金属电子论习题
金属学作业
一、金属材料1.定义：凡由金属元素或以金属元素为主而形成的，并具有一般金属特性的材料称为金属材料。
2.纯金属与合金纯金属：基本上由一种金属元素组成的材料或物质。
杂质：无益的、偶尔混入的或难于净除而存留下来的元素。
（合金也含）合金：将两种或两种以上的金属元素或金属与非金属元素，经熔炼、烧结或其它方法形成具有金属特性的新物质称为合金。
合金元素：有益的、有意的加入或存留在某一金属材料中的一定数量的元素。
二、金属材料的一般性能1.工艺性能：在冷、热加工条件下表现出来的性能，在于能不能保证生产和制作的问题。
如铸造性、锻造性、焊接性、冲压性能、切削性及热处理性能等。
2.使用性能：在使用条件下表现出来的性能，在于保证能不能应用的问题。
（1）机械性能：材料受不同外力时所表现出来的特性，叫材料的力学性能又称机械性能。
（2）物理性能：包括密度、熔点、膨胀系数、导热性、电磁性等。
（3）化学性能：主要指常温或高温下工作时抵抗各种化学作用的能力。
三、决定金属材料性能的一般因素包括成分、组织、结构。
1.成分：组成金属材料的成分不同，性能不同；2.组织：指用肉眼或借助于各种不同放大倍数的显微镜所观察到的金属材料的内部情景，如晶粒的大小、形状、种类以及各种晶粒之间的相对数量和相对分布。
a）组织的分类：根据放大倍数的不同将组织分为三类：低倍组织或宏观组织：用肉眼或几十倍的放大镜所观察到的组织。
高倍组织或显微组织：用放大100--2000倍的显微镜所观察到的组织。
电镜显微组织或精细组织：用放大几千倍到几十万倍电子显微镜所观察到的组织。
b）有关组织的几个基本概念晶粒：组织的基本组成单位。
晶界：晶粒之间的界面。
亚晶粒：晶粒中的晶粒。
亚晶界：亚晶粒之间的界面。
3.结构：指原子集合体中各原子的具体组合状态。
对组织结构不敏感的性能：当化学成分给定时，金属材料的某些性能对结构的变化，特别是对组织的变化很不敏感，以致从应用角度，可忽略不记，这类性能为对组织结构不敏感性能。
材料物理基础习题
课后练习思考题：第一章晶体结构1-1.试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。
1-2.晶格点阵与实际晶体有何区别和了解？1-3.晶体结构可分为Bravais格子和复式格子吗？1-4.图1.34所示的点阵是布喇菲点阵（格子）吗？为什么？如果是，指明它属于那类布喇菲格子？如果不是，请说明这种复式格子的布喇菲格子属哪类？（a）（b）（c）（d）图1.341-5.以二维有心长方晶格为例，画出固体物理学原胞、结晶学原胞，并说出它们各自的特点。
1-6.倒格子的实际意义是什么？一种晶体的正格矢和相应的倒格矢是否有一一对应的关系？1-7.一个物体或体系的对称性高低如何判断？有何物理意义？一个正八面体（见图）有哪些对称操作？1-8.解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？1-9. 5.晶面指数为（123）的晶面ABC是离原点O最近的晶面，OA、OB和OC分别与基矢、和重合，除O点外,OA、OB和OC上是否有格点？若ABC面的指数为（234），情况又如何？1-10.带轴为[001]的晶带各晶面，其面指数有何特点？1-11. 与晶列[l1l2l3]垂直的倒格面的面指数是什么?1-12. 在结晶学中,晶胞是按晶体的什么特性选取的?1-13. 六角密积属何种晶系?一个晶胞包含几个原子?1-14.体心立方元素晶体, [111]方向上的结晶学周期为多大?实际周期为多大?1-15. 面心立方元素晶体中最小的晶列周期为多大?该晶列在哪些晶面内?1-16. 在晶体衍射中，为什么不能用可见光？第二章固体的结合2-1.试述离子键、共价键、金属键、范德瓦尔斯键和氢键的基本特征.2-2.有人说“晶体的内能就是晶体的结合能”，对吗？2-3.当2个原子由相距很远而逐渐接近时，二原子间的力与势能是如何逐渐变化的？2-4.为什么金属比离子晶体、共价晶体易于进行机械加工并且导电、导热性良好？2-5.是否有与库仑力无关的晶体结合类型?2-6.如何理解库仑力是原子结合的动力?2-7.晶体的结合能,晶体的内能,原子间的相互作用势能有何区别?2-8.原子间的排斥作用取决于什么原因?2-9.原子间的排斥作用和吸引作用有何关系?起主导的范围是什么?2-10.共价结合为什么有“饱和性”和“方向性”?2-11.共价结合,两原子电子云交迭产生吸引,而原子靠近时,电子云交迭会产生巨大的排斥力,如何解释?2-12.试解释一个中性原子吸收一个电子一定要放出能量的现象.2-13.如何理解电负性可用电离能加亲和能来表征?2-14.何为杂化轨道?2-15.你认为固体的弹性强弱主要由排斥作用决定呢,还是吸引作用决定?第三章晶格振动与晶体的热学性质3-1.什么是简谐近似？3-2.试定性给出一维单原子链中振动格波的相速度和群速度对波矢的关系曲线，并简要说明其意义。
