垂径定理 (3)
9年级 数学北师大版下 册教案第 3章《垂径定理》
教学设计垂径定理难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线．教学策略：类比引入，猜想探索，知识应用，归纳小结。
本节课的另一个难点是如何添加辅助线，这在最后的归纳反思中应该要有足够的时间让学生交流讨论，但是限于本节课的时间，这是一个客观限制，不应该勉强在课堂上完成，效果并不理想，应该留作课后作业，让学生能通过更充分的讨论才得出结论，这样才能起到更好地交流和反思的作用。
教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图一、类比引入二、猜想探索活动内容：1.等腰三角形是轴对称图形吗？2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？1．如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M。
（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能找出图中有哪些等量关系？说一说你的理由．条件：①CD是直径；②CD⊥AB结论（等量关系）：③AM=BM；④⌒AC=⌒BC；⑤⌒AD=⌒BD。
学生思考并回答通过等腰三角形的轴对称性向圆的轴对称性过渡，引导学生思考，培养学生类比分析的能力。
证明：连接OA ,OB ,则OA =OB在Rt △OAM 和Rt △OBM 中,∵OA =OB ，OM =OM ，∴Rt △OAM ≌Rt △OBM . ∴AM =BM .∴点A 和点B 关于CD 对称. ∵⊙O 关于直径CD 对称,∴当圆沿着直径CD 对折时, 点A 与点B 重合,⌒AC 和⌒BC 重合, ⌒AD 和⌒BD 重合. ∴ ⌒AC =⌒BC ，⌒AD =⌒BD .2．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦。
通过以上辨析，让学生对垂径定理的两证明完毕后，让学生自行用文字语言表述这一结论，最后提炼出垂径定理的内容——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
2021年九年级数学中考复习专题之圆的考察：垂径定理的运用(三)
2021年九年级数学中考复习专题之圆的考察：垂径定理的运用（三）一．选择题1．如图，在平台上用直径为100mm的两根圆钢棒嵌在大型工件的两侧，测量大的圆形工件的直径D，测得两根圆钢棒与地的两个接触点之间的距离为400mm，则工件直径D （mm）用科学记数法可表示为（）mm．A．4×104B．0.4×105C．20000 D．4×102 2．（古题今解）“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深﹣寸，锯道长一尺，问径几何”．这是《九章算术》中的问题，用数学语言可表述为：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为（）A．12.5寸B．13寸C．25寸D．26寸3．如图，用一块直径为a的圆桌布平铺在对角线长为a的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x为（）A．a B．a C．（﹣1）a D．（2﹣）a 4．如图，底面半径为5cm的圆柱形油桶横放在水平地面上，向桶内加油后，量得长方形油面的宽度为8cm，则油的深度（指油的最深处即油面到水平地面的距离）为（）A．2cm B．3cm C．2cm或3cm D．2cm或8cm 5．每位同学都能感受到日出时美丽的景色．如图是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平线交于A、B两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，AB＝8厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（）A．0.4厘米/分B．0.5厘米/分C．0.6厘米/分D．0.7厘米/分6．如图是一个小孩荡秋千的示意图，秋千链子OB的长度为2米，当秋千向两边摆动时，摆角∠BOD恰好为60°，且两边的摆动角度相同，则它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差AC是（）A．（2﹣）米B．米C．（2﹣）米D．米7．如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长为（）A．12.5寸B．13寸C．25寸D．26寸8．圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，AB＝8m，∠CAD＝30°，则大棚高度CD约为（）A．2.0m B．2.3m C．4.6m D．6.9m9．如图所示，一种花边是由如图弧ACB组成的，弧ACB所在圆的半径为5，弦AB＝8，则弧形的高CD为（）A．2 B．C．3 D．10．小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（）A．2 B．C．2D．3二．填空题11．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED＝1寸，锯道长AB＝1尺（1尺＝10寸）．问这根圆形木材的直径是寸．12．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝（弦×矢+矢2）．弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径OC⊥弦AB时，OC平分AB）可以求解．现已知弦AB ＝8米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为平方米．13．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为寸．14．如图是一块圆环形玉片的残片，作外圆的弦AB与内圆相切于点C，量得AB＝8cm、点C与的中点D的距离CD＝2cm．则此圆环形玉片的外圆半径为cm．15．如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，∠AOB ＝120°，从A到B只有路，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通过计算可知，这些市民其实仅仅少走了步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：≈1.732，π取3.142）16．如图，一块破残的轮片上，点O是这块轮片的圆心，AB＝120mm，C是上的一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝20mm，则原轮片的半径是mm．三．解答题17．如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．18．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD＝24 m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE＝．（1）求半径OD；（2）根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？19．“五一”节，小雯和同学一起到游乐场玩大型摩天轮，摩天轮的半径为20m，匀速转动一周需要12min，小雯所坐最底部的车厢（离地面0.5m）．（1）经过2min后小雯到达点Q，如图所示，此时他离地面的高度是多少？（2）在摩天轮滚动的过程中，小雯将有多长时间连续保持在离地面不低于30.5m的空中？20．高致病性禽流感是比SARS病毒传染速度更快的传染病．（1）某养殖场有8万只鸡，假设有1只鸡得了禽流感，如果不采取任何防治措施，那么，到第2天将新增病鸡10只，到第3天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依此类推，请问：到第4天，共有多少只鸡得了禽流感病？到第几天，该养殖场所有鸡都会被感染？（2）为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3至5千米范围内为免疫区，所有禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄、道路实行全封闭管理．