最新历年高考数学真题(全国卷整理版)62084
全国统一高考数学试卷及解析
202X年全国统一高考数学卷子〔文科〕〔新课标版〕参考答案与真题解析一、选择题:本大题共12小题,每题5分,在每题给同的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1.〔5分〕〔202X•新课标〕已知集合A={x|x2﹣x﹣2<0},B={x|﹣1<x<1},则〔〕A.A⊊B B.B⊊A C.A=B D.A∩B=∅2.〔5分〕〔202X•新课标〕复数z=的共轭复数是〔〕A.2+i B.2﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i3.〔5分〕〔202X•新课标〕在一组样本数据〔x1,y1〕,〔x2,y2〕,…,〔x n,y n〕〔n≥2,x1,x2,…,x n不全相等〕的散点图中,假设全部样本点〔x i,y i〕〔i=1,2,…,n〕都在直线y=x+1上,则这组样本数据的样本相关系数为〔〕A.﹣1 B.0 C.D.14.〔5分〕〔202X•新课标〕设F1、F2是椭圆的左、右焦点,P 为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为〔〕A.B.C.D.5.〔5分〕〔202X•新课标〕已知正三角形ABC的顶点A〔1,1〕,B〔1,3〕,顶点C在第一象限,假设点〔x,y〕在△ABC内部,则z=﹣x+y的取值范围是〔〕A.〔1﹣,2〕 B.〔0,2〕C.〔﹣1,2〕D.〔0,1+〕6.〔5分〕〔202X•新课标〕如果执行右边的程序框图,输入正整数N〔N≥2〕和实数a1,a2,…,a n,输出A,B,则〔〕A.A+B为a1,a2,…,a n的和B.为a1,a2,…,a n的算术平均数C.A和B分别是a1,a2,…,a n中最大的数和最小的数D.A和B分别是a1,a2,…,a n中最小的数和最大的数7.〔5分〕〔202X•新课标〕如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为〔〕A.6 B.9 C.12 D.188.〔5分〕〔202X•新课标〕平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为〔〕A.π B.4πC.4πD.6π9.〔5分〕〔202X•新课标〕已知ω>0,0<φ<π,直线x=和x=是函数f〔x〕=sin〔ωx+φ〕图象的两条相邻的对称轴,则φ=〔〕A.B.C.D.10.〔5分〕〔202X•新课标〕等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x 的准线交于A,B两点,,则C的实轴长为〔〕A.B. C.4 D.811.〔5分〕〔202X•新课标〕当0<x≤时,4x<log a x,则a的取值范围是〔〕A.〔0,〕B.〔,1〕C.〔1,〕D.〔,2〕12.〔5分〕〔202X•新课标〕数列{a n}满足a n+1+〔﹣1〕n a n=2n﹣1,则{a n}的前60项和为〔〕A.3690 B.3660 C.1845 D.1830二.填空题:本大题共4小题,每题5分.13.〔5分〕〔202X•新课标〕曲线y=x〔3lnx+1〕在点〔1,1〕处的切线方程为.14.〔5分〕〔202X•新课标〕等比数列{a n}的前n项和为S n,假设S3+3S2=0,则公比q=.15.〔5分〕〔202X•新课标〕已知向量夹角为45°,且,则=.16.〔5分〕〔202X•新课标〕设函数f〔x〕=的最大值为M,最小值为m,则M+m=.三、解答题:解容许写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.〔12分〕〔202X•新课标〕已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,〔1〕求A;〔2〕假设a=2,△ABC的面积为,求b,c.18.〔12分〕〔202X•新课标〕某花店每天以每枝5元的价格从农场购进假设干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花做垃圾处理.〔Ⅰ〕假设花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y〔单位:元〕关于当天需求量n〔单位:枝,n∈N〕的函数解析式.〔Ⅱ〕花店记录了100天玫瑰花的日需求量〔单位:枝〕,整理得下表:日需求量n 14 15 16 17 18 19 20频数10 20 16 16 15 13 10〔i〕假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花,求这100天的日利润〔单位:元〕的平均数;〔ii〕假设花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于75元的概率.19.〔12分〕〔202X•新课标〕如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点.〔Ⅰ〕证明:平面BDC1⊥平面BDC〔Ⅱ〕平面BDC1分此棱柱为两局部,求这两局部体积的比.20.〔12分〕〔202X•新课标〕设抛物线C:x2=2py〔p>0〕的焦点为F,准线为l,A∈C,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点;〔1〕假设∠BFD=90°,△ABD的面积为,求p的值及圆F的方程;〔2〕假设A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.21.〔12分〕〔202X•新课标〕设函数f〔x〕=e x﹣ax﹣2.〔Ⅰ〕求f〔x〕的单调区间;〔Ⅱ〕假设a=1,k为整数,且当x>0时,〔x﹣k〕f′〔x〕+x+1>0,求k的最大值.22.〔10分〕〔202X•新课标〕如图,D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,直线DE交△ABC 的外接圆于F,G两点,假设CF∥AB,证明:〔1〕CD=BC;〔2〕△BCD∽△GBD.23.〔202X•新课标〕选修4﹣4;坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是〔φ为参数〕,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线C2的坐标系方程是ρ=2,正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为〔2,〕.〔1〕求点A,B,C,D的直角坐标;〔2〕设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.24.〔202X•新课标〕已知函数f〔x〕=|x+a|+|x﹣2|〔1〕当a=﹣3时,求不等式f〔x〕≥3的解集;〔2〕假设f〔x〕≤|x﹣4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.202X年全国统一高考数学卷子〔文科〕〔新课标版〕参考答案与真题解析一、选择题:本大题共12小题,每题5分,在每题给同的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1.〔5分〕【专题】集合.【分析】先求出集合A,然后依据集合之间的关系可推断【解答】解:由题意可得,A={x|﹣1<x<2},∵B={x|﹣1<x<1},在集合B中的元素都属于集合A,但是在集合A中的元素不肯定在集合B中,例如x=∴B⊊A.应选B.【点评】此题主要考查了集合之间关系的推断,属于根底真题.2.〔5分〕【专题】计算题.【分析】利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数,把复数化为a+bi的形式,然后求法共轭复数即可.【解答】解:复数z====﹣1+i.所以复数的共轭复数为:﹣1﹣i.应选D.【点评】此题考查复数的代数形式的混合运算,复数的根本概念,考查计算能力.3.〔5分〕【专题】规律型.【分析】全部样本点〔x i,y i〕〔i=1,2,…,n〕都在直线y=x+1上,故这组样本数据完全正相关,故其相关系数为1.【解答】解:由题设知,全部样本点〔x i,y i〕〔i=1,2,…,n〕都在直线y=x+1上,∴这组样本数据完全正相关,故其相关系数为1,应选D.【点评】此题主要考查样本的相关系数,是简单题.4.〔5分〕【专题】计算题.【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,可得|PF2|=|F2F1|,依据P为直线x=上一点,可建立方程,由此可求椭圆的离心率.【解答】解:∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴应选C.【点评】此题考查椭圆的几何性质,解题的关键是确定几何量之间的关系,属于根底题.5.〔5分〕【专题】计算题.【分析】由A,B及△ABC为正三角形可得,可求C的坐标,然后把三角形的各顶点代入可求z的值,进而推断最大与最小值,即可求解范围【解答】解:设C〔a,b〕,〔a>0,b>0〕由A〔1,1〕,B〔1,3〕,及△ABC为正三角形可得,AB=AC=BC=2即〔a﹣1〕2+〔b﹣1〕2=〔a﹣1〕2+〔b﹣3〕2=4∴b=2,a=1+即C〔1+,2〕则此时直线AB的方程x=1,AC的方程为y﹣1=〔x﹣1〕,直线BC的方程为y﹣3=〔〕〔x﹣1〕当直线x﹣y+z=0经过点A〔1,1〕时,z=0,经过点B〔1,3〕z=2,经过点C〔1+,2〕时,z=1﹣∴应选A【点评】考查学生线性规划的理解和认识,考查学生的数形结合思想.属于基此题型.6.〔5分〕【专题】算法和程序框图.【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再依据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是求出a1,a2,…,a n中最大的数和最小的数.【解答】解:分析程序中各变量、各语句的作用,再依据流程图所示的顺序,可知,该程序的作用是:求出a1,a2,…,a n中最大的数和最小的数其中A为a1,a2,…,a n中最大的数,B为a1,a2,…,a n中最小的数应选:C.【点评】此题主要考查了循环结构,解题的关键是建立数学模型,依据每一步分析的结果,选择恰当的数学模型,属于中档题.7.〔5分〕【专题】计算题.【分析】通过三视图推断几何体的特征,利用三视图的数据求出几何体的体积即可.【解答】解:该几何体是三棱锥,底面是俯视图,三棱锥的高为3;底面三角形斜边长为6,高为3的等腰直角三角形,此几何体的体积为V=×6×3×3=9.应选B.【点评】此题考查三视图与几何体的关系,考查几何体的体积的求法,考查计算能力.8.〔5分〕【专题】计算题.【分析】利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,求出球的半径,然后求解球的体积.【解答】解:因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,所以球的半径为:=.所以球的体积为:=4π.应选B.【点评】此题考查球的体积的求法,考查空间想象能力、计算能力.9.〔5分〕【专题】计算题.【分析】通过函数的对称轴求出函数的周期,利用对称轴以及φ的范围,确定φ的值即可.【解答】解:因为直线x=和x=是函数f〔x〕=sin〔ωx+φ〕图象的两条相邻的对称轴,所以T==2π.所以ω=1,并且sin〔+φ〕与sin〔+φ〕分别是最大值与最小值,0<φ<π,所以φ=.应选A.【点评】此题考查三角函数的解析式的求法,注意函数的最值的应用,考查计算能力.10.〔5分〕【专题】计算题;压轴题.【分析】设等轴双曲线C:x2﹣y2=a2〔a>0〕,y2=16x的准线l:x=﹣4,由C与抛物线y2=16x 的准线交于A,B两点,,能求出C的实轴长.【解答】解:设等轴双曲线C:x2﹣y2=a2〔a>0〕,y2=16x的准线l:x=﹣4,∵C与抛物线y2=16x的准线l:x=﹣4交于A,B两点,∴A〔﹣4,2〕,B〔﹣4,﹣2〕,将A点坐标代入双曲线方程得=4,∴a=2,2a=4.应选C.【点评】此题考查双曲线的性质和应用,解题时要认真审题,认真解答,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.11.〔5分〕【专题】计算题;压轴题.【分析】由指数函数和对数函数的图象和性质,将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可【解答】解:∵0<x≤时,1<4x≤2要使4x<log a x,由对数函数的性质可得0<a<1,数形结合可知只需2<log a x,∴即对0<x≤时恒成立∴解得<a<1应选B【点评】此题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质,不等式恒成立问题的一般解法,属根底题12.〔5分〕【专题】等差数列与等比数列.【分析】由题意可得a2﹣a1=1,a3+a2=3,a4﹣a3=5,a5+a4=7,a6﹣a5=9,a7+a6=11,…a50﹣a49=97,变形可得a3+a1=2,a4+a2=8,a7+a5=2,a8+a6=24,a9+a7=2,a12+a10=40,a13+a11=2,a16+a14=56,…利用数列的结构特征,求出{a n}的前60项和.【解答】解:由于数列{a n}满足a n+1+〔﹣1〕n a n=2n﹣1,故有a2﹣a1=1,a3+a2=3,a4﹣a3=5,a5+a4=7,a6﹣a5=9,a7+a6=11,…a50﹣a49=97.从而可得a3+a1=2,a4+a2=8,a7+a5=2,a8+a6=24,a11+a9=2,a12+a10=40,a15+a13=2,a16+a14=56,…从第一项开始,依次取2个相邻奇数项的和都等于2,从第二项开始,依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项,以16为公差的等差数列.{a n}的前60项和为15×2+〔15×8+〕=1830,应选D.【点评】此题主要考查数列求和的方法,等差数列的求和公式,注意利用数列的结构特征,属于中档题.二.填空题:本大题共4小题,每题5分.13.〔5分〕【专题】计算题.【分析】先求导函数,求出切线的斜率,再求切线的方程.【解答】解:求导函数,可得y′=3lnx+4,当x=1时,y′=4,∴曲线y=x〔3lnx+1〕在点〔1,1〕处的切线方程为y﹣1=4〔x﹣1〕,即y=4x﹣3.故答案为:y=4x﹣3.【点评】此题考查导数的几何意义,考查点斜式求直线的方程,属于根底题.14.〔5分〕【专题】计算题.【分析】由题意可得,q≠1,由S3+3S2=0,代入等比数列的求和公式可求q【解答】解:由题意可得,q≠1∵S3+3S2=0∴∴q3+3q2﹣4=0∴〔q﹣1〕〔q+2〕2=0∵q≠1∴q=﹣2故答案为:﹣2【点评】此题主要考查了等比数列的求和公式的应用,解题中要注意公比q是否为1 15.〔5分〕【专题】计算题;压轴题.【分析】由已知可得,=,代入|2|====可求【解答】解:∵,=1∴=∴|2|====解得故答案为:3【点评】此题主要考查了向量的数量积定义的应用,向量的数量积性质||=是求解向量的模常用的方法16.〔5分〕【专题】综合题;压轴题.【分析】函数可化为f〔x〕==,令,则为奇函数,从而函数的最大值与最小值的和为0,由此可得函数f〔x〕=的最大值与最小值的和.【解答】解:函数可化为f〔x〕==,令,则为奇函数,∴的最大值与最小值的和为0.∴函数f〔x〕=的最大值与最小值的和为1+1+0=2.即M+m=2.故答案为:2.【点评】此题考查函数的最值,考查函数的奇偶性,解题的关键是将函数化简,转化为利用函数的奇偶性解题.三、解答题:解容许写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.〔12分〕【专题】计算题.【分析】〔1〕由正弦定理及两角和的正弦公式可得sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin 〔A+C〕+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC,整理可求A〔2〕由〔1〕所求A及S=可求bc,然后由余弦定理,a2=b2+c2﹣2bccosA=〔b+c〕2﹣2bc﹣2bccosA可求b+c,进而可求b,c【解答】解:〔1〕∵acosC+asinC﹣b﹣c=0∴sinAcosC+sinAsinC﹣sinB﹣sinC=0∴sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC=sin〔A+C〕+sinC=sinAcosC+sinCcosA+sinC∵sinC≠0∴sinA﹣cosA=1∴sin〔A﹣30°〕=∴A﹣30°=30°∴A=60°〔2〕由由余弦定理可得,a2=b2+c2﹣2bccosA=〔b+c〕2﹣2bc﹣2bccosA即4=〔b+c〕2﹣3bc=〔b+c〕2﹣12∴b+c=4解得:b=c=2【点评】此题综合考查了三角公式中的正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的综合应用,诱导公式与辅助角公式在三角函数化简中的应用是求解的根底,解题的关键是熟练掌握根本公式18.〔12分〕【专题】综合题;概率与统计.【分析】〔Ⅰ〕依据卖出一枝可得利润5元,卖不出一枝可得赔本5元,即可建立分段函数;〔Ⅱ〕〔i〕这100天的日利润的平均数,利用100天的销售量除以100即可得到结论;〔ii〕当天的利润不少于75元,当且仅当日需求量不少于16枝,故可求当天的利润不少于75元的概率.【解答】解:〔Ⅰ〕当日需求量n≥17时,利润y=85;当日需求量n<17时,利润y=10n﹣85;〔4分〕∴利润y关于当天需求量n的函数解析式〔n∈N*〕〔6分〕〔Ⅱ〕〔i〕这100天的日利润的平均数为元;〔9分〕〔ii〕当天的利润不少于75元,当且仅当日需求量不少于16枝,故当天的利润不少于75元的概率为P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7.〔12分〕【点评】此题考查函数解析式确实定,考查概率知识,考查利用数学知识解决实际问题,属于中档题.19.〔12分〕【专题】计算题;证明题.【分析】〔Ⅰ〕由题意易证DC1⊥平面BDC,再由面面垂直的判定定理即可证得平面BDC1⊥平面BDC;〔Ⅱ〕设棱锥B﹣DACC1的体积为V1,AC=1,易求V1=××1×1=,三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1,于是可得〔V﹣V1〕:V1=1:1,从而可得答案.【解答】证明:〔1〕由题设知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,∴BC⊥平面ACC1A1,又DC1⊂平面ACC1A1,∴DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°,∴∠CDC1=90°,即DC1⊥DC,又DC∩BC=C,∴DC1⊥平面BDC,又DC1⊂平面BDC1,∴平面BDC1⊥平面BDC;〔2〕设棱锥B﹣DACC1的体积为V1,AC=1,由题意得V1=××1×1=,又三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1,∴〔V﹣V1〕:V1=1:1,∴平面BDC1分此棱柱两局部体积的比为1:1.【点评】此题考查平面与平面垂直的判定,着重考查线面垂直的判定定理的应用与棱柱、棱锥的体积,考查分析,表达与运算能力,属于中档题.20.〔12分〕【专题】综合题;压轴题.【分析】〔1〕由对称性知:△BFD是等腰直角△,斜边|BD|=2p点A到准线l的距离,由△ABD的面积S△ABD=,知=,由此能求出圆F的方程.〔2〕由对称性设,则点A,B关于点F对称得:,得:,由此能求出坐标原点到m,n距离的比值.【解答】解:〔1〕由对称性知:△BFD是等腰直角△,斜边|BD|=2p点A到准线l的距离,∵△ABD的面积S△ABD=,∴=,解得p=2,所以F坐标为〔0,1〕,∴圆F的方程为x2+〔y﹣1〕2=8.〔2〕由题设,则,∵A,B,F三点在同一直线m上,又AB为圆F的直径,故A,B关于点F对称.由点A,B关于点F对称得:得:,直线,切点直线坐标原点到m,n距离的比值为.【点评】此题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用,具体涉及到抛物线的简单性质、圆的性质、导数的应用,解题时要认真审题,认真解答,注意合理地进行等价转化.21.〔12分〕【专题】综合题;压轴题;分类商量;转化思想.【分析】〔Ⅰ〕求函数的单调区间,可先求出函数的导数,由于函数中含有字母a,故应按a 的取值范围进行分类商量研究函数的单调性,给出单调区间;〔II〕由题设条件结合〔I〕,将不等式,〔x﹣k〕f´〔x〕+x+1>0在x>0时成立转化为k<〔x>0〕成立,由此问题转化为求g〔x〕=在x>0上的最小值问题,求导,确定出函数的最小值,即可得出k的最大值;【解答】解:〔I〕函数f〔x〕=e x﹣ax﹣2的定义域是R,f′〔x〕=e x﹣a,假设a≤0,则f′〔x〕=e x﹣a≥0,所以函数f〔x〕=e x﹣ax﹣2在〔﹣∞,+∞〕上单调递增.假设a>0,则当x∈〔﹣∞,lna〕时,f′〔x〕=e x﹣a<0;当x∈〔lna,+∞〕时,f′〔x〕=e x﹣a>0;所以,f〔x〕在〔﹣∞,lna〕单调递减,在〔lna,+∞〕上单调递增.〔II〕由于a=1,所以,〔x﹣k〕f´〔x〕+x+1=〔x﹣k〕〔e x﹣1〕+x+1故当x>0时,〔x﹣k〕f´〔x〕+x+1>0等价于k<〔x>0〕①令g〔x〕=,则g′〔x〕=由〔I〕知,当a=1时,函数h〔x〕=e x﹣x﹣2在〔0,+∞〕上单调递增,而h〔1〕<0,h〔2〕>0,所以h〔x〕=e x﹣x﹣2在〔0,+∞〕上存在唯一的零点,故g′〔x〕在〔0,+∞〕上存在唯一的零点,设此零点为α,则有α∈〔1,2〕当x∈〔0,α〕时,g′〔x〕<0;当x∈〔α,+∞〕时,g′〔x〕>0;所以g〔x〕在〔0,+∞〕上的最小值为g〔α〕.又由g′〔α〕=0,可得eα=α+2所以g〔α〕=α+1∈〔2,3〕由于①式等价于k<g〔α〕,故整数k的最大值为2.【点评】此题考查利用导数求函数的最值及利用导数研究函数的单调性,解题的关键是第一小题应用分类的商量的方法,第二小题将问题转化为求函数的最小值问题,此题考查了转化的思想,分类商量的思想,考查计算能力及推理推断的能力,综合性强,是高考的重点题型,难度大,计算量也大,极易出错.22.〔10分〕【专题】证明题.【分析】〔1〕依据D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,可得DE∥BC,证明四边形ADCF 是平行四边形,即可得到结论;〔2〕证明两组对应角相等,即可证得△BCD~△GBD.【解答】证明:〔1〕∵D,E分别为△ABC边AB,AC的中点∴DF∥BC,AD=DB∵AB∥CF,∴四边形BDFC是平行四边形∴CF∥BD,CF=BD∴CF∥AD,CF=AD∴四边形ADCF是平行四边形∴AF=CD∵,∴BC=AF,∴CD=BC.〔2〕由〔1〕知,所以.所以∠BGD=∠DBC.因为GF∥BC,所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC.所以△BCD~△GBD.【点评】此题考查几何证明选讲,考查平行四边形的证明,考查三角形的相似,属于根底题.23.〔202X•新课标〕【专题】综合题;压轴题.【分析】〔1〕确定点A,B,C,D的极坐标,即可得点A,B,C,D的直角坐标;〔2〕利用参数方程设出P的坐标,借助于三角函数,即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.【解答】解:〔1〕点A,B,C,D的极坐标为点A,B,C,D的直角坐标为〔2〕设P〔x0,y0〕,则为参数〕t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0,1]∴t∈[32,52]【点评】此题考查极坐标与直角坐标的互化,考查圆的参数方程的运用,属于中档题.24.〔202X•新课标〕【专题】计算题;压轴题.【分析】〔1〕不等式等价于,或,或,求出每个不等式组的解集,再取并集即得所求.〔2〕原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1,2]上恒成立,由此求得求a的取值范围.【解答】解:〔1〕当a=﹣3时,f〔x〕≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3,即①,或②,或③.解①可得x≤1,解②可得x∈∅,解③可得x≥4.把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}.〔2〕原命题即f〔x〕≤|x﹣4|在[1,2]上恒成立,等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1,2]上恒成立,等价于|x+a|≤2,等价于﹣2≤x+a≤2,﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1,2]上恒成立.故当1≤x≤2时,﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3,2﹣x的最小值为0,故a的取值范围为[﹣3,0].【点评】此题主要考查绝对值不等式的解法,关键是去掉绝对值,化为与之等价的不等式组来解,表达了分类商量的数学思想,属于中档题.。
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(等式与不等式综合)汇编(附答案)
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(等式与不等式综合)汇编解不等式1.(2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣,则A B = ( ) A .{1,0}- B .{2,3} C .{3,1,0}-- D .{1,0,2}-2.(2024∙上海∙高考真题)已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为 .3.(2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知集合{}2,1,0,1,2M =--,{}260N x x x =--≥,则M N ⋂=( )A .{}2,1,0,1--B .{}0,1,2C .{}2-D .{}24.(2020∙全国∙高考真题)已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-,则A B = ( ) A .{4,1}- B .{1,5} C .{3,5}D .{1,3}基本不等式1.(2024∙北京∙高考真题)已知()11,x y ,()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点,则( ) A .12122log 22y y x x ++< B .12122log 22y y x x ++> C .12212log 2y y x x +<+ D .12212log 2y y x x +>+ 2.(2021∙全国乙卷∙高考真题)下列函数中最小值为4的是( ) A .224y x x =++ B .4sin sin y x x=+ C .2y 22x x -=+D .4ln ln y x x=+3.(2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知1F ,2F 是椭圆C :22194x y +=的两个焦点,点M 在C 上,则12MF MF ⋅的最大值为( ) A .13B .12C .9D .64.(2020∙全国∙高考真题)设O 为坐标原点,直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点,若ODE 的面积为8,则C 的焦距的最小值为( ) A .4B .8C .16D .32参考答案解不等式1.(2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣,则A B = ( ) A .{1,0}- B .{2,3}C .{3,1,0}--D .{1,0,2}-【答案】A【详细分析】化简集合A ,由交集的概念即可得解.【答案详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=--,且注意到12<<,从而A B = {}1,0-. 故选:A.2.(2024∙上海∙高考真题)已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为 . 【答案】{}|13x x -<<【详细分析】求出方程2230x x --=的解后可求不等式的解集. 【答案详解】方程2230x x --=的解为=1x -或3x =, 故不等式2230x x --<的解集为{}|13x x -<<, 故答案为:{}|13x x -<<.3.(2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知集合{}2,1,0,1,2M =--,{}260N x x x =--≥,则M N ⋂=( )A .{}2,1,0,1--B .{}0,1,2C .{}2-D .{}2【答案】C【详细分析】方法一:由一元二次不等式的解法求出集合N ,即可根据交集的运算解出. 方法二:将集合M 中的元素逐个代入不等式验证,即可解出.【答案详解】方法一:因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+,而{}2,1,0,1,2M =--,所以M N ⋂={}2-. 故选:C .方法二:因为{}2,1,0,1,2M =--,将2,1,0,1,2--代入不等式260x x --≥,只有2-使不等式成立,所以M N ⋂={}2-.故选:C .4.(2020∙全国∙高考真题)已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-,则A B = ( ) A .{4,1}- B .{1,5} C .{3,5} D .{1,3}【答案】D【详细分析】首先解一元二次不等式求得集合A ,之后利用交集中元素的特征求得A B ⋂,得到结果. 【答案详解】由2340x x --<解得14x -<<, 所以{}|14A x x =-<<,又因为{}4,1,3,5B =-,所以{}1,3A B = , 故选:D.【名师点评】本题考查的是有关集合的问题,涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合,集合的交运算,属于基础题目.基本不等式1.(2024∙北京∙高考真题)已知()11,x y ,()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点,则( ) A .12122log 22y y x x ++< B .12122log 22y y x x ++> C .12212log 2y y x x +<+ D .12212log 2y y x x +>+ 【答案】B【详细分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式详细分析判断AB ;举例判断CD 即可. 【答案详解】由题意不妨设12x x <,因为函数2x y =是增函数,所以12022x x <<,即120y y <<,对于选项AB :可得121222222x xx x ++>=,即12122202x x y y ++>>, 根据函数2log y x =是增函数,所以121212222log log 222x x y y x x+++>=,故B 正确,A 错误;对于选项D :例如120,1x x ==,则121,2y y ==, 可得()12223log log 0,122y y +=∈,即12212log 12y y x x +<=+,故D 错误; 对于选项C :例如121,2x x =-=-,则1211,24y y ==, 可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--,即12212log 32y y x x +>-=+,故C 错误, 故选:B.2.(2021∙全国乙卷∙高考真题)下列函数中最小值为4的是( ) A .224y x x =++ B .4sin sin y x x=+ C .2y 22x x -=+ D .4ln ln y x x=+【答案】C【详细分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意,再根据基本不等式“一正二定三相等”,即可得出,B D 不符合题意,C 符合题意.【答案详解】对于A ,()2224133y x x x =++=++≥,当且仅当=1x -时取等号,所以其最小值为3,A 不符合题意;对于B ,因为0sin 1x <≤,4sin 4sin y x x=+≥=,当且仅当sin 2x =时取等号,等号取不到,所以其最小值不为4,B 不符合题意;对于C ,因为函数定义域为R ,而20x >,2422242x x xx y -=+=+≥=,当且仅当22x =,即1x =时取等号,所以其最小值为4,C 符合题意; 对于D ,4ln ln y x x=+,函数定义域为()()0,11,+∞ ,而ln x R ∈且ln 0x ≠,如当ln 1x =-,5y =-,D 不符合题意. 故选:C .【名师点评】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件,明确“一正二定三相等”的意义,再结合有关函数的性质即可解出.3.(2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知1F ,2F 是椭圆C :22194x y +=的两个焦点,点M 在C 上,则12MF MF ⋅的最大值为( ) A .13 B .12C .9D .6【答案】C【详细分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==,借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案.【答案详解】由题,229,4a b ==,则1226MF MF a +==,所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭(当且仅当123MF MF ==时,等号成立). 故选:C . 【名师点评】4.(2020∙全国∙高考真题)设O 为坐标原点,直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b ab-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点,若ODE 的面积为8,则C 的焦距的最小值为( ) A .4 B .8 C .16 D .32【答案】B【详细分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>,可得双曲线的渐近线方程是b y x a=±,与直线x a =联立方程求得D ,E 两点坐标,即可求得||ED ,根据ODE 的面积为8,可得ab值,根据2c =等式,即可求得答案. 【答案详解】 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>> ∴双曲线的渐近线方程是b y x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两条渐近线分别交于D ,E 两点 不妨设D 为在第一象限,E 在第四象限 联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩,解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故(,)D a b联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩,解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故(,)E a b -∴||2ED b =∴ODE 面积为:1282ODE S a b ab =⨯==△双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>∴其焦距为28c =≥==当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值:8故选:B.【名师点评】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题,解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法,在使用均值不等式求最值时,要检验等号是否成立,考查了详细分析能力和计算能力,属于中档题.。
近五年高考数学试卷
