2018朝阳区高三一模数学理科答案
2018-2019朝阳区一模数学理科试题与答案(K12教育文档)
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北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学 (理）2019．3本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答 无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|1}A x x =>，集合2{|4}B x x =<，则A B =A ．{|2}x x >-B ．{|12}x x <<C ．{|12}x x ≤<D ．R 2．在复平面内,复数12iiz +=对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．41()x x-的展开式中的常数项为A ．12-B ．6-C ．6D ． 12 4．若函数22,1,()log ,1x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩,则函数()f x 的值域是A ．(,2)-∞B ．(,2]-∞C ．[0,)+∞D ．(,0)(0,2)-∞5．如图，函数()f x 的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则()f x 的解析式可以是A ．()sin(2)3f x x π=+B ．()sin(4)6f x x π=+C ．()cos(2)3f x x π=+D ．()cos(4)6f x x π=+12π1-1O 3π xy712π6．记不等式组0,3,yy xy kx≥⎧⎪≤+⎨⎪≤⎩所表示的平面区域为D．“点(1,1)D-∈”是“1k≤-"的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1）,则该三棱锥的体积为A．4B．2C．83D．438．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14,10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是A．5 B．6 C．7 D．8第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分,共30分．把答案填在答题卡上．9．双曲线2214xy-=的右焦点到其一条渐近线的距离是．10．执行如图所示的程序框图，则输出的x 正（主）视图俯视图侧（左）视图11．在极坐标系中，直线cos1ρθ=与圆4cosρθ=相交于,A B 两点，则AB=___．12．能说明“函数()f x的图象在区间[]0,2上是一条连续不断的曲线．若(0)(2)0f f⋅>，则()f x在(0,2)内无零点”为假命题的一个函数是．13．天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石(如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是．14．在平面内，点A是定点，动点CB,满足||||1AB AC==，0AB AC⋅=，则集合{=+,12}|P AP AB ACλλ≤≤所表示的区域的面积是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．(本小题满分13分）在ABC△中，21a=，120A∠=︒，ABC△的面积等于3,且b c<．（Ⅰ)求b的值；（Ⅱ）求cos2B的值．图1 图216．（本小题满分13分）某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟)．将统计数据按[5,10),[10,15),[15,20),,[35,40]分组，制成频率分布直方图:时间（分钟）乙站甲站时间（分钟）假设乘客乘车等待时间相互独立．(Ⅰ）在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取1人，记为A;从乙站的乘客中随机抽取1人，记为B.用频率估计概率，求“乘客A，B乘车等待时间都小于20分钟”的概率;（Ⅱ）从上班高峰时段,从乙站乘车的乘客中随机抽取3人，X表示乘车等待时间小于20分钟的人数，用频率估计概率,求随机变量X的分布列与数学期望.17．（本小题满分14分)如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD．四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且//AD BC，90BAD∠=︒，1AB AD==，3BC=．（Ⅰ)求证:AF CD⊥;(Ⅱ）求直线BF与平面CDE所成角的正弦值；(Ⅲ)线段BD上是否存在点M,使得直线//CE平面AFM？若存在，求BMBD的值;若不存在，请说明理由．18．(本小题满分13分)EDC BAF已知函数ln()()ax f x x= (R a ∈且0)a ≠.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； (Ⅱ）当1a =-时,求证:()1f x x ≥+； （Ⅲ）讨论函数()f x 的极值．19．（本小题满分14分)已知点00(,)M x y 为椭圆22:12x C y +=上任意一点，直线00:22l x x y y +=与圆22(1)6x y -+=交于,A B 两点，点F 为椭圆C 的左焦点． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率及左焦点F 的坐标； （Ⅱ）求证:直线l 与椭圆C 相切；（Ⅲ）判断AFB ∠是否为定值,并说明理由．20．（本小题满分13分）在无穷数列{}n a 中，12,a a 是给定的正整数，21n n n a a a ++=-，N n ∈*．（Ⅰ）若123,1a a ==，写出910100,,a a a 的值； （Ⅱ）证明：数列{}n a 中存在值为0的项;（Ⅲ）证明:若12,a a 互质,则数列{}n a 中必有无穷多项为1．北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学（理)答案2019．3一、选择题：（本题满分40分）二、填空题:（本题满分30分）三、解答题：（本题满分80分） 15． （本小题满分13分)解:（Ⅰ）由已知得2221=sin 2=2cos120.S bc A b c bc ⎧⎪⎨⎪+-︒⎩整理得22=4,=17.bc b c ⎧⎨+⎩解得=1,=4b c ⎧⎨⎩，或=4,=1.b c ⎧⎨⎩因为b c <，所以1b =．………………………………………………….8分（Ⅱ)由正弦定理sin sin a bA B=，即sin 14B =．所以2213cos 2=12sin 114B B -=-= ……………………………….13分16．(本小题满分13分）解:（Ⅰ)设M 表示事件“乘客A 乘车等待时间小于20分钟”，N 表示事件“乘客B 乘车等待时间小于20分钟”,C 表示事件“乘客A,B 乘车等待时间都小于20分钟”．由题意知,乘客A 乘车等待时间小于20分钟的频率为0.0120.0400.048)50.5(++⨯=，故()P M 的估计值为0.5．乘客B 乘车等待时间小于20分钟的频率为0.0160.0280.036)50.4(++⨯=，故()P N 的估计值为0.4．又121()()()()255P C P MN P M P N ==⋅=⨯=.故事件C 的概率为15． (6)（Ⅱ)由（Ⅰ）可知，乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为0.4，所以乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的概率为25。
北京市朝阳区2018届高三3月综合练习(一模)数学(理)试题(解析版)
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知全集为实数集，集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】根据题中条件可求得，所以，故选C.2.复数满足,则在复平面内复数所对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】由得,在复平面内对应的点为,在第一象限,故选.3.直线的参数方程为（为参数），则直线的倾斜角大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】将直线的参数方程化成普通方程可得，所以直线的斜率，从而得到其倾斜角为，故选C.4.已知,为非零向量，则“”是“与夹角为锐角”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据向量数量积的定义式可知，若，则与夹角为锐角或零角，若与夹角为锐角，则一定有，所以“”是“与夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.5.某单位安排甲、乙、丙、丁名工作人员从周一到周五值班,每天有且只有人值班每人至少安排一天且甲连续两天值班,则不同的安排方法种数为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】甲连续天上班,共有（周一，周二）,（周二,周三）,（周三,周四）,（周四,周五）四种情况,剩下三个人进行全排列,有种排法因此共有种排法,故选.6.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于( )A. B. C. D.【答案】D【解析】在长方体中抠点,1.由正视图可知:上没有点;2.由侧视图可知:上没有点;3.由俯视图可知:上没有点;4.由正（俯）视图可知:处有点,由虚线可知处有点,点排除.由上述可还原出四棱锥,如右图所示,,,故选.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响7.庙会是我国古老的传统民俗文化活动,又称“庙市”或“节场”.庙会大多在春节、元宵节等节日举行.庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动,如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋,如果有奖品,则“中奖”）.今年春节期间,某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会,每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前,甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测,预测结果如下:甲说:“我或乙能中奖”；乙说:“丁能中奖”；丙说:“我或乙能中奖”；丁说:“甲不能中奖”.游戏结束后,这四位同学中只有一位同学中奖,且只有一位同学的预测结果是正确的,则中奖的同学是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】A【解析】由四人的预测可得下表:1.若甲中奖,仅有甲预测正确,符合题意;2.若乙中奖,甲、丙、丁预测正确,不符合题意;3.若丙中奖,丙、丁预测正确,不符合题意;4.若丁中奖,乙、丁预测正确,不符合题意;故只有当甲中奖时,仅有甲一人预测正确,选.8.在平面直角坐标系中,已知点,,动点满足,其中,则所有点构成的图形面积为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】设,则,,,所有点构成图形如图所示（阴影部分）,,故选.【方法点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及线性规划的应用及数学的转化与划归思想.属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题中，把向量问题转化为线性规划问题解答是解题的关键.第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为________．【答案】【解析】第四次时,,所以输出.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10.若三个点中恰有两个点在双曲线上,则双曲线的渐近线方程为__________．【答案】【解析】由于双曲线关于原点对称,故在双曲线上,代入方程解得,又因为,所以渐近线方程为.11.函数（）的部分图象如图所示，则__________；函数在区间上的零点为_________．【答案】(1). 2(2).【解析】从图中可以发现，相邻的两个最高点和最低点的横坐标分别为，从而求得函数的周期为，根据可求得，在结合题中的条件可以求得函数的解析式为，令，解得，结合所给的区间，整理得出.方法点睛：该题属于利用所给的函数图像，抓住其中的关键点，确定出函数的解析式，利用最高点和最低点的纵坐标求得A，利用相邻的两个最高点和最低点的横坐标的差求得其周期，从而求得的值，再利用最高点求得，最后确定出函数的解析式，最后利用函数的性质，求得其满足条件的零点.12.已知点若点是圆上的动点,则面积的最小值为__________．【答案】【解析】将圆化简成标准方程,圆心,半径,因为,所以,要求面积最小值,即要使圆上的动点到直线的距离最小,而圆心到直线的距离为,所以的最小值为,故答案为 . 13.等比数列满足如下条件:①②数列的前项和.试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式__________．【答案】【解析】例如,则，故答案为.14.已知，函数当时，函数的最大值是_____；若函数的图象上有且只有两对点关于轴对称，则的取值范围是______．【答案】(1). (2).【解析】当时，，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，而当时，，此时，分母取最小值，分子取最大值，从而得到该式子取得最大值，故最大值为；函数的图像上有且仅有两对点关于轴对称，等价于作轴左边的图像关于轴的对称图形，与轴右侧的图像有两个不同的交点，即方程有两个正根，即函数有两个零点，利用导数研究函数图像的走向，从而确定出所求的参数的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.在中，已知，，（Ⅰ）若ac=5，求的面积；（Ⅱ）若为锐角，求的值．【答案】（Ⅰ）2;（Ⅱ）．【解析】试题分析：第一问该题是有关解三角形问题，第一问根据题中的条件，结合同角正余弦平方和等于，从而求得，利用正弦定理，结合题中的条件，求得，利用三角形的面积公式求得结果；第二问由第一问中的结果，结合题中的条件为锐角，利用同角正余弦平方和等于，可得，最后根据三角形内角和为，利用诱导公式转化，利用和角公式求得结果.（Ⅰ）由，得，因为，所以.因为，所以．故的面积．（Ⅱ）因为，且为锐角，所以.所以．方法点睛：该题考查的是有关解三角形问题，在解题的过程中，一定要抓住题的条件，死咬同角的正余弦平方和等于1，以及灵活应用正弦定理，熟练应用诱导公式以及正弦和角公式，从而能够正确得出结果. 16.如图,在矩形中,,为的中点,为的中点.将沿折起到,使得平面平面（如图）.图1 图2（Ⅰ）求证:；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在点,使得平面?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据等腰三角形的性质可得,由平面平面可得平面,从而可得；（Ⅱ）取中点为,连结，由矩形性质,,可知，由（Ⅰ）可知,，以为原点,为轴,为轴,为轴建立坐标系，求出平面的一个法向量及直线的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果；（Ⅲ）假设在线段上存在点,满足平面，设，利用直线与平面的法向量垂直，数量积为零，列方程求解即可..试题解析：（Ⅰ）如图,在矩形中, ,为中点,,为的中点,由题意可知,, 平面平面图1 图2平面平面,平面，平面，平面,，（Ⅱ）取中点为,连结，由矩形性质,,可知，由（Ⅰ）可知,，以为原点,为轴,为轴,为轴建立坐标系，在中,由,则,所以,,设平面的一个法向量为，则,令,则，所以，设直线与平面所成角为，，所以直线与平面所成角的正弦值为. （Ⅲ）假设在线段上存在点,满足平面设，由,,所以，,，若平面,则，所以,解得，所以.【方法点晴】本题主要考查面面垂直的性质以及利用空间向量求线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 17.某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？（Ⅱ）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的．从选考方案确定的8位男生中随机选出1人，从选考方案确定的10位女生中随机选出1人，试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率；（Ⅲ）从选考方案确定的8名男生中随机选出2名，设随机变量求的分布列及数学期望．【答案】（Ⅰ）140人．（Ⅱ）．（Ⅲ）见解析.【解析】试题分析：第一问根据题中所给的统计表，可以得出选考方案确定的有18人，这18人中，选考生物的有10人，所占比例是，在这30人中，选考方案确定的人所占比例是，该校高一年级共420人，所以可以得出学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有人；第二问从表中可以得出所选男生选考方案含有历史学科的概率为，所选女生选考方案含有历史学科的概率为，根据相互独立事件同时发生的概率公式求得结果；第三问根据统计表写出所选的两名男生所选的科目，找出对应的的取值为，分析取每个值时对应的概率，从而得出分布列，利用离散型随机变量的分布列的期望公式求得结果. （Ⅰ）由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有4人，选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有6人，该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有人．（Ⅱ）由数据可知，选考方案确定的8位男生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为；选考方案确定的10位女生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为．所以该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率为．（Ⅲ）由数据可知，选考方案确定的男生中有4人选择物理、化学和生物；有2人选择物理、化学和历史；有1人选择物理、化学和地理；有1人选择物理、化学和政治．由已知得的取值为．，，或.所以的分布列为所以．18.已知函数.（Ⅰ）当时,（i）求曲线在点处的切线方程;（ii）求函数的单调区间；（Ⅱ）若,求证:.【答案】（Ⅰ）（i），（ii）递增区间是,递减区间是；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）（i）求出,求出的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（ii）分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）先利用导数证明,则，再利用二次函数的性质证明，则，从而可得结论.试题解析：（Ⅰ）当时,,定义域为（i）所以切点坐标为,切线斜率为所以切线方程为（ii）令,所以在上单调递减,且所以当时,即所以当时,即综上所述,的单调递增区间是,单调递减区间是. (Ⅱ)方法一:,即设设所以在小于零恒成立即在上单调递减因为所以,所以在上必存在一个使得即所以当时,,单调递增当时,,单调递减所以因为所以令得因为,所以,因为,所以恒成立即恒成立综上所述,当时,方法二:定义域为了证明,即只需证明,即令则令,得令,得所以在上单调递增,在上单调递减所以即,则令因为,所以所以恒成立即所以综上所述,即当时,.【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与极值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.19.已知椭圆的离心率为,且过点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于两点,直线过坐标原点且与直线的斜率互为相反数.若直线与椭圆交于两点且均不与点重合,设直线与轴所成的锐角为,直线与轴所成的锐角为,判断与的大小关系并加以证明.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率为,且过点，结合性质，列出关于、、的方程组，求出、、，即可得椭圆的方程；（Ⅱ）与的大小关系只需看两直线斜率之间的关系，设设，联立,消去得,利用斜率公式以及韦达定理，化简可得，直线的倾斜角互补,可得.试题解析：（Ⅰ）由题可得,解得.所以椭圆的方程为.（Ⅱ）结论:,理由如下:由题知直线斜率存在,设.联立,消去得,由题易知恒成立,由韦达定理得,因为与斜率相反且过原点,设,,联立消去得,由题易知恒成立,由韦达定理得,因为两点不与重合,所以直线存在斜率,则所以直线的倾斜角互补,所以.20.已知集合是集合的一个含有个元素的子集. （Ⅰ）当时,设（i）写出方程的解；（ii）若方程至少有三组不同的解,写出的所有可能取值.（Ⅱ）证明:对任意一个,存在正整数使得方程至少有三组不同的解.【答案】（Ⅰ）（）,（）；（Ⅱ）证明见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）（）利用列举法可得方程的解有:；（）列出集合的从小到大个数中相邻两数的差，中间隔一数的两数差，中间相隔二数的两数差，…中间隔一数的两数差,可发现只有出现次,出现次,其余都不超过次,从而可得结果；（Ⅱ）不妨设记,,共个差数，假设不存在满足条件的，根据的取值范围可推出矛盾，假设不成立，从而可得结论.假设不存在满足条件的,则这个数中至多两个、两个、两个、两个、两个、两个,.试题解析：（Ⅰ）（）方程的解有:（）以下规定两数的差均为正,则:列出集合的从小到大个数中相邻两数的差:;中间隔一数的两数差（即上一列差数中相邻两数和）:4,5,6,6,5,4;中间相隔二数的两数差:;中间相隔三数的两数差:;中间相隔四数的两数差:;中间相隔五数的两数差:;中间隔一数的两数差:.这个差数中,只有出现次,出现次,其余都不超过次,所以的可能取值有.（Ⅱ）证明:不妨设记,,共个差数.假设不存在满足条件的,则这个数中至多两个、两个、两个、两个、两个、两个,从而又这与矛盾,所以结论成立.。
2018-2019朝阳区一模数学理科答案