现有一条毕直的公路AB通过禽流感病区，如图，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米？参考答案一．选择题1．解：根据图形可知，两圆相切，过点O作OP垂直O1O2于P，则：PO1＝PO2＝200PO＝R﹣50根据勾股定理可得：2002+（R﹣50）2＝（R+50）2解得：R＝200∴D＝2R＝400＝4×102．故选：D．2．解：∵弦AB⊥CD于点E，CE＝1，AB＝10，∴AE＝5，OE＝OA﹣1在Rt△OAE中，OA2＝AE2+OE2，即：OA2＝（OA﹣1）2+52，解得：OA＝13 ∴直径CD＝2OA＝26寸故选：D．3．解：如图，正方形ABCD是圆内接正方形，BD＝a，点O是圆心，也是正方形的对角线的交点，则OB＝，△BOC是等腰直角三角形，作OF⊥BC，垂足为F，由垂径定理知，点F是BC的中点，∴OF＝OB sin45°＝，∴x＝EF＝OE﹣OF＝a．故选：B．4．解：如图，已知OA＝5cm，AB＝8cm，OC⊥AB于D，求CD的长，理由如下：当油面位于AB的位置时∵OC⊥AB根据垂径定理可得，∴AD＝4cm，在直角三角形OAD中，根据勾股定理可得OD＝3cm，所以CD＝5﹣3＝2cm；当油面位于A'B'的位置时，CD′＝5+3＝8cm．故选：D．5．解：作垂直AB的直径交圆为C，D交AB于E，利用相交弦定理，得AE•BE＝CE•（10﹣CE），解得CE＝2或8，从图中可知这里选答案为8，从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为8÷16＝0.5（分钟）．故选：B．6．解：∵点A为弧BD的中点，O为圆心由垂径定理知：BD⊥OA，BC＝DC，弧AB＝弧AD∵∠BOD＝60°∴∠BOA＝30°∵OB＝OA＝OD＝2∴CB＝1在Rt△OBC中，根据勾股定理，知OC＝∴AC＝OA﹣OC＝2﹣故选：A．7．解：设直径CD的长为2x，则半径OC＝x，∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB＝10寸，∴AE＝BE＝AB＝×10＝5寸，连接OA，则OA＝x寸，根据勾股定理得x2＝52+（x﹣1）2，解得x＝13，CD＝2x＝2×13＝26（寸）．故选：D．8．解：根据OC⊥AB，则AD＝AB＝4m．在直角△ACD中，∠CAD＝30°，则CD＝AD•tan30°＝≈2.3m．则大棚高度CD约为2.3m．故选：B．9．解：如图所示，AB⊥CD，根据垂径定理，BD＝AB＝×8＝4．由于圆的半径为5，根据勾股定理，OD＝＝＝3，CD＝5﹣3＝2．故选：A．10．解：如图所示，作AB，BD的中垂线，交点O就是圆心．连接OA、OB，∵OC⊥AB，OA＝OB∴O即为此圆形镜子的圆心，∵AC＝1，OC＝2，∴OA＝＝＝．故选：B．二．填空题（共6小题）11．解：由题意可知OE⊥AB，∵OE为⊙O半径，∴尺＝5寸，设半径OA＝OE＝r寸，∵ED＝1，∴OD＝r﹣1，则Rt△OAD中，根据勾股定理可得：（r﹣1）2+52＝r2，解得：r＝13，∴木材直径为26寸；故答案为：26．12．解：∵弦AB＝8米，半径OC⊥弦AB，∴AD＝4，∴OD＝＝3，∴OA﹣OD＝2，∴弧田面积＝（弦×矢+矢2）＝×（8×2+22）＝10，故答案为：10．13．解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD＝5寸，OD＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解得r＝13寸，∴⊙O的直径为26寸，故答案为：26．14．解：如图，连接OA，∵CD＝2cm，AB＝8cm，∵CD⊥AB，∴OD⊥AB，∴AC＝AB＝4cm，∴设半径为r，则OD＝r﹣2，根据题意得：r2＝（r﹣2）2+42，解得：r＝5．∴这个玉片的外圆半径长为5cm．故答案为：5．15．解：作OC⊥AB于C，如图，则AC＝BC，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B＝（180°﹣∠AOB）＝（180°﹣120°）＝30°，在Rt△AOC中，OC＝OA＝10，AC＝OC＝10，∴AB＝2AC＝20≈69（步）；而的长＝≈84（步），的长与AB的长多15步．所以这些市民其实仅仅少走了15步．故答案为15．16．解：在直角△OAD中，设半径是x，则OA＝x，OD＝x﹣20，AD＝AB＝60mm．根据勾股定理定理得到：x2＝（x﹣20）2+602，解得x＝100mm．所以原轮片的半径是100mm．三．解答题（共4小题）17．解：∵小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，∴8米高旗杆DE的影子为：12m，∵测得EG的长为3米，HF的长为1米，∴GH＝12﹣3﹣1＝8（m），∴GM＝MH＝4m．如图，设小桥的圆心为O，连接OM、OG．设小桥所在圆的半径为r，∵MN＝2m，∴OM＝（r﹣2）m．在Rt△OGM中，由勾股定理得：∴OG2＝OM2+42，∴r2＝（r﹣2）2+16，解得：r＝5，答：小桥所在圆的半径为5m．18．解：（1）∵OE⊥CD于点E，CD＝24，∴ED＝CD＝12，在Rt△DOE中，∵sin∠DOE＝＝，∴OD＝13（m）；（2）OE＝＝＝5，∴将水排干需：5÷0.5＝10（小时）．19．解：（1）过点Q作QB⊥OA，垂足为B，交圆于点C，由题意知，匀速转动一周需要12min，经过2min后转周，∴∠AOQ＝×360°＝60°，∴OB＝OQ cos60°＝OQ＝×20＝10，BT＝OT﹣OB＝10，AB＝BT+AT＝10.5，此时他离地的高度为10.5m；（2）作GD⊥AO，交AO的延长线于点M，由题意知AM＝30.5，OM＝10，∴∠GOD＝2∠DOM＝120°，此时他离地的高度为10.5+20＝30.5m，所以他有12÷3＝4分时间在离地面不低于30.5m的空中．20．解：（1）由题意可知，到第4天得禽流感病鸡数为1+10+100+1000＝1111，到第5天得禽流感病鸡数为10000+1111＝11111到第6天得禽流感病鸡数为100000+11111＝111111＞80000所以，到第6天所有鸡都会被感染；（2）过点O作OE⊥CD交CD于E，连接OC、OA．∵OE⊥CD，∴CE＝CD＝2在Rt△OCE中，OE2＝32﹣22＝5（2分）在Rt△OAE中，，∴AC＝AE﹣CE＝∵AC＝BD∴AC+BD＝．答：这条公路在该免疫区内有（）千米．。
三垂径定理
三垂径定理一、垂径定理的内容1. 定理表述- 垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。
- 用几何语言表示：- 已知圆O，直径CD⊥弦AB于点E，则AE = BE，widehat{AD}=widehat{BD}，widehat{AC}=widehat{BC}。
2. 定理的证明（以人教版教材思路为例）- 连接OA，OB。
- 因为OA = OB（同圆半径相等），OE⊥ AB，根据等腰三角形三线合一的性质，可得AE=BE。
- 再根据圆的对称性，可得widehat{AD}=widehat{BD}，widehat{AC}=widehat{BC}。
3. 相关概念理解- 弦：连接圆上任意两点的线段。
如在圆O中，AB就是一条弦。
- 直径：经过圆心的弦。
例如CD是圆O的直径。
- 弧：圆上任意两点间的部分。
圆O中的widehat{AD}、widehat{BD}、widehat{AC}、widehat{BC}等都是弧。
二、垂径定理的推论1. 推论内容- 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
- 用几何语言表示：- 已知圆O，直径CD平分弦AB（AB不是直径）于点E，则CD⊥ AB，widehat{AD}=widehat{BD}，widehat{AC}=widehat{BC}。
2. 推论的证明- 连接OA，OB。
- 因为OA = OB，AE = BE，所以 OAB是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，可得OE⊥ AB，即CD⊥ AB。
- 再根据圆的对称性，可得widehat{AD}=widehat{BD}，widehat{AC}=widehat{BC}。
- 这里要注意弦不能是直径，因为任意一条直径都可以平分另一条直径，但不一定垂直。
三、垂径定理及其推论的应用1. 计算类应用- 例1：已知圆O的半径为5，弦AB = 8，求圆心O到弦AB的距离。
- 解：设圆心O到弦AB的距离为d。
- 连接OA，因为OA = 5，AB = 8，根据垂径定理，OE⊥ AB时AE=(1)/(2)AB = 4。
3 垂径定理
2 解这个方程,得 x= 37 .
