gauss-seidel迭代法收敛判断
GaussSeidel迭代法
定理4 对 于 任 意 右 端 向 量 F 初 始 向量 X 0， Gauss Seidel 迭代法收敛的充分条件是
n
1
B max
1
j i1
bij
1;
n
2
B
max i
bij
j 1
1.
由此定理可知，条件(1）或(2）被满足时，则 Gauss Seidel 迭代法与 Jacobi 迭代法都收敛。
x (1) 1
b11
x (0) 1
b12
x (0) 2
L
b1n
x (0) n
f1
显然，迭代格式收敛的话，则 x11 比 x10 更接近于 X 的第一个分量 x1* 所以在计算x21时，我们不再像 Jacobi
迭代法那样以 x10 , x20 ,L xn0 代入(2.1)中第二式的右边 ， 而是把新算出的 x11 及 x20 , x30 ,L xn0 代入该式右边，得
例5 设方程组 AX b 的系数矩阵为
1 2 2
பைடு நூலகம்
A
1 2
1 2
1 1
试证明 Jacobi 迭代法收敛 ，而 Gauss Seidel 迭代法不收敛。
证明 显然， Jacobi 迭代法的迭代矩阵为
因为
0 2 2
B
2 2
0 2
01
2 2 I B 1 1 3
22
令 I B 0 ，则有
x2(k
1)
b21x1(k 1)
b22 x2(k)
b2n xn(k) f2 ,
xn
(
k
1)
bn1x1(k 1)
b x (k1) nn1 n1
bnn xn(k)
Gauss-Seidel迭代法
G a u s s-S e i d e l迭代法-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN数值分析课程论文姓名:学号:Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组摘要线性方程组的求解在许多的工程技术中是一个极为常见的问题，对于线性方程组的求解无论从理论上还是实践应用上都已经成熟.对于一般线性方程组的求解有Gauss消元法为基础的直接法，也有迭代法.其中Gauss-Seidel是一个重要的组成部分.鉴于此，本论文细致地研究了用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组.论文的第一部分先介绍了迭代法求解线性方程组的一般模式，并给出这种迭代法的收敛性条件，Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组的基本原理.这一部分是Gauss-Seidel迭代法的理论基础.论文的第二部分给出了Gauss-Seidel迭代法的具体操作步骤，以伪代码的形式细致的描绘如何使用Gauss-Seidel迭代法的求解方程组.同时，为了验证算法的有效性，在这一部分，还引入一个简单的算例，用于MATLAB编程发现计算结果完全正确.论文的第三部分给出了关于Gauss-Seidel迭代法的MATLAB程序，用于计算线性方程组.关键词：Gauss-Seidel迭代法，基本原理，算例，MATLAB程序目录1 Gauss-Seidel迭代法的基本理论 (1)1.1线性方程组的迭代法求解 (1)1.2Gauss-Seidel迭代法的原理 (2)2.具体的算例和操作步骤 (3)2.1. Gauss-Seidel迭代法的伪代码 (3)2.2.具体的算例验证算法的有效性 (3)3．MATLAB程序 (4)参考文献 (6)Gauss-Seidel 迭代法求解线性方程组一. Gauss-Seidel 迭代法的基本理论1.1线性方程组的迭代法求解在考虑求解线性方程组Ax=b 时，其中A 为非奇异矩阵.尽管Guass 消元法通过有限次运算可以求解此问题，其对应的计算复杂度为3O(n ).但是对于工程技术中和某些偏微分方程过程中出现的大型稀疏型矩阵利用迭代法可以更快的收敛，找到解.另外一方面，由于迭代法占用的计算机内存少，且便于计算.这两方面的优势促成了迭代法求解线性方程组的研究.关于迭代法的收敛的几个判定条件 1（迭代法基本原理）设有方程组f Bx x +=，对于任意初始向量()0x 及任意f ，解此方程组的迭代法（即()()f Bx x k k +=+1）收敛的充要条件是()1<B ρ.2（迭代法收敛的充分条件）如果方程组f Bx x +=的迭代公式为()()f Bx x k k +=+1（()0x 为任意初始向量），且迭代矩阵的某一种范数1<=q B v ，则：︒1迭代法收敛；︒2()()()v k k vk x x q qx x 11-*--≤-；︒3()()()v kvk x x q q xx 011--≤-*.定理3 如果mn RA ⨯∈为严格对角占优阵或为不可约弱对角占优阵，则对于任意的()0x ，解方程组b Ax =的Jacobi 迭代法，Gauss-Seidel 迭代法均收敛.定理4如果A 为对称正定矩阵，且20<<ω，则解式b Ax =的SOR 方法收敛.1.2Gauss-Seidel 迭代法的原理由Jacobi方法迭代公式()()()()010k k xx B x f +⎧⎪⎨=+⎪⎩初始向量，可知，迭代的每一步计算过程，都是用()k x 的全部分量来计算()1+k x 的所有分量，显然在计算第i 个分量()1+k ix时，已经计算出的最新分量()11+k x ，()12+k x ，…，()11+-k i x 没有被利用.从直观上看，最新计算出的分量可能比旧的分量要好些.因此，对这些最新计算出来的第1+k 次近似()1+k x 的分量()1+k jx 加以利用，就得到所谓解方程组的Gauss-Seidel 迭代法（简称G-S 方法）：()()()()()T=002010n x x x x ，，， （初始向量），()()()()n i k x a x a b a x i j n i j k j ij k j ij i iik i,,2,1;,2,1,0111111 ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑∑-=+=++或写为()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∆==∆+=∑∑-==++.1,,,2,1;,2,1,01111i j ni j k j ij k iij i ii i i k i k i x a x a b a x n i k x x x上面第2个式子利用了最新计算出的分量()11+k x ，第i 个式子利用了计算出的最新分量()()1,,2,11-=+i j x k j .还可写成矩阵形式()()()()()()k k k k k Ux b x L D Ux Lx b Dx+=-++=+++111,，若设()1--L D 存在，则()()()()b L D Ux L D x k k 111--+-+-=， 于是Gauss-Seidel 迭代公式的矩阵形式为()()f Gx x k k +=+1，()6.2.8 其中 ()U L D G 1--=，()b L D f 1--=.由此可以看出，应用Gauss-Seidel 迭代法解式b Ax =，就是对方程组f Gx x +=应用迭代法.G 称为解式的Gauss-Seidel 迭代法的迭代矩阵.Gauss-Seidel 迭代法的一个明显优点是，在用计算机计算时，只需一组工作单元，以便存放近似解.由式可以看出，每迭代一步只需计算一次矩阵与向量的乘法.二．具体的算例和操作步骤2.1. Gauss-Seidel 迭代法的伪代码 1.输入问题的参数A,b 2.分解A 为D,L,U.3.计算迭代方程G ，f.4.开始迭代，随机设定一个初值.5.以迭代方程更新x 的值.6.如果到达迭代次数，则进入步骤7；否则，回到步骤5.7.输出x ，结束.2.2.具体的算例验证算法的有效性 求解如下的线性方程组1231231238-3+2=204+11-=336+3+12=36x x x x x x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩ 这个方程的真实解为（3,2,1）. 程序运行结果： 情况1：输入GS （A,b ） GS(A,b)xhis =0 0 0 2.5000 2.0909 1.2273 2.9773 2.0289 1.0041 3.0098 1.9968 0.9959 2.9998 1.9997 1.0002 2.9998 2.0001 1.0001 3.0000 2.0000 1.0000 3.0000 2.0000 1.0000 3.0000 2.0000 1.0000 3.0000 2.0000 1.0000 3.0000 2.0000 1.0000 ans = 3.0000 2.00001.00000.51.5解的迭代情况图一。
研究生数值分析12高斯 赛德尔Gauss Seidel迭代法
上式左端为将系数矩阵 A 的对角线及对角线
以下元素同乘以 λ 后所得新矩阵的行列式。
例9 用高斯-赛德尔迭代法解方程组
???1?02xx11??