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学（理）答案2019．3二、填空题：（本题满分30分）三、解答题：（本题满分80分） 15． (本小题满分13分)解：（Ⅰ）由已知得2221=sin 2=2cos120.S bc A b c bc ⎧⎪⎨⎪+-︒⎩整理得22=4,=17.bc b c ⎧⎨+⎩解得=1,=4b c ⎧⎨⎩，或=4,=1.b c ⎧⎨⎩ 因为b c <，所以1b =．………………………………………………….8分（Ⅱ）由正弦定理sin sin a bA B=， 即sin 14B =．所以2213cos 2=12sin 114B B -=-= ……………………………….13分16．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）设M 表示事件“乘客A 乘车等待时间小于20分钟”，N 表示事件“乘客B 乘车等待时间小于20分钟”，C 表示事件“乘客A,B 乘车等待时间都小于20分钟”．由题意知，乘客A 乘车等待时间小于20分钟的频率为0.0120.0400.048)50.5(++⨯=，故()P M 的估计值为0.5．乘客B 乘车等待时间小于20分钟的频率为0.0160.0280.036)50.4(++⨯=，故()P N 的估计值为0.4．又121()()()()255P C P MN P M P N ==⋅=⨯=. 故事件C 的概率为15．………………………………………………………….6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的频率为0.4，所以乙站乘客乘车等待时间小于20分钟的概率为25. 显然，X 的可能取值为0,1,2,3且2(3,)5~X B .所以033327(0)()5125P X C ===；1232354(1)()55125P X C ==⋅=； 2232336(2)()55125P X C ==⋅=；33328(3)()5125P X C ===.故随机变量X 的分布列为2355EX =⨯= .……………….13分 17．(本小题满分14分)解：（Ⅰ）证明：因为ADEF 为正方形，所以AF AD ⊥．又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF I 平面ABCD AD =， 所以AF ⊥平面ABCD ． 所以AF CD ⊥．………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AF ⊥平面ABCD ，所以AF AD ⊥，AF AB ⊥． 因为90BAD ∠=︒，所以,,AB AD AF 两两垂直．分别以,,AB AD AF 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）． 因为1AB AD ==，3BC =，所以(0,0,0),(1,0,0),(1,3,0),(0,1,0),(0,1,1),(0,0,1)A B C D E F ，所以(1,0,1),(1,2,0),(0,0,1)BF DC DE =-==u u u r u u u r u u u r．设平面CDE 的一个法向量为(,,x y =n 则0,0.DC DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n 即20,0. x y z +=⎧⎨=⎩ 令2x =，则1y =-， 所以(2,1,0)=-n ．设直线BF 与平面CDE 所成角为θ，则sin |cos ,|5BF θ=〈〉==u u u r n ．……………….9分 （Ⅲ）设( (01])BMBDλλ=∈，， 设()111,,M x y z ，则()1111,,(1,1,0)x y z λ-=-， 所以1111,,0x y z λλ=-==，所以()1,,0M λλ-，所以()1,,0AM λλ=-u u u u r．设平面AFM 的一个法向量为000(,,)x y z =m ，则0,0.AM AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u rm m 因为()0,0,1AF =u u u r ，所以000(1)0,0.x y z λλ-+=⎧⎨=⎩令0x λ=，则01y λ=-，所以(,1,0)λλ=-m ．在线段BD 上存在点M ，使得//CE 平面AFM 等价于存在[0,1]λ∈，使得0CE ⋅=u u u rm ． 因为()1,2,1CE =--u u u r，由0CE ⋅=u u u r m ，所以2(1)0λλ---=， 解得2[0,1]3λ=∈， 所以线段BD 上存在点M ，使得//CE 平面AFM ，且23BM BD =．……………….14分18． (本小题满分13分) 解：（Ⅰ）当1a =时，ln ()x f x x =．所以21ln ()xf x x-'=． 因为(1)1,(1)0f f '==，所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-．……………….3分（Ⅱ）当1a =-时，ln()()x f x x-=． 函数()f x 的定义域为(,0)-∞． 不等式()1f x x ≥+成立⇔ln()1x x x-≥+成立⇔2ln()0x x x ---≤成立. 设2()ln()g x x x x =---((,0))x ∈-∞，则2121(21)(1)()21x x x x g x x x x x--+-++'=--==．当x 变化时，()g x '，()g x 变化情况如下表：所以()(1)g x g ≤-．因为(1)0g -=，所以()0g x ≤，所以ln()1x x x-≥+．………………………………………………………………….8分 （Ⅲ）求导得21ln()()ax f x x -'=. 令()0f x '=，因为0a ≠可得ex a=． 当0a >时，()f x 的定义域为()0,+∞.当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：此时()f x 有极大值e ()eaf a =，无极小值． 当0a <时，()f x 的定义域为(),0-∞，当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：此时()f x 有极小值e ()ef a =，无极大值．……………………………………………….13分19． (本小题满分14分)解：（Ⅰ）由题意a =1b =，1c =所以离心率c e a ==，左焦点(1,0)F -．………………………………………….4分（Ⅱ）当00y =时直线l 方程为x =x =l 与椭圆C 相切．当00y ≠时，由22001,222x y x x y y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得2222000(2)4440y x x x x y +-+-=， 由题知，220012x y +=，即220022x y +=， 所以 22220000(4)4(2)(44)x y x y ∆=-+- 220016[2(1)]x y =-- =22016(22)0x y +-=． 故直线l 与椭圆C 相切．………………………………………………………….8分（Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，当00y =时，12x x =，12y y =-，1x =2211(1)FA FB x y ⋅=+-u u u r u u u r 2211(1)6(1)x x =+-+-21240x =-=，所以FA FB ⊥u u u r u u u r，即90AFB ∠=o ．当00y ≠时，由2200(1)6,22x y x x y y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 得2222000(1)2(2)2100y x y x x y +-++-=， 则20012202(2)1y x x x y ++=+，21222101y x x y -=+， 2001212122220001()42x x y y x x x x y y y =-++200254422x x y --+=+． 因为1122(1,)(1,)FA FB x y x y ⋅=+⋅+u u u r u u u r1212121x x x x y y =++++2222000000220042084225442222y y x y x x y y -++++--+=+++ 220025(2)10022x y y -++==+． 所以FA FB ⊥u u u r u u u r，即90AFB ∠=o ．故AFB ∠为定值90o ． ………………………………………………………….14分20． (本小题满分13分)解：(I)9101000,1,1a a a ===．.………………………………………………………….3分 (II)反证法：假设i ∀,0.i a ≠由于21n n n a a a ++=-， 记1,2max{}M a a =.则12,a M a M ≤≤.则32101a a a M <=-≤-，43201a a a M <=-≤-,54302a a a M <=-≤-，65402a a a M <=-≤-，L ，依次递推，有76503a a a M <=-≤-，87603a a a M <=-≤-…，则由数学归纳法易得21,.k a M k k *+≤-∈N当k M >时，210,k a +<与210k a +>矛盾. 故存在i ，使=0.i a所以，数列{}n a 必在有限项后出现值为0的项．………………………………………….8分 (III)首先证明：数列{}n a 中必有“1”项．用反证法，假设数列{}n a 中没有“1”项，由(II)知，数列{}n a 中必有“0”项，设第一个“0”项是m a (3)m ≥，令1m a p -=，1,p p >∈N *，则必有2m a p -=，于是，由1233||||m m m m p a a a p a ----==-=-，则32m a p -=，因此p 是3m a -的因数， 由2344|||2|m m m m p a a a p a ----==-=-，则4m a p -=或3p ，因此p 是4m a -的因数. 依次递推，可得p 是12,a a 的因数，因为1p >，所以这与12,a a 互质矛盾．所以，数列{}n a 中必有“1”项．其次证明数列{}n a 中必有无穷多项为“1”.假设数列{}n a 中的第一个“1”项是k a ，令1k a q -=，1,q q >∈N *， 则111k k k a a a q +-=-=-，若1k a +=11q -=，则数列中的项从k a 开始，依次为“1，1，0”的无限循环， 故有无穷多项为1；若111k a q +=->，则213212,1k k k k k k a a a q a a a +++++=-=-=-=， 若221k a q +=-=，则进入“1，1，0”的无限循环，有无穷多项为1；若221k a q +=->，则从k a 开始的项依次为1,1,2,1,3,4,1q q q q ----，……， 必出现连续两个“1”项，从而进入“1，1，0”的无限循环，故必有无穷多项为1．……13分。
2018年高三北京市朝阳区2018届高三(一模)数学
理科数学 2018年高三北京市朝阳区2018届高三(一模)数学(理)试题解析单选题略略略略略略略略填空题略略略略略略略略略略略略单选题（本大题共8小题，每小题____分，共____分。
）1．已知全集为实数集，集合，，则A.B.C.D.2．复数满足，则在复平面内复数所对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3．直线的参数方程为（为参数），则的倾斜角大小为A.B.C.D.4．已知为非零向量，则“”是“与夹角为锐角”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5．某单位安排甲、乙、丙、丁4名工作人员从周一到周五值班，每天有且只有1人值班，每人至少安排一天且甲连续两天值班，则不同的安排方法种数为A.B.C.D.6．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于A.B.C.D.7．庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”．庙会大多在春节、元宵节等节日举行．庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）．今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会．游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”．游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁8．在平面直角坐标系xOy中，已知点,，动点满足,其中，则所有点构成的图形面积为A.B.C.D.填空题（本大题共12小题，每小题____分，共____分。
）9．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为________．10．若三个点中恰有两个点在双曲线上，则双曲线的渐近线方程为_____________．11．函数（）的部分图象如图所示，则____；函数在区间上的零点为____．12．已知点，若点是圆上的动点，则面积的最小值为____．13．等比数列满足如下条件：①；②数列的前项和．试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式____．14．已知，函数当时，函数的最大值是____；若函数的图象上有且只有两对点关于轴对称，则的取值范围是____．15． (本小题满分13分)在中，已知，．（Ⅰ）若，求的面积；（Ⅱ）若为锐角，求的值．16．(本小题满分14分)如图1，在矩形中，，，为的中点，为中点．将沿折起到，使得平面平面（如图2）．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得平面? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．17．(本小题满分13分)某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？（Ⅱ）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的．从选考方案确定的8位男生中随机选出1人，从选考方案确定的10位女生中随机选出1人，试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率；（Ⅲ）从选考方案确定的8名男生中随机选出2名，设随机变量求的分布列及数学期望．18． (本小题满分13分)已知函数．（Ⅰ）当时，（ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若，求证：．19． (本小题满分14分)已知椭圆的离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于两点，直线过坐标原点且与直线的斜率互为相反数．若直线与椭圆交于两点且均不与点重合，设直线与轴所成的锐角为，直线与轴所成的锐角为，判断与大小关系并加以证明．20． (本小题满分13分)已知集合是集合的一个含有8个元素的子集．（Ⅰ）当时，设，（i）写出方程的解；（ii）若方程至少有三组不同的解，写出的所有可能取值；（Ⅱ）证明：对任意一个，存在正整数，使得方程至少有三组不同的解．答案单选题1. C2. A3. C4. B5. B6. D7. A8. C填空题9.410.11.12.213.14.15.（Ⅰ）由，得，因为，所以.因为，所以．故的面积．………………….7分（Ⅱ）因为，且为锐角，所以.所以．………….13分16.（Ⅰ）由已知，因为为中点，所以．因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面．又因为平面，所以．………….5分（Ⅱ）设为线段上靠近点的四等分点，为中点．由已知易得．由（Ⅰ）可知，平面，所以，.以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系（如图）．因为，，所以．设平面的一个法向量为，因为，所以即取，得．而.所以直线与平面所成角的正弦值……….10分（Ⅲ）在线段上存在点，使得平面.设，且，则，．因为，所以，所以，所以，．若平面，则.即.由（Ⅱ）可知，平面的一个法向量，即，解得，所以当时，平面．……….14分17.（Ⅰ）由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有4人，选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有6人，该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有人．……….3分（Ⅱ）由数据可知，选考方案确定的8位男生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为；选考方案确定的10位女生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为．所以该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率为．…….8分（Ⅲ）由数据可知，选考方案确定的男生中有4人选择物理、化学和生物；有2人选择物理、化学和历史；有1人选择物理、化学和地理；有1人选择物理、化学和政治．由已知得的取值为．，，或.所以的分布列为12所以．…….13分18.当时，..（ⅰ）可得，又，所以在点（）处的切线方程为. ….3分（ⅱ）在区间（）上，且，则.在区间（）上，且，则.所以的单调递增区间为（），单调递减区间为（）. ….8分（Ⅱ）由，，等价于，等价于. 设，只须证成立.因为，，由，得有异号两根.令其正根为，则.在上，在上.则的最小值为.又，，所以.则.因此，即.所以所以.….….13分19.Ⅰ）由题意得解得，，．故椭圆的方程为．….….5分（Ⅱ）．证明如下：由题意可设直线的方程为，直线的方程为，设点，，，．要证，即证直线与直线的斜率之和为零，即．因为．由得，所以，．由得，所以．所以．．所以．….….14分20.（Ⅰ）（ⅰ）方程的解有：．……2分（ii）以下规定两数的差均为正，则：列出集合的从小到大8个数中相邻两数的差：1，3，2，4，2，3，1；中间隔一数的两数差（即上一列差数中相邻两数和）：4，5，6，6，5，4；中间相隔二数的两数差：6，9，8，9，6；中间相隔三数的两数差：10，11，11，10；中间相隔四数的两数差：12，14，12；中间相隔五数的两数差：15，15；中间相隔六数的两数差：16这28个差数中，只有4出现3次、6出现4次，其余都不超过2次，所以的可能取值有4，6．…………………………………………………………6分（Ⅱ）证明：不妨设，记，，共13个差数．假设不存在满足条件的，则这13个数中至多两个1、两个2、两个3、两个4、两个5、两个6，从而. …………①又，这与①矛盾！所以结论成立．……………………………………………………………………13分解析单选题略略略略略略略略填空题略略略略略略略略略略略略。
高考最新-朝阳区第一次统一考试(理) 精品
朝阳区2018年高三第一次统一考试卷数学(理工农医类)2018.4本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3到8页．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共40分)参考公式：三角函数的和差化积公式 正棱台、圆台的侧面积公式2cos2sin2sin sin β-αβ+α=β+α ()l c 'c 21S +=台侧 2sin2sin 2sin sin β-αβ+α=β-α 其中、c 'c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长台体的体积公式2cos2cos2cos sin β-αβ+α=β+α ()h S S 'S 'S 31V ++=台球 2sin2cos 2cos cos β-αβ+α-=β-α 其中S 'S 、分别表示上、下底面面积，h 表示高一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的．（1）设()2x x f =，集合A ＝{x}f(x)＝x,x ∈R}，B ＝{x}f[f(x)]＝x,x ∈R,则A 与B 的关系是A ．A ∩B ＝A B ．A ∩B ＝φC ．A ∪B ＝RD ．A ∪B ＝{－1，0，1}（2）已知图中曲线4321C C C C 、、、是函数x log y a =的图象，则曲线4321C C C C 、、、对应a 的值依次为A ．3、2、2131、 B ．2、3、2131、 C ．2、3、3121、 D ．3、2、3121、（3）函数y ＝sinx ＋sin|x|的值域是A ．[－1，1]B ．[－2，2]C ．[0，2]D [0，1]（4）与双曲线116y 9x 22=-有共同的渐近线，且经过点()32,3-的双曲线方程为 A ．19y 44x 22=- B ．19x 44y 22=- D ．14x 9y 422=- D ．14y 9x 422=- （5）山坡水平面成30 角，坡面上有一条与山底坡脚的水平线成30 角的直线小路，某人沿小路上坡走了一段路后升高了100米，则此人行走的路程为A ．300米B ．400米C ．200米D ．3200米 （6）函数y ＝arccosx(－1≤x ≤1)的图象关于y 轴对称的图象记为1C ，而1C 关于直线y ＝x 对称的图象记为2C ，则2C 的解析式是A ．y ＝cosx(0≤x ≤π)B ．y ＝arcsinx(－1≤x ≤1)C ．y ＝－cosx(0≤x ≤π)D ．y ＝π－arccosx(－1≤x ≤1)（7）若三棱锥S —ABC 的项点S 在底面上的射影H 在△ABC 的内部，且是在△ABC 的垂心，则A ．三条侧棱长相等B ．三个侧面与底面所成的角相等C ．H 到△ABC 三边的距离相等D ．点A 在平面SBC 上的射影是△SBC 的垂心（8）抛物线()0p px 2y 2>=与直线⎪⎩⎪⎨⎧θ=θ+=sin t y cos t 2p x （t 为参数）相交的弦的中点对应的参数t 的值等于A ．θθ2sin cos P 2 B ．θ2sin p 2 C ．θθ2sin cos p D ．θ2sin p第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共6分小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．（9）已知()3x log x f 21+=的反函数为)x (f 1-,则使()2x x f 1-<-成立的x 的取值范围是_________．（10）某市电话号码从7位升至8位，这一改变可增加______________个拨号．（11）已知21、F F 是椭圆15y 9x 22=+的左、右焦点，P 为椭圆上一个点，且2:1 |PF |:|PF |21=．则21PF F ∠＝_________，2PF 的倾斜角为________．（12）过棱长为2的正方体1AC 的棱AD 、CD 、11B A 的中点E 、F 、G 作一截面，则△EFG的面积为________，点B 到平面EFG 的距离为_______．（13）已知数列{}n a 中，,1a a ,a a a a a a ,2a ,1a 2n 1n 2n 1n n 2n 1n n 21≠++===++++++则6543a ,a ,a ,a 的值依次是_________，100a ＝________．（14）已知,21cos cos ,21sin sin =αβ-α-=β-α且βα、均为锐角，则cos(α－β)＝__________,ctg(α－β)＝___________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分13分）（Ⅰ）解关于x 的不等式();02x lg x lg 2>--（Ⅱ）若不等式()()01m x lg m 2x lg 2>-++-对于|m|≤1恒成立，求x 的取值范围．（16）（本小题满分13分）设21z ,z 是两个非零复数，且|z z ||z z |2121-=+；设复数21z z z +=，在复平面内与复数z 、21、z z 对应的向量分别为→---→---→---21OZ 、OZ 、OZ ．（Ⅰ）在复平面内画出向量→---→---→---21OZ 、OZ 、OZ ，并说出以O 、1Z 、Z 、2Z 为顶点的四边形的名称；（Ⅱ）求证：221zz ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛是负实数．（17）（本小题满分13分）在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，E 为DC 的中点，沿AE 将△AED 折起，使二面角D －AE －B 为60 ．（Ⅰ）求DE 与平面AC 所成角的大小； （Ⅱ）求二面角D －EC －B 的大小．（18）（本小题满分13分）已知函数f(x)是定义域为R 的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称． （Ⅰ）求f(0)的值；（Ⅱ）证明函数f(x)是周期函数；（Ⅲ）若f(x)＝x(0<x ≤1),求x ∈R 时，函数f(x)的解析式，并画出满足条件的函数f(x)至少一个周期的图象．（19）（本小题满分14分）如图，已知椭圆1by a x :C 2222=+（a>b>0），梯形ABCD(AB ∥CD ∥y 轴，|AB|>|CD|)内接于椭圆C ，E 为对角线AC 与BD 的交点，设|AB|＝m ，|CD|＝n ，|OE|＝d ，dnm -是否存在最大值，若存在，求出最大值并说明存在时的情况；若不存在，请说明理由．(20)(本小题满分14分)一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n(n ≥3，n ∈N)等份，种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花．(Ⅰ)如图1，圆环分成的3等份为321a a ,a 有多少不同的种植方法?如图2，圆环分成的4等份为4321a ,a ,a ,a ，有多少不同的种植方法?