7 所以此圆形隧道的半径 OA 为 37 米.
7
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探究点一:垂径定理及推论 【例1】如图,CD是☉O的直径,AB⊥CD于E,若AB=10 cm,CE∶ED=1∶5,则☉O的半
径为 3 5 cm.
【导学探究】 1.由AB=10 cm,可得AE= 5 cm. 2.连接OA,设CE=x cm,则OA= 3x
据勾股定理列出方程求解.
cm,OE= 2x cm,在Rt △AOE中根
3.一条排水管的截面如图所示.已知排水管的截面圆半径OB=10,截面圆圆心O 到水面的距离OC是6,则水面宽AB是( A ) (A)16 (B)10 (C)8 (D)6
4.如图,AB为☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,已知CD=6,EB=1,则☉O的半径为 5.
5.如图所示是一个隧道的横截面,若它的形状是以O为圆心的圆的一部分,路 面AB=10米,净高CD=7米,求此圆形隧道的半径OA.
*3 垂径定理
垂径定理及推论 1.垂直于弦的直径 平分 弦,并且 平分 弦所对的两条弧.如图所示☉O 中,若 CD 为直径,CD⊥AB,垂足为 M,则 AM=BM, »AD = B»D , »AC = B»C .
2. 平分
弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且 平分 弦所对的两条弧.
如图所示☉O 中,若 AM=BM(AB 不是直径),CD 为直径,则 AB⊥CD, »AD = B»D , »AC = B»C .
探究点二:垂径定理的应用
垂径定理知二推三的证明过程
垂径定理知二推三的证明过程
嘿，朋友们！今天咱来唠唠垂径定理知二推三的证明过程，这可有意思啦！
咱先想想啊，一个圆，就像一个超级大的甜甜圈，哈哈！垂径定理呢，就像是这个甜甜圈上的神奇规则。
说垂径定理知二推三，就是说如果我们知道了其中的两个条件，就能推出另外三个条件呢！这多厉害呀！
比如说，咱知道了一条弦，嘿，这就好比是甜甜圈上的一根彩带，然后还知道这条弦被直径垂直平分，哇塞，这就像是给彩带找到了最完美的位置。
那接下来呢，就能推出这条弦所对的两条弧相等，就好像彩带两边的区域一样大；还能推出这条弦所对的圆心角相等，就像两边的气氛一样热烈；而且这条弦的一半、它所对的弧的一半以及圆心到弦的距离，这三者还能构成一个直角三角形呢，你说神不神！
咱来具体说说怎么证明哈。
假如有了那根弦和垂直平分的条件，那我们就能利用圆的对称性呀，这边和那边肯定是一样的嘛，所以弧就相等啦。
圆心角呢，也是因为对称呀，肯定也相等呀。
至于那个直角三角形，你想想，直径是斜边，弦的一半和圆心到弦的距离就是两条直角边呀，这不是明摆着的嘛！
哎呀呀，这垂径定理知二推三就像是变魔术一样，知道了两个条件，其他的就都冒出来啦！是不是很有趣呀？这就像我们生活中，有时候知道了一些关键的信息，其他的事情也就自然而然地清楚啦。
所以呀，大家一定要好好理解这个垂径定理知二推三，它可真是数学世界里的宝贝呢！以后遇到和圆有关的问题，就可以像拿着一把神奇钥匙一样，轻松地打开解题的大门啦！相信我，一旦你掌握了它，你就会发现数学原来这么好玩，这么神奇！就像发现了一个全新的世界一样令人兴奋呢！。
3-3 垂径定理 -2022-2023学年九年级数学下册同步精品课件(北师大版)
随堂测试
7.已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则
AC的长为（
A．2 5cm
）
B．4 5 cm
C．2 5cm或4 5cm
D．2 3cm或4 3cm
【解析】
连接AC，AO，
1
1
∵O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=2AB=2×8=4cm,OD=OC=5cm,
O
⌒
⌒
BC =BD.
E
B
D
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
符号语言：
C
∵ CD是直径， CD⊥AB
·
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
∴ AE=BE，AC=BC，AD=BD.
O
E
B
A
D
概念理解
平分弦的直径垂直于这条弦吗？
情况一：弦是直径
不一定
情况二：弦不是直径
C
A
C
·
O
D
O
B
E
A
B
课堂基础练
⌒
ＡＣ＝ AD
⌒
⌒
， BC＝ ＢＤ
A
已知：线段CD是⊙O的一条弦，直径AB⊥CD，
垂足为E。
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
求证：CE=DE, AC = AD, BC =BD.
C
证明：连接OC、OD,在△OCD中，
∵OC=OD，且OE⊥CD,
∴CE=DE，∠COB=∠BOD,
⌒ =AD,
⌒
∴ ∠AOC=∠AOD, ∴AC
则OE=
3
，AB=
8
?
.
垂径定理1-3课时
BB24.1.2 垂直于弦的直径——垂径定理（第一课时）一、知识探究1、圆既是 图形，又是 图形。
对称轴是 ，对称中心是 。
2、按要求作图（1）作⊙O 的任意一条弦AB ；（2）过圆心O ，作垂直于弦AB 的直径CD ，交AB 于点E 。
观察并回答：问题1：通过观察，在该图中有没有相等的线段：问题2：通过观察，在该图中有没有相等的弧： 证明过程：已知：CD 是⊙O 的直径，且CD ⊥AB 。
求证：AE=BE结论：垂径定理： 的直径 ，并且 。
几何语言的写法：∵ ∴强调：（1） ；（2） ；（3） （4） ；（5） 二、例题解析例1：在⊙O 中，弦AB 长8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，则⊙O 半径为例2：⊙O 的半径为5，M 是⊙O 内一点，OM=3，则过M 点的最短弦的长为例3：如图：已知线段AB 交⊙O 于C 、D 两点，若AC=BD ，求证：OA=OB 。
三、课堂练习：1、在⊙O 中，弦AB 长8cm ，⊙O 半径为5cm ，圆心O 到AB 的距离为2、在⊙O 中，⊙O 半径为5cm ，圆心O 到弦AB 的距离3cm ，则弦AB 的长为3、在半径为R 的⊙O 中，有长为R 的弦AB ，那么O 到AB 的距离为4、如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆与C 、D 两点。
求证：AC=BD 。
5、如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD=10cm ，AP ∶PB=1∶5 ，求的⊙O 半径。
24.1.2 垂直于弦的直径——垂径定理的推论（第二课时）一、知识回顾垂径定理： 的直径 ，并且 。
按要求作图（1）在⊙O （2）作弦（3）连接问题1：⊙O 的直径CD 与弦AB 有怎样的位置关系： 问题2：该图中有没有相等的弧 证明过程：已知：CD 是⊙O 的直径，并且平分弦AB ，求证：CD ⊥AB 。
结论：垂径定理的推论： 的直径 ，并且 三、例题解析例1：已知⊙O 的半径OA=10㎝，弦AB=16㎝，P 为弦AB 上的一个动点，则OP 的最短距离为典型练习：1、下面四个命题中正确的一个是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2、下列命题中，正确的是（ ）．A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B ．过弦的中点的直线必过圆心C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D ．弦的垂线平分弦所对的弧3、⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ） （A ）5OM 3≤≤ （B ）5OM 4≤≤ （C ）5OM 3<< （D ）5OM 4<<4、如图所示，若⊙O 的半径为13cm ，点P 是弦AB 上一动点，且到圆心的最短距离5cm ，则弦AB 的长为______________ ． 四、课堂练习1、已知：如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB=8m ，OC=5m ，则DC 的长为（1） （2） （3）2、如图，在⊙O 中，直径AB 丄弦CD 于点M ，AM=18，BM=8，则CD 的长为__________ . 3、如图，∠PAC=30°，在射线AC 上顺次截取AD=3cm ，DB=10cm ，以DB 为直径作⊙O 交射线AP 于E 、F 两点，则线段EF 的长是_________ cm ．4、已知圆的半径为5cm ，一弦长为8cm ，则弦的中点到弦所对弧的中点的距离为__ _____。
专题3.3垂径定理(举一反三)(北师大版)(原卷版)