第六章 金属电子论习题
11
0.038×10-6 · cm（20 K）
4
固体物理
固体物理学
解（1） 费密能量和费密温度
2 2 2 3 EF (3n ) (3 2)3 2m 2m M 原子 2 2
(1.0551034 ) 2 10.5 103 106 2 3 ( 3 3 . 14 ） 31 3 23 2 9.1110 107.87 10 /(6.02210 )
平均自由程
0 k F 2 nq
代入数据得到：
295 K时
F 5.2310 m
8
20 K时
2.2210 m
6
9
固体物理
固体物理学
6.4 设N个电子组成简并电子气，体积为V，证明T=0 K时
1) 每个电子的平均能量
2) 自由电子气的压强满足
3 0 U EF 5 2 pV NU 3
电子热容为
CV [
2
3
0 N ( EF )(k BT )]k B
3 C 3 3 2 . 08 10 0 N ( EF ) 2 2 V k B T 3.142 (1.3811023 ) 2
3.321042 J 1
2
固体 N ( E ) 4V ( 2 ) E h EF 1 / 2 0 0 0 N ( EF ) 3N / 2EF N ( E ) ( 0 ) N ( EF ) EF
6
34 2
3
2 2 3
5.951019 J 3.72eV
费米温度TF为
EF TF 4.31104 K kB
1
固体物理
固体物理学
6.2 在低温下金属钾的电子热容量的实验结果为：
(完整版)第四章金属自由电子理论
第四章 金属自由电子理论1.金属自由电子论作了哪些假设？得到了哪些结果？解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米－狄拉克统计。
根据这个理论，不仅导出了魏德曼－佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。
2.金属自由电子论在k 空间的等能面和费米面是何形状？费米能量与哪些因素有关？解：金属自由电子论在k 空间的等能面和费米面都是球形。
费米能量与电子密度和温度有关。
3.在低温度下电子比热容比经典理论给出的结果小得多，为什么？解：因为在低温时，大多数电子的能量远低于费米能，由于受泡利原理的限制基本上不能参与热激发，而只有在费米面附近的电子才能被激发从而对比热容有贡献。
4.驰豫时间的物理意义是什么？它与哪些因素有关？解：驰豫时间的物理意义是指电子在两次碰撞之间的平均自由时间，它的引入是用来描写晶格对电子漂移运动的阻碍能力的。
驰豫时间的大小与温度、电子质量、电子浓度、电子所带电量及金属的电导率有关。
5.当2块金属接触时，为什么会产生接触电势差？解：由于2块金属中的电子气系统的费米能级高低不同而使热电子发射的逸出功不同，所以这2块金属接触时，会产生接触电势差。
6.已知一维金属晶体共含有N 个电子，晶体的长度为L ，设0=T K 。
试求： （1）电子的状态密度； （2）电子的费米能级； （3）晶体电子的平均能量。
解：(1)该一维金属晶体的电子状态密度为：dEdkdk dZ dE dZ E ⋅==)(ρ …………………………（1） 考虑在k 空间中，在半径为k 和dk k +的两线段之间所含的状态数为：dk Ldk dZ π=∆=k 2 …………………………（2） 又由于 mk E 222η=所以 mkdk dE 2η= …………………………（3） 将（2）和（3）式代入（1）式，并考虑到每个状态可容纳2个自旋相反的电子，得该一维金属晶体中自由电子的状态密度为：EmL E 22)(ηπρ= (4)（2）由于电子是费米子，服从费米—狄拉克统计，即在平衡时，能量为E 的能级被电子占据的几率为：11)(+=-TK E E B F eE f (5)于是，系统中的电子总数可表示为：⎰∞=)()(dE E E f N ρ (6)由于0=T K ，所以当0F E E >，有0)(=E f ，而当0F E E ≤，有1)(=E f ，故（6）式可简化为：⎰=)(FE dE E N ρ＝⎰0022FE dE E m L ηπ＝240FmE L ηπ由此可得： 222208mL N E Fηπ= (7)（3）在0=T K 时，晶体电子的平均能量为： ⎰∞=0)()(1dEE E Ef N E ρ＝dE EmL E N FE 2210⎰⋅ηπ＝230)(232F E m N L ηπ＝022223124F E mL N =ηπ 7.限制在边长为L 的正方形中的N 个自由电子，电子的能量为)(2),(222y x y x k k mk k E +=η。