(Ⅱ)如图3，圆环分成的n 等份为n 321a ,,a a ,a ，有多少不同的种植方法?参考答案及评分标准15．（Ⅰ）解：∵,02x lg )x (lg 2>-- ∴(lgx ＋1)(lgx －2)>0． ∴lgx<－1或lgx>2． ∴0<x<101或210x >……………………………………………………………………6分 （Ⅱ）解：设y ＝lgx,则(),01m y m 2y 2>-++- ∴01m my y 2y 2>-+-- ∴.0)1y 2y (m )y 1(2>--+- 当y ＝1时，不等式不成立．设),1y 2y (m )y 1()m (f 2--+-=则f(m)是m 的一次函数，且一次函数为单调函数．当－1≤m ≤1时，若要⇔⎪⎩⎪⎨⎧>-+-->-+--⇔⎩⎨⎧>->⇔>.01y 1y 2y ,0y 11y 2y .0)1(f ,0)1(f 0)m (f 22 ⎩⎨⎧>-<><⇔⎪⎩⎪⎨⎧>-->-.2y 1y ,3y 0y .02y y ,0y 3y 22或或则y<－1或y>3．∴lgx<－1或lgx>3． ∴310x 101x 0><<或． ∴x 的取值范围是),10(101,03+∞⎪⎭⎫⎝⎛ ．…………………………………………13分（16）（Ⅰ）图形略，所画图形是矩形．…………………………………………6分 （Ⅱ）证明：由212121、z z |,z z ||z z | -=+不等于零，得,1z z1z z 2121-=+ 它表示复数21z z 在复平面上对应的点到点（－1，0），（1，0）的距离相等， ∴21z z 对应的点是复平面虚轴上的点． ∴21z z 是纯虚数． ∴221)z z (是负实数．………………………………………………………………13分 17．如图1，过点D 作DM ⊥AE 于M ，延长DM 与BC 交于N ，在翻折过程中DM ⊥AE ，MN ⊥AE 保持不变，翻折后，如图2，∠DMN 为二面角D －AE －B 的平面角，∠DMN ＝60 ，AE ⊥平面DMN ，又因为AE ⊂平面AC ，则AC ⊥平面DMN ．…………………………………………4分（Ⅰ）在平面DMN 内，作DO ⊥MN 于O ， ∵平面AC ⊥平面DMN ， ∴DO ⊥平面AC ．连结OE ，DO ⊥OE ，∠DEO 为DE 与平面AC 所成的角． 如图1，在直角三角形ADE 中，AD ＝3，DE ＝2，,1323DE AD AE 2222=+=+=.134AE DE ME ,136AE DE AD DM 2===⋅=如图2，在直角三角形DOM 中，,133360sin DM DO =︒⋅=在直角三角形DOE 中，13233DE DO DEO sin ==∠，则.26393arcsin DEO =∠ ∴DE 与平面AC 所成的角为.26393arcsin……………………………………9分 （Ⅱ）如图2，在平面AC 内，作OF ⊥EC 于F ，连结DF ，∵DO ⊥平面AC ，∴DF ⊥EC ，∴∠DFO 为二面角D －EC －B 的平面角．如图1，作OF ⊥DC 于F ，则Rt △EMD ∽Rt △OFD ，,DEEMDO OF =∴.DEEMDO OF ⋅=如图2，在Rt △DOM 中，OM ＝DMcos ∠DMO ＝DM ·cos60 ＝133．如图1，.1318OF ,139MO DM DO ==+= 在Rt △DFO 中，,213OF DO DFO tg ==∠ ∴二面角D －EC －B 的大小为213arctg ．…………………………………………13分18．（Ⅰ）解：∵函数f(x)是奇数，∴f(x)＝－f(－x)． 令x ＝0,f(0)＝－f(0),2f(0)＝0∴f(0)＝0．…………………………………………………………………………3分（Ⅱ）证：∵函数f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)………………………………（1） 又f(x)关于直线x ＝1对称，∴f(1＋x)＝f(1－x) 在（1）中的x 换成x ＋1，即f(1＋x)＝－f(1－x),即f(1－x)＝－f(－1－x) (2)在（2）中，将1－x 换成x ，即f(x)＝－f(－2＋x) (3)在（3）中，将x 换成2＋x ，即f(2＋x)＝－f(x) (4)由（3）、（4）得：f(－2＋x)＝f(2＋x)． 再将x －2换成x,得：f(x)＝f(x ＋4)．∴f(x)是以4为周期的周期函数．………………………………………………8分（Ⅲ）解：⎩⎨⎧<<+-≤≤-=.3x 12x ,1x 1x)x (f)Z k (.3k 4x 1k 4k42x 1k 4x 1k 4k 4x )x (f ∈⎩⎨⎧+<<+++-+≤≤--=19．解：根据对称性，点E 在x 轴上，设点E 的坐标为（d,0）设BD 的方程为 (x －d)＝k ·y ，1k -为直线BD 的斜率．……………………………………………3分由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1b y ax ,ky d x 2222消去x 得0b a d b dkb 2y )k b a (222222222=-+++………………………………………（※） 设为B 、D 的坐标分别为)y ,x (、)y ,x (2211， 则21、y y 为方程（※）的根，且，y 0y 21<<由韦达定理：.kb a dkb 2y y 222221+-=+…………………………6分 ∵m>0,n>0,∴.k b a dkb 4)y y (2y 2y 2n m 22222121+=+-=--=-………………………………10分 ∴.a b2ab 2b 4k b kab 4k b a kb 4d n m 22222222=≤+=+=- 当且仅当,k b k a 22=即b ak =时，d n m -取最大值,ab 2 即：a bk BD =时，d n m -取最大值.ab 2∴dn m -存在最大值．……………………………………………………14分20．解：（Ⅰ）如图1，先对1a 部分种值，有3种不同的种法，再对32、a a 种值， 因为32、a a 与1a 不同颜色，32、a a 也不同．所以S （3）＝3×2＝6（种）．……4分 如图2，S （4）＝3×2×2×2－S （3）＝18(种)．…………………………………8分(Ⅱ)如图3，圆环分为n 等份，对1a 有3种不同的种法，对n32、a、、a a 都有两种不同的种法，但这样的种法只能保证1a 与)1、n 、3、2i (a i -= 不同颜色，但不能保证1a 与n a 不同颜色．于是一类是n a 与1a 不同色的种法，这是符合要求的种法，记为S(n)(n ≥3)种．另一类是n a 与1a 同色的种法，这时可以把n a 与1a 看成一部分，这样的种法相当于对n －1部分符合要求的种法，记为S(n －1)．共有1n 23-⨯种种法．这样就有.23)1n (S )n (S 1n -⨯=-+即]2)1n (S [2)n (S 1n n ----=-，则数列)3n }(2)n (S {n ≥-是首项为32)3(S -公比为－1的等比数列．则).3n ()1](2)3(S [2)n (S 3n 3n ≥---=-- 由(1)知：S(3)＝6， ∴.)1)(86(2)n (S 3n n ---=- ∴.)1(22)n (S 3n n --⋅-=答：符合要求的不同种法有3n n )1(22--⋅-(n ≥3) ………………………14分。
2018年北京各区一模理科数学分类汇编---数列(含答案)
2018届北京各区一模理科数学分类汇编----数列（含答案） 1.（朝阳）等比数列{}n a 满足如下条件:①10;a >②数列{}n a 的前n 项和1n S <.试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式______.【答案】*1()2nn a n =∈N （答案不唯一） 【解析】本题考查等比数列通项公式和前n 项和.例:①111(1)111220,,11122212n n a q S -=>===-<-,则12n n a = ②121(1)211330,,11133313n n n a q S -=>===-<-,则1212()333n n n a -=⨯= ③131(1)311440,,11144414n n a q S -=>===-<-,则1313()444n n n a -=⨯= 2. （朝阳）已知集合128={,,,}X x x x 是集合{2001,2002,2003,,2016,S =L 2017}的一个含有8个元素的子集. （Ⅰ）当{2001,2002,2005,2007,2011,2013,2016,2017}X=时,设,(1,8),i j x x X i j ∈≤≤（i ）写出方程2i j x x -=的解(,)i j x x ;（ii ）若方程(0)ij x x k k -=>至少有三组不同的解,写出k 的所有可能取值.（Ⅱ）证明:对任意一个X ,存在正整数,k 使得方程(1,i j x x k i -=≤8)j ≤至少有三组不同的解.【解析】（Ⅰ）（i ）方程2i j x x -=的解有:(,)(2007,2005),(2013,2011)i j x x =（ii ）以下规定两数的差均为正,则:列出集合X 的从小到大8个数中相邻两数的差:1,3,2,4,2,3,1; 中间隔一数的两数差（即上一列差数中相邻两数和）:4,5,6,6,5,4; 中间相隔二数的两数差:6,9,8,9,6; 中间相隔三数的两数差:10,11,11,10; 中间相隔四数的两数差:12,14,12; 中间相隔五数的两数差:15,15; 中间相隔六数的两数差:16.这28个差数中,只有4出现3次,6出现4次,其余都不超过2次, 所以k 的可能取值有4,6（Ⅱ）证明:不妨设12820012017x x x ≤<<⋅⋅⋅<≤记1(1,2,,7)ii i a x x i +=-=⋅⋅⋅,1i i i b x x +=-(1,2,,6)i =⋅⋅⋅,共13个差数.假设不存在满足条件的k ,则这13个数中至多两个1、两个2、两个3、两个4、两个5、两个6,从而127126()()2(126)749a a a b b b ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅++=①1271268187218172()()()() 2(-)() 2161a a a b b b x x x x x x x x x x ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=-++--=+-≤⨯+又446=这与①矛盾,所以结论成立.3. （石景山）对于项数为m （1m >）的有穷正整数数列{}n a ,记12max{,,,}k k b a a a =（1,2,,k m =），即k b 为12,,k a a a 中的最大值，称数列{}n b 为数列{}n a 的“创新数列”.比如1,3,2,5,5的“创新数列”为1,3,3,5,5.（Ⅰ）若数列{}n a 的“创新数列”{}n b 为1,2,3,4,4，写出所有可能的数列{}n a ； （Ⅱ）设数列{}n b 为数列{}n a 的“创新数列”，满足12018k m k a b -++=（1,2,,k m =），求证：k ka b =（1,2,,k m =）；（Ⅲ）设数列{}n b 为数列{}n a 的“创新数列”，数列{}n b 中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列{}n a .解：（Ⅰ）所有可能的数列{}n a 为1,2,3,4,1；1,2,3,4,2；1,2,3,4,3；1,2,3,4,4 …………3分（Ⅱ）由题意知数列{}n b 中1k k b b +≥.又12018k m k a b -++=，所以12018k m k a b +-+= …………4分111(2018)(2018)0k k m k m k m k m k a a b b b b +--+-+--=---=-≥所以1k k a a +≥，即k k a b =（1,2,,k m =） …………8分（Ⅲ）当2m =时，由1212b b b b +=得12(1)(1)1b b --=，又12,b b N *∈ 所以122b b ==，不满足题意；当3m =时，由题意知数列{}n b 中1n n b b +>，又123123b b b b b b ++=当11b ≠时此时33b >，12333,b b b b ++<而12336b b b b >，所以等式成立11b =； 当22b ≠时此时33b >，12333,b b b b ++<而12333b b b b ≥，所以等式成立22b =； 当11b =，22b =得33b =，此时数列{}n a 为1,2,3. 当4m ≥时，12m m b b b mb +++<，而12(1)!m m m b b b m b mb ≥->，所以不存在满足题意的数列{}n a .综上数列{}n a 依次为1,2,3. …………13分4. （石景山）如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股 树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长________．1325. （西城）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若12a =，420S =，则3a =____；n S =____．6，2n n +6.（西城） 数列n A ：12,,,(2)n a a a n ≥满足：1(1,2,,)k a k n <=．记n A 的前k 项和为k S ，并规定00S =．定义集合*{n E k =∈N ，|k n ≤k j S S >，0,1,,1}j k =-．（Ⅰ）对数列5A ：0.3-，0.7，0.1-，0.9，0.1，求集合5E ； （Ⅱ）若集合12{,,,}(1n m E k k k m =>，12)m k k k <<<，证明：11(1,2,,1)i i k k S S i m +-<=-；（Ⅲ）给定正整数C ．对所有满足n S C >的数列n A ，求集合n E 的元素个数的最小值．解：（Ⅰ）因为 00S =，10.3S =-，20.4S =，30.3S =，4 1.2S =，5 1.3S =， [ 2分]所以 5{2,4,5}E =． [ 3分] （Ⅱ）由集合n E 的定义知 1i i k k S S +>，且1i k +是使得i k k S S >成立的最小的k ，所以 11i i k k S S +-≤.[ 5分]又因为 11i k a +<，所以 1111i i i k k k S S a +++-=+ [ 6分] 1.i k S <+所以 11i i k k S S +-<． [ 8分] （Ⅲ）因为0n S S >，所以n E 非空．设集合 12{,,,}n m E k k k =，不妨设12m k k k <<<，则由（Ⅱ）可知 11(1,2,,1)i i k k S S i m +-<=-，同理 101k S S -<，且 m n k S S ≤． 所以 12110()()()()m m m n n k k k k k k S S S S S S S S S -=-+-++-+-101111m m <+++++=个．因为 n S C >，所以n E 的元素个数 1m C +≥． [11分]取常数数列n A ：1(1,2,,1)2i C a i C C +==++，并令1n C =+，则 22(1)2122n C C C S C C C +++==>++，适合题意，且 {1,2,,1}n E C =+，其元素个数恰为1C +．综上，n E 的元素个数的最小值为1C +．[13分]7．（西城）某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务．现有三项任务U ，V ，W ，计算机系统执行这三项任务的时间（单位：s ）依次为a ，b ，c ，其中a b c <<．一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比．下列四种执行顺序中，使三项任务“相对等待时间”之和最小的是A （A ）U →V →W （B ）V →W →U（C ）W →U →V（D ）U →W →V8.（延庆） 若是函数的两个不同的零点，且这三个数适当排序后可成等差数列，且适当排序后也可成等比数列，则a b +的值等于 B （A ）4 （B ）5 （C ）6（D ）79.（延庆）设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a 为(2,3,4,)n n = 阶“Q 数列”： ①120n a a a +++=； ②121n a a a +++=.（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“Q 数列”；（Ⅱ）若2018阶“Q 数列”是递增的等差数列，求该数列的通项公式；,a b ()()20,0f x x px q p q =-+>>,,2a b -（Ⅲ）记n 阶“Q 数列”的前k 项和为(1,2,3,,)k S k n =，试证12k S ≤. 解：（Ⅰ）数列11,0,22-为单调递增的3阶“Q 数列”； 数列3113,,,8888--为单调递增的4阶“Q 数列”. （答案不唯一） ┄4分（Ⅱ）设等差数列122018,,,a a a 的公差为d ，0d >因为1220180a a a +++=，所以12018()201802a a +=.即120180a a +=.所以10091010+0a a =. 于是100910100,0a a <>. ┄5分 由于0d >，根据“Q 数列”的条件①②得1210091-2a a a +++=，10101011201812a a a +++= ┄6分两式相减得210091d =.即211009d = . ┄8分 由1201820172018+02a d ⋅=得12017=-2a d ，即12201721009a =-⋅. ┄10分所以222201712-2019(1)21009100921009n n a n =-+-=⨯⨯(,2018)n n *∈≤N . ┄11分 （Ⅲ）当k n =时，显然102n S =≤成立；当k n <时，根据条件①得1212()k k k k n S a a a a a a ++=+++=-+++，所以1212k k k k n S a a a a a a ++=+++=+++ . 所以12122k k k k n S a a a a a a ++=+++++++ 12121k k k n a a a a a a ++≤+++++++=.所以12k S ≤(1,2,3,,)k n =. ┄13分 10.（东城）设{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 为其前n 项和，则“0d >”是“{}n S 为递增数列”的D（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件11. （东城）单位圆的内接正(3)n n ≥边形的面积记为()f n ，则(3)f =_________；下面是关于()f n 的描述:①2()sin 2n f n nπ=； ②()f n 的最大值为π；③()(1)f n f n <+；④()(2)2()f n f n f n <≤.其中正确结论的序号为__________.（注：请写出所有正确结论的序号）（1）（3）（4）12.（东城） 在(2)n n n ⨯≥个实数组成的n 行n 列的数表中，ij a 表示第i 行第j 列的数，记12i i i in r a a a =+++ (1)i n ＃，12(1)j j j nj c a a a j n =+++≤≤.若{1,0,1}ij a ∈-(1,)i jn ＃. 且1212,,,,,,,n n r r r c c c 两两不等，则称此表为“n 阶H 表”.记{}1212,,,,,,,n n n H r r r c c c =.（I ）请写出一个“2阶H 表”；（II ）对任意一个“n 阶H 表”，若整数[,]n n λ∈-，且n H λ∉，求证：λ为偶数； （III ）求证：不存在“5阶H 表”. 解（I ）……………………3分（II ）对任意一个“n 阶H 表”，i r 表示第i 行所有数的和，j c 表示第j 列所有数的和 （1,i j n ≤≤）.1n i i r =∑与1njj c=∑均表示数表中所有数的和，所以1n i i r =∑1njj c==∑.因为{1,0,1}ij a ∈-，所以1212,,,,,,,n n r r r c c c 只能取[,]n n -内的整数.又因为1212,,,,,,,n n r r r c c c 互不相等，[,]n n λ∈-且n H λ∉， 所以1212{,,,,,,,,}{,1,,1,0,1,,1,}n n r r r c c c n n n n λ=--+--，所以λ+1ni i r =∑1njj c=+∑(1)(1)01++(1)0n n n n =-+-+++-++-+=.所以λ12ni i r ==-∑为偶数.………………………………………8分（III ）假设存在一个“5阶H 表”，则由（II ）知55,5,3,3H --∈，且54H ∈和54H -∈至少有一个成立，不妨设54H ∈.设125,5r r ==-，则121,1(15)j j a a j ==-≤≤，于是3(15)j c j ≤≤≤，因而可设34r =，313233341a a a a ====，350a =.①若 3是某列的和，由于52c ≤，故只能是前四列某列的和，不妨设是第一列，即41511a a ==.现考虑3-，只能是4r 或5r ，不妨设43r =-，即424344451a a a a ====-，由234,,c c c 两两不等知525354,,a a a 两两不等，不妨设5253541,0,1a a a =-==，若551a =-则530r c ==；若550a =则541r c ==；若551a =则530c c ==，均与已知矛盾.②若3是某行的和，不妨设43r =，则第4行至少有3个1，若这3个1是前四个中某三个数，不妨设4142431a a a ===，则第五行前三个数只能是3个不同的数，不妨设5152531,0,1a a a =-==，则343c r ==矛盾，故第四行只能前四个数有2个1，第五个数为1，不妨设41424344450,1a a a a a =====，所以53r =-，第五行只能是2个0，3个1-或1个1，4个1-.则515255,,a a a 至少有两个数相同，不妨设5152a a =，则12c c =与已知矛盾.综上，不存在“5阶H 表”. ………………………………………13分13. （房山）已知有穷数列()12:,,...,2,n B a a a n n N ≥∈数列B 中各项都是集合{}11x x -<<的元素，则称该数列为Γ数列．对于Γ数列B ，定义如下操作过程T :B 中任取两项,p q a a的最后，然后删除,p q a a 这样得到一个1n -项的新数列1B (约定：一个数也视作数列)．若1B 还是Γ数列，可继续实施操作过程T ，得到的新数列记作2B ，…，如此经过k 次操作后得到的新数列记作k B .解：（Ⅰ）1B 有如下的三种可能结果：11111115:,;:,;:0,32237B B B……………………3分 （Ⅱ）∀,{|11}a b x x ∈-<<，有(1)(1)1011a b a b ab ab +----=<++且(1)(1)(1)0.11a b a b ab ab+++--=>++ 所以1a b ab++{|11}x x ∈-<<，即每次操作后新数列仍是Γ数列.又由于每次操作中都是增加一项，删除两项，所以对Γ数列A 每操作一次，项数就减少一项，所以对n 项的Γ数列A 可进行1n -次操作（最后只剩下一项） ……………………6分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知9B 中仅有一项.对于满足,{|11)a b x x ∈-<<的实数,a b 定义运算：1a ba b ab+=+，下面证明这种运算满足交换律和结合律。
2018朝阳高三一模理科答案
10 18 420=140 人． 18 30
……….3 分
（Ⅱ）由数据可知，选考方案确定的 8 位男生中选出 1 人选考方案中含有历史学科的概率 为
2 1 = ； 8 4
选考方案确定的 10 位女生中选出 1 人选考方案中含有历史学科的概率为 所以该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率为
3 ． 10
1 3 3 ．…….8 分 4 10 40
（Ⅲ）由数据可知，选考方案确定的男生中有 4 人选择物理、化学和生物；有 2 人选择 物理、化学和历史；有 1 人选择物理、化学和地理；有 1 人选择物理、化学和政 治． 由已知得 的取值为 1, 2 ．
P( 1)
2 2 C4 C2 1 ， 2 C8 4
z z A X E O F C G D y z X
m AD 0, 所以 m DE 0,
即
x1 3 y1 2 z1 0, 2 y1 0.