专题3.3 垂径定理【十大题型】【北师大版】【题型1 利用垂径定理求线段长度】 (1)【题型2 利用垂径定理求角度】 (2)【题型3 利用垂径定理求最值】 (3)【题型4 利用垂径定理求取值范围】 (4)【题型5 利用垂径定理求整点】 (6)【题型6 利用垂径定理求面积】 (7)【题型7 垂径定理在格点中的运用】 (8)【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】 (10)【题型10 垂径定理的应用】 (11)【题型1 利用垂径定理求线段长度】【例1】（2022•雨花区校级开学）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB交AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，EC＝2√13，则CD的长为（）A．1B．3C．2D．4【变式11】（2022•宁津县二模）如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（）A．6B．6√2C．8D．8√2【变式12】（2022•建华区二模）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC＝30°，则CD的长为（）A．5B．2√3C．4√2D．2√2+√3+1【变式13】（2022春•徐汇区校级期中）如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，且CE＝CB，若BE＝2AE，CD＝5，那么⊙O的半径为．【题型2 利用垂径定理求角度】【例2】（2022•泰安模拟）如图，⊙O的半径OA，OB，且OA⊥OB，连接AB．现在⊙O上找一点C，使OA2+AB2＝BC2，则∠OAC的度数为（）A．15°或75°B．20°或70°C．20°D．30°̂上的【变式21】（2022秋•天心区期中）如图，已知⊙O半径OA＝4，点B为圆上的一点，点C为劣弧AB一动点，CD⊥OA，CE⊥OB，连接DE，要使DE取得最大值，则∠AOB等于（）A．60°B．90°C．120°D．135°【变式22】（2022秋•青田县期末）如图，在⊙O中，半径OC过弦AB的中点E，OC＝2，OE=√2．（1）求弦AB的长；（2）求∠CAB的度数．【变式23】（2022秋•开州区期末）如图，在⊙O中，弦BC与半径OA垂直于点D，连接AB、AC．点E为AC的中点，连接DE．（1）若AB＝6，求DE的长；（2）若∠BAC＝100°，求∠CDE的度数．【题型3 利用垂径定理求最值】【例3】（2022•威海模拟）⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的最大值是（）A．12B．1C．32D．2【变式31】（2022•河北模拟）如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D．且OD＝DC．P为⊙O上任意一点，连接P A，PB，若⊙O的半径为1，则S△P AB的最大值为（）A．1B．2√33C．3√34D．3√32【变式32】（2022秋•龙凤区校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD 边上的动点，PQ＝16，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为．【变式33】（2022秋•延平区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（）A．910B．65C．85D．125【题型4 利用垂径定理求取值范围】【例4】（2022•包河区校级二模）如图，在⊙O中，直径AB＝10，CD⊥AB于点E，CD＝8．点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，P是直径AB上的动点，设m＝PC+PF，则m的取值范围是（）A．8＜m≤4√5B．4√5＜m≤10C．8＜m≤10D．6＜m＜10【变式41】（2022•佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．【变式42】（2022秋•盐都区校级月考）如图，点P是⊙O内一定点．（1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若⊙O的半径为13，OP＝5，①求过点P的弦的长度m范围；②过点P的弦中，长度为整数的弦有条．【变式43】（2022秋•天河区校级期中）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离OH＝3，点P是圆上一动点，设过点P且与AB平行的直线为l，记直线AB到直线l的距离为d．（1）求AB的长；（2）如果点P只有两个时，求d的取值范围；（3）如果点P有且只有三个时，求连接这三个点所得到的三角形的面积．【题型5 利用垂径定理求整点】【例5】（2022•山海关区一模）已知⊙O的直径CD＝10，CD与⊙O的弦AB垂直，垂足为M，且AM＝4.8，则直径CD上的点（包含端点）与A点的距离为整数的点有（）A．1个B．3个C．6个D．7个【变式51】（2022秋•新昌县期末）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP，若OB＝5，OC＝3，则AP的长不可能是（）A．6B．7C．8D．9【变式52】（2022•桥西区校级模拟）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN＝10，AB＝8，如图以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是3，⊙C上的整数点有个．【变式53】（2022秋•肇东市期末）已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【题型6 利用垂径定理求面积】【例6】（2022•武汉模拟）如图，在半径为1的⊙O中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，120°，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是（）A．√2B．1C．√32D．√22【变式61】（2022秋•黄州区校级月考）如图，矩形MNGH的四个顶点都在⊙O上，顺次连接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝12，DF＝4，则菱形ABCD的面积为．【变式62】（2022秋•西城区校级期中）如图，AB为⊙O直径，过点O作OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．（1）求证：E为OD的中点；（2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积．【变式63】（2022•新洲区模拟）如图，点A，C，D均在⊙O上，点B在⊙O内，且AB⊥BC于点B，BC ⊥CD于点C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，则⊙O的面积为（）A．125π4B．275π4C．125π9D．275π9【题型7 垂径定理在格点中的运用】【例7】（2022秋•襄都区校级期末）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（2，1）【变式71】（2022春•海门市期中）如图所示，⊙P过B、C两点，写出⊙P上的格点坐标．【变式72】（2022•商城县三模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C均在小正方形的顶点上，点C同时也在AB̂上，若点P是BĈ的一个动点，则△ABP面积的最大值是．【变式73】（2017秋•靖江市校级月考）如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：（1）利用网格作出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为；（2）连接AD、CD，则⊙D的半径为，∠ADC的度数．【题型8 垂径定理在坐标系中的运用】【例8】（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B （0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A．(4−2√6，0)B．(−4+2√6，0)C．(−4+√26，0)D．(4−√26，0)【变式81】（2022秋•西林县期末）如图，⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），圆心P的横坐标为﹣4．则⊙P的半径为（）A．3B．4C．5D．6【变式82】（2022•印江县三模）如图，直线l为y＝x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于点A3；…，按此作法进行下去，则点A2022的坐标为．【变式83】（2015•宜春模拟）如图，半径为5的⊙P与y轴交于点M（0，﹣4），N（0，﹣10），函数y ＝﹣2x+m图象过点P，则m＝．【题型9 垂径定理与分类讨论中的综合运用】【例9】（2022秋•化德县校级期末）⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，且AB＝12cm，CD＝16cm，则AB 和CD的距离为（）A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm【变式91】（2022•包河区二模）已知圆O的半径为5，弦AB＝8，D为弦AB上一点，且AD＝1，过点D 作CD⊥AB，交圆O于C，则CD长为（）A．