2020届山东省济宁市第一中学高三下学期一轮质量检测数学试题(原卷版)
2020年山东省济宁市第一中学高三下学期一轮质量检测数学试题
2020年山东省济宁市第一中学高三下学期一轮质量检测数学试题一、选择题1.在复平面上，复数24i1i++对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.已知实数集R ，集合{|13}A x x =<<，集合|2B x y x ⎧==⎨⎬-⎩⎭，则()R A C B ⋂=（ ） A ．{|12}x x <≤ B ．{|13}x x << C ．{|23}x x ≤<D ．{|12}x x <<3.过点(1,2)P 的直线与圆221x y +=相切，且与直线10ax y +-=垂直，则实数a 的值为（ ）A ．0B ．43-C ．0或43D ．434.某次考试，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学､物理分数对应如下表:学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95 物理分数y7277808488909395绘出散点图如下:根据以上信息，判断下列结论:①根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系； ②根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；③甲同学数学考了80分，那么，他的物理成绩一定比数学只考了60分的乙同学的物理成绩要高. 其中正确的个数为（ ）.A ．0B ．3C ．2D ．15.函数()3cos 1x f x x+=的部分图像大致是（ ） A ． B ．C ．D ．6.设0a >，0b >，lg 2是lg 4a 与lg 2b的等差中项，则21a b+的最小值为（ ） A ．22B ．3C ．4D ．97.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．316 B ．38C ．14D ．188.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两顶点为1A ，2A ，虚轴两端点为1B ，2B ，两焦点为1F ，2F ，若以12A A为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，则双曲线的离心率是（ ） A ．51- B．35+ C ．51+ D ．31+二、填空题9.已知12,e e →→为单位向量且夹角为3π ，设12a e e →→→=+，2b e →→=，a →在b →方向上的投影为______ ．10.在32nx x ⎛-⎪⎝⎭的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 ．11.如图,椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ,过F 的直线交椭圆于,A B 两点,点C 是A 点关于原点O 的对称点,若CF AB ⊥且CF AB =,则椭圆的离心率为__________．12.已知定义域为R 的函数()f x 满足:当(1,1]x ∈-时，2,10()122,01x xx f x x x -⎧--<≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩，且(2)()f x f x +=对任意的x ∈R 恒成立，若函数()()(1)g x f x m x =-+在区间[1,5]-内有6个零点，则实数m 的取值范围是________. 三、解答题13.已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2=3，b 3=9，a 1=b 1，a 14=b 4.（1）求{a n }的通项公式；（2）设c n =a n +b n ，求数列{c n }的前n 项和.14.已知函数221()cos sin ,(0,)2f x x xx ．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC 为锐角三角形，角A 所对边19a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC 的面积．15.如图所示，直角梯形AB C D 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形ED C F 为矩形，3CF =，平面EDCF ⊥平面ABCD ．（1）求证：DF 平面ABE ；（2）求平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值．（3）在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 3，若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由．16.某班级体育课进行一次篮球定点投篮测试，规定每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立.在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分，否则得0分.将学生得分逐次累加并用X 表示，如果X 的值不低于3分就判定为通过测试，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止.现有两种投篮方案:方案1:先在A 处投一球，以后都在B 处投；方案2:都在B 处投篮.已知甲同学在A 处投篮的命中率为14，在B 处投篮的命中率为45. （1）若甲同学选择方案1，求他测试结束后所得总分X 的分布列和数学期望()E X ； （2）你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大?说明理由.17.已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．18.已知函数)f x =（a e 2x +（a ﹣2） e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 四、不定项选择题19.（多选）等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选择项正确的是（ ）A ．0d >B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为820.已知函数2()sin 22sin 1f x x x =-+，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）.A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数()f x 在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 C ．函数()f x 的图象关于直线8x π=对称:D ．函数()f x 的图象可由函数2sin 2y x =的图象向左平移4π个单位得到 21.已知函数()y f x =是R 上的偶函数，对于任意x ∈R ，都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，当12,[0,3]x x ∈，且12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，给出下列命题，其中所有正确命题为（ ）.A ．(3)0f =B ．直线6x =-是函数()y f x =的图象的一条对称轴C ．函数()y f x =在[9,6]--上为增函数D ．函数()y f x =在[9,9]-上有四个零点22.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，F 是棱11A D 上动点，下列说法正确的是（ ）.A ．对任意动点F ，在平面11ADD A 内存在与平面CBF 平行的直线B ．对任意动点F ，在平面ABCD 内存在与平面CBF 垂直的直线C ．当点F 从1A 运动到1D 的过程中，FC 与平面ABCD 所成的角变大D．当点F从1A运动到1D的过程中，点D到平面CBF的距离逐渐变小参考答案1.【解析】24i (24i)(1i)62i3i 1i (1i)(1i)2++-+===+++-，对应点为(3,1)在第一象限. 故答案选A 【答案】A2.0>,得2x >,即(2,)B =+∞,所以R C B (,2]=-∞, 所以()R A C B ⋂=(1,2]. 故选:A 【答案】A3.【解析】当0a ≠时，过点()1,2P且与直线10ax y +-=垂直的直线斜率为1a，可设该直线方程为12(1)y x a -=-，即210x ay a -+-=，再根据直线与圆相切，即圆心到直线距离为11=，解得43a =.故本题正确答案为C ． 【答案】C4.【解析】对于①，根据此散点图知，各点都分布在一条直线附近，可以判断数学成绩与物理成绩具有较强的线性相关关系，①正确；对于②，根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有较强的线性相关关系， 不是一次函数关系，②错误；对于③，甲同学数学考了80分，他的物理成绩可能比数学只考了60分的乙同学的物理成绩要高，所以③错误．综上，正确的命题是①，只有1个． 故选：D ． 【答案】D5.【解析】函数()f x 的定义域为()()00+，，-∞∞.()()()3cos +13cos +1x x f x f x xx--==-=--,所以()f x 为奇函数，故排除选项A ． 由当0x >且0x →时，()f x →+∞，故排除选项D ． 由23034f ππ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，故排除选项C ． 故选：B 【答案】B6.【解析】∵lg4a 与lg2b 的等差中项，∴lg 4lg 2a b =+， 即2lg 2lg 42lg 2aba b+=⋅=，∴21a b +=．所以212122()(2)559b aa b a b a b a b+=++=++≥+= 当且仅当22b a a b =即13a b ==时取等号， ∴21a b+的最小值为9． 【答案】D7.【解析】设2AB =，则1BC CD DE EF====.∴112224BCI S ∆=⨯⨯=，112242BCI EFGH S S ∆==⨯=平行四边形∴所求的概率为113422216P +==⨯ 故选A ． 【答案】A8.【解析】由题意可得()1,0A a -，()2,0A a ，()10,Bb ，()20,B b -， ()1,0Fc -，()2,0F c ，且222a b c +=，菱形1122F B F B 的边长为22b c +，由以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，切点分别为A ，B ，C ，D ． 由面积相等，可得221122422b c a b c ⋅⋅=⋅+， 即为()22222b c abc =+，即有442230c a a c +-=， 由e ca=，可得42e 3e 10-+=， 解得235e 2±=， 可得15e 2+=，或51e 2-=（舍去） 故选：C ． 【答案】C9.【解析】由题可知1,b = 故，a 在b 方向上的投影为即答案为32. 【答案】3210.【解析】根据题意可得8n =，88831883()()(1)?2?2r r r r r r r r r x T C C x x----+=-=-，令48063r r -==，，可得常数项为7. 【答案】711.【解析】作另一焦点F ',连接AF '和BF '和CF ',则四边形FAF C '为平行四边,所以AF CF AB '==,且AF AB '⊥,则三角形ABF '为等腰直角三角形, 设AF AB x '== ,则24x x x a +=,解得(422)x a =-,(222)AF a =,在三角形AFF ' 中由勾股定理得222()()(2)AF AF c '+=,所以2962,63e e =-=,故答案为63-. 63-12.【解析】()()2f x f x +=对x ∀∈R 恒成立，∴函数()f x 的周期为2．又当(]1,1x ∈-时，2,10()122,01x xx f x x x -⎧--<⎪=+⎨⎪-<⎩ ∴函数()f x 的图象如下图所示：令函数()()()10g x f x m x =-+=， 则()()=+1f x m x ，若函数()()()1g x f x m x =-+在区间内有6个零点，则()=y f x 与()=+1y m x 的图象在区间[-1,5]内有6个交点．()1y m x =+恒过点()-1,0，过()1,0-，()4,2点的直线斜率为25， 过()1,0-，()2,2点的直线斜率为23，根据图象可得：22,53m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故答案为：22,.53⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】22,53⎡⎫⎪⎢⎣⎭13.【解析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，因为b 2=3，b 3=9，可得323b q b ==， 所以b n =b 2q n -2=3·3n -2=3n -1， 又由a 1=b 1=1，a 14=b 4=27，所以1412141a a d -==-，所以数列{a n }的通项公式为a n =a 1+（n -1）×d =1+2（n -1）=2n -1； （2）由题意知c n =a n +b n =（2n -1）+3n -1， 设数列{c n }的前n 项和为n S ，则[13(21)](13931)n S n n =++⋯+-++++⋯+-2(121)13312132n n n n n +---=+=+-. 【答案】（1）21n a n =-；（2）2312nn -+. 14.【解析】（1）依题意2211()cos sin cos 20,π22f x x xxx ，由2ππ22πk x k -≤≤得πππ2k x k -≤≤，令1k =得ππ2x ≤≤.所以()f x 的单调递增区间,2.（2）由于a b <，所以A 为锐角，即π0,02π2A A <<<<.由()0f A =，得11cos 20,cos 222A A +==-，所以2ππ2,33A A ==. 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅，2560c c -+=，解得2c =或3c =.当2c =时，222cos 0238a cb B ac +-==-<，则B 为钝角，与已知三角形ABC 为锐角三角形矛盾.所以3c =.所以三角形ABC 的面积为11sin 5322bc A =⨯⨯=【答案】（1）,2；（2 15.【解析】（Ⅰ）取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图，则()1,0,0A ，()1,2,0B ，(E ，(F -，∴(1,BE =--，()0,2,0AB =，设平面ABE 的法向量(),,n x y z =，∴20,20,x y y ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩不妨设()3,0,1n =，又(1,DF =-，∴30DF n ⋅=-+=，∴DF n ⊥，又∵DF ⊄平面ABE ，∴//DF 平面ABE ．（Ⅱ）∵()1,2,3BE =--，()2,0,3BF =-，设平面BEF 的法向量(),,m x y z=，∴230,230,x y z x z ⎧--+=⎪⎨-+=⎪⎩不妨设()23,3,4m =，∴531cos 231m n m n θ⋅===⋅⋅，∴平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值为531． （Ⅲ）设()1,2,3DP DF λλ==- (),2,3λλλ=-，[]0,1λ∈，∴(),2,3P λλλ-， ∴()1,22,3BP λλλ=---，又∵平面ABE 的法向量()3,0,1n =，∴()()2223333sin cos ,21223BP n λλθλλλ--+===++-+，∴28610λλ-+=，∴12λ=或14λ=． 当12λ=时，33,1,2BP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，∴2BP =；当14λ=时，533,,42BP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，∴2BP =． 综上，2BP =．【答案】（I ）见解析（II 531（III ）2BP = 16.【解析】（1）设甲同学在A 处投中为事件A ，在B 处第i 次投中为事件(1,2)i B i =，由已知1()4P A =，()45i P B =. X 的取值为0，2，3，4.则()()()12123113(0)()455100P X P AB B P A P B P B ====⨯⨯=， ()()11223413146(2)45545525P X P AB B P AB B ==+=⨯⨯+⨯⨯=， 1(3)()4P X P A ===，()1234412(4)45525P X P AB B ===⨯⨯=，X 的分布列为:X 的数学期望为:()0234 3.1510025425100E X =⨯+⨯+⨯+⨯==. （2）甲同学选择方案1通过测试的概率为1P ，选择方案2通过测试的概率为2P ， 则111273(3)(4)0.73425100P P X P X ==+==+==， ()()()2121231234414441455555555P P B B P B B B P B B B =++=⨯+⨯⨯+⨯⨯1120.896125==, ∵21P P >，∴甲同学选择方案2通过测试的可能性更大.【答案】（1）分布列见解析，3.15（2）方案2，理由见解析17.【解析】（Ⅰ）将点()2,1-代入抛物线方程：()2221p =⨯-可得：2p =，故抛物线方程为：24x y =-，其准线方程为：1y =. （Ⅱ）很明显直线l 的斜率存在，焦点坐标为()0,1-，设直线方程为1y kx =-，与抛物线方程24x y =-联立可得：2440x kx +-=. 故：12124,4x x k x x +=-=-.设221212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,44OM ON x x k k =-=-，直线OM 的方程为14x y x =-，与1y =-联立可得：14,1A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得24,1B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为：1222,1x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，圆的半径为：1222x x -， 且：()1212122222x x k x x x x ++==，12222x x -==则圆的方程为：()()()2222141x k y k -++=+，令0x =整理可得：2230y y +-=，解得：123,1y y =-=，即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()()0,3,0,1-. 【答案】（Ⅰ） 24x y =-，1y =； （Ⅱ）见解析.18.【解析】（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，()()()()2221121x x x x f x ae a e ae e =+---'=+，（ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(),-∞+∞单调递减. （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.当(),ln x a ∈-∞-时，()0f x '<；当()ln ,x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(),ln a -∞-单调递减，在()ln ,a -+∞单调递增.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为()1ln 1ln f a a a-=-+. ①当1a =时，由于()ln 0f a -=，故()f x 只有一个零点； ②当()1,a ∈+∞时，由于11ln 0a a-+>，即()ln 0f a ->，故()f x 没有零点； ③当()0,1a ∈时，11ln 0a a-+<，即()ln 0f a -<. 又()()4222e 2e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(),ln a -∞-有一个零点. 设正整数0n 满足03ln 1n a ⎛⎫>-⎪⎝⎭，则()()00000000e e 2e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->. 