取 z1 1 ，得 m ( 2, 0, 1) ． 而 AC 1,3, 2 . 所以直线 AC 与平面 ADE 所成角的正弦值 sin
z z A X E O F x z X P G C D y z X
AP 1 时， OP // 平面 ADE ． AC 2
1 [0,1] ， 2
B
……….14 分
2
17．(本小题满分 13 分) 解：（Ⅰ）由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有 4 人，选考方案确定 的女生中确定选考生物的学生有 6 人， 该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有
因为 A(0，，，， 0 2), C (1 3 0) ，所以 ( x0 , y0 , z0 2) ( ,3 , 2 ) ， 所以 x0 , y0 3 , z0
2018年高三北京市朝阳区2018届高三(一模)数学
理科数学 2018年高三北京市朝阳区2018届高三(一模)数学(理)试题解析单选题略略略略略略略略填空题略略略略略略略略略略略略单选题（本大题共8小题，每小题____分，共____分。
）1．已知全集为实数集，集合，，则A.B.C.D.2．复数满足，则在复平面内复数所对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3．直线的参数方程为（为参数），则的倾斜角大小为A.C.D.4．已知为非零向量，则“”是“与夹角为锐角”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5．某单位安排甲、乙、丙、丁4名工作人员从周一到周五值班，每天有且只有1人值班，每人至少安排一天且甲连续两天值班，则不同的安排方法种数为A.B.C.D.6．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于A.C.D.7．庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”．庙会大多在春节、元宵节等节日举行．庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）．今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会．游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”．游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁8．在平面直角坐标系xOy中，已知点,，动点满足,其中，则所有点构成的图形面积为A.B.C.D.填空题（本大题共12小题，每小题____分，共____分。
）9．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为________．10．若三个点中恰有两个点在双曲线上，则双曲线的渐近线方程为_____________．11．函数（）的部分图象如图所示，则____；函数在区间上的零点为____．12．已知点，若点是圆上的动点，则面积的最小值为____．13．等比数列满足如下条件：①；②数列的前项和．试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式____．14．已知，函数当时，函数的最大值是____；若函数的图象上有且只有两对点关于轴对称，则的取值范围是____．15． (本小题满分13分)在中，已知，．（Ⅰ）若，求的面积；（Ⅱ）若为锐角，求的值．16．(本小题满分14分)如图1，在矩形中，，，为的中点，为中点．将沿折起到，使得平面平面（如图2）．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得平面若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．17．(本小题满分13分)某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人（Ⅱ）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的．从选考方案确定的8位男生中随机选出1人，从选考方案确定的10位女生中随机选出1人，试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率；（Ⅲ）从选考方案确定的8名男生中随机选出2名，设随机变量求的分布列及数学期望．18． (本小题满分13分)已知函数．（Ⅰ）当时，（ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若，求证：．19． (本小题满分14分)已知椭圆的离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于两点，直线过坐标原点且与直线的斜率互为相反数．若直线与椭圆交于两点且均不与点重合，设直线与轴所成的锐角为，直线与轴所成的锐角为，判断与大小关系并加以证明．20． (本小题满分13分)已知集合是集合的一个含有8个元素的子集．（Ⅰ）当时，设，（i）写出方程的解；（ii）若方程至少有三组不同的解，写出的所有可能取值；（Ⅱ）证明：对任意一个，存在正整数，使得方程至少有三组不同的解．答案单选题1. C2. A3. C4. B5. B6. D7. A8. C 填空题9.410.11.12.213.14.15.（Ⅰ）由，得，因为，所以.因为，所以．故的面积．………………….7分（Ⅱ）因为，且为锐角，所以.所以．………….13分16.（Ⅰ）由已知，因为为中点，所以．因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面．又因为平面，所以．………….5分（Ⅱ）设为线段上靠近点的四等分点，为中点．由已知易得．由（Ⅰ）可知，平面，所以，.以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系（如图）．因为，，所以．设平面的一个法向量为，因为，所以即取，得．而.所以直线与平面所成角的正弦值……….10分（Ⅲ）在线段上存在点，使得平面.设，且，则，．因为，所以，所以，所以，．若平面，则.即.由（Ⅱ）可知，平面的一个法向量，即，解得，所以当时，平面．……….14分17.（Ⅰ）由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有4人，选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有6人，该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有人．……….3分（Ⅱ）由数据可知，选考方案确定的8位男生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为；选考方案确定的10位女生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为．所以该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率为．…….8分（Ⅲ）由数据可知，选考方案确定的男生中有4人选择物理、化学和生物；有2人选择物理、化学和历史；有1人选择物理、化学和地理；有1人选择物理、化学和政治．由已知得的取值为．，，或.所以的分布列为12所以．…….13分18.当时，..（ⅰ）可得，又，所以在点（）处的切线方程为. ….3分（ⅱ）在区间（）上，且，则.在区间（）上，且，则.所以的单调递增区间为（），单调递减区间为（）. ….8分（Ⅱ）由，，等价于，等价于. 设，只须证成立.因为，，由，得有异号两根.令其正根为，则.在上，在上.则的最小值为.又，，所以.则.因此，即.所以所以.….….13分19.Ⅰ）由题意得解得，，．故椭圆的方程为．….….5分（Ⅱ）．证明如下：由题意可设直线的方程为，直线的方程为，设点，，，．要证，即证直线与直线的斜率之和为零，即．因为．由得，所以，．由得，所以．所以．．所以．….….14分20.（Ⅰ）（ⅰ）方程的解有：． (2)分（ii）以下规定两数的差均为正，则：列出集合的从小到大8个数中相邻两数的差：1，3，2，4，2，3，1；中间隔一数的两数差（即上一列差数中相邻两数和）：4，5，6，6，5，4；中间相隔二数的两数差：6，9，8，9，6；中间相隔三数的两数差：10，11，11，10；中间相隔四数的两数差：12，14，12；中间相隔五数的两数差：15，15；中间相隔六数的两数差：16这28个差数中，只有4出现3次、6出现4次，其余都不超过2次，所以的可能取值有4，6．…………………………………………………………6分（Ⅱ）证明：不妨设，记，，共13个差数．假设不存在满足条件的，则这13个数中至多两个1、两个2、两个3、两个4、两个5、两个6，从而. …………①又，这与①矛盾！所以结论成立．……………………………………………………………………13分解析单选题略略略略略略略略填空题略略略略略略略略略略略略。
辽宁省朝阳市2018届高三第一次模拟考试数学理
）
A． 90
B ． 91 C. 118
D ． 121
9. 某地流行一种游戏，如图一是一长方形纸盒，高为
4 ，宽为 3 ，纸盒底部是一个“心形”图案，如
图二所示，“心形”图案是由上边界 C1 （虚线 L 上方部分）与下边界 C2 （虚线 L 下方部分）围成，
曲线 C1 是函数 y
4
1 x2 x 5 的图象，曲线 C2 是函数 y
四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：
“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下
底面宽 3 丈，长 4 丈，上棱长 2 丈，高 2 丈，问：它的体积是多少？”已知 1 丈为 10 尺，该锲
· 1·
体的三视图如图所示，在该锲体的体积为（
）
A． 10000 立方尺
尺
B ． 11000 立方尺 C. 12000 立方尺
相切，点 P 在双曲线上，若点 P 到焦点 F1 的距离是 9 ，则点 P 到 F2 的距离是（
）
A． 17 或 1
B ． 13 或 5 C. 13
D ． 17
8. 一个含有 5 项的等比数列，其中每一项都是小于 100 的正整数，这 5 项的和为 121 ，如果 S 是
数列中奇数项之和，则 S 等于（
）
A． 6
B ．5 C ．4 D ．3
4. 已知数列 { an} 的通项公式 an 26 2n ，若使此数列的前 n 项和 Sn 最大， 则 n 的值为 （ ）
A． 12
B ． 13 C. 12 或 13
D ． 14
5. 《九章算术》是我国古代内容即为丰富的数学名著，书中有如下问题：
“今有刍凳，下广三丈，袤
D ． 13000 立方
北京市朝阳区2018届高三第一学期期末质量检测数学(理)试卷及答案
北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测数学试卷（理工类） 2018.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合{}|(2)0A x x x =-<，{}|ln 0B x x =>，则A B I 是A. {}|12x x <<B.{}|02x x <<C.{}|0x x > D.{}|2x x >2. 已知i 为虚数单位，设复数z 满足i 3z +=，则z =A.3B. 4C.10D.103. 在平面直角坐标系中，以下各点位于不等式(21)(3)0x y x y +--+>表示的平面区域内的是 A.(00)， B.(20)-， C.(01)-， D. (02)，4.“2sin 2α=”是“cos2=0α”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 某四棱锥的三视图如图所示，格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A. 4B.43C.423D.42 6. 已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C .直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合，l 交圆C 于,A B 两点，点A 在点M ，B 之间.过M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹是A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 圆的一部分7. 已知函数()f x x x a =⋅-的图象与直线1y =-的公共点不少于两个，则实数a 的取值范围是A.2a <-B.2a ≤-C.20a -≤<D.2a >-8. 如图1，矩形ABCD中，AD =点E 在AB 边上， CE DE⊥且1AE =. 如图2，ADE △沿直线DE 向上折起成1A DE △．记二面角1A DE A --的平面角为θ，当θ()00180∈o ，时，① 存在某个位置，使1CE DA ⊥；② 存在某个位置，使1DE AC ⊥；③ 任意两个位置，直线DE 和直线1A C 所成的角都不相等. 以上三个结论中正确的序号是A. ①B. ①②C. ①③D. ②③第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C ，则双曲线C 的渐近线方程为 .10. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为 . 11.YABCD 中，,E F 分别为边,BC CD 中点，若 AF x AB y AE =+u u u r u u u r u u u r（,x y ∈R ），则+=x y _________.12. 已知数列{}n a 满足11n n n a a a +-=-（2n ≥），1a p =，2a q =(,p q ∈R ).设1nn i i S a ==∑，则10a= ;2018S = .（用含,p q 的式子表示）13. 伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.一位同学受A到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：22222()()()ac bd a b c d +≤++的一种“图形证明”.证明思路：（1）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积；（2）左图中阴影区域的面积为ac bd +，右图中，设BAD θ∠=，右图阴影区域的面积可表示为_________（用含a b c d ,,,，θ的式子表示）；（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式22222()()()ac bd a b c d +≤++. 当且仅当,,,a b c d 满足条件__________________时，等号成立.14. 如图，一位同学从1P 处观测塔顶B 及旗杆顶A ，得仰角分别为α和90α-o . 后退l (单位m)至点2P 处再观测塔顶B ，仰角变为原来的一半，设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面，且C ，1P ，2P 三点在同m.一条水平线上，则塔CB 的高为 m ；旗杆BA 的高为（用含有l 和α的式子表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13分)已知函数21()sin cos sin 2f x x x x =-+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中,,,a b c 为角,,A B C 的对边，且满足cos2cos sin b A b A a B =-，bb caca cbC BA P 21B C且02A π<<，求()f B 的取值范围. 16. (本小题满分13分)为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“国Ⅰ，Ⅱ轻型汽油车限行”，“整治散乱污染企业”等.下表是该市2016年和2017年12月份的空气质量指数（AQI ）（AQI 指数越小，空气质量越好）统计表. 表1：2016年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）表2：2017年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）根据表中数据回答下列问题：（Ⅰ）求出2017年12月的空气质量指数的极差；（Ⅱ）根据《环境空气质量指数（AQI ）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为0～50时，空气质量级别为一级.从2017年12月12日到12月16这五天中，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅲ）你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效?结合数据说明理由.17. (本小题满分14分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=o ，D 是线段AC 的中点，且1A D ⊥ 平面ABC ． （Ⅰ）求证：平面1A BC ⊥平面11AAC C ； （Ⅱ）求证：1//B C 平面1A BD ；（Ⅲ）若11A B AC ⊥，2AC BC ==，求二面角1A A B C --的余弦值.18. (本小题满分13分)已知函数()cos f x x x a =+，a ∈R . （Ⅰ）求曲线()y f x =在点2x π=处的切线的斜率； （Ⅱ）判断方程()0f x '=（()f x '为()f x 的导数）在区间()0,1内的根的个数，说明理由； （Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间(0,1)内有且只有一个极值点，求a 的取值范围.ACBB 1C 1A 1D19. (本小题满分14分)已知抛物线:C 24x y =的焦点为F ,过抛物线C 上的动点P （除顶点O 外）作C 的切线l 交x 轴于点T .过点O 作直线l 的垂线OM （垂足为M ）与直线PF 交于点N . （Ⅰ）求焦点F 的坐标； （Ⅱ）求证：FT MN P ； （Ⅲ）求线段FN 的长.20. (本小题满分13分)已知集合{}12,,...,n P a a a =，其中i a ∈R ()1,2i n n ≤≤>.()M P 表示+i j a a 1)i j n ≤<≤（中所有不同值的个数.（Ⅰ）若集合{}1,3,57,9P =，，求()M P ； （Ⅱ）若集合{}11,4,16,...,4n P -=，求证：+ija a的值两两不同，并求()M P ；（Ⅲ）求()M P 的最小值.（用含n 的代数式表示）北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷答案（理工类） 2018.1三、解答题（80分） 15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题知111()sin 2(1cos 2)222f x x x =--+ 11=sin 2cos 222x x +=)24x π+. 由222242k x k ππππ-≤+≤π+（k ∈Z ）， 解得 88k x k 3πππ-≤≤π+ .所以()f x 单调递增区间为3[,]88k k πππ-π+（k ∈Z ）. …………… 6分（Ⅱ）依题意，由正弦定理，sin cos2sin cos sin sin B A B A A B =-.因为在三角形中sin 0B ≠，所以cos2cos sin A A A =-. 即(cos sin )(cos sin 1)0A A A A -+-=当cos sin A A =时，4A π=； 当cos sin 1A A +=时，2A π=.由于02A π<<，所以4A π=.则3+4B C =π.则304B <<π.又2444B ππ7π<+<， 所以1sin(2)14B π-≤+≤.由())24f B B π=+， 则()f B的取值范围是⎡⎢⎣⎦. ……………… 13分16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）2017年12月空气质量指数的极差为194. …………………3分 （Ⅱ）ξ可取1，2，31232353(1)10C C P C ξ===；2132356(2)10C C P C ξ===；3032351(3)10C C P C ξ===. ξ的分布列为所以123 1.8101010E ξ=⨯+⨯+⨯= . ………………9分（Ⅲ）这些措施是有效的.可以利用空气质量指数的平均数，或者这两年12月空气质量指数为优的概率等来进行说明.………………13分17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为90ACB ∠=o ，所以BC AC ⊥．根据题意， 1A D ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1A D BC ⊥．因为1A D AC D =I ，所以BC ⊥平面11AAC C ．又因为BC ⊂平面1A BC ，所以平面1A BC ⊥平面11AAC C ． ………………4分 （Ⅱ）证明：连接1AB ，设11AB A B E =I ，连接DE ．根据棱柱的性质可知，E 为1AB 的中点， 因为D 是AC 的中点， 所以1//DE B C ．又因为DE ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，所以1//B C 平面1A BD ． ………………8分 （Ⅲ）如图，取AB 的中点F ，则//DF BC ，因为BC AC ⊥，所以DF AC ⊥， 又因为1A D ⊥平面ABC ， 所以1,,DF DC DA 两两垂直．以D 为原点，分别以1,,DF DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系（如图）. 由（Ⅰ）可知，BC ⊥平面11AAC C , 所以1BC AC ⊥．ACB B 1C 1A 1DE 1又因为11A B AC ⊥，1BC A B B =I , 所以1AC ⊥平面1A BC ，所以11AC AC ⊥， 所以四边形11AAC C 为菱形． 由已知2AC BC ==，则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B，(1A ． 设平面1A AB 的一个法向量为(),,x y z =n ，因为(1AA =u u u r ，()2,2,0AB =u u u r ，所以10,0,AA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u rn n，即0,220.y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 设1z =，则)=n ．再设平面1A BC 的一个法向量为()111,,x y z =m ，因为(10,CA =-u u u r ，()2,0,0CB =u u u r ，所以10,0,CA CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u rm m，即1110,20. y x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩ 设11z =，则()=m ．故cos ,⋅〈〉===⋅m n m n m n 由图知，二面角1A A B C --的平面角为锐角， 所以二面角1A A B C --． …………14分 18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）()cos sin f x x x x '=-.ππ()22k f '==-. …………3分 （Ⅱ）设()()g x f x '=，()sin (sin cos )2sin cos g x x x x x x x x '=--+=--.当(0,1)x ∈时，()0g x '<，则函数()g x 为减函数. 又因为(0)10g =>，(1)cos1sin10g =-<,所以有且只有一个0(0,1)x ∈，使0()0g x =成立.所以函数()g x 在区间()0,1内有且只有一个零点.即方程()0f x '=在区间()0,1内有且只有一个实数根. ……………7分（Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间()0,1内有且只有一个极值点，由于()()F x f x '=，即()cos f x x x a =+在区间()0,1内有且只有一个零点1x ，且()f x 在1x 两侧异号.因为当(0,1)x ∈时，函数()g x 为减函数，所以在()00,x 上，0()()0g x g x >=，即()0f x '>成立，函数()f x 为增函数；在0(,1)x 上， 0()()0g x g x <=，即()0f x '<成立，函数()f x 为减函数,则函数()f x 在0x x =处取得极大值0()f x .当0()0f x =时，虽然函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点0x ，但()f x 在0x 两侧同号，不满足()F x 在区间()0,1内有且只有一个极值点的要求.由于(1)cos1f a =+，(0)f a =，显然(1)(0)f f >. 若函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点1x ，且()f x 在1x 两侧异号，则只需满足：(0)0,(1)0,f f <⎧⎨≥⎩即0,cos10,a a <⎧⎨+≥⎩ 解得cos10a -≤<. ……………13分19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ） (0,1)F ……………2分（Ⅱ）设00(,)P x y .由24x y =，得214y x =，则过点P 的切线l 的斜率为0012x x k y x ='==. 则过点P 的切线l 方程为2001124y x x x =-.令0y =，得012T x x =，即01(,0)2T x .又点P 为抛物线上除顶点O 外的动点，00x ≠，则02TF k x =-.而由已知得MN l ⊥，则02MN k x =-. 又00x ≠，即FT 与MN 不重合， 即FT MN P . …………6分 （Ⅲ）由(Ⅱ)问，直线MN 的方程为02y x x =-，00x ≠.直线PF 的方程为0011y y x x --=，00x ≠.设MN 和PF 交点N 的坐标为(,)N N N x y 则0002.........(1)11..........(2)N N N N y x x y y x x ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩由（1）式得，02N Nx x y =-（由于N 不与原点重合，故0N y ≠）.代入（2），化简得02NN y y y -=()0N y ≠.又2004x y =，化简得,22(1)1NN x y +-= （0N x ≠）. 即点N 在以F 为圆心，1为半径的圆上.（原点与()0,2除外）即1FN =. …………14分20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）()=7M P ； ………… 3分（Ⅱ）形如和式+i j a a 1)i j n ≤<≤（共有2(1)2n n n C -=项，所以(1)()2n n M P -≤. 对于集合{}11,4,16,...,4n -中的和式+i ja a ，+p q a a 1,1)i j n p q n ≤<≤≤<≤（： 当j q =时，i p ≠时，++i j p q a a a a ≠；当j q ≠时，不妨设j q <，则121+24j i j jj q p q a a a a a a a -+<=<≤<+. 所以+i j a a 1)i j n ≤<≤（的值两两不同. 且(1)()=2n n M P -. ………… 8分 （Ⅲ）不妨设123...n a a a a <<<<，可得1213121++...++...+n n n n a a a a a a a a a a -<<<<<<.+i j a a 1)i j n ≤<≤（中至少有23n -个不同的数.即()23M P n ≥-.设12,,...,n a a a 成等差数列，11,()+=,()i j n n i j i j a a i j n a a a a i j n +-+-++>⎧⎪⎨++≤⎪⎩，则对于每个和式+i j a a 1)i j n ≤<≤（，其值等于1+p a a （2p n ≤≤）或+q n a a (11)q n ≤≤-中的一个.去掉重复的一个1n a a +,所以对于这样的集合P ,()23M P n =-.则()M P 的最小值为23n -. ……………13分。