2x2 ? 10 x2
x3 ? ? x3
3 ?
15
??? x1 ? 2x2 ? 5x3 ? 10
解：相应的高斯 -赛德尔迭代公式为
? ? ?
x (k?1) 1
高斯-赛德尔迭代公式如下：
??x1(k?1) ?
?
1 a11
(?a12x2(k)
?
a13x3(k)
?L
?
a1n
x (k) n
?
b1)
??x2(k?1) ?
?
1 a11
(?a21x1(k?1)
?
a23x3(k)
?L
?
a2n
x (k) n
?
b2
)
??L L
?
??xi(k?1) ??L L
?
1 aii
(?ai1x1(k?1)
i ?1
i? j
则方程组 AX=b有唯一解，且对任意初始向量 X(0)
雅可比迭代法与高斯 -赛德尔迭代法都收敛。
定理5 若方程组 AX=b 的系数矩阵 A ? [aij ]n?n 为对称正定矩阵。则对任意初始向量 X (0) 高斯 -赛德尔迭代法 都收敛。
只要方程组 AX=b 的系数矩阵 A? [aij ]n?n 满足 定理4或定理 5的条件，就可以十分方便地判断相 应迭代过程的收敛性。
??0.2 0.4 0 ??
BJ ? ? 0.6 ? 1 雅可比迭代过程必收敛；
高斯 -赛德尔迭代矩阵
?0 BG ? ??0
分别用 jacobi 迭代法和 gauss-seidel 迭代法,求解方程组
分别用 jacobi 迭代法和 gauss-seidel 迭代法,求解方程组【jacobi 迭代法和 gauss-seidel 迭代法分别应用于方程组的求解】1. 引言在数学领域中，方程组的求解一直是一个重要的课题。
为了解决复杂的线性方程组，人们提出了各种迭代方法，其中 jacobi 迭代法和gauss-seidel 迭代法是两种常见的方法。
本文将探讨这两种迭代方法在求解方程组中的应用。
2. jacobi 迭代法的原理和应用jacobi 迭代法是一种基于逐次逼近的迭代方法。
对于线性方程组AX=B，其中 A 是系数矩阵，X 是未知数向量，B 是已知向量。
我们可以通过以下公式进行逐次逼近：X(k+1) = D^(-1)*(B - (L+U)X(k))其中，D、L、U 分别是 A 的对角线、下三角和上三角矩阵。
jacobi 迭代法的优点在于易于理解和实现，但在收敛速度上较慢，需要进行多次迭代才能得到精确解。
在实际应用中，需要根据实际情况选择合适的迭代次数。
3. gauss-seidel 迭代法的原理和应用与 jacobi 迭代法类似，gauss-seidel 迭代法也是一种基于逐次逼近的迭代方法。
不同之处在于，gauss-seidel 迭代法在计算 X(k+1) 时利用了已经得到的 X(k) 的信息，即：X(k+1)_i = (B_i - Σ(A_ij*X(k+1)_j，j≠i))/A_ii这种方式使得 gauss-seidel 迭代法的收敛速度较快，通常比 jacobi 迭代法更快，尤其是对于对角占优的方程组。
4. 分别用 jacobi 迭代法和 gauss-seidel 迭代法求解方程组为了更具体地说明 jacobi 迭代法和 gauss-seidel 迭代法的应用，我们分别用这两种方法来求解以下方程组：2x1 + x2 = 9x1 + 3x2 = 11我们将该方程组写成矩阵形式 AX=B：|2 1| |x1| |9||1 3| * |x2| = |11|我们根据 jacobi 迭代法和 gauss-seidel 迭代法的原理，依次进行迭代计算，直到满足收敛条件。
类矩阵两种迭代法的收敛性比较
类矩阵两种迭代法的收敛性比较引言：在科学计算中，线性方程组的求解是很普遍的问题。
尤其是在大型科学计算中，线性方程组的求解是最重要的任务之一。
线性方程组的求解有很多种方法，例如高斯消元法、LU分解法、迭代法等等，其中迭代法是一种高效的方法。
迭代法的思想是从一个初值解开始，逐步改进解的准确度，直到满足误差要求。
在本文中，我们将讨论两种类矩阵迭代法的收敛性比较，即雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法。
1.雅可比迭代法（Jacobi Iterative Method）：雅可比迭代法是最简单的迭代法之一。
它是基于线性方程组的矩阵形式 Ax=b，将 A 分解成 A=D-L-U（D为A的对角线元素，L为A的下三角矩阵，U为A的上三角矩阵），其中 D 为对角线元素，L为严格下三角矩阵，U 为严格上三角矩阵。
则有如下迭代关系式： x^{(k+1)}=D^{-1}(L+U)x^{(k)}+D^{-1}b (1)其中，x^{(k)} 为 k 次迭代后的解，x^{(0)} 为初始解。
雅可比迭代法的迭代矩阵为M = D^{-1}(L+U)。
以下是雅可比迭代法的收敛性分析：定理1：若矩阵 A 为对称正定矩阵，则雅可比迭代法收敛。
证明：由于 A 为对称正定矩阵，所以存在唯一的解。
假设迭代后得到的解为 x^{(k)}，则我们可以用误差向量 e^{(k)} = x-x^{(k)} 表示剩余项，则有 Ax^{(k)}-b = e^{(k)}。
对 (1) 式两边同时乘以 A^-1，得：x^{(k+1)}=x^{(k)}-A^{-1}e^{(k)}。
(2)将 (2) 式代入 Ax^{(k)}-b = e^{(k)} 中，得：Ax^{(k+1)}-b = Ae^{(k)}.(3)由于 A 为对称正定矩阵，则存在 A=Q\\Lambda Q^{-1}，其中Q 为正交矩阵，\\Lambda 为对角矩阵。
因此，我们可以将 (3) 式转化为：\\| x^{(k+1)}-x \\|_{A} =\\| Q^{-1}A^{-1}Qe^{(k)}\\|_{\\Lambda} \\leq \\rho (Q^{-1}A^{-1}Q)\\|e^{(k)}\\|_{A}。
gauss-seidel迭代法收敛判断matlab
Gauss-Seidel迭代法是解线性方程组的一种常用方法，它通过不断迭代更新解向量，逐步逼近方程组的精确解。
在实际应用中，我们往往需要判断迭代法是否收敛，以保证计算结果的准确性和可靠性。
本文将以matlab为例，介绍如何利用数值计算软件对Gauss-Seidel迭代法的收敛性进行判断，并对其进行详细分析和讨论。
一、Gauss-Seidel迭代法简介Gauss-Seidel迭代法是一种逐次迭代的线性代数方法，用于求解线性方程组Ax=b的解向量x。