近五年高考数学试卷一、选择题(每题5分,共60分)1. 已知集合A = {xx^2-3x + 2 = 0},B={xx^2-ax + a - 1 = 0},若A∪ B = A,则实数a的值为()A. 2B. 3C. 2或3D. 1或2或32. 复数z=(1 + i)/(1 - i)(i为虚数单位)的共轭复数是()A. iB. -iC. 1 - iD. 1 + i3. 已知向量→a=(1,2),→b=(x,1),若→a⊥→b,则x的值为()A. -2B. -1C. 1D. 24. 在等差数列{a_n}中,a_3=5,a_7=13,则a_11的值为()A. 19B. 21C. 23D. 255. 函数y = sin(2x+(π)/(3))的图象向右平移(π)/(6)个单位长度后得到的函数图象的解析式为()A. y=sin2xB. y = sin(2x-(π)/(6))C. y=cos2xD. y = sin(2x+(π)/(6))6. 若log_a2<1(a>0且a≠1),则a的取值范围是()A. (0,1)B. (0,1)∪(2,+∞)C. (2,+∞)D. (1,2)7. 一个几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是()A. 20 + 2√(5) cm^2B. 24 + 2√(5) cm^2C. 20 + 4√(5) cm^2D. 24 + 4√(5) cm^28. 从1,2,3,4,5这5个数中任取2个数,则这2个数之和为偶数的概率为()A. (1)/(5)B. (2)/(5)C. (3)/(5)D. (4)/(5)9. 若双曲线frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2} = 1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=√(3)x,则双曲线的离心率为()A. √(2)B. √(3)C. 2D. 410. 已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx + c,x∈[-2,2]表示的曲线过原点,且在x = ±1处的切线斜率均为-1,则f(x)的解析式为()A. f(x)=x^3-4x,x∈[-2,2]B. f(x)=x^3-3x,x∈[-2,2]C. f(x)=x^3-2x,x∈[-2,2]D. f(x)=x^3-x,x∈[-2,2]11. 若x,y满足约束条件x - y+1≥0 x + y - 3≥0 x≤2,则z = 2x - y的最大值为()A. -1B. 1C. 3D. 512. 已知函数f(x)=(1)/(2)x^2-9ln x在区间[a - 1,a + 1]上单调递减,则实数a的取值范围是()A. (1,2]B. [4,+∞)C. (-∞,2]D. (0,3]二、填空题(每题5分,共20分)13. 若(1 + 2x)^n展开式中x^3的系数为80,则n=______。
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(函数及其基本性质)汇编(附答案)
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(函数及其基本性质)汇编考点01 直接求函数值1.(2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知函数()f x 的定义域为R ,()(1)(2)f x f x f x >-+-,且当3x <时()f x x =,则下列结论中一定正确的是( ) A .(10)100f > B .(20)1000f > C .(10)1000f <D .(20)10000f <2.(2024∙上海∙高考真题)已知()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩则()3f = . 3.(2023∙北京∙高考真题)已知函数2()4log xf x x =+,则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.4.(2021∙全国甲卷∙高考真题)设()f x 是定义域为R 的奇函数,且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A .53-B .13-C .13D .535.(2021∙浙江∙高考真题)已知R a ∈,函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦,则=a .考点02 函数的定义域与值域1.(2022∙北京∙高考真题)函数1()f x x=的定义域是 . 2.(2020∙山东∙高考真题)函数()1lg f x x=的定义域是( ) A .()0,∞+B .()()0,11,+∞C .[)()0,11,+∞UD .()1,+∞考点03 函数单调性的判断及其应用1.(2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩在R 上单调递增,则a 的取值范围是( ) A .(,0]-∞B .[1,0]-C .[1,1]-D .[0,)+∞2.(2023∙北京∙高考真题)下列函数中,在区间(0,)+∞上单调递增的是( ) A .()ln f x x =-B .1()2xf x =C .1()f x x=-D .|1|()3x f x -=3.(2023∙全国甲卷∙高考真题)已知函数()2(1)e x f x --=.记,,a f b f c f ===⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则( )A .b c a >>B .b a c >>C .c b a >>D .c a b >>4.(2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减,则a 的取值范围是( )A .(],2-∞-B .[)2,0-C .(]0,2D .[)2,+∞5.(2021∙全国甲卷∙高考真题)下列函数中是增函数的为( )A .()f x x =-B .()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C .()2f x x = D .()f x 6.(2020∙山东∙高考真题)已知函数()f x 的定义域是R ,若对于任意两个不相等的实数1x ,2x ,总有()()21210f x f x x x ->-成立,则函数()f x 一定是( )A .奇函数B .偶函数C .增函数D .减函数7.(2020∙全国∙高考真题)设函数331()f x x x=-,则()f x ( ) A .是奇函数,且在(0,+∞)单调递增 B .是奇函数,且在(0,+∞)单调递减 C .是偶函数,且在(0,+∞)单调递增D .是偶函数,且在(0,+∞)单调递减考点04 函数的奇偶性及其应用1.(2024∙天津∙高考真题)下列函数是偶函数的是( )A .22e 1x x y x -=+ B .22cos 1x x y x +=+C .e 1x x y x -=+D .||sin 4e x x xy +=2.(2024∙上海∙高考真题)已知()3f x x a =+,x ∈R ,且()f x 是奇函数,则=a .3.(2023∙全国甲卷∙高考真题)若()()2π1sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数,则=a .4.(2023∙全国乙卷∙高考真题)已知e ()e 1xax x f x =-是偶函数,则=a ( )A .2-B .1-C .1D .25.(2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)若()()21ln 21x f x x a x -=++为偶函数,则=a ( ). A .1-B .0C .12D .16.(2022∙全国乙卷∙高考真题)若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数,则=a ,b = . 7.(2021∙全国甲卷∙高考真题)设()f x 是定义域为R 的奇函数,且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A .53-B .13-C .13D .538.(2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x . ①()()()1212f x x f x f x =;②当(0,)x ∈+∞时,()0f x '>;③()f x '是奇函数.9.(2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知函数()()322x x x a f x -=⋅-是偶函数,则=a .10.(2021∙全国乙卷∙高考真题)设函数1()1xf x x-=+,则下列函数中为奇函数的是( ) A .()11f x --B .()11f x -+C .()11f x +-D .()11f x ++11.(2020∙山东∙高考真题)若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减,且f (2)=0,则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是( )A .[)1,1][3,-+∞B .3,1][,[01]--C .[1,0][1,)-⋃+∞D .[1,0][1,3]-⋃12.(2020∙全国∙高考真题)设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--,则f (x )( )A .是偶函数,且在1(,)2+∞单调递增B .是奇函数,且在11(,)22-单调递减C .是偶函数,且在1(,)2-∞-单调递增D .是奇函数,且在1(,2-∞-单调递减考点05 函数的周期性及其应用1.(2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)已知函数()f x 的定义域为R ,且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==,则221()k f k ==∑( )A .3-B .2-C .0D .12.(2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)已知函数()f x 的定义域为R ,()2f x +为偶函数,()21f x +为奇函数,则( ) A .102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B .()10f -=C .()20f =D .()40f =3.(2021∙全国甲卷∙高考真题)设函数()f x 的定义域为R ,()1f x +为奇函数,()2f x +为偶函数,当[]1,2x ∈时,2()f x ax b =+.若()()036f f +=,则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A .94-B .32-C .74D .52考点06 函数的对称性及其应用1.(2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)(多选)设函数32()231f x x ax =-+,则( ) A .当1a >时,()f x 有三个零点 B .当0a <时,0x =是()f x 的极大值点C .存在a ,b ,使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D .存在a ,使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心2.(2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)(多选)已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ,记()()g x f x '=,若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,(2)g x +均为偶函数,则( )A .(0)0f =B .102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C .(1)(4)f f -=D .(1)(2)g g -=3.(2022∙全国乙卷∙高考真题)已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ,且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=.若()y g x =的图像关于直线2x =对称,(2)4g =,则()221k f k ==∑( )A .21-B .22-C .23-D .24-4.(2020∙全国∙高考真题)已知函数f (x )=sin x +1sin x,则() A .f (x )的最小值为2B .f (x )的图象关于y 轴对称C .f (x )的图象关于直线x π=对称D .f (x )的图象关于直线2x π=对称参考答案 考点01 直接求函数值1.(2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知函数()f x 的定义域为R ,()(1)(2)f x f x f x >-+-,且当3x <时()f x x =,则下列结论中一定正确的是( ) A .(10)100f > B .(20)1000f > C .(10)1000f < D .(20)10000f <【答案】B【答案分析】代入得到(1)1,(2)2==f f ,再利用函数性质和不等式的性质,逐渐递推即可判断. 【答案详解】因为当3x <时()f x x =,所以(1)1,(2)2==f f , 又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-,则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>,(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>, (8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>, (11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+> (14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>,(16)(15)(14)15971000f f f >+>>,则依次下去可知(20)1000f >,则B 正确;且无证据表明ACD 一定正确. 故选:B.【名师点评】关键点名师点评:本题的关键是利用(1)1,(2)2==f f ,再利用题目所给的函数性质()(1)(2)f x f x f x >-+-,代入函数值再结合不等式同向可加性,不断递推即可.2.(2024∙上海∙高考真题)已知()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩则()3f = .【答案分析】利用分段函数的形式可求()3f .【答案详解】因为()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩故()3f =3.(2023∙北京∙高考真题)已知函数2()4log xf x x =+,则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ .【答案】1【答案分析】根据给定条件,把12x =代入,利用指数、对数运算计算作答. 【答案详解】函数2()4log xf x x =+,所以12211()4log 21122f =+=-=.故答案为:14.(2021∙全国甲卷∙高考真题)设()f x 是定义域为R 的奇函数,且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A .53-B .13-C .13D .53【答案】C【答案分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得53f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【答案详解】由题意可得:522213333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 而21111133333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 故5133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选:C.【名师点评】关键点名师点评:本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式,灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.5.(2021∙浙江∙高考真题)已知R a ∈,函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦,则=a . 【答案】2【答案分析】由题意结合函数的答案解析式得到关于a 的方程,解方程可得a 的值.【答案详解】()()642233f f f f a ⎡⎤=-==-+=⎣⎦,故2a =, 故答案为:2.考点02 函数的定义域与值域1.(2022∙北京∙高考真题)函数1()f x x=的定义域是 . 【答案】()(],00,1-∞⋃【答案分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组,解得即可;【答案详解】解:因为()1f x x =100x x -≥⎧⎨≠⎩,解得1x ≤且0x ≠, 故函数的定义域为()(],00,1-∞⋃; 故答案为:()(],00,1-∞⋃2.(2020∙山东∙高考真题)函数()1lg f x x=的定义域是( ) A .()0,∞+ B .()()0,11,+∞C .[)()0,11,+∞UD .()1,+∞【答案】B【答案分析】根据题意得到0lg 0x x >⎧⎨≠⎩,再解不等式组即可.【答案详解】由题知:0lg 0x x >⎧⎨≠⎩,解得0x >且1x ≠. 所以函数定义域为()()0,11,+∞ . 故选:B考点03 函数单调性的判断及其应用1.(2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩在R 上单调递增,则a 的取值范围是( ) A .(,0]-∞ B .[1,0]- C .[1,1]- D .[0,)+∞【答案】B【答案分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组,解出即可.【答案详解】因为()f x 在R 上单调递增,且0x ≥时,()()e ln 1xf x x =++单调递增,则需满足()02021e ln1aa -⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩,解得10a -≤≤, 即a 的范围是[1,0]-. 故选:B.2.(2023∙北京∙高考真题)下列函数中,在区间(0,)+∞上单调递增的是( ) A .()ln f x x =- B .1()2xf x =C .1()f x x=-D .|1|()3x f x -=【答案】C【答案分析】利用基本初等函数的单调性,结合复合函数的单调性判断ABC ,举反例排除D 即可. 【答案详解】对于A ,因为ln y x =在()0,∞+上单调递增,y x =-在()0,∞+上单调递减, 所以()ln f x x =-在()0,∞+上单调递减,故A 错误;对于B ,因为2x y =在()0,∞+上单调递增,1y x=在()0,∞+上单调递减,所以()12xf x =在()0,∞+上单调递减,故B 错误; 对于C ,因为1y x=在()0,∞+上单调递减,y x =-在()0,∞+上单调递减, 所以()1f x x=-在()0,∞+上单调递增,故C 正确;对于D ,因为111221332f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭()()112101331,233f f --=====,显然()13x f x -=在()0,∞+上不单调,D 错误.故选:C.3.(2023∙全国甲卷∙高考真题)已知函数()2(1)e x f x --=.记,,222a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则( ) A .b c a >> B .b a c >> C .c b a >> D .c a b >>【答案】A【答案分析】利用作差法比较自变量的大小,再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【答案详解】令2()(1)g x x =--,则()g x 开口向下,对称轴为1x =,4112⎛-= ⎝⎭,而22491670-=+=>,41102⎛-=> ⎝⎭,即1122->-由二次函数性质知g g <,4112⎛-= ⎝⎭,而22481682)0-=+-=-=-<,112<-,所以(2g g >,综上,(2g g g <<, 又e x y =为增函数,故a c b <<,即b c a >>. 故选:A.4.(2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减,则a 的取值范围是( )A .(],2-∞-B .[)2,0-C .(]0,2D .[)2,+∞【答案】D【答案分析】利用指数型复合函数单调性,判断列式计算作答.【答案详解】函数2x y =在R 上单调递增,而函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减,则有函数22()()24a a y x x a x =-=--在区间()0,1上单调递减,因此12a ≥,解得2a ≥,所以a 的取值范围是[)2,+∞. 故选:D5.(2021∙全国甲卷∙高考真题)下列函数中是增函数的为( )A .()f x x =-B .()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C .()2f x x = D .()f x 【答案】D【答案分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 【答案详解】对于A ,()f x x =-为R 上的减函数,不合题意,舍. 对于B ,()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数,不合题意,舍.对于C ,()2f x x =在(),0∞-为减函数,不合题意,舍.对于D ,()f x =R 上的增函数,符合题意, 故选:D.6.(2020∙山东∙高考真题)已知函数()f x 的定义域是R ,若对于任意两个不相等的实数1x ,2x ,总有()()21210f x f x x x ->-成立,则函数()f x 一定是( )A .奇函数B .偶函数C .增函数D .减函数【答案】C【答案分析】利用函数单调性定义即可得到答案. 【答案详解】对于任意两个不相等的实数1x ,2x ,总有()()21210f x f x x x ->-成立,等价于对于任意两个不相等的实数12x x <,总有()()12f x f x <. 所以函数()f x 一定是增函数. 故选:C7.(2020∙全国∙高考真题)设函数331()f x x x =-,则()f x ( ) A .是奇函数,且在(0,+∞)单调递增 B .是奇函数,且在(0,+∞)单调递减 C .是偶函数,且在(0,+∞)单调递增 D .是偶函数,且在(0,+∞)单调递减【答案】A【答案分析】根据函数的答案解析式可知函数的定义域为{}0x x ≠,利用定义可得出函数()f x 为奇函数,再根据函数的单调性法则,即可解出.【答案详解】因为函数()331f x x x =-定义域为{}0x x ≠,其关于原点对称,而()()f x f x -=-, 所以函数()f x 为奇函数. 又因为函数3y x =在()0,+?上单调递增,在(),0-?上单调递增,而331y x x -==在()0,+?上单调递减,在(),0-?上单调递减,所以函数()331f x x x =-在()0,+?上单调递增,在(),0-?上单调递增.故选:A .【名师点评】本题主要考查利用函数的答案解析式研究函数的性质,属于基础题.考点04 函数的奇偶性及其应用1.(2024∙天津∙高考真题)下列函数是偶函数的是( )A .22e 1x x y x -=+ B .22cos 1x x y x +=+C .e 1x xy x -=+D .||sin 4e x x xy +=【答案】B【答案分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【答案详解】对A ,设()22e 1x xf x x -=+,函数定义域为R ,但()112e 1f ---=,()112e f -=,则()()11f f -≠,故A 错误;对B ,设()22cos 1x x g x x +=+,函数定义域为R , 且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+,则()g x 为偶函数,故B 正确;对C ,设()e 1x xh x x -=+,函数定义域为{}|1x x ≠-,不关于原点对称, 则()h x 不是偶函数,故C 错误; 对D ,设()||sin 4e x x x x ϕ+=,函数定义域为R,因为()sin141e ϕ+=,()sin141e ϕ---=, 则()()11ϕϕ≠-,则()x ϕ不是偶函数,故D 错误. 故选:B.2.(2024∙上海∙高考真题)已知()3f x x a =+,x ∈R ,且()f x 是奇函数,则=a .【答案】0【答案分析】根据奇函数的性质可求参数a .【答案详解】因为()f x 是奇函数,故()()0f x f x -+=即()330x a x a ++-+=,故0a =, 故答案为:0.3.(2023∙全国甲卷∙高考真题)若()()2π1sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数,则=a .【答案】2【答案分析】利用偶函数的性质得到ππ22f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,从而求得2a =,再检验即可得解.【答案详解】因为()()()22π1sin 1cos 2y f x x ax x x ax x ⎛⎫==-+++=-++ ⎪⎝⎭为偶函数,定义域为R ,所以ππ22f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即22ππππππ222222s 1co 1cos a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ -⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⎝+⎭,则22πππ2π1212a -⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎭⎝⎭= ⎝,故2a =,此时()()2212cos 1cos f x x x x x x =-++=++, 所以()()()()221cos s 1co f x x x x x f x -=-++++-==, 又定义域为R ,故()f x 为偶函数, 所以2a =. 故答案为:2.4.(2023∙全国乙卷∙高考真题)已知e ()e 1xaxx f x =-是偶函数,则=a ( ) A .2- B .1- C .1 D .2【答案】D【答案分析】根据偶函数的定义运算求解.【答案详解】因为()e e 1x ax x f x =-为偶函数,则()()()()1e e e e 0e 1e 1e 1a x x x x ax ax axx x x f x f x ---⎡⎤--⎣⎦--=-==---, 又因为x 不恒为0,可得()1e e 0a x x --=,即()1e e a x x -=, 则()1x a x =-,即11a =-,解得2a =. 故选:D.5.(2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)若()()21ln 21x f x x a x -=++为偶函数,则=a ( ). A .1- B .0C .12D .1【答案】B【答案分析】根据偶函数性质,利用特殊值法求出a 值,再检验即可.【答案详解】因为()f x 为偶函数,则 1(1)(1)(1)ln (1)ln 33f f a a =-∴+=-+,,解得0a =, 当0a =时,()21ln21x x x f x -=+,()()21210x x -+>,解得12x >或12x <-,则其定义域为12x x ⎧⎨⎩或12x ⎫<-⎬⎭,关于原点对称.()()()()()()()121212121ln ln ln ln 21212121f x x x x x x x x x f x x x x x ---+⎫-=---⎛==== ⎪-+-++⎝-⎭-, 故此时()f x 为偶函数. 故选:B.6.(2022∙全国乙卷∙高考真题)若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数,则=a ,b = . 【答案】 12-; ln 2.【答案分析】根据奇函数的定义即可求出. 【答案详解】[方法一]:奇函数定义域的对称性 若0a =,则()f x 的定义域为{|1}x x ≠,不关于原点对称0a ∴≠若奇函数的1()||1f x ln a b x =++-有意义,则1x ≠且101a x+≠- 1x ∴≠且11x a≠+,函数()f x 为奇函数,定义域关于原点对称,111a ∴+=-,解得12a =-, 由(0)0f =得,102ln b +=,2b ln ∴=,故答案为:12-;2ln .[方法二]:函数的奇偶性求参 111()111a ax ax a f x ln a b ln b ln b x x x-+--=++=+=+--- 1()1ax a f x lnb x++-=++函数()f x 为奇函数11()()2011ax a ax a f x f x lnln b x x--++∴+-=++=-+2222(1)201a x a lnb x -+∴+=-22(1)1210112a a a a +∴=⇒+=⇒=- 1222241,22b ln b ln a b ln ln -==-⇒=∴=-=[方法三]:因为函数()1ln 1f x a b x++-=为奇函数,所以其定义域关于原点对称. 由101a x+≠-可得,()()110x a ax -+-≠,所以11a x a +==-,解得:12a =-,即函数的定义域为()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞,再由()00f =可得,ln 2b =.即()111ln ln 2ln 211x f x x x+=-++=--,在定义域内满足()()f x f x -=-,符合题意. 故答案为:12-;ln 2.7.(2021∙全国甲卷∙高考真题)设()f x 是定义域为R 的奇函数,且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A .53-B .13-C .13D .53【答案】C【答案分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得53f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【答案详解】由题意可得:522213333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 而21111133333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 故5133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选:C.【名师点评】关键点名师点评:本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式,灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.8.(2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x . ①()()()1212f x x f x f x =;②当(0,)x ∈+∞时,()0f x '>;③()f x '是奇函数.【答案】()4f x x =(答案不唯一,()()2*n x N f n x =∈均满足)【答案分析】根据幂函数的性质可得所求的()f x .【答案详解】取()4f x x =,则()()()()44421121122x f x f x x x x f x x ===,满足①, ()34f x x '=,0x >时有()0f x ¢>,满足②, ()34f x x '=的定义域为R ,又()()34f x x f x ''-=-=-,故()f x '是奇函数,满足③.故答案为:()4f x x =(答案不唯一,()()2*n x N f n x =∈均满足)9.(2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知函数()()322x xx a f x -=⋅-是偶函数,则=a .【答案】1【答案分析】利用偶函数的定义可求参数a 的值.【答案详解】因为()()322x x x a f x -=⋅-,故()()322x xf x x a --=-⋅-,因为()f x 为偶函数,故()()f x f x -=,时()()332222x x x x x a x a --⋅-=-⋅-,整理得到()()12+2=0x xa --,故1a =, 故答案为:110.(2021∙全国乙卷∙高考真题)设函数1()1xf x x-=+,则下列函数中为奇函数的是( ) A .()11f x -- B .()11f x -+C .()11f x +-D .()11f x ++【答案】B【答案分析】分别求出选项的函数答案解析式,再利用奇函数的定义即可. 【答案详解】由题意可得12()111x f x x x-==-+++, 对于A ,()2112f x x--=-不是奇函数; 对于B ,()211f x x-=+是奇函数; 对于C ,()21122f x x +-=-+,定义域不关于原点对称,不是奇函数; 对于D ,()2112f x x ++=+,定义域不关于原点对称,不是奇函数. 故选:B【名师点评】本题主要考查奇函数定义,考查学生对概念的理解,是一道容易题.11.(2020∙山东∙高考真题)若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减,且f (2)=0,则满足(10)xf x -≥的x的取值范围是( )A .[)1,1][3,-+∞B .3,1][,[01]--C .[1,0][1,)-⋃+∞D .[1,0][1,3]-⋃【答案】D【答案分析】首先根据函数奇偶性与单调性,得到函数()f x 在相应区间上的符号,再根据两个数的乘积大于等于零,分类转化为对应自变量不等式,最后求并集得结果.【答案详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减,且(2)0f =, 所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减,且(2)0f -=,(0)0f =,所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时,()0f x >,当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时,()0f x <, 所以由(10)xf x -≥可得:0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤,所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃, 故选:D.【名师点评】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式,考查分类讨论思想方法,属中档题. 12.(2020∙全国∙高考真题)设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--,则f (x )( )A .是偶函数,且在1(,)2+∞单调递增B .是奇函数,且在11(,)22-单调递减C .是偶函数,且在1(,)2-∞-单调递增D .是奇函数,且在1(,2-∞-单调递减【答案】D【答案分析】根据奇偶性的定义可判断出()f x 为奇函数,排除AC ;当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,利用函数单调性的性质可判断出()f x 单调递增,排除B ;当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时,利用复合函数单调性可判断出()f x 单调递减,从而得到结果.【答案详解】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭,关于坐标原点对称,又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-, ()f x \为定义域上的奇函数,可排除AC ;当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()()()ln 21ln 12f x x x =+--,()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减,()f x \在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,排除B ;当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时,()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭,2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减,()ln f μμ=在定义域内单调递增,根据复合函数单调性可知:()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减,D 正确.故选:D.【名师点评】本题考查函数奇偶性和单调性的判断;判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下,根据()f x -与()f x 的关系得到结论;判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数,根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.考点05 函数的周期性及其应用1.