2018年北京市朝阳区高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2018年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知全集为实数集R，集合A＝{x|x2﹣3x＜0}，B＝{x|2x＞1}，则（∁R A）∩B＝（）A．（﹣∞，0]∪[3，+∞）B．（0，1]C．[3，+∞）D．[1，+∞）2．（5分）复数z满足（1+i）z＝i，则在复平面内复数z所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）直线l的参数方程为（t为参数），则l的倾斜角大小为（）A．B．C．D．4．（5分）设，是单位向量，则“•＞0”是“和的夹角为锐角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）某单位安排甲、乙、丙、丁4名工作人员从周一到周五值班，每天有且只有1人值班，每人至少安排一天且甲连续两天值班，则不同的安排方法种数为（）A．18B．24C．48D．966．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（）A．B．C．D．7．（5分）庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”．庙会大多在春节、元宵节等节日举行．庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）．今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会．游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”．游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（，0），B（1，2）．动点P 满足＝+，其中λ，μ∈[0，1]，λ+μ∈[1，2]，则所有点P构成的图形面积为（）A．1B．2C．D．2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入m＝5，则输出k的值为．10．（5分）若三个点（﹣2，1），（﹣2，3），（2，﹣1）中恰有两个点在双曲线上，则双曲线C的渐近线方程为．11．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则ω＝；函数f（x）在区间上的零点为．12．（5分）已知两点A（﹣2，0），B（0，2），点C是圆x2+y2﹣2x+2y＝0上任意点，则△ABC面积的最小值是．13．（5分）等比数列{a n}满足如下条件：①a1＞0；②数列{a n}的前n项和S n＜1．试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式．14．（5分）已知a∈R，函数当x＞0时，函数f（x）的最大值是；若函数f（x）的图象上有且只有两对点关于y轴对称，则a的取值范围是．三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15．（13分）在△ABC中，已知，b＝2a cos A．（Ⅰ）若ac＝5，求△ABC的面积；（Ⅱ）若B为锐角，求sin C的值．16．（14分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为AD的中点，O为BE的中点．将△ABE沿BE折起到A'BE，使得平面A'BE⊥平面BCDE（如图2）（Ⅰ）求证：A'O⊥CD；（Ⅱ）求直线A'C与平面A'DE所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段A'C上是否存在点P，使得OP∥平面A'DE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．17．（13分）某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目，若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某学校为了了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？（Ⅱ）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的．从选考方案确定的8位男生随机选出1人，从选考方案确定的10位女生中随机选出1人，试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史科目的概率；（Ⅲ）从选考方案确定的8名男生随机选出2名，设随机变量求ξ的分布列及数学期望Eξ．18．（13分）已知函数．（Ⅰ）当a＝2时，（i）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（ii）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若1＜a＜2，求证：f（x）＜﹣1．19．（14分）已知椭圆的离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过椭圆C的左焦点的直线l1与椭圆C交于A，B两点，直线l2过坐标原点且与直线l1的斜率互为相反数．若直线l2与椭圆交于E，F两点且均不与点A，B重合，设直线AE与x轴所成的锐角为θ1，直线BF与x轴所成的锐角为θ2，判断θ1与θ2的大小关系并加以证明．20．（13分）已知集合X＝{x1，x2，…，x8}是集合S＝{2001，2002，2003，…，2016，2017}的一个含有8个元素的子集．（Ⅰ）当X＝{2001，2002，2005，2007，2011，2013，2016，2017}时，设x i，x j∈X（1≤i，j≤8），（i）写出方程x i﹣x j＝2的解（x i，x j）；（ii）若方程x i﹣x j＝k（k＞0）至少有三组不同的解，写出k的所有可能取值．（Ⅱ）证明：对任意一个X，存在正整数k，使得方程x i﹣x j＝k（1≤i，j≤8）至少有三组不同的解．2018年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）已知全集为实数集R，集合A＝{x|x2﹣3x＜0}，B＝{x|2x＞1}，则（∁R A）∩B＝（）A．（﹣∞，0]∪[3，+∞）B．（0，1]C．[3，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：集合A＝{x|x2﹣3x＜0}＝{x|x（x﹣3）＜0}＝{x|0＜x＜3}，集合B＝{x|2x＞1}＝{x|2x＞20}＝{x|x＞0}；所以∁R A＝{x|x≤0或x≥3}，所以（∁R A）∩B＝{x|x≥3}＝[3，+∞）．故选：C．2．（5分）复数z满足（1+i）z＝i，则在复平面内复数z所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由（1+i）z＝i，得，∴z在复平面内对应的点为，在第一象限，故选：A．3．（5分）直线l的参数方程为（t为参数），则l的倾斜角大小为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，直线l的参数方程为（t为参数），则到直线的方程为，所以直线的斜率为，倾斜角为，故选：C．4．（5分）设，是单位向量，则“•＞0”是“和的夹角为锐角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：设与的夹角是θ，因为，是单位向量，所以•＞0等价于cosθ＞0，由0≤θ≤π得，0≤θ＜，所以“•＞0”推不出“和的夹角为锐角”；反之，和的夹角为锐角得cosθ＞0，即得•＞0，所以“和的夹角为锐角”推出“•＞0”，综上可得，“•＞0”是“和的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选：B．5．（5分）某单位安排甲、乙、丙、丁4名工作人员从周一到周五值班，每天有且只有1人值班，每人至少安排一天且甲连续两天值班，则不同的安排方法种数为（）A．18B．24C．48D．96【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，甲连续2天上班，共有（周一，周二），（周二，周三），（周三，周四），（周四，周五）四种情况，②，剩下三个人进行全排列，有种排法，因此共有4×6＝24种排法，故选：B．6．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（）A．B．C．D．【解答】解：抠点法：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中抠点，1）由正视图可知：C1D1上没有点；2）由侧视图可知：B1C1上没有点；3）由俯视图可知：CC1上没有点；4）由正（俯）视图可知：D，E处有点，由虚线可知B，F处有点，A点排除．由上述可还原出四棱锥A1﹣BEDF，＝1×1＝1，．如右图所示，S四边形BEDF故选：D．7．（5分）庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”．庙会大多在春节、元宵节等节日举行．庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）．今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会．游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”．游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【解答】解：由四人的预测可得下表：1）若甲中奖，仅有甲预测正确，符合题意2）若乙中奖，甲、丙、丁预测正确，不符合题意3）若丙中奖，丙、丁预测正确，不符合题意4）若丁中奖，乙、丁预测正确，不符合题意故只有当甲中奖时，仅有甲一人预测正确．故选：A．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（，0），B（1，2）．动点P 满足＝+，其中λ，μ∈[0，1]，λ+μ∈[1，2]，则所有点P构成的图形面积为（）A．1B．2C．D．2【解答】解：以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，∵＝+，且λ，μ∈[0，1]，λ+μ∈[1，2]，∴P点位于△ABC内部（包含边界）．＝＝．∴所有点P构成的图形面积为S△ABC故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入m＝5，则输出k的值为4．【解答】解：模拟程序的运行，可得：第四次时，65＞50，满足判断框内的条件，退出循环，输出k的值为4．故答案为：4．10．（5分）若三个点（﹣2，1），（﹣2，3），（2，﹣1）中恰有两个点在双曲线上，则双曲线C的渐近线方程为．【解答】解：根据题意，若三个点（﹣2，1），（﹣2，3），（2，﹣1）中恰有两个点在双曲线上，又由双曲线的图象关于原点对称，故（﹣2，1），（2，﹣1）在双曲线上，则有，解可得a＝，则双曲线的方程为﹣y2＝1，所以渐近线方程为；故答案为：11．（5分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则ω＝2；函数f（x）在区间上的零点为．【解答】解：由函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的部分图象得，即最小正周期T＝π；又因为，且ω＞0，解得ω＝2；由图得时，，又因为，所以；函数f（x）的零点即的图象与x轴交点的横坐标，令，解得；因为，得，所以函数的零点为．故答案为：．12．（5分）已知两点A（﹣2，0），B（0，2），点C是圆x2+y2﹣2x+2y＝0上任意点，则△ABC面积的最小值是2．【解答】解：圆x2+y2﹣2x+2y＝0化为（x2﹣2x+1）+（y2+2y+1）＝2，即（x﹣1）2+（y+1）2＝2，由题意即为在圆上找一点到线段AB的距离最小即可，直线，y﹣2＝x，∴线段AB：y＝x+2（﹣2≤x≤0），圆心（1，﹣1）到其距离，∴圆上某点到线段AB的距离最小值为，＝2．故答案为：2．13．（5分）等比数列{a n}满足如下条件：①a1＞0；②数列{a n}的前n项和S n＜1．试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式（答案不唯一）．【解答】解：根据题意，等比数列{a n}满足如下条件：①a1＞0；②数列{a n}的前n项和S n＜1，则有0＜a1＜1，0＜q＜1，据此满足条件的一个数列的通项公式为（答案不唯一）；故答案为：（答案不唯一）14．（5分）已知a∈R，函数当x＞0时，函数f（x）的最大值是；若函数f（x）的图象上有且只有两对点关于y轴对称，则a的取值范围是（﹣1，）．【解答】解：（1）当x＞0时，，令，当，即x＝1时取等号，即当x＝1时，f1（x）min＝2，令，又因为，则；（2）f（x）图象仅有两对点关于y轴对称，即f（x）（x＜0）的图象关于y轴对称的函数图象与f（x）（x＞0）仅有两个交点，当x＜0时，f（x）＝（x+1）2+a．设其关于y轴对称的函数为g（x），∴g（x）＝f（﹣x）＝（x﹣1）2+a（x＞0）∵，由（1）可知近似图象如图所示：当g（x）与f（x）仅有两个交点时，，综上，a的取值范围是（﹣1，），故答案为：，（﹣1，）．三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15．（13分）在△ABC中，已知，b＝2a cos A．（Ⅰ）若ac＝5，求△ABC的面积；（Ⅱ）若B为锐角，求sin C的值．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，若b＝2a cos A，由正弦定理得，则sin B ＝2sin A cos A，，因为，所以，所以，所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，因为B为锐角，所以．所以sin C＝sin（π﹣A﹣B）＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝＝16．（14分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E为AD的中点，O为BE的中点．将△ABE沿BE折起到A'BE，使得平面A'BE⊥平面BCDE（如图2）（Ⅰ）求证：A'O⊥CD；（Ⅱ）求直线A'C与平面A'DE所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段A'C上是否存在点P，使得OP∥平面A'DE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）如图，在矩形ABCD中，∵AB＝2，BC＝4，E为AD中点，∴AB＝AE＝2，∵O为BE的中点，∴AO⊥BE，由题意可知，A'O⊥BE，∵平面A'BE⊥平面BCDE，平面A'BE∩平面BCDE＝BE，A'O⊂平面A'BE，∴A'O⊥平面BCDE，∵CD⊂平面BCDE，∴A'O⊥CD．解：（Ⅱ）取BC中点为F，连结OF，由矩形ABCD性质，AB＝2，BC＝4，可知OF⊥BE，由（Ⅰ）可知，A'O⊥BE，A'O⊥OF，以O为原点，OA'为z轴，OF为x轴，OE为y轴建立坐标系，在Rt△BAE中，由AB＝2，AE＝2，则，∴，，，，，设平面A'DE的一个法向量为则，，令y＝z＝1，则x＝﹣1，∴，设直线A'C与平面A'DE所成角为θ，，∴直线A'C与平面A'DE所成角的正弦值为．（Ⅲ）假设在线段A'C上存在点P，满足OP∥平面A'DE，设由，∴，，若OP∥平面A'DE，则，∴，解得，所以．17．（13分）某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目，若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某学校为了了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？（Ⅱ）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的．从选考方案确定的8位男生随机选出1人，从选考方案确定的10位女生中随机选出1人，试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史科目的概率；（Ⅲ）从选考方案确定的8名男生随机选出2名，设随机变量求ξ的分布列及数学期望Eξ．【解答】解：（Ⅰ）设该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为x，则（人），所以该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为140人；（Ⅱ）该男生和该女生的选考方案中都含有历史科目的概率为P＝；（Ⅲ）由题意知ξ的所有可能取值为1，2，，P（ξ＝2）＝＝＝；所以ξ的分布列为：ξ的数学期望为．18．（13分）已知函数．（Ⅰ）当a＝2时，（i）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（ii）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若1＜a＜2，求证：f（x）＜﹣1．【解答】解：（Ⅰ）当a＝2时，，定义域为（0，+∞），，f′（1）＝﹣1﹣2＝﹣3，f'（1）＝2﹣2＝0；所以切点坐标为（1，﹣3），切线斜率为0所以切线方程为y＝﹣3；（ii）令g（x）＝2﹣lnx﹣2x2，所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，且g（1）＝0所以当x∈（0，1）时，g（x）＞0即f'（x）＞0所以当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0即f'（x）＜0综上所述，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）．（Ⅱ）证明：f（x）＜﹣1，即设，，设φ（x）＝﹣ax2﹣lnx+2所以φ'（x）在（0，+∞）小于零恒成立即h'（x）在（0，+∞）上单调递减因为1＜a＜2，所以h'（1）＝2﹣a＞0，h'（e2）＝﹣a＜0，所以在（1，e2）上必存在一个x0使得，即，所以当x∈（0，x0）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，所以，因为，所以，令h（x0）＝0得，因为1＜a＜2，所以，，因为，所以h（x0）＜0恒成立，即h（x）＜0恒成立，综上所述，当1＜a＜2时，f（x）＜﹣1．19．（14分）已知椭圆的离心率为，且过点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过椭圆C的左焦点的直线l1与椭圆C交于A，B两点，直线l2过坐标原点且与直线l1的斜率互为相反数．若直线l2与椭圆交于E，F两点且均不与点A，B重合，设直线AE与x轴所成的锐角为θ1，直线BF与x轴所成的锐角为θ2，判断θ1与θ2的大小关系并加以证明．【解答】解：（Ⅰ）由题可得，解得．所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）结论：θ1＝θ2，理由如下：由题知直线l1斜率存在，设l1：y＝k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，消去y得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2＝0，由题易知△＞0恒成立，由韦达定理得，因为l2与l1斜率相反且过原点，设l2：y＝﹣kx，E（x3，y3），F（x4，y4），联立消去y得（1+2k2）x2﹣2＝0，由题易知△＞0恒成立，由韦达定理得，因为E，F两点不与A，B重合，所以直线AE，BF存在斜率k AE，k BF，则＝＝＝＝＝0所以直线AE，BF的倾斜角互补，所以θ1＝θ2．20．（13分）已知集合X＝{x1，x2，…，x8}是集合S＝{2001，2002，2003，…，2016，2017}的一个含有8个元素的子集．（Ⅰ）当X＝{2001，2002，2005，2007，2011，2013，2016，2017}时，设x i，x j∈X（1≤i，j≤8），（i）写出方程x i﹣x j＝2的解（x i，x j）；（ii）若方程x i﹣x j＝k（k＞0）至少有三组不同的解，写出k的所有可能取值．（Ⅱ）证明：对任意一个X，存在正整数k，使得方程x i﹣x j＝k（1≤i，j≤8）至少有三组不同的解．【解答】解：（Ⅰ）（i）方程x i﹣x j＝2的解有：（x i，x j）＝（2007，2005），（2013，2011）（ii）以下规定两数的差均为正，则：列出集合X的从小到大8个数中相邻两数的差：1，3，2，4，2，3，1；中间隔一数的两数差（即上一列差数中相邻两数和）：4，5，6，6，5，4；中间相隔二数的两数差：6，9，8，9，6；中间相隔三数的两数差：10，11，11，10；中间相隔四数的两数差：12，14，12；中间相隔五数的两数差：15，15；中间相隔六数的两数差：16．这28个差数中，只有4出现3次，6出现4次，其余都不超过2次，所以k的可能取值有4，6（Ⅱ）证明：不妨设2001≤x1＜x2＜…＜x8≤2017记a i＝x i+1﹣x i（i＝1，2，…，7），b i＝x i+1﹣x i（i＝1，2，…，6），共13个差数．假设不存在满足条件的k，则这13个数中至多两个1、两个2、两个3、两个4、两个5、两个6，从而（a1+a2+…+a7）+（b1+b2+…+b6）≥2（1+2+…+6）+7＝49①这与①矛盾，所以结论成立．。
高三数学辽宁省朝阳市普通高中2018年高三第一次模拟考试试题理科数学及参考答案
辽宁省朝阳市普通高中2018年高三第一次模拟考试数学试题(理)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若集合{|0}A y y =≥,AB B =,则集合B 不可能是( )A.{|0}y y x ≥B.1{|()}2R xy y x =∈， C.{|lg 0}y y x x =>，D.∅2.设复数z 满足(1i)1z -=(i 是虚数单位)，则||z 等于( )B.2C.12 D.23.按照程序框图(如图所示)执行，第3个输出的数是( )A.6B.5C.4D.34.已知数列{}n a 的通项公式262n a n =-,若使此数列的前n 项和n S 最大，则n 的值为( )A.12B.13C.12 或13D.145.《九章算术》是我国古代内容即为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍凳，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽3 丈，长4 丈，上棱长2 丈，高2 丈，问：它的体积是多少？”已知1 丈为10 尺，该锲体的三视图如图所示，在该锲体的体积为( )A.10000 立方尺B.11000 立方尺C.12000 立方尺D.13000 立方尺6.将函数π3sin(2)3y x =+的图象向右平移π3个单位长度后，再将所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标压缩到原来的12倍，最终所得图象对应的函数的最小正周期为( ) A.π6 B.π2 C.5π6D.2π 7.设中心在原点、焦点在x 轴上的双曲线的焦距为12,圆22(6)20x y -+= 与该双曲线的渐近线相切，点P 在双曲线上，若点P 到焦点1F 的距离是9,则点P 到2F 的距离是( )A.17 或1B.13 或5C.13D.178.一个含有5 项的等比数列，其中每一项都是小于100 的正整数，这5 项的和为121,如果S 是数列中奇数项之和，则S 等于( )A.90B.91C.118D.1219.某地流行一种游戏，如图一是一长方形纸盒，高为4,宽为3,纸盒底部是一个“心形”图案，如图二所示，“心形”图案是由上边界1C (虚线L 上方部分)与下边界2C (虚线L 下方部分)围成，曲线1C 是函数45y x =的图象，曲线2C 是函数27y x =的图象，游戏者只需向纸盒内随机投掷一颗瓜子，若瓜子落在“心形”图案内部即可获奖，则一次游戏获奖的概率为( )A.π1627- B.π1-2427 C.π1-1227 D.π24+123510.从20名男同学和30名女同学中选4人去参加一个会议，规定男女同学至少各有1人参加，下面是不同的选法种数的三个算式：①112203048C C C ；②444502030C -C -C ；③132231203020302030C C +C C +C C .则其中正确算式的个数是( )A.0B.1C.2D.311.已知定义在R 上的奇函数()f x 可导，设其导函数为()f x '，当(0)x ∈-∞，时，恒有()()xf x f x '<-，令()()F x xf x =，则满足(3)(21)F F x >-的实数x 的取值范围是( )A.()21-，B.112⎛⎫- ⎪⎝⎭，C.122⎛⎫⎪⎝⎭， D.()12-， 12.在ABC △中，G 为ABC △的重心，过G 点的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP hAB =，AQ k AC =，则1625h k +的最小值( )A.27B.81C.66D.41 二、填空题：每题5分，满分20分.13.设变量x 、y 满足约束条件2211x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+最大值是 .14.抛物线C ：22y px =(0p >)的准线与x 轴的交点为M ，过点M 作C 的两条切线，切点分别为P ，Q ，则PMQ ∠= .15.矩形ABCD 中，4AB =，2BC =，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，E ，F 分别是AB ，DC 的中点，则四棱锥P EBCF -的外接球表面积为 . 16.函数1()sin (sin cos )2f x x x x =+-在区间π(π)2a a ，(01a <<)上有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围是.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在ABC△中，已知45A=︒，4 cos5B=.