第三章 金属电子论(09年10月)
u tΔΔS为平均附加速度:v0.23~2.4 nm电子在发生碰撞前可自由穿过10个晶格。
A. Sommerfeld下，电子的能量和动量不随时间或位置改变，此时可以用: ，其中的方向为平面波的方向，(E)和动量(P)由德布罗意关系表示n 2、n 3是整数。
从上述分析可见，在k 空间，电子的状态是分立的，只允许波矢k 具有确定的分立值。
这样k 可以被解释为量子数。
因此单电子的本征能量亦取分立值。
由于单电子的本征能量为：的区域所允许的k 点(许可态)的数目个电子对许可k 态的占据，简单地由泡利不相容原理态，电子自旋能够取两个可能值：k 空间的电子态密度自由电子气系统的基态T=0K ，N 个自由电子的基态，可从能量最态开始，按能量从低到态两个电子，依次填充个电子，它的空间具有最k F 为半费米球，其。
对于基态，费米球内所有状态都被电子占据，而费米球外的状态全部未被定义为费米球的表面，在基态它把占据态和未N 个自由电子的基态为电子浓度。
相对应的能量称为费米能量：所受到的外力为：由于自由电子的动量与波矢之间的关系：则由牛顿第二定律可知：从上式可以看出，波矢k将随时间变化。
时刻将电场施加到电子气的基态，则在后一时刻费米球中心将移到新的位置：如果不发生碰撞，恒定的外加电场将使k空间中的费米球匀速移动。
由于电子与离子实的碰撞将使电子失τ为迟豫时间，Δk决定电子的漂移速度(平均速度) 。
不同的是，在量子体系中，由于非平衡费米球中与E=0时费米球交叠部分，方向上分布的对称性，对电流没有贡献。
电流来源于原费米球面撞，费米球整体的位移Δk和外力F的关系可由下式给出：为电子的漂移速度。
项为自由电子加速度而项表示碰撞效应项(相当于电子遭受碰撞而引入的摩擦阻力。
作用在一个电子上的洛仑兹力为：数为零，于是：则运动方程为：轴平行于磁场，于是运动方程可写为：其中。
：固体的界面效应和表面效应在金属自由电子模型中，金属内部被假设为均匀势场，离子实提供一个正电背景。
黄昆版固体物理学课后答案解析答案 (2)
《固体物理学》习题解答黄昆 原着 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1∴52.06r8r34a r 34x 3333=π=π=π=（2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 3（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 3、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(ac 2/1≈=证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是：NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
…、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩r r r r r rr r r由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ωr r r31230,,22(),0,224,,022a a a a a a a a a a Ω=⋅⨯==r r rQ ，223,,,0,()224,,022i j ka a a a a i j k a a ⨯==-++r rr r r r r r同理可得：232()2()b i j k ab i j k aππ=-+=+-r rr r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。
固体物理金属电子论作业答案
E48 1040 F m 2 105V m 1 9.25 1017 m 1.6 1019 C
Cl+离子位移：
l
Eeff
q
3.29 1040 F m 2 105V m 1 2.06 1016 m 1.6 1019 C
2m 2 9.1110 kg
8.711019 J 5.44eV
EF 0 8.7110 19 J TF 63116 K 23 k B 1.38 10 J / K
2）费米波矢
k F 3 n
2
1/ 3
(3 3.142 5.86 1022 cm3 )1/ 3 1.20 108 cm1
