趣味数列

趣味数列

（羊群数列）有一则趣题：一牧羊人赶着一群羊通过36个关口，每过一个关口，守关口人将拿走当时羊的一半，然后退还一只，过完这些关口后，牧羊人只剩下2只羊，问原来牧羊人赶多少只羊？

本题的关键是每到关口的守关人留羊的方法相同，即守关人留下当时羊的一半多一只，设过第n关后牧羊人剩下a n+1只羊，则第n关前的羊数为a n只，由分析可建立数列{a n}的递推关系式：

a n+1＝n a

2

＋1，即：2a n+1＝a n＋2（n＝1，2，3，…）

由递推关系式得：a n＝2(a n+1－1)

将a36＝2代入上式可得：a35＝a34＝…＝a1＝2.a1即为牧羊人原来羊的只数2只。

（分桃数列）1979年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：5只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成5等份，只好先去睡觉，准备第二天再分。夜里1只猴子偷偷爬起来，先吃了一个桃子，然后将其分成5等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第2只猴子又爬起来，吃了一个桃子后，也将桃子分成五等份，藏起自己的一份就去睡觉了；以后的3只猴子都照此办理。

问最初至少有多少个桃子？最后至少剩下多少个桃子？假使我们设最初有a1个桃子，猴子每次分剩下的桃子数依次为a2，a3，…，a6，得到一个数列{a n}。可知该

数列的递推公式：a n+1＝a n－1

5

(a n－1)－1

即：a n+1＝a n－4

5

(a n－1)

整理变形得，a n+1＋4＝a n－4

5

(a n＋4)

故{a n＋4}是以4

5

作为公式的等比数列。

∴a6＋4＝(a1＋4)(4

5 )5

欲使a6＋4∈N*，应有a1＋4＝55•m(m∈N*)，故最初至少有桃子a1＝55－4＝3121，从而最后至少剩下桃子a6＝45－4＝1020。

（天平数列）法国数学家梅齐里亚克1624年出版的《组合数学游戏》一书中，有一则问题：

一个商人有一个40磅重的砝码，由于铁落地面而碎成4块，后来称得每块碎片都恰是整数磅，并可用这四块来称从1到40磅之间的任意整数磅的重物。问各块碎片的重量。

该问题的一般化数学模型就称为“天平数列问题”；求一个n 项递增的正整数数列{a n}，使它的项a1，a2，…，a n，,通过“＋”、“－”构成的数值，可以表示个数最多的连续自然数1，2，3，…，S n中的任何一个。“上述问题就是当n＝4 时天平数列问题的一个特例。在此，我们只给出它的结论：a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27。有兴趣的同学可自己探索一下它的解法。