(1)求cos C的值；(2)若10BC=，D为AB的中点，求CD的长.18. 在如图所示的几何体ABCDEF中，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD和四边形ABEF都是正方形，且边长为2，Q是AD的中点.(1)求证：直线AE∥平面FQC；(2)求二面角A FC B--的大小.19. 为了调查学生数学学习的质量情况，某校从高二年级学生(其中男生与女生的人数之比为9:11)中，采用分层抽样的方法抽取n名学生依期中考试的数学成绩进行统计.根据数学的分数取得了这n名同学的数据，按照以下区间分为八组：①[3045)，，②[4560)，，③[6075)，，④[7590)，，⑤[90105)，，⑥[105120)，，⑦[120135)，，⑧[135150)，得到频率分布直方图如图所示.已知抽取的学生中数学成绩少于60分的人数为5人.(1)求n 的值及频率分布直方图中第④组矩形条的高度；(2)如果把“学生数学成绩不低于90分”作为是否达标的标准，对抽取的n 名学生，完成下列22⨯列联表：据此资料，你是否认为“学生性别”与“数学成绩达标与否”有关？(3)若从该校的高二年级学生中随机抽取3人，记这3人中成绩不低于120分的学生人数为X ，求X 的分布列、数学期望和方差附1：“22⨯列联表a b c d ”的卡方统计量公式：22()()()()()()a b c d ad bc K a b c d a c b d +++-=++++附2：卡方(2K )统计量的概率分布表：2()0.0500.0100.0013.841 6.63510.828P K k k≥20. 已知椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)的左右焦点分别为1F ，2F 且2F 关于直线0x y a -+=的对称点M 在直线320x y +=上. (1)求椭圆的离心率；(2)若过焦点2F 垂直x 轴的直线被椭圆截得的弦长为3，斜率为12的直线l 交椭圆于A ，B 两点，问是否存在定点P ，使得PA ，PB 的斜率之和为定值？若存在，求出所有满足条件的P 点坐标；若不存在，说明理由.21. 已知函数2211()()ln 24f x x ax x x ax =--+(常数0a >).(1)讨论()f x 的单调性；(2)设()f x '是()f x 的导函数，求证：3()4e ln x f x a x -'<-.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为π)4ρθ=-，直线l 的参数方程为1x t y t =-⎧⎨=+⎩t 为参数，直线l 和圆C 交于A ，B 两点.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设l 上一定点(01)M ，，求MA MB ⋅的值.23.已知函数()3f x x m =--，且()0f x ≥的解集为(2][4)-∞-+∞，， (1)求m 的值；(2)若R x ∃∈，使得()2f x t x ≥+-成立，求实数t 的取值范围.【参考答案】一、选择题1-5:CABCA 6-10:BDBCC 11-12：DA 二、填空题 13.10 14.π2 15.44π 16.1159()(]8488，， 三、解答题 17.解：(1)4cos 5B =，且(0180)B ∈，，∴3sin 5B ==. cos cos(180)cos(135)C A B B =--=-243cos135cossin135sin 2525B B =+=-+10=(2)由(1)可得sin C =.由正弦定理得sin sin BC ABA C =AB =，解得14AB =. 在BCD △中，7BD =，22247102710375CD =+-⨯⨯⨯=，所以CD =18.证明：(1)∵且AF BE ∥，AD BC ∥AF 与AD 交于点A ，BE 与BC 交于点B∴平面ADF ∥平面BCE ，∴几何体ADF BCE -是三棱柱又平面ABCD ⊥平面ABEF ，AB BC ⊥，∴AB ⊥平面BCE ， 故几何体ADF BCE -是直三棱柱(1)四边形ABCD 和四边形ABEF 都是正方形，所以EF AB DC ∥∥且EF AB DC ==，所以四边形DCEF 为矩形；于是，连结DE 交FC 于P ，连结PQ ，P 是DE 中点，又Q 是AD 的中点，故PQ 是边AE 的中位线，PQ AE ∥，注意到AE 在平面FQC 外，PQ 在平面FQC 内，∴直线AE ∥平面FQC(2)由于平面ABCD ⊥平面ABEF ，AB BC ⊥，∴BC ⊥平面ABEF ，所以BC BE ⊥. 于是AB ，BC ，BE 两两垂直.以BA ，BC ，BE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，因正方形边长为2，且Q 为AD 中点，所以(210)Q ，，，(202)F ，，，(020)C ，，，(000)B ，，，于是(020)BC =，，，(202)BF =，，，设平面BFC 的法向量为()m x y z =，， 则0m BC m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解之得(101)m =-，，，同理可得平面AFC 的法向量(110)n =，，， ∴1cos 2m n =， 记二面角B FC A --的大小为θ，依题意知，θ为锐角，1cos 2θ=，π3θ= 即求二面角B FC A --的大小为π319. 解：(1)“成绩少于60分”的频率511()151001500375n n =+⋅⇒= ④的高度[7590)，的率距内频组151530151515151()150037537550601003001/12515-++++++== (2)按照“男生”和“女生”分层抽样在容量为100的样本中，“男生”人数910045911=⨯=+，“女生”人数1110055911=⨯=+“达标”即“成绩不低于90分”的频数1111()15100755060100300=+++⨯⨯= 据此可填表如下：据表可得卡方统计量22100(30104515)1004555752533K ⨯-⨯==⨯⨯⨯ 3.030 3.841=< 故有不足95%的把握认为“学生性别”与“数学成绩达标与否”有关 可以认为它们之间没有关联(3)“成绩不低于120分”的频率111()151003005=+⨯=因高二年级的学生数远超过样本容量,故从该年级抽取任意1人的概率都可认为是15 从而1~(3)5X B ，则031464(0)()()55125P X ===，12148(1)()()55125P X 4===211412(2)()()55125P X ===，30141(3)()()55125P X === 故X 的分布列为：01236448121125125125125XP数学期望13()355E X =⨯=方差1112()3(1)5525D X =⨯⨯-=20. 解：(1)依题知2(0)F c ，，设00()M x y ，，则001y x c =--且00022x c y a +-+=， 解得00x ay a c =-⎧⎨=+⎩，即()M a a c -+，∵M 在直线320x y +=上，∴32()0a a c -++=，2a c =，∴12c e a == (2)由(1)及题设得：12c a =且223b a =，∴2a =，b 22143x y +=设直线l 方程为12y x t =+，代入椭圆方程消去y 整理得2230x tx t ++-=. 依题0∆>，即24t <设11()A x y ，，22()B x y ，，则12x x t +=-，2123x x t =-如果存在()P m n ，使得PA PB k k +为定值，那么PA PB k k +的取值将与t 无关 1212PA PBy n y n k k x m x m --+=+--223()2323n m t mn t mt m -+-=++-，令223()2323n m t mn M t mt m -+-=++- 则223()32302Mt mM m n t m M M mn ++-+--+=为关于2(4)t t <的恒等式∴03223M n m mn =⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，解得132m n =⎧⎪⎨=⎪⎩或132m n =-⎧⎪⎨=-⎪⎩综上可知，满足条件的定点P 是存在的，坐标为3(1)2--，及3(1)2，21. 解：(1)()()ln f x x a x '=-(0x >，0a >)画出y x a =-(0a >)及ln y x =(0x >)的图象，它们的零点分别为a 和1 ①当01a <<时，()f x 在(0)a ，↑，(1)a ↓，，(1)+∞↑， ②当1a =时，()f x 在(1)+∞↑，③当1a >时，()f x 在(01)↑，，(1)a ↓，，()a +∞↑， (2)因()()ln ln ln f x x a x x x a x '=-=-要证3()4e ln x f x a x -'<-，需证3ln 4e x x x -<(0x >)法1.即证32ln 4e x x x x-<(0x >)设ln ()xF x x =(0x >)，324e ()xG x x-=(0x >)一方面21ln ()xF x x -'=(0x >)()F x ⇒在(0e)↑，，(e )+∞↓， 则1()(e)eF x F =≤① 另一方面，334(2)e ()x x G x x --'=(0x >)()G x ⇒在(02)↓，，(2)+∞↑， 则1()(2)eG x G =≥②据①②()()F x G x ⇒≤有因①的取等条件是e x =，②的取等条件是2x =故()()F x G x <，即32ln 4e x x x x-<(0x >)，即3()4e ln x f x a x -'<- 法2先证1ln ex x ≤(0x >)(差函数) 进而21ln ex x x ≤(0x >) 再证2314e ex x -≤(差函数或商函数) 说明等号不成立故3ln 4e x x x -<(0x >)成立.22.解：(1)π)cos 4ρθθθ=-=2sin 2cos θθ=- ∴22sin 2cos ρρθρθ=-∴2222x y y x +=-∴22(1)(1)2x y ++-=(2)直线l的参数方程可化为1x y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=+⎪⎩t '为参数 代入22(1)(1)2x y ++-=，得22(1))2''++=化简得：210t ''-=∴121t t ''⋅=-∴121MA MB t t ''=⋅= 23.解：(1)不等式30x m --≥的解集为(3][3)m m -∞-⋃++∞，， 又∵()30f x x m =--≥的解集为(2][4)-∞-⋃+∞，， ∴34m +=，32m -=-∴1m =(2)∵x ∃∈R ，使得()2f x t x ≥+-成立∴R x ∃∈，使得132x t x --≥+-∴R x ∃∈，123x x t ---≥+ 令11()12231212x g x x x x x x -≤⎧⎪=---=-<≤⎨⎪>⎩∴x ∃∈R ，123x x t ---≥+∴max 3()1t g x +≤=∴2t ≤-.。
北京市朝阳区2018届高三3月综合练习一模数学理考试 含解析 精品
2018年北京市朝阳区高三一模数学（理）考试解析 第I 卷（选择题共40分）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 已知全集为实数集错误！未找到引用源。
,集合错误！未找到引用源。
,则错误！未找到引用源。
（A ）错误！未找到引用源。
（B ）错误！未找到引用源。
（C ）错误！未找到引用源。
（D ）错误！未找到引用源。
【答案】错误！未找到引用源。
【解析】本题考查集合的运算. 集合错误！未找到引用源。
,集合错误！未找到引用源。
.所以错误！未找到引用源。
或错误！未找到引用源。
,所以错误！未找到引用源。
,故选错误！未找到引用源。
.2. 复数错误！未找到引用源。
满足错误！未找到引用源。
,则在复平面内复数错误！未找到引用源。
所对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限【答案】错误！未找到引用源。
【解析】本题考查复数的运算与坐标表示.由错误！未找到引用源。
得错误！未找到引用源。
,在复平面内对应的点为错误！未找到引用源。
,在第一象限,故选错误！未找到引用源。
.3. 直线错误！未找到引用源。
的参数方程为错误！未找到引用源。
(错误！未找到引用源。
为参数),则错误！未找到引用源。
的倾斜角大小为 （A ）错误！未找到引用源。
（B ）错误！未找到引用源。
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（D ）错误！未找到引用源。
【答案】错误！未找到引用源。
【解析】本题考查直线的参数方程及倾斜角. 由错误！未找到引用源。
可以得到直线的方程为错误！未找到引用源。
.所以直线的斜率为错误！未找到引用源。
,倾斜角为错误！未找到引用源。
,故选错误！未找到引用源。
.4. 已知错误！未找到引用源。
为非零向量,则“错误！未找到引用源。
”是“错误！未找到引用源。
与错误！未找到引用源。
夹角为锐角”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】错误！未找到引用源。
(2021年整理)2018-2019朝阳区一模数学理科试题与答案
B． f (x) sin(4x )
6
C．
f
(x)
cos(2x
)
3
D． f (x) cos(4x )
6
y 1
7
12
O
x
12
3
1
2
2018-2019 朝阳区一模数学理科试题与答案
y 0,
6．记不等式组
y
x
3,
所表示的平面区域为
D
．“点
(1,1)
D
"是“
k
1”的
y kx
A．充分而不必要条件
(Ⅱ)求证：直线 l 与椭圆 C 相切；
（Ⅲ）判断 AFB 是否为定值，并说明理由．
20．（本小题满分 13 分） 在无穷数列 {an}中， a1, a2 是给定的正整数, an2 an1 an ， n N* ．
（Ⅰ)若 a1 3, a2 1,写出 a9, a10, a100 的值; （Ⅱ）证明：数列{an}中存在值为 0 的项; （Ⅲ）证明:若 a1,a2 互质,则数列{an}中必有无穷多项为1 ．
第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有 9 块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环
多 9 块,则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数
是
．
图1
图2
14 ． 在 平 面 内 ， 点 A 是 定 点 ， 动 点 B,C 满 足 | AB || AC | 1 , AB AC 0 , 则 集 合
分别以 AB, AD, AF 为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系（如图）．
因为 AB AD 1, BC 3， 所以 A(0,0,0), B(1,0,0),C(1,3,0), D(0,1,0), E(0,1,1), F(0,0,1) ，
北京市朝阳区2018届高三第一学期期末质量检测数学(理)试卷及答案
北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测数学试卷（理工类） 2018.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合{}|(2)0A x x x =-<，{}|ln 0B x x =>，则A B I 是A. {}|12x x <<B.{}|02x x <<C.{}|0x x > D.{}|2x x >2. 已知i 为虚数单位，设复数z 满足i 3z +=，则z =A.3B. 4C.10D.103. 在平面直角坐标系中，以下各点位于不等式(21)(3)0x y x y +--+>表示的平面区域内的是 A.(00)， B.(20)-， C.(01)-， D. (02)，4.“2sin 2α=”是“cos2=0α”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 某四棱锥的三视图如图所示，格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为A. 4B.43C.423D.42 6. 已知圆22(2)9x y -+=的圆心为C .直线l 过点(2,0)M -且与x 轴不重合，l 交圆C 于,A B 两点，点A 在点M ，B 之间.过M 作直线AC 的平行线交直线BC 于点P ，则点P 的轨迹是A. 椭圆的一部分B. 双曲线的一部分C. 抛物线的一部分D. 圆的一部分7. 已知函数()f x x x a =⋅-的图象与直线1y =-的公共点不少于两个，则实数a 的取值范围是A.2a <-B.2a ≤-C.20a -≤<D.2a >-8. 如图1，矩形ABCD中，AD =点E 在AB 边上， CE DE⊥且1AE =. 如图2，ADE △沿直线DE 向上折起成1A DE △．记二面角1A DE A --的平面角为θ，当θ()00180∈o ，时，① 存在某个位置，使1CE DA ⊥；② 存在某个位置，使1DE AC ⊥；③ 任意两个位置，直线DE 和直线1A C 所成的角都不相等. 以上三个结论中正确的序号是A. ①B. ①②C. ①③D. ②③第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C ，则双曲线C 的渐近线方程为 .10. 执行如图所示的程序框图，输出S 的值为 . 11.YABCD 中，,E F 分别为边,BC CD 中点，若 AF x AB y AE =+u u u r u u u r u u u r（,x y ∈R ），则+=x y _________.12. 已知数列{}n a 满足11n n n a a a +-=-（2n ≥），1a p =，2a q =(,p q ∈R ).设1nn i i S a ==∑，则10a= ;2018S = .（用含,p q 的式子表示）13. 伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.一位同学受A到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：22222()()()ac bd a b c d +≤++的一种“图形证明”.证明思路：（1）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积；（2）左图中阴影区域的面积为ac bd +，右图中，设BAD θ∠=，右图阴影区域的面积可表示为_________（用含a b c d ,,,，θ的式子表示）；（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式22222()()()ac bd a b c d +≤++. 当且仅当,,,a b c d 满足条件__________________时，等号成立.14. 如图，一位同学从1P 处观测塔顶B 及旗杆顶A ，得仰角分别为α和90α-o . 后退l (单位m)至点2P 处再观测塔顶B ，仰角变为原来的一半，设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面，且C ，1P ，2P 三点在同m.一条水平线上，则塔CB 的高为 m ；旗杆BA 的高为（用含有l 和α的式子表示）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13分)已知函数21()sin cos sin 2f x x x x =-+. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中,,,a b c 为角,,A B C 的对边，且满足cos2cos sin b A b A a B =-，bb caca cbC BA P 21B C且02A π<<，求()f B 的取值范围. 16. (本小题满分13分)为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“国Ⅰ，Ⅱ轻型汽油车限行”，“整治散乱污染企业”等.下表是该市2016年和2017年12月份的空气质量指数（AQI ）（AQI 指数越小，空气质量越好）统计表. 表1：2016年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）表2：2017年12月AQI 指数表：单位（3g /m μ）根据表中数据回答下列问题：（Ⅰ）求出2017年12月的空气质量指数的极差；（Ⅱ）根据《环境空气质量指数（AQI ）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为0～50时，空气质量级别为一级.从2017年12月12日到12月16这五天中，随机抽取三天，空气质量级别为一级的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅲ）你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效?结合数据说明理由.17. (本小题满分14分)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=o ，D 是线段AC 的中点，且1A D ⊥ 平面ABC ． （Ⅰ）求证：平面1A BC ⊥平面11AAC C ； （Ⅱ）求证：1//B C 平面1A BD ；（Ⅲ）若11A B AC ⊥，2AC BC ==，求二面角1A A B C --的余弦值.18. (本小题满分13分)已知函数()cos f x x x a =+，a ∈R . （Ⅰ）求曲线()y f x =在点2x π=处的切线的斜率； （Ⅱ）判断方程()0f x '=（()f x '为()f x 的导数）在区间()0,1内的根的个数，说明理由； （Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间(0,1)内有且只有一个极值点，求a 的取值范围.ACBB 1C 1A 1D19. (本小题满分14分)已知抛物线:C 24x y =的焦点为F ,过抛物线C 上的动点P （除顶点O 外）作C 的切线l 交x 轴于点T .过点O 作直线l 的垂线OM （垂足为M ）与直线PF 交于点N . （Ⅰ）求焦点F 的坐标； （Ⅱ）求证：FT MN P ； （Ⅲ）求线段FN 的长.20. (本小题满分13分)已知集合{}12,,...,n P a a a =，其中i a ∈R ()1,2i n n ≤≤>.()M P 表示+i j a a 1)i j n ≤<≤（中所有不同值的个数.（Ⅰ）若集合{}1,3,57,9P =，，求()M P ； （Ⅱ）若集合{}11,4,16,...,4n P -=，求证：+ija a的值两两不同，并求()M P ；（Ⅲ）求()M P 的最小值.（用含n 的代数式表示）北京市朝阳区2017-2018学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷答案（理工类） 2018.1三、解答题（80分） 15. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题知111()sin 2(1cos 2)222f x x x =--+ 11=sin 2cos 222x x +=)24x π+. 由222242k x k ππππ-≤+≤π+（k ∈Z ）， 解得 88k x k 3πππ-≤≤π+ .所以()f x 单调递增区间为3[,]88k k πππ-π+（k ∈Z ）. …………… 6分（Ⅱ）依题意，由正弦定理，sin cos2sin cos sin sin B A B A A B =-.因为在三角形中sin 0B ≠，所以cos2cos sin A A A =-. 即(cos sin )(cos sin 1)0A A A A -+-=当cos sin A A =时，4A π=； 当cos sin 1A A +=时，2A π=.由于02A π<<，所以4A π=.则3+4B C =π.则304B <<π.又2444B ππ7π<+<， 所以1sin(2)14B π-≤+≤.由())24f B B π=+， 则()f B的取值范围是⎡⎢⎣⎦. ……………… 13分16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）2017年12月空气质量指数的极差为194. …………………3分 （Ⅱ）ξ可取1，2，31232353(1)10C C P C ξ===；2132356(2)10C C P C ξ===；3032351(3)10C C P C ξ===. ξ的分布列为所以123 1.8101010E ξ=⨯+⨯+⨯= . ………………9分（Ⅲ）这些措施是有效的.可以利用空气质量指数的平均数，或者这两年12月空气质量指数为优的概率等来进行说明.………………13分17. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为90ACB ∠=o ，所以BC AC ⊥．根据题意， 1A D ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1A D BC ⊥．因为1A D AC D =I ，所以BC ⊥平面11AAC C ．又因为BC ⊂平面1A BC ，所以平面1A BC ⊥平面11AAC C ． ………………4分 （Ⅱ）证明：连接1AB ，设11AB A B E =I ，连接DE ．根据棱柱的性质可知，E 为1AB 的中点， 因为D 是AC 的中点， 所以1//DE B C ．又因为DE ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD ，所以1//B C 平面1A BD ． ………………8分 （Ⅲ）如图，取AB 的中点F ，则//DF BC ，因为BC AC ⊥，所以DF AC ⊥， 又因为1A D ⊥平面ABC ， 所以1,,DF DC DA 两两垂直．以D 为原点，分别以1,,DF DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系（如图）. 由（Ⅰ）可知，BC ⊥平面11AAC C , 所以1BC AC ⊥．ACB B 1C 1A 1DE 1又因为11A B AC ⊥，1BC A B B =I , 所以1AC ⊥平面1A BC ，所以11AC AC ⊥， 所以四边形11AAC C 为菱形． 由已知2AC BC ==，则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B，(1A ． 设平面1A AB 的一个法向量为(),,x y z =n ，因为(1AA =u u u r ，()2,2,0AB =u u u r ，所以10,0,AA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u rn n，即0,220.y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 设1z =，则)=n ．再设平面1A BC 的一个法向量为()111,,x y z =m ，因为(10,CA =-u u u r ，()2,0,0CB =u u u r ，所以10,0,CA CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u rm m，即1110,20. y x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩ 设11z =，则()=m ．故cos ,⋅〈〉===⋅m n m n m n 由图知，二面角1A A B C --的平面角为锐角， 所以二面角1A A B C --． …………14分 18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）()cos sin f x x x x '=-.