•传统硅基集成电路的栅介电材料和互连介质材料均为SiO2，但随集成度的提高， 需要提高栅介电的介电常数，而互连介质的介电常数最好能降低。根据克劳修斯莫索提关系，请试给出你认为可行的技术措施。 答：根据克劳修斯-莫索提关系，介电常数与原子密度和原子极化率有关。 提高介电常数：掺N(致密度或极化率提高）或采用其它氧化物（ZrO2、HfO2等） 降低介电常数：掺F（利用F离子强束缚电子特性降低极化率）或制备多空SiO2或 采用有机材料。
3） 费米速度
0 2 EF k F 1.05 10 34 J s vF 1.20 1010 m 1 m m 9.1110 31 kg
1.38 106 m / s 1.38 108 cm / s
3.用a3代表每个原子占据的体积，若金属中的自由电子气体在温 度为0K时能级被填充到kF0=(62)1/3/a，试计算每个原子的价电子 数目？并导出电子气在温度0K时的费米能的表达式？ 解：假设价电子数位Z，则电子浓度为： n
金属的电子论 6-1
经典理论的局限性
★金属中存在着电子，根据自由电子论，
金属的电导率电子密度n，
但为什么电子密度较大的二价金属（如Be、Mg、 Zn、 Cd等）和三价金属（如Al、In等）的电导 率反而低于一价金属（如Cu、Ag、Au等）? ★自由电子论无法解释为什么有些金属的Hall系数 会大于0（如Al、In、Zn、Cd等）；
第六章
金属电子论
第一讲
费米统计和电子热容量；
功函数和接触电势。
1
金属(Metal)在固体研究中有特殊的地位。金属是极 好的导电体和导热体(Electrical and heat conductors)， 有延展性(Ductile)并有光亮的表面。这些金属性质的 解释极大地推动了现代固体物理的发展。 实际上，从十九世纪末到现在，金属研究一直处 在固体研究的中心。对金属的研究导致了能带论的 提出,最后在能带论的基础上,建立了对包括金属,半 导体,绝缘体的固体电性质的统一的理论.并由此发 展出整个电子工业的理论基础.
11
2. T＝0 K 时电子的分布
T＝0 K 时，电子的分布函数为 f(E) =
EF
0
f(E) T＝0 1
{0
kF 2m
2 2
1
E EF0 E > EF0
0
—— 费米能
0
EF0
E
kF
2mEF
2
—— 费米半径
PF k F m V F —— 费米动量
12
vF
kF m
从量子力学的观点看，电子是费米子(fermion)应服 从Fermi-Dirac统计而不是经典的Maxwell统计。 Fermi-Dirac统计指出，在量子态上的平均占据数为：
《固体物理学》房晓勇主编教材-习题解答参考pdf05第五章_金属电子论基础
8.45
×1022
⎤1/ ⎦
3
=
5.2 限制在边长为 L 的正方形的 N 个电子，单电子能量为
( ) ( ) E kx, ky
=
2
k
2 x
+
k
2 y
2m
（1）求能量 E 到 E+dE 之间的状态数； (2) 求绝对零度时的费米能量。 解：（参考中南大学 4.6，王矜奉 6.2.2，林鸿生 1.1.83，徐至中 5-2） （1）如《固体物理学》图 5-1 所示，每个状态点占据的面积为
G′(E) = 2 dZ ⋅ dk = 2 L2 k • dk dE 2π
m = L2m 2k π 2
得二维金属晶体中自由电子的状态密度为：
…………………………（4）
g(E)
=
G′(E) S
=
1 L2
L2m π2
=
m π2
………………………（5）
（2）根据《固体物理学》式 金属的电子浓度
3
∫ ∫ n =
2π i 2π = (2π )2
Lx Ly
L2
所以每个单位
k
空间面积中应含的状态数为
L2
(2π )2
，
d k 面积元中应含有的状态数为
dZ
=
L2
(2π )2
d
k
而单电子能量为
( ) ( ) E kx, ky
=
2
k
2 x
+
k
2 y
2m
= 2k2 2m
E+dE E
可见在 k 空间中等能曲线为一圆，如图所示，在 E——E+dE 两个等能圆之间的
2
金属学原理习题及答案
金属学原理习题库第一章1. 原子中一个电子的空间位置和能量可用哪四个量子数来决定？2. 在多电子的原子中，核外电子的排布应遵循哪些个原则？3. 铬的原子序数为24，共有四种同位数：4.31%的Cr 原子含有26 个中子，83.76%含有28 个中子，9.55%含有29 个中子，且2.38%含有30 个中子。
试求铬的原子量。
4. 铜的原子序数为29，原子量为63.54，它共有两种同位素Cu63 和Cu65，试求两种铜的同位素之含量百分比。