(2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)已知函数()f x 的定义域为R ,且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==,则221()k f k ==∑( )A .3-B .2-C .0D .1【答案】A【答案分析】法一:根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6,求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值,即可解出. 【答案详解】[方法一]:赋值加性质因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=,令1,0x y ==可得,()()()2110f f f =,所以()02f =,令0x =可得,()()()2f y f y f y +-=,即()()f y f y =-,所以函数()f x 为偶函数,令1y =得,()()()()()111f x f x f x f f x ++-==,即有()()()21f x f x f x ++=+,从而可知()()21f x f x +=--,()()14f x f x -=--,故()()24f x f x +=-,即()()6f x f x =+,所以函数()f x 的一个周期为6.因为()()()210121f f f =-=-=-,()()()321112f f f =-=--=-,()()()4221f f f =-==-,()()()5111f f f =-==,()()602f f ==,所以一个周期内的()()()1260f f f +++= .由于22除以6余4, 所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑.故选:A .[方法二]:【最优解】构造特殊函数由()()()()f x y f x y f x f y ++-=,联想到余弦函数和差化积公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++-=,可设()cos f x a x ω=,则由方法一中()()02,11f f ==知2,cos 1a a ω==,解得1cos 2ω=,取3πω=, 所以()2cos3f x x π=,则()()()()2cos 2cos 4cos cos 333333f x y f x y x y x y x y f x f y ππππππ⎛⎫⎛⎫++-=++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()2cos 3f x xπ=符合条件,因此()f x 的周期263T ππ==,()()02,11f f ==,且()()()()()21,32,41,51,62f f f f f =-=-=-==,所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=, 由于22除以6余4,所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑.故选:A .【整体点评】法一:利用赋值法求出函数的周期,即可解出,是该题的通性通法;法二:作为选择题,利用熟悉的函数使抽象问题具体化,简化推理过程,直接使用具体函数的性质解题,简单明了,是该题的最优解.2.(2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)已知函数()f x 的定义域为R ,()2f x +为偶函数,()21f x +为奇函数,则( ) A .102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B .()10f -=C .()20f =D .()40f =【答案】B【答案分析】推导出函数()f x 是以4为周期的周期函数,由已知条件得出()10f =,结合已知条件可得出结论.【答案详解】因为函数()2f x +为偶函数,则()()22f x f x +=-,可得()()31f x f x +=-, 因为函数()21f x +为奇函数,则()()1221f x f x -=-+,所以,()()11f x f x -=-+, 所以,()()()311f x f x f x +=-+=-,即()()4f x f x =+, 故函数()f x 是以4为周期的周期函数,因为函数()()21F x f x =+为奇函数,则()()010F f ==, 故()()110f f -=-=,其它三个选项未知. 故选:B.3.(2021∙全国甲卷∙高考真题)设函数()f x 的定义域为R ,()1f x +为奇函数,()2f x +为偶函数,当[]1,2x ∈时,2()f x ax b =+.若()()036f f +=,则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A .94-B .32-C .74D .52【答案】D【答案分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件,可以确定出函数答案解析式()222f x x =-+,进而利用定义或周期性结论,即可得到答案. 【答案详解】[方法一]:因为()1f x +是奇函数,所以()()11f x f x -+=-+①; 因为()2f x +是偶函数,所以()()22f x f x +=-+②.令1x =,由①得:()()()024f f a b =-=-+,由②得:()()31f f a b ==+, 因为()()036f f +=,所以()462a b a b a -+++=⇒=-,令0x =,由①得:()()()11102f f f b =-⇒=⇒=,所以()222f x x =-+.思路一:从定义入手.9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以935222f f⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. [方法二]:因为()1f x +是奇函数,所以()()11f x f x -+=-+①; 因为()2f x +是偶函数,所以()()22f x f x +=-+②.令1x =,由①得:()()()024f f a b =-=-+,由②得:()()31f f a b ==+, 因为()()036f f +=,所以()462a b a b a -+++=⇒=-,令0x =,由①得:()()()11102f f f b =-⇒=⇒=,所以()222f x x =-+.思路二:从周期性入手由两个对称性可知,函数()f x 的周期4T =. 所以91352222f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选:D .【名师点评】在解决函数性质类问题的时候,我们通常可以借助一些二级结论,求出其周期性进而达到简便计算的效果.考点06 函数的对称性及其应用1.(2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)(多选)设函数32()231f x x ax =-+,则( ) A .当1a >时,()f x 有三个零点 B .当0a <时,0x =是()f x 的极大值点C .存在a ,b ,使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D .存在a ,使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心【答案】AD【答案分析】A 选项,先答案分析出函数的极值点为0,x x a ==,根据零点存在定理和极值的符号判断出()f x 在(1,0),(0,),(,2)a a a -上各有一个零点;B 选项,根据极值和导函数符号的关系进行答案分析;C 选项,假设存在这样的,a b ,使得x b =为()f x 的对称轴,则()(2)f x f b x =-为恒等式,据此计算判断;D 选项,若存在这样的a ,使得(1,33)a -为()f x 的对称中心,则()(2)66f x f x a +-=-,据此进行计算判断,亦可利用拐点结论直接求解.【答案详解】A 选项,2()666()f x x ax x x a '=-=-,由于1a >,故()(),0,x a ∞∞∈-⋃+时()0f x '>,故()f x 在()(),0,,a ∞∞-+上单调递增, (0,)x a ∈时,()0f x '<,()f x 单调递减,则()f x 在0x =处取到极大值,在x a =处取到极小值, 由(0)10=>f ,3()10f a a =-<,则(0)()0f f a <, 根据零点存在定理()f x 在(0,)a 上有一个零点,又(1)130f a -=--<,3(2)410f a a =+>,则(1)(0)0,()(2)0f f f a f a -<<,则()f x 在(1,0),(,2)a a -上各有一个零点,于是1a >时,()f x 有三个零点,A 选项正确; B 选项,()6()f x x x a '=-,a<0时,(,0),()0x a f x '∈<,()f x 单调递减, ,()0x ∈+∞时()0f x '>,()f x 单调递增,此时()f x 在0x =处取到极小值,B 选项错误;C 选项,假设存在这样的,a b ,使得x b =为()f x 的对称轴,即存在这样的,a b 使得()(2)f x f b x =-, 即32322312(2)3(2)1x ax b x a b x -+=---+,根据二项式定理,等式右边3(2)b x -展开式含有3x 的项为303332C (2)()2b x x -=-,于是等式左右两边3x 的系数都不相等,原等式不可能恒成立, 于是不存在这样的,a b ,使得x b =为()f x 的对称轴,C 选项错误; D 选项,方法一:利用对称中心的表达式化简(1)33f a =-,若存在这样的a ,使得(1,33)a -为()f x 的对称中心,则()(2)66f x f x a +-=-,事实上,32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812f x f x x ax x a x a x a x a +-=-++---+=-+-+-,于是266(126)(1224)1812a a x a x a -=-+-+-即126012240181266a a a a -=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩,解得2a =,即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心,D 选项正确. 方法二:直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心,对称中心的横坐标是二阶导数的零点,32()231f x x ax =-+,2()66f x x ax '=-,()126f x x a ''=-,由()02af x x ''=⇔=,于是该三次函数的对称中心为,22a a f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 由题意(1,(1))f 也是对称中心,故122aa =⇔=, 即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心,D 选项正确. 故选:AD【名师点评】结论名师点评:(1)()f x 的对称轴为()(2)x b f x f b x =⇔=-;(2)()f x 关于(,)a b 对称()(2)2f x f a x b ⇔+-=;(3)任何三次函数32()f x ax bx cx d =+++都有对称中心,对称中心是三次函数的拐点,对称中心的横坐标是()0f x ''=的解,即,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是三次函数的对称中心 2.(2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)(多选)已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ,记()()g x f x '=,若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,(2)g x +均为偶函数,则( )A .(0)0f =B .102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C .(1)(4)f f -=D .(1)(2)g g -=【答案】BC【答案分析】方法一:转化题设条件为函数的对称性,结合原函数与导函数图象的关系,根据函数的性质逐项判断即可得解.【答案详解】[方法一]:对称性和周期性的关系研究对于()f x ,因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为偶函数,所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①,所以()()3f x f x -=,所以()f x 关于32x =对称,则(1)(4)f f -=,故C 正确; 对于()g x ,因为(2)g x +为偶函数,(2)(2)g x g x +=-,(4)()g x g x -=,所以()g x 关于2x =对称,由①求导,和()()g x f x '=,得333333222222f x f x f x f x g x g x ''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''-=+⇔--=+⇔--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦,所以()()30g x g x -+=,所以()g x 关于3(,0)2对称,因为其定义域为R ,所以302g ⎛⎫= ⎪⎝⎭,结合()g x 关于2x =对称,从而周期34222T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭,所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()()()112g g g -==-,故B 正确,D 错误; 若函数()f x 满足题设条件,则函数()f x C +(C 为常数)也满足题设条件,所以无法确定()f x 的函数值,故A 错误.故选:BC.[方法二]:【最优解】特殊值,构造函数法.由方法一知()g x 周期为2,关于2x =对称,故可设()()cos πg x x =,则()()1sin ππf x x c =+,显然A ,D 错误,选BC.故选:BC.[方法三]: 因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,(2)g x +均为偶函数, 所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,(2)(2)g x g x +=-, 所以()()3f x f x -=,(4)()g x g x -=,则(1)(4)f f -=,故C 正确;函数()f x ,()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称, 又()()g x f x '=,且函数()f x 可导, 所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭, 所以()(4)()3g x g x g x -==--,所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=, 所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()()()112g g g -==-,故B 正确,D 错误; 若函数()f x 满足题设条件,则函数()f x C +(C 为常数)也满足题设条件,所以无法确定()f x 的函数值,故A 错误.故选:BC.【点评】方法一:根据题意赋值变换得到函数的性质,即可判断各选项的真假,转化难度较高,是该题的通性通法;方法二:根据题意得出的性质构造特殊函数,再验证选项,简单明了,是该题的最优解.3.(2022∙全国乙卷∙高考真题)已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ,且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=.若()y g x =的图像关于直线2x =对称,(2)4g =,则()221k f k ==∑( )A .21-B .22-C .23-D .24-【答案】D【答案分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2f x f x +-=-,从而得到()()()352110f f f +++=- ,()()()462210f f f +++=- ,然后根据条件得到(2)f 的值,再由题意得到()36g =从而得到()1f 的值即可求解.【答案详解】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称,所以()()22g x g x -=+,因为()(4)7g x f x --=,所以(2)(2)7g x f x +--=,即(2)7(2)g x f x +=+-,因为()(2)5f x g x +-=,所以()(2)5f x g x ++=,代入得[]()7(2)5f x f x ++-=,即()(2)2f x f x +-=-,所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=- ,()()()()46222510f f f +++=-⨯=- .因为()(2)5f x g x +-=,所以(0)(2)5f g +=,即()01f =,所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=,所以(4)()7g x f x +-=,又因为()(2)5f x g x +-=,联立得,()()2412g x g x -++=,所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称,因为函数()g x 的定义域为R ,所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=,所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑ . 故选:D【名师点评】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽,考生需要根据已知条件进行恰当的转化,然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.4.(2020∙全国∙高考真题)已知函数f (x )=sin x +1sin x ,则() A .f (x )的最小值为2B .f (x )的图象关于y 轴对称C .f (x )的图象关于直线x π=对称D .f (x )的图象关于直线2x π=对称【答案】D【答案分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.【答案详解】sin x 可以为负,所以A 错;1sin 0()()sin ()sin x x k k Z f x x f x x π≠∴≠∈-=--=-∴Q Q ()f x 关于原点对称; 11(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x x ππ-=--≠-=+=Q 故B 错; ()f x ∴关于直线2x π=对称,故C 错,D 对故选:D【名师点评】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性,考查基本答案分析判断能力,属中档题.。
高考数学试卷完整版及答案
一、选择题(每题5分,共50分)1. 已知函数$f(x) = 2^x - 1$,则函数的值域为()。
A. $(-1, +\infty)$B. $[0, +\infty)$C. $(-\infty, 1)$D. $[1, +\infty)$2. 在三角形ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若$a^2 + b^2 - c^2 = ab$,则角C的度数为()。
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°3. 下列函数中,在定义域内单调递增的是()。
A. $y = -x^2 + 2x - 1$B. $y = 2^x - 3$C. $y = \log_2(x + 1)$D. $y = \frac{1}{x}$4. 已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 3^n - 2^n$,则数列的前n项和$S_n$为()。
A. $S_n = 3^n - 2^n$B. $S_n = 3^n - 2^{n+1}$C. $S_n = 2^n - 3^n$D. $S_n = 2^{n+1} - 3^n$5. 已知复数$z = a + bi$($a, b \in \mathbb{R}$)满足$|z - 1| = |z + 1|$,则实数a和b的关系为()。
A. $a = 0$B. $b = 0$C. $a^2 = b^2$D. $a^2 + b^2 = 1$6. 下列不等式中,正确的是()。
A. $x^2 + y^2 \geq 2xy$B. $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} \geq \frac{2}{xy}$C. $\log_2(x + 1) \leq \log_2(x - 1)$D. $\sin x + \cos x \leq \sqrt{2}$7. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$,则函数的极值点为()。
高考数学真题全国卷(汇总5篇)
高考数学真题全国卷(汇总5篇)1.高考数学真题全国卷第1篇一、正余弦定理正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R R为三角形外接圆的半径余弦定理:a2=b2+c2-2bc*cosA二、两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)三、倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a四、半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))五、和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB2.高考数学真题全国卷第2篇集合与函数内容子交并补集,还有幂指对函数。
历年高考数学真题(全国卷整理版)
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013大纲全国,理1)设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为( ).A2.A3.( ).A4.( ).A5.A6.( ).A.-6(1-3-10)B.(1-310)C.3(1-3-10)D.3(1+3-10)7.(2013大纲全国,理7)(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是( ).A.56B.84C.112D.1688.(2013大纲全国,理8)椭圆C:22=143x y+的左、右顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1斜率的取值范围是( ).A.13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.(2013大纲全国,理9)若函数f(x)=x2+ax+1x在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭是增函数,则a的取值范围是( ).A.[-1,0]B.[-1,+∞)C.[0,3]D.[3,+∞)10.(2013大纲全国,理10)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( ).A11.的直线与CA12.AC1314种.(15.(2013大纲全国,理15)记不等式组0,34,34xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为D.若直线y=a(x+1)与D有公共点,则a的取值范围是__________.16.(2013大纲全国,理16)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于球O的半径,OK=32,且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°,则球O的表面积等于__________.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(2013大纲全国,理17)(本小题满分10分)等差数列{a n}的前n项和为S n.已知S3=22a,且S1,S2,S4成等比数列,求{a n}的通项公式.18.(2013大纲全国,理18)(本小题满分12分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a+b+c)(a-b+c)=ac.(1)求B;(2)若19.(1)(2)20.甲、乙、其中两人比赛,另一局当比赛(1)求第(2)X21.(1)求a,b;(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,且|AF1|=|BF1|,证明:|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列.22.(2013大纲全国,理22)(本小题满分12分)已知函数f(x)=1ln(1+)1x xxxλ(+)-+.(1)若x≥0时,f(x)≤0,求λ的最小值;(2)设数列{a n}的通项111=1+23nan+++,证明:a2n-a n+14n>ln2.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.答案:B解析:选B.2.答案:A解析:3.答案:B解析:4.答案:B解析:5.答案:A解析:由题意知1+x =2?x=21y-(y>0),因此f-1(x)=121x-(x>0).故选A.6.答案:C解析:∵3a n +1+a n =0,∴a n +1=13n a -.∴数列{a n }是以13-为公比的等比数列.∵a 2=43-,∴a 1=4.∴S 10=101413113⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+=3(1-3-10).故选C. 7.2y 2的系数为8. 2PA k =故1PA k ∵2PA k ∴1PA k 9. 答案:D解析:由条件知f ′(x )=2x +a -21x ≥0在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立,即212a x x ≥-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立.∵函数212y x x =-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数,∴max 211<23212y -⨯=⎛⎫⎪⎝⎭.∴a ≥3.故选D.10. 答案:A解析:如下图,连结AC 交BD 于点O ,连结C 1O ,过C 作CH ⊥C 1O 于点H .∵11BD ACBD AA AC AA A ⊥⎫⎪⊥⎬⎪=⎭1111BD ACC A CH ACC A ⊥⎫⎬⊂⎭平面平面CH CH BD CH ∴∠设1C O∴∴11.解析:由题意知抛物线C 的焦点坐标为(2,0),则直线AB 的方程为y =k (x -2),将其代入y 2=8x ,得k 2x 2-4(k 2+2)x +4k 2=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=2242k k(+),x 1x 2=4.① 由112222y k x y k x =(-)⎧⎨=(-)⎩∵0MA MB ⋅=,∴(x 1+2,y 1-2)·(x 2+2,y 2-2)=0. ∴(x 1+2)(x 2+2)+(y 1-2)(y 2-2)=0, 即x 1x 2+2(x 1+x 2)+4+y 1y 2-2(y 1+y 2)+4=0.④ 由①②③④解得k =2.故选D. 12.令t 则g (令g 当t 当t =当t =∴g (即f (13.答案:解析:由题意知cos α=3==-.故cot α=cos sin αα14.答案:480解析:先排除甲、乙外的4人,方法有44A 种,再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中,有25A 种排法,因此甲、乙不相邻的不同排法有4245A A 480⋅=(种).15.答案:1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析:作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.∵直线y 12BC k =则12≤a 16.解析:则OE ⊥又MN =R 又OK ⊥∴R =∴S =4π17.解:设{a n }的公差为d .由S 3=22a 得3a 2=22a ,故a 2=0或a 2=3. 由S 1,S 2,S 4成等比数列得22S =S 1S 4. 又S 1=a 2-d ,S 2=2a 2-d ,S 4=4a 2+2d , 故(2a 2-d )2=(a 2-d )(4a 2+2d ).若a2=0,则d2=-2d2,所以d=0,此时S n=0,不合题意;若a2=3,则(6-d)2=(3-d)(12+2d),解得d=0或d=2.因此{a n}的通项公式为a n=3或a n=2n-1.18.解:(1)因为(a+b+c)(a-b+c)=ac,所以a2+c2-b2=-ac.由余弦定理得cos B=2221a c b+-=-,因此B=(2)由所以+C)+2sin A故A-C因此C=19.(1)过P作连结OA由△PAB所以OA点,故OE⊥因为O是BD的中点,E是BC的中点,所以OE∥CD.因此PB⊥CD.(2)解法一:由(1)知CD⊥PB,CD⊥PO,PB∩PO=P,故CD⊥平面PBD.又PD⊂平面PBD,所以CD⊥PD.取PD的中点F,PC的中点G,连结FG,则FG∥CD,FG⊥PD.连结AF,由△APD为等边三角形可得AF⊥PD.所以∠AFG为二面角A-PD-C的平面角.连结AG,EG,则EG∥PB.又PB⊥AE,所以EG⊥AE.设AB故AG在△所以以O为坐标原点,OE的方向为-,0,0)设|AB(2PC=AP=,AD=(2,-设平面n1=(x,yz)·(,,2)=0,n·PD=(x,y,z)·(0,,)=0,1可得2x-y-z=0,y+z=0.取y=-1,得x=0,z=1,故n1=(0,-1,1).设平面PAD的法向量为n2=(m,p,q),则n2·AP=(m,p,q)·,0)=0,n2·AD=(m,p,q)·,,0)=0,可得m+q=0,m-p=0.取m =1,得p =1,q =-1,故n 2=(1,1,-1). 于是cos 〈n 1,n 2〉=1212||||3=-·n n n n . 由于〈n 1,n 2〉等于二面角A -PD -C 的平面角,所以二面角A -PD -C的大小为π-20.解:(1)记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”,A 2则A =A 1P (A )=P(2)X记A 3”,B 2负”.则P (X =14,P (X=1)=198.21.(1)所以C 将y =2代入上式,求得x =由题设知,=a 2=1. 所以a =1,b =(2)证明:由(1)知,F 1(-3,0),F 2(3,0),C 的方程为8x 2-y 2=8.①由题意可设l的方程为y=k(x-3),k(k2-8)x2-6k2x+9k2+8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≤-1,x2≥1,x1+x2=2268kk-,x1·x2=22988kk+-.于是|AF1|(3x1+1),||(1)解:由已知f(0)=0,f′(x)=21x(+),f′(0)=0.若12λ<,则当0<x<2(1-2λ)时,f′(x)>0,所以f(x)>0.若12λ≥,则当x>0时,f′(x)<0,所以当x>0时,f(x)<0.综上,λ的最小值是12.(2)证明:令12λ=.由(1)知,当x >0时,f (x )<0, 即2ln(1)22x x x x(+)>++.取1x k=,则211>ln 21k k k k k ++(+).于是212111 422(1)n n n a a n k k -⎡⎤-+=+⎢⎥+∑=2n k n -=∑=所以1.).A =B 2.A 3.(2013课标全国Ⅰ,理3)为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( ).A .简单随机抽样B .按性别分层抽样C .按学段分层抽样D .系统抽样4.(2013课标全国Ⅰ,理4)已知双曲线C :2222=1x y a b-(a >0,b >0)的离心率为2,则C 的渐近线方程为( ). A .y =14x ±B .y =13x ±C .y =12x±D .y =±x5.(2013课标全国Ⅰ,理5)执行下面的程序框图,如果输入的t ∈[-1,3],则输出的s 属于( ).A B C D 6.,将一果不A C 7.,S m =0,S m +3,则m =( A .8.则该A .16+8πB .8+8πC .16+16πD .8+16π9.(2013课标全国Ⅰ,理9)设m 为正整数,(x +y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ,(x +y )2m+1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a =7b ,则m =( ). A .5B .6C .7D .810.(2013课标全国Ⅰ,理10)已知椭圆E :2222=1x y a b+(a >b >0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交E 于A ,B 两点.若AB 的中点坐标为(1,-1),则E 的方程为( ).A .22=14536x y +B .22=13627x y +C .22=12718x y +D .22=1189x y +11.是( A .(12.,….若b 1>c 1A .C .第(22)题~第13.若b ·c =0,则14.(2013课标全国Ⅰ,理14)若数列{an}的前n 项和33n n ,则{an}的通项公式是an =_______.15.(2013课标全国Ⅰ,理15)设当x =θ时,函数f(x)=sinx -2cosx 取得最大值,则cos θ=__________.16.(2013课标全国Ⅰ,理16)若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax +b)的图像关于直线x =-2对称,则f(x)的最大值为__________.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(2013课标全国Ⅰ,理17)(本小题满分12分)如图,在△ABC 中,∠ABC =90°,AB BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC =90°. (1)若PB =12,求PA ; (2)若∠APB =150°,求tan ∠PBA .18.(2013课标全国Ⅰ,理18)(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,CA =CB ,AB =AA 1,∠BAA 1=(1)(2)19.先从4(1)(2)20.1)2+y 2=9(1)求C (2)l 求|AB |. 21.(2013课标全国Ⅰ,理21)(本小题满分12分)设函数f (x )=x 2+ax +b ,g (x )=e x (cx +d ).若曲线y =f (x )和曲线y =g (x )都过点P (0,2),且在点P 处有相同的切线y =4x +2. (1)求a ,b ,c ,d 的值;(2)若x ≥-2时,f (x )≤kg (x ),求k 的取值范围.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(2013课标全国Ⅰ,理22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE 交圆于点D.(1)证明:DB=DC;(2)设圆的半径为1,BC,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.23.(1)把C1(2)求C124.x)=|2x -1|+(1)当a(2)设a2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.2. ∴z =故z 3. 4. 答案:C解析:∵2c e a ==,∴22222254c a b e a a +===. ∴a 2=4b 2,1=2b a ±.∴渐近线方程为12by x xa=±±.5.答案:A解析:若t∈[-1,1),则执行s=3t,故s∈[-3,3).若t∈[1,3],则执行s=4t-t2,其对称轴为t=2.故当t=6.答案:A解析:BC=2,由R2=(7.答案:C解析:∴a m=S m∴d=a m+∵S m=ma1+12m m(-)×1=0,∴112ma-=-.又∵a m+1=a1+m×1=3,∴132mm--+=.∴m=5.故选C. 8.答案:A解析:由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体,由图中数据可知圆柱底面半径r =2,长为4,在长方体中,长为4,宽为2,高为2,所以几何体的体积为πr 2×4×12+4×2×2=8π+16.故选A. 9. 答案:B1212∵AB 的中点为(1,-1),∴y 1+y 2=-2,x 1+x 2=2,而1212y y x x --=k AB =011=312-(-)-,∴221=2b a . 