ππ()22k f '==-. …………3分 （Ⅱ）设()()g x f x '=，()sin (sin cos )2sin cos g x x x x x x x x '=--+=--.当(0,1)x ∈时，()0g x '<，则函数()g x 为减函数. 又因为(0)10g =>，(1)cos1sin10g =-<,所以有且只有一个0(0,1)x ∈，使0()0g x =成立.所以函数()g x 在区间()0,1内有且只有一个零点.即方程()0f x '=在区间()0,1内有且只有一个实数根. ……………7分（Ⅲ）若函数()sin cos F x x x x ax =++在区间()0,1内有且只有一个极值点，由于()()F x f x '=，即()cos f x x x a =+在区间()0,1内有且只有一个零点1x ，且()f x 在1x 两侧异号.因为当(0,1)x ∈时，函数()g x 为减函数，所以在()00,x 上，0()()0g x g x >=，即()0f x '>成立，函数()f x 为增函数；在0(,1)x 上， 0()()0g x g x <=，即()0f x '<成立，函数()f x 为减函数,则函数()f x 在0x x =处取得极大值0()f x .当0()0f x =时，虽然函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点0x ，但()f x 在0x 两侧同号，不满足()F x 在区间()0,1内有且只有一个极值点的要求.由于(1)cos1f a =+，(0)f a =，显然(1)(0)f f >. 若函数()f x 在区间()0,1内有且只有一个零点1x ，且()f x 在1x 两侧异号，则只需满足：(0)0,(1)0,f f <⎧⎨≥⎩即0,cos10,a a <⎧⎨+≥⎩ 解得cos10a -≤<. ……………13分19. （本小题满分14分）解：（Ⅰ） (0,1)F ……………2分（Ⅱ）设00(,)P x y .由24x y =，得214y x =，则过点P 的切线l 的斜率为0012x x k y x ='==. 则过点P 的切线l 方程为2001124y x x x =-.令0y =，得012T x x =，即01(,0)2T x .又点P 为抛物线上除顶点O 外的动点，00x ≠，则02TF k x =-.而由已知得MN l ⊥，则02MN k x =-. 又00x ≠，即FT 与MN 不重合， 即FT MN P . …………6分 （Ⅲ）由(Ⅱ)问，直线MN 的方程为02y x x =-，00x ≠.直线PF 的方程为0011y y x x --=，00x ≠.设MN 和PF 交点N 的坐标为(,)N N N x y 则0002.........(1)11..........(2)N N N N y x x y y x x ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩由（1）式得，02N Nx x y =-（由于N 不与原点重合，故0N y ≠）.代入（2），化简得02NN y y y -=()0N y ≠.又2004x y =，化简得,22(1)1NN x y +-= （0N x ≠）. 即点N 在以F 为圆心，1为半径的圆上.（原点与()0,2除外）即1FN =. …………14分20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）()=7M P ； ………… 3分（Ⅱ）形如和式+i j a a 1)i j n ≤<≤（共有2(1)2n n n C -=项，所以(1)()2n n M P -≤. 对于集合{}11,4,16,...,4n -中的和式+i ja a ，+p q a a 1,1)i j n p q n ≤<≤≤<≤（： 当j q =时，i p ≠时，++i j p q a a a a ≠；当j q ≠时，不妨设j q <，则121+24j i j jj q p q a a a a a a a -+<=<≤<+. 所以+i j a a 1)i j n ≤<≤（的值两两不同. 且(1)()=2n n M P -. ………… 8分 （Ⅲ）不妨设123...n a a a a <<<<，可得1213121++...++...+n n n n a a a a a a a a a a -<<<<<<.+i j a a 1)i j n ≤<≤（中至少有23n -个不同的数.即()23M P n ≥-.设12,,...,n a a a 成等差数列，11,()+=,()i j n n i j i j a a i j n a a a a i j n +-+-++>⎧⎪⎨++≤⎪⎩，则对于每个和式+i j a a 1)i j n ≤<≤（，其值等于1+p a a （2p n ≤≤）或+q n a a (11)q n ≤≤-中的一个.去掉重复的一个1n a a +,所以对于这样的集合P ,()23M P n =-.则()M P 的最小值为23n -. ……………13分。
2018年高三最新 朝阳区高三第一次统一考试数学试卷(理
朝阳区高三第一次统一考试数学试卷(理科)一、选择题:(1) 设全集U=R，集合M={ x | x >0 }，N={x| x2≥x }，则下列关系中正确的是（）A．M∩N∈M B．M∪N⊆MC．(C U M)∪(C U N)=φD．(C U N)∩M⊆M(2)在△ABC中，sin2A=sin2B是A=B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(3) 已知a、b是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，给出四个命题：①a∥b，b∥α，则a∥α；②a、b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β；③a与α成30°的角，a⊥b，则b与α成60°的角；④a⊥α，b∥α，则a⊥b.其中正确命题的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个（4）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，S3=3，S6=27，则此等比数列的公比q等于（）A. 2B.-2C.12D. -12(5)从4位男教师和3位女教师中选出3位教师，派往郊区3所学校支教，每校1人.要求这3位教师中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有（）A．210种B．186种C．180种D．90种(6) 已知函数f(x)=-在区间M上的反函数是其本身，则M可以是（）A．[-2，2] B．[-2，0] C．[0，2] D．[-2，0)(7) 已知椭圆焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，过点F2向∠F1PF2的外角平分线作垂线，垂足为M，则点M的轨迹是（）A. 圆B．椭圆C. 直线D．双曲线的一支(8) 已知计算机中的某些存储器有如下特性：若存储器中原有数据个数为m个，则从存储器中取出n个数据后，此存储器中的数据个数为m-n个；若存储器中原有数据为m个，则将n个数据存入存储器后，此存储器中的数据个数为m+n个.现已知计算机中A、B、C三个存储器中的数据个数均为0，计算机有如下操作：第一次运算：在每个存储器中都存入个数不小于2的数据；第二次运算：从A存储器中取出2个数据，将这2个数据存入B存储器中；第三次运算：从C存储器中取出1个数据，将这1个数据存入B存储器中；第四次运算：从B存储器中取出与A存储器中个数相同的数据，将取出的数据存入A存储器，则这时B 存储器中的数据个数是 （ ）A . 8B . 7C . 6D . 5二、填空题:(9) 设复数z 1=1+2i ，z 2=2-i ，则12z z 等于 ． (10) 若(1-ax )6的展开式中x 4的系数是240，则实数a 的值是 .(11)圆x 2+y 2+4x -2y +4=0上的点到直线x -y -1=0的最大距离与最小距离的差为 . (12) 已知一个球与一个二面角的两个半平面都相切，若球心到二面角的棱的距离是5，切点到二面角棱的距离是1，则球的表面积是 ，球的体积是 . (13)已知向量a = (2，3)，|b |a ∥b ，则|a |= ，b 的坐标是. (14)已知函数f (x )=|1|(1),3(1),x x x x +<⎧⎨-+⎩≥且不等式f (x )≥a 的解集是(]2-∞-，∪[0，2]，则实数a 的值是 . 三、解答题:(15)（本小题满分13分）已知a = (cos x ，sin x )，b = (-cos x ，cos x )，函数f (x )= 2a ·b +1. (Ⅰ)求函数f (x )的最小正周期；(Ⅱ) 当x ∈[0，2π]时，求f (x )的单调减区间. (16)（本小题满分13分）甲、乙两支篮球队进行比赛，已知每一场甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0．4，每场比赛均要分出胜负. 比赛时采用三场两胜制， 即先取得两场胜利的球队胜出. (Ⅰ)求甲队以二比一获胜的概率；(Ⅱ)求乙队获胜的概率； (Ⅲ)若比赛采用五场三胜制，试问甲获胜的概率是增大还是减小，请说明理由. (17)（本小题满分13分）如图，棱长为1的正四面体ABCD 中，E 、F 分别是棱AD 、CD 的中点，O 是点A 在平面BCD 内的射影.(Ⅰ)求直线EF 与直线BC 所成角的大小； (Ⅱ)求点O 到平面ACD 的距离； (Ⅲ) 求二面角A-BE-F 的大小.· ABCDEFO(18)（本小题满分13分）已知函数f (x )= x 3+ax 2+bx +c 在x =1处有极值，f (x )在x =2处的切线l 不过第四象限且斜率为1，坐标原点到切线l的距离为2． (Ⅰ) 求a 、b 、c 的值； (Ⅱ) 求函数y = f (x )在区间[-1，32]上的最大值和最小值． (19)（本小题满分14分）已知双曲线的中心在原点O ，右焦点为(,0)F c ，P 是双曲线右支上任意一点，且OFP∆（Ⅰ）若点P 的坐标为(2，求此双曲线的离心率；（Ⅱ）若26(1)OF FP c ⋅=，当OP 取得最小值时，求此双曲线的方程. (20)（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点,n S n n⎛⎫⎪⎝⎭在直线11122y x =+上．数列{}n b 满足2120n n n b b b ++-+=*()n N ∈，且311b =，前9项和为153．（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设3(211)(21)n n n c a b =--，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求使不等式57n k T >对一切*n N ∈都成立的最大正整数k 的值；（Ⅲ）设**(21, ),() (2, ).n n a n l l N f n b n l l N ⎧=-∈⎪=⎨=∈⎪⎩是否存在*m N ∈，使得(15)5()f m f m +=成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．朝阳区高三第一次统一考试数学试卷答案(理科)一.选择题（1）D （2）B （3） D （4）A （5）C （6）B （7）A （8）D 二.填空题（9）i （10）±2 （11）2 （12）16π 323π（13（-4，-6）或（4，6） （14）1三.解答题(15) 解：(Ⅰ)因为f (x )= 2a ·b +1 = 2(cos x ，sin x )·(-cos x ，cos x )+1=2(-cos 2x + sin x cos x ) +1 ……………………………………2分 =1-2cos 2x + 2sin x cos x=sin2x -cos2x ……………………………………4分x -4π) ……………………………………6分 所以f (x )的最小正周期是T=22π= π. ……………………………………7分(Ⅱ)依条件得2k π+2π≤2x -4π≤2k π+32π(k ∈Z). ………………………………9分解得k π+38π≤x ≤k π+78π(k ∈Z). ……………………………………11分又x ∈[0，2π]，所以38π≤x ≤78π，118π≤x ≤158π.即当x ∈[0，2π]时，f (x )的单调减区间是[38π，78π]，[118π，158π]. …………13分(16) 解： (Ⅰ)甲队以二比一获胜，即前两场中甲胜1场，第三场甲获胜，其概率为P 1=12C ×0.6×0.4×0.6=0.288. ……………………………………4分(Ⅱ)乙队以2：0获胜的概率为 20.40.40.16P '=⨯=；乙队以2：1获胜的概率为 1220.40.60.40.192P C ''=⨯⨯=∴乙队获胜的概率为 P 2=0.42+12C ×0.4×0.6×0.4=0.16+0.192=0.352. …………………8分(Ⅲ)若三场两胜，则甲获胜的概率P 3=0.62+12C ×0.6×0.4×0.6=0.36+0.288=0.648或P 3=1- P 2=1-0.352=0.648；若五场三胜，则甲获胜的概率P 3′=0.63+23C ×0.62×0.4×0.6+24C ×0.62×0.42×0.6=0.216+0.2592+0.21836=0.68256. ……………………………………12分 ∵P 3< P 3′,∴采用五场三胜制，甲获胜的概率将增大. ……………………………………13分 (17) 方法一：(Ⅰ)因为E 、F 分别是棱AD 、CD 的中点，所以EF ∥AC .所以∠BCA 是EF 与BC 所成角.∵正四面体ABCD ，∴△ABC 为正三角形， 所以∠BCA=60°.即EF 与BC 所成角的大小是60°. ……………………………………3分 (Ⅱ)解法1：如图，连结AO ，AF ， 因为F 是CD 的中点，且△ACD ，△BCD 均为正三角形， 所以BF ⊥CD ，AF ⊥CD . 因为BF ∩AF=F ， 所以CD ⊥面AFB . 因为CD 面ACD ， 所以面AFB ⊥面ACD . 因为ABCD 是正四面体，且O 是点A 在 面BCD 内的射影，所以点O 必在正三角形BCD 的中线BF 上. 在面ABF 中，过O 做OG ⊥AF ，垂足为G ，所以OG ⊥面ACD .即OG 的长为点O 到面ACD 的距离. 因为正四面体ABCD 的棱长为1，在△ABF 容易求出，OF=，AO=3因为△AOF ∽△OGF ， 故由相似比易求出所以点O 到平面ACD 的距离是· A B CD E FO G· ABCDEFO9……………………………………8分 解法2：如图，连结AO ，CO ，DO ， 所以点O 到平面ACD 的距离就是三棱锥 O-ACD 底面ACD 上的高h . 与解法1同理容易求出所以V A -COD =1312·.因为V O -ACD =V A -COD ，所以36= V O -ACD =13·h ·(12·2·1) .解得h(Ⅲ) 设△ABD 中，AB 边的中线交BE 于H ， 连结CH ，则由ABCD 为正四面体知 CH ⊥面ABD .设HD 的中点为K ，则FK ∥CH . 所以FK ⊥面ABD .在面ABD 内，过点K 作KN ∥AD ， KN 交BE 于M ，交AB 于N ，因为BE ⊥AD ， 所以NM ⊥BE. 连结FM ， 所以FM ⊥BE.所以∠NMF 是所求二面角的平面角. 因为FK=12CH=12MK=12ED=14AD=14， 所以tan ∠FMK=FK MK. HKM· A BCDEFON所以tan ∠NMF=tan (π-∠FMK)=-3. 所以所求二面角的大小为π-arctan3. ……………………………………13分 （或者由正四面体的对称性，可转求二面角C —BF —E 的大小） 方法二：如图，以点A 在面BCD 的射影O 为坐标原点，有向直线OA 为z 轴，有向直线BF 为y 轴，x过点O 与DC 平行方向.因为正四面体ABCD 的棱长为1， 所以可以求出各点的坐标依次为：O(0，0，0)，A(0，0，B(0，0)C(12，6，0)，D(-12，6，0)， E(-14，12，6，F(0，6，0).(Ⅰ)因为EF =(14，，=(12，，0)， 又EF ·=14×12+0=18+18=14，且|EF |=12||=12，||=1，所以cos 〈EF ，BC 〉=14112=12.所以EF 与BC 所成角的大小是60°. ……………………………………3分 (Ⅱ) 因为AC =(12，)， AD =(-12， 设平面ACD 的一个法向量为F ACD = (x 1，y 1，z 1)， 由AC ·F ACD =0，AD ·F ACD =0，解得F ACD = (0，2，22). CD因为OF =(0，6，0)，OF ·F ACD =33，| F ACD|=2， 所以点O 到平面ACD 的距离等于d =ACD ACD OF ⋅F F =33×3=…………8分(Ⅲ)因为AB =(0，-33，，AD =(-12，，，设平面ABD 的一个法向量为F ABD = (x 2，y 2，z 2)， AB ·F ABD =0，AD ·F ABD =0， 可得一个法向量F ABD = (-6，-2， 1).同理可以求出平面BEF 的一个法向量为F BEF = (26，0，3). 因为F ABD ·F BEF =-9，|F ABD |=3，|F BEF|= 所以co s β=ABD BEF ABD BEF ⋅F F F F=所以二面角A-BE-F 的大小为arccos (-)=π-…………13分 (18) 解：(I) 由f (x )= x 3+ax 2+bx +c ，得f ′(x )= 3x 2+2ax +b ． ………………………2分∵x =1时f (x )有极值，∴f ′(1)= 3+2a +b =0． ① ∵f (x )在x =2处的切线l 的斜率为1，∴f ′(2)= 12+4a +b =1． ②由①②可解得a = -4，b =5． ……………………………………4分 设切线l 的方程为y =x + m ，由坐标原点（0，0）到切线l的距离为2，可得m =±1， 又切线不过第四象限，所以m =1，切线方程为y =x +1． ……………………………6分 ∴ 切点坐标为(2，3)，∴f (2)=8-16+10+c =3，所以c =1．故a = -4，b =5，c =1． ……………………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知f (x )= x 3-4x 2+5x +1，f ′(x )= 3x 2-8x +5=(x -1)(3x -5)．∵x ∈[-1，32]，∴ 函数f (x )在区间[-1，1]上递增，在3(1,]2上递减 . ………9分又f (-1)=-9，f (1)=3，f (32)=238， ……………………………………12分∴f(x)在区间[-1，32]上的最大值为3，最小值为-9．……………………………13分(19)解：（Ⅰ）设所求的双曲线的方程为22221(0,0) x ya ba b-=>>，则1||22OF=，∴c=……………………………………1分∴22222b c a a=-=-．……………………………………2分由点P在双曲线上，∴224312a a-=-，解得21a=，……5分∴离心率cea==……………………………………6分（Ⅱ）设所求的双曲线的方程为22221(0,0)x ya ba b-=>>，11(,)P x y，则11(,)FP x c y=-. ……………………………………7分∵OFP∆112OF y=∴1y=……8分∵26(1)OF FP c⋅=-, ∴21()1)OF FP x c c c⋅=-=.解得13x=. ……………………………………9分∵22OP x=, …………………………11分当且仅当c=. …………………………………12分此时P.由此得2222221,3a ba b⎧-=⎪⎨⎪+=⎩解得2212ab⎧=⎨=⎩或2263ab⎧=⎨=-⎩（舍）.故所求双曲线的方程为2212y x -=. …………………………………14分(20)解：（Ⅰ）由题意，得11122n S n n =+，即211122n S n n =+． 故当2n ≥时，1n n n a S S -=-=2111()22n n +2111[(1)(1)]22n n --+-5n =+．注意到1n =时，116a S ==，而当1n =时，56n +=，所以， *5 ()n a n n N =+∈． ………………………………………3分又2120n n n b b b ++-+=，即211n n n n b b b b +++-=-*()n N ∈，所以{}n b 为等差数列，于是379()1532b b +=． 而311b =，故723b =，2311373d -==-， 因此，33(3)32n b b n n =+-=+，即32n b n =+*()n N ∈．………………5分 （Ⅱ）3(211)(21)n n n c a b =--3[2(5)11][2(32)1]n n =+-+-1111(21)(21)22121n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭．所以，12n n T c c c =+++1111111112335572121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭． ………………………………………8分 由于112321n n n n T T n n ++-=-++10(23)(21)n n =>++， 因此n T 单调递增，故min 1()3n T =． 令1357k >，得19k <，所以 max 18k =． …………………………………10分（Ⅲ）**+5 (21, ),()3 2 (2, ).n n l l N f n n n l l N ⎧=-∈⎪=⎨+=∈⎪⎩ ① 当m 为奇数时，15m +为偶数．此时(15)3(15)2347f m m m +=++=+，5()5(5)525f m m m =+=+，所以347m +525m =+，11m =． …………………………………12分 ② 当m 为偶数时，15m +为奇数．此时(15)15520f m m m +=++=+，5()5(32)1510f m m m =+=+， 所以20m +1510m =+，*57m N =∉（舍去）． 综上，存在唯一正整数11m =，使得(15)5()f m f m +=成立．…………………………………14分。
2018辽宁朝阳一模含答案 2018届辽宁省朝阳市普通高中高三第一次模拟考试数学(理)试卷
朝阳市2018年普通高中高三第一次模拟考试数学(理)参考答案及评分标准一、选择题: CABCA BD BCC D A 二、填空题13：10 14：π2 15： 44π 16 (18,14)∪(58,98] 三、 解答题：17：（Ⅰ）4cos ,5B =且(0,180)B ∈，∴3sin 5B ==．---------3分 cos cos(180)cos(135)C A B B =--=-43cos135cos sin135sin 5B B =+= =--------------6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sin C =．--------------8分 由正弦定理得sin sin BC AB A C =7=，解得14AB =．-----------10分 在BCD ∆中，7BD =， 22247102710375CD =+-⨯⨯⨯=，所以CD =-----12 18.证明(1):∵且AF ∥BE,AD ∥BCAF 与AD 交于点A,BE 与BC 交于点B∴平面ADF ∥平面BCE,∴几何体ADF-BCE 是三棱柱 …………2分又平面ABCD ⊥平面ABEF,AB ⊥BC,∴AB ⊥平面BCE,故几何体ADF-BCE 是直三棱柱; ………………4分（1）四边形ABCD 和四边形ABEF 都是正方形，所以EF ∥AB ∥DC 且EF=AB=DC ，所以四边形DCEF 为矩形；…………………………………………………………………………………2分 于是，连结DE 交FC 于P,连结PQ, P 是DE 中点,又Q 是AD 的中点,故PQ 是边AE 的中位线,PQ ∥AE ，注意到AE 在平面FQC 外,PQ 在平面FQC 内, ∴直线AE ∥平面FQC; ……………6分(2) 由于平面ABCD ⊥平面ABEF,AB ⊥BC,∴BC ⊥平面ABEF ，所以BC ⊥BE.于是AB ，BC ，BE 两两垂直。
以BA,BC,BE 所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，因正方形边长为2且Q 为AD 中点.所以Q(2,1,0),F(2,0,2),C(0,2,0),B(0,0,0)……………………………8分于是BC →=(0,2,0),BF →=(2,0,2),设平面BFC 的法向量为m →=(x,y,z)则⎩⎨⎧m →⋅BC →=0m →⋅BF →=0,解之得m →=(1,0,-1); 同理可得平面AFC 的法向量n →=(1,1,0) ∴cos<m →,n →>=12记二面角B-FC -A 的大小为θ,依题意知,θ为锐角,cos θ=12,θ=π3即求二面角B-FC-A 的大小为π3…………………………12分19.解析：(1) “成绩少于60分”的频率5n =(11500+1375)·15⇒n =100……2分④的高度=[75，90）内的频率组距=1−(151500+15375+30375+1550+1560+15100+15300)15=1/125……4分(2) 按照“男生”和“女生”分层抽样在容量为100的样本中,“男生”人数=99+11⨯100=45,“女生”人数=119+11⨯100=55“达标”即“成绩不低于90分”的频数=(150+160+1100+1300)⨯15⨯100=75据此可填表如下6分 据表可得卡方统计量K 2=100(30⨯10−45⨯15)245⨯55⨯75⨯25=10033=3.030<3.841 故有不足95%的把握认为“学生性别”与“数学成绩达标与否”有关 可以认为它们之间没有关联……8分(3) “成绩不低于120分”的频率=(1100+1300)⨯15=15因高二年级的学生数远超过样本容量,故从该年级抽取任意1人的概率都可认为是15从而X ～B (3,15)则 P (X =0)=(15)0(45)3=64125, P (X =1)=(15)1(45)2=48125P (X =2)=(15)2(45)1=12125, P (X =3)=(15)3(45)0=1125故X 的分布列为: X 0123P 6412548125121251125……10分数学期望E (X )=3⨯15=35……11分 方差D (X )=3⨯15⨯(1−15)=1225……12分20解析: (1)依题知F 2(c,0),设M(x 0,y 0),则y 0x 0-c =-1且x 0+c 2-y 02+a=0,解得⎩⎨⎧x 0=-a y 0=a+c , 即M(-a,a+c)∵M 在直线3x+2y=0上,∴-3a+2(a+c)=0,a=2c,∴e=c a =12……………………… 6分 (2)由(1)及题设得:c a =12且2b 2a =3,∴a=2,b=3,∴椭圆方程为x 24+y 23=1……………… 7分 设直线l 方程为y=12x+t,代入椭圆方程消去y 整理得x 2+tx+t 2-3=0.依题∆>0,即t 2<4 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=-t,x 1x 2=t 2-3. ………………………… 8分如果存在P(m,n)使得k PA +k PB 为定值,那么k PA +k PB 的取值将与t 无关k PA +k PB =y 1-n x 1-m +y 2-n x 2-m =(n-32m)t+2mn-3t 2+mt+m 2-3,令(n-32m)t+2mn-3t 2+mt+m 2-3=M, ………………………… 10分 则Mt 2+(mM+32m-n)t+m 2M-3M-2mn+3=0为关于t(t 2<4)的恒等式 ∴⎩⎨⎧M=0n=32m 2mn=3,解得⎩⎪⎨⎪⎧m=1n=32或⎩⎪⎨⎪⎧m=-1n=-32. 综上可知,满足条件的定点Ｐ是存在的,坐标为(-1,-32)及(1,32) ……………………… 12分21.(1) f ′(x )=(x −a )lnx (x >0,a >0)画出y =x −a (a >0)及y =lnx (x >0)的图象,它们的零点分别为a 和1①当0<a <1时,f (x )在(0,a )↑,(a ,1)↓,(1,+∞)↑……2分②当a =1时,f (x )在(0,+∞)↑......4分 ③当a >1时,f (x )在(0,1)↑,(1,a )↓,(a ,+∞)↑ (6)分(2) 因f ′(x )=(x −a )lnx =xlnx −alnx要证f ′(x )<4e x −3−alnx ,需证xlnx <4e x −3(x >0)法1. 即证lnx x <4e x −3x 2(x >0)设F (x )=lnx x (x >0),G (x )=4e x −3x 2(x >0)一方面,F ′(x )=1−lnx x 2(x >0)⇒F (x )在(0,e )↑,(e ,+∞)↓则F (x )≤F (e )=1e ……① 另一方面,G ′(x )=4(x −2)e x −3x 3(x >0)⇒G (x )在(0,2)↓,(2,+∞)↑则G (x )≥G (2)=1e ……②据①②⇒F (x )≤G (x ) 有因①的取等条件是x =e ,②的取等条件是x =2故F(x)<G(x),即lnxx<4e x−3x2(x>0)成立,即f′(x)<4ex−3−alnx………………………………………………………………………12分法2. 先证lnx≤1e x(x>0)(差函数)进而xlnx≤1e x2(x>0)再证1e x2≤4e x−3(差函数或商函数)说明等号不成立故xlnx<4e x−3(x>0)成立22.解（I）……………………………5分…………10分23.……5分……10分。