5. 已知Si 的原子量为28.09，若100g 的Si 中有5×1010 个电子能自由运动，试计算：(a)能自由运动的电子占价电子总数的比例为多少？(b)必须破坏的共价键之比例为多少？6. 何谓同位素？为什么元素的相对原子质量不总为正整数？7. 已知Si 的相对原子质量为28.09，若100g 的Si 中有5×1010 个电子能自由运动，试计算：(a)能自由运动的电子占价电子总数的比例为多少？(b)必须破坏的共价键之比例为多少？第二章1. 试证明四方晶系中只有简单立方和体心立方两种点阵类型。
2. 为什么密排六方结构不能称作为一种空间点阵？3. 标出面心立方晶胞中（111）面上各点的坐标。
4. 标出具有下列密勒指数的晶面和晶向：a)立方晶系(421)，(-123)，(130)，[2-1-1]，[311]；b)六方晶系(2-1-11)，(1-101)，(3-2-12)，[2-1-11]，[1-213]。
5. 试计算面心立方晶体的(100)，(110)，(111)，等晶面的面间距和面致密度，并指出面间距最大的面。
6. 平面A 在极射赤平面投影图中为通过NS 及核电0°N，20°E 的大圆，平面B的极点在30°N，50°W 处，a)求极射投影图上两极点A、B 间的夹角；b)求出A 绕B 顺时针转过40°的位置。
《固体物理·黄昆》第七章(1)(1)
(2) 从电子的热容量可获得费米面附近能态密度的信 息。
一般温度下，晶格振动的热容量比电子的热容量大得多。 在温度较高下，晶格振动的热容量是主要的，热容量基 本是一个常数。
低温范围下不能忽略电子的 热容量。
C Metal V
CVPhonon bT 3
CVElectron T
EF0 kB
物理意义：设想将EF0转换成热振动能，相当于多高
温度下的振动能。
金属：TF： 104 ~ 105 K
对于金属而言，由于T << TF总是成立的，因此，只有 费米面附近的一小部分电子可以被激发到高能态，而 离费米面较远的电子则仍保持原来（T＝0）的状态， 我们称这部分电子被“冷冻”下来。因此，虽然金属 中有大量的自由电子，但是，决定金属许多性质的并 不是其全部的自由电子，而只是在费米面附近的那一 小部分。
EF
E
0 F
[1
2
12
(
kBT EF0
)2
]
温度升高，费米能 级下降
EF
EF0
[1
2
12
(
kBT
E
0 F
)
2
]
T 300 K
kBT 2.6 102 eV
kBT
E
0 F
1
EF0 ~ several eV
EF EF0
三、 电子热容量
根据电子的能量分布得电 U f (E)EN (E)dE
子总能量：
由于（-f/E）具有类似函数特征，改变积分下限并
不会改变积分值
N
Q(EF ) (
f )dE E
Q '(EF ) (E
EF )(
黄昆版固体物理学课后答案解析答案 (3)
《固体物理学》习题解答黄昆 原着 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1∴52.06r8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 3（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯n=1232126112+⨯+⨯=6个（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 3、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(ac 2/1≈=证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是：NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
…、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩r r r r r rr r r由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ωr r r31230,,22(),0,224,,022a a a a a a a a a a Ω=⋅⨯==r r rQ ，223,,,0,()224,,022i j ka a a a a i j k a a ⨯==-++r rr r r r r r 同理可得：232()2()b i j k ab i j k aππ=-+=+-r rr r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。
固体物理金属中自由电子论
§5.2 Sommerfeld展开式及其应用
电子由于碰撞而失去其定向运动。
费米球心移动的距离为
Δk
=
dk dt
⋅τ
=