由于3ln 1ln a a ⎛⎫->- ⎪⎝⎭，因此()f x 在()ln ,a -+∞有一个零点. 综上，a 的取值范围为()0,1. 【答案】（1）见解析；（2）(0,1).19.【解析】由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，因为753a a =，可得()11634a d a d +=+，解得13a d =-，又由等差数列{}n a 是递增数列，可知0d >，则10a <，故,A B 正确； 因为22172222n d d d d S n a n n n ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭， 由7722d nn d -=-=可知，当3n =或4时n S 最小，故C 错误， 令27022n d dS n n =->，解得0n <或7n >，即0n S >时n 的最小值为8，故D 正确. 故选：ABD 【答案】ABD20.【解析】2()sin 22sin 1sin 2cos 224f x x x x x x π⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎝⎭A 选项，因为2ω=，则()f x 的最小正周期T π=，结论错误；B 选项，当5,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32,422x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，结论正确；C 选项，因为8f π⎛⎫=⎪⎝⎭()f x 的最大值，则()f x 的图象关于直线8x π=对称，结论正确； D 选项，设()2g x x =，则()22sin 22cos 2442g x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结论错误．故选：BC ． 【答案】BC21.【解析】A ：令3x =-，则由()()()63f x f x f +=+，得()()()()33323f f f f =-+=， 故()30f =,A 正确；B ：由()30f =得：()()6f x f x +=，故()f x 以6为周期． 又()f x 为偶函数即关于直线0x =对称，故直线6x =-是函数()y f x =的图象的一条对称轴，B 正确； C ：因为当1x ，[]20,3x ∈，12x x ≠时，有()()12120f x f x x x ->-成立，故()f x 在[]0,3上为增函数， 又()f x 为偶函数， 故在[]3,0-上为减函数， 又周期为6．故在[]9,6--上为减函数， C 错误；该抽象函数图象草图如下：D ：函数()f x 周期为6，故()()93f f -=-()()390f f ===，故()y f x =在[]9,9-上有四个零点， D 正确．故答案为：ABD ． 【答案】ABD22.【解析】因为AD 在平面11ADD A 内，且平行平面CBF ，故A 正确；平面CBF 即平面11A D CB ，又平面11A D CB 与平面ABCD 斜相交，所以在平面ABCD 内不存在与平面CBF 垂直的直线，故B 错误；F 到平面ABCD 的距离不变且FC 变小，FC 与平面ABCD 所成的角变大，故C 正确； 平面CBF 即平面11A D CB ，点D 到平面11A D CB 的距离为定值，故D 错误． 故选：AC ． 【答案】AC。
山东省济宁邹城市第一中学2020届高三数学下学期3月自测试题含解析
某某省某某邹城市第一中学2020届高三数学下学期3月自测试题（含解析）一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数133iz i-=+，i 为虚数单位，则（） A. z i = B. z i = C. 21z = D. z 的虚部为i - 【答案】B 【解析】 【分析】计算化简出复数z ，即可得出虚部，再依次求出模长，共轭复数，平方即可选出选项【详解】由题：2213(13)(3)3103=3(3)(3)9i i i i i z i i i i i ----+===-++--， 所以：1z =，z i =，22()1z i =-=-，z 的虚部为1-.故选：B【点睛】此题考查复数的基本运算和基本概念的辨析，对基础知识考查比较全面，易错点在于虚数单位的平方运算和虚部的辨析.2. 已知集合(){}|10A x x x =-≤，(){}|ln B x y x a ==-，若AB A =，则实数a 的取值X 围为（ ）A. (),0-∞B. (],0-∞C. ()1,+∞D. [)1,+∞ 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出集合A 集合BX 围，根据AB A =得到A 是B 子集，根据X 围大小得到答案.【详解】(){}|1001A x x x x =-≤⇒≤≤(){}|ln B x y x a x a ==-⇒>A B A A B ⋂=⇒⊆所以0a < 故答案选A【点睛】本题考查了集合的包含关系求取值X 围，属于简单题. 3. 已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为（）A. -7B. 7C. 1D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】由了诱导公式得sin 2cos αα=-，由同角三角函数的关系可得tan 2α，再由两角和的正切公式()tan αβ+=tan tan 1tan tan αβαβ+-，将tan 2α代入运算即可.【详解】解：因为()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，所以sin 2cos αα=-，即tan 2α，又()1tan 3αβ+=， 则tan tan 11tan tan 3αβαβ+=-， 解得tan β= 7， 故选B.【点睛】本题考查了诱导公式及两角和的正切公式，重点考查了运算能力，属中档题.4. “1x <”是“ln(1)0x +<”的( ) A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数不等式的性质解得()ln 10x +<，利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】∵ln （x +1）＜0⇔0＜x +1＜1⇔﹣1＜x ＜0，∴﹣1＜x ＜0 1x ⇒<，但1x <时，不一定有﹣1＜x ＜0，如x=-3， 故“1x <”是“()ln 10x +<”的必要不充分条件， 故选B.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，考查对数不等式的性质，属于基础题． 5. “总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（） A.59B. 49C. 716D. 916【答案】B 【解析】 【分析】有4名顾客都领取一件礼品，基本事件总数n ＝34＝81，他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数m 2343C A ==36，则可得他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率．【详解】从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件， 有4名顾客都领取一件礼品，基本事件总数n ＝34＝81，他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数m 2343C A ==36，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是p 364819m n ===． 故选：B ．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合中的分组分配等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6. 已知0.5log 5a =、3log 2b =、0.32c =、212d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从这四个数中任取一个数m ，使函数()32123x mx x f x =+++有极值点的概率为（） A.14B. 12C. 34D. 1【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，根据函数的极值点的个数求出m 的X 围，通过判断a ，b ，c ，d 的X 围，得到满足条件的概率值即可． 【详解】f ′（x ）＝x 2+2mx +1， 若函数f （x ）有极值点，则f ′（x ）有2个不相等的实数根，故△＝4m 2﹣4＞0，解得：m ＞1或m ＜﹣1，而a ＝log 0.55＜﹣2，0＜b ＝log 32＜1、c ＝20.3＞1，0＜d ＝（12）2＜1， 满足条件的有2个，分别是a ，c ， 故满足条件的概率p 2142==， 故选：B ．【点睛】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及对数、指数的性质，是一道中档题．7. 已知定义在[]5,12m m --上的奇函数()f x ，满足0x >时，()21xf x =-，则()f m 的值为（）A. -15B. -7C. 3D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数定义域关于原点中心对称,可求得m 的值.根据奇函数性质,即可求得()f m 的值. 【详解】因为奇函数的定义域关于原点中心对称 则5120m m -+-=,解得4m =-因为奇函数()f x 当0x >时,()21xf x =-则()()()4442115f f -=-=--=-故选:A【点睛】本题考查了奇函数的定义域关于原点对称,奇函数的性质应用,属于基础题.8. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点()3,1M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM ∆的周长为（ ）A. 7112+9+ C. 83129+【答案】D 【解析】抛物线方程中：令1y =可得14x =，即1,14A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 结合抛物线的光学性质，AB 经过焦点F ，设执行AB 的方程为()1y k x =-， 与抛物线方程联立可得：()2222220k x k x k -++=， 据此可得：11,4A B B Ax x x x =∴==， 且：254A B AB x x p =++=， 将4x =代入24y x =可得4y =±，故()4,4B -，故MB ==故△ABM 的周长为1253944MA AB BM ⎛⎫++=-+= ⎪⎝⎭, 本题选择D 选项.二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列判断正确的是（）A. 若随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，()40.79P ξ≤=，则()20.21P ξ≤-=；B. 已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件；C. 若随机变量ξ服从二项分布：414,B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭,则()1E ξ=； D. 22am bm >是a b >的充分不必要条件. 【答案】ABCD【解析】【分析】由随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），则曲线关于x＝1对称，即可判断A；结合面面平行性质定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．可判断B；运用二项分布的期望公式Eξ＝np，即可判断C；可根据充分必要条件的定义，注意m＝0，即可判断D．【详解】A．已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）＝0.79，则曲线关于x＝1对称，可得P（ξ＞4）＝1﹣0.79＝0.21，P（ξ≤﹣2）＝P（ξ＞4）＝0.21，故A正确；B．若α∥β，∵直线l⊥平面α，∴直线l⊥β，∵m∥β，∴l⊥m成立．若l⊥m，当m∥β时，则l与β的位置关系不确定，∴无法得到α∥β．∴“α∥β”是“l⊥m”的充分不必要条件．故B对；C．由于随机变量ξ服从二项分布：ξ～B（4，1），则Eξ＝4×0.25＝1，故C对；4D．“am2>bm2”可推出“a>b”，但“a>b”推不出“am2>bm2”，比如m＝0，故D对；故选：ABCD．【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，考查随机变量的二项分布的期望公式及正态分布的对称性，属于基础题．10. 由我国引领的5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造岀更多的经济增加值．如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G经济产出所做的预测．结合图，下列说法不正确的是（）A. 5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加B. 设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓C. 设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位D. 信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势 【答案】C 【解析】 【分析】由柱状图观察信息服务商逐年增长并后续2029年开始超过设备制造商GDP .【详解】由图可知设备制造商在各年的总经济产出中在前期处于领先地位，而后期是信息服务商处于领先地位，故C 项表达错误． 故选：C【点睛】本题考查观察柱状图得出相关信息，属于基础题. 11. 关于函数()2ln f x x x=+，下列判断正确的是（） A. 2x =是()f x 的极大值点B. 函数()y f x x =-有且只有1个零点C. 存在正实数k ，使得()f x kx >成立D. 对任意两个正实数12,x x ，且12x x >，若()()12f x f x =，则124x x +>. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据导数解决函数的的极值，零点，不等式等问题依次讨论选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，函数的的定义域为()0,∞+，函数的导数()22212'x f x x x x-=-+=， ∴()0,2x ∈时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，()2,x ∈+∞时，()'0f x <，函数()f x 单调递增，∴2x =是()f x 的极小值点，故A 错误； 对于B 选项，()2ln y f x x x x x=-=+-， ∴222212'10x x y x x x -+-=-+-=<，∴函数在()0,∞+上单调递减，又∵()112ln1110f -=+-=>，()221ln 220f -=+-<， ∴函数()y f x x =-有且只有1个零点，故B 正确； 对于C 选项，若()f x kx >，可得()22ln f x xk x x x<=+， 令()22ln x g x x x =+，则()34ln 'x x xg x x -+-=， 令()4ln h x x x x =-+-，则()'ln h x x =-， ∴在()0,1x ∈上，()'0h x >，函数()h x 单调递增，()1,x ∈+∞上，()'0h x <，函数()h x 单调递减，∴()()130h x h ≤=-<，∴()'0g x <， ∴()22ln x g x x x=+在()0,∞+上函数单调递减，函数无最小值， ∴不存在正实数k ，使得()f x kx >成立，故C 错误；对于D 选项，由12x x >，()()12f x f x =可知122,02x x ><<， 要证124x x +>，即证124x x >-，且1242x x >->， 由函数()f x 在()2,x ∈+∞是单调递增函数， 所以有()()124x f f x >-，由于()()12f x f x =，所以()()224x f f x >- 即证明()()()4,0,2f x f x x >-∈，令()()()()()224ln ln 4,0,24m x f x f x x x x x x=--=--+-∈-， 则()()()22282'04x m x x x --=<-，所以()m x 在()0,2是单调递减函数，所以()()20m x m >=，即()()()4,0,2f x f x x >-∈成立， 故124x x +>成立，所以D 正确. 综上，故正确的是BD . 故选：BD ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点，零点，不等式等问题，考查数学运算能力与分析解决问题的能力，是难题.12. 已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中正确的是（） A. 函数()f x 的值域与()g x 的值域不相同 B. 把函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度，就可以得到函数()g x 的图象 C. 函数()f x 和()g x 在区间,44ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上都增函数D. 若0x 为是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点 【答案】CD 【解析】 【分析】()f x 求导得()g x 解析式，利用辅助角公式化简整理成()sin y A ωx φ=+形式，利用函数求值域、单调性逐一判断选项即可.【详解】()sin cos 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()()cos sin 4x x g x f x x π⎛⎫+=+'= ⎝=⎪⎭函数()f x 的值域与()g x 的值域均为⎡⎣，故A 错误；函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度，得3244y x x πππ⎛⎫⎛⎫=--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不是()4g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，故B 错误；,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,042x ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x 是单调递增函数，0,42x ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()g x 是单调递增函数，故C 正确；0x 为是函数()f x 的极值点，则00()()0g x f x '==，即0x 是函数()g x 的零点，故D 正确.故选：CD.【点睛】本题考查了三角函数的性质，属于常考题. 三、填空题：本题共4小题.13. 若非零向量a 、b ,满足a b =,()2+⊥a b b ,则a 与b 的夹角为___________. 【答案】120【解析】【分析】设a 与b 的夹角为θ，由题意得22222cos 0a b b a a θ⋅+=+=，由此求得cos θ的值，即可得到a 与b 的夹角θ的大小.【详解】设a 与b 的夹角为θ，由题意a b =,()2a b b +⊥,， 可得2(2)2cos 0a b b a b bθ+⋅=+=，所以1cos 2θ=-，再由0180θ≤≤可得，120θ=， 故答案是120.【点睛】该题考查的是有关向量夹角的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有向量垂直的条件为向量的数量积等于零，向量数量积的运算公式，向量夹角余弦公式，特殊角的是哪家函数值，正确应用公式是解题的关键.14. 双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为()12,0F -、()22,0F ，M 是C 右支上的一点，1MF 与y 轴交于点P ，2MPF ∆的内切圆在边2PF 上的切点为Q ，若2=PQ ，则C 的离心率为____.