1B．7C．8或1D．7或1【变式92】（2022秋•方正县期末）如图，⊙O的弦AB与半径OC垂直，点D为垂足，OD＝DC，AB＝2√3，点E在⊙O上，∠EOA＝30°，则△EOC的面积为．【变式93】（2022秋•淮南月考）如图，已知⊙O的半径为2．弦AB的长度为2，点C是⊙O上一动点，若△ABC为等腰三角形，则BC2的长为．【题型10 垂径定理的应用】【例10】（2022秋•武昌区校级期末）某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长）24m，拱高（弧的中点到弦的距离）4米，则求拱桥的半径为（）A．16m B．20m C．24m D．28m【变式101】（2022•望城区模拟）《九章算术》是我国古代著名数学经典，其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺．如图，已知弦AB＝1尺，弓形高CD＝1寸，（注：1尺＝10寸）问这块圆柱形木材的直径是（）A．13寸B．6.5寸C．26寸D．20寸【变式102】（2022秋•西城区校级期中）京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约．如图，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为分钟．【变式103】（2022•浙江）如图，公园内有一个半径为20米的圆形草坪，A，B是圆上的点，O为圆心，̂，一部分市民为走“捷径”，踩坏了花草，走出了一条小路AB．通∠AOB＝120°，从A到B只有路AB过计算可知，这些市民其实仅仅少走了步（假设1步为0.5米，结果保留整数）．（参考数据：√3≈1.732，π取3.142）。
第07讲 垂径定理
第07讲垂径定理（核心考点讲与练）【知识梳理】一．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．二．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．【核心考点精讲】一．垂径定理（共5小题）1．（2022•拱墅区一模）已知AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若DO＝DC，AB＝12，则⊙O的半径为（）A．4B．4C．6D．62．（2016秋•北仑区期末）⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝6，EB＝2，∠CEA＝30°，则弦CD的长为（）A．8B．4C．2D．23．（2022春•长兴县月考）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，连结CO并延长，交弦AD于点F．若AB＝10，BE＝2，则OF的长度是（）A．B．3C．D．4．（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B（0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A．B．C．D．5．（2021秋•北仑区校级期中）如图，⊙•O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC交AD于点E，则OE的最小值是（）A．B．C．2﹣D．﹣1二．垂径定理的应用（共4小题）6．（2021秋•鹿城区校级期中）如图是一个小圆同学设计的一个鱼缸截面图，弓形ACB是由优弧AB与弦AB组成，AC是鱼缸的玻璃隔断，弓形AC部分不注水，已知CD⊥AB，且圆心O在CD上，AB＝CD＝80cm．注水时，当水面恰好经过圆心时，则水面宽EF为cm；注水过程中，求水面宽度EF的最大值为cm．7．（2022•旌阳区二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米B．2米C．米D．米8．（2021秋•温岭市期末）把一个球放入长方体纸盒，球的一部分露出盒外，球与纸盒内壁都刚好相切，其截面如图所示，若露出部分的高度为6cm，AF＝DE＝3cm，则这个球的半径是cm．9．（2021秋•诸暨市期末）一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝12，如果再注入一些水，当水面AB的宽变为16时，则水面AB上升的高度为．【过关检测】一．选择题（共7小题）1．（2022春•市中区校级月考）如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，若⊙O的半径为10，OC＝5，则弦AB的长为（）A．5B．10C．5D．102．（2021秋•温州期末）如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D．已知OC＝5，OD＝4，则弦AB的长为（）A．3B．4C．5D．63．（2021秋•嘉兴期末）如图，⊙O的直径AB＝12，弦CD垂直AB于点P．若BP＝2，则CD的长为（）A．2B．4C．4D．84．（2021秋•嵊州市期末）如图，CD是⊙O的弦，直径AB⊥CD，垂足为M，连结AD．若CD＝8，BM＝2，则AD的长为（）A．10B．5C．4D．35．（2021秋•东阳市期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（）cm．A．1B．3C．3或4D．1或7 6．（2021秋•宁波期末）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝6cm，则球的半径为（）A．3cm B．cm C．cm D．cm 7．（2021秋•拱墅区期中）如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，若OC：OA＝4：5，则DE的长为（）A．6B．7C．8D．9二．填空题（共8小题）8．（2021秋•余姚市期末）如图1，水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产．如图2，圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为8米，半径为5米，则圆心O到水面AB的距离为米．9．（2021秋•瑞安市期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝3，则AE长为．10．（2021秋•拱墅区期末）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内原有液体的最大深度CD＝4cm．部分液体蒸发后，瓶内液体的最大深度下降为2cm，则截面圆中弦AB的长减少了cm（结果保留根号）．11．（2021秋•温州校级月考）如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示．已知桥面跨径AB＝20米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD＝BC＝14米，则该圆的半径长为米．12．（2022•瑞安市开学）如图，矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的两个动点，将△BEF沿着直线EF作轴对称变换，得到△B′EF，点B′恰好在边AD上，过点D，F，B′作⊙O，连结OF．若OF⊥BC，AB′＝CF＝3时，则AE＝．13．（2021秋•镇海区期末）⊙O的弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距为3cm，则⊙O的半径为cm．14．（2020•金华模拟）如图，依据九上教材中的丁字尺，小明开始自制丁字尺：F、A、D、E在同一直线上，AF⊥AB，AB∥CD，AF＝4cm，AD＝DE＝2cm．（1）现有一圆经过F、E，弧EF为劣弧，且与AB交于G，如果测得AG的长为10cm，那么圆的半径为；（2）小明在DC上制作单位刻度时不小心把尺子割断了，只余DM＝1cm，此时只运用这把残破的丁字尺的已知数据（一条线段不能分段测量且不能作延长线），能计算或测量（不计误差）得到的最大半径是．15．（2022•海曙区一模）如图，圆O的半径为4，点P是直径AB上定点，AP＝1，过P 的直线与圆O交于C，D两点，则△COD面积的最大值为；作弦DE∥AB，CH ⊥DE于H，则CH的最大值为．三．解答题（共5小题）16．（2021秋•西湖区校级月考）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB于E，CE＝8，DE＝2，求AB的长．17．（2021•柯桥区模拟）如图，在⊙O中，过半径OD的中点C作AB⊥OD交⊙O于A、B两点，且AB＝2．（1）求OD的长；（2）计算阴影部分的周长．18．（2021秋•玄武区校级月考）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB 的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．（1）求证：AC＝CG；（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半径．19．（2021秋•下城区校级月考）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM 为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求：（1）拱桥所在的圆的半径；（2）通过计算说明是否需要采取紧急措施．20．（2020秋•永嘉县校级期末）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD 交AC于点E，AD＝CD．（1）求证：OD∥BC；（2）若AC＝10，DE＝4，求BC的长．。