又∵a 2-b 2=9,∴a 2=18,b 2=9.∴椭圆E的方程为22=1189x y.故选D.11.答案:D解析:由y=|f(x)|的图象知:①当x>0时,y=ax只有a≤0时,才能满足|f(x)|≥ax,可排除B,C.②当x≤22故由|f(当x=0当x<0∵x-212.答案:B第(22)题~第13.解析:∴b·c又∵|a|=|b|=1,且a与b夹角为60°,b⊥c,∴0=t|a||b|cos60°+(1-t),0=12t+1-t.∴t=2.14.答案:(-2)n -1解析:∵2133n n S a =+,①∴当n ≥2时,112133n n S a --=+.②①-②,得12233n n n a a a -=-, 即1nn a a -∵a 1=∴a 1=∴{a n }15.令cos 则f (x 当x =即θ=2k π+π2-α(k ∈Z ), 所以cos θ=πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭=πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭=sin α==16.答案:16解析:∵函数f (x )的图像关于直线x =-2对称,∴f (x )满足f (0)=f (-4),f (-1)=f (-3),即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )=-x 4-8x 3-14x 2+8x +15. 由f ′(32得x 1易知,f 2)∴f (-=(-8=80-f (-2)=-=-f (-2=(-8=80-故f (x )三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.解:(1)由已知得∠PBC =60°,所以∠PBA =30°.在△PBA 中,由余弦定理得PA 2=11732cos 30424+-︒=.故PA =2. (2)设∠PBA =α,由已知得PB =sin α.在△PBA sin sin(30)αα=︒-,α=4sin α. 所以tan 18.(1)因为CA 由于AB 故△AA 1B 所以OA 1因为OC 又A 1C ⊂(2)又平面所以OC 故OA ,以O 为坐标原点,OA 的方向为O -xyz .由题设知A (1,0,0),A 1(0,0),C (0,03),B (-1,0,0).则BC =(1,0,1BB =1AA =(-10),1AC =(0,). 设n =(x ,y ,z )是平面BB 1C 1C 的法向量,则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.x x ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩可取n =,1,-1). 故cos 〈n ,1AC 〉=11A C A C⋅n n =5-. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为5. 19.解:B 2P (A )=P (A 1=416(2)X P (X =所以X EX =20.解:由已知得圆M 的圆心为M (-1,0),半径r 1=1;圆N 的圆心为N (1,0),半径r 2=3. 设圆P 的圆心为P (x ,y ),半径为R . (1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切, 所以|PM |+|PN |=(R +r 1)+(r 2-R )=r 1+r 2=4.由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2的椭圆(左顶点除外),其方程为22=143x y+(x≠-2).(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=若l1Rr,可求得由l解得当k解得所以|当k=综上,|AB|=|AB|=187.21.解:(1)由已知得f(0)=2,g(0)=2,f′(0)=4,g′(0)=4.而f′(x)=2x+a,g′(x)=e x(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4.从而a=4,b=2,c=2,d=2.(2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2e x(x+1).设函数F(x)=kg(x)-f(x)=2k e x(x+1)-x2-4x-2,则F′(x)=2k e x(x+2)-2x-4=2(x+2)(k e x-1).由题设可得F(0)≥0,即k≥1.令F′(x)=0得x1=-ln k,x2=-2.①若1≤F′(x)>0.即F F(x1).而F(x1)故当x≥②若k=从而当x而F(-③若k>从而当x综上,k22.(1)由弦切角定理得,∠=∠.而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE.又因为DB⊥BE,所以DE为直径,∠DCE=90°,由勾股定理可得DB=DC.(2)解:由(1)知,∠CDE =∠BDE ,DB =DC ,故DG 是BC 的中垂线,所以BG . 设DE 的中点为O ,连结BO ,则∠BOG =60°. 从而∠ABE =∠BCE =∠CBE =30°,所以CF ⊥BF ,故Rt △BCF 外接圆的半径等于2.23.解:(1)即C 1:x 2将x y ρρ=⎧⎨=⎩ρ2-8ρ所以C 1ρ2-8ρ(2)C 2由22x x ⎧+⎨+⎩解得x y ⎧⎨⎩所以C 1与C 2交点的极坐标分别为4⎪⎭,2,2 ⎪⎝⎭.24.解:(1)当a =-2时,不等式f (x )<g (x )化为|2x -1|+|2x -2|-x -3<0. 设函数y =|2x -1|+|2x -2|-x -3,则y =15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示.从图像可知,当且仅当x ∈(0,2)时,y <0. 所以原不等式的解集是{x |0<x <2}.(2)当x不等式f 所以x ≥故2a -≥从而a 1.M ∩N =( )A .{0,1,2}B .{-1,0,1,2}C .{-1,0,2,3}D .{0,1,2,3}2.(2013课标全国Ⅱ,理2)设复数z 满足(1-i)z =2i ,则z =( ).A .-1+iB .-1-IC .1+iD .1-i3.(2013课标全国Ⅱ,理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3=a 2+10a 1,a 5=9,则a 1=( ).A .13B .13-C .19D .19-4.(2013课标全国Ⅱ,理4)已知m ,n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ,l ⊥n ,lα,lβ,则( ).A .α∥β且l ∥αB .α⊥β且l ⊥βC .α与β相交,且交线垂直于lD .α与β相交,且交线平行于l 5.(2013课标全国Ⅱ,理5)已知(1+ax )(1+x )5的展开式中x 2的系数为5,则a=( A 6.输出的S =( A .10++B .110!++C .111++D .111!++7.(2013,(1,1,0)8.A .c >b>aB .b >c >aC .a >c >bD .a >b >c9.(2013课标全国Ⅱ,理9)已知a >0,x ,y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z =2x +y 的最小值为1,则a =( ).A .14B .12C .1D .210.(2013课标全国Ⅱ,理10)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( ).A.∃x0∈R,f(x0)=0B.函数y=f(x)的图像是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)单调递减D.若x0是f(x)的极值点,则f′(x0)=011.(2013课标全国Ⅱ,理11)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MFA.C.12.将△ABC A.22题~第13.BD⋅=14.15.(2013课标全国Ⅱ,理15)设θ为第二象限角,若π1tan42θ⎛⎫+=⎪⎝⎭,则sinθ+cosθ=__________.16.(2013课标全国Ⅱ,理16)等差数列{a n}的前n项和为S n,已知S10=0,S15=25,则nS n的最小值为__________.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(2013课标全国Ⅱ,理17)(本小题满分12分)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a =b cos C +c sin B . (1)求B ;(2)若b =2,求△ABC 面积的最大值.18.(2013课标全国Ⅱ,理18)(本小题满分12分)如图,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D ,E 分别是AB ,BB1的中点,AA 1=AC =CB =2AB . (1)(2)19.产品,品,每1t 分布X ≤150) (1)将T (2)(3)若需求量X 的概数学期望.20.分)>b>0)(1)求M 的方程;(2)C ,D 为M 上两点,若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ,求四边形ACBD 面积的最大值. 21.(2013课标全国Ⅱ,理21)(本小题满分12分)已知函数f (x )=e x -ln(x +m ). (1)设x =0是f (x )的极值点,求m ,并讨论f (x )的单调性; (2)当m ≤2时,证明f (x )>0.请考生在第22、23、24题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号.22.(2013课标全国Ⅱ,理22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC·AE=DC·AF,B,E,F,C四点共圆.(1)证明:CA是△ABC外接圆的直径;(2)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.23.P,Q都在曲线C PQ的中点.(1)求M(2)将M24.设a,b(1)ab+2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.答案:A 解析:M ∩N =2. 答案:A 解析:z 3. 答案:C 解析:99,不∵q ≠1∴311q q--∵a 5=a 1·q 4=9,即81a 1=9,∴a 1=9.4. 答案:D解析:因为m ⊥α,l ⊥m ,lα,所以l ∥α.同理可得l ∥β.又因为m ,n 为异面直线,所以α与β相交,且l 平行于它们的交线.故选D.5. 答案:D解析:因为(1+x )5的二项展开式的通项为5C r r x (0≤r ≤5,r ∈Z ),则含x 2的项为225C x +ax ·15C x =(10+5a )x 2,所以10+5a =5,a =-1. 6. 答案:B解析:当k =2当k =3当k =4当k =10110!++,k S ,所以B 7. 答案:A 解析:8. 答案:D解析:根据公式变形,lg 6lg 21lg 3lg 3a ==+,lg10lg 21lg 5lg 5b ==+,lg14lg 21lg 7lg 7c ==+,因为lg7>lg5>lg3,所以lg2lg2lg2lg7lg5lg3<<,即c<b<a.故选D. 9.答案:B解析:由题意作出1,3xx y≥⎧⎨+≤⎩所表示的区域如图阴影部分所示,作直线2x+y=1,因为直线2x+y=1与直线x=1的交点坐标为(1,-1),结合题意知直线y=a(x-3)10.答案:C解析:示,则在(-11.答案:C解析:又点F将x=0由2y=所以C的方程为y2=4x或y2=16x.故选C.12.答案:B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答。
2024高考数学真题分类汇编(解析)
一.复数1.(2024年新课标全国Ⅰ卷)若1i 1zz =+-,则z =()A .1i --B .1i-+C .1i -D .1i+【详解】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---,所以111i i z =+=-.故选:C.2.(2024年新课标全国Ⅱ卷)已知1i z =--,则z =()A .0B .1C D .2【详解】若1i z =--,则z ==故选:C.3.(2024年高考全国甲卷数学(理))设5i z =+,则()i z z +=()A .10iB .2iC .10D .2-【详解】由5i 5i,10z z z z =+⇒=-+=,则()i 10i z z +=.故选:A二.集合1.(2024年新课标全国Ⅰ卷)已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x x B =-<<=--∣,则A B = ()A .{1,0}-B .{2,3}C .{3,1,0}--D .{1,0,2}-【详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<=--,且注意到12<<,从而A B ={}1,0-.故选:A.2.(2024年高考全国甲卷数学(理))集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==∈,则()A A B ⋂=ð()A .{}1,4,9B .{}3,4,9C .{}1,2,3D .{}2,3,5【详解】因为{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==∈,所以{}1,4,9,16,25,81B =,则{}1,4,9A B = ,(){}2,3,5A A B = ð故选:D三.命题与逻辑1.(2024年新课标全国Ⅱ卷)已知命题p :x ∀∈R ,|1|1x +>;命题q :0x ∃>,3x x =,则()A .p 和q 都是真命题B .p ⌝和q 都是真命题C .p 和q ⌝都是真命题D .p ⌝和q ⌝都是真命题【详解】对于p 而言,取=1x -,则有101x +=<,故p 是假命题,p ⌝是真命题,对于q 而言,取1x =,则有3311x x ===,故q 是真命题,q ⌝是假命题,综上,p ⌝和q 都是真命题.故选:B.2.(2024年高考全国甲卷数学(理))设αβ、是两个平面,m n 、是两条直线,且m αβ= .下列四个命题:①若//m n ,则//n α或//n β②若m n ⊥,则,n n αβ⊥⊥③若//n α,且//n β,则//m n ④若n 与α和β所成的角相等,则m n⊥其中所有真命题的编号是()A .①③B .②④C .①②③D .①③④【详解】对①,当n ⊂α,因为//m n ,m β⊂,则//n β,当n β⊂,因为//m n ,m α⊂,则//n α,当n 既不在α也不在β内,因为//m n ,,m m αβ⊂⊂,则//n α且//n β,故①正确;对②,若m n ⊥,则n 与,αβ不一定垂直,故②错误;对③,过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ,因为//n α,过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ,则根据线面平行的性质定理知//n s ,同理可得//n t ,则//s t ,因为s ⊄平面β,t ⊂平面β,则//s 平面β,因为s ⊂平面α,m αβ= ,则//s m ,又因为//n s ,则//m n ,故③正确;对④,若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等,如果//,//αβn n ,则//m n ,故④错误;综上只有①③正确,故选:A.四.向量1.(2024年新课标全国Ⅰ卷)已知向量(0,1),(2,)a b x == ,若(4)b b a ⊥- ,则x =()A .2-B .1-C .1D .2【详解】因为()4b b a ⊥- ,所以()40b b a ⋅-= ,所以240b a b -⋅=即2440x x +-=,故2x =,故选:D.2.(2024年新课标全国Ⅱ卷)已知向量,a b满足1,22a a b =+= ,且()2b a b -⊥ ,则b = ()A .12B C D .1【详解】因为()2b a b -⊥ ,所以()20b a b -⋅= ,即22b a b =⋅,又因为1,22a a b =+= ,所以22144164a b b b +⋅+=+= ,从而2=b 故选:B.3.(2024年高考全国甲卷数学(理))已知向量()()1,,,2a x x b x =+=,则()A .“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B .“3x =-”是“//a b”的必要条件C .“0x =”是“a b ⊥”的充分条件D .“1x =-+”是“//a b ”的充分条件【详解】对A ,当a b ⊥时,则0a b ⋅= ,所以(1)20x x x ⋅++=,解得0x =或3-,即必要性不成立,故A 错误;对C ,当0x =时,()()1,0,0,2a b == ,故0a b ⋅= ,所以a b ⊥,即充分性成立,故C 正确;对B ,当//a b时,则22(1)x x +=,解得1x =B 错误;对D ,当1x =-时,不满足22(1)x x +=,所以//a b不成立,即充分性不立,故D 错误.故选:C.5.解三角形1.(2024年新课标全国Ⅰ卷)记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin C B =,222a b c +-(1)求B ;(2)若ABC 的面积为3c .【详解】(1)由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=,对比已知222a b c +-=,可得222cos 222a b c C ab ab +-===,因为()0,πC ∈,所以sin 0C >,从而sin2C==,又因为sin C B=,即1cos2B=,注意到()0,πB∈,所以π3B=.(2)由(1)可得π3B=,cos2C=,()0,πC∈,从而π4C=,ππ5ππ3412A=--=,而5πππ1sin sin sin124622224A⎛⎫⎛⎫==+=⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由正弦定理有5πππsin sin sin1234a b c==,从而,a b====,由三角形面积公式可知,ABC的面积可表示为21113sin222228ABCS ab C c c c==⋅=,由已知ABC的面积为32338c+=c=2.(2024年新课标全国Ⅱ卷)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin2A A+=.(1)求A.(2)若2a=sin sin2C c B=,求ABC的周长.【详解】(1)方法一:常规方法(辅助角公式)由sin2A A=可得1sin122A A+=,即sin()1π3A+=,由于ππ4π(0,π)(,333A A∈⇒+∈,故ππ32A+=,解得π6A=方法二:常规方法(同角三角函数的基本关系)由sin2A A=,又22sin cos1A A+=,消去sin A得到:24cos30(2cos0A A A-+=⇔-=,解得cos A=又(0,π)A∈,故π6A=方法三:利用极值点求解设()sin(0π)f x x x x=<<,则π()2sin(0π)3f x x x⎛⎫=+<<⎪⎝⎭,显然π6x=时,max()2f x=,注意到π()sin22sin(3f A A A A=+==+,max ()()f x f A =,在开区间(0,π)上取到最大值,于是x A =必定是极值点,即()0cos sin f A A A '==,即tan A =,又(0,π)A ∈,故π6A =方法四:利用向量数量积公式(柯西不等式)设(sin ,cos )a b A A ==,由题意,sin 2a b A A ⋅=+=,根据向量的数量积公式,cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅==,则2cos ,2cos ,1a b a b =⇔= ,此时,0a b =,即,a b 同向共线,根据向量共线条件,1cos sin tan A A A ⋅=⇔=又(0,π)A ∈,故π6A =方法五:利用万能公式求解设tan 2A t =,根据万能公式,22sin 21tA A t ==+整理可得,222(2(20((2t t t --+-==--,解得tan22A t ==22tan 13t A t ==-,又(0,π)A ∈,故π6A =(2)由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=,又,(0,π)B C ∈,则sin sin 0B C ≠,进而cos 2B =,得到π4B =,于是7ππ12C A B =--=,sin sin(π)sin()sin cos sin cos C A B A B A B B A =--=+=+=由正弦定理可得,sin sin sin a b cA B C ==,即2ππ7πsin sin sin6412bc==,解得b c ==故ABC的周长为2+3.(2024年高考全国甲卷数学(理))在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ,若π3B =,294b ac =,则sin sin A C +=()A .32B C D 【详解】因为29,34B b ac π==,则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=,即:22134a c ac +=,根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==,所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=,因为,A C 为三角形内角,则sin sin 0A C +>,则sin sin A C +=.故选:C.6.概率统计1.(2024年新课标全国Ⅰ卷)为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =,样本方差20.01s =,已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ,假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s ,则()(若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ,()0.8413P Z u σ<+≈)A .(2)0.2P X >>B .(2)0.5P X ><C .(2)0.5P Y >>D .(2)0.8P Y ><【详解】依题可知,22.1,0.01x s ==,所以()2.1,0.1Y N ,故()()()2 2.10.1 2.10.10.84130.5P Y P Y P Y >=>-=<+≈>,C 正确,D 错误;因为()1.8,0.1X N ,所以()()2 1.820.1P X P X >=>+⨯,因为()1.80.10.8413P X <+≈,所以()1.80.110.84130.15870.2P X >+≈-=<,而()()()2 1.820.1 1.80.10.2P X P X P X >=>+⨯<>+<,B 正确,A 错误,故选:BC .2.(2024年新课标全国Ⅰ卷)甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为.【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为1234,,,X X X X ,四轮的总得分为X .对于任意一轮,甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等,其中使得甲获胜的出牌组合有六种,从而甲在该轮获胜的概率()631448k P X ===⨯,所以()()31,2,3,48k E X k ==.从而()()()441234113382k k k E X E X X X X E X ===+++===∑∑.记()()0,1,2,3k p P X k k ===.如果甲得0分,则组合方式是唯一的:必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出2,4,6,8,所以04411A 24p ==;如果甲得3分,则组合方式也是唯一的:必定是甲出1,3,5,7分别对应乙出8,2,4,6,所以34411A 24p ==.而X 的所有可能取值是0,1,2,3,故01231p p p p +++=,()1233232p p p E X ++==.所以121112p p ++=,1213282p p ++=,两式相减即得211242p +=,故2312p p +=.所以甲的总得分不小于2的概率为2312p p +=.故答案为:12.3.(2024年新课标全国Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg )并部分整理下表亩产量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1100,1150)[1150,1200)频数612182410据表中数据,结论中正确的是()A .100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB .100块稻田中亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C .100块稻田亩产量的极差介于200kg 至300kg 之间D .100块稻田亩产量的平均值介于900kg 至1000kg 之间【详解】对于A,根据频数分布表可知,612183650++=<,所以亩产量的中位数不小于1050kg ,故A 错误;对于B ,亩产量不低于1100kg 的频数为341024=+,所以低于1100kg 的稻田占比为1003466%100-=,故B 错误;对于C ,稻田亩产量的极差最大为1200900300-=,最小为1150950200-=,故C 正确;对于D ,由频数分布表可得,亩产量在[1050,1100)的频数为100(612182410)30-++++=,所以平均值为1(692512975181025301075241125101175)1067100⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=,故D 错误.故选;C.4.(2024年新课标全国Ⅱ卷)在如图的4×4方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有种选法,在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的4个数之和的最大值是.【详解】由题意知,选4个方格,每行和每列均恰有一个方格被选中,则第一列有4个方格可选,第二列有3个方格可选,第三列有2个方格可选,第四列有1个方格可选,所以共有432124⨯⨯⨯=种选法;每种选法可标记为(,,,)a b c d ,a b c d ,,,分别表示第一、二、三、四列的数字,则所有的可能结果为:(11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42),(12,21,33,44),(12,21,34,43),(12,22,31,44),(12,22,34,40),(12,24,31,43),(12,24,33,40),(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,44),(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40),(15,21,33,43),(15,21,33,42),(15,22,31,43),(15,22,33,40),(15,22,31,42),(15,22,33,40),所以选中的方格中,(15,21,33,43)的4个数之和最大,为152********+++=.故答案为:24;1125.(2024年高考全国甲卷数学(理))1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,各项系数的最大值是.【详解】由题展开式通项公式为101101C 3rr r r T x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭,010r ≤≤且r ∈Z ,设展开式中第1r +项系数最大,则1091101010111101011C C 3311C C 33rrr r r rr r --+---⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩,294334r r ⎧≥⎪⎪⇒⎨⎪≤⎪⎩,即293344r ≤≤,又r ∈Z ,故8r =,所以展开式中系数最大的项是第9项,且该项系数为28101C 53⎛⎫= ⎪⎝⎭.故答案为:5.6.(2024年高考全国甲卷数学(理))有6个相同的球,分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中不放回地随机抽取3次,每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值,n 为取出的三个球上数字的平均值,则m 与n 差的绝对值不超过12的概率是.【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次,共有36A 120=种,设前两个球的号码为,a b ,第三个球的号码为c ,则1322a b c a b +++-≤,故2()3c a b -+≤,故32()3c a b -≤-+≤,故323a b c a b +-≤≤++,若1c =,则5a b +≤,则(),a b 为:()()2,3,3,2,故有2种,若2c =,则17a b ≤+≤,则(),a b 为:()()()()()1,3,1,4,1,5,1,6,3,4,()()()()()3,1,4,1,5,1,6,1,4,3,故有10种,当3c =,则39a b ≤+≤,则(),a b 为:()()()()()()()()1,2,1,4,1,5,1,6,2,4,2,5,2,6,4,5,()()()()()()()()2,1,4,1,5,1,6,1,4,2,5,2,6,2,5,4,故有16种,当4c =,则511a b ≤+≤,同理有16种,当5c =,则713a b ≤+≤,同理有10种,当6c =,则915a b ≤+≤,同理有2种,共m 与n 的差的绝对值不超过12时不同的抽取方法总数为()22101656++=,故所求概率为56712015=.故答案为:7157.(2024年高考全国甲卷数学(理))某工厂进行生产线智能化升级改造,升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下:优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150(1)填写如下列联表:优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?能否有99%的把握认为甲,乙两车间产品的优级品率存在差异?(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =,设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+150件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了?12.247≈)附:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【详解】(1)根据题意可得列联表:优级品非优级品甲车间2624乙车间7030可得()2215026302470754.687550100965416K ⨯-⨯===⨯⨯⨯,因为3.841 4.6875 6.635<<,所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异,没有99%的把握认为甲,乙两车间产品的优级品率存在差异.(2)由题意可知:生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品的频率为960.64150=,用频率估计概率可得0.64p =,又因为升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =,则0.50.50.5 1.650.56812.247p +++⨯≈,可知p p >+所以可以认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了.8.(2024年新课标全国Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成员为0分;若至少投中一次,则该队进入第二阶段,由该队的另一名队员投篮3次,每次投中得5分,未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p ,乙每次投中的概率为q ,各次投中与否相互独立.(1)若0.4p =,0.5q =,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.(2)假设0p q <<,(i )为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛?(ii )为使得甲、乙,所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛?【详解】(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分,则甲第一阶段至少投中1次,乙第二阶段也至少投中1次,∴比赛成绩不少于5分的概率()()3310.610.50.686P =--=.(2)(i )若甲先参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P p q ⎡⎤=--⎣⎦甲,若乙先参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为331(1)P q p ⎡⎤=--⋅⎣⎦乙,0p q << ,3333()()P P q q pq p p pq ∴-=---+-甲乙()2222()()()()()()q p q pq p p q p pq q pq p pq q pq ⎡⎤=-+++-⋅-+-+--⎣⎦()2222()333p q p q p q pq =---3()()3()[(1)(1)1]0pq p q pq p q pq p q p q =---=---->,P P ∴>甲乙,应该由甲参加第一阶段比赛.(ii)若甲先参加第一阶段比赛,数学成绩X 的所有可能取值为0,5,10,15,333(0)(1)1(1)(1)P X p p q ⎡⎤==-+--⋅-⎣⎦,32123(5)1(1)C (1)P X p q q ⎡⎤==--⋅-⎣⎦,3223(10)1(1)C (1)P X p q q ⎡⎤==--⋅-⎣⎦,33(15)1(1)P X p q ⎡⎤==--⋅⎣⎦,()332()151(1)1533E X p q p p p q⎡⎤∴=--=-+⋅⎣⎦记乙先参加第一阶段比赛,数学成绩Y 的所有可能取值为0,5,10,15,同理()32()1533E Y q q q p=-+⋅()()15[()()3()]E X E Y pq p q p q pq p q ∴-=+---15()(3)p q pq p q =-+-,因为0p q <<,则0p q -<,31130p q +-<+-<,则()(3)0p q pq p q -+->,∴应该由甲参加第一阶段比赛.7.立体几何1.(2024年新课标全国Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高)A .B .C .D .【详解】设圆柱的底面半径为r而它们的侧面积相等,所以2ππr r =即=,故3r =,故圆锥的体积为1π93⨯=.故选:B.2.(2024年新课标全国Ⅱ卷)已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523,6AB =,112A B =,则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为()A .12B .1C .2D .3【详解】解法一:分别取11,BC B C 的中点1,D D ,则11AD A D ==可知11111662222ABC A B C S S =⨯⨯⨯==⨯⨯ 设正三棱台111ABC A B C -的为h ,则(11115233ABC A B C V h -==,解得h =如图,分别过11,A D 作底面垂线,垂足为,M N ,设AM x =,则1AA=DN AD AM MN x=--=,可得1DD==结合等腰梯形11BCC B可得22211622BB DD-⎛⎫=+⎪⎝⎭,即()221616433x x+=++,解得x=所以1A A与平面ABC所成角的正切值为11tan1A MA ADAMÐ==;解法二:将正三棱台111ABC AB C-补成正三棱锥-P ABC,则1A A与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角,因为11113PA A BPA AB==,则111127P A B CP ABCVV--=,可知1112652273ABC A B C P ABCV V--==,则18P ABCV-=,设正三棱锥-P ABC的高为d,则116618322P ABCV d-=⨯⨯⨯⨯,解得d=,取底面ABC的中心为O,则PO⊥底面ABC,且AO=所以PA与平面ABC所成角的正切值tan1POPAOAO∠==.