【答案】2 【解析】 【分析】根据切线长定理求出MF 1﹣MF 2，即可得出a ，从而得出双曲线的离心率． 【详解】设△MPF 2的内切圆与MF 1，MF 2的切点分别为A ，B ， 由切线长定理可知MA ＝MB ，PA ＝PQ ，BF 2＝QF 2， 又PF 1＝PF 2，∴MF 1﹣MF 2＝（MA +AP +PF 1）﹣（MB +BF 2）＝PQ +PF 2﹣QF 2＝2PQ ，由双曲线的定义可知MF 1﹣MF 2＝2a ，故而a＝PQ2=，又c＝2，∴双曲线的离心率为e2ca==．故答案为：2．【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，考查三角形内切圆的性质，考查切线长定理，考查学生的计算能力，利用双曲线的定义进行转化是解决本题的关键．15. 设()()201x a xf xx xx⎧-≤⎪=⎨+⎪⎩，，＞．（1）当12a=时，f（x）的最小值是_____；（2）若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值X围是_____．【答案】(1).14(2). [02]【解析】【分析】（1）先求出分段函数的每一段的最小值，再求函数的最小值；（2）对a分两种情况讨论，若a＜0，不满足条件．若a≥0，f（0）＝a2≤2，即0≤a2≤.【详解】（1）当12a=时，当x≤0时，f（x）＝（x12-）2≥（12-）214=，当x＞0时，f（x）＝x1x+≥1xx⋅=2，当且仅当x＝1时取等号，则函数的最小值为14， （2）由（1）知，当x ＞0时，函数f （x ）≥2，此时的最小值为2，若a ＜0，则当x ＝a 时，函数f （x ）的最小值为f （a ）＝0，此时f （0）不是最小值，不满足条件．若a ≥0，则当x ≤0时，函数f （x ）＝（x ﹣a ）2为减函数， 则当x ≤0时，函数f （x ）的最小值为f （0）＝a 2， 要使f （0）是f （x ）的最小值，则f （0）＝a2≤2，即0≤a ≤即实数a 的取值X 围是[0]【点睛】本题主要考查分段函数的最值的求法，考查分段函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.16. 已知函数()()()212ln f x a x x =---.若函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，则a 的最小值为________. 【答案】24ln 2- 【解析】 【分析】因为f （x ）＜0在区间（0，12）上恒成立不可能，故要使函数f （x ）在（0，12）上无零点，只要对任意的x ∈（0，12），f （x ）＞0恒成立，然后利用参变量分离，利用导数研究不等式另一侧的最值即可求出a 的最小值．【详解】因为()0f x <在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立不可能，故要使函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，只要对任意的10,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x ，()0f x >恒成立，即对任意的10,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x ，2ln 21x a x >--恒成立.令()2ln 21x l x x =--，10,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x ，则()()222ln 2'1x x l x x +-=-， 再令()22ln 2m x x x =+-，10,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x ，则()()22212'20x x x xm x ---==+<， 故()m x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，于是()122ln 202m x m ⎛⎫>=-> ⎪⎝⎭， 从而()'0l x >，于是()l x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，所以()124ln 22l x l ⎛⎫<=-⎪⎝⎭， 故要使2ln 21xa x >--恒成立，只要[)24ln 2,a ∈-+∞， 综上，若函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，则a 的最小值为24ln 2-. 故答案为：24ln 2-【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值，同时考查了转化的思想和参变量分离的方法以及运算求解的能力，属于中档题． 四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4cos cos cos a A c B b C =+. （1）若4a =，ABC ∆b ，c 的值；（2）若()sin sin 0B k C k =>，且角C 为钝角，某某数k 的取值X 围. 【答案】（1）4b =，2c =或2b =，4c =（2）10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】先由正弦定理和三角恒等变换，同角的三角函数基本关系求出cosA 、sinA 的值； （1）利用余弦定理和三角形的面积公式列出方程组，求出b 、c 的值；（2）利用正弦定理和余弦定理，结合角C 为钝角，求出k 的取值X 围． 【详解】△ABC 中，4acosA ＝ccosB +bcosC ，∴4sinAcosA ＝sinCcosB +sinBcosC ＝sin （C +B ）＝sinA ， ∴cosA 14=，∴sinA 4==； （1）a ＝4，∴a 2＝b 2+c 2﹣2bc •cosA ＝b 2+c 212-bc ＝16①； 又△ABC 的面积为：S△ABC 12=bc •sinA 12=bc = ∴bc ＝8②；由①②组成方程组，解得b ＝4，c ＝2或b ＝2，c ＝4； （2）当sinB ＝ksinC （k ＞0），b ＝kc ， ∴a 2＝b 2+c 2﹣2bc •cosA ＝（kc ）2+c 2﹣2kc •c •14=（k 212-k +1）c 2； 又C 为钝角，则a 2+b 2＜c 2， 即（k 212-k +1）+k 2＜1，解得0＜k 14＜； 所以k 的取值X 围是10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】主要考查了同角三角函数的基本关系式，三角恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用问题，是综合性题目．18. 近年来，国资委.党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如下表所示：并调查了某村300名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示:（1）求出相关系数r 的大小，并判断管理时间y 与土地使用面积x 是否线性相关？ （2）是否有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取3人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为x ,求x 的分布列及数学期望． 参考公式：1()()ni xx y y r --=∑22(),()()()()n adbc k a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++．临界值表：25.2≈【答案】（1）线性相关；（2）有；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）分别求出3x=，16y=，从而521()10iix x=-=∑，521()254iiy y=-=∑，51()()47i iix x y y=--=∑，求出()()0.933ni ix x y yr--==≈∑，从而得到管理时间y与土地使用面积x线性相关．（2）完善列联表，求出218.7510.828K=>，从而有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．（3）x的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为16，由此能求出X的分布列和数学期望．【详解】解：依题意：123458101325243,1655x y++++++++====故51()()(2)(8)(1)(6)192847ix x y y=--=-⨯-÷-⨯-+⨯+⨯=∑552211()411410,()643698164254i ix xy y==-=+++=-=++++=∑∑则5521()()0.933)(x x y yrx y--===≈-∑∑，故管理时间y 与土地使用面积x 线性相关． （2）依题意，完善表格如下：计算得2k 的观测值为22300(150505050)3005000500018.7510.828200100200100200100200100k ⨯⨯-⨯⨯⨯===>⨯⨯⨯⨯⨯⨯故有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性．（3）依题意，x 的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为16，故35125(0)(),6216P X===1235125(1)(),6672P X C ==⨯⨯=233332515(2)(11(3)62),721666P P X X C C ⎛⎫=== ⎪⎭⨯⎝==⨯= 故x 的分布列为则数学期望为12525511()012321672722162E X =⨯+⨯+⨯+⨯= （或由1(3,)6X B ~，得11()362E X =⨯=【点睛】本题主要考查相关系数的求法、独立检验的应用、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法以及二项分布等．19. 已知数列{}n a 的各项均为正数，对任意*n ∈N ，它的前n 项和n S 满足()()1126n n n S a a =++，并且2a ，4a ，9a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()111n n n n b a a ++=-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T .【答案】（1）32n a n =-，*n ∈N （2）2186n n -- 【解析】 【分析】（1）根据n a 与n S 的关系，利用临差法得到13n n a a --=，知公差为3；再由1n =代入递推关系求1a ；（2）观察数列{}n b 的通项公式，相邻两项的和有规律，故采用并项求和法，求其前2n 项和. 【详解】（1）对任意*n ∈N ，有()()1126n n n S a a =++，① ∴当1a =时，有()()11111126S a a a ==++，解得11a =或2. 当2n ≥时，有()()1111126n n n S a a ---=++.② ①-②并整理得()()1130n n n n a a a a --+--=. 而数列{}n a 的各项均为正数，13n n a a -∴-=.当11a =时，()13132n a n n =+-=-， 此时2429a a a =成立；当12a =时，()23131n a n n =+-=-，此时2429a a a =，不成立，舍去.32n a n ∴=-，*n ∈N .（2）2122n n T b b b =+++=12233445221n n a a a a a a a a a a +-+-+-()()()21343522121n n n a a a a a a a a a -+=-+-++-242666n a a a =----()2426n a a a =-+++()246261862n n n n +-=-⨯=--.【点睛】已知n S 与n a 的递推关系，利用临差法求n a 时，要注意对下标与n 分两种情况，即1,2n n =≥；数列求和时要先观察通项特点，再决定采用什么方法.20. 如图，点C 在以AB 为直径的圆O 上，PA 垂直与圆O 所在平面，G 为 AOC ∆的垂心 （1）求证：平面OPG ⊥平面 PAC ；（2）若22PA AB AC ===，求二面角A OP G --的余弦值.【答案】（1）见解析（2）5117. 【解析】试题分析：（1）延长OG 交AC 于点M ，由重心性质及中位线性质可得//OM BC ，再结合圆的性质得OM AC ⊥，由已知PA OM ⊥，可证OM ⊥ 平面PAC ，进一步可得平面OPG ⊥ 平面PAC ；（2）以点C 为原点，CB ，CA ，AP 方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用二面角与二个半平面的法向量的夹角间的关系可求二面角的余弦值．试题解析：（1）如图，延长OG 交AC 于点M .因为G 为AOC ∆的重心，所以M 为AC 的中点.因为O 为AB 的中点，所以//OM BC .因为AB 是圆O 的直径，所以BC AC ⊥，所以OM AC ⊥.因为PA ⊥平面ABC ，OM ⊂平面ABC ，所以PA OM ⊥.又PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面,PAC PA AC ⋂=A ，所以OM ⊥ 平面PAC .即OG ⊥平面PAC ，又OG ⊂平面OPG ，所以平面OPG ⊥平面PAC .（2）以点C 为原点，CB ，CA ，AP 方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系C xyz -，则()0,0,0C ，()0,1,0A ，)3,0,0B，31,022O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1,2P ，10,,02M ⎛⎫⎪⎝⎭，则32OM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，31,222OP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.平面OPG 即为平面OPM ，设平面OPM 的一个法向量为(),,n x y z=，则30,{3120,22n OM x n OP x y z ⋅=-=⋅=-++=令1z =，得()0,4,1n =-.过点C 作CH AB ⊥于点H ，由PA ⊥平面ABC ，易得CH PA ⊥，又PA AB A ⋂=，所以CH ⊥平面PAB ，即CH 为平面PAO 的一个法向量.在Rt ABC ∆中，由2AB AC =，得30ABC ∠=︒，则60HCB ∠=︒，132CH CB ==. 所以3cos H x CH HCB =∠=，3sin 4H y CH HCB =∠=.所以33,,04CH ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭. 设二面角A OP G --的大小为θ，则cos CH n CH nθ⋅==⋅223304104425139411616⨯-⨯+⨯=+⨯+. 点睛：若12,n n 分别二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小θ满足12cos ,cos n n θ=〈〉，二面角的平面角的大小是12,n n 的夹角(或其补角，需根据观察得出结论)．在利用向量求空间角时，建立合理的空间直角坐标系，正确写出各点坐标，求出平面的法向量是解题的关键．21. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，12||2F F ，过点1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，延长2BF 交椭圆C 于点M ，2ABF ∆的周长为8.（1）求C 的离心率及方程；（2）试问：是否存在定点0(,0)P x ，使得·PM PB 为定值？若存在，求0x ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）12,22143x y +=； （2）存在点P ，且0118x =.【解析】 【分析】（1）由已知条件得1c =，2a =，即可计算出离心率和椭圆方程（2）假设存在点P ，分别求出直线BM 的斜率不存在、直线BM 的斜率存在的表达式，令其相等，求出结果【详解】（1）由题意可知，12||=2c=2F F ，则1c =， 又2ABF ∆的周长为8，所以48a =，即2a =， 则12c e a ==，2223b a c =-=. 故C 的方程为22143x y +=.（2）假设存在点P ，使得·PM PB 为定值.若直线BM 的斜率不存在，直线BM 的方程为1x =，31,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，31,2M ⎛⎫-⎪⎝⎭， 则()209·14PM PB x =--. 若直线BM 的斜率存在，设BM 的方程为()1y k x =-，设点()11,B x y ，()22,M x y ，联立()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()22224384120k x k x k +-+-=，根据韦达定理可得：2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+， 由于()202,PM x x y =-，()101,PB x x y =-，则()212120012•PM PB x x x x x x y y =-+++()()()()22200022221201202485312143x x k x k x x x k x x k x k --+-=+-++++=+因为·PM PB 为定值，所以2200048531243x x x ---=， 解得0118x =，故存在点P ，且0118x =. 【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及定值问题，在解答定值问题时先假设存在，分别求出斜率不存在和斜率存在情况下的表达式，令其相等求出结果，此类题型的解法需要掌握 22. 设函数()()ln 1f x ax bx =++，()()2g x f x bx =-.（1）若1a =，1b =-，求函数()f x 的单调区间；（2）若曲线()y g x =在点()1,ln3处的切线与直线1130x y -=平行. ①求a ，b 的值； ②某某数()3k k ≤的取值X 围，使得()()2g x k x x >-对()0,x ∈+∞恒成立.【答案】（1）单调增区间为()1,0-，单调减区间为()0,∞+；（2）①23a b =⎧⎨=-⎩；②[]1,3.【解析】 【分析】（1）求出()f x '后讨论其符号可得函数的单调区间.（2）根据函数在()1,ln3处切线的斜率可得23a b =⎧⎨=-⎩，构建新函数()()()2F x g x k x x =--，就1,13k k <≤≤分类讨论()F x 的单调性后可得k 的取值X 围.【详解】（1）当1a =，1b =-时，()()ln 1f x x x =+-，()1x >-， 则()1111xf x x x-'=-=++.当()0f x '>时，10x -<<；当()0f x '<时，0x >； 所以()f x 的单调增区间为()1,0-，单调减区间为()0,∞+. （Ⅱ）（ⅰ）因为()()()()22ln 1g x f x bx ax b x x=-=++-，所以()()121ag x b x ax'=+-+. 依题设有()()()1ln 11113g a g ⎧=+='⎪⎨⎪⎩，即()ln 1ln 31113a a b a ⎧+=⎪⎨-=⎪+⎩.解得23a b =⎧⎨=-⎩.（ⅱ）由（ⅰ）得()()()2ln 123g x x x x =+--，1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭. ()()2g x k x x >-对()0,x ∈+∞恒成立即()()20g x k x x -->对()0,x ∈+∞恒成立.令()()()2F x g x k x x =--.则有()()243112k x k F x x-+-'=+.①当13k ≤≤时，当()0,x ∈+∞时，()0F x '>， 所以()F x 在()0,∞+上单调递增.所以()()00F x F >=，即当()0,x ∈+∞时，()()2g x k x x >-恒成立；②当1k <时，当x ⎛∈ ⎝时，()0F x '<， 所以()F x在⎛ ⎝上单调递减，故当x ⎛∈ ⎝时，()()00F x F <=，即当()0,x ∈+∞时，()()2g x k x x >-不恒成立.综上，[]1,3k ∈.【点睛】本题考查含参数的函数的单调性以及不等式的恒成立，前者利用导数的符号的正负来说明，后者需构造新函数，通过新函数的最值来讨论，本题属于难题.。
2020届高三毕业班第一次综合质量检测数学(理)试题—附答案
5.