−
eτ
h
ετ：平均自由时间源自电子的定向漂移速度为Vd
=
1 m
⋅
hΔk
=
− eτ
m
ε
电流密度：
j
=
−neVd
=
ne2τ
m
⋅ε
=
σ
⋅ε
∴σ = ne2τ
m
第二种解释：只有在费米面
ky
附近未被抵消部分的电子才
对传导电流有贡献。
这部分电子所占的分数为
0.5
0
E F
E
0
E F
E
对于金属而言，由于T << TF总是成立的，因此， 只有费米面附近的一小部分电子可以被激发到高能 态，而离费米面较远的电子则仍保持原来（T＝0）的 状态，我们称这部分电子被“冷冻”下来。因此，虽然 金属中有大量的自由电子，但是，决定金属许多性质 的并不是其全部的自由电子，而只是在费米面附近的 那一小部分。
Z
(E)
=
2⋅
ρ
(k)⋅
4πk3
3
=
2⋅
V
8π
3
⋅
4π
3
(
2m
《固体物理学》房晓勇主编教材-思考题解答参考05第五章_金属电子论基础
金属电子气模型的费米面是球形。
5.4 说明为什么只有费米面附近的电子才对比热、电导和热导有贡献？ 解答：本质是，对比热、电导和热导有贡献的电子是其能态能够发生变化的电子，只有费米面附近的电子 才能从外界获得能量发生能态跃迁。 如对比热有贡献的电子是其能态可以变化的电子，能态能够发生变化的电子仅是费米面附近的电子，因为， 在常温下，费米球内部离费米面远的状态全被电子占据，这些电子从格波获取的能量不足以使其跃迁到费 米面附近或以外的空状态上。只有费米面附近的电子吸收声子后能跃迁到费米面附近或以外的空状态上。 对电导，考虑到泡利不相容原理的限制，只有费米面附近的电子才有可能在外电场作用下，进入较高能级， 因而才会对金属电导率有贡献。而对于能量比费米能级低得多的电子，由于它附近的能态已经被占据，没 有可以接受它设为空态，所以这些电子不可能从外场获得能量而改变其状态，因而它们并不参与导电。 热导与电导相似，
解答：在 T = 0 时，所有电子能量不超过费米能量 EF ，因此没有电子脱离金属；但是，当金属被加
热到很高温度时，将有一部分电子获得的能量大于逸出功，从而脱离金属表面形成热电子发射电流，这种 现象称为热电子效应。
5.10 产生接触电势差的原因是什么？
解答：当两块不同的金属 1 和 2 相接触，或用导线连接时，两块金属将彼此带电并产生不同的电势U1
5.5 自由电子气的许多性质与费米波矢有关，试列举或导出下列参数与费米波矢的关系： （1）绝对零度时时的费米能量； （2）电子数密度： （3）金属电子气的总能量； （4）与费米能级对应的能态密度； （5）电子比热。
解答：（1）根据《固体物理学》式
5-19，绝对零度时时的费米能量 EF0
金属电子论
f1, f2, … 分别表示包含 E 的一次幂, 二次幂, … 项, 0 级 项实际上就是平衡情况下的费米分布函数 f0 . 得到
q
E
k
f0
q
E
k
f1
f1 f2
等式两边 E 的同次幂的项相等给出f1qEFra bibliotekkf0,
f2
q
E k
f1
从一次幂方程得
f1
q
E k
f0
由于 f0 只是 E(k) 的函数, 上式又可以写成
§6-5 各向同性弹性散射和弛豫时间
考虑一个可以具体导出弛豫时间的特例, 即完全各向 同性而且电子散射（碰撞跃迁）是弹性的情况
首先它的能带情况是各向同性的, E(k) 只是 k 的函数, k 空间的等能面是一些围绕原点的同心球面
其次, 散射是弹性的, k 只跃迁到相同能量的 k’ 态, 可 以表示如下：
2
m*
k12 k22 k32
(k) f0 d k /(2 )3
E
2q2
3
k m*
2
(k
)
f0 E
d
k
/(2
)3
8 q2
3
2k 2 m*2
(k
)
f0 E
dk
/(2 )3
q2
3 2m*
k
3
(k
)
f0 E
dE
q2 m*
k03
3 2
(k0 )
其中 k0 表示 E=EF0 时的 k 值
另外, 弹性波具有恒定的速度
cq
c 是常数, 对横波和纵波各有不同的值: c ct (横波) c cl (纵波)
由一个格波引起的整个晶格中的势场变化
固体物理期末复习题目及答案
第一章 晶体结构1、把等体积的硬球堆成下列结构，求球可能占据的最大体积和总体积之比。