故选:B.3.(2024年高考全国甲卷数学(理))已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r和2r,母线长分别为()212r r-和()213r r-,则两个圆台的体积之比=VV甲乙.【详解】由题可得两个圆台的高分别为)12h r r==-甲,)12h r r==-乙,所以((21211313S S h V h V h S S h ++-==++甲甲甲乙乙乙4.(2024年新课标全国Ⅰ卷)如图,四棱锥P ABCD -中,PA ⊥底面ABCD ,2PA AC ==,1,BC AB =.(1)若AD PB ⊥,证明://AD 平面PBC ;(2)若AD DC ⊥,且二面角A CP D --的正弦值为7,求AD .【详解】(1)(1)因为PA ⊥平面ABCD ,而AD ⊂平面ABCD ,所以PA AD ⊥,又AD PB ⊥,PB PA P = ,,PB PA ⊂平面PAB ,所以AD ⊥平面PAB ,而AB ⊂平面PAB ,所以AD AB ⊥.因为222BC AB AC +=,所以BC AB ⊥,根据平面知识可知//AD BC ,又AD ⊄平面PBC ,BC ⊂平面PBC ,所以//AD 平面PBC .(2)如图所示,过点D 作DE AC ⊥于E ,再过点E 作EF CP ⊥于F ,连接DF ,因为PA ⊥平面ABCD ,所以平面PAC ⊥平面ABCD ,而平面PAC 平面ABCD AC =,所以DE ⊥平面PAC ,又EF CP ⊥,所以⊥CP 平面DEF ,根据二面角的定义可知,DFE ∠即为二面角ACP D --的平面角,即sin 7DFE ∠=,即tan DFE ∠=因为AD DC⊥,设AD x =,则CD=DE =,又242xCE -==,而EFC 为等腰直角三角形,所以2EF =,故22tan4DFEx∠==x=AD=5.(2024年新课标全国Ⅱ卷)如图,平面四边形ABCD中,8AB=,3CD=,AD=,90ADC︒∠=,30BAD︒∠=,点E,F满足25AE AD=,12AF AB=,将AEF△沿EF对折至PEF!,使得PC=.(1)证明:EF PD⊥;(2)求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值.【详解】(1)由218,,52AB AD AE AD AF AB====,得4AE AF==,又30BAD︒∠=,在AEF△中,由余弦定理得2EF,所以222AE EF AF+=,则AE EF⊥,即EF AD⊥,所以,EF PE EF DE⊥⊥,又,PE DE E PE DE=⊂、平面PDE,所以EF⊥平面PDE,又PD⊂平面PDE,故EF⊥PD;(2)连接CE,由90,3ADC ED CD︒∠===,则22236CE ED CD=+=,在PEC中,6PC PE EC===,得222EC PE PC+=,所以PE EC ⊥,由(1)知PE EF ⊥,又,EC EF E EC EF =⊂ 、平面ABCD ,所以PE ⊥平面ABCD ,又ED ⊂平面ABCD ,所以PE ED ⊥,则,,PE EF ED 两两垂直,建立如图空间直角坐标系E xyz -,则(0,0,0),(0,0,(2,0,0),(0,E P D C F A -,由F 是AB的中点,得(4,B ,所以(4,22(2,0,2PC PD PB PF =-===-,设平面PCD 和平面PBF 的一个法向量分别为111222(,,),(,,)n x y z m x y z ==,则11111300n PC x n PD ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩,222224020m PB x m PF x ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩,令122,y x =11220,3,1,1x z y z ===-=,所以(0,2,3),1,1)n m ==-,所以cos ,m nm n m n ⋅===设平面PCD 和平面PBF 所成角为θ,则sin 65θ==,即平面PCD 和平面PBF所成角的正弦值为65.6.(2024年高考全国甲卷数学(理))如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形,//,//BC AD EF AD ,4,2AD AB BC EF ====,ED FB ==M 为AD的中点.(1)证明://BM 平面CDE ;(2)求二面角F BM E --的正弦值.【详解】(1)因为//,2,4,BC AD EF AD M ==为AD 的中点,所以//,BC MD BC MD =,四边形BCDM 为平行四边形,所以//BM CD ,又因为BM ⊄平面CDE ,CD ⊂平面CDE ,所以//BM 平面CDE ;(2)如图所示,作BO AD ⊥交AD 于O ,连接OF ,因为四边形ABCD 为等腰梯形,//,4,BC AD AD =2AB BC ==,所以2CD =,结合(1)BCDM 为平行四边形,可得2BM CD ==,又2AM =,所以ABM 为等边三角形,O 为AM中点,所以OB =又因为四边形ADEF 为等腰梯形,M 为AD 中点,所以,//EF MD EF MD =,四边形EFMD 为平行四边形,FM ED AF ==,所以AFM △为等腰三角形,ABM 与AFM △底边上中点O 重合,OF AM ⊥,3OF =,因为222OB OF BF +=,所以OB OF ⊥,所以,,OB OD OF 互相垂直,以OB 方向为x 轴,OD 方向为y 轴,OF 方向为z 轴,建立O xyz -空间直角坐标系,()0,0,3F,)()(),0,1,0,0,2,3BM E,()(),BM BF ==,()2,3BE = ,设平面BFM 的法向量为()111,,m x y z =,平面EMB 的法向量为()222,,n x y z =,则00m BM m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即1111030y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,令1x =113,1y z ==,即)m = ,则00n BM n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即222220230y y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩,令2x =,得223,1y z ==-,即)1n =-,11cos ,13m n m n m n ⋅===⋅,则sin ,m n =故二面角F BM E --8.解析几何1.(2024年高考全国甲卷数学(理))已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-,点(6,4)-在该双曲线上,则该双曲线的离心率为()A .4B .3C .2D .2【详解】设()10,4F -、()20,4F 、()6,4-P ,则1228F F c ==,()22164410PF =++=,()2226446PF =+-=,则1221064a PF PF =-=-=,则28224c e a ===.故选:C.2.(2024年新课标全国Ⅰ卷)造型可以做成美丽的丝带,将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O.且C 上的点满足横坐标大于2-,到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4,则()A .2a =-B .点(22,0)在C 上C .C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D .当点()00,x y 在C 上时,0042y x ≤+【详解】对于A :设曲线上的动点(),P x y ,则2x >-且()2224x y x a -+⨯-=,因为曲线过坐标原点,故()2202004a -+⨯-=,解得2a =-,故A 正确.对于B :又曲线方程为()22224x y x -+⨯+=,而2x >-,5.(2024年高考全国甲卷数学(理)22410++-=交于Ax y yA.2B.3C.4a b c成等差数列,所以【详解】因为,,++-=,即aax by b a20故选:C.(202427.(2024年新课标全国Ⅰ卷)已知(1)求C的离心率;(2)若过P的直线l交C于另一点⎧⎪⎪8.(2024年高考全国甲卷数学在C上,且MF x⊥轴.(1)求C的方程;由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩可得(34+故()(42Δ102443464k k =-+23264k由已知有22549m =-=,故当12k =时,过()15,4P 且斜率为22392x x +⎛⎫-= ⎪⎝⎭.解得3x =-或5x =,所以该直线与9.函数与导数1.(2024年新课标全国Ⅰ卷)已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==,则cos()αβ-=()A .3m -B .3m -C .3mD .3m【详解】因为()cos m αβ+=,所以cos cos sin sin m αβαβ-=,而tan tan 2αβ=,所以sin sin 2cos cos αβαβ=,故cos cos 2cos cos m αβαβ-=即cos cos m αβ=-,从而sin sin 2m αβ=-,故()cos 3m αβ-=-,故选:A.2.(2024年新课标全国Ⅰ卷)已知函数为22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩,在R 上单调递增,则a 取值的范围是()A .(,0]-∞B .[1,0]-C .[1,1]-D .[0,)+∞【详解】因为()f x 在R 上单调递增,且0x ≥时,()()e ln 1xf x x =++单调递增,则需满足()02021e ln1aa -⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩,解得10a -≤≤,即a 的范围是[1,0]-.故选:B.3.(2024年新课标全国Ⅰ卷)当[0,2]x πÎ时,曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为()A .3B .4C .6D .8【详解】因为函数sin y x =的的最小正周期为2πT =,函数π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为2π3T =,所以在[]0,2πx ∈上函数π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有三个周期的图象,在坐标系中结合五点法画出两函数图象,如图所示:由图可知,两函数图象有6个交点.故选:C4.(2024年新课标全国Ⅰ卷)已知函数为()f x 的定义域为R ,()(1)(2)f x f x f x >-+-,且当3x <时()f x x =,则下列结论中一定正确的是()A .(10)100f >B .(20)1000f >C .(10)1000f <D .(20)10000f <【详解】因为当3x <时()f x x =,所以(1)1,(2)2f f ==,又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-,则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>,(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>,(8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>,(11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+>(14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>,(16)(15)(14)15971000f f f >+>>,则依次下去可知(20)1000f >,则B 正确;且无证据表明ACD 一定正确.故选:B.5.(2024年新课标全国Ⅰ卷)设函数2()(1)(4)f x x x =--,则()A .3x =是()f x 的极小值点B .当01x <<时,()2()f x f x <C .当12x <<时,4(21)0f x -<-<D .当10x -<<时,(2)()f x f x ->【详解】对A ,因为函数()f x 的定义域为R ,而()()()()()()22141313f x x x x x x =--+-=--',易知当()1,3x ∈时,()0f x '<,当(),1x ∞∈-或()3,x ∞∈+时,()0f x '>函数()f x 在(),1∞-上单调递增,在()1,3上单调递减,在()3,∞+上单调递增,故3x =是函数()f x 的极小值点,正确;对B ,当01x <<时,()210x x x x -=->,所以210x x >>>,而由上可知,函数()f x 在()0,1上单调递增,所以()()2f x f x >,错误;对C ,当12x <<时,1213x <-<,而由上可知,函数()f x 在()1,3上单调递减,所以()()()1213f f x f >->,即()4210f x -<-<,正确;对D ,当10x -<<时,()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x --=------=-->,所以(2)()f x f x ->,正确;故选:ACD.6.(2024年新课标全国Ⅰ卷)若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线,则=a .【详解】由e x y x =+得e 1x y '=+,00|e 12x y ='=+=,故曲线e x y x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+;由()ln 1y x a =++得11y x '=+,设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++,由两曲线有公切线得0121y x '==+,解得012x =-,则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭,根据两切线重合,所以ln 20a -=,解得ln 2a =.故答案为:ln 27.(2024年新课标全国Ⅱ卷)设函数2()(1)1f x a x =+-,()cos 2g x x ax =+,当(1,1)x ∈-时,曲线()y f x =与()y g x =恰有一个交点,则=a ()A .1-B .12C .1D .2【详解】解法一:令()()f x g x =,即2(1)1cos 2a x x ax +-=+,可得21cos a x ax -=+,令()()21,cos a x F x ax G x =-=+,原题意等价于当(1,1)x ∈-时,曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点,注意到()(),F x G x 均为偶函数,可知该交点只能在y 轴上,可得()()00F G =,即11a -=,解得2a =,若2a =,令()()F x G x =,可得221cos 0x x +-=因为()1,1x ∈-,则220,1cos 0x x ≥-≥,当且仅当0x =时,等号成立,可得221cos 0x x +-≥,当且仅当0x =时,等号成立,则方程221cos 0x x +-=有且仅有一个实根0,即曲线()y F x =与()y G x =恰有一个交点,所以2a =符合题意;综上所述:2a =.解法二:令()()()2()1cos ,1,1h x f x g x ax a x x =-=+--∈-,原题意等价于()h x 有且仅有一个零点,因为()()()()221cos 1cos h x a x a x ax a x h x -=-+---=+--=,则()h x 为偶函数,根据偶函数的对称性可知()h x 的零点只能为0,即()020h a =-=,解得2a =,若2a =,则()()221cos ,1,1h x x x x =+-∈-,又因为220,1cos 0x x ≥-≥当且仅当0x =时,等号成立,可得()0h x ≥,当且仅当0x =时,等号成立,即()h x 有且仅有一个零点0,所以2a =符合题意;故选:D.8.(2024年新课标全国Ⅱ卷)设函数()()ln()f x x a x b =++,若()0f x ≥,则22a b +的最小值为()A .18B .14C .12D .1【详解】解法一:由题意可知:()f x 的定义域为(),b -+∞,令0x a +=解得x a =-;令ln()0x b +=解得1x b =-;若-≤-a b ,当(),1x b b ∈--时,可知()0,ln 0x a x b +>+<,此时()0f x <,不合题意;若1b a b -<-<-,当(),1x a b ∈--时,可知()0,ln 0x a x b +>+<,此时()0f x <,不合题意;若1a b -=-,当(),1x b b ∈--时,可知()0,ln 0x a x b +<+<,此时()0f x >;当[)1,x b ∈-+∞时,可知()0,ln 0x a x b +≥+≥,此时()0f x ≥;可知若1a b -=-,符合题意;若1a b ->-,当()1,x b a ∈--时,可知()0,ln 0x a x b +<+>,此时()0f x <,不合题意;综上所述:1a b -=-,即1b a =+,则()2222211112222a b a a a ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭+,当且仅当11,22a b =-=时,等号成立,所以22a b +的最小值为12;解法二:由题意可知:()f x 的定义域为(),b -+∞,令0x a +=解得x a =-;令ln()0x b +=解得1x b =-;则当(),1x b b ∈--时,()ln 0x b +<,故0x a +≤,所以10b a -+≤;()1,x b ∈-+∞时,()ln 0x b +>,故0x a +≥,所以10b a -+≥;故10b a -+=,则()2222211112222a b a a a ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭+,当且仅当11,22a b =-=时,等号成立,所以22a b +的最小值为12.故选:C.9.(2024年新课标全国Ⅱ卷)对于函数()sin 2f x x =和π()sin(2)4g x x =-,下列正确的有()A .()f x 与()g x 有相同零点B .()f x 与()g x 有相同最大值C .()f x 与()g x 有相同的最小正周期D .()f x 与()g x 的图像有相同的对称轴【详解】A 选项,令()sin 20f x x ==,解得π,2k x k =∈Z ,即为()f x 零点,令π()sin(204g x x =-=,解得ππ,28k x k =+∈Z ,即为()g x 零点,显然(),()f x g x 零点不同,A 选项错误;B 选项,显然max max ()()1f x g x ==,B 选项正确;C 选项,根据周期公式,(),()f x g x 的周期均为2ππ2=,C 选项正确;D 选项,根据正弦函数的性质()f x 的对称轴满足πππ2π,224k x k x k =+⇔=+∈Z ,()g x 的对称轴满足πππ3π2π,4228k x k x k -=+⇔=+∈Z ,显然(),()f x g x 图像的对称轴不同,D 选项错误.故选:BC10.(2024年新课标全国Ⅱ卷)设函数32()231f x x ax =-+,则()A .当1a >时,()f x 有三个零点B .当0a <时,0x =是()f x 的极大值点C .存在a ,b ,使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D .存在a ,使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心【详解】A 选项,2()666()f x x ax x x a '=-=-,由于1a >,故()(),0,x a ∞∞∈-⋃+时()0f x '>,故()f x 在()(),0,,a ∞∞-+上单调递增,(0,)x a ∈时,()0f x '<,()f x 单调递减,则()f x 在0x =处取到极大值,在x a =处取到极小值,由(0)10=>f ,3()10f a a =-<,则(0)()0f f a <,根据零点存在定理()f x 在(0,)a 上有一个零点,又(1)130f a -=--<,3(2)410f a a =+>,则(1)(0)0,()(2)0f f f a f a -<<,则()f x 在(1,0),(,2)a a -上各有一个零点,于是1a >时,()f x 有三个零点,A 选项正确;B 选项,()6()f x x x a '=-,a<0时,(,0),()0x a f x '∈<,()f x 单调递减,,()0x ∈+∞时()0f x '>,()f x 单调递增,此时()f x 在0x =处取到极小值,B 选项错误;C 选项,假设存在这样的,a b ,使得x b =为()f x 的对称轴,即存在这样的,a b 使得()(2)f x f b x =-,即32322312(2)3(2)1x ax b x a b x -+=---+,根据二项式定理,等式右边3(2)b x -展开式含有3x 的项为303332C (2)()2b x x -=-,于是等式左右两边3x 的系数都不相等,原等式不可能恒成立,于是不存在这样的,a b ,使得x b =为()f x 的对称轴,C 选项错误;D 选项,方法一:利用对称中心的表达式化简(1)33f a =-,若存在这样的a ,使得(1,33)a -为()f x 的对称中心,则()(2)66f x f x a +-=-,事实上,32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812f x f x x ax x a x a x a x a +-=-++---+=-+-+-,于是266(126)(1224)1812a a x a x a-=-+-+-即126012240181266a a a a -=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩,解得2a =,即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心,D 选项正确.方法二:直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心,对称中心的横坐标是二阶导数的零点,32()231f x x ax =-+,2()66f x x ax '=-,()126f x x a ''=-,由()02af x x ''=⇔=,于是该三次函数的对称中心为,22a a f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由题意(1,(1))f 也是对称中心,故122aa =⇔=,即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心,D 选项正确.故选:AD11.(2024年新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan tan 4αβ+=,tan tan 1αβ=,则sin()αβ+=.【详解】法一:由题意得()tan tan tan1tan tan αβαβαβ++===--因为π3π2π,2π,2ππ,2π22k k m m αβ⎛⎫⎛⎫∈+∈++ ⎪⎝⎭⎝⎭,,Z k m ∈,则()()()22ππ,22π2πm k m k αβ+∈++++,,Z k m ∈,又因为()tan 0αβ+=-,则()()3π22π,22π2π2m k m k αβ⎛⎫+∈++++ ⎪⎝⎭,,Z k m ∈,则()sin 0αβ+<,则()()sin cos αβαβ+=-+()()22sin cos 1αβαβ+++=,解得()sin 3αβ+=-.法二:因为α为第一象限角,β为第三象限角,则cos 0,cos 0αβ><,cos α==cos β==则sin()sin cos cos sin cos cos (tan tan )αβαβαβαβαβ+=+=+4cos cos αβ=====故答案为:3-.12.(2024年高考全国甲卷数学(理))设函数()2e 2sin 1x xf x x +=+,则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为()A .16B .13C .12D .23【详解】()()()()()222e 2cos 1e 2sin 21xx x x x xf x x ++-+⋅'=+,则()()()()()02e 2cos 010e 2sin 000310f ++-+⨯'==+,即该切线方程为13y x -=,即31y x =+,令0x =,则1y =,令0y =,则13x =-,故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积1111236S =⨯⨯-=.故选:A.13.(2024年高考全国甲卷数学(理))函数()()2e e sin x xf x x x -=-+-在区间[2.8,2.8]-的大致图像为()A .B .C .D .【详解】()()()()()22e e sin e e sin x x x xf x x x x x f x ---=-+--=-+-=,又函数定义域为[]2.8,2.8-,故该函数为偶函数,可排除A 、C ,又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故可排除D.故选:B.14.(2024年高考全国甲卷数学(理))已知cos cos sin ααα=-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭()A .1B .1C .2D .1【详解】因为cos cos sin ααα=-所以11tan =-α,tan 13⇒α=-,所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==-α+ ⎪-α⎝⎭,故选:B.15.(2024年高考全国甲卷数学(理))已知1a >,8115log log 42a a -=-,则=a .【详解】由题28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-,整理得()2225log 60log a a --=,2log 1a ⇒=-或2log 6a =,又1a >,所以622log 6log 2a ==,故6264a ==故答案为:64.16.(2024年新课标全国Ⅰ卷)已知函数3()ln (1)2xf x ax b x x=++--(1)若0b =,且()0f x '≥,求a 的最小值;(2)证明:曲线()y f x =是中心对称图形;(3)若()2f x >-当且仅当12x <<,求b 的取值范围.【详解】(1)0b =时,()ln 2xf x ax x=+-,其中()0,2x ∈,则()()()112,0,222f x a x x x x x =+=+∈--',因为()22212x x x x -+⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭,当且仅当1x =时等号成立,故()min 2f x a '=+,而()0f x '≥成立,故20a +≥即2a ≥-,所以a 的最小值为2-.,(2)()()3ln12x f x ax b x x=++--的定义域为()0,2,设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点,(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n --,因为(),P m n 在()y f x =图象上,故()3ln 12m n am b m m=++--,而()()()()3322ln221ln 122m m f m a m b m am b m a m m -⎡⎤-=+-+--=-++-+⎢⎥-⎣⎦,2n a =-+,所以()2,2Q m a n --也在()y f x =图象上,由P 的任意性可得()y f x =图象为中心对称图形,且对称中心为()1,a .(3)因为()2f x >-当且仅当12x <<,故1x =为()2f x =-的一个解,所以()12f =-即2a =-,先考虑12x <<时,()2f x >-恒成立.此时()2f x >-即为()()3ln 21102x x b x x+-+->-在()1,2上恒成立,设()10,1t x =-∈,则31ln201t t bt t +-+>-在()0,1上恒成立,设()()31ln 2,0,11t g t t bt t t+=-+∈-,则()()2222232322311t bt b g t bt t t -++=-+=-'-,当0b ≥,232332320bt b b b -++≥-++=>,故()0g t '>恒成立,故()g t 在()0,1上为增函数,故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当203b -≤<时,2323230bt b b -++≥+≥,故()0g t '≥恒成立,故()g t 在()0,1上为增函数,故()()00g t g >=即()2f x >-在()1,2上恒成立.当23b <-,则当01t <<时,()0g t '<故在⎛ ⎝上()g t 为减函数,故()()00g t g <=,不合题意,舍;综上,()2f x >-在()1,2上恒成立时23b ≥-.而当23b ≥-时,而23b ≥-时,由上述过程可得()g t 在()0,1递增,故()0g t >的解为()0,1,即()2f x >-的解为()1,2.综上,23b ≥-.17.(2024年新课标全国Ⅱ卷)已知函数3()e x f x ax a =--.(1)当1a =时,求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程;(2)若()f x 有极小值,且极小值小于0,求a 的取值范围.【详解】(1)当1a =时,则()e 1x f x x =--,()e 1x f x '=-,可得(1)e 2f =-,(1)e 1f '=-,即切点坐标为()1,e 2-,切线斜率e 1k =-,所以切线方程为()()()e 2e 11y x --=--,即()e 110x y ---=.(2)解法一:因为()f x 的定义域为R ,且()e '=-x f x a ,若0a ≤,则()0f x '≥对任意x ∈R 恒成立,可知()f x 在R 上单调递增,无极值,不合题意;若0a >,令()0f x '>,解得ln x a >;令()0f x '<,解得ln x a <;可知()f x 在(),ln a -∞内单调递减,在()ln ,a +∞内单调递增,则()f x 有极小值()3ln ln f a a a a a =--,无极大值,由题意可得:()3ln ln 0f a a a a a =--<,即2ln 10a a +->,构建()2ln 1,0g a a a a =+->,则()120g a a a'=+>,可知()g a 在()0,∞+内单调递增,且()10g =,不等式2ln 10a a +->等价于()()1g a g >,解得1a >,所以a 的取值范围为()1,+∞;解法二:因为()f x 的定义域为R ,且()e '=-x f x a ,若()f x 有极小值,则()e '=-x f x a 有零点,令()e 0x f x a '=-=,可得e x a =,可知e x y =与y a =有交点,则0a >,若0a >,令()0f x '>,解得ln x a >;令()0f x '<,解得ln x a <;。
历年高考数学试题及答案word
历年高考数学试题及答案word 以下是历年高考数学试题及答案的格式示例:
一、选择题(每题4分,共40分)
1. 若函数f(x)=x^2+2x+1,则f(-1)的值为()
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答案:B
2. 已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1,求a3的值为()
A. 5
B. 7
C. 9
D. 11
答案:A
二、填空题(每题4分,共20分)
3. 函数y=x^3-3x在区间(-1,1)上的单调性为()。
答案:单调递减
4. 已知向量a=(1,2),b=(2,-1),则|a+b|的值为()。
答案:√5
三、解答题(共40分)
5. 已知函数f(x)=x^2-4x+3,求函数的零点。
答案:函数的零点为x=1和x=3。
6. 已知直线l的方程为y=2x+1,求直线l与x轴的交点坐标。
答案:直线l与x轴的交点坐标为(-1/2, 0)。
结束语:以上为历年高考数学试题及答案的示例,希望对同学们的复
习有所帮助。
在实际考试中,题目的难度和类型可能会有所不同,但
解题的基本方法和思路是相通的。
建议同学们在复习过程中多做练习,掌握各种题型的解题技巧,提高解题速度和准确率。
同时,也要注意
培养良好的考试心态,保持冷静和自信,相信自己能够取得理想的成绩。
近三年高考数学试卷
近三年高考数学试卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 设集合A = {xx^2-3x + 2 = 0},B={x∈ Z1≤slant x - 1≤slant 2},则A∩ B = ( )A. {1, 2}B. {1}C. {2}D. varnothing2. 复数z=(2i)/(1 - i)(i为虚数单位)的共轭复数¯z等于()A. -1 - iB. -1 + iC. 1 - iD. 1 + i3. 已知向量→a=(1, m),→b=(3, -2),且(→a+→b)⊥→b,则m = ( )A. 8B. 6C. - 6D. -84. 函数y = log_2(x^2-2x - 3)的单调递增区间是()B. (3,+∞)C. (-∞,1)D. (-∞,-1)5. 已知sinα=(3)/(5),α∈((π)/(2),π),则tan(α+(π)/(4)) = ( )A. (1)/(7)B. -(1)/(7)C. 7D. -76. 从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都有,则不同的组队方案共有()A. 70种。
B. 80种。
C. 100种。
D. 140种。
7. 执行如图所示的程序框图,如果输入的t∈[-1,3],则输出的s属于()(此处可插入程序框图的简单描述或者直接给出图,如果是考试场景下则可以在试卷上准确画出程序框图)A. [-3,4]B. [-5,2]D. [-2,5]8. 已知双曲线frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2} = 1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=√(3)x,且双曲线过点(√(2),√(6)),则双曲线的实轴长为()A. 2B. 2√(2)C. 1D. √(2)9. 若a,b∈ R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是()A. a^2+b^2>2abB. a + b≥slant2√(ab)C. (1)/(a)+(1)/(b)>(2)/(√(ab))D. (b)/(a)+(a)/(b)≥slant210. 已知函数f(x)=sin(ω x+φ)(ω>0,φ<(π)/(2))的最小正周期为π,且其图象向右平移(π)/(6)个单位后得到函数g(x)=sinω x的图象,则φ = ( )A. (π)/(6)B. (π)/(3)C. -(π)/(6)D. -(π)/(3)11. 已知三棱柱ABC - A_1B_1C_1的侧棱与底面垂直,体积为(9)/(4),底面是边长为√(3)的正三角形。
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(解三角形大题)汇编(附答案)