已知函数
f
(
x)
1
x x
2
sin x ，则函数 y
f (x) 的图像大致为
A．
B．
C．
D．
6．从区间 0，1随机抽取 2n 个数 x1, x2 ,, xn , y1, y2 ,, yn ，组成坐标平面上的 n 个点
(x1, y1 ) ，(x2 , y2 ) ，… (xn , yn ) ，其中到原点距离小于1的点有 m 个，用随机模拟的
A．20100
B．20200
C．40200
D．40400
12．在棱长为 4 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E, F 分别为 AA1, BC 的中点，点 M 在
棱 B1C1 上， B1M
1 4
B1C1
，若平面
FEM
交
A1B1 于点 N
，四棱锥 N
BDD1B1 的五
个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 半径为
A(3, 0, 0) ， B(0, 3, 0) ， S(0, 3 , 3 3 ) ， C(1,0,0) ， 22
上．
（1）求曲线 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程． （2）求△PAB 面积的最大值．
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f (x) | 2x t | ，若 f (x) 1的解集为 (1,0) ． （1）求 t 并解不等式 f (x) x 2 ； （2）已知： a,b R ，若 f (x) 2a b | 2x 2 | ，对一切实数 x 都成立， 求证： a 2b 1 ．
3
2
根据所给数据用事件发生的频率来估计相应事件发生的概率，估计该顾客支付的平均费用
2020年山东省济宁市高考数学一模试卷(文科)
A. （0，1]
B. （0，1）
C. （1，+∞）
Байду номын сангаас
D. [1，+∞）
12. 已知双曲线
的左,右焦点分别为 , ,圆
与双
曲线在第一象限内的交点为 M,若
,则该双曲线的离心率为( )
A. 2
B. 3
C.
D.
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 曲线 f（x）=xex+2 在点（0，f（0））处的切线方程为______．
22. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 M 的直角坐标为（1，0），直线 l 的参数方程
为
（t 为参数）；以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐
标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρsin2θ=2cosθ． （Ⅰ）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线 l 和曲线 C 交于 A，B 两点，求
3.【答案】D
【解析】【分析】 本题考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法、数乘和数量积的运算．
2.【答案】C
【解析】【分析】 本题考查了集合的化简与运算问题，考查计算能力，是基础题目．化简集合 A、B，求 出 A∩B 即可． 【解答】 解：∵集合 A={x|x2-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3}=[-1，3]， B={x|y=ln（2-x）}={x|2-x＞0}={x|x＜2}=（-∞，2）； ∴A∩B=[-1，2）． 故选 C．
14. 若变量 x，y 满足则目标函数
则目标函数 z=x+4y 的最大值为______
． 15. 若圆 C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4 上恰好有 3 个点到直线 y＝2x+b 的距离等于 1，
济宁市2020届高三期末试题数学试题含标准答案
2019—2020学年度第一学期质量检测高三数学试题本试卷满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}{}11,12x M x x N x M N =-≤≤=<<4⋂=，则 A ．{}10x x -≤<B ．{}01x x <≤C ．{}1x x ≤<2D ．{}1x x -≤<22．若0.1212,ln 2,log 5a b c ===，则 A ．b c a >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．a b c >>3．在ABC ∆中，1,3,1AB AC AB AC ==⋅=-u u u r u u u r，则ABC ∆的面积为A.12B ．1C ．2D ．2 4．已知A ，B ，C 为不共线的三点，则“AB AC AB AC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r”是“ABC ∆为直角三角形”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数22cos cos 1,,22y x x x ππ⎡⎤=-++∈-⎢⎥⎣⎦的图象大致为6．已知奇函数()f x 在R 上单调，若正实数,a b 满足()()11490f a f b a b+-=+，则的最小值是 A ．1B ．92C ．9D ．187．已知12,F F 是双曲线()222210,x y a b a b-=>>0的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠(O 为坐标原点)，则双曲线的渐近线方程为 A ．2y x =± B ．y x =±C ．y =D ．y =8．已知函数()()()ln 10f x x a x a a =+-+>，若有且只有两个整数12,x x 使得()10f x >，且()20f x >，则a 的取值范围是A ．3ln 30,2+⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()0,2ln 2+ C ．3ln 3,2ln 22+⎡⎫+⎪⎢⎣⎭ D ．2ln 243ln 3,32++⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．下列命题中的真命题是 A ．1,20x x R -∀∈>B ．()2,10x N x *∀∈->C ．00,11x R gx ∃∈<D ．00,tan 2x R x ∃∈=10．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移4π个单位后得到函数()g x 的图象，则函数()g x 具有性质A ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数B ．最大值为1，图象关于直线32x π=-对称 C ．在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，为奇函数D ．周期为π，图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称11．己知m n 、为两条不重合的直线，αβ、为两个不重合的平面，则下列说法正确的是 A ．若//,//////m n m n αβαβ且，则B ．若//,,//m n m n αβαβ⊥⊥，则C ．若//,,////m n n m m ααβββ⊂⊄，,则D ．若//,,//m n n m ααββ⊥⊥，则12．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件1201920201,1a a a >>，20192020101a a -<-，下列结论正确的是A ．S 2019<S 2020B ．S 2019S 2021－1<0C ．T 2020是数列{}n T 中的最大值D ．数列{}n T 无最大值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在()82x y -的展开式中，含44x y 项的系数是_______．14．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为,l P l 是上一点，Q 是直线PF 与抛物线C的一个交点，若3=PF QF QF =u u u r u u u r，则_______．15．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t(单位：年)的衰变规律满足N =1573002N -⋅(0N 表示碳14原有的质量)，则经过5730年后，碳14的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来1325至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到5730年之间．(参考数据：log 23≈1.6，log 25≈2.3)(本题第一空2分，第二空3分)16．如图是两个腰长均为10cm 的等腰直角三角形拼成的一个四边形ABCD ，现将四边形ABCD 沿BD 折成直二面角A —BD —C ，则三棱锥A —BCD 的外接球的体积为______cm 3．四、解答题：本题共6小题，共70分。
山东省济宁市第一中学2024学年高三下学期半期考试数学试题
山东省济宁市第一中学2024学年高三下学期半期考试数学试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若i 为虚数单位，则复数22sin cos 33z i ππ=-+的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知直线l ：210y x =+过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点且与其中一条渐近线平行，则双曲线的方程为（ ）A ．221520x y -=B ．221205x y -=C ．221169x y -= D ．221916x y -=3．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （ ）A ．2cos x -B ．2sin x -C ．2cos xD ．2sin x5．已知A 类产品共两件12,A A ，B 类产品共三件123,,B B B ，混放在一起，现需要通过检测将其区分开来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件A 类产品或者检测出3件B 类产品时，检测结束，则第一次检测出B 类产品，第二次检测出A 类产品的概率为（ ） A ．12B ．35C ．25D ．3106．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ，11A D 的中点分别为E ，F ，则直线EF 与平面11AA D D 所成角的正弦值为（ ）A ．55B ．306C ．66D ．2557．设i 是虚数单位，则()()2332i i +-=（ ） A ．125i +B ．66i -C ．5iD ．138．已知函数()22018tan 1xx m f x x x m =+++()0,1m m >≠，若()13f =，则()1f -等于（ ）A ．-3B ．-1C ．3D ．09．已知()()11,101,012x f x f x x x ⎧--<<⎪+⎪=⎨⎪≤<⎪⎩，若方程()21f x ax a -=-有唯一解，则实数a 的取值范围是( )A ．{}()81,-⋃+∞B ．{}()116,12,2⎛⎤-⋃⋃+∞⎥⎝⎦C ．{}()18,12,2⎡⎤-⋃⋃+∞⎢⎥⎣⎦D ．{}[]()321,24,-⋃⋃+∞10．ABC ∆中，25BC =，D 为BC 的中点，4BAD π∠=，1AD =，则AC =（ ）A ．25B ．22C ．65-D ．211．若函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()x e xf x x+=B ．()21x f x x -=C ．()x e xf x x-=D ．()21x f x x +=12．已知复数(2)1ai iz i+=-是纯虚数，其中a 是实数，则z 等于（ ）A ．2iB ．2i -C ．iD ．i -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省济宁市嘉祥一中2020届高三数学下学期第一次质量检测试题(含解析)
则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
3.已知向量 OA (3, 4) ， OB (6, 3) ， OC (2m, m 1) ．若 AB OC ，则实数 m 的值
为（ ）
1 A. 5
-3 B. 5
C. 3
1 D. 7
【答案】C
【解析】 【分析】
根据向量共线坐标表示得方程，解得结果.
根据不等式的性质判断即可．
【详解】解：若 a 0 b ， 0 c d ，则 ac bd ，故 A 错；
若 ab 0 ， bc ad
bc ad 0 ，则 ab
0
c
，化简得 a
d b
0
，故 B 对；
若 c d ，则 d c ，又 a b ，则 a d b c ，故 C 对；
【分析】
设 x 0 ，则 x 0 ，则由题意得 f x ex x 1，根据奇函数 f x f x即可
求出解析式，即可判断 A 选项，再根据解析式分类讨论即可判断 B、C 两个选项，对函数求
导，得单调性，从而求出值域，进而判断 D 选项．
【详解】解：（1）当
x
0
时，
x
0 ，则由题意得
f
x
当且仅当
b a
a b
且
1 a
2 b
3
即
a
b
1
时，等号成立；
故选：C．
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，考查对数的运算法则，利用基本不等式求最值时
应注意“一正二定三相等”，注意“1”的代换，属于中档题．
7.已知圆 C : x2
y2
10 y 21 0 与双曲线
x2 a2
y2 b2
专题04 求函数的定义域、值域(原卷版)
专题04 求函数的定义域、值域【热点聚焦与扩展】函数的定义域作为函数的要素之一，是研究函数的基础，也是高考的热点.函数的值域也是高考中的一个重要考点，并且值域问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分.所以在掌握定义域求法的基础上，掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点，寻找对应的方法从容解决.（一）函数的定义域1.求函数定义域的主要依据是：①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.2.①若的定义域为，则不等式的解集即为函数的定义域； ②若的定义域为，则函数在上的的值域即为函数的定义域．3.对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解.4.与定义域有关的几类问题第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义； 第三类是不给出函数的解析式，而由的定义域确定函数的定义域或由的定义域确定函数的定义域．第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决． （二）函数的值域1.利用函数的单调性:若是上的单调增(减)函数,则,分别是在区间上取得最小(大)值,最大(小)值.2.利用配方法:形如型,用此种方法,注意自变量x 的范围.3.利用三角函数的有界性,如.4.利用“分离常数”法:形如y= 或 (至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法. 一般地，()y f x =(),a b ()a g x b <<()()y f g x =()()y f g x =(),a b ()g x (),a b ()y f x =()f x )]([x g f )]([x g f ()f x )(x f ],[b a )(a f )(b f )(x f ],[b a 2(0)y ax bx c a =++≠sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-ax b cx d ++2ax bx ey cx d++=+c a ,① ：换元→分离常数→反比例函数模型② ：换元→分离常数→模型③ ：同时除以分子：→②的模型 ④ ：分离常数→③的模型共同点：让分式的分子变为常数5.利用换元法: 在高中阶段，与指对数，三角函数相关的常见的复合函数分为两种： ① ：此类问题通常以指对，三角作为主要结构，在求值域时可先确定的范围，再求出函数的范围. ② ：此类函数的解析式会充斥的大量括号里的项，所以可利用换元将解析式转为的形式，然后求值域即可. ③形如,可用此法求其值域. 6.利用基本不等式法:7.导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域8.分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值域范围是否符合相应段的自变量的取值范围．数形结合法也可很方便的计算值域. 9.由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部 分剔除.10.数形结合法：即作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合.（1）的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下（或靠上）的部分为该 函数的图象，从而利用图象求得函数的值域.（2）函数的解析式具备一定的几何含义，需作图并与解析几何中的相关知识进行联系，数形结合求得值域，ax by cx d+=+2ax bx cy dx e++=+a y x x =±2dx ey ax bx c+=++21y ax bx c dx e=+++22ax bx cy dx ex f++=++()()(),log ,sin f x a y ay f x y f x ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()f x ()()(),log ,sin xay f ay f x y f x ===()y f t =y ax b =+()f x ()f x如：分式→直线的斜率；被开方数为平方和的根式→两点间距离公式.（三）常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归.（1）一次函数（）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域. （2）二次函数（），给定区间.二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解.（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）. （3）反比例函数：（1）图像关于原点中心对称（2）当 ，当. （4）对勾函数： ① 解析式特点：的系数为1；注：因为此类函数的值域与相关，求的值时要先保证的系数为，再去确定的值 例：，并不能直接确定，而是先要变形为，再求得② 极值点：③ 极值点坐标：y kx b =+2y ax bx c =++1y x=,0x y →+∞→,0x y →-∞→()0ay x a x=+>x 0a>a a x 1a 42y x x =+4a =22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2a=x x ==(,-④ 定义域：⑤ 自然定义域下的值域： （5）函数： 注意与对勾函数进行对比① 解析式特点：的系数为1； ② 函数的零点：③ 值域：（5）指数函数（）：其函数图像分为与两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为（6）对数函数（）其函数图像分为与两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()(),00,-∞+∞(),2,a ⎡-∞-+∞⎣()0ay x a x=->x 0a >x a =±R xy a =1a >01a <<()0,+∞log a y x =1a >01a <<()0,+∞【经典例题】例1.