垂径定理 (3)

28.4垂径定理*

教学目标

1.理解垂径定理的证明过程,掌握垂径定理及其推论.

2.会用垂径定理进行简单的证明和计算.

3.了解直径、弦、弧之间的特殊关系.

教学重难点

【重点】垂径定理及其应用.

【难点】探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题.

教学过程

复习提问:

1.什么是轴对称图形?

2.圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?

3.你是用什么方法解决上述问题的?

4.直径是圆的对称轴正确吗?

【师生活动】学生思考后回答,教师点评,指出“直径是圆的对称轴”这个结论的错误原因.师生共同归纳:圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线(或直径所在的直线).

一、垂径定理

教师引导操作、思考、回答:

在自己课前准备的纸片上作图:

1.任意作一条弦AB.

2.过圆心O作弦AB的垂线,得直径CD交AB于点E.

3.观察图形,你能找到哪些线段相等?哪些弧相等?

4.沿着CD所在的直线折叠,观察有哪些相等的线段、弧.

5.图形中的已知是什么?你得到的结论是什么?你能写出你的证明过程吗?

6.你能用语言叙述这个命题吗?

7.你得到的结论怎样用几何语言表示?

【师生活动】学生在教师的引导下操作、观察、思考、尝试证明,然后小组合作交流,共同探究结论.教师在巡视过程中,帮助有困难的学生.学生回答问题,并展示自己的证明过程,教师适时点评,规范学生的证明过程,师生共同回忆操作过程,归纳结论.

【课件展示】如图所示,在☉O中,CD为直径,AB为弦,且CD⊥AB,垂足为E.求证AE=BE,,.

垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.

几何语言:

∵如上图所示,在☉O中,CD为直径,CD⊥AB,

∴AE=BE,,.

二、垂径定理的推论

【课件展示】如图所示,在☉O中,直径CD与弦AB(非直径)相交于点E.

【思考】

(1)若AE=BE,能判断CD与AB垂直吗?与(或与)相等吗?说明你的理由.

(2)若(或),能判断CD与AB垂直吗?AE与BE相等吗?说明你的理由.

【师生活动】学生独立思考,小组合作交流,独立书写解答过程,小组代表展示,教师对学

生的展示点评,规范书写格式.

追加思考:

(1)垂径定理中的条件和结论分别是什么?用语言叙述.

(2)上面思考(1)(2)中的条件和结论分别是什么?

(3)如果不要求“弦不是直径”上述结论还成立吗?

【师生活动】师生共同分析解答,通过追加思考,师生共同归纳结论.

【课件展示】在☉O中,设直径CD与弦AB(非直径)相交于点E.若把AE=BE,CD⊥AB,中的一项作为条件,则可得到另外两项结论.

三、例题讲解

【课件展示】

(教材164页例)如图所示,已知CD为☉O的直径,AB为弦,且AB⊥CD,垂足为E.若

ED=2,AB=8,求直径CD的长.

教师引导思考:

1.如何把圆的半径转化为三角形中的线段?

2.构造的直角三角形中三边之间有什么特点?

3.直角三角形中已知一边、另外两边之间的关系,如何求另两边长?

【师生活动】教师引导,师生共同完成思考分析,学生小组合作交流解题思路,书写解题过程,小组代表板书,教师点评,规范解答格式.

【课件展示】

(课前导入一)赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1400年的历史,是我国古代人民勤劳和智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?(结果保留小数点后一位)【师生活动】教师引导学生画出对应的几何图形,根据所画图形,学生独立完成解答过程,小组合作交流答案,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,教师展示课件,规范解答格式.

【课件展示】

解:如图所示,用表示主桥拱,设所在圆的圆心为O,半径为R.

经过圆心O作弦AB的垂线OC,D为垂足,OC与相交于点C,连接OA.根据垂径定理知D 为AB的中点,C为的中点,CD就是拱高.

由题设可知,AB=37.4m,CD=7.2m,

所以AD=AB=×37.4=18.7(m),

OD=OC-CD=R-7.2(m).

在Rt△OAD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2,

即R2=18.72+(R-7.2)2.解得R≈27.9(m).

因此,赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.

【思考】

1.在圆中解决有关弦的问题,常作什么辅助线?

2.在圆中解决有关弦的问题,常用什么方法?

【师生活动】学生思考回答后,教师归纳总结.

在圆中解决有关弦的问题时,常常过圆心作弦的垂线段(弦心距),通过作辅助线,把垂径定

理和勾股定理结合,得到圆的半径r、弦心距d、弦长a的一半之间的关系式:r2=d2+.

[知识拓展]

1.由垂径定理可以得到以下结论:

(1)若直径垂直于弦,则直径平分弦及其所对的两条弧.

(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

(3)垂直且平分一条弦的弦是直径.

(4)连接弦所对的两条弧的中点的线段是直径.

综上所述,可以知道在①过圆心,②垂直于弦,③平分弦,④平分弦所对的劣弧,⑤平分弦所对的优弧这五项中满足其中任意两项,就可以推出另外三项,简称“5.2.3”定理.

2.利用垂径定理及其推论可以证明平分弧、平分弦,证明垂直,证明一条线段是直径.

3.利用垂径定理的推论可以确定圆心的位置:在圆中找两条不平行的弦,分别作两条弦的垂直平分线,两条垂直平分线的交点即是圆心.

4.由于垂直于弦的直径平分弦,因此可以在圆中构造直角三角形,利用勾股定理列方程求弦长(或半径).

5.圆心到弦的距离叫做弦心距.

1.垂径定理和推论及它们的应用.

2.垂径定理和勾股定理相结合,将圆的问题转化为直角三角形问题.

3.圆中常作辅助线连半径、过圆心作弦的垂线.

1.如图所示,AB是☉O的直径,CD是弦,CD⊥AB于点E,则下列结论不一定成立的是