它的迭代更新公式为：xn+1i=1/aii(bi-∑(j=1,j≠i)n aijxj)其中，i=1,2,...,n；n为方程组的阶数；aii为系数矩阵A的第i行第i 列元素；bi是方程组右端的常数；xj为解向量x的第j个分量；∑(j=1,j≠i)n aijxj为除去第i个分量的求和。
通过不断迭代更新解向量的各个分量，最终可以逼近线性方程组的解。
二、Gauss-Seidel迭代法的收敛性判断针对Gauss-Seidel迭代法的收敛性判断，我们可以利用数值计算软件matlab进行分析。
在matlab中，可以使用以下命令进行Gauss-Seidel迭代法的计算：function[x,k]=GaussSeidel(A,b,x0,tol,maxk)n=length(b);x=x0;for k=1:maxkx0=x;for i=1:nx(i)=1/A(i,i)*(b(i)-A(i,:)*x+x(i));endif norm(x-x0,inf)<tolreturn;endenderror('达到最大迭代次数，方法未收敛');end在上述matlab代码中，A为系数矩阵，b为右端常数向量，x0为初始解向量，tol为迭代精度，maxk为最大迭代次数。
在函数中，我们设定了最大迭代次数以及迭代精度的条件，当满足这些条件时，算法将停止迭代。
三、Gauss-Seidel迭代法的收敛性分析Gauss-Seidel迭代法的收敛性与系数矩阵A的性质有关。
外推Gauss-Seidel迭代法的收敛性及其与H-矩阵的关系
外推Gauss-Seidel迭代法的收敛性及其与H-矩阵的关系薛秋芳;高兴宝;刘晓光【摘要】考虑外推 Gauss-Seidel 迭代法的收敛性及其与 H-矩阵的关系，给出了外推 Gauss-Seidel迭代法与Jacobi迭代法收敛性的关系及收敛的参数范围。
利用最优尺度矩阵及M-1N的估计量给出了H-矩阵外推Gauss-Seidel法谱半径的上界估计式，并基于外推Gauss-Seidel及Gauss-Seidel迭代法得到一般 H-矩阵的等价条件。
%The convergence performance of the extrapolated Gauss-Seidel iterative method and its relationship with H-matrix were discussed.The convergence relationship between the extrapolated Gauss-Seidel and the Jacobi iterative methods and also the range of the extrapolated parameter when the method converges were given. The upper bound estimates for the spectral radius of the extrapolated Gauss-Seidel iterative method were obtained by using the optimally scaled matrix and the estimator of M-1 N. Meanwhile, equivalent conditions for general H-matrices based on the extrapolated Gauss-Seidel and the Gauss-Seidel iterative methods were provided.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2014(000)003【总页数】8页(P413-420)【关键词】H-矩阵;Gauss-Seidel迭代法;外推Gauss-Seidel迭代法;最优尺度矩阵;谱半径【作者】薛秋芳;高兴宝;刘晓光【作者单位】陕西师范大学数学与信息科学学院，西安 710062; 西安理工大学应用数学系，西安 710054;陕西师范大学数学与信息科学学院，西安 710062;陕西师范大学数学与信息科学学院，西安 710062【正文语种】中文【中图分类】O241.6对大型稀疏线性方程组一般采用迭代法求解，这里：A＝（aij）为n×n阶方阵；x和b均为n维向量.经典的迭代法有Jacobi迭代法、Gauss－Seidel迭代法、SOR迭代法和AOR迭代法等.为改进迭代收敛性，加快迭代收敛速度，对不同的迭代法人们又提出了相应的外推迭代法，如外推Jacobi迭代法和外推Gauss－Seidel迭代法等.本文讨论外推Gauss－Seidel迭代法.设A＝D－L－U，其中：D，－L和－U分别是A的对角、严格下三角和严格上三角矩阵，则A的Gauss－Seidel迭代法（简称GS迭代法）是基于分裂A＝（D－L）－U得到的，其迭代格式为其中G＝（D－L）－1U为Gauss－Seidel迭代矩阵.相应的外推Gauss－Seidel 迭代法（简称EGS方法）迭代格式为其中：G h＝（1－h）I＋h G为外推Gauss－Seidel迭代矩阵；h为外推参数.显然，EGS迭代法是GS迭代法的推广.当h＝1时，其即为GS迭代法.目前，对外推迭代法收敛性的研究已有许多成果［1－11］.文献［1］基于原迭代矩阵T的特征值给出了一般外推迭代法收敛的外推参数范围.定理1［1］外推迭代法收敛的充分必要条件是下列条件之一成立：文献［2］基于SSOR迭代法讨论了H－矩阵的等价条件；文献［3］讨论了H－矩阵的块AOR和块SAOR迭代法的收敛性，基于块Jacobi迭代法给出了当参数在一定范围时其谱半径的上界估计式.Bru等［4］基于Jacobi迭代法给出了H－矩阵的如下等价条件：定理2［4］设A＝（aij）∈C n×n满足a ii≠0（i＝1，2，…，n），则下列条件等价：1）A为H－矩阵；2）对任意的P∈Ω（A），ρ（J（P））＜1.这里：ρ（J（P））为P的Jacobi迭代矩阵的谱半径；Ω（A）为A的等模矩阵集合.文献［5］基于EGS迭代法给出了不可约H－矩阵的等价条件：定理3［5］设A＝（aij）∈C n×n为不可约方阵，且aii≠0，则下列条件等价：1）A为H－矩阵；这里：ρ（｜J｜）为A的Jacobi迭代阵绝对值的谱半径；Ω（A）为A的等模矩阵集合.