【2020年高考北京卷11】函数1()=ln 1f x x x ++的定义域是__________．例2．【河南省部分重点高中2020届高三三模】函数y =的定义域是（ ）A ．（0，1）∪（1，4]B ．（0，4]C ．（0，1）D ．（0，1）∪[4，+∞）例3．【福建省2020届高三考前冲刺适应性模拟卷】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为（） A ．[)(]0,11,2 B ．[)(]0,11,4 C ．[)0,1 D ．(]1,4 例4．【山东省济宁市第一中学2020届高三三模】函数()1lnxf x x =-的定义域为（ ） A ．[)()0,11,⋃+∞B ．()()0,11,⋃+∞C ．[)0,+∞ D ．()0,+∞例5．【黑龙江省哈尔滨市第一中学校2020届高三三模】已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为 （ ） A ．(1,1)-B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)2例6．【山东省实验中学2020年高三三模】若函数()f x 的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．22（﹣，）B ．22∞∞⋃+（﹣，﹣）（，）C ．][22∞∞⋃+（﹣，﹣，）D ．[]22﹣，例7．【山东省泰安市2020届高三6月全真模拟（三模）数学试题】已知函数()f x =()11f x x -+的定义域为（ ）A ．(),1-∞B ．(),1-∞-C ．()(),11,0-∞-- D ．()(),11,1-∞--【精选精练】1．【江西省宜春市宜丰中学2020高三三模】函数()()2log 1f x x =- ） A ．(),1-∞B ．[)1,1-C ．(]1,1-D ．[)-1,+∞2．【2020届北京市东城区高三统练】下列函数中，与函数()15xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域和值域都相同的是（ ）A ．22y x x =+，0x >B ．1y x =+C ．10x y -=D ．1y x x=+3．【吉林省梅河口市第五中学2020届高三第七次模拟考】已知函数()21,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a=有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()3122344x x x x x -++的取值范围是（ ） A ．(]6,9B ．()6,9C．()+∞D．)⎡+∞⎣4．【浙江省宁波市镇海中学2020届高三仿真测试数学试题】若函数()f x 满足()()a f x b a b ≤≤<，定义b a -的最小值为()f x 的值域跨度，则下列函数中值域跨度不为2的是（ ）A ．()cos21f x x =+B ．()f x =C ．()1f x x x =--D ．()3232x xx xf x -=+ 5．【2020届湖北省高三高考模拟调研考试】函数y x = ）. A．2⎡⎤-⎣⎦B ．[]0,4C．0,2⎡+⎣D．2⎡-+⎣6．【东北三省三校2020届高三第四次模拟考试】已知函数()2cos 4x x x f x a=+是偶函数，则函数()f x 的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．12D ．37．【江西省赣州一中2020年高三三模】已知函数2()32(3)3f x x m x m =-+++的值域为[0,)+∞，则实数m 的取值范围为（ ）A ．{0,3}-B ．[3,0]-C ．(,3][0,)-∞-⋃+∞D ．{0,3}8．【2020届湖南省五岳高三6月联考】函数()26512x x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（ ）A ．(]0,16B ．[)16,+∞C ．10,16⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭9．【2020届百校联考高考考前冲刺必刷卷】函数()284f x x x =-+在[]1,8上的值域为（ ） A ．[]12,3--B ．[]16,4-C ．[]3,4-D ．[]12,4-10．【2020届福建省福州第一中学高三考试数学试题】若函数y (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．411．【2020届上海市高三高考压轴卷数学试题】函数()lg 2cos 21y x =-的定义域是______. 12．【2020届江苏省淮安市新淮高级中学高三调研数学试题】函数()2134lg x y x x -=--的定义域是____________13．【2020届上海市高考模拟数学试题】对于函数()f x =,其中0b >,若()f x 的定义域与值域相同,则非零实数a 的值为______________.14．【2020届陕西省咸阳市高三高考模拟检测数学试题】如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”. 试写出y =“同域函数”的解析式为____________.15．【浙江省衢州二中2020届高三下学期6月模拟数学试题】已知函数()f x =[)0,+∞，则实数t 的取值范围是__________．16．【2020届江苏省南京市第二十九中高三三模】已知函数()[]11,1,05xf x x ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，()22log +3,g x a x a x ⎤=∈⎥⎢⎥⎣⎦，若对任意的0x ⎤∈⎥⎢⎥⎣⎦，总存在[]11,0x ∈-使得()()01g x f x =成立，则实数a的取值范围是__________．。
济宁市第一中学2020届高三数学下学期3月自测试题含解析
【解析】
【分析】
根据导数解决函数的的极值,零点，不等式等问题依次讨论选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，函数的的定义域为 ，函数的导数 ，
∴ 时， ，函数 单调递减，
时， ，函数 单调递增，
∴ 是 的极小值点，故A错误；
对于B选项， ，
∴ ，
∴ 函数在 上单调递减，
又∵ , ，
∴ 函数 有且只有1个零点，故B正确;
他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数m 36，
则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是p ．
故选:B．
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合中的分组分配等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6。 已知 、 、 、 ，从这四个数中任取一个数 ，使函数 有极值点的概率为（ ）
A. -15B。-7C。 3D。 15
【答案】A
【解析】
【分析】
根据奇函数定义域关于原点中心对称，可求得 的值.根据奇函数性质，即可求得 的值.
【详解】因为奇函数的定义域关于原点中心对称
则 ，解得
因为奇函数 当 时，
则
故选:A
【点睛】本题考查了奇函数的定义域关于原点对称，奇函数的性质应用,属于基础题。
A。 若随机变量 服从正态分布 ， ，则 ；
B。 已知直线 平面 ,直线 平面 ,则“ "是“ ”的充分不必要条件；
C。 若随机变量 服从二项分布： ,则 ;
D. 是 的充分不必要条件。
【答案】ABCD
【解析】
【分析】
由随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2），则曲线关于x＝1对称，即可判断A；结合面面平行性质定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．可判断B；
山东省济宁市2020届高三数学第一次高考模拟试题 理(2020济宁一模,无答案)
山东省济宁市2020届高三第一次模拟考试数学（理工类）试题2020.03本试题分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
注意事项：1.第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.参考公式：柱体的体积公式：V=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高. 锥体的体积公式：Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高. 圆柱的侧面积公式：cl S =，其中c 是圆柱的底面周长，l 是圆柱的母线长. 球的表面积公式：24R S π=，其中R 是球的半径.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{x N x U *∈=＜}6，集合(){}5,3,3,1==B A ，则()B A C U ⋃等于 A.{}4,1 B.{}5,1 C.{}5,2 D.{}4,22.已知i 是虚数单位，复数()iz 31-=()i -3， z 是z 的共轭复数，则 z 的虚部为 A.4 B.—4 C.2D.—2 3.已知2:;41x q x p ：≤+ ＜65-x .则p 是q 成立的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是A.π5B.π6C.π7D.π85.在ABC ∆中，o 30,1,3===B AC AB 则ABC ∆的面积等于A.23B.43C.23或43D.23或3 6.已知(x y x 182=+＞0，y ＞)0，则y x +的最小值为 A.20 B.18C.16D.14 7.已知n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32的展开式中二项式系数的和为16，则展开式中含x 项的系数为 A. 2500B.240C.224D.14 8.函数()ππ≤≤-=x e y x sin 的图象大致为9.若等边ABC ∆的边长为32，平面内一点M 满足CA CB CM 3131+=，则⋅等于 A.32 B.32-C.2D. 2- 10.已知抛物线y x 122=的焦点与双曲线132-=-y ax 的一个焦点重合，则以此抛物线的焦点为圆心，双曲线的离心率为半径的圆的方程是A.()9322=-+y xB.()3322=+-y xC.()3322=-+y xD.()9322=+-y x 11.已知平面向量()()()y x c b a ,,1,2,2.1===，且满足.0,0≥≥y x 若,1,1≥⋅≥⋅c b c a ()c b a z ⋅+-=，则A.z 有最小值2-B.z 有最大值2-C.z 有最小值3-D.z 有最大值3-12.已知定义域为R 的函数()x f 既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23,0x 时，()023,sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛=f x x f π，则函数()x f 在区间[]6,0上的零点个数是A.9B.7C.5D.3第II 卷（非选择题 共90分）注意事项：1.第II 卷共2页，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B 铅笔，要字体工整，笔迹清晰，严格在题号所指示的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共4小题，共16分，将答案填写在答题纸上.13.执行如图所示的程序框图，那么输出的S 的值是_____▲______. 14.如图，圆222:π=+y x O 内的正弦曲线x y sin =与x 轴围成的区域记为M （图中阴影部分），在圆O 内随机取一个点A ，则点A 取自区域M 内的概率是_____▲______.15.已知数列{}n a 为等差数列，其公差为2-，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为数列{}n a 的前n 项和，*N n ∈，则S 13的值为_____▲______.16.给出下列命题：①命题“x x R x -∈∃2,＞0”的否定是“0,2≤-∈∀x x R x ”； ②命题“若2am ＜2bm ，则a ＜b ”的逆命题是真命题；③()x f 是()()+∞⋃∞-,00,上的奇函数，x ＞0时的解析式是().2*=x f 则x ＜0时的解析式为()x x f --=2；④若随机变量(),,1~2σξN 且()3.010=≤≤ξP ，则().2.02=≥ξP 其中真命题的序号是_____▲______.（写出所有你认为正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知函数()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤+----=2021cos cos sin 32πϕϕϕϕx x x x f 为偶函数.（I ）求函数()x f 的最小正周期及单调减区间；（II ）把函数()x f 的图象向右平移6π个单位（纵坐标不变），得到函数()x g 的图象，求函数()x g 的对称中心.18.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为A n ，且满足;63,6951==+A a a 数列{}n b 的前n 项和为B n ，且满足()*12N n b B n n ∈-=. （I ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式a b ，b n ；（II ）设n n n b a c ⋅=求数列{}n c 的前n 项和S n .19.（本小题满分12分）某高中社团进行社会实验，对[]55,25岁的人群随机抽取1000人进行了一次是否开通“微博”的调查，若开通“微博”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”.通过调查得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示，其中在[)45,40岁、[)50,45岁年龄段人数中，“时尚族”人数分别占本组人数的40%、30%.请完成以下问题：（I ）求[)45,40岁与[)50,45岁年龄段“时尚族”的人数；（II ）从[)45,40岁和[)50,45岁年龄段的“时尚族”中，采用分层抽样法抽取9人参加网络时尚达人大赛，其中选取3人作为领队，已选取的3名领队中年龄在[)45,40岁的人数为X ，求X 的分布列和数学期望EX.20.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥ABCD P -，底面ABCD 为菱形，⊥PA 平面ABCD ，∠ABC=60°，E 、F 分别是BC ，PC 的中点，AB=2，AP=2.（I ）求证：AE ;PD ⊥（II ）求二面角C AF E --的余弦值.21.（本小题满分12分） 已知椭圆(a b y a x C 1:2222=+＞b ＞)0的离心率为21，以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线06=+-y x 相切.（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）设点P （4，0），A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 与另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点.22.（本小题满分14分）已知函数()()()x e x g x f b x ax x g '=++=,213123，其中e 为自然对数的底数 （I ）若函数()x g 在点()()1,1g 处的切线与直线012=+-y x 垂直，求实数a 的值； （II ）若()x f 在[]1,1-上是单调增函数，求实数a 的取值范围；（III ）当a =0时，求整数k 的所有值，使方程()2+=x x f 在[]1,+k k 上有解.。
济宁一中2025届高三第一次质量检测-数学答案
济宁市第一中学2024—2025学年度第一学期质量检测（一）高三数学答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.D2．D3.B4.B5.C6.C7.D 【详解】构造函数()()g x f x x =-+，(1)312g -=-=，()()10g x f x ''=--+<，即函数()g x 在上单调递减，()2f x x -<-等价于()(1)g x g <-，解得1x >-.即()2f x x -<-的解集为()1,∞-+.8.C 【详解】当0x ≥时，()e ln 11xy x =+++，所以1e 01xy x '=+>+在[)0,∞+上恒成立，所以函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以()()02f x f ≥=，0x ≥.当0x <时，22y x ax a =---，若0a -<即0a >，函数()f x 在(),a -∞-上单调递增，在(),0a -上单调递减，所以()()2f x f a a a ≤-=-，0x <.又函数的值域为R ，所以22a a -≥，（0a >）⇒2a ≥；若0a ->即a<0，函数()f x 在(),0∞-上单调递增，所以()()0f x f a <=-，0x <.又函数的值域为R ，所以2-≥a （a<0）⇒2a ≤-.综上可知：2a ≤-或2a ≥.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.ACD10.ABD 【详解】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，则(f x -1)(3)f x =+，即()(4)f x f x =+，因此()f x 是周期为4的周期函数，C 正确；令=1x -，得(2)(0)(2)f f f -+=-，则(0)0f =，因此(2024)(0)0f f ==，A 错误；由(26)(2)f x f x +=-，得(6)()f x f x +=-，则()[(12)6](6)f x f x f x -=-+=-，因此()f x 的图象关于直线3x =-对称，B 正确；由(6)()f x f x +=-，得()f x 的图象关于直线3x =对称，因此直线34x n =-+及34()x n n =+∈Z 均为()f x 图象的对称轴，从而75(2)(0)0,(()122f f f f -====，令32x =，得33(1)(1)022f f -++=，即15(()122f f =-=-，则139()((1222f f f ===-，故20251113574049(1)()(2()3(4()2025()222222kk kf k f f f f f =--=-+-+--∑ (1234)(2021202220232024)20252025=--+++--++= ，D 正确.故答案为：BCD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.(1,2)13.71214.1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【详解】若曲线()1ln f x x x =与()2g x ax =总存在关于原点对称的点，则()2g x ax =上的点()2,x ax关于原点的对称点()()2,,0x ax x --<在曲线()1ln f x x x=上，所以方程()()21ln ln ,0ax x x x x x ⎛⎫-=-=-<⎪-⎝⎭有解，令t x =-，则方程()2ln ,0at t t t -=->有解，即方程()ln ,0ta t t =>有解，令()()ln ,0t h t t t=>，则()21ln t h t t -'=，令()0h t '>，得0e t <<，令()0h t '<，得t e >，所以()h t 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，且()1e ef =，当t 趋于0时，()ln t h t t =趋于负无穷，当t 趋于正无穷时，()ln th t t =趋于0，所以()()ln ,0t h t t t =>的值域为1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，所以a 的范围为1,e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.15．