(完整版)27.3(3)垂径定理
人的大脑和肢体一样，多用则灵，不用则废。
BABA BACAP27.3 垂径定理（3）[学习目标]1、能运用垂径定理及推论解决有关数学问题；2、掌握运用垂径定理及其推论时辅助线的常用添法. [学习重难点]会运用垂径定理及推论解决有关问题.一、课前预习1、已知»AB ，用直尺和圆规平分这条弧.2、已知：如图，线段AB 、交O e 于C 、D 两点，且OA=OB ， 求证：AC=BD.3、如图，有一圆弧形门拱的拱高CD 为1米，跨度AB 为4米，求这个门拱的半径.二、课堂学习例题1 如图，已知O e 的半径长为25，弦AB 长为48，C 是»AB 的中点. 求AC 的长. （提示：把AC 放到直角三角形中去求，这里可以联结 、 ）（问题：添辅助线时这里可以写“作OC AB ⊥”吗？）例题2 如图，已知AB 、CD 是O e 的弦，且AB=CD ，,OM AB ON CD ⊥⊥ ，垂足分别是点M 、N ，BA 、DC 的延长线交于点P. 求证：PA=PC. （提示：先证明AM=CN 和PM=PN ）例题3 如图，已知O e 的半径长R 为5，弦AB 与弦CD 平行，它们之间的距离为7，AB 长6，求弦CD 的长.（问题：过点O 作,OE AB OF CD ⊥⊥ ，垂足分别为E 、F ，可否马上得到EF=7？）人的大脑和肢体一样，多用则灵，不用则废。
POBACDFOE B A C D P ONMB AC DO B CBCE DOA课堂小结四、课堂练习1、已知：如图，PB 、 PD 与O e 分别交于点A 、B 和点C 、D ，且PO 平分BPD ∠.求证：¼¼.ABD CDB =2、如图，已知AB 是O e 的直径，弦CD 交AB 于点E ，45CEA ∠=o，OF CD ⊥，垂足为点F ，DE=7，EO=2. 求CD 的长.3、已知O e 的半径长为5，弦AB 与弦CD 平行，AB=6，CD=8. 求AB 与CD 之间的距离。
垂径定理计算公式
垂径定理计算公式思想的变化与进步对我们现代世界来说是至关重要的，尤其是在数学领域。
在这个领域，有许多技术和原理组成了丰富的数学体系，并且经过不懈地努力和改进，这些体系就不断发展。
《垂径定理计算公式》是一种特殊的数学算法，它是在科学领域不断推翻重建之中产生的，它有助于我们增加计算能力以及使用它来解决复杂的数学问题。
垂径定理计算公式是在已知两点坐标和指定径度情况下，根据直线的斜率m和坐标原点的横纵坐标(X1, Y1)来计算斜率和坐标点(X2，Y2)的算法。
它是由历史上著名的物理学家阿基米德提出，他发明了很多数学定理，其中包括《垂径定理》。
在17世纪，阿基米德发明了一个算法，用于求解直线斜率和坐标。
垂径定理的计算公式为：M = ((Y2-Y1)/(X2-X1))* ( (1+X2-X1)/2)Y2 = Y1+(X2-X1)* M式子中，X1是起始点的横坐标，Y1是起始点的纵坐标，M是斜率，X2是终点的横坐标，Y2是终点的纵坐标。
垂径定理计算公式的实质是根据已知的一个点的坐标和指定的斜率，就可以求出另一点的坐标。
因此，可以用垂径定理计算公式来计算出给定斜率和坐标的直线上两点之间的距离。
垂径定理计算公式的应用非常广泛，典型的应用如下：计算空间坐标：给定某一点，可以计算任何满足垂径定理计算公式的空间坐标点；计算多边形面积：通过求取多边形的一个点和另一个点的坐标，就可以用垂径定理计算公式求出多边形的面积。
求点到直线的距离：可以用垂径定理计算公式来计算出给定直线上的两点之间的距离；可以用它来计算某个点到直线的距离；计算曲线的斜率：可以用垂径定理计算公式来求出曲线的斜率。
由于垂径定理计算公式的广泛应用，它一直受到学者们的关注。
经过多年来不断的发展，此定理已经被改进，使用更为精确的数值计算，使计算更加准确。
此外，为了更好地解决复杂的数学问题，许多数学家不断改进垂径定理计算公式，增加它的适用性，以更好地解决问题。
随着数学研究的发展，垂径定理计算公式也经历了改善，从而更易于计算。
垂径定理3
1、如图，⊙O的半径OA=5cm，弦AB=8cm， 如图， 的半径OA=5cm， AB=8cm， OA=5cm 点C是AB的中点，则OC的长为 AB的中点， OC的长为 的中点 。
A
C · O
B
随堂练习P 随堂练习 92 4
赵州石拱桥
表示桥拱， 所在圆的圆心为O，半径为Rm， 解：如图，用 AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆心为 ，半径为 如图， ， 经过圆心O作弦 的垂线OD，D为垂足，与 AB 相交于点 根 作弦AB的垂线 ， 为垂足 为垂足， 相交于点C.根 经过圆心 作弦 的垂线 据垂径定理， 是 的中点 的中点， 是 的中点， 就是拱高 就是拱高. 据垂径定理，D是AB的中点，C是AB 的中点，CD就是拱高 37.4 由题设 AB = 37.4, CD = 7.2, C
A D E O
N B F C
随Hale Waihona Puke 练习P 随堂练习 9210挑战自我垂径定理 挑战自我垂径定理
驶向胜利 的彼岸
• 如果圆的两条弦互相平行 那么这两条弦所平的弧相 如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所平的弧相 等吗? 等吗 • 老师提示 老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况 这两条弦在圆中位置有两种情况: 1.两条弦在圆心的同侧 两条弦在圆心的同侧 2.两条弦在圆心的两侧 两条弦在圆心的两侧
② MN⊥AB MN⊥ 推论1: 推论1: MN过圆心O ①直线 直线MN过圆心 过圆心O ③ AC=BC (3)平分弦所对的一条弧的直径 平分弦所对的一条弧的直径, (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂 ⌒ ⌒ ⑤ AN= NB ⌒ ⌒ ④ AM= MB 直平分弦, 直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
垂径定理三角形 垂径定理三角形
第3章3.3垂径定理(教案)2023-2024学年九年级下册数学(教案)(北师大版)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与垂径定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示垂径定理的基本原理。
5.培养学生养成良好的学习习惯，提高自主学习、探究学习的能力，形成终身学习的观念。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解垂径定理的概念：垂径定理是圆的基本性质之一，对于圆的认识具有重要意义。教学过程中应重点讲解垂径定理的定义，使学生明确垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
-掌握垂径定理的证明方法：通过运用勾股定理和圆周角定理，引导学生理解并掌握垂径定理的证明过程，培养学生严谨的逻辑推理能力。
此外，在总结回顾环节，学生们能够较好地掌握垂径定理的基本概念和应用。但我也注意到，部分学生在提问环节显得较为拘况，我将在课堂上鼓励学生大胆提问，充分表达自己的观点，同时给予他们更多的肯定和鼓励。
最后，针对本节课的教学，我认为以下方面需要改进：
a.引导学生观察图形，发现垂径定理的规律。
b.分步骤解释证明过程，强调勾股定理和圆周角定理的应用。
c.通过提问和互动，了解学生在证明过程中遇到的难点，并针对性地进行解答。
d.组织学生进行小组讨论，共同解决证明过程中的问题，培养学生的团队合作能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《垂径定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要找到圆中某个点，使得从这个点到圆周上某点的距离最短的情况？”（例如：如何在一张纸上剪出一个最大的圆）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索垂径定理的奥秘。
3.3垂径定理.3垂径定理
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM ∴Rt△OAM≌Rt△OBM
∴AM=BM, ∠AOC=∠BOC
∴
︵ AB=
︵ BC
D
∵∠AOD=180°－∠AOC, ∠BOD=180°－∠BOC
∴ ∠︵AOD︵=∠BOD
∴ AD= BD︵ ︵
∴AM=BM, AB= BC,
︵︵ AD= BD
弧相等吗？为什么?