本文进一步研究EGS迭代法的收敛性，讨论EGS迭代法收敛性与H－矩阵的关系，从而将文献［4］中基于Jacobi迭代法的H－矩阵等价条件推广为基于EGS迭代法的等价条件，并将文献［5］中关于不可约H－矩阵的等价条件推广到一般的H －矩阵.引理1［13］设方阵E≥0，F≥0，B＝E＋F，若ρ（E）≤1，则下列结论成立：1）当ρ（B）＜1时，0≤ρ（（I－E）－1F）≤ρ（B）＜1；2）当ρ（B）＝1时，ρ（（I－E）－1F）＝ρ（B）＝1；3）当ρ（B）＞1时，ρ（（I－E）－1F）≥ρ（B）＞1.由引理1，对L－矩阵，可建立如下EGS迭代矩阵的谱半径与Jacobi迭代矩阵谱半径的关系.定理4 设A是L－矩阵，则下列结论成立：1）当ρ（J）＜1时，1－h≤ρ（G h）≤（1－h）＋hρ（J）＜1；2）当ρ（J）＝1时，ρ（G h）＝ρ（J）＝1；3）当ρ（J）＞1时，ρ（G h）≥（1－h）＋hρ（J）＞1.这里0＜h≤1.证明：显然G＝（D－L）－1U＝（I－D－1L）－1D－1U，J＝D－1（L＋U）＝D－1L＋D－1U.令E＝D－1L，F＝D－1U，则G＝（I－E）－1F，J＝E＋F并且ρ（E）＝0.由A为L－矩阵可知E≥0，F≥0，从而由引理1可知：当ρ（J）＜1时，0≤ρ（G）≤ρ（J）＜1；当ρ（J）＝1时，ρ（G）＝ρ（J）＝1；当ρ（J）＞1时，ρ（G）≥ρ（J）＞1.因为G h＝（1－h）I＋h G，0＜h≤1，所以ρ（G h）＝（1－h）＋hρ（G），进而由ρ（G）和ρ（J）的关系可得：当ρ（J）＜1时，1－h≤ρ（G h）≤（1－h）＋hρ（J）＜1；当ρ（J）＝1时，ρ（G h）＝ρ（J）＝1；当ρ（J）＞1时，ρ（G h）≥（1－h）＋hρ（J）＞1.证毕.由定理4知，当0＜h≤1时，L－矩阵的EGS迭代法是否收敛依赖于Jacobi迭代法是否收敛.下面讨论复矩阵EGS迭代法的收敛性.证毕.定理6表明对一类特殊的复矩阵，当外推参数在一定范围时，不仅可以确定其EGS迭代法收敛，而且可以明确给出其迭代矩阵的谱半径.下面讨论H－矩阵EGS迭代法的收敛性.推论3 若A为M－矩阵，则ρ（G（A））≤ρ（J）＜1，其中J为A的Jacobi迭代阵.由推论3，当A为M－矩阵时，无论其是否不可约，它的GS迭代法和Jacobi迭代法均收敛，且其GS迭代法收敛速度不慢于Jacobi迭代法收敛速度.由定理8可将文献［5］中定理1推广到可约H－矩阵的情形.定理9 设A为n阶复方阵，且对任意的i，aii≠0，则下列条件等价：1）A为H－矩阵；2）定理9将文献［5］中不可约H－矩阵的等价条件推广到一般的H－矩阵，包括可约H－矩阵和不可约H－矩阵.3）文献［4］给出了H－矩阵基于Jacobi迭代法收敛性的等价条件（定理2），而本文的定理9则给出了H－矩阵基于EGS迭代法收敛性的等价条件.定理10 设A＝（aij）∈C n×n，且aii≠0，则下列条件等价：1）A为H－矩阵；2）对任意的P∈Ω（A），ρ（G（P））＜1；3）〈A〉的GS迭代法收敛，即ρ（G（〈A〉））＜1.这里G（〈A〉）和G（P）分别为〈A〉和P的Gauss－Seidel迭代阵.证明：显然1）可以推出2）和3）.反之，如果3）成立，由文献［5］中推论1的证明可知，A是H－矩阵，即1）成立，从而2）成立.所以，当A为H－矩阵时，1）～3）等价.证毕.类似文献［5］的讨论，对矩阵A定义集合：综上，本文研究了外推Gauss－Seidel迭代法的收敛性，讨论了H－矩阵与其EGS迭代法收敛性的关系，得到了EGS迭代法的收敛性结论，并给出了H－矩阵EGS迭代法的收敛范围及其谱半径上界的估计式，从而将文献［5］中的不可约H －矩阵的等价条件推广到一般的H－矩阵，还给出了一般H－矩阵的几个等价条件，进一步发展和完善了H－矩阵的相关理论.【相关文献】［1］ CAO Zhihao.A Convergence Theorem on an Extrapolated Iterative Method and Its Applications［J］.Applied Numerical Mathematics，1998，27（3）：203－209.［2］ Alefeld G，Varga R S.Zur Konvergenz des Symmetrischen Relaxationsverfahren ［J］.Numerische Mathematik，1976，25（3）：291－295.［3］ XIANG Shuhuang，ZHANG Shenglei.A Convergence Analysis of Block Accelerated Over－Relaxation Iterative Methods for Weak Block H－Matrices to Partitionπ［J］.Linear Algebra and Its Applications，2006，418（1）：20－32.［4］ Bru R，Corral C，Gimenez I，et al.Classes of General H－Matrices［J］.Linear Algebra and Its Applications，2008，429（10）：2358－2366.［5］薛秋芳，高兴宝，刘晓光.H－矩阵基于外推Gauss－Seidel迭代法的几个等价条件［J］.山东大学学报：理学版，2013，48（4）：65－71.（XUE Qiufang，GAO Xingbao，LIU Xiaoguang.Several Equivalent Conditions for H－Matrix Based on the Extrapolated Gauss －Seidel Iterative Method［J］.Journal of Shandong University：Natural Science，2013，48（4）：65－71.）［6］ Evans D J，Martins M M.On the Convergence of the Extrapolated AOR Method ［J］.International Journal of Computer Mathematics，1992，43（3／4）：161－171. ［7］ WANG Xinmin，Evans D J.Convergence of the Extrapolated AOR and SOR Iterative Methods［J］.International Journal of Computer Mathematics，1994，52（1／2）：65－74.