(1)(,-∞(2)e 1-【详解】（1）记()()()222ln ,y f x x ax x x g x g x =-=--=在(]0,2上单调递减，()120g x a x x '=--≤对(]0,2x ∀∈恒成立，min 12a x x ⎛⎫∴≤+ ⎪⎝⎭，而12x x +≥=12x x =即x =时，等号成立，所以当2x =时，12x x +取得最小值为a ∴≤所以a的取值范围为(,.-∞（2）设直线e y x =与()f x 的图象相切于()20000n ,l P x x ax x +-，()00112,2f x x a k x a x x '=+-=+-，由题意可知02000012e,ln e ,x a x x ax x x ⎧+-=⎪⎨⎪+-=⎩①②001e 2a x x =+-⇒，代入20000001e 2ln e x x x x x x ⎛⎫⇒++--= ⎪⎝⎭②，2001ln 0x x ∴--=，左边式子关于0x 单调递减且01x =时，左边00,1x =∴=e 12e 1.a =+-=-16.【答案】（1）352x -；（2）6154x .【解析】【小问1详解】依题意，12,2n n a b -==，于是12232n n --=，即1232n -=，解得6n =，所以261()2x x-的展开式中第4项的二项式系数最大，即323334615C ((22)T x x x =-=-.【小问2详解】由（1）知，261()2x x-展开式的通项公式为2612316611C ()(62,,)C 2kkk k k kk T k x x k x --+=-=-∈≤，设第1k +项的系数的绝对值最大，因此1166116611(C (C 2211(C (C 22k kk k k k k k --++⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，整理得6!6!2!(6)!(1)!(7)!6!6!2!(6)!(1)!(5)!k k k k k k k k ⎧≥⋅⎪---⎪⎨⎪⋅≥⎪-+-⎩，解得4733k ≤≤，而N k ∈，则2k =，即系数的绝对值最大的项是第3项，所以系数的绝对值最大的项为226636115(C 24T x x -=.17.【答案】（1）分布列见解析，3635（2）第一天去西阅览室的可能性更大，理由见解析【解析】【小问1详解】设=i A “第i 天去东阅览室”()1,2i =，j B =“第j 天去西阅览室”()1,2j =，则1A 与1B 对立，2A 与2B 对立由题意得，0,1,2X =()()()()121212210|11535P X P B B P B P B B ⎛⎫⎛⎫====-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()12121P X P A B P B A ==+()()()()121121||P A P B A P B P A B =+242241157537⎛⎫⎛⎫=⨯-+-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()121212482|5735P X P A A P A P A A ====⨯=则X 的分布列为X12P1547835所以()14836012573535E X =⨯+⨯+⨯=【小问2详解】由全概率公式得()()()()()2121121||P B P A P B A P B P B B =+24221115753⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1335=所以()12|P A B =()()122P A B P B ()()()1212|P A P B A P B ==241657131335⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=所以()()121267|1|11313P B B P A B =-=-=所以()()1212||P A B P B B <所以如果甲同学第二天去西阅览室，那么第一天去西阅览室的可能性更大18.【答案】（1）12e y x =；（2）答案见解析；（3）88685（元）.【解析】【小问1详解】对d y cx =两边取对数得：ln ln ln y c d x =+，即ln z c dt =+，由表中数据得：101115 1.51010i i t t ====∑，101117.51.751010ii z z ====∑，1012210211038.5101.51.750.547101.510i i i ii t ztzd tt==--⨯⨯===-⨯-∑∑，所以1ln 1.75 1.512c z dt =-=-⨯=，则e c =，所以y 关于x 的经验回归方程为12e y x =.【小问2详解】由（1）得，当30x =时ln 30ln 1 2.72y =+≈，所以15y =，所以当亩化肥施用量为30kg 时，估计粮食亩产量应约为1500kg.出现亩施肥量为30kg ，亩产量仅约为510kg 的情况，可能是因为施肥过量，导致作物有部分被烧坏，从而导致产量下降.【小问3详解】因为3μσ-=，26μσ+=，所以()()0.95450.68273620.68270.81862P P ξμσξμσ-<≤=-<≤+=+=，()10.9545(6)20.022752P P ξξμσ->=>+==，设政府对该研究团队的奖励金额为η，则()1000000.81863000000.022*******E η=⨯+⨯=（元）.19.【答案】（1）1（2）证明见解析【解析】【小问1详解】令()()()()e ln 1xh x f x g x x a x x =-=-+-，则()()()()1e 11e 1(0)xx x x a h x x a x x x +-⎛⎫'=+-+=> ⎪⎝⎭，设()e (0)xx x a a ϕ=->，则()()10e xx x ϕ'=+>对任意0x >恒成立，所以()x ϕ在()0,∞+上单调递增，又()()()00,e 10aa a a ϕϕ=-<=->，所以存在唯一实数()(000,,0x a ϕ∈=，所以当()00,x x ∈时，()()()()10,x x h x hx x ϕ+⋅=<'单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()()()()10,x x h x hx xϕ+⋅=>'单调递增；所以()()0min 0000()e ln 1xh x h x x a x x ==-+-，因为()()0000e 00xx x a x a ϕ=-=<<，所以00ex x a =，且00ln ln (0)x x a a +=>．所以min ()ln 10h x a a a =--≥，设()ln 1(0)F a a a a a =-->，则()()11ln ln F a a a =-+=-'，所以()F a 在()0,1上单调递增，()1,+∞上单调递减，所以()()10F a F ≤=，而依题意必有()0F a ≥，所以()0=F a ，此时1a =，所以若不等式()()f x g x ≥恒成立，则正实数a 的值为1．【小问2详解】由（1）知，当1a =时，()()f x g x ≥对任意0x >恒成立．所以()0,,e ln 1xx x x x ∞∀∈+≥++，当且仅当1x =时等号成立，则3322e ln (0)x x x x x x x ≥++>，所以要证明()32e 3ln 2sin (0)xx x x x x >++>，只需证()3222ln 3ln 2sin (0)x x x x x x x x ++>++>，即证323ln 2sin (0)x x x x x +>+>．设()()ln 1,sin G x x x m x x x =-+=-，则()111(0)x G x x x x-'=-=>，则()G x 在()0,1上单调递增，()1,+∞上单调递减，所以()()()0,,10x G x G ∀∈+∞≤=，即ln 1(0)x x x ≤->，又由()cos 10m x x =-≤'在()0,∞+恒成立，()m x 在()0,∞+上单调递减，所以()()()0,,00x m x m ∞∀∈+<=，即sin (0)x x x <>，所以要证323ln 2sin (0)x x x x x +>+>，只需证()32312(0)x x x x x +≥-+>，即32530(0)x x x x +-+≥>，令()3253H x x x x =+-+，可得()()()2325351H x x x x x =+-=+-'，则()H x 在()0,1上单调递减，()1,+∞上单调递增，所以当()0,x ∈+∞时，()()10H x H ≥=，即322530,0x x x +-+≥>恒成立，所以()323ln 2sin xx e x x x >++．。
山东省济宁市第一中学2020届高三下学期一轮质量检测数学试题
济宁一中2017级高三一轮复习质量检测数学试题
考试时间：120分钟命题人：审题人：
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。
第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。
第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。
答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，共40分）
1.在复平面上，复数2+4i
1+i
对应的点位于()
A. 第一象限
B. 第三象限
C. 第二象限
D. 第四象限
2.已知实数集R，集合A={x|1<x<3}，集合B={x|y=
x−2
}，则A∩(∁R B)=()
A. {x|1<x<3}
B. {x|1<x≤2}
C. {x|2≤x<3}
D. {x|1<x<2}
3.过点P(1,2)的直线与圆x2+y2=1相切，且与直线ax+y−1=0垂直，则实数a
的值为()
A. 0
B. −4
3C. 0或4
3
D. 4
3
4.某次考试，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理
分数对应如下表：
1。
2021届山东省济宁市第一中学高三下学期一轮质量检测数学试题(原卷版)
济宁一中2021级高三一轮复习质量检测数学试题
第Ⅰ卷
一､选择题
1.在复平面上，复数241i
i
++对应的点位于（ ） A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2.已知实数集R ，集合{|13}A x x =<<，集合|2B x y x ⎧==
⎨⎬-⎩⎭
，则()R A C B ⋂=（ ） A. {|12}x x <≤ B. {|13}x x << C. {|23}x x ≤<
D. {|12}x x <<
3.过点(1,2)P 的直线与圆221x y +=相切，且与直线10ax y +-=垂直，则实数a 的值为（ ） A. 0
B. 43
-
C. 0或
43
D.
43
4.某次考试，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学､物理分数对应如下表: 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95 物理分数y
72
77
80
84
88
90
93
95
绘出散点图如下:
根据以上信息，判断下列结论:
①根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系； ②根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；
③甲同学数学考了80分，那么，他的物理成绩一定比数学只考了60分的乙同学的物理成绩要高. 其中正确的个数为（ ）. A. 0
B. 3
C. 2
D. 1。
2020届山东省济宁市第一中学高三下学期一轮质量检测数学试题(解析版)
山东省济宁市第一中学高三下学期一轮质量检测数学试题一、单选题1．在复平面上，复数241ii++对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】化简复数，判断对应点的象限. 【详解】24(24)(1)6231(1)(1)2i i i ii i i i ++-+===+++-，对应点为(3,1)在第一象限. 故答案选A 【点睛】本题考查了复数的计算，属于简单题.2．已知实数集R ，集合{|13}A x x =<<，集合|B x y ⎧==⎨⎩，则()R A C B ⋂=（ ） A ．{|12}x x <≤ B ．{|13}x x <<C ．{|23}x x ≤<D ．{|12}x x <<【答案】A0>可得集合B ,求出补集R C B ,再求出()R A C B ⋂即可. 【详解】0>,得2x >,即(2,)B =+∞,所以R C B (,2]=-∞, 所以()R A C B ⋂=(1,2]. 故选:A 【点睛】本题考查了集合的补集和交集的混合运算,属于基础题.3．过点()1,2P 的直线与圆221x y +=相切，且与直线10ax y +-=垂直，则实数a 的值为（ ）A ．0B ．43-C ．0或43D ．43【解析】当0a =时，直线10ax y +-=，即直线1y =，此时过点()1,2P 且与直线1y =垂直的直线为1x =，而1x =是与圆相交，不满足题意，所以0a =不成立，当0a ≠时，过点()1,2P 且与直线10ax y +-=垂直的直线斜率为1a，可设该直线方程为()121y x a-=-，即210x ay a -+-=，再根据直线与圆相切，即圆心到直线距离为1可得，22111a a -=+，解得43a =.故本题正确答案为C. 点晴：本题考查的是直线 与直线，直线与圆的位置关系.当考虑直线与直线位置关系时要分斜率存在和不存在即0a =和0a ≠两种情况讨论，两直线垂直则斜率互为负倒数;当考虑直线和圆相切时，一方面要分斜率存在和不存在两种情况，另一方面要充分利用圆心到直线距离为半径，列出等式22111a a -=+求解即可.4．某次考试，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学､物理分数对应如下表: 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95 物理分数y 7277808488909395绘出散点图如下:根据以上信息，判断下列结论:①根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系； ②根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；③甲同学数学考了80分，那么，他的物理成绩一定比数学只考了60分的乙同学的物理其中正确的个数为（）.A．0 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】根据散点图的知识，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【详解】对于①，根据此散点图知，各点都分布在一条直线附近，可以判断数学成绩与物理成绩具有较强的线性相关关系，①正确；对于②，根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有较强的线性相关关系，不是一次函数关系，②错误；对于③，甲同学数学考了80分，他的物理成绩可能比数学只考了60分的乙同学的物理成绩要高，所以③错误．综上，正确的命题是①，只有1个．故选：D．【点睛】本题主要考查了散点图的应用问题，是基础题．5．函数3cos1()xf xx+=的部分图象大致是（）.A．B．C．D．【答案】A【解析】根据函数的奇偶性,单调性和特殊点的函数值估算或变化趋势，来进行排除或确认.【详解】根函数()f x是奇函数，排除D，根据x取非常小的正实数时()0f x>，排除B，xπ=是满足310cosx+<的一个值，故排除C，【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和函数值的符号判定函数的图象，属基础题. 6．设0a >，0b >，lg 2是lg 4a 与lg 2b 的等差中项，则21a b+的最小值为（ ） A ．22 B ．3 C ．4D ．9【答案】D【解析】∵lg 2是lg4a 与lg2b 的等差中项， ∴2lg 2lg 4lg 2a b =+， 即2lg 2lg 42lg 2aba b+=⋅=，∴21a b +=．所以212122()(2)55249b a a b a b a b a b+=++=++≥+= 当且仅当22b a a b =即13a b ==时取等号， ∴21a b+的最小值为9． 7．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．316 B ．38C ．14D ．18【答案】A【解析】设2AB =，则1BC CD DE EF ====. ∴12212224BCI S ∆=⨯=，112242BCI EFGH S S ∆==⨯=平行四边形∴所求的概率为113422216P +==⨯ 故选A.8．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两顶点为1A ，2A ，虚轴两端点为1B ，2B ，两焦点为1F ，2F ，若以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，则双曲线的离心率是（ ） A ．51- B ．35+ C ．51+ D ．31+【答案】C【解析】由题意可得顶点和虚轴端点坐标及焦点坐标，求得菱形的边长，运用等积法可得221122422b c a b c ⋅⋅=⋅+，再由a ，b ，c 的关系和离心率公式，计算即可得到所求值． 【详解】由题意可得()1,0A a -，()2,0A a ，()10,Bb ，()20,B b -， ()1,0Fc -，()2,0F c ，且222a b c +=，菱形1122F B F B 22b c +由以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，切点分别为A ，B ，C ，D ． 由面积相等，可得221122422b c a b c ⋅⋅=⋅+， 即为()22222b c abc =+，即有442230c a a c +-=， 由ce a=，可得42310e e -+=， 解得2352e =，可得e =e =舍去) 故选：C ． 【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用圆内切等积法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．二、多选题9．等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选择项正确的是（ ） A ． 0d >B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为8 【答案】ABD【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为753a a =，求得13a d =-，根据数列{}n a 是递增数列，得到,A B 正确；再由前n 项公式，结合二次函数和不等式的解法，即可求解. 【详解】由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，因为753a a =，可得()11634a d a d +=+，解得13a d =-，又由等差数列{}n a 是递增数列，可知0d >，则10a <，故,A B 正确； 因为22172222n d d d dS n a n n n ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭， 由7722d nn d -=-=可知，当3n =或4时n S 最小，故C 错误， 令27022n d dS n n =->，解得0n <或7n >，即0n S >时n 的最小值为8，故D 正确.