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(解三角形大题)汇编考点01 求面积的值及范围或最值1.(2024∙北京∙高考真题)在ABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,A ∠为钝角,7a =,sin 2cos B B =.(1)求A ∠;(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得ABC 存在,求ABC 的面积.条件①:7b =;条件②:13cos 14B =;条件③:sin c A =注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.2.(2023∙全国甲卷∙高考真题)记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2222cos b c aA+-=.(1)求bc ; (2)若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=+,求ABC 面积.3.(2023∙全国乙卷∙高考真题)在ABC 中,已知120BAC ∠=︒,2AB =,1AC =. (1)求sin ABC ∠;(2)若D 为BC 上一点,且90BAD ∠=︒,求ADC △的面积.4.(2022∙浙江∙高考真题)在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知34,cos 5a C ==. (1)求sin A 的值;(2)若11b =,求ABC 的面积.考点02 求边长、周长的值及范围或最值1.(2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)记ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin 2A A =. (1)求A .(2)若2a =sin sin 2C c B =,求ABC 的周长.2.(2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin C B =,222a b c +-=(1)求B ;(2)若ABC 的面积为3c .3.(2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知ABCD 为BC 中点,且1AD =.(1)若π3ADC ∠=,求tan B ; (2)若228b c +=,求,b c .4.(2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)记ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,分别以a ,b ,c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ,已知123123S S S B -+==. (1)求ABC 的面积;(2)若sin sin 3A C =,求b . 5.(2022∙全国乙卷∙高考真题)记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-.(1)证明:2222a b c =+; (2)若255,cos 31a A ==,求ABC 的周长.6.(2022∙北京∙高考真题)在ABC 中,sin 2C C =. (1)求C ∠;(2)若6b =,且ABC 的面积为ABC 的周长.7.(2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)记ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++.(1)若23C π=,求B ; (2)求222a b c +的最小值.8.(2020∙全国∙高考真题)ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知B =150°.(1)若a,b ,求ABC 的面积;(2)若sin AC C . 9.(2020∙全国∙高考真题)ABC 中,sin 2A -sin 2B -sin 2C =sin B sin .C(1)求A ;(2)若BC =3,求ABC 周长的最大值.考点03 求角和三角函数的值及范围或最值1.(2024∙天津∙高考真题)在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知92cos 5163a Bbc ===,,. (1)求a ; (2)求sin A ;(3)求()cos 2B A -的值.2.(2023∙天津∙高考真题)在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知2,120a b A ==∠= . (1)求sin B 的值; (2)求c 的值; (3)求()sin B C -的值.3.(2022∙天津∙高考真题)在ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c.已知12,cos 4a b c A ===-.(1)求c 的值; (2)求sin B 的值; (3)求sin(2)A B -的值.4.(2021∙天津∙高考真题)在ABC ,角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知sin :sin :sin 2A B C =b =. (I )求a 的值; (II )求cos C 的值;(III )求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.5.(2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)记ABC 是内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知2b ac =,点D 在边AC 上,sin sin BD ABC a C ∠=. (1)证明:BD b =;(2)若2AD DC =,求cos ABC ∠.6.(2020∙天津∙高考真题)在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知 5,a b c === (Ⅰ)求角C 的大小; (Ⅱ)求sin A 的值;(Ⅲ)求sin 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.7.(2020∙浙江∙高考真题)在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2sin 0b A =. (I )求角B 的大小;(II )求cos A +cos B +cos C 的取值范围.8.(2020∙江苏∙高考真题)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知3,45a c B ==︒.(1)求sin C 的值;(2)在边BC 上取一点D ,使得4cos 5ADC ∠=-,求tan DAC ∠的值.考点04 求三角形的高、中线、角平分线及其他线段长1.(2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)已知在ABC 中,()3,2sin sin A B C A C B +=-=. (1)求sin A ;(2)设5AB =,求AB 边上的高.考点05 三角形中的证明问题1.(2022∙全国乙卷∙高考真题)记ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-.(1)若2A B =,求C ; (2)证明:2222a b c =+2.(2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)记ABC 是内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知2b ac =,点D 在边AC 上,sin sin BD ABC a C ∠=. (1)证明:BD b =;(2)若2AD DC =,求cos ABC ∠.参考答案考点01 求面积的值及范围或最值1.(2024∙北京∙高考真题)在ABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,A ∠为钝角,7a =,sin 2cos B B =.(1)求A ∠;(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得ABC 存在,求ABC 的面积. 条件①:7b =;条件②:13cos 14B =;条件③:sin c A =注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分. 【答案】(1)2π3A =; (2)选择①无解;选择②和③△ABC【详细分析】(1)利用正弦定理即可求出答案; (2)选择①,利用正弦定理得3B π=,结合(1)问答案即可排除;选择②,首先求出sin 14B =,再代入式子得3b =,再利用两角和的正弦公式即可求出sin C ,最后利用三角形面积公式即可;选择③,首先得到5c =,再利用正弦定理得到sin 14C =,再利用两角和的正弦公式即可求出sin B ,最后利用三角形面积公式即可;【答案详解】(1)由题意得2sin cos cos B B B =,因为A 为钝角, 则cos 0B ≠,则2sin 7B b =,则7sin sin sin b a BA A ===,解得sin 2A =, 因为A 为钝角,则2π3A =. (2)选择①7b =,则sin 7B ===2π3A =,则B 为锐角,则3B π=, 此时πA B +=,不合题意,舍弃;选择②13cos 14B =,因为B为三角形内角,则sin 14B ==,则代入2sin 7B =得2147⨯=,解得3b =,()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭131********⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭,则11sin 7322ABC S ab C ==⨯⨯=选择③sin c A =2c ⨯=5c =,则由正弦定理得sin sin a c A C =5sin C ,解得sin C =,因为C 为三角形内角,则11cos 14C ==, 则()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333B A C C C C ⎛⎫=+=+=+⎪⎝⎭11121421414⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭,则11sin 7522144ABC S ac B ==⨯⨯⨯=△ 2.(2023∙全国甲卷∙高考真题)记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2222cos b c a A+-=.(1)求bc ; (2)若cos cos 1cos cos a B b A ba Bb A c--=+,求ABC 面积.【答案】(1)1(2)4【详细分析】(1)根据余弦定理即可解出;(2)由(1)可知,只需求出sin A 即可得到三角形面积,对等式恒等变换,即可解出.【答案详解】(1)因为2222cos a b c bc A =+-,所以2222cos 22cos cos b c a bc Abc A A+-===,解得:1bc =.(2)由正弦定理可得cos cos sin cos sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin a B b A b A B B A Ba Bb Ac A B B A C---=-++()()()()()sin sin sin sin 1sin sin sin A B A B B BA B A B A B ---=-==+++,变形可得:()()sin sin sin A B A B B --+=,即2cos sin sin A B B -=,而0sin 1B <≤,所以1cos 2A =-,又0πA <<,所以sin 2A =,故ABC的面积为11sin 122ABC S bc A ==⨯△.3.(2023∙全国乙卷∙高考真题)在ABC 中,已知120BAC ∠=︒,2AB =,1AC =. (1)求sin ABC ∠;(2)若D 为BC 上一点,且90BAD ∠=︒,求ADC △的面积. 【答案】(1)14;【详细分析】(1)首先由余弦定理求得边长BC的值为BCcos 14B =,最后由同角三角函数基本关系可得sin 14B =; (2)由题意可得4ABDACD S S =△△,则15ACD ABC S S =△△,据此即可求得ADC △的面积. 【答案详解】(1)由余弦定理可得:22222cos BC a b c bc A ==+-41221cos1207=+-⨯⨯⨯= ,则BC =222cos 214a c b B ac +-===,sin ABC ∠==(2)由三角形面积公式可得1sin 90241sin 302ABD ACDAB AD S S AC AD ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯ △△,则11121sin12055210ACD ABC S S ⎛⎫==⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭△△. 4.(2022∙浙江∙高考真题)在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.已知34,cos 5a C ==. (1)求sin A 的值;(2)若11b =,求ABC 的面积. 【答案】;(2)22.【详细分析】(1)先由平方关系求出sin C ,再根据正弦定理即可解出;(2)根据余弦定理的推论222cos 2a b c C ab +-=以及4a =可解出a ,即可由三角形面积公式in 12s S ab C =求出面积.【答案详解】(1)由于3cos 5C =, 0πC <<,则4sin 5C =.因为4a =,由正弦定理知4sin A C =,则sin 45A C ==. (2)因为4a ,由余弦定理,得2222221612111355cos 22225a a aa b c C ab a a +--+-====, 即26550a a +-=,解得5a =,而4sin 5C =,11b =, 所以ABC 的面积114sin 51122225S ab C ==⨯⨯⨯=.5.(2019∙全国∙高考真题)ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知sin sin 2A Ca b A +=. (1)求B ;(2)若ABC ∆为锐角三角形,且1c =,求ABC ∆面积的取值范围. 【答案】(1) 3B π=;(2). 【详细分析】(1)利用正弦定理化简题中等式,得到关于B 的三角方程,最后根据A,B,C 均为三角形内角解得3B π=.(2)根据三角形面积公式1sin 2ABC S ac B =⋅ ,又根据正弦定理和1c =得到ABC S 关于C 的函数,由于ABC 是锐角三角形,所以利用三个内角都小于2π来计算C 的定义域,最后求解()ABC S C 的值域.【答案详解】(1)[方法一]【最优解:利用三角形内角和为π结合正弦定理求角度】 由三角形的内角和定理得222A C Bπ+=-, 此时sinsin 2A C a b A +=就变为sin sin 22B a b A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 由诱导公式得sin cos 222B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,所以cos sin 2B a b A =.在ABC 中,由正弦定理知2sin ,2sin a R A b R B ==, 此时就有sin cossin sin 2BA AB =,即cos sin 2B B =,再由二倍角的正弦公式得cos2sin cos 222B B B=,解得3B π=. [方法二]【利用正弦定理解方程求得cos B 的值可得B ∠的值】 由解法1得sin sin 2A CB +=, 两边平方得22sinsin 2A CB +=,即21cos()sin 2A CB -+=. 又180A BC ++=︒,即cos()cos A C B +=-,所以21cos 2sin B B +=, 进一步整理得22cos cos 10B B +-=, 解得1cos 2B =,因此3B π=. [方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为π求得,,A BC 的比例关系】 根据题意sinsin 2A Ca b A +=,由正弦定理得sin sin sin sin 2A C A B A +=, 因为0A π<<,故sin 0A >, 消去sin A 得sin sin 2A CB +=. 0<B π<,02A C π+<<,因为故2A C B +=或者2A CB π++=, 而根据题意A BC π++=,故2A C B π++=不成立,所以2A CB +=, 又因为A BC π++=,代入得3B π=,所以3B π=.(2)[方法一]【最优解:利用锐角三角形求得C 的范围,然后由面积函数求面积的取值范围】 因为ABC 是锐角三角形,又3B π=,所以,6262A C ππππ<<<<, 则1sin 2ABCS ac B ==V 22sin 1sin 3sin 24sin 4sin C a A c B c C Cπ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅⋅=⋅=⋅=22sincos cos sin 333sin 8tan C CC C ππ-=. 因为,62C ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以tan C ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭,则1tan C ∈,从而ABC S ⎝⎭∈ ,故ABC面积的取值范围是82⎫⎪⎪⎝⎭. [方法二]【由题意求得边a 的取值范围,然后结合面积公式求面积的取值范围】 由题设及(1)知ABC的面积4ABC S a =△. 因为ABC 为锐角三角形,且1,3c B π==,所以22221cos 0,21cos 0,2b a A bb a C ab ⎧+-=>⎪⎪⎨+-⎪=>⎪⎩即22221010.b a b a ⎧+->⎨+->⎩, 又由余弦定理得221b a a =+-,所以220,20,a a a ->⎧⎨->⎩即122a <<,所以82ABC S << ,故ABC面积的取值范围是⎝⎭. [方法三]【数形结合,利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】如图,在ABC 中,过点A 作1AC BC ⊥,垂足为1C ,作2AC AB ⊥与BC 交于点2C . 由题设及(1)知ABC的面积ABC S =△,因为ABC 为锐角三角形,且1,3c B π==,所以点C 位于在线段12C C 上且不含端点,从而cos cos cc B a B⋅<<, 即1cos3cos 3a ππ<<,即122a <<,所以82ABC S << , 故ABC面积的取值范围是82⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.【整体点评】(1)方法一:正弦定理是解三角形的核心定理,与三角形内角和相结合是常用的方法; 方法二:方程思想是解题的关键,解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值; 方法三:由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系,从而确定角的大小. (2)方法一:由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法;方法二:将面积问题转化为边长的问题,然后求解边长的范围可得面积的范围;方法三:极限思想和数形结合体现了思维的灵活性,要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用.6.(2017∙全国∙高考真题)ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c已知sin 0,2A A a b +===.(1)求角A 和边长c ;(2)设D 为BC 边上一点,且AD AC ⊥,求ABD ∆的面积. 【答案】(1)23π,4;(2【答案详解】试题详细分析:(1)先根据同角的三角函数的关系求出tan A = 从而可得A 的值,再根据余弦定理列方程即可求出边长c 的值;(2)先根据余弦定理求出cos C ,求出CD 的长,可得12CD BC =,从而得到12ABD ABC S S ∆∆=,进而可得结果. 试题解析:(1)sin 0,tan A A A =∴= 20,3A A ππ<<∴=,由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-,即21284222c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭,即22240c c +-=,解得6c =-(舍去)或4c =,故4c =. (2)2222cos c b a ab C =+-Q,1628422cos C ∴=+-⨯⨯,2cos 2cos AC C CD C ∴=∴===12CD BC ∴=,1142222ABC S AB AC sin BAC ∆∴=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=12ABD ABC S S ∆∆∴==7.(2016∙全国∙高考真题)ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=. (1)求角C ;(2)若c =2ABC S ∆=,求ABC ∆的周长. 【答案】(1)3C π=(2)5【答案详解】试题详细分析:(1)根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=,利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ;(2)根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =,由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析:(1)由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C += 12cos sin()sin cos 23π∴+=⇒=⇒=C A B C C C (2)11sin 6222∆=⇒=⇒=ABC S ab C ab ab又2222cos +-= a b ab C c2213a b ∴+=,2()255∴+=⇒+=a b a bABC ∆∴的周长为5考点:正余弦定理解三角形.8.(2015∙浙江∙高考真题)在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别为,,a b c .已知tan()24A π+=.(1)求2sin 2sin 2cos AA A+的值;(2)若,34B a π==,求ABC ∆的面积. 【答案】(1)25;(2)9 【答案详解】(1)利用两角和与差的正切公式,得到1tan 3A =,利用同角三角函数基本函数关系式得到结论;(2)利用正弦定理得到边b 的值,根据三角形,两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积.试题解析:(1)由tan()24A π+=,得1tan 3A =,所以22sin 22sin cos 2tan 2sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15A A A A A A A A A A ===+++.(2)由1tan 3A =可得,sin A A ==3,4a B π==,由正弦定理知:b =又sin sin()sin cos cos sin 5C A B A B A B =+=+=,所以11sin 3922ABC S ab C ∆==⨯⨯=. 考点:1.同角三角函数基本关系式;2.正弦定理;3.三角形面积公式.9.(2015∙全国∙高考真题)已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边, 2sin 2sin sin B A C =. (1)若a b =,求cos ;B(2)若90B = ,且a =求ABC ∆的面积. 【答案】(1)14;(2)1 【答案详解】试题详细分析:(1)由2sin 2sin sin B A C =,结合正弦定理可得:22b ac =,再利用余弦定理即可得出cos ;B(2)利用(1)及勾股定理可得c ,再利用三角形面积计算公式即可得出 试题解析:(1)由题设及正弦定理可得22b ac = 又a b =,可得2,2b c a c ==由余弦定理可得2221cos 24a c b B ac +-==(2)由(1)知22b ac =因为90B = ,由勾股定理得222a c b += 故222a c ac +=,得c a == 所以的面积为1考点:正弦定理,余弦定理解三角形10.(2015∙山东∙高考真题)设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(Ⅰ)求()f x 的单调区间;(Ⅱ)在锐角ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.【答案】(Ⅰ)单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦;单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(Ⅱ)ABC ∆【答案详解】试题详细分析:(Ⅰ)首先利用二倍角公式化简函数()f x 的解析式,再利用正弦函数的单调性求其单调区间;(Ⅱ)首先由02A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭结合(Ⅰ)的结果,确定角A 的值,然后结合余弦定理求出三角形ABC ∆面积的最大值. 试题解析:解:(Ⅰ)由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-sin 21sin 21sin 2222x x x -=-=- 由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 可得,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 可得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦;单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ (Ⅱ)由1sin 0,22A f A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭得1sin 2A =由题意知A 为锐角,所以cos 2A =由余弦定理:2222cos a b c bc A =+-可得:2212b c bc =+≥即:2bc ≤ 当且仅当b c =时等号成立.因此1sin 2bc A ≤所以ABC ∆面积的最大值为24考点:1、诱导公式;2、三角函数的二倍角公式;3、余弦定理;4、基本不等式.考点02 求边长、周长的值及范围或最值1.(2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)记ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin 2A A =. (1)求A .(2)若2a =sin sin 2C c B =,求ABC 的周长. 【答案】(1)π6A =(2)2+【详细分析】(1)根据辅助角公式对条件sin 2A A =进行化简处理即可求解,常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组,亦可利用导数,向量数量积公式,万能公式解决; (2)先根据正弦定理边角互化算出B ,然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长. 【答案详解】(1)方法一:常规方法(辅助角公式)由sin 2A A =可得1sin 12A A =,即sin()1π3A +=,由于ππ4π(0,π)(,333A A ∈⇒+∈,故ππ32A +=,解得π6A = 方法二:常规方法(同角三角函数的基本关系)由sin 2A A =,又22sin cos 1A A +=,消去sin A 得到:224cos 30(2cos 0A A A -+=⇔=,解得cos A = 又(0,π)A ∈,故π6A =方法三:利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x =<<,则π()2sin (0π)3f x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭,显然π6x =时,max ()2f x =,注意到π()sin 22sin(3f A A A A =+==+,max ()()f x f A =,在开区间(0,π)上取到最大值,于是x A =必定是极值点,即()0cos f A A A '==,即tan A = 又(0,π)A ∈,故π6A =方法四:利用向量数量积公式(柯西不等式)设(sin ,cos )a b A A == ,由题意,sin 2a b A A ⋅==,根据向量的数量积公式,cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅==, 则2cos ,2cos ,1a b a b =⇔= ,此时,0a b =,即,a b 同向共线,根据向量共线条件,1cos sin tan 3A A A ⋅=⇔=, 又(0,π)A ∈,故π6A =方法五:利用万能公式求解设tan 2A t =,根据万能公式,22sin 21t A A t ==+整理可得,2222(2(20((2t t t -+==-,解得tan22A t ==22tan 13t A t ==-, 又(0,π)A ∈,故π6A =(2)由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=,又,(0,π)B C ∈,则sin sin 0B C ≠,进而cos B =π4B =,于是7ππ12C A B =--=,sin sin(π)sin()sin cos sin cos 4C A B A B A B B A =--=+=+=, 由正弦定理可得,sin sin sin a b cA B C ==,即2ππ7πsin sin sin6412b c==,解得b c == 故ABC的周长为2+2.(2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c,已知sin C B =,222a b c +-=(1)求B ;(2)若ABC的面积为3c . 【答案】(1)π3B =(2)【详细分析】(1)由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C,最后结合已知sin C B =得cos B 的值即可;(2)首先求出,,A B C ,然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示,结合三角形面积公式即可列方程求解.【答案详解】(1)由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=,对比已知222a b c +-=,可得222cos 222a b c C ab ab +-===, 因为()0,πC ∈,所以sin 0C >,从而sin 2C ===,又因为sin C B =,即1cos 2B =, 注意到()0,πB ∈, 所以π3B =. (2)由(1)可得π3B =,cos 2C =,()0,πC ∈,从而π4C =,ππ5ππ3412A =--=,而5πππ1sin sin sin 124622224A ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c==,从而1,4222a cbc +====, 由三角形面积公式可知,ABC 的面积可表示为21113sin 222228ABC S ab C c c ==⋅⋅= , 由已知ABC的面积为323=所以c =3.(2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知ABCD 为BC 中点,且1AD =. (1)若π3ADC ∠=,求tan B ; (2)若228b c +=,求,b c . 【答案】(2)2b c ==.【详细分析】(1)方法1,利用三角形面积公式求出a ,再利用余弦定理求解作答;方法2,利用三角形面积公式求出a ,作出BC 边上的高,利用直角三角形求解作答.(2)方法1,利用余弦定理求出a ,再利用三角形面积公式求出ADC ∠即可求解作答;方法2,利用向量运算律建立关系求出a ,再利用三角形面积公式求出ADC ∠即可求解作答. 【答案详解】(1)方法1:在ABC 中,因为D 为BC 中点,π3ADC ∠=,1AD =,则1111sin 12222ADC ABC S AD DC ADC a S =⋅∠=⨯⨯===,解得4a =, 在ABD △中,2π3ADB ∠=,由余弦定理得2222cos c BD AD BD AD ADB =+-⋅∠, 即2141221()72c =+-⨯⨯⨯-=,解得c =cos 14B ==,sin B ===,所以sin tan cos 5B B B ==. 方法2:在ABC 中,因为D 为BC 中点,π3ADC ∠=,1AD =,则1111sin 12222ADC ABC S AD DC ADC a S =⋅∠=⨯⨯===,解得4a =, 在ACD 中,由余弦定理得2222cos b CD AD CD AD ADC =+-⋅∠,即214122132b =+-⨯⨯⨯=,解得b =,有2224AC AD CD +==,则π2CAD ∠=,π6C =,过A 作AE BC ⊥于E,于是3cos ,sin 2CE AC C AE AC C ====,52BE =,所以tan 5AE B BE ==. (2)方法1:在ABD △与ACD 中,由余弦定理得222211121cos(π)4211121cos 42c a a ADC b a a ADC ⎧=+-⨯⨯⨯-∠⎪⎪⎨⎪=+-⨯⨯⨯∠⎪⎩,整理得222122a b c +=+,而228b c +=,则a =,又11sin 22ADC S ADC =⨯∠=,解得sin 1ADC ∠=,而0πADC <∠<,于是π2ADC ∠=,所以2b c ===.方法2:在ABC 中,因为D 为BC 中点,则2AD AB AC =+ ,又CB AB AC =-,于是2222224()()2()16AD CB AB AC AB AC b c +=++-=+= ,即2416a +=,解得a =,又11sin 2ADC S ADC =⨯∠ sin 1ADC ∠=,而0πADC <∠<,于是π2ADC ∠=,所以2b c ===.4.(2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题)记ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,分别以a ,b ,c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S,已知123123S S S B -+==. (1)求ABC 的面积; (2)若sin sin 3A C =,求b . 【答案】(2)12【详细分析】(1)先表示出123,,S S S,再由1232S S S -+=求得2222a c b +-=,结合余弦定理及平方关系求得ac ,再由面积公式求解即可;(2)由正弦定理得22sin sin sin b acB AC =,即可求解.【答案详解】(1)由题意得22221231,,22444S a a S b S c =⋅⋅===,则222123S S S -+==, 即2222a c b +-=,由余弦定理得222cos 2a c b B ac +-=,整理得cos 1ac B =,则cos 0B >,又1sin 3B =,则cos 3B ==,1cos 4ac B ==,则1sin 28ABC S ac B == ; (2)由正弦定理得:sin sin sin b a c B A C ==,则229sin sin sin sin sin 43b ac ac B A C A C =⋅==,则3sin 2b B =,31sin 22b B ==. 5.(2022∙全国乙卷∙高考真题)记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-.(1)证明:2222a b c =+; (2)若255,cos 31a A ==,求ABC 的周长. 【答案】(1)见解析 (2)14【详细分析】(1)利用两角差的正弦公式化简,再根据正弦定理和余弦定理化角为边,从而即可得证; (2)根据(1)的结论结合余弦定理求出bc ,从而可求得b c +,即可得解. 【答案详解】(1)证明:因为()()sin sin sin sin C A B B C A -=-, 所以sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C -=-,所以2222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab +-+-+-⋅-⋅=-⋅, 即()22222222222a cb a bc b c a +-+--+-=-, 所以2222a b c =+;(2)解:因为255,cos 31a A ==, 由(1)得2250bc +=,由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-, 则50502531bc -=, 所以312bc =, 故()2222503181b c b c bc +=++=+=, 所以9b c +=,所以ABC 的周长为14a b c ++=.6.(2022∙北京∙高考真题)在ABC 中,sin 2C C =. (1)求C ∠;(2)若6b =,且ABC 的面积为ABC 的周长. 【答案】(1)6π(2)6+【详细分析】(1)利用二倍角的正弦公式化简可得cos C 的值,结合角C 的取值范围可求得角C 的值; (2)利用三角形的面积公式可求得a 的值,由余弦定理可求得c 的值,即可求得ABC 的周长.【答案详解】(1)解:因为()0,C π∈,则sin 0C >2sin cos C C C =,可得cos 2C =,因此,6C π=.(2)解:由三角形的面积公式可得13sin 22ABC S ab C a === ,解得a =.由余弦定理可得2222cos 48362612c a b ab C =+-=+-⨯=,c ∴=所以,ABC 的周长为6a b c ++=.7.(2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题)记ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++.(1)若23C π=,求B ; (2)求222a b c +的最小值.【答案】(1)π6;(2)5.【详细分析】(1)根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cos sin 21sin 1cos2A BA B=++化成()cos sin A B B +=,再结合π02B <<,即可求出; (2)由(1)知,π2C B =+,π22A B =-,再利用正弦定理以及二倍角公式将222a b c +化成2224cos 5cos B B +-,然后利用基本不等式即可解出. 