（1）简立方 （2）体心立方 （3）面心立方（4）金刚石 解：（1）、简立方，晶胞内含有一个原子n=1，原子球半径为R ，立方晶格的顶点原子球相切，立方边长a=2R,体积为()32R ，所以 ()33344330.5262n R R K V R πππ⋅==== （2）、体心立方晶胞内含有2个原子n=2，原子球半径为R ，晶胞边长为a ，立方晶格的体对角线原子球相切，体对角线长为4个原子半径，所以43a R =3334423330.68843n R R K V R πππ⋅⨯====⎛⎫⎪⎝⎭（3）、面心立方晶胞内含有4个原子n=4，晶胞的面对角线原子球相切，面对角线长度为4个原子半径，立方体边长为a,所以42a R =3334442330.74642n R R K V R πππ⋅⨯====⎛⎫⎪⎝⎭(4)、金刚石在单位晶格中含有8个原子，碳原子最近邻长度2R 为体对角线14长，体对角线为83R a = 3334483330.341683n R R K V R πππ⋅⨯====⎛⎫⎪⎝⎭2、证明面心立方和体心立方互为倒格子。
09级微电子学专业《固体物理》期末考复习题目至诚 学院 信息工程 系 微电子学 专业 姓名： 陈长彬 学号： 2109918033、证明：倒格子原胞体积为()3*2cvvπ=，其中v c为正格子原胞的体积。
4、证明正格子晶面 与倒格矢正交。
5能写出任一晶列的密勒指数，也能反过来根据密勒指数画出晶列；能写出任一晶面的晶面指数，也能反过来根据晶面指数画出晶面。
见课件例题 以下作参考： 15.如图1.36所示，试求：（1） 晶列ED ，FD 和OF 的晶列指数；（2） 晶面AGK ,FGIH 和MNLK 的密勒指数； （3） 画出晶面（120），（131）。
密勒指数：以晶胞基矢定义的互质整数( )。
第三章 金属电子论(09年10月)
u tΔΔS为平均附加速度:v0.23~2.4 nm电子在发生碰撞前可自由穿过10个晶格。
A. Sommerfeld下，电子的能量和动量不随时间或位置改变，此时可以用: ，其中的方向为平面波的方向，(E)和动量(P)由德布罗意关系表示n 2、n 3是整数。
从上述分析可见，在k 空间，电子的状态是分立的，只允许波矢k 具有确定的分立值。
这样k 可以被解释为量子数。
因此单电子的本征能量亦取分立值。
由于单电子的本征能量为：的区域所允许的k 点(许可态)的数目个电子对许可k 态的占据，简单地由泡利不相容原理态，电子自旋能够取两个可能值：k 空间的电子态密度自由电子气系统的基态T=0K ，N 个自由电子的基态，可从能量最态开始，按能量从低到态两个电子，依次填充个电子，它的空间具有最k F 为半费米球，其。
对于基态，费米球内所有状态都被电子占据，而费米球外的状态全部未被定义为费米球的表面，在基态它把占据态和未N 个自由电子的基态为电子浓度。
相对应的能量称为费米能量：所受到的外力为：由于自由电子的动量与波矢之间的关系：则由牛顿第二定律可知：从上式可以看出，波矢k将随时间变化。
时刻将电场施加到电子气的基态，则在后一时刻费米球中心将移到新的位置：如果不发生碰撞，恒定的外加电场将使k空间中的费米球匀速移动。
由于电子与离子实的碰撞将使电子失τ为迟豫时间，Δk决定电子的漂移速度(平均速度) 。
不同的是，在量子体系中，由于非平衡费米球中与E=0时费米球交叠部分，方向上分布的对称性，对电流没有贡献。
电流来源于原费米球面撞，费米球整体的位移Δk和外力F的关系可由下式给出：为电子的漂移速度。
项为自由电子加速度而项表示碰撞效应项(相当于电子遭受碰撞而引入的摩擦阻力。
作用在一个电子上的洛仑兹力为：数为零，于是：则运动方程为：轴平行于磁场，于是运动方程可写为：其中。
：固体的界面效应和表面效应在金属自由电子模型中，金属内部被假设为均匀势场，离子实提供一个正电背景。
黄昆版固体物理学课后答案解析答案 (1)
《固体物理学》习题解答黄昆 原着 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 3（4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 3、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
…、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩r r r r r rr r r由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=⨯Ωr r r31230,,22(),0,224,,022a a a a a a a a a a Ω=⋅⨯==r r rQ ，223,,,0,()224,,022i j ka a a a a i j k a a ⨯==-++r rr r r r r r同理可得：232()2()b i j k ab i j k aππ=-+=+-r rr r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
kF