故选：.ABD 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前n 项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和前n 项和公式，结合数列的函数性进行判断是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．已知函数2()sin 22sin 1f x x x =-+，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）.A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数()f x 在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 C ．函数()f x 的图象关于直线8x π=对称:D ．函数()f x 的图象可由函数2y x =的图象向左平移4π个单位得到 【答案】BC【解析】先将()2221f x sin x sin x =-+化简为()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再逐个选项判断即可． 【详解】2()sin 22sin 1sin 2cos 224f x x x x x x π⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎝⎭A 选项，因为2ω=，则()f x 的最小正周期T π=，结论错误；B 选项，当5,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32,422x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，结论正确；C 选项，因为8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 的最大值，则()f x 的图象关于直线8x π=对称，结论正确；D 选项，设()2g x x =n ，则()222442g x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n ，结论错误．故选：BC ． 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及三角函数的性质，属于中档题.11．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，对于任意x ∈R ，都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，当12,[0,3]x x ∈，且12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，给出下列命题，其中所有正确命题为（ ）. A ．(3)0f =B ．直线6x =-是函数()y f x =的图象的一条对称轴C ．函数()y f x =在[9,6]--上为增函数D ．函数()y f x =在[9,9]-上有四个零点 【答案】ABD【解析】函数()y f x =是R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有()()()63f x f x f +=+成立，我们令3x =-，可得()()330f f -==，进而得到()()6f x f x +=恒成立，再由当1x ，[]20,3x ∈且12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，我们易得函数在区间[]0,3单调递增，然后对题目中的四个结论逐一进行分析，即可得到答案．【详解】:A 令3x =-，则由()()()63f x f x f +=+，得()()()()33323f f f f =-+=， 故()30f =,A 正确；:B 由()30f =得：()()6f x f x +=，故()f x 以6为周期．又()f x 为偶函数即关于直线0x =对称，故直线6x =-是函数()y f x =的图象的一条对称轴，B 正确；:C 因为当1x ，[]20,3x ∈，12x x ≠时，有()()12120f x f x x x ->-成立，故()f x 在[]0,3上为增函数， 又()f x 为偶函数， 故在[]3,0-上为减函数， 又周期为6．故在[]9,6--上为减函数， C 错误；该抽象函数图象草图如下：:D 函数()f x 周期为6，故()()93f f -=- ()()390f f ===，故()y f x =在[]9,9-上有四个零点， D 正确． 故答案为：ABD ． 【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性、周期性、对称性及函数的零点与方程根的关系，属于基础题.12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，F 是棱11A D 上动点，下列说法正确的是（ ）.A ．对任意动点F ，在平面11ADD A 内存在与平面CBF 平行的直线B ．对任意动点F ，在平面ABCD 内存在与平面CBF 垂直的直线C ．当点F 从1A 运动到1D 的过程中，FC 与平面ABCD 所成的角变大 D ．当点F 从1A 运动到1D 的过程中，点D 到平面CBF 的距离逐渐变小 【答案】AC【解析】运用线面平行判定定理，即可判断A ；运用线面垂直的判定定理，可判断B; 由线面角的定义，可判断C; 由平面CBF 即平面11A D CB 可知D 到平面的距离的变化情况，即可判断选项D .【详解】因为AD 在平面11ADD A 内，且平行平面CBF ，故A 正确；平面CBF 即平面11A D CB ，又平面11A D CB 与平面ABCD 斜相交，所以在平面ABCD 内不存在与平面CBF 垂直的直线，故B 错误；F 到平面ABCD 的距离不变且FC 变小，FC 与平面ABCD 所成的角变大，故C 正确； 平面CBF 即平面11A D CB ，点D 到平面11A D CB 的距离为定值，故D 错误． 故选：AC ． 【点睛】本题考查棱柱的结构特征，涉及线面平行、线面垂直、线面角、 点到平面距离等，考查学生空间想象能力，属中档题.三、填空题13．已知12,e e →→为单位向量且夹角为3π ，设12a e e →→→=+，2b e →→=，a →在b →方向上的投影为______ ． 【答案】32【解析】可知这样即可求出 a b u u vv ⋅ 及b r 的值，从而得出a r 在b r方向上的投影的值． 【详解】 由题可知1,b =v 故，a r 在b r方向上的投影为即答案为32. 【点睛】考查单位向量及投影的定义，数量积的运算及计算公式．14．在32nx x ⎛- ⎝的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 ． 【答案】7【解析】本题考查二项式定理的知识，利用二项式的通项来解题.根据题意可得8n =，888318831()()(1)22r r r r r r r r r x T C C x x----+=-=-g g ，令48063r r -==，，可得常数项为7.15．如图,椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ,过F 的直线交椭圆于,A B 两点,点C 是A 点关于原点O 的对称点,若CF AB ⊥且CF AB =,则椭圆的离心率为__________．【答案】63-【解析】作另一焦点F ',连接AF '和BF '和CF ',则四边形FAF C '为平行四边,进一步得到三角形ABF '为等腰直角三角形,设AF AB x '==,求出x ,在三角形AFF ' 中由勾股定理得222()()(2)AF AF c '+=,即可求出2e ,则答案可求.【详解】作另一焦点F ',连接AF '和BF '和CF ',则四边形FAF C '为平行四边,所以AF CF AB '==,且AF AB '⊥,则三角形ABF '为等腰直角三角形, 设AF AB x '== ,则24x x x a +=,解得(422)x a =-,(222)AF a =,在三角形AFF ' 中由勾股定理得222()()(2)AF AF c '+=,所以2962,63e e =-=,故答案为63-.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质,属中档题.16．已知定义域为R 的函数()f x 满足:当(1,1]x ∈-时，2,10()122,01x xx f x x x -⎧--<≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩，且(2)()f x f x +=对任意的x ∈R 恒成立，若函数()()(1)g x f x m x =-+在区间[1,5]-内有6个零点，则实数m 的取值范围是________.【答案】22,53⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】若函数()()()1g x f x m x =-+在区间[]1,5-内有6个零点，则()y f x =与()1y m x =+的图象在区间[]1,5-内有6个交点．画出函数的图象，数形结合可得答案．【详解】()()2f x f x +=Q 对x R ∀∈恒成立， ∴函数()f x 的周期为2．又Q 当(]1,1x ∈-时，2,10()122,01x xx f x x x -⎧--<⎪=+⎨⎪-<⎩„„ ∴函数()f x 的图象如下图所示：令函数()()()10g x f x m x =-+=， 则()()=+1f x m x ，若函数()()()1g x f x m x =-+在区间内有6个零点，则()=y f x 与()=+1y m x 的图象在区间[-1,5]内有6个交点．()1y m x =+Q 恒过点()-1,0，过()1,0-，()4,2点的直线斜率为25， 过()1,0-，()2,2点的直线斜率为23，根据图象可得：22,53m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故答案为：22,.53⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的零点，数形结合思想，属于较难题．四、解答题17．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．【答案】（1）21n a n =-；（2）2312n n -+ 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，运用通项公式，可得3,2q d ==，进而得到所求通项公式；（2）由（1）求得1(21)3n n n n c a b n -=+=-+，运用等差数列和等比数列的求和公式，即可得到数列{}n c 和． 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ， 因为233,9b b ==，可得323b q b ==，所以2212333n n n n b b q ---==⋅=， 又由111441,27a b a b ====，所以1412141a a d -==-，所以数列{}n a 的通项公式为1(1)12(1)21n a a n d n n =+-⨯=+-=-．（2）由题意知1(21)3n n n n c a b n -=+=-+，则数列{}n c 的前n 项和为12(121)1331[13(21)](1393)2132n n n n n n n -+---+++-+++++=+=+-L L ． 【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 18．已知函数221()cos sin ,(0,)2f x x x x p =-+?． （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC V 为锐角三角形，角A 所对边a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC V 的面积．【答案】（1）,2p p 轹÷ê÷÷êøë；（2 【解析】（1）利用降次公式化简()f x ，然后利用三角函数单调区间的求法，求得()f x 的单调递增区间.（2）由()0f A =求得A ，用余弦定理求得c ，由此求得三角形ABC 的面积. 【详解】（1）依题意()()2211()cos sin cos 20,π22f x x x x x =-+=+?，由2ππ22πk x k -≤≤得πππ2k x k -≤≤，令1k =得ππ2x ≤≤.所以()f x 的单调递增区间,2p p 轹÷ê÷÷êøë.（2）由于a b <，所以A 为锐角，即π0,02π2A A <<<<.由()0f A =，得11cos 20,cos 222A A +==-，所以2ππ2,33A A ==.由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅，2560c c -+=，解得2c =或3c =.当2c =时，222cos 02a c b B ac +-==<，则B 为钝角，与已知三角形ABC 为锐角三角形矛盾.所以3c =.所以三角形ABC 的面积为11sin 532224bc A =⨯⨯⨯=. 【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查三角函数单调性的求法，考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.19．如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，3CF =，平面EDCF ⊥平面ABCD ．(1)求证：DF P 平面ABE ；(2)求平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值．(3)在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 3存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由．【答案】（I ）见解析（II 531（III ）2BP =u u u v【解析】试题分析：（Ⅰ）取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，由题意可得平面ABE 的法向量)3,0,1n =r，且(1,3DF =-u u u v，据此有0DF n ⋅=u u u v r，则//DF 平面ABE ．（Ⅱ）由题意可得平面BEF 的法向量()23,3,4m =r，结合(Ⅰ)的结论可得531cos m n m n θ⋅==⋅r r r r ，即平面ABE 与平面EFB 531．（Ⅲ）设(),23DP DF λλλλ==-u u u v u u u v ，[]0,1λ∈，则()1,23BP λλλ=---u u u v，而平面ABE 的法向量)3,0,1n =r，据此可得3sin cos ,BP n θ==u u u v r ，解方程有12λ=或14λ=．据此计算可得2BP =u u u v ．试题解析：（Ⅰ）取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图，则()1,0,0A ，()1,2,0B，(E，(F -，∴(1,BE u u u v=--，()0,2,0AB =u u u v，设平面ABE 的法向量(),,n x y z =r ，∴20,20,x y y ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩不妨设)n =r，又(1,DF =-u u u v，∴0DF n u u u v r⋅==，∴DF n u u u vr⊥，又∵DF ⊄平面ABE ，∴//DF 平面ABE ． （Ⅱ）∵(1,BE u u u v =--，(BF =-u u u v ，设平面BEF 的法向量(),,m x y z =r，∴20,20,x y x ⎧--=⎪⎨-+=⎪⎩不妨设()4m =r ，∴cos m n m n θ⋅===⋅r r r r∴平面ABE 与平面EFB（Ⅲ）设(DP DF u u u v u u u vλλ==-(),2λλ=-，[]0,1λ∈，∴(),2P λλ-，∴()1,2BP λλ=---u u u v ，又∵平面ABE的法向量)n =r ，∴sin cos ,BP n θ===u u u v r ，∴28610λλ-+=，∴12λ=或14λ=． 当12λ=时，3,1,22BP u u u v ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，∴2BP =u u u v ；当14λ=时，53,,424BP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u v ，∴2BP =u u u v．综上，2BP =u u u v．20．某班级体育课进行一次篮球定点投篮测试，规定每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立.在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分，否则得0分.将学生得分逐次累加并用X 表示，如果X 的值不低于3分就判定为通过测试，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止.现有两种投篮方案:方案1:先在A 处投一球，以后都在B 处投；方案2:都在B 处投篮.已知甲同学在A 处投篮的命中率为14，在B 处投篮的命中率为45. （1）若甲同学选择方案1，求他测试结束后所得总分X 的分布列和数学期望()E X ； （2）你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大?说明理由. 【答案】（1）分布列见解析，3.15（2）方案2，理由见解析【解析】()1确定甲同学在A 处投中为事件A ，在B 处第i 次投中为事件()1,2i B i =，根据题意知()()14,.45i P A P B ==总分X 的取值为0，2，3，4.利用概率知识求解相应的概率．(2)设甲同学选择方案1通过测试的概率为1P ，选择方案2通过测试的概率为2P ，利用概率公式得出1P ，2P ，比较即可． 【详解】（1）设甲同学在A 处投中为事件A ，在B 处第i 次投中为事件(1,2)i B i =， 由已知1()4P A =，()45i P B =. X 的取值为0，2，3，4.则()()()12123113(0)()455100P X P AB B P A P B P B ====⨯⨯=， ()()11223413146(2)45545525P X P AB B P AB B ==+=⨯⨯+⨯⨯=，1(3)()4P X P A ===，()1234412(4)45525P X P AB B ===⨯⨯=， X 的分布列为:X 的数学期望为:36112315()0234 3.1510025425100E X =⨯+⨯+⨯+⨯==. （2）甲同学选择方案1通过测试的概率为1P ，选择方案2通过测试的概率为2P ， 则111273(3)(4)0.73425100P P X P X ==+==+==， ()()()2121231234414441455555555P P B B P B B B P B B B =++=⨯+⨯⨯+⨯⨯1120.896125==, ∵21P P >，∴甲同学选择方案2通过测试的可能性更大. 【点睛】本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等． 21．已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．【答案】(Ⅰ) 24x y =-，1y =； (Ⅱ)见解析.【解析】(Ⅰ)由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；(Ⅱ)联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令x =0即可证得题中的结论. 【详解】(Ⅰ)将点()2,1-代入抛物线方程：()2221p =⨯-可得：2p =，故抛物线方程为：24x y =-，其准线方程为：1y =. (Ⅱ)很明显直线l 的斜率存在，焦点坐标为()0,1-，设直线方程为1y kx =-，与抛物线方程24x y =-联立可得：2440x kx +-=. 