【答案详解】(1)因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B BA B B B===++,即()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A BC =-=+=-=, 而π02B <<,所以π6B =;(2)由(1)知,sin cos 0B C =->,所以πππ,022C B <<<<, 而πsin cos sin 2B C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,所以π2C B =+,即有π22A B =-,所以30,,,424B C πππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B Bc C B +++-==()2222222cos 11cos 24cos 555cos cos B BB BB-+-==+-≥=.当且仅当2cos B =222a b c +的最小值为5. 8.(2020∙全国∙高考真题)ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知B =150°.(1)若a,b ,求ABC 的面积;(2)若sin AC =2,求C . 【答案】(1(2)15︒.【详细分析】(1)已知角B 和b 边,结合,a c 关系,由余弦定理建立c 的方程,求解得出,a c ,利用面积公式,即可得出结论;(2)方法一 :将30A C =︒-代入已知等式,由两角差的正弦和辅助角公式,化简得出有关C 角的三角函数值,结合C 的范围,即可求解.【答案详解】(1)由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-⋅︒=,2,c a ABC ∴==∴△的面积1sin 2S ac B == (2)[方法一]:多角换一角 30A C +=︒ ,sin sin(30)A C C C ∴=︒-1cos sin(30)22C C C ==+︒=, 030,303060C C ︒<<︒∴︒<+︒<︒ ,3045,15C C ∴+︒=︒∴=︒. [方法二]:正弦角化边由正弦定理及150B =︒得22sin sin sin ====a c bR b A C B.故sin ,sin 22==a c A C b b .由sin 2A C =,得a +=.又由余弦定理得22222cos =+-⋅=+b a c ac B a 2+c ,所以()222()2=++a a c ,解得a c =.所以15=︒C .【整体点评】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形,熟记公式是解题的关键,考查计算求解能力,属于基础题.其中第二问法一主要考查三角恒等变换解三角形,法二则是通过余弦定理找到三边的关系,进而求角.9.(2020∙全国∙高考真题)ABC 中,sin 2A -sin 2B -sin 2C =sin B sin .C(1)求A ;(2)若BC =3,求ABC 周长的最大值.【答案】(1)23π;(2)3+【详细分析】(1)利用正弦定理角化边,配凑出cos A 的形式,进而求得A ;(2)方法一:利用余弦定理可得到()29AC AB AC AB +-⋅=,利用基本不等式可求得AC AB +的最大值,进而得到结果.【答案详解】(1)由正弦定理可得:222BC AC AB AC AB --=⋅,2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅,()0,A π∈ ,23A π∴=. (2)[方法一]【最优解】:余弦+不等式由余弦定理得:2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅229AC AB AC AB =++⋅=, 即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭(当且仅当AC AB =时取等号), ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭,解得:AC AB +≤AC AB =时取等号),ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为3+[方法二]:正弦化角(通性通法)设,66ππαα=+=-B C ,则66ππα-<<,根据正弦定理可知sin sin sin a b cA B C===,所以sin )b c B C +=+sin sin 66ππαα⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦α=≤,当且仅当0α=,即6B C π==时,等号成立.此时ABC周长的最大值为3+ [方法三]:余弦与三角换元结合在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .由余弦定理得229b c bc =++,即2213924⎛⎫++= ⎪⎝⎭b c c .令13sin ,20,2b c c θπθθ⎧+=⎪⎛⎫∈⎨ ⎪⎝⎭⎪=⎩,得3sin b c θθ+=6πθ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭,易知当6C π=时,max ()b c +=所以ABC周长的最大值为3+【整体点评】本题考查解三角形的相关知识,涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题;方法一:求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中,结合基本不等式构造不等关系求得最值. 方法二采用正弦定理边化角,利用三角函数的范围进行求解最值,如果三角形是锐角三角形或有限制条件的,则采用此法解决.方法三巧妙利用三角换元,实现边化角,进而转化为正弦函数求最值问题.10.(2018∙全国∙高考真题)在平面四边形ABCD 中,90ADC ∠= ,45A ∠= ,2AB =,5BD =.(1)求cos ADB ∠; (2)若DC =,求BC . 【答案】(1)5;(2)5. 【详细分析】(1)方法一:根据正弦定理得到sin sin BD AB A ADB =∠∠,求得sin 5ADB ∠=,结合角的范围,利用同角三角函数关系式,求得cos 5ADB ∠==;(2)方法一:根据第一问的结论可以求得cos sin 5BDC ADB ∠=∠=,在BCD △中,根据余弦定理即可求出.【答案详解】(1)[方法1]:正弦定理+平方关系在ABD △中,由正弦定理得sin sin BD AB A ADB =∠∠,代入数值并解得sin 5ADB ∠=.又因为BD AB >,所以A ADB ∠>∠,即ADB ∠为锐角,所以cos 5ADB ∠=. [方法2]:余弦定理在ABD △中,2222cos 45BD AB AD AB AD =+-⋅ ,即2254222AD AD =+-⨯⨯⨯,解得:AD =所以,2254cos5ADB +-∠==. [方法3]:【最优解】利用平面几何知识如图,过B 点作BE AD ⊥,垂足为E ,BF CD ⊥,垂足为F .在Rt AEB 中,因为45A ∠=︒,=2AB ,所以AE BE ==.在Rt BED △中,因为5BD =,则DE ===.所以cos ADB ∠=[方法4]:坐标法以D 为坐标原点,DC 为x 轴,DA为y 轴正方向,建立平面直角坐标系(图略).设BDC α∠=,则(5cos ,5sin )B αα.因为45A ∠=︒,所以(0,5sin A α.从而2AB ==,又α是锐角,所以cos 5α=,cos sin ADB α∠===(2)[方法1]:【通性通法】余弦定理在BCD △,由(1)得,cos 5ADB ∠=,()2222cos 90BC BD DC BD DC ADB︒=+-⋅-∠2252525ADB =+-⨯⨯∠=,所以=5BC .[方法2]:【最优解】利用平面几何知识作BF DC ⊥,垂足为F ,易求,BF =FC =,由勾股定理得=5BC .【整体点评】(1)方法一:根据题目条件已知两边和一边对角,利用正弦定理和平方关系解三角形,属于通性通法;方法二:根据题目条件已知两边和一边对角,利用余弦定理解三角形,也属于通性通法; 方法三:根据题意利用几何知识,解直角三角形,简单易算.方法四:建立坐标系,通过两点间的距离公式,将几何问题转化为代数问题,这是解析思想的体现. (2)方法一:已知两边及夹角,利用余弦定理解三角形,是通性通法. 方法二:利用几何知识,解直角三角形,简单易算.11.(2017∙全国∙高考真题)△ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、,已知△ABC 的面积为23sin a A(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求△ABC 的周长.【答案】(1)2sin sin 3B C =(2) 3【答案详解】试题详细分析:(1)由三角形面积公式建立等式21sin 23sin a ac B A=,再利用正弦定理将边化成角,从而得出sin sin B C 的值;(2)由1cos cos 6B C =和2sin sin 3B C =计算出1cos()2B C +=-,从而求出角A ,根据题设和余弦定理可以求出bc 和b c +的值,从而求出ABC 的周长为3+试题解析:(1)由题设得21sin 23sin a ac B A=,即1sin 23sin a c B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin A C B A =. 故2sin sin 3B C =. (2)由题设及(1)得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-,即()1cos 2B C +=-.所以23B C π+=,故3A π=. 由题设得21sin 23sin a bc A A=,即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=,即()239b c bc +-=,得b c +故ABC 的周长为3+点睛:在处理解三角形问题时,要注意抓住题目所给的条件,当题设中给定三角形的面积,可以使用面积公式建立等式,再将所有边的关系转化为角的关系,有时需将角的关系转化为边的关系;解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角,求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角,再有另外一个条件,求面积或周长的值”,这类问题的通法思路是:全部转化为角的关系,建立函数关系式,如sin()y A x b ωϕ=++,从而求出范围,或利用余弦定理以及基本不等式求范围;求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.12.(2017∙山东∙高考真题)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =3,6AB AC ⋅=-,S △ABC =3,求A 和a .【答案】34A π=,a =【答案详解】试题详细分析:先由数量积公式及三角形面积公式得3cos 613sin 32c A c A =-⎧⎪⎨⨯=⎪⎩,由此求A ,再利用余弦定理求a .试题解析:因为6AB AC ⋅=-, 所以cos 6bc A =-, 又3ABC S =△, 所以sin 6bc A =,因此tan 1A =-,又0πA <<, 所以3π4A =, 又3b =,所以c =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-,得29823(a =+-⨯⨯,所以a = 【考点】解三角形【名师点评】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据,也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据.其主要方法有:化角法,化边法,面积法,运用初等几何法.注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想.13.(2017∙全国∙高考真题)△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2sin()8sin2B AC +=.(1)求cos B ;(2)若6a c +=,△ABC 的面积为2,求b . 【答案】(1)1517;(2)2. 【答案详解】试题详细分析:(1)利用三角形的内角和定理可知A C B π+=-,再利用诱导公式化简()sin A C +,利用降幂公式化简28sin 2B,结合22sin cos 1B B +=,求出cos B ;(2)由(1)可知8sin 17B =,利用三角形面积公式求出ac ,再利用余弦定理即可求出b . 试题解析:(1)()2sin 8sin2BA C +=,∴()sin 41cosB B =-,∵22sin cos 1B B +=, ∴()22161cos cos 1B B -+=,∴()()17cos 15cos 10B B --=,∴15cos 17B =; (2)由(1)可知8sin 17B =, ∵1sin 22ABC S ac B =⋅=,∴172ac =, ∴()2222222217152cos 2152153617154217b ac ac B a c a c a c ac =+-=+-⨯⨯=+-=+--=--=, ∴2b =.14.(2016∙全国∙高考真题)ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.(1)求角C ;(2)若c =ABC S ∆=ABC ∆的周长.【答案】(1)3C π=(2)5【答案详解】试题详细分析:(1)根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=,利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ;(2)根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =,由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析:(1)由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C += 12cos sin()sin cos 23π∴+=⇒=⇒=C A B C C C(2)11sin 622∆=⇒=⇒=ABC S ab C ab ab 又2222cos +-= a b ab C c2213a b ∴+=,2()255∴+=⇒+=a b a bABC ∆∴的周长为5考点:正余弦定理解三角形.15.(2015∙浙江∙高考真题)在ABC ∆中,内角 A ,B , C 所对的边分别为a , b ,c ,已知 4A π=,22b a -=122c .(1)求tan C 的值;(2)若ABC ∆的面积为3,求 b 的值. 【答案】(1)2;(2)3b =.【答案详解】(1)根据正弦定理可将条件中的边之间的关系转化为角之间满足的关系,再将式 子作三角恒等变形即可求解;(2)根据条件首先求得sin B 的值,再结合正弦定理以及三角 形面积的计算公式即可求解.试题解析:(1)由22212b a c -=及正弦定理得2211sin sin 22B C -=, ∴2cos 2sin B C -=,又由4A π=,即34B C π+=,得cos 2sin 22sin cos B C C C -==,解得tan 2C =;(2)由tan 2C =,(0,)C π∈得sin 5C =,cos 5C =,又∵sin sin()sin()4B A C C π=+=+,∴sin B =3c b =,又∵4A π=,1sin 32bc A =,∴bc =3b =. 考点:1.三角恒等变形;2.正弦定理.16.(2015∙山东∙高考真题)ABC 中,角A B C ,,所对的边分别为,,a b c .已知cos ()39B A B ac =+==求sin A 和c 的值.【答案】,1.3【详细分析】由条件先求得sin sin C A ,,再由正弦定理即可求解.【答案详解】在ABC 中,由cos 3B =,得sin 3B =.因为A B C π++=,所以sin sin()9C A B =+=,因为sin sin C B <,所以C B <,C 为锐角,cos 9C =,因此sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+39393=⨯+⨯=.由sin sin a c A C =,可得sin sin 9cc A a C ===,又ac =1c =.考点03 求角和三角函数的值及范围或最值1.(2024∙天津∙高考真题)在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知92cos 5163a Bbc ===,,. (1)求a ; (2)求sin A ;(3)求()cos 2B A -的值.【答案】(1)4(2)4 (3)5764【详细分析】(1)2,3a t c t ==,利用余弦定理即可得到方程,解出即可;(2)法一:求出sin B ,再利用正弦定理即可;法二:利用余弦定理求出cos A ,则得到sin A ;(3)法一:根据大边对大角确定A 为锐角,则得到cos A ,再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可;法二:直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【答案详解】(1)设2,3a t c t ==,0t >,则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-,即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯,解得2t =(负舍); 则4,6a c ==.(2)法一:因为B为三角形内角,所以sin B ===再根据正弦定理得sin sin a b A B =,即4sin A =sin A =法二:由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯,因为()0,πA ∈,则sin A ==(3)法一:因为9cos 016B =>,且()0,πB ∈,所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 由(2)法一知sin 16B =,。
历年高考数学真题(全国卷整理版)
参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立,那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…普通高等学校招生全国统一考试一、选择题1、 复数131ii-++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A =,B ={1,m} ,AB =A, 则m=A 0B 0或3C 1D 1或33 椭圆的中心在原点,焦距为4 一条准线为x=-4 ,则该椭圆的方程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ,AB=2,CC 1=为CC 1的中点,则直线AC 1与平面BED 的距离为D 1(5)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 5=5,S 5=15,则数列的前100项和为 (A)100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101100(6)△ABC 中,AB 边的高为CD ,若a ·b=0,|a|=1,|b|=2,则(A) (B ) (C) (D)(7)已知α为第二象限角,sin α+sin β=3,则cos2α=(A) 5(B)5(C)5(D)5(8)已知F1、F2为双曲线C:x²-y²=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=|2PF2|,则cos∠F1PF2=(A)14(B)35 (C)34 (D)45(9)已知x=lnπ,y=log52,12z=e,则(A)x<y<z (B)z<x<y (C)z<y<x (D)y<z<x(10) 已知函数y=x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点,则c=(A)-2或2 (B)-9或3 (C)-1或1 (D)-3或1(11)将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列,要求每行的字母互不相同,梅列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有(A)12种(B)18种(C)24种(D)36种(12)正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,AE=BF=73。
历年高考数学真题(全国卷整理版)
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013大纲全国,理1)设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为( ).A2.A3.( ).A4.( ).A5.A6.( ).A.-6(1-3-10)B.(1-310)C.3(1-3-10)D.3(1+3-10)7.(2013大纲全国,理7)(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是( ).A.56B.84C.112D.1688.(2013大纲全国,理8)椭圆C:22=143x y+的左、右顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1斜率的取值范围是( ).A.13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.(2013大纲全国,理9)若函数f(x)=x2+ax+1x在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭是增函数,则a的取值范围是( ).A.[-1,0]B.[-1,+∞)C.[0,3]D.[3,+∞)10.(2013大纲全国,理10)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( ).A11.的直线与CA12.AC1314种.(15.(2013大纲全国,理15)记不等式组0,34,34xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为D.若直线y=a(x+1)与D有公共点,则a的取值范围是__________.16.(2013大纲全国,理16)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于球O的半径,OK=32,且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°,则球O的表面积等于__________.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(2013大纲全国,理17)(本小题满分10分)等差数列{a n}的前n项和为S n.已知S3=22a,且S1,S2,S4成等比数列,求{a n}的通项公式.18.(2013大纲全国,理18)(本小题满分12分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(a+b+c)(a-b+c)=ac.(1)求B;(2)若19.(1)(2)20.甲、乙、其中两人比赛,另一局当比赛(1)求第(2)X21.(1)求a,b;(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,且|AF1|=|BF1|,证明:|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列.22.(2013大纲全国,理22)(本小题满分12分)已知函数f(x)=1ln(1+)1x xxxλ(+)-+.(1)若x≥0时,f(x)≤0,求λ的最小值;(2)设数列{a n}的通项111=1+23nan+++,证明:a2n-a n+14n>ln2.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.答案:B解析:选B.2.答案:A解析:3.答案:B解析:4.答案:B解析:5.答案:A解析:由题意知1+x =2?x=21y-(y>0),因此f-1(x)=121x-(x>0).故选A.6.答案:C解析:∵3a n +1+a n =0,∴a n +1=13n a -.∴数列{a n }是以13-为公比的等比数列.∵a 2=43-,∴a 1=4.∴S 10=101413113⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+=3(1-3-10).故选C. 7.2y 2的系数为8. 2PA k =故1PA k ∵2PA k ∴1PA k 9. 答案:D解析:由条件知f ′(x )=2x +a -21x ≥0在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立,即212a x x ≥-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上恒成立.∵函数212y x x =-在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为减函数,∴max 211<23212y -⨯=⎛⎫⎪⎝⎭.∴a ≥3.故选D.10. 答案:A解析:如下图,连结AC 交BD 于点O ,连结C 1O ,过C 作CH ⊥C 1O 于点H .∵11BD ACBD AA AC AA A ⊥⎫⎪⊥⎬⎪=⎭1111BD ACC A CH ACC A ⊥⎫⎬⊂⎭平面平面CH CH BD CH ∴∠设1C O∴∴11.解析:由题意知抛物线C 的焦点坐标为(2,0),则直线AB 的方程为y =k (x -2),将其代入y 2=8x ,得k 2x 2-4(k 2+2)x +4k 2=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=2242k k(+),x 1x 2=4.① 由112222y k x y k x =(-)⎧⎨=(-)⎩∵0MA MB ⋅=,∴(x 1+2,y 1-2)·(x 2+2,y 2-2)=0. ∴(x 1+2)(x 2+2)+(y 1-2)(y 2-2)=0, 即x 1x 2+2(x 1+x 2)+4+y 1y 2-2(y 1+y 2)+4=0.④ 由①②③④解得k =2.故选D. 12.令t 则g (令g 当t 当t =当t =∴g (即f (13.答案:解析:由题意知cos α=3==-.故cot α=cos sin αα14.答案:480解析:先排除甲、乙外的4人,方法有44A 种,再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中,有25A 种排法,因此甲、乙不相邻的不同排法有4245A A 480⋅=(种).15.答案:1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析:作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.∵直线y 12BC k =则12≤a 16.解析:则OE ⊥又MN =R 又OK ⊥∴R =∴S =4π17.解:设{a n }的公差为d .由S 3=22a 得3a 2=22a ,故a 2=0或a 2=3. 由S 1,S 2,S 4成等比数列得22S =S 1S 4. 又S 1=a 2-d ,S 2=2a 2-d ,S 4=4a 2+2d , 故(2a 2-d )2=(a 2-d )(4a 2+2d ).若a2=0,则d2=-2d2,所以d=0,此时S n=0,不合题意;若a2=3,则(6-d)2=(3-d)(12+2d),解得d=0或d=2.因此{a n}的通项公式为a n=3或a n=2n-1.18.解:(1)因为(a+b+c)(a-b+c)=ac,所以a2+c2-b2=-ac.由余弦定理得cos B=2221a c b+-=-,因此B=(2)由所以+C)+2sin A故A-C因此C=19.(1)过P作连结OA由△PAB所以OA点,故OE⊥因为O是BD的中点,E是BC的中点,所以OE∥CD.因此PB⊥CD.(2)解法一:由(1)知CD⊥PB,CD⊥PO,PB∩PO=P,故CD⊥平面PBD.又PD⊂平面PBD,所以CD⊥PD.取PD的中点F,PC的中点G,连结FG,则FG∥CD,FG⊥PD.连结AF,由△APD为等边三角形可得AF⊥PD.所以∠AFG为二面角A-PD-C的平面角.连结AG,EG,则EG∥PB.又PB⊥AE,所以EG⊥AE.设AB故AG在△所以以O为坐标原点,OE的方向为-,0,0)设|AB(2PC=AP=,AD=(2,-设平面n1=(x,yz)·(,,2)=0,n·PD=(x,y,z)·(0,,)=0,1可得2x-y-z=0,y+z=0.取y=-1,得x=0,z=1,故n1=(0,-1,1).设平面PAD的法向量为n2=(m,p,q),则n2·AP=(m,p,q)·,0)=0,n2·AD=(m,p,q)·,,0)=0,可得m+q=0,m-p=0.取m =1,得p =1,q =-1,故n 2=(1,1,-1). 于是cos 〈n 1,n 2〉=1212||||3=-·n n n n . 由于〈n 1,n 2〉等于二面角A -PD -C 的平面角,所以二面角A -PD -C的大小为π-20.解:(1)记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”,A 2则A =A 1P (A )=P(2)X记A 3”,B 2负”.则P (X =14,P (X=1)=198.21.(1)所以C 将y =2代入上式,求得x =由题设知,=a 2=1. 所以a =1,b =(2)证明:由(1)知,F 1(-3,0),F 2(3,0),C 的方程为8x 2-y 2=8.①由题意可设l的方程为y=k(x-3),k(k2-8)x2-6k2x+9k2+8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≤-1,x2≥1,x1+x2=2268kk-,x1·x2=22988kk+-.于是|AF1|(3x1+1),||(1)解:由已知f(0)=0,f′(x)=21x(+),f′(0)=0.若12λ<,则当0<x<2(1-2λ)时,f′(x)>0,所以f(x)>0.若12λ≥,则当x>0时,f′(x)<0,所以当x>0时,f(x)<0.综上,λ的最小值是12.(2)证明:令12λ=.由(1)知,当x >0时,f (x )<0, 即2ln(1)22x x x x(+)>++.取1x k=,则211>ln 21k k k k k ++(+).于是212111 422(1)n n n a a n k k -⎡⎤-+=+⎢⎥+∑=2n k n -=∑=所以1.).A =B 2.A 3.(2013课标全国Ⅰ,理3)为了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( ).A .简单随机抽样B .按性别分层抽样C .按学段分层抽样D .系统抽样4.(2013课标全国Ⅰ,理4)已知双曲线C :2222=1x y a b-(a >0,b >0)的离心率为2,则C 的渐近线方程为( ). A .y =14x ±B .y =13x ±C .y =12x±D .y =±x5.(2013课标全国Ⅰ,理5)执行下面的程序框图,如果输入的t ∈[-1,3],则输出的s 属于( ).A B C D 6.,将一果不A C 7.,S m =0,S m +3,则m =( A .8.则该A .16+8πB .8+8πC .16+16πD .8+16π9.(2013课标全国Ⅰ,理9)设m 为正整数,(x +y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ,(x +y )2m+1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a =7b ,则m =( ). A .5B .6C .7D .810.(2013课标全国Ⅰ,理10)已知椭圆E :2222=1x y a b+(a >b >0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交E 于A ,B 两点.若AB 的中点坐标为(1,-1),则E 的方程为( ).A .22=14536x y +B .22=13627x y +C .22=12718x y +D .22=1189x y +11.是( A .(12.,….若b 1>c 1A .C .第(22)题~第13.若b ·c =0,则14.(2013课标全国Ⅰ,理14)若数列{an}的前n 项和33n n ,则{an}的通项公式是an =_______.15.(2013课标全国Ⅰ,理15)设当x =θ时,函数f(x)=sinx -2cosx 取得最大值,则cos θ=__________.16.(2013课标全国Ⅰ,理16)若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax +b)的图像关于直线x =-2对称,则f(x)的最大值为__________.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(2013课标全国Ⅰ,理17)(本小题满分12分)如图,在△ABC 中,∠ABC =90°,AB BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC =90°. (1)若PB =12,求PA ; (2)若∠APB =150°,求tan ∠PBA .18.(2013课标全国Ⅰ,理18)(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,CA =CB ,AB =AA 1,∠BAA 1=(1)(2)19.先从4(1)(2)20.1)2+y 2=9(1)求C (2)l 求|AB |. 21.(2013课标全国Ⅰ,理21)(本小题满分12分)设函数f (x )=x 2+ax +b ,g (x )=e x (cx +d ).若曲线y =f (x )和曲线y =g (x )都过点P (0,2),且在点P 处有相同的切线y =4x +2. (1)求a ,b ,c ,d 的值;(2)若x ≥-2时,f (x )≤kg (x ),求k 的取值范围.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(2013课标全国Ⅰ,理22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE 交圆于点D.(1)证明:DB=DC;(2)设圆的半径为1,BC,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.23.(1)把C1(2)求C124.x)=|2x -1|+(1)当a(2)设a2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.2. ∴z =故z 3. 4. 答案:C解析:∵2c e a ==,∴22222254c a b e a a +===. ∴a 2=4b 2,1=2b a ±.∴渐近线方程为12by x xa=±±.5.答案:A解析:若t∈[-1,1),则执行s=3t,故s∈[-3,3).若t∈[1,3],则执行s=4t-t2,其对称轴为t=2.故当t=6.答案:A解析:BC=2,由R2=(7.答案:C解析:∴a m=S m∴d=a m+∵S m=ma1+12m m(-)×1=0,∴112ma-=-.又∵a m+1=a1+m×1=3,∴132mm--+=.∴m=5.故选C. 8.答案:A解析:由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体,由图中数据可知圆柱底面半径r =2,长为4,在长方体中,长为4,宽为2,高为2,所以几何体的体积为πr 2×4×12+4×2×2=8π+16.故选A. 9. 答案:B1212∵AB 的中点为(1,-1),∴y 1+y 2=-2,x 1+x 2=2,而1212y y x x --=k AB =011=312-(-)-,∴221=2b a . 又∵a 2-b 2=9,∴a 2=18,b 2=9.∴椭圆E的方程为22=1189x y.故选D.11.答案:D解析:由y=|f(x)|的图象知:①当x>0时,y=ax只有a≤0时,才能满足|f(x)|≥ax,可排除B,C.②当x≤22故由|f(当x=0当x<0∵x-212.答案:B第(22)题~第13.解析:∴b·c又∵|a|=|b|=1,且a与b夹角为60°,b⊥c,∴0=t|a||b|cos60°+(1-t),0=12t+1-t.∴t=2.14.答案:(-2)n -1解析:∵2133n n S a =+,①∴当n ≥2时,112133n n S a --=+.②①-②,得12233n n n a a a -=-, 即1nn a a -∵a 1=∴a 1=∴{a n }15.令cos 则f (x 当x =即θ=2k π+π2-α(k ∈Z ), 所以cos θ=πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭=πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭=sin α==16.答案:16解析:∵函数f (x )的图像关于直线x =-2对称,∴f (x )满足f (0)=f (-4),f (-1)=f (-3),即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )=-x 4-8x 3-14x 2+8x +15. 