E
还有其他情况吗？
C
A
N ●O
B
└
M
C└
D
F
A
B
●O
C
D
D
如图，已知⊙O的半径为30mm，弦AB=36mm. 则点O到AB的距离及 ∠OAB的余弦值。
C
如图，两个圆都是以O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦
AB在同一条直线上，你认为AC与BD的大小有什么关系？
为什么？
解：AC=BD 理由：过O作OE⊥AB于E，
37.4 CC
OD OC DC R 7.2.
7.2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
AA
D
BB
OA 2 AD 2 OD2 ,
R
即R2 18.72 (R 7.2)2 .
解得 R≈27.9（m）.
OO
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
如果圆的两条弦平行，那么这两条弦所夹的
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧
已知：如图，AB 是⊙O 的一条弦，CD 是⊙O 的一条直径，并且 CD⊥AB，
︵︵ ︵︵
C
垂足为 M。求证：AM=BM, AC= BC, AD= BD
垂径定理—知识讲解
垂径定理—知识讲解〔提高〕【学习目标】1．明白得圆的对称性；2．把握垂径定理及其推论；3．学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题．【要点梳理】知识点一、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，而且平分弦所对的两条弧.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，而且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)那个地址的直径也能够是半径，也能够是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展依照圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦〔该弦不是直径〕的直径垂直于弦，而且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线通过圆心，而且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，而且平分弦所对的另一条弧.（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，明白任意两个，就能够推出其他三个结论.〔注意：“过圆心、平分弦〞作为题设时，平分的弦不能是直径〕【典型例题】类型一、应用垂径定理进展计算与证明1. 如图，⊙O的两条弦AB、CD相互垂直，垂足为E，且AB=CD，CE=1，ED=3，那么⊙O的半径是．【答案】5.【解析】作OM⊥AB于M、ON⊥CD于N，连结OA，∵AB=CD，CE=1，ED=3，∴OM=EN=1，AM=2，∴OA=222+1=5.【点评】关于垂径定理的利用，一样多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题. 触类旁通：【变式1】如以下图，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径．【答案】如以下图，过点O别离作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，那么四边形MONH为矩形，连结OB，∴12MO HN CN CH CD CH==-=-11()(38)3 2.522CH DH CH=+-=+-=，111()(46)5222BM AB BH AH==+=+=，∴在Rt△BOM中，2255 2OB BM OM=+=．【高清ID号：356965 关联的位置名称〔播放点名称〕：例2-例3】【变式2】如图，AB为⊙O的弦，M是AB上一点，假设AB＝20cm，MB＝8cm，OM＝10cm，求⊙O的半径.【答案】14cm.【高清ID号：356965 关联的位置名称〔播放点名称〕：例2-例3】2.：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.【思路点拨】在⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离确实是它们的公垂线段的长度，假设别离作弦AB、CD的弦心距，那么可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.【答案与解析】(1)如图1，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，并延长MO，交CD于N点.别离连结AO、CO.∵AB∥CD∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距.∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm，=8+6=14(cm)图1 图2(2)如图2所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时，同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm)∴⊙O中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm.【点评】解这种问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，万万别丢解.触类旁通：【变式】在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，那么MC=_________．【答案】2或8．类型二、垂径定理的综合应用3. 要测量一个钢板上小孔的直径，通常采纳间接的测量方式．若是用一个直径为10mm的标准钢珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离h＝8mm(如以下图)，求此小孔的直径d．【思路点拨】此小孔的直径d确实是⊙O中的弦AB．依照垂径定理构造直角三角形来解决．【答案与解析】过O 作MN ⊥AB ，交⊙O 于M 、N ，垂足为C ， 那么1105mm 2OA =⨯=，OC ＝MC －OM ＝8－5＝3mm ． 在Rt △ACO 中，AC ＝22534mm -=，∴ AB ＝2AC ＝2×4＝8mm ．答：此小孔的直径d 为8mm ．【点评】应用垂径定明白得题，一样转化为有关半径、弦、弦心距之间的关系与勾股定理的运算问题.4. 只是圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l 于E ，BF ⊥l 于F ．(1)在下面三个圆中别离画出知足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观看(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA ＝OB 除外)(再也不标注其他字母，找结论的进程中所连辅助线不能出此刻结论中，不写推理进程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．【答案与解析】(1)如以下图，在图①中AB 、CD 延长线交于⊙O 外一点；在图②中AB 、CD 交于⊙O 内一点；在图③中AB ∥CD ．。
九下第三章第3节垂径定理
课题：九下3.3垂径定理一、备课标（一）内容标准：探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。
（二）数学思想、方法（十大核心概念）：圆是一种特殊图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，利用圆的轴对称性探索垂径定理及其逆定理，然后用推理证明的方法进行证明。
十大核心概念在本节课中突出的是空间观念、几何直观、推理能力、应用意识。
二、备重点、难点（一）教材分析：本节课是九年级下册第三章《圆》的第三节“垂径定理”，属于“图形与几何”领域图形性质部分。
学生在第二节已经学习了圆是轴对称图形以及中心对称图形的有关性质，具备一定的研究图形的方法，基本掌握探究问题的途径，具备推理证明的能力。
本节设计会侧重学生对新知识形成过程的认识和理解，采用通过实验、观察、猜想、验证的手法去探求几何定理，继续让学生探索与圆有关的性质，为本章后续圆的知识学习打下坚实的基础。
（二）重点、难点分析：学生通过折纸的方法认识了圆的轴对称性，利用轴对称性图形的性质得出有关结论，教科书展示了垂径定理的一种证明方法，探索的方式可多样化。
所以确定重点：利用圆的轴对称性探索垂径定理及其逆定理，并进行应用难点：垂径定理及其逆定理的区别及两个定理的使用条件三、备学情（一）学习条件和起点能力分析：1.学习条件分析：（1）必要条件：学生已认识圆是轴对称性图形，了解弧、弦、弦心距的相关概念，能运用四量关系定理解决圆的相关问题。
（2）支持性条件：学生具备一定的运用数形结合研究图形的方法，基本掌握探究问题的途径，2.起点能力分析：能运用四量关系定理解决圆的相关问题，具备推理证明的能力（二）学生可能达到的程度和存在的普遍性问题：学生通过折纸的方法认识了圆的轴对称性，进而会用折叠的方法得出猜想，还有的学生可能尝试用证明的方法得出结论，对于垂径定理和逆定理的使用条件不会区分，证明过程不够严谨。
针对这一问题，采取策略是利用几何语言分析其区别，通过例题规范解题格式。
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28.4垂径定理*
教学目标
1.理解垂径定理的证明过程,掌握垂径定理及其推论.
