和系统真实熵之间的差。 • 从另外一个视角看，对系统的限制代表了我们关 于系统状态的知识，由此可以定义信息，I。 • 以对一个系统的一次观测中获得的信息为例，可 以定义信息为：
f()
y
• y＝f(y） • yt+1＝ f(yt)
一个动态系统的例子：生态模型
• xn+1=f(xn)=bxn(1-xn)＝bxn-bxn2
– xn∈[0,1]，b∈[0,4] – n代表时间， – xn代表生物种群的数目，b代表繁殖率， – 1－xn代表自然环境对物种的制约
现在让我们来解一下这个简单的方程。。。
– 1. 增加缓冲 – 2. 增加响应行动的多样性 – 3. 增加知识
源自文库
模型关系
模型 表达1 Ma
表达2
感知
感知
现实1 Fa • • • •
现实2
世界 那系统内部的知识是如何形成的呢？ 当然一部分是来源于长期进化的结果，被储存在基因里面。 但是对于高级生物来说，有大量的知识是后天学习来的。 这种学习过程可以通过模型的“竞争”完成。（具体可参看遗传算法相关文 献）
先看两个自组织的例子－磁铁磁化
煮水中的自组织
贝纳德（Bénard）对流
区分与关系
• 当我们研究一个系统的时候，首先我们需要把系 统和它的环境区分开来； • 如果我们希望研究系统的细节，那么我们还需要 进一步区分系统的属性；
– 例如位置，速度，颜色，形状等等。
• 当我们完全描述一个系统的所有属性的时候，也 就描述了这个系统的“状态”； • 以此我们可以通过系统的属性来定义它的状态空 间：S； • 这一状态空间的维度即它（或它的组成部分）所 具有的属性
反馈环路
• 定义当前状态的偏离y为目前系统的状态y和某一 （目标）状态y0之间的距离：y＝（y－y0）。 • 对应动态系统，假设y(t+1) = ky(t)（线性假设） • 那么当|k|小于1时，系统具有负反馈。 • 当|k|大于1时，系统具有正反馈。 • 以上定义可以扩展到非线性的情况。 • 如果系统开始处于y0状态，然后有一个小的扰动 的化，那么
• 请大家到网站上下载这个PPT，以及相关文 献。 • 预习关于神经网络的一些介绍材料。
复杂性科学
遗传编程 进化策略 进化编程 进化计算 遗传算法 人工生命 L－系统 元胞自动机
主体
网络动力学
神经网络
本图取自《地理元胞自动机研究》周成虎等，1999
复杂系统科学主要特点
• 跨学科性
– 物理，化学，生物，神经科学，社会，环境。。。
• 抽象性
– 不关心具体的研究对象的物理组成是什么（神经元，动物个体， 原子。。。） – 更关心对象之间的关系和相互作用（信息，控制，结构，等级， 组织，秩序，复杂性等等）
– 如一个人的体温是一个关键变量
控制机制
• 被动控制机制
– 缓冲机制
D B E
• 主动控制机制
– 反馈机制 – 前馈机制
D E
R
必要多样性定理
• 控制本质上是一种多样性的降低。 • 所以从某种意义上讲，控制防止系统外界 的多样性进入系统内部。控制系统中各部 分多样性的关系为：
– V(E)>=V(D)-V(R)-B – E是关键变量，D为干扰，R为调控，B为缓冲
– 负反馈的系统会回到y0的附近； – 正反馈的系统会离开y0附近，发散到其他状态去。
正反馈和负反馈
• 顶点对应正反馈过程； • 谷点对应负反馈过程；
系统动力学
• 是对正反馈和负反馈机制的扩展
• A－>B－>C－>D－>A • 《第五项修炼》彼得圣吉
目标导向
• 目标导向可以被定义为系统主动的趋向并 保持在某一个状态（或一组状态）的附近 的现象。 • 目标导向和吸引子的概念密切相关。 • 定义吸引子子空间的维度信息，又称作关 键变量（Essential Variables）。
复杂系统科学概况
一般系统论 控制论 信息论 系 统 论 的 〔 老 三 论 〕 自 组 织 理 论 耗散结构论 超循环论 协同学 突变论 系 统 论 的 〔 新 三 论 〕 无尺度网络 混 沌 动 力 学 分 形 理 论 孤 立 子 理 论 斑 图 动 力 学
大系统理论
灰色系统理论 复杂巨系统理论 现代系统科学 非线性科学
• 如果要保证系统的多样性不增加的话，那 么R的多样性必须和经过缓冲的D的多样性 一样或更多才行。即必要多样性定理。
控制系统的基本组成
目标
系统
表达 信息处理 决定
感知
行动
环境
被观测变量 对等性 不对等性
变化规律
被影响变量
干扰
控制等级
目标2 目标1
感知
行动
干扰
认知－必要知识
• 控制不仅要求有足够的多样性（响应行动），同 时在受到扰动时，还需要知道哪个响应才是恰当 的。即关于控制的知识。 • 最理想的情况是系统具有完美的知识，即从干扰 D到响应R之间的一一映射关系。 • 最糟糕的情况是系统没有任何的映射关系，这时 系统必须随机的试验不同的响应，直到找到合适 的为止。这样的测试当然是危险的，可能会导致 系统的“死亡” • 现实的情况是系统具有部分知识，所以必须基于 部分知识进行决策。