［8］ Kohno T，Niki H，Sawami H，et al.An Iterative Test for H－Matrix［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，2000，115（1／2）：349－355.［9］干泰彬，黄廷祝.非奇异H－矩阵的实用充分条件［J］.计算数学，2004，26（1）：109－116.（GAN Taibin，HUANG Tingzhu.Practical Suffcient Conditions for Nonsingular H－Matrices［J］.Mathematica Numerica Sinica，2004，26（1）：109－116.）［10］ GUO Zhijun，YANG Jianguang.A New Criteria for a Matrix Is Not Generalized Strictly Diagonally Dominant Matrix［J］.Applied Mathematical Sciences，2011，5（6）：273－278.［11］郭丽.非奇异H－矩阵的判定［J］.吉林大学学报：理学版，2010，48（2）：226－228.（GUO Li.Criteria for Nonsingular H－Matrices［J］.Journal of Jilin University：Science Edition，2010，48（2）：226－228.）［12］ Berman A，Plemmons R J.Nonnegative Matrices in the Mathematica Sciences ［M］.New York：Academic Press，1979.［13］ WANG Xinmin.Generalized Stein－Rosenberg Theorems for the Regular Splittings and Convergence of Some Generalized Iterative Methods［J］.Linear Algebra and Its Applications，1993，184：207－234.［14］ Young D M.Iterative Solution of Large Linear Systems［M］.New York：Academic Press，1971.［15］胡家赣.尺度变换和矩阵分解的收敛性［J］.计算数学，1983（1）：72－78.（HU Jiagan.Scaling Transformation and Convergence of Splittings of Matrix［J］.Mathematica Numerica Sinica，1983（1）：72－78.）［16］ HU Jiagan.Upper Bounds of the Spectral Radii of Some Iterative Matrices ［J］.Journal of Computational Mathematics，1990，8（2）：118－127.。
改进的高斯-赛德尔迭代法的收敛性分析
改进的高斯-赛德尔迭代法的收敛性分析黄湧辉【摘要】本文讨论了改进的高斯-赛德尔迭代法的收敛性。
在严格对角占优的L-矩阵条件下,该预条件加快了高斯-赛德尔迭代法的收敛速度,而且在该预条件下高斯-赛德尔迭代法的谱半径是单调下降的。
最后用数值例子说明本文得出的结论。
%In this papert,he convergence analysis for a new preconditioned Gauss-Seidel iterative method was discussed.If the matrix is the strictly dominant L-matrixt,he convergence rate of the preconditioned Gauss-Seidel iterative method is faster than one of the【期刊名称】《西昌学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2011(025)001【总页数】3页(P15-17)【关键词】严格对角占优L-矩阵;预条件迭代法;谱半径;弱正则分裂;收敛速度【作者】黄湧辉【作者单位】华南师范大学数学科学学院,广东广州510631【正文语种】中文【中图分类】O241.6引言本文考虑实线性方程组其中A=（aij）n×n∈Rn×n为n阶方阵，x∈Rn和b∈Rn是n维向量。
对系数矩阵A作A=M-N的分裂，M为非奇异矩阵，则对应方程组（1）的基本迭代形式为：其中称M-1为方程（1）的迭代矩阵，迭代形式（2）是否收敛取决于迭代矩阵M-1N。
当k→∞，M-1N→0，即k→∞时，谱半径ρ（M-1N）<1，并且其收敛速度随谱半径ρ（M-1N）的减小而加快。
一般地，对线性方程组（1）的系数矩阵A做如下的分裂其中D为非奇异对角矩阵，L为严格下三角矩阵，U为严格上三角矩阵。
为讨论方便，当A可逆时，总可以通过初等变换把A的对角元都化简为1，因此对于形如（3）的系数矩阵，Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为：G=（I-L）-1U。
(I+Cα)预条件Gauss-Seidel迭代法的收敛结果
２ 主 要 结 论 及 证 明
定 理 １ 设 Ａ ＝， 一Ｌ— 是 矩 阵 ， 中 ， 其 是单 位矩 阵 ， 和 一 分 别是 Ａ的严格 下三 角和 严格 上 一
三 角部 分． ０ 若 ｆ ［ ，］ｉ＝２３ … ， ， Ｐ ）≤ Ｐ ） ∈ ０ １ ， ，， ｔ 则 （ ｌ ， （ ． 证 明 记 ＝ 一 ， 中 ＝ （ ， 其 ；） ＝ （ ） 是 Ａ ，一 的 严 格 上 三 角 部 分 ， 则
。 ，
，
则 Ａ是 Ｈ矩 阵．
Ｌ—ｌ口 ｌ， ｉ≠
引理 １４ 设 Ａ是 Ｚ矩 阵 ， ［ 则下列 条 件等价 ： Ａ是非 奇异 矩 阵 ； Ａ的所 有 主子矩 阵是 非奇 异 阵 ； 所 有 的主子 式是 正 的．
引理 ２ ［ 若 Ａ是 日矩阵 ， Ｉ Ｉ （ ）１ 则 Ａ ≤ Ａ － ．