2018北京市朝阳区高三(一模)数学(理)含答案
2018北京市朝阳区高三（一模）数 学（理） 2018．3（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知全集为实数集R ，集合2{30}A x x x =-<，{21}x B x =>，则RA B ()=A ．(0][3,)，-∞+∞B ．(0,1]C ．[)3+∞，D ．[1)，+∞ 2．复数z 满足(1+i)i z =，则在复平面内复数z 所对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．直线l 的参数方程为=3,1+3x t yt-（t 为参数），则l 的倾斜角大小为A ．6π B ． 3π C ． 32π D ．65π4．已知a b ,为非零向量，则“0a b >⋅”是“a 与b 夹角为锐角”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．某单位安排甲、乙、丙、丁4名工作人员从周一到周五值班，每天有且只有1人值班，每人至少安排一天且甲连续两天值班，则不同的安排方法种数为A ．18B ．24C ．48D ．96 6．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于A ．34B ．23C ．12D ．137．庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”．庙会大多在春节、元宵节等节日举行．庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）．今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会．游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：俯视图正视图侧视图1甲说：“我或乙能中奖”； 乙说：“丁能中奖”； 丙说：“我或乙能中奖”； 丁说：“甲不能中奖”．游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,0)A ,(1,2)B ，动点P 满足OP OA OB λμ=+,其中,[0,1],[1,2]λμλμ∈+∈，则所有点P 构成的图形面积为A ． 1B ． 2C ． 3D ． 23第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．执行如图所示的程序框图，若输入5m =，则输出k 的值为________．10．若三个点(2,1),(2,3),(2,1)---中恰有两个点在双曲线222:1(0)x C y a a-=>上，则双曲线C 的渐近线方程为_____________．11．函数()sin()f x A x ωϕ=+（0,0,2A ωϕπ>><）的部分图象如图所示，则=ω ；函数()f x 在区间[,3ππ]上的零点为 ．12．已知点(2,0),(0,2)A B -，若点M 是圆22220x y x y +-+=上的动点，则ABM ∆面积的最小值为 ． 13．等比数列{}n a 满足如下条件：①10a >；②数列{}n a 的前n 项和1n S <． 试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式 ．14．已知R a ∈，函数211(+1)0π()sin 2,0.22x x x a x x f x x --+⎧+<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩+， ，当0x >时，函数()f x 的最大值是 ；若函数()f x 的图m >50输出k 结束开始 输入m k =0m =2m -1 是k =k +1否象上有且只有两对点关于y 轴对称，则a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15． (本小题满分13分)在ABC ∆中，已知sin A =，2cos b a A =． （Ⅰ）若5ac =，求ABC ∆的面积； （Ⅱ）若B 为锐角，求sin C 的值． 16．(本小题满分14分)如图1，在矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，E 为AD 的中点，O 为BE 中点．将ABE ∆沿BE 折起到A BE '，使得平面A BE '⊥平面BCDE （如图2）． （Ⅰ）求证：A O CD '⊥；（Ⅱ）求直线A C '与平面A DE '所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段A C '上是否存在点P ，使得//OP 平面A DE '? 若存在，求出A PA C''的值；若不存在，请说明理由．17．(本小题满分13分)某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某学校为了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：（Ⅰ）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？（Ⅱ）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的．从选考方案确定的8位男生中随机选出1人，从选考方案图1EABCDOA '图2CBDEO确定的10位女生中随机选出1人，试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率； （Ⅲ）从选考方案确定的8名男生中随机选出2名，设随机变量221,2,ξ⎧=⎨⎩名男生选考方案相同名男生选考方案不同，，求ξ的分布列及数学期望E ξ．18． (本小题满分13分)已知函数ln 1()x f x ax x-=-． （Ⅰ）当2a =时，（ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ⅱ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若12a <<，求证：)(x f 1<-． 19． (本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，且过点(1,2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆C 的左焦点的直线1l 与椭圆C 交于,A B 两点，直线2l 过坐标原点且与直线1l 的斜率互为相反数．若直线2l 与椭圆交于,E F 两点且均不与点,A B 重合，设直线AE 与x 轴所成的锐角为1θ，直线BF 与x 轴所成的锐角为2θ，判断1θ与2θ大小关系并加以证明． 20． (本小题满分13分)已知集合128{,,,}X x x x =是集合{2001,2002,2003,,2016,2017}S =的一个含有8个元素的子集．（Ⅰ）当{2001,2002,2005,2007,2011,2013,2016,2017}X =时，设,(1,8)i j x x X i j ∈≤≤，（i ）写出方程2i j x x -=的解(,)i j x x ；（ii ）若方程(0)i j x x k k -=>至少有三组不同的解，写出k 的所有可能取值；（Ⅱ）证明：对任意一个X ，存在正整数k ，使得方程(1,8)i j x x k i j -=≤≤至少有三组不同的解．2018北京市朝阳区高三（一模）数学（理）参考答案二、填空题：（本题满分30分）三、解答题：（本题满分80分） 15． (本小题满分13分)解：（Ⅰ）由2cos b a A =，得cos 0A >，因为sin A =，所以cos 5A =.因为2cos b a A =，所以4sin 2sin cos 25B A A ===． 故ABC ∆的面积1sin 22S ac B ==． ………………….7分 （Ⅱ）因为4sin 5B =，且B 为锐角，所以3cos 5B =.所以sin sin()sin cos cos sin 25C A B A B A B =+=+=．………….13分16．(本小题满分14分)证明：（Ⅰ）由已知2AB AE ==，因为O为BE 中点，所以A O BE '⊥． 因为平面A BE '⊥平面BCDE ，且平面A BE'平面BCDE BE =，A O '⊂平面A BE '，所以A O '⊥平面BCDE ．又因为CD ⊂平面BCDE ，所以A O CD '⊥． ………….5分 （Ⅱ）设F 为线段BC 上靠近B 点的四等分点，G 为CD 中点．由已知易得OF OG ⊥．由（Ⅰ）可知，A O '⊥平面BCDE ， 所以A O OF '⊥，A O OG '⊥.以O 为原点，,,OF OG OA '所在直线分别为,,x y z 轴 建立空间直角坐标系（如图）． 因为2A B '=，4BC =，所以(00(110),(130),(130),(110)A B C D E ,，，，，，，，'---． 设平面A DE '的一个法向量为111(,,)x y z =m ，因为(132),(020)A D DE ，，，，'=--=-， 所以 0, 0,A D DE ⎧'⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即111130,20. x y y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩取11z =-，得1)=-m ． 而A C '=(1,3,.所以直线A C '与平面A DE '所成角的正弦值sin 3θ== ……….10分 （Ⅲ）在线段A C '上存在点P ，使得//OP 平面A DE '. 设000(,,)P x y z ，且(01)A PA Cλλ'=≤≤'，则A P AC λ''=，[0,1]λ∈． 因为(00(130)A C ，，'，所以000(,,(,3,)x y z λλ=， 所以000,3,x y z λλ==，所以(,3)P λλ，(,3)OP λλ=．若//OP 平面A DE '，则OP ⊥m.即0OP ⋅=m .由（Ⅱ）可知，平面A DE '的一个法向量1)=-m，0-=，解得1[0,1]2λ=∈， 所以当12A P A C '='时，//OP 平面A DE '． ……….14分17．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有4人，选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有6人，该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有1018420=1401830⨯⨯人． ……….3分（Ⅱ）由数据可知，选考方案确定的8位男生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为21=84； 选考方案确定的10位女生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为310． 所以该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率为13341040⨯=．…….8分 （Ⅲ）由数据可知，选考方案确定的男生中有4人选择物理、化学和生物；有2人选择物理、化学和历史；有1人选择物理、化学和地理；有1人选择物理、化学和政治． 由已知得ξ的取值为1,2．2242281(1)4C C P C ξ+===， 1111422228()213(2)4C C C C P C ξ++⨯+===，或3(2)1(1)4P P ξξ==-==. 所以ξ的分布列为所以13712444E ξ=⨯+⨯=． …….13分 18． (本小题满分13分)（Ⅰ）当2a =时，ln 1()2x f x x x-=-.2222ln 22ln ()2x x xf x x x ---'=-=. （ⅰ）可得(1)0f '=，又(1)3f =-，所以()f x 在点（1,3-）处的切线方程为3y =-. ….3分 （ⅱ）在区间（0,1）上2220x ->，且ln 0x ->，则()0f x '>. 在区间（1,+∞）上2220x -<，且ln 0x -<，则()0f x '<.所以()f x 的单调递增区间为（0,1），单调递减区间为（1,+∞）. ….8分 （Ⅱ）由0x >，()1f x <-，等价于ln 11x ax x--<-，等价于21ln 0ax x x -+->. 设2()1ln h x ax x x =-+-，只须证()0h x >成立.因为2121()21ax x h x ax x x--'=--=，12a <<，由()0h x '=，得2210ax x --=有异号两根.令其正根为0x ，则200210ax x --=. 在0(0,)x 上()0h x '<，在0(,)x +∞上()0h x '>.则()h x 的最小值为20000()1ln h x ax x x =-+-0011ln 2x x x +=-+- 003ln 2x x -=-.又(1)220h a '=->，13()2()30222a h a '=-=-<，所以0112x <<.则0030,ln 02x x ->->.因此003ln 02x x -->，即0()0h x >.所以()0h x >所以()1f x <-. ….….13分19． (本小题满分14分)解：（Ⅰ）由题意得22222,111.2c a a b c ab ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩解得a =1b =，1c =．故椭圆C 的方程为2212x y +=． ….….5分（Ⅱ）12=θθ．证明如下：由题意可设直线1l 的方程为(1)y k x =+，直线2l 的方程为y kx =-，设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)E x y ，33(,)F x y --．要证12=θθ，即证直线AE 与直线BF 的斜率之和为零，即0AE BF k k += ． 因为13231323AE BF y y y y k k x x x x -++=+-+ 13231323(1)(1)k x kx k x kx x x x x +++-=+-+ 2121231323[2()2]()()k x x x x x x x x x +++=-+．由22(1),1,2y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(12)4220k x k x k +++-=，所以2122412k x x k -+=+，21222212k x x k -=+．由22,1,2y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(12)2k x +=，所以232212x k =+． 所以2221212322244442()20121212k k x x x x x k k k --+++=++=+++．2121231323[2()2]0()()AE BFk x x x x x k k x x x x ++++==-+．所以12=θθ． ….….14分20． (本小题满分13分)解：（Ⅰ）（ⅰ）方程2i j x x -=的解有：(,)(2007,2005),(2013,2011)i j x x =．……2分 （ii ）以下规定两数的差均为正，则：列出集合X 的从小到大8个数中相邻两数的差：1，3，2，4，2，3，1； 中间隔一数的两数差（即上一列差数中相邻两数和）：4，5，6，6，5，4；中间相隔二数的两数差：6，9，8，9，6； 中间相隔三数的两数差：10，11，11，10； 中间相隔四数的两数差：12，14，12； 中间相隔五数的两数差：15，15； 中间相隔六数的两数差：16这28个差数中，只有4出现3次、6出现4次，其余都不超过2次，所以k 的可能取值有4，6．…………………………………………………………6分 （Ⅱ）证明：不妨设12820012017x x x ≤<<<≤，记1(1,2,,7)i i i a x x i +=-=，2(1,2,,6)i i i b x x i +=-=，共13个差数．假设不存在满足条件的k ，则这13个数中至多两个1、两个2、两个3、两个4、两个5、两个6，从而 127126()()2(126)749a a a b b b +++++++≥++++=. …………①又127126818721()()()()a a a b b b x x x x x x +++++++=-++--81722()()2161446x x x x =-+-≤⨯+=，这与①矛盾！所以结论成立．……………………………………………………………………13分。
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北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）答案2018．3三、解答题：（本题满分80分） 15． (本小题满分13分)解：（Ⅰ）由2co s b a A =，得co s 0A >，因为s in 5A =，所以c o s 5A =.因为2co s b a A =，所以4s in 2s in c o s 2555B A A ==⨯=．故ABC ∆的面积1s in 22S a c B ==． ………………….7分（Ⅱ）因为4s in 5B =，且B 为锐角，所以3c o s 5B =.所以s in s in ()s in c o s c o s s in 25C A B A B A B =+=+=．………….13分16．(本小题满分14分)证明：（Ⅰ）由已知2A B A E ==，因为O 为B E 中点，所以A O B E '⊥． 因为平面A B E '⊥平面B C D E ，且平面A B E'平面B C D E B E =，A O '⊂平面AB E '，所以A O '⊥平面BCDE ．又因为C D ⊂平面B C D E ，所以A O C D '⊥． ………….5分 （Ⅱ）设F 为线段B C 上靠近B 点的四等分点，G 为C D 中点．由已知易得O F O G ⊥．由（Ⅰ）可知，A O '⊥平面B C D E ， 所以A O O F '⊥，A O O G '⊥.以O 为原点，,,O F O G O A '所在直线分别为,,x y z 轴 建立空间直角坐标系（如图）． 因为2A B '=，4B C =，所以(00(110),(130),(130),(110)A B C D E ,，，，，，，，'---． 设平面A D E '的一个法向量为111(,,)x y z =m ，因为(13(020)A D D E ，，，，'=--=-，所以0, 0,A D D E ⎧'⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即111130,20. x y y ⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩取11z =-，得0,1)=-m ． 而A C '=(1,3,.所以直线A C '与平面A DE '所成角的正弦值s in 3θ==……….10分（Ⅲ）在线段A C '上存在点P ，使得//O P 平面A D E '. 设000(,,)P x y z ，且(01)A P A Cλλ'=≤≤'，则A P AC λ''=，[0,1]λ∈．因为(00(130)A C ，，'，所以000(,,(,3,)x y z λλ-=，所以000,3,xy z λλ===，所以(,3,)P λλ，(,3)O P λλ=．若//O P 平面A D E '，则O P ⊥m.即0O P ⋅=m .由（Ⅱ）可知，平面A D E '的一个法向量0,1)=-m ，0-=，解得1[0,1]2λ=∈，所以当12A P A C'='时，//O P 平面A D E '． ……….14分17．(本小题满分13分)解：（Ⅰ）由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有4人，选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有6人，该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有1018420=1401830⨯⨯人．……….3分 （Ⅱ）由数据可知，选考方案确定的8位男生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为21=84；选考方案确定的10位女生中选出1人选考方案中含有历史学科的概率为310．所以该男生和该女生的选考方案中都含有历史学科的概率为13341040⨯=．…….8分（Ⅲ）由数据可知，选考方案确定的男生中有4人选择物理、化学和生物；有2人选择物理、化学和历史；有1人选择物理、化学和地理；有1人选择物理、化学和政治． 由已知得ξ的取值为1,2．2242281(1)4C C P C ξ+===，1111422228()213(2)4C C C C P C ξ++⨯+===，或3(2)1(1)4P P ξξ==-==.所以ξ的分布列为所以13712444E ξ=⨯+⨯=． …….13分18． (本小题满分13分) （Ⅰ）当2a =时，ln 1()2x f x xx-=-. 2222ln 22ln ()2x x xf x xx---'=-=.（ⅰ）可得(1)0f '=，又(1)3f =-，所以()f x 在点（1,3-）处的切线方程为3y=-.….3分 （ⅱ）在区间（0,1）上2220x ->，且ln 0x ->，则()0f x '>. 在区间（1,+∞）上2220x -<，且ln 0x -<，则()0f x '<.所以()f x 的单调递增区间为（0,1），单调递减区间为（1,+∞）. ….8分（Ⅱ）由0x >，()1f x <-，等价于ln 11x a x x--<-，等价于21ln 0a x x x -+->.设2()1ln h x a x x x=-+-，只须证()h x >成立.因为2121()21a x x h x a x xx--'=--=，12a <<，由()h x '=，得2210a x x --=有异号两根.令其正根为0x ，则200210a x x --=.在0(0,)x 上()0h x '<，在0(,)x +∞上()0h x '>. 则()h x 的最小值为20000()1ln h x a x x x =-+- 00011ln 2x x x +=-+-3ln 2x x -=-.又(1)220h a '=->，13()2()30222a h a '=-=-<，所以0112x <<.则0030,ln 02x x ->->.因此03ln 02x x -->，即0()h x >.所以()h x >所以()1f x <-. (13)分19． (本小题满分14分)解：（Ⅰ）由题意得222222,11 1.2c a a bc a b⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩解得a=1b =，1c =．故椭圆C 的方程为2212xy+=． ….….5分（Ⅱ）12=θθ．证明如下：由题意可设直线1l 的方程为(1)yk x =+，直线2l 的方程为ykx=-，设点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)E x y ，33(,)F x y --．要证12=θθ，即证直线A E 与直线B F 的斜率之和为零，即0A EB F k k += ．因为13231323A EB F y y y y k k x x x x -++=+-+13231323(1)(1)k x k x k x k x x x x x +++-=+-+2121231323[2()2]()()k x x x x x x x x x +++=-+．由22(1),1,2y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(12)4220k x k x k+++-=，所以2122412kx x k-+=+，21222212kx x k-=+．由22,1,2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(12)2k x+=，所以232212x k=+．所以2221212322244442()20121212kkx x x x x kkk--+++=++=+++．2121231323[2()2]()()A EB F k x x x x x k k x x x x ++++==-+．所以12=θθ． ….….14分20． (本小题满分13分)解：（Ⅰ）（ⅰ）方程2i j x x -=的解有：(,)(2007,2005),(2013,2011)i j x x =．……2分 （ii ）以下规定两数的差均为正，则：列出集合X 的从小到大8个数中相邻两数的差：1，3，2，4，2，3，1； 中间隔一数的两数差（即上一列差数中相邻两数和）：4，5，6，6，5，4；中间相隔二数的两数差：6，9，8，9，6； 中间相隔三数的两数差：10，11，11，10； 中间相隔四数的两数差：12，14，12；中间相隔五数的两数差：15，15； 中间相隔六数的两数差：16这28个差数中，只有4出现3次、6出现4次，其余都不超过2次，所以k 的可能取值有4，6．…………………………………………………………6分 （Ⅱ）证明：不妨设12820012017x x x ≤<<<≤，记1(1,2,,7)i i i a x x i +=-=，2(1,2,,6)i i i b x x i +=-=，共13个差数．假设不存在满足条件的k ，则这13个数中至多两个1、两个2、两个3、两个4、两个5、两个6，从而 127126()()2(126)749a a a b b b +++++++≥++++=. …………①又127126818721()()()()a a a b b b x x x x x x +++++++=-++--81722()()2161446x x x x =-+-≤⨯+=，这与①矛盾！所以结论成立．……………………………………………………………………13分。