(3n
2
)
1 3
8
固体物理
固体物理学
(5) 在室温以及低温时电子的平均自由程
电导率
q2 m*
n (EF0 )
弛豫时间
( E F0
)
m*
nq 2
平均自由程
v (EF0 )
m*v
nq 2
kF
nq2
0 K到室温之间的费密半径变化很小
9
固体物理
固体物理学
或近自由电子近似情况下
固体物理
固体物理学
第六章 习题参考解答
6.1 He3的自旋为1/2，是费米子。液体He3的绝对零度附近的密 度为0.081 g cm-3，计算费米能EF和费米温度TF
6.1 解： 在绝对零度时，等能面近似为球面
He3一个原子含两个质子和一个中子，原子量为3，自由 电子数为2
N原子 N电子 / 2
M V
（1）费米能和费米温度 （2）费米球半径 （3）费米速度 （4）费米球面的横截面积 （5）在室温及低温时电子的平均自由程 Ag的密度=10.5g/cm3 原子量=107.87 电阻率=1.61×10-6 ·cm（295 K）
0.038×10-6 ·cm（20 K）
5
固体物理
固体物理学
解（1） 费密能量和费密温度
EF
2
2
(3n 2 ) 3
2m
2
(3
2m M原子
2
2)3
(1.0551034 )2 2 9.111031
(3
10.5103 106 107.87103 /(6.0221023)
2
3.142）3
8.821019 J 5.50eV
费米温度为
TF
EF kB
6.39 104 K
6
固体物理
固体物理学
N原子 M原子 V
N电子 M 原子 2V
n 2
M 原子
式中n是电子浓度
n 2 / M原子
固体物理
固体物理学
费米能EF为
n 2 / M原子
EF
2
2
(3n 2 ) 3
2m
2 (3 2
2m M原子
2
2)3
(1.0551034 )2 2 9.111031
(3
2 0.081103 106 3103 /(6.0221023)
电子热容为
CV
[ 2
3
N (EF0 )(kBT )]kB
N
(EF0
)
3 2kB2
CV T
3 3.142
2.08103 (1.3811023
)2
3.321042 J 1
3
固体物理
固体物理学
N
(
N(
EF0
E
)
)
4V
(
2m h2
3N / 2EF0
)3/2 E1/2
N(E)
(
EF EF0
)1/
2
)3
/
2
E1/ 2dE
U
3 5
EF0
将电子气看作是理想气体，压强
p
1 nmv 2
2 mv 2 n
2
nU
3
32 3
2 NU 3V
vx2 vy2 vz2 v2 / 3
pV 2 NU 3
12
EF
EF0
1
2
12
kBT EF0
2
EF0
平均自由程
k
0 F
nq2
代入数据得到：
295 K时 F 5.23 10 8 m
20 K时 2.22106 m
10
固体物理
固体物理学
6.4 设N个电子组成简并电子气，体积为V，证明T=0 K时
1) 每个电子的平均能量 2) 自由电子气的压强满足
U
3 5
2
3.142）3
5.951019 J 3.72eV
费米温度TF为
TF
EF kB
4.31104 K
2
固体物理
固体物理学
6.2 在低温下金属钾的电子热容量的实验结果为：
C 2.08T mJ / mol K
求钾的费米温度TF 和费米面上的能态密度N(EF)。 解：摩尔电子热容，考虑材料含一摩尔K原子，电子数N=NA，
（2）费米球半径
kF
2mEF
2 9.111031 8.821019 1.0551034
1.201010 m1
（3）费米速度
VF
kF m
1.055
10 34 1.20 9.1110 31
1010
1.39 106 m / s
固体物理
固体物理学
(4) 费密球面的横截面积
S (kF sin )2 4.52 sin 2m2
EF0
pV 2 NU 3
解：
自由电子的能态密度
N
(E)
4V
(
2m h2
)3/
2
E1/
2
T=0 K，费米分布函数
f
(E)
1 0
(E EF0 ) (E EF0 )
11
固体物理
电子总数
固体物理学
N 0 N (E) f (E)dE
电子平均能量
U
EF0 EN (E)dE 0
EF0 0
4V
(
2m h2
N
(
EF0
)
TF
Байду номын сангаас
EF0 kB
3N 2kB N (EF0 )
3 6.0221023 21.3811023 3.321042
19624K
N
(E)
(
EF EF0
)1/
2
N
(EF0
)
EF
E
0 F
[1
2
12
(
kBT EF0
)2
]
4
固体物理
固体物理学
6.3 若将银看成具有球形费米面的单价金属计算以下各量：