于 日阵 的收敛 结果 ． 文给 出 了 Ｉ Ｓ方 法对 于 Ｈ阵 的收敛结 果 ， 给出数 值例 子． 论 ＭＧ 并
论文假设 Ａ ：， — 是 ｎ×／ 一 ／ ， 阶矩阵 ， 中， 其 是单位矩阵 ， 和 一ｕ分别是 Ａ的严格下三角和 一 严格上三角部分， 则经典的 Ｇ ｕｓ ｅ ｅ迭代法的迭代矩阵为 Ｔ＝（ 一 ） ａｓＳｉ ｌ ． ｄ ， Ｌ 记 （ ） Ａ的比较矩阵 ， ／ 是 ４ Ａ ＝（ ＋ｃ ） ， ： （ ＋ ｃ Ｉ （ ） 则＜ ）Ａ ， ， ＡＡ ， Ｉ ） Ａ ， Ａ ， Ａ相应的 Ｇ ｕｓ ｅ ｅ迭代矩阵分别为 ， ， ． ａｓ— ｉ ｌ Ｓｄ
２０ ０ ８年 １ 月 １
安 徽 大 学 学 报 （自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ａ ｆＡ ｈ ｉＵ ｉ ｅ ｓ ｙ Ｎａｕ ａ ｃ ｅ ｃ ｄ ｔ ｎ ｏ ｒ ｌ ｎ ｕ ｎ ｖ ｒｉ ｔｒ ｌＳ ｉｎ ｅ Ｅ ｉ ｏ ｎ ｏ ｔ ｉ
广义分裂下的预处理Gauss-Seidel迭代法收敛性的讨论
Ｖ １ ３ Ｎｏ３ ｏ． ． ３ Ｍａ ．０ ２ ｙ ２ １
井 冈 山大学 学报（ 自然科 学版）
Ｊｕｎ ｌ ｆ ｉｇ ａ ｇｈ ｎ Ｕ ｉｅｓ ｙ（ ｔｒｌ ｃ ｎ ｅ ｏ ｒａ ｎ ｇ ｎ ｓ ａ ｎｖｒｉ Ｎａ ａ ｉ ｃ） ｏＪ ｔ ｕ Ｓｅ １ ３
ｇ ｖ ｎ ｔ ｌ ｔａｅｔ ｅｖ ｌ ｔ ｆ ｅｃ ｎ ｌ ｉ ｎ ． ｉ ｅ ｉ ｕ ｒ ｔ ａｉ ｙ ｏ ｏ ｃｕ ｏ ｓ ｏ ｌ ｓ ｈ ｉ ｄ ｈ ｔ ｓ Ｋ ｅ ｒ ｓ ｐ ｅ ｏ ｄ ｔ ｎ Ｍ － ｔ ｘ Ｚ ｍ ｔｉ ； ｕ ｓ Ｓ ｉ ｅ ｅ ａ ｉ ｅｍｅ ｈ ｄ ｙ ｗｏ ｄ ： ｒ ｃ ｎ ｉ ； ｍ ｒ ； － ｒ ｘ Ｇａ — ｅ ｄ ｌ ｔ ｒ ｔ ｔ ｏ ｉ ｏ ａ ｉ ａ ｓ ｉ ｖ
－
ｐ
１ Ｐｂ
，
ｋ＝０ｌ… ， 其 中 ， ，
这里 为非负实数。
文 ［】 出 了预 条件 矩 阵 ５给 ＝ ＋Ｓ ｍ ，在 广 义
收稿 日期 ：２ １－ ３０ ：修 改 日期 ：２ １—４ ｌ ０ ２ ０－６ ０２ ０一 １ 基金 项 目：河 北省 高等 学校科 学研 究计 划项 Ｉ（２ １ １８； 水学 院 ２ １ 年科 学研 究项 目（０ １２） ￣Ｚ ００ ８ ） 衡 ０１ ２ １０ ６ 作者 简介 ：・ 周 婷（９ ６ ） １７ 一，女 ，山东临 朐人 ，硕 士 ，主要 从事 数值 计算 方法 及其 应用研 究 一 ｉ ｚｏ ｔ ｇ６ ６ ６ ． ｒ ； ａ ： ｍ ｌ ｈｕｉ ７ ０ ＠１３ｃｎ ｎ ｏ） 张仕 光（９ ５ ） ，山东平 度人 ，讲 师 ，硕士 ，主 要从 事广 义逆 理论 及应 用研 究（・ ａｌｓｉｕｎ０ ＠ｙｈ ｏ ｏ＇ｎ． １７ 一，男 Ｅ ｍ ｉ ｈｇ ａｇ ８ ａｏ ． ｎ ｃ） ： ｃ Ｌ
gauss seidel迭代法
Gauss Seidel迭代法简介Gauss Seidel迭代法是一种用于求解线性方程组的迭代算法。
它是Jacobi迭代法的改进版本，通过逐次更新未知数的估计值，逐渐逼近方程组的精确解。
本文将详细介绍Gauss Seidel迭代法的原理、算法步骤以及应用领域。
原理Gauss Seidel迭代法基于以下原理：对于线性方程组Ax = b，其中A是一个n×n 的矩阵，x和b是n维向量。
我们可以将矩阵A分解为L、D和U三个矩阵的和，其中L是A的下三角部分（不包括对角线），D是A的对角线部分，U是A的上三角部分（不包括对角线）。
则方程组可以重写为：(A = L + D + U)(L + D + U)x = b(L + D)x + Ux = b将上式中的x视为已知量，将(L + D)x视为已知量的估计值，我们可以得到迭代公式：x^(k+1) = -D^(-1)(Lx^(k+1) + Ux^(k)) + D^(-1)b其中，x(k)表示第k次迭代的估计值，x(k+1)表示第(k+1)次迭代的估计值，D^(-1)表示矩阵D的逆矩阵。
算法步骤Gauss Seidel迭代法的算法步骤如下：1.初始化估计值向量x^(0)为任意非零向量。
2.根据迭代公式计算x^(k+1)。
3.判断是否满足终止条件，如果满足则停止迭代，输出x^(k+1)作为线性方程组的近似解；否则，令k=k+1，返回第2步。
终止条件通常有以下几种方式： - 迭代次数达到预设的最大值。
- 两次迭代之间的误差小于预设的阈值。
- 迭代估计值与精确解之间的误差小于预设的阈值。
应用领域Gauss Seidel迭代法在科学计算和工程领域有广泛的应用。
下面列举了一些常见的应用领域：电力系统分析Gauss Seidel迭代法可以用于电力系统的潮流计算。
潮流计算是电力系统分析的基础，用于确定电力系统各节点的电压幅值和相角。
通过迭代计算节点电压，可以实现电力系统的稳态分析和潮流优化。
预条件后新分裂下的Gauss-Seidel迭代法收敛性讨论
（） ７
则改进 的 Ｇ ｓ迭代 法 的迭代 矩阵 为 。
＝
一
作者简介 ： 雷
刚（ ９ ７ ） 男 ， １７ 一 ， 陕西合 阳人 ， 硕士 ， 师 ， 讲 研究 方
［ ， Ｄ ）一（ 一．＋ １ ］ （ ） ＋ ］ （ 一 １ ｓ ￡ ） 一［ １一 Ｄ
一
（ ）当 ｐ Ｔ —）＞１时 ，（ 一 ≥ｐ 一） １ （ ｃｓ Ｐ 船） （ ｓ ； （ ）当 Ｐ 一）＝１时 ，（ 一 ２ （ Ｐ ）＝ （ 一） ｐ ； （ ） ０＜ （ 一） ３当 ｐ ｓ ＜１时 ，（ 一 ） ｐ 一） Ｐ Ｓ ≤ （ ｓ 。 ｓ
船
的第 一 列 元 素 均 为 ０ 因 此 ， 矩 阵 一 ， 把 和 分解 成
０
一
…
０
０
口ｎ１
…
的 ＧＳ迭代法 的迭 代矩 阵为 —
一
口 是系数矩阵 Ａ＝（ 对应位置上 的元素。 口）
ｓ＝［ ， Ｄ ）一 Ｌ— ＋ ） 一Ｕ （ ） （ 一 ， （ Ｓ １ ］ ６
本文 引入参 数 ， 矩 阵 Ａ 分解 为 将 Ａ ＝（ 一ｏ ）一（ 一ｓ＋ ）一［ １一 Ｏｌ ］ ５ ， ｌ Ｄ１ ． １ （ ａ） ＋
（） ８
向： 数值计算 和并行算法． — ｍ ： ｇ ４ ＠１３ ｃｒ Ｅ ｍ ｌ ｌ ０ ８ ６ ．ｏ 。 ３ ｎ
２ ７期
雷
刚： 预条件后新分裂下 的 Ｇ ｕｓ ｅｄｌ ａｓ— ｉ 迭代法收敛性讨论 Ｓ ｅ