2.会用垂径定理进行简单的证明和计算.
3.了解直径、弦、弧之间的特殊关系.
教学重难点
【重点】垂径定理及其应用.
【难点】探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题.
教学过程
复习提问:
1.什么是轴对称图形?
2.圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?
3.你是用什么方法解决上述问题的?
4.直径是圆的对称轴正确吗?
【师生活动】学生思考后回答,教师点评,指出“直径是圆的对称轴”这个结论的错误原因.师生共同归纳:圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线(或直径所在的直线).
一、垂径定理
教师引导操作、思考、回答:
在自己课前准备的纸片上作图:
1.任意作一条弦AB.
2.过圆心O作弦AB的垂线,得直径CD交AB于点E.
3.观察图形,你能找到哪些线段相等?哪些弧相等?
4.沿着CD所在的直线折叠,观察有哪些相等的线段、弧.
5.图形中的已知是什么?你得到的结论是什么?你能写出你的证明过程吗?
6.你能用语言叙述这个命题吗?
7.你得到的结论怎样用几何语言表示?
【师生活动】学生在教师的引导下操作、观察、思考、尝试证明,然后小组合作交流,共同探究结论.教师在巡视过程中,帮助有困难的学生.学生回答问题,并展示自己的证明过程,教师适时点评,规范学生的证明过程,师生共同回忆操作过程,归纳结论.
【课件展示】如图所示,在☉O中,CD为直径,AB为弦,且CD⊥AB,垂足为E.求证AE=BE,,.
垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.
几何语言:
∵如上图所示,在☉O中,CD为直径,CD⊥AB,
∴AE=BE,,.
二、垂径定理的推论
【课件展示】如图所示,在☉O中,直径CD与弦AB(非直径)相交于点E.
【思考】
(1)若AE=BE,能判断CD与AB垂直吗?与(或与)相等吗?说明你的理由.
(2)若(或),能判断CD与AB垂直吗?AE与BE相等吗?说明你的理由.
【师生活动】学生独立思考,小组合作交流,独立书写解答过程,小组代表展示,教师对学
生的展示点评,规范书写格式.
追加思考:
(1)垂径定理中的条件和结论分别是什么?用语言叙述.
(2)上面思考(1)(2)中的条件和结论分别是什么?
(3)如果不要求“弦不是直径”上述结论还成立吗?
【师生活动】师生共同分析解答,通过追加思考,师生共同归纳结论.
【课件展示】在☉O中,设直径CD与弦AB(非直径)相交于点E.若把AE=BE,CD⊥AB,中的一项作为条件,则可得到另外两项结论.
三、例题讲解
【课件展示】
(教材164页例)如图所示,已知CD为☉O的直径,AB为弦,且AB⊥CD,垂足为E.若
ED=2,AB=8,求直径CD的长.
教师引导思考:
1.如何把圆的半径转化为三角形中的线段?
2.构造的直角三角形中三边之间有什么特点?
3.直角三角形中已知一边、另外两边之间的关系,如何求另两边长?
【师生活动】教师引导,师生共同完成思考分析,学生小组合作交流解题思路,书写解题过程,小组代表板书,教师点评,规范解答格式.
【课件展示】
(课前导入一)赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1400年的历史,是我国古代人民勤劳和智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?(结果保留小数点后一位)【师生活动】教师引导学生画出对应的几何图形,根据所画图形,学生独立完成解答过程,小组合作交流答案,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,教师展示课件,规范解答格式.
【课件展示】
解:如图所示,用表示主桥拱,设所在圆的圆心为O,半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC,D为垂足,OC与相交于点C,连接OA.根据垂径定理知D 为AB的中点,C为的中点,CD就是拱高.
由题设可知,AB=37.4m,CD=7.2m,
所以AD=AB=×37.4=18.7(m),
OD=OC-CD=R-7.2(m).
在Rt△OAD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2,
即R2=18.72+(R-7.2)2.解得R≈27.9(m).
因此,赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
【思考】
1.在圆中解决有关弦的问题,常作什么辅助线?
2.在圆中解决有关弦的问题,常用什么方法?
【师生活动】学生思考回答后,教师归纳总结.
在圆中解决有关弦的问题时,常常过圆心作弦的垂线段(弦心距),通过作辅助线,把垂径定
理和勾股定理结合,得到圆的半径r、弦心距d、弦长a的一半之间的关系式:r2=d2+.
[知识拓展]
1.由垂径定理可以得到以下结论:
(1)若直径垂直于弦,则直径平分弦及其所对的两条弧.
(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
(3)垂直且平分一条弦的弦是直径.
(4)连接弦所对的两条弧的中点的线段是直径.
综上所述,可以知道在①过圆心,②垂直于弦,③平分弦,④平分弦所对的劣弧,⑤平分弦所对的优弧这五项中满足其中任意两项,就可以推出另外三项,简称“5.2.3”定理.
2.利用垂径定理及其推论可以证明平分弧、平分弦,证明垂直,证明一条线段是直径.
3.利用垂径定理的推论可以确定圆心的位置:在圆中找两条不平行的弦,分别作两条弦的垂直平分线,两条垂直平分线的交点即是圆心.
4.由于垂直于弦的直径平分弦,因此可以在圆中构造直角三角形,利用勾股定理列方程求弦长(或半径).
5.圆心到弦的距离叫做弦心距.
1.垂径定理和推论及它们的应用.
2.垂径定理和勾股定理相结合,将圆的问题转化为直角三角形问题.
3.圆中常作辅助线连半径、过圆心作弦的垂线.
1.如图所示,AB是☉O的直径,CD是弦,CD⊥AB于点E,则下列结论不一定成立的是
A.∠COE=∠DOE
B.CE=DE
C.OE=BE
D.
2.如图所示,已知☉O的半径为13,弦AB长为24,则点O到AB的距离是()
3.如图所示,☉O的直径为10,弦AB的长为6,P是AB上一动点,则线段OP的长的取值范围是.
4.如图所示,AB是☉O的弦,半径OC⊥AB于点D.
(1)若AB=8cm,OC=5cm,求CD的长;
(2)若OC=5cm,OD=3cm,求AB的长;
(3)若AB=8cm,CD=2cm,求☉O的半径.
28.4垂径定理*
一、垂径定理
二、垂径定理的推论
三、例题讲解
【必做题】教材第165页习题A组第1,2,3题.
【选做题】教材第166页习题B组第1,2题.。