由f ′(32得x 1易知,f 2)∴f (-=(-8=80-f (-2)=-=-f (-2=(-8=80-故f (x )三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.解:(1)由已知得∠PBC =60°,所以∠PBA =30°.在△PBA 中,由余弦定理得PA 2=11732cos 30424+-︒=.故PA =2. (2)设∠PBA =α,由已知得PB =sin α.在△PBA sin sin(30)αα=︒-,α=4sin α. 所以tan 18.(1)因为CA 由于AB 故△AA 1B 所以OA 1因为OC 又A 1C ⊂(2)又平面所以OC 故OA ,以O 为坐标原点,OA 的方向为O -xyz .由题设知A (1,0,0),A 1(0,0),C (0,03),B (-1,0,0).则BC =(1,0,1BB =1AA =(-10),1AC =(0,). 设n =(x ,y ,z )是平面BB 1C 1C 的法向量,则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,0.x x ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩可取n =,1,-1). 故cos 〈n ,1AC 〉=11A C A C⋅n n =5-. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为5. 19.解:B 2P (A )=P (A 1=416(2)X P (X =所以X EX =20.解:由已知得圆M 的圆心为M (-1,0),半径r 1=1;圆N 的圆心为N (1,0),半径r 2=3. 设圆P 的圆心为P (x ,y ),半径为R . (1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切, 所以|PM |+|PN |=(R +r 1)+(r 2-R )=r 1+r 2=4.由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2的椭圆(左顶点除外),其方程为22=143x y+(x≠-2).(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=若l1Rr,可求得由l解得当k解得所以|当k=综上,|AB|=|AB|=187.21.解:(1)由已知得f(0)=2,g(0)=2,f′(0)=4,g′(0)=4.而f′(x)=2x+a,g′(x)=e x(cx+d+c),故b=2,d=2,a=4,d+c=4.从而a=4,b=2,c=2,d=2.(2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2e x(x+1).设函数F(x)=kg(x)-f(x)=2k e x(x+1)-x2-4x-2,则F′(x)=2k e x(x+2)-2x-4=2(x+2)(k e x-1).由题设可得F(0)≥0,即k≥1.令F′(x)=0得x1=-ln k,x2=-2.①若1≤F′(x)>0.即F F(x1).而F(x1)故当x≥②若k=从而当x而F(-③若k>从而当x综上,k22.(1)由弦切角定理得,∠=∠.而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE.又因为DB⊥BE,所以DE为直径,∠DCE=90°,由勾股定理可得DB=DC.(2)解:由(1)知,∠CDE =∠BDE ,DB =DC ,故DG 是BC 的中垂线,所以BG . 设DE 的中点为O ,连结BO ,则∠BOG =60°. 从而∠ABE =∠BCE =∠CBE =30°,所以CF ⊥BF ,故Rt △BCF 外接圆的半径等于2.23.解:(1)即C 1:x 2将x y ρρ=⎧⎨=⎩ρ2-8ρ所以C 1ρ2-8ρ(2)C 2由22x x ⎧+⎨+⎩解得x y ⎧⎨⎩所以C 1与C 2交点的极坐标分别为4⎪⎭,2,2 ⎪⎝⎭.24.解:(1)当a =-2时,不等式f (x )<g (x )化为|2x -1|+|2x -2|-x -3<0. 设函数y =|2x -1|+|2x -2|-x -3,则y =15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示.从图像可知,当且仅当x ∈(0,2)时,y <0. 所以原不等式的解集是{x |0<x <2}.(2)当x不等式f 所以x ≥故2a -≥从而a 1.M ∩N =( )A .{0,1,2}B .{-1,0,1,2}C .{-1,0,2,3}D .{0,1,2,3}2.(2013课标全国Ⅱ,理2)设复数z 满足(1-i)z =2i ,则z =( ).A .-1+iB .-1-IC .1+iD .1-i3.(2013课标全国Ⅱ,理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3=a 2+10a 1,a 5=9,则a 1=( ).A .13B .13-C .19D .19-4.(2013课标全国Ⅱ,理4)已知m ,n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ,l ⊥n ,lα,lβ,则( ).A .α∥β且l ∥αB .α⊥β且l ⊥βC .α与β相交,且交线垂直于lD .α与β相交,且交线平行于l 5.(2013课标全国Ⅱ,理5)已知(1+ax )(1+x )5的展开式中x 2的系数为5,则a=( A 6.输出的S =( A .10++B .110!++C .111++D .111!++7.(2013,(1,1,0)8.A .c >b>aB .b >c >aC .a >c >bD .a >b >c9.(2013课标全国Ⅱ,理9)已知a >0,x ,y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z =2x +y 的最小值为1,则a =( ).A .14B .12C .1D .210.(2013课标全国Ⅱ,理10)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( ).A.∃x0∈R,f(x0)=0B.函数y=f(x)的图像是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)单调递减D.若x0是f(x)的极值点,则f′(x0)=011.(2013课标全国Ⅱ,理11)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MFA.C.12.将△ABC A.22题~第13.BD⋅=14.15.(2013课标全国Ⅱ,理15)设θ为第二象限角,若π1tan42θ⎛⎫+=⎪⎝⎭,则sinθ+cosθ=__________.16.(2013课标全国Ⅱ,理16)等差数列{a n}的前n项和为S n,已知S10=0,S15=25,则nS n的最小值为__________.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(2013课标全国Ⅱ,理17)(本小题满分12分)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a =b cos C +c sin B . (1)求B ;(2)若b =2,求△ABC 面积的最大值.18.(2013课标全国Ⅱ,理18)(本小题满分12分)如图,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D ,E 分别是AB ,BB1的中点,AA 1=AC =CB =2AB . (1)(2)19.产品,品,每1t 分布X ≤150) (1)将T (2)(3)若需求量X 的概数学期望.20.分)>b>0)(1)求M 的方程;(2)C ,D 为M 上两点,若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ,求四边形ACBD 面积的最大值. 21.(2013课标全国Ⅱ,理21)(本小题满分12分)已知函数f (x )=e x -ln(x +m ). (1)设x =0是f (x )的极值点,求m ,并讨论f (x )的单调性; (2)当m ≤2时,证明f (x )>0.请考生在第22、23、24题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号.22.(2013课标全国Ⅱ,理22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E,F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC·AE=DC·AF,B,E,F,C四点共圆.(1)证明:CA是△ABC外接圆的直径;(2)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.23.P,Q都在曲线C PQ的中点.(1)求M(2)将M24.设a,b(1)ab+2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.答案:A 解析:M ∩N =2. 答案:A 解析:z 3. 答案:C 解析:99,不∵q ≠1∴311q q--∵a 5=a 1·q 4=9,即81a 1=9,∴a 1=9.4. 答案:D解析:因为m ⊥α,l ⊥m ,lα,所以l ∥α.同理可得l ∥β.又因为m ,n 为异面直线,所以α与β相交,且l 平行于它们的交线.故选D.5. 答案:D解析:因为(1+x )5的二项展开式的通项为5C r r x (0≤r ≤5,r ∈Z ),则含x 2的项为225C x +ax ·15C x =(10+5a )x 2,所以10+5a =5,a =-1. 6. 答案:B解析:当k =2当k =3当k =4当k =10110!++,k S ,所以B 7. 答案:A 解析:8. 答案:D解析:根据公式变形,lg 6lg 21lg 3lg 3a ==+,lg10lg 21lg 5lg 5b ==+,lg14lg 21lg 7lg 7c ==+,因为lg7>lg5>lg3,所以lg2lg2lg2lg7lg5lg3<<,即c<b<a.故选D. 9.答案:B解析:由题意作出1,3xx y≥⎧⎨+≤⎩所表示的区域如图阴影部分所示,作直线2x+y=1,因为直线2x+y=1与直线x=1的交点坐标为(1,-1),结合题意知直线y=a(x-3)10.答案:C解析:示,则在(-11.答案:C解析:又点F将x=0由2y=所以C的方程为y2=4x或y2=16x.故选C.12.答案:B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分,第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答。
全国高考数学试卷含答案
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
)1. 下列各数中,不是有理数的是()A. -2B. √2C. 0.5D. -1/3答案:B2. 已知函数f(x) = 2x - 3,若f(x + 1) = f(x),则x的值为()A. 1B. 2C. 3D. 4答案:A3. 下列命题中,正确的是()A. 对于任意实数x,x^2 ≥ 0B. 若a > b,则a + c > b + cC. 平行四边形的对角线互相平分D. 任意三角形都是等边三角形答案:C4. 在△ABC中,已知a=3,b=4,c=5,则△ABC是()A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形答案:A5. 已知函数y = ax^2 + bx + c,若a > 0,且函数图像开口向上,则下列选项中,关于a、b、c的关系正确的是()A. a > b > cB. a > c > bC. b > a > cD. c > a > b答案:B6. 在直角坐标系中,点A(2,3),点B(-1,2),则线段AB的中点坐标是()A. (1,2.5)B. (1.5,2.5)C. (3,2)D. (2,2.5)答案:A7. 已知数列{an}的通项公式为an = 2n - 1,则数列的前10项之和S10为()A. 90B. 95C. 100D. 105答案:A8. 在平面直角坐标系中,点P(1,2)关于直线y=x的对称点Q的坐标是()A. (2,1)B. (1,2)D. (1,1)答案:A9. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10 = 55,S15 = 120,则公差d为()A. 2B. 3C. 4D. 5答案:B10. 在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a=6,b=8,且cosA = 1/2,则△ABC的面积为()A. 24B. 32C. 48D. 64答案:C二、填空题(本大题共10小题,每小题5分,共50分。
近三年高考数学试卷
近三年高考数学试卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 设集合A = {xx^2 - 3x + 2 = 0},B={x∈ Z1≤slant x≤slant 3},则A∩ B = ( )A. {1}B. {2}C. {1, 2}D. {1, 2, 3}2. 复数z=(2i)/(1 - i)(i为虚数单位)的共轭复数¯z等于()A. -1 - iB. -1 + iC. 1 - iD. 1 + i3. 已知向量→a=(1,2),→b=(x,1),若→a⊥→b,则x的值为()A. -2B. -1C. 1D. 24. 函数y = sin(2x+(π)/(3))的最小正周期为()A. πB. 2πC. (π)/(2)D. (2π)/(3)5. 在等差数列{a_n}中,a_1=1,d = 2,则a_5等于()A. 9B. 11C. 13D. 156. 若log_a(2)/(3)<1(a>0且a≠1),则a的取值范围是()A. (0,(2)/(3))B. ((2)/(3),1)C. (1,+∞)D. (0,(2)/(3))∪(1,+∞)7. 从5名男生和3名女生中任选3人参加奥运会火炬接力活动,若随机变量X表示所选3人中女生的人数,则P(X≥slant1)等于()A. (15)/(28)B. (16)/(28)C. (17)/(28)D. (18)/(28)8. 若双曲线frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2} = 1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=√(3)x,则双曲线的离心率为()A. √(2)B. √(3)C. 2D. 49. 已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx + c,x∈[-2,2]表示的曲线过原点,且在x=±1处的切线斜率均为-1,则以下结论正确的是()A. f(x)的解析式为f(x)=x^3-4x,x∈[-2,2]B. f(x)的极值点有且仅有一个。
全国卷高考数学真题
全国卷高考数学真题一、题目简述本文档为全国卷高考数学真题的解析和答案。
其中包括数学试卷的各个题目的详细解题步骤和答案,以及一些相关的思考和讨论。
二、解析1. 题目1题目描述:一个等差数列的第1项为5,公差为3。
求这个等差数列的第20项。
解题思路:由题可知,一个等差数列的通项公式为a n=a1+(n−1)d,其中a n表示第 n 项,a1表示第 1 项,d表示公差。
代入题目中的数据,我们得到a20=5+(20−1)3=5+57=62。
所以,这个等差数列的第 20 项为 62。
答案:第 20 项为 62。
2. 题目2题目描述:已知函数y=f(x)在区间 [0, 1] 上是连续的,并且对任意0<x1<x2<1,都有f(x1)<f(x2)。
请根据上述条件选择下列命题的正确结论。
A. 函数y=f(x)在区间 [0, 1] 上是递减的。
B. 函数y=f(x)在区间 (0, 1) 上是递增的。
C. 函数y=f(x)在区间 (0, 1) 上不是递增的。
D. 函数y=f(x)在区间 [0, 1] 上是递增的。
解题思路:根据题目中的条件,我们可以得出结论:对于任意的两个不等的数x1和x2,其对应的函数值f(x1)和f(x2)满足f(x1)<f(x2)。
根据这个性质,我们可以排除选项 A 和选项 C,因为它们断言函数在整个区间上都是单调的。
为了确定是递增还是递减,我们需要考虑端点的情况。
由题目给出的条件可得知f(0)是整个区间中最小的值,而f(1)是整个区间中最大的值。
所以,函数y= f(x)在区间 [0, 1] 上是递增的。
答案: D. 函数y=f(x)在区间 [0, 1] 上是递增的。
3. 题目3题目描述:已知函数f(x)=2x+3和g(x)=x2+1。
求复合函数ℎ(x)=f(g(x))的表达式。
解题思路:复合函数表示将一个函数的输出值作为另一个函数的输入值。
根据题目中给出的函数f(x)和g(x),我们可以将g(x)的输出作为f(x)的输入来找到ℎ(x)的表达式。
高考数学试卷全国卷答案
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分)1. 答案:C解析:根据函数的周期性,f(2π) = f(0) = 1。
2. 答案:A解析:由向量数量积的性质,|a·b| = |a||b|cosθ,其中θ为a与b的夹角。
由于|a|=|b|=1,cosθ=1/2,故|a·b|=1/2。
3. 答案:D解析:根据等差数列的通项公式,an = a1 + (n-1)d,其中d为公差。
由题意知,a1=1,d=1,所以an=1+(n-1)×1=n。
4. 答案:B解析:根据排列组合公式,C(n,m) = n! / [m!(n-m)!],其中n!表示n的阶乘。
所以C(10,2) = 10! / [2!(10-2)!] = 45。
5. 答案:C解析:由不等式的性质,若a > b,则a^2 > b^2。
所以,由于x > 1,x^2 > 1。
6. 答案:A解析:根据指数函数的性质,当底数大于1时,指数函数是增函数。
所以y =2^x是增函数。
7. 答案:B解析:由三角函数的性质,sin(π/2 - θ) = cosθ。
所以sin(π/2 - π/3) = cos(π/3) = 1/2。
8. 答案:D解析:由二次函数的性质,当a > 0时,开口向上,顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
所以顶点坐标为(-1, -2)。
9. 答案:C解析:根据复数的性质,若z1 = a + bi,z2 = c + di,则z1z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i。
所以(2+3i)(4-5i) = (2×4 - 3×5) + (2×(-5) + 3×4)i = -7 + 6i。
10. 答案:A解析:根据数列的极限性质,当an > 0,且an+1 = f(an)时,若f(x)在x > 0时单调递增,则数列{an}单调递增。
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参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立,那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,)k kn k n n P k C p p k n -=-=…普通高等学校招生全国统一考试一、选择题1、 复数131ii-++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ={1.3.m },B ={1,m} ,AB =A, 则m=A 0或3B 0或3C 1或3D 1或3 3 椭圆的中心在原点,焦距为4 一条准线为x=-4 ,则该椭圆的方程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =14 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ,AB=2,CC 1=22 E 为CC 1的中点,则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B3 C 2 D 1(5)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 5=5,S 5=15,则数列的前100项和为(A)100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101100(6)△ABC 中,AB 边的高为CD ,若a ·b=0,|a|=1,|b|=2,则(A) (B ) (C) (D)(7)已知α为第二象限角,sinα+sinβ=3,则cos2α=(A)5-(B)5-(C)5(D)5(8)已知F1、F2为双曲线C:x²-y²=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=|2PF2|,则cos ∠F1PF2=(A)14(B)35(C)34(D)45(9)已知x=lnπ,y=log52,12z=e,则(A)x<y<z (B)z<x<y (C)z<y<x (D)y<z<x(10) 已知函数y=x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点,则c=(A)-2或2 (B)-9或3 (C)-1或1 (D)-3或1(11)将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列,要求每行的字母互不相同,梅列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有(A)12种(B)18种(C)24种(D)36种(12)正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,AE=BF=73。
动点P从E出发沿直线喜爱那个F运动,每当碰到正方形的方向的边时反弹,反弹时反射等于入射角,当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为(A)16(B)14(C)12(D)10二。
填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上。
(注意:在试题卷上作答无效)(13)若x,y满足约束条件则z=3x-y的最小值为_________。
(14)当函数取得最大值时,x=___________。
(15)若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为_________。
(16)三菱柱ABC-A1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等,BAA1=CAA1=50°则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________。
三.解答题:(17)(本小题满分10分)(注意:在试卷上作答无效)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos(A-C)+cosB=1,a=2c,求c。
(18)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,AC=22,PA=2,E是PC上的一点,PE=2EC.(Ⅰ)证明:PC⊥平面BED;(Ⅱ)设二面角A-PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角的大小。
19. (本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换。
每次发球,胜方得1分,负方得0分。
设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立。
甲、乙的一局比赛中,甲先发球。
(Ⅰ)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率;(Ⅱ)表示开始第4次发球时乙的得分,求的期望。
(20)设函数f(x)=ax+cosx,x∈[0,π]。
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)设f(x)≤1+sinx,求a的取值范围。
21.(本小题满分12分)(注意:在试卷上作答无效)已知抛物线C:y=(x+1)2与圆M:(x-1)2+(12y-)2=r2(r>0)有一个公共点,且在A处两曲线的切线为同一直线l.(Ⅰ)求r;(Ⅱ)设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线,m、n的交点为D,求D到l的距离。
22(本小题满分12分)(注意:在试卷上作答无效........)函数f(x)=x2-2x-3,定义数列{x n}如下:x1=2,x n+1是过两点P(4,5)、Q n(x n,f(x n))的直线PQ n与x轴交点的横坐标。
(Ⅰ)证明:2≤x n<x n+1<3;(Ⅱ)求数列{x n}的通项公式。
高考数学(全国卷)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是满足题目要求的。
1.复数1z i =+,z 为z 的共轭复数,则1zz z --= (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i2. 函数)0y x =≥的反函数为(A)()24x y x R =∈ (B) ()204x y x =≥(C)()24y xx R =∈ (D) ()240y x x =≥3.下面四个条件中,使a b >成立的充分而不必要的条件是 (A) 1a b >+ (B) 1a b >- (C)22a b > (D) 33a b >4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若11a =,公差22,24k k d S S +=-=,则k= (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 55.设函数()()cos 0f x x ωω=>,将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则ω的最小值等于 (A)13(B) 3 (C) 6 (D) 9 6.已知直二面角l αβ--,点,,A AC l C α∈⊥为垂足,,,B BD l D β∈⊥为垂足,若2,1AB AC BD ===,则D 到平面ABC 的距离等于(A)2(B) (C) (D) 17.某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4为朋友,每位朋友1本,则不同的赠送方法共有(A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种 8.曲线21xy e =+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为(A)13 (B) 12 (C) 23(D) 1 9.设()f x 是周期为2的奇函数,当01x ≤≤时,()()21f x x x =-,则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(A) 12-(B) 14- (C) 14 (D) 1210.已知抛物线C :24y x =的焦点为F ,直线24y x =-与C 交于A 、B 两点,则cos AFB ∠= (A)45 (B) 35(C) 35- (D) 45-11.已知平面α截一球面得圆M ,过圆心M 且与α成60二面角的平面β截该球面得圆N ,脱该球面的半径为4.圆M 的面积为4π,则圆N 的面积为(A) 7π (B) 9π (C) 11π (D) 13π 12. 设向量,,a b c 满足11,,,602a b a b a c b c ===---=,则c 的最大值对于(A) 2 (B)(C) (D) 1二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.13. (201的二项展开式中,x 的系数与9x 的系数之差为 .14. 已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭,sin 5α=,则tan 2α= . 15. 已知12F F 、分别为双曲线22:1927x y C -=的左、右焦点,点A C ∈,点M 的坐标为()2,0,AM 为12F AF ∠的角平分线,则 2AF = .16. 已知点E 、F 分别在正方体1111ABCD A B C D - 的棱11BB CC 、上,且12B E EB =,12CF FC =,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .三、解答题:本大题共6小题,共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分10分)ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c 。
已知90,A C a c -=+=,求C18.(本小题满分12分)根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立。
(Ⅰ)求该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率;(Ⅱ)X 表示该地的100为车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数,求X 的期望。
19.(本小题满分12分)如图,四棱锥S-ABCD 中,//,AB CD BC CD ⊥,侧面SAB 为等边三角形, AB=BC=2,CD=SD=1. (Ⅰ)证明:SD SAB ⊥平面;(Ⅱ)求AB 与平面SBC 所成的角的大小。
20.(本小题满分12分)设数列{}n a 满足11110,111n na a a +=-=--(Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设11n n a b n+-=1nn kk S b==∑,证明:1n S <。
21.(本小题满分12分)已知O 为坐标原点,F 为椭圆22:12y C x +=在y 轴正半轴上的焦点,过F 且斜率为2-的直线l 与C 交于A 、B 两点,点P 满足0.OA OB OP ++= (Ⅰ)证明:点P 在C 上;(Ⅱ)设点P 关于点O 的对称点为Q ,证明:A 、P 、B 、Q 四点在同一个圆上。
22.(本小题满分12分)(Ⅰ)设函数()()2ln 12xf x x x =+-+,证明:当0x >时,()0f x > (Ⅱ)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取20次,设抽到的20个号码互不相同的概率为p ,证明:1929110p e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭普通高等学校招生全国统一考试一.选择题 (1)复数3223ii+=- (A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i(2)记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=A.21k k -B. -21k k - C. 21k k - D. -21k k-(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)1(4)已知各项均为正数的等比数列{n a },123a a a =5,789a a a =10,则456a a a = (A) 52 (B) 7 (C) 6 (D) 42 (5)353(12)(1)x x +-的展开式中x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4(6)某校开设A 类选修课3门,B 类选择课4门,一位同学从中共选3门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有 (A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种(7)正方体ABCD-1111A B C D 中,B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A2 B3 C 23D 6(8)设a=3log 2,b=In2,c=125-,则A a<b<c Bb<c<a C c<a<b D c<b<a(9)已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点,点p 在C 上,∠1F p 2F =060,则P到x 轴的距离为 (A)32 (B)62(C) 3 (D) 6(10)已知函数F(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b 的取值范围是 (A)(22,)+∞ (B)[22,)+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞(11)已知圆O 的半径为1,PA 、PB 为该圆的两条切线,A 、B 为俩切点,那么PA PB •的最小值为(A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+(12)已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A)233 (B)433 (C) 23 (D) 833二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上. (注意:在试题卷上作答无效)(13)2211x x +≤的解集是 . (14)已知α为第三象限的角,3cos 25α=-,则tan(2)4πα+= . (15)直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点,则a 的取值范围是 . (16)已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交C 于点D ,且BF 2FD =,则C 的离心率为 .三.解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(17)已知ABC 的内角A ,B 及其对边a ,b 满足cot cot a b a A b B +=+,求内角C .(18) 投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初审专家的评审,则予以录用;若两位初审专家都未予通过,则不予录用;若恰能通过一位初审专家的评审,则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审,则予以录用,否则不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5,复审的稿件能通过评审的概率为0.3.各专家独立评审.(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率;(II)记X 表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数,求X 的分布列及期望. (19)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效.........) 如图,四棱锥S-ABCD 中,SD ⊥底面ABCD ,AB//DC ,AD ⊥DC ,AB=AD=1,DC=SD=2,E 为棱SB 上的一点,平面EDC ⊥平面SBC .(Ⅰ)证明:SE=2EB ;(Ⅱ)求二面角A-DE-C 的大小 .(20)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无........效.) 已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.(Ⅰ)若2'()1xf x x ax ≤++,求a 的取值范围; (Ⅱ)证明:(1)()0x f x -≥ .(21)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效.........) 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点,点A 关于x 轴的对称点为D .(Ⅰ)证明:点F 在直线BD 上; (Ⅱ)设89FA FB =,求BDK ∆的内切圆M 的方程 .(22)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效.........) 已知数列{}n a 中,1111,n na a c a +==-. (Ⅰ)设51,22n n c b a ==-,求数列{}n b 的通项公式; (Ⅱ)求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围 .普通高等学校招生全国统一考试一、选择题(1)设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=AB ,则集合[u (AB )中的元素共有(A )3个 (B )4个 (C )5个 (D )6个 (2)已知1iZ+=2+I,则复数z= (A )-1+3i (B)1-3i (C)3+I (D)3-i (3) 不等式11X X +-<1的解集为 (A ){x }{}011x x x 〈〈〉 (B){}01x x 〈〈(C ){}10x x -〈〈 (D){}0x x 〈 (4)设双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)的渐近线与抛物线y=x 2+1相切,则该双曲线的离心率等于(A (B )2 (C (D(5) 甲组有5名同学,3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学。