易知 当 Ｏ＝１时 ， 述 迭 代 矩 阵 式 （ ） 为 式 ｔ 上 ８即 （） ６ 迭代 矩 阵的情 形 。结 合矩 阵乘 法 可知 ， 一 和
研究生数值分析高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法
迭代法的发展趋势和未来研究方向
非线性问题
将高斯-赛德尔迭代法应用于非线性问题是一个具有挑战性的方 向，也是未来研究的重要课题。
理论分析
深入分析高斯-赛德尔迭代法的收敛性和误差估计，为算法改进 提供理论支持。
应用领域拓展
将高斯-赛德尔迭代法应用于更多领域，如工程、物理、经济等， 解决实际问题。
谢谢观看
05
高斯-赛德尔迭代法的应 用
在线性方程组求解中的应用
01
02
03
线性方程组求解是高斯赛德尔迭代法的重要应用 之一。对于给定的线性方 程组Ax=b，高斯-赛德尔 迭代法可以用来求解x的
值。
通过迭代的方式，高斯赛德尔迭代法不断逼近 方程的解，直到满足一
定的收敛条件。
该方法在数值分析中广 泛应用于解决线性方程 组问题，具有较高的稳
高斯-赛德尔迭代法是一种直观且易 于理解的迭代方法，计算过程相对简 单，易于编程实现。
收敛速度快
对于某些问题，高斯-赛德尔迭代法可 能比其他迭代方法具有更快的收敛速 度。
高斯-赛德尔迭代法的优缺点
• 适用于多种线性系统：该方法适用于多种线性系统，包括 稀疏矩阵和稠密矩阵。
高斯-赛德尔迭代法的优缺点
松弛法(SOR方法)
总结词
松弛法是一种改进的高斯-赛德尔迭代法，通过引入松弛参数，使得迭代过程更 加灵活，提高了收敛速度。
详细描述
松弛法(SOR方法)是在高斯-赛德尔迭代法的基础上，引入了一个松弛参数，使得 迭代过程中每一步的解不仅依赖于前一步的解，还与前几步的解有关。这种方法 能够更好地处理非严格对角占优的线性系技巧通过优化迭代过程中的参数或采用其他方法， 加速高斯-赛德尔迭代法的收敛速度。
gauss seidel迭代法
gauss seidel迭代法一、概述Gauss Seidel迭代法是一种求解线性方程组的方法，它是Jacobi迭代法的改进版。
与Jacobi迭代法不同的是，在Gauss Seidel迭代法中，每次更新未知数时，都使用该方程组中已经计算出来的最新值。
二、算法原理1.算法流程Gauss Seidel迭代法的算法流程如下：（1）设线性方程组为Ax=b，其中A为系数矩阵，b为常数向量；（2）初始化未知数向量x0；（3）对于每个未知数xi，使用已经计算出来的最新值更新它：xi(k+1)=(bi-Σ(aij*xj(k)))/aii；（4）重复执行步骤3直到收敛或达到最大迭代次数。
2.收敛性分析当系数矩阵A满足严格对角占优条件时，Gauss Seidel迭代法是收敛的。
严格对角占优条件指对于第i行，aii>Σ|aij|(j≠i)。
三、代码实现以下是使用Python实现Gauss Seidel迭代法的代码：```pythonimport numpy as npdef gauss_seidel(A, b, x0, max_iter=1000, tol=1e-6):n = len(b)x = x0.copy()for k in range(max_iter):for i in range(n):x[i] = (b[i] - np.dot(A[i,:i], x[:i]) - np.dot(A[i,i+1:], x0[i+1:])) / A[i,i]if np.linalg.norm(x - x0) < tol:return xx0 = x.copy()return x```四、示例应用以下是一个使用Gauss Seidel迭代法求解线性方程组的示例：$$\begin{cases} 3x_1-x_2+x_3=1 \\ 2x_1+4x_2+x_3=4 \\ -x_1+5x_2-2x_3=-5 \end{cases}$$将该方程组转化为矩阵形式得到：$$\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \\ -1 & 5 & -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -5 \end{pmatrix}$$ 使用Gauss Seidel迭代法求解该方程组的Python代码如下：```pythonA = np.array([[3, -1, 1], [2, 4, 1], [-1, 5, -2]])b = np.array([1, 4, -5])x0 = np.zeros(3)x = gauss_seidel(A, b, x0)print(x)```运行结果为：```[ 0.99999485 0.99999889 -1.00000148]```五、总结Gauss Seidel迭代法是一种求解线性方程组的有效方法，它在Jacobi 迭代法的基础上增加了每次更新未知数时使用已经计算出来的最新值的步骤，从而加速了收敛过程。
数值代数练习题2010
数值代数练习题2010⼀、指出下列说法中哪些是不正确的,并说明理由。
1.⽤两种数学上等价的计算公式,在同⼀计算机上计算的结果是相同的。
2.对线性⽅程组,如果Jacobi迭代法收敛,则相应的Gauss-Seidel迭代法也收敛。
3.求解法(正则)⽅程是求解最⼩⼆乘问题的有效算法。
⼆、判断正误1、⼀个计算问题是否病态是计算问题本⾝固有的属性，与所使⽤的计算⽅法没有关系。
2、在计算机上进⾏数值计算时，满⾜乘法的结合率。
3、线性⽅程组系数矩阵对称正定时，Jacobi迭代法收敛。
4、对于2个变量2个⽅程的⽅程组，当Jacobi迭代收敛时，Gauss-Seidel迭代收敛。
5、⼀个算法是否数值稳定是算法本⾝的固有属性，与计算问题是否病态⽆关。
6、在计算机上进⾏数值计算时，满⾜加法的结合率。
7、线性⽅程组系数矩阵对称正定时，Gauss-Seidel迭代法收敛。
8、对于2个变量2个⽅程的⽅程组，当Jacobi迭代发散时，Gauss-Seidel迭代收敛。
三、简要回答下列问题：1.对线性⽅程组,如果Gauss-Seidel迭代收敛,则Jacobi迭代⼀定收敛吗？2.⽤数值⽅法解决实际问题时,必须考虑哪四种误差?3.说明求解特征值的两步平移法的好处？4. 叙述矩阵⼴义逆的定义，指出矩阵⼴义逆的⼀个应⽤。
5. 误差可以分成⼏类？6. 同⼀种数值⽅法是否可以有多种实现⽅法?效果是相同的吗?7. 为什么说把数据输⼊计算机的过程中舍⼊误差⼏乎难免?8. 什么是矩阵的谱半径？请说明，在数值分析中，矩阵的谱半径有⽤。