故：12124,4x x k x x +=-=-.设221212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,44OM ON x x k k =-=-， 直线OM 的方程为14x y x =-，与1y =-联立可得：14,1A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得24,1B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为：1222,1x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭，圆的半径为：1222x x -，且：()1212122222x x k x x x x ++==，12222x x -==则圆的方程为：()()()2222141x k y k -++=+，令0x =整理可得：2230y y +-=，解得：123,1y y =-=，即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()()0,3,0,1-. 【点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的方程的求解及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22．已知函数)f x =（a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）(0,1).【解析】试题分析：（1）讨论()f x 单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对a 按0a ≤，0a >进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若0a ≤，()f x 至多有一个零点.若0a >，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，求出最小值1(ln )1ln f a a a-=-+，根据1a =，(1,)∈+∞a ，(0,1)a ∈进行讨论，可知当(0,1)a ∈时有2个零点.易知()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点；设正整数0n 满足03ln(1)n a>-，则00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3ln(1)ln a a->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.从而可得a 的取值范围为(0,1).试题解析：（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，()()()()2221121x x x x f x ae a e ae e =+---'=+，（ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(),-∞+∞单调递减. （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.当(),ln x a ∈-∞-时，()0f x '<；当()ln ,x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(),ln a -∞-单调递减，在()ln ,a -+∞单调递增.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为()1ln 1ln f a a a-=-+. ①当1a =时，由于()ln 0f a -=，故()f x 只有一个零点； ②当()1,a ∈+∞时，由于11ln 0a a-+>，即()ln 0f a ->，故()f x 没有零点； ③当()0,1a ∈时，11ln 0a a-+<，即()ln 0f a -<. 又()()4222e 2e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(),ln a -∞-有一个零点. 设正整数0n 满足03ln 1n a ⎛⎫>-⎪⎝⎭，则()()00000000e e 2e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3ln 1ln a a ⎛⎫->-⎪⎝⎭，因此()f x 在()ln ,a -+∞有一个零点. 综上，a 的取值范围为()0,1.点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数()f x 有2个零点求参数a 的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断y a =与其交点的个数，从而求出a 的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若()f x 有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.第 21 页共 21 页。
济宁一中2025届高三第一次质量检测-数学试题
济宁市第一中学2024—2025学年度第一学期质量检测（一）高三数学注意事项：1.答题前,考生先将自己的姓名、考生号、座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名、考生号和座号,并将条形码粘贴在指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.回答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效。
保持卡面清洁，不折叠，不破损。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}128,{13}x A x B x x =<<=+<∣∣，则A B = （）A.()0,3 B.()4,3- C.()4,2- D.()0,22．命题“()000,ln 10x x ∃>+>”的否定是（）A ．()000,ln 10x x ∃≤+≤B ．()000,ln 10x x ∃>+>C ．()0,ln 10x x ∀≤+≤D ．()0,ln 10x x ∀>+≤3.“1m =-或4m =”是“幂函数()()22333m m f x m m x+-=--在()0,∞+上是减函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.随机变量()~,X B n p ，若()1E X =，()34D X =，则()3P X ==（）A.116B.364C.164D.32565.某班上有5名同学相约周末去公园拍照，这5名同学站成一排，其中甲、乙两名同学要求站在一起，丙同学不站在正中间，不同的安排方法数有（）A.24B.36C.40D.486.已知一系列样本点()(),1,2,3,i i x y i = 的一个经验回归方程为ˆˆ2yx a =+，若样本点()1,1-的残差为2，则ˆa=（）．A ．1-B ．1C ．5-D ．57.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()13f =，且R x ∀∈，()1f x '->，则()2f x x -<-的解集为（）A.(),1∞--B.()1,1-C.()1,∞+ D.()1,∞-+8.已知函数()()22,0e ln 11,0x x ax a x f x x x ⎧---<⎪=⎨+++≥⎪⎩的值域为R ，则a 的取值范围是（）A.(],2-∞- B.[]2,0-C.(][),22,-∞-+∞U D.(][),12,-∞-⋃+∞二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.将一组数据的每一个数据减去同一个数后，新数据的方差与原数据方差相同B.线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强C.设随机变量()2~2,X N σ，()040.4P x <<=，则()00.3P x <=D.在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好10.已知a >0，b >0，且a +b =1，则（）A ．2212a b +≥B ．122a b->C ．22log log 2a b +≥-D≤三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数()log (32)2a f x x =-+恒过定点______.13.已知1()2P B =，1()4P AB =，3(|)5P B A =，则()P A =______.14.若曲线()1lnf x x x=与()2g x ax =总存在关于原点对称的点，则a 的取值范围为__________.四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）已知函数()2ln f x x ax x =+-，R a ∈．(1)若函数()22y f x x =-在(]0,2上单调递减，求a 的取值范围：(2)若直线e y x =与()f x 的图象相切，求a 的值．16.（15分）已知()21nx +展开式的二项式系数和为a ，1(nx x+展开式的奇数项的二项式系数和为b ，且32a b -=，则在21()2nx x-的展开式中，求解下列问题：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项．17.（15分）某学校有东，西两个阅览室，甲同学每天晚自习选择其中一个阅览室学习，第一天晚自习选择东阅览室的概率是25．如果第一天去东阅览室，那么第二天去东阅览室的概率为47；如果第一天去西阅览室，那么第二天去东阅览室的概率为23；（1）记甲同学前两天去东阅览室的总天数为X ，求X 的分布列及数学期望；（2）如果甲同学第二天去西阅览室，那么第一天去哪个阅览室的可能性更大？请说明理由．18.（17分）某研究团队收集了10组某作物亩化肥施用量和亩产量的数据(),i i x y ，1i =，2，3，…，10，其中i x （单位：公斤）表示亩化肥施用量，i y （单位：百公斤）表示该作物亩产量,并对这些数据作了初步处理，得到了一些统计量的值如右表所示：表中ln i i t x =，ln i i z y =，1i =，2，3，…，10.通过对这10组数据分析，发现当亩化肥施用量在合理范围内变化时，可用函数d y cx =模拟该作物亩产量y 关于亩化肥施用量x 的关系.101ii i t z=∑101ii t=∑101ii z=∑1021ii t=∑38.51517.547（1）根据表中数据，求y 关于x 的经验回归方程；（2）实际生产中，在其他生产条件相同的条件下，出现了亩施肥量为30kg 时，该作物亩产量仅约为510kg 的情况，请给出解释；（3）合理施肥､科学管理，能有效提高该作物的投资效益（投资效益=产出与投入比）.经试验统计可知，该研究团队的投资效益ξ服从正态分布()4,1N ，政府对该研究团队的奖励方案如下：若3ξ≤，则不予奖励；若36ξ<≤，则奖励10万元；若6ξ>，则奖励30万元.求政府对该研究团队的奖励金额的数学期望.附：①ln15 2.7≈，ln 30 3.4≈；②对于一组数据(),i i x y （1i =，2，3，…，n ），其经验回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆniii nii x ynxy bxnx ==-=-∑∑，ˆˆa y bx=-；③若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈，()33)0.9973P X μσμσ-≤≤+≈.19.（17分）已知函数()()()e 1,ln xf x xg x a x x =-=+，且()()f x g x ≥恒成立(0)a >．（1）求实数a 的值；（2）证明：()32e 3ln 2sin xx x x x >++．。
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济宁一中2017级高三一轮复习质量检测数学试题
第Ⅰ卷
一､选择题
1.在复平面上，复数241i
i
++对应的点位于（ ） A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2.已知实数集R ，集合{|13}A x x =<<，集合|2B x y x ⎧
==
⎨⎬-⎩
⎭
，则()R A C B ⋂=（ ） A. {|12}x x <≤
B. {|13}x x <<
C. {|23}x x ≤<
D. {|12}x x <<
3.过点(1,2)P 的直线与圆2
2
1x y +=相切，且与直线10ax y +-=垂直，则实数a 的值为（ ） A. 0
B. 43
-
C. 0或
43
D.
43
4.某次考试，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学､物理分数对应如下表: 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95 物理分数y 72
77
80
84
88
90
93
95
绘出散点图如下:
根据以上信息，判断下列结论:
①根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系； ②根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；
③甲同学数学考了80分，那么，他的物理成绩一定比数学只考了60分的乙同学的物理成绩要高. 其中正确的个数为（ ）.
A. 0
B. 3
C. 2
D. 1
5.函数3cos 1
()x f x x
+=
的
部分图象大致是（ ）.
A.
B.
C .
D.
6.设0a >，0b >，lg 2是lg 4a 与lg 2b
的等差中项，则21
a b
+的最小值为（ ） A. 22
B. 3
C. 4
D. 9
7.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A.
316 B. 38
C. 14
D.
18
8.双曲线22
221(0,0)
x y a b a b
-=>>两顶点为1A ，2A ，虚轴两端点为1B ，2B ，两焦点为1F ，2F ，若以12
A A 为直径的圆内切于菱形1122F
B F B ，则双曲线的离心率是（ ） 51
B.
35
2
+ C.
51
2
31
二､不定项选择题
9.等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选择项正确的是（ ） A. 0d >
B. 10a <
C. 当5n =时n S 最小
D.
0n S >时n 的最小值为8 10.已知函数2()sin 22sin 1f x x x =-+，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）. A. 函数()f x 的最小正周期是2π B. 函数()f x 在区间5,88
ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦上是
减函数 C. 函数()f x 的图象关于直线8
x π=
对称:
D. 函数()f x 的图象可由函数2sin 2y x =的图象向左平移
4
π
个单位得到 11.已知函数()y f x =是R 上的偶函数，对于任意x ∈R ，都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，当
12,[0,3]x x ∈，且12x x ≠时，都有
()()1212
0f x f x x x ->-，给出下列命题，其中所有正确命题为（ ）.
A. (3)0f =
B. 直线6x =-是函数()y f x =的图象的一条对称轴
C. 函数()y f x =在[9,6]--上为增函数
D. 函数()y f x =在[9,9]-上有四个零点
12.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，F 是棱11A D 上动点，下列说法正确的是（ ）.
A. 对任意动点F ，在平面11ADD A 内存在与平面CBF 平行的直线
B. 对任意动点F ，在平面ABCD 内存在与平面CBF 垂直的直线
C. 当点F 从1A 运动到1D 的过程中，FC 与平面ABCD 所成的角变大
D. 当点F 从1A 运动到1D 的过程中，点D 到平面CBF 的距离逐渐变小
第Ⅱ卷
三､填空題
13.已知12,
e e →
→
为单位向量且夹角为3π ，设
12a e e →→→=+，2b e →→
=，a →在b →方向上的投影为______ ．
14.在3
2
n
x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 ． 15.如图,椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的右焦点为F ,过F 的直线交椭圆于,A B 两点,点C 是A 点关于原
点O 的对称点,若CF AB ⊥且CF AB =,则椭圆的离心率为__________．
16.已知定义域为R 的函数()f x 满足:当(1,1]x ∈-时，2,10()122,01
x x
x f x x x -⎧-
-<≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩，且(2)()f x f x +=对
任意的x ∈R 恒成立，若函数()()(1)g x f x m x =-+在区间[1,5]-内有6个零点，则实数m 的取值范围是________.
四､解答題
17.已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =． （1）求{}n a 的通项公式；
（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和． 18.已知函数221
()
cos sin ,(0,)2
f x x x
x ．
（1）求()f x 的单调递增区间；
（2）设ABC 为锐角三角形，角A 所对边19a =B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC 的面积．
19.如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，
3CF =EDCF ⊥平面ABCD ．
(1)求证：DF 平面ABE ；
(2)求平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值． (3)在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 所成角的
正弦值为
3
4
，若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由．
20.某班级体育课进行一次篮球定点投篮测试，规定每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立.在A 处每
投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分，否则得0分.将学生得分逐次累加并用X 表示，如果X 的值不低于3分就判定为通过测试，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止.现有两种投篮方案:方案1:先在A 处投一球，以后都在B 处投；方案2:都在B 处投篮.已知甲同学在A 处投篮的命中率为1
4
，在B 处投篮的命中率为
45
. （1）若甲同学选择方案1，求他测试结束后所得总分X 的分布列和数学期望()E X ； （2）你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大?说明理由. 21.已知抛物线C ：x 2
=−2py 经过点（2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．
22.已知函数)f x （
a e 2x +(a ﹣2) e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.。