9. 在计算机上计算)arcsin(22y x x +何时会遇到困难?10. 为什么在数值计算过程中尽量避开绝对值很⼩的数做分母？ 11. 在机器数集合上，标准浮点加法是否满⾜结合律？为什么？ 12. 在数值计算过程中为什么要尽量避开相近数相减？13.对于2阶线性⽅程组，Jacobi 迭代和Seidel 迭代矩阵谱半径之间有何关系？ 14. ⽤数值⽅法解决实际问题时,为什么应该进⾏扰动分析? 15. 在计算机上计算20062007-时，应该如何计算?16. 说明求解特征值的两步平移法的好处。
Gauss-Seidel迭代矩阵求法的思考
Gauss-Seidel 迭代矩阵求法的思考在迭代法收敛性的判别中，我们有充分条件：若迭代矩阵B 的某种范数1<=q B ，则迭代法 ,1,0,)()1(=+=+k d Bx x k k 对任意的初始向量)0(x 都收敛于方程组b Ax =的精确解*x 。
从这个条件中我们可以看出，想要知道迭代法是否收敛，就要知道迭代矩阵（当然如果系数矩阵是正定的或严格对角占优的，那就不用知道其迭代矩阵，因为这时它的Jacobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代一定收敛），Jacobi 迭代矩阵为A D I U L D B J 11)(---=+-=，Gauss-Seidel 迭代矩阵，U L D B G 1)(-+-=这两个矩阵中都涉及到了矩阵的逆。
从上高等代数时学到矩阵的逆开始，就一直惧怕有关矩阵逆的题目，因为求矩阵A 的逆*11A AA =-,这就必须求出A 的行列式A 与A 的伴随矩阵*A ,对于求矩阵A 的行列式，就是一个繁琐的过程，计算量大且易出错，而这儿还不仅如此，这儿还要求出矩阵A 的伴随矩阵*A 。
如果矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211，则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n nn n A A A A A A A A A A 212221212111*，而其中的nnj n j n n ni j i j i i n i j i j i i n j j a a a a a a a a a a a a a a a a A1,1,1,11,11,11,1,11,11,11,111,11,111ij+-+++-++-+----+-=，因此求*A 的计算量比求A 的行列式的计算量还要大的多，所以1-A 很难求。
因此数学家便开始寻找求1-A 的相对容易的方法，其中有一种初等变换的方法，即对()E A 进行初等行变换，当把A 变成E 时，E 便变成了1-A ，此方法要简单的多，但在变换过程中要消耗大量空间。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Gauss-Seidel迭代法是一种用于求解线性方程组的迭代算法，该算法在科学计算和工程领域被广泛应用。
在使用该算法时，我们需要考虑其收敛性，以确保结果的准确性和可靠性。
下面我们将介绍Gauss-Seidel迭代法收敛判断的相关内容。
1. 收敛性定义
在使用迭代法求解线性方程组时，迭代算法的收敛性是一个非常重要的问题。
一个迭代算法如果能够在有限步内得到一个接近于真实解的近似解，就称为收敛。
否则，如果迭代算法无法收敛或者收敛速度非常慢，就需要考虑改进算法或者选择其他更适合的算法。
2. Gauss-Seidel迭代法
Gauss-Seidel迭代法是一种逐次逼近法，它通过不断地逼近线性方程组的解来求得近似解。
这种迭代算法的优点是简单易行，适用于各种情况。
然而，它的收敛性需要进行严格的判断。
3. 收敛条件
对于Gauss-Seidel迭代法，我们可以使用以下收敛条件来进行判断：
a) 对角占优条件：如果线性方程组的系数矩阵是严格对角占优的，那
么Gauss-Seidel迭代法一定收敛。
b) 正定条件：如果线性方程组的系数矩阵是正定的，即所有的特征值都是正的，那么Gauss-Seidel迭代法也一定收敛。
c) 非奇异条件：如果线性方程组的系数矩阵是非奇异的，即行列式不为0，那么Gauss-Seidel迭代法也一定收敛。
4. 不收敛的情况
尽管Gauss-Seidel迭代法在很多情况下能够收敛，但也存在一些情况下它不收敛的情况。
当线性方程组的系数矩阵不满足对角占优条件、正定条件或者非奇异条件时，Gauss-Seidel迭代法就可能不收敛。
此时，我们需要考虑改进算法或者选择其他更适合的迭代算法。
5. 收敛速度
除了考虑Gauss-Seidel迭代法的收敛性外，还需要关注其收敛速度。
一般来说，Gauss-Seidel迭代法的收敛速度相对较快，特别是在满足对角占优条件、正定条件或非奇异条件的情况下。
然而，如果在实际使用中发现收敛速度较慢，也可以考虑使用加速方法如SOR方法等来提高收敛速度。
6. 数值实例
接下来，我们将通过一个数值实例来说明Gauss-Seidel迭代法的收敛判断。
假设我们有如下线性方程组：
3x1 + 1x2 - 1x3 = 4
3x1 + 6x2 + 2x3 = 2
3x1 + 3x2 + 7x3 = -2
其系数矩阵为：
3 1 -1
3 6 2
3 3 7
我们可以通过计算该系数矩阵的特征值来判断Gauss-Seidel迭代法的收敛性。
如果特征值都是正的或者都在单位圆内，就可以判定迭代法
收敛。
如果特征值中存在大于1的特征值，迭代法则可能不收敛。
在这个具体的例子中，我们可以通过运用特征值计算公式来计算出这
个矩阵的特征值。
若特征值全部小于1，则Gauss-Seidel迭代法收敛。
7. 结论
Gauss-Seidel迭代法在实际应用中是一种非常常用的求解线性方程组的方法，它的收敛性以及收敛速度对于算法的准确性和效率至关重要。
我们可以通过判断对角占优条件、正定条件和非奇异条件来预判Gauss-Seidel迭代法的收敛性，如果无法满足这些条件，就需要进行改进或者选择其他更适合的算法来求解线性方程组。
在实际使用中，
也可以通过数值实例来验证Gauss-Seidel迭代法的收敛性。
通过合理的判断和应用，可以保证Gauss-Seidel迭代法的准确性和可靠性，为科学计算和工程问题的求解提供有力的支持。