导数和矢量运算解读

根据矢积定义 推论：
rr
rr
(1) A B (B A)
rr rr (2) 若 A PB则, A B 0;
r r rr 若 A 则B , | A B | AB
五、矢量的导数
r 设矢量 A为时间t 的函数，规定其对时间的导数为：
r
r
r
dA lim A(t t) A(t)
cos2 x
cos2 x
[例3] y 1 x2 , 求 y
[解]
y


1
x2

1 2


1 2
1 x2
1
2
1 x2

1 1 x2
1
2 2x
x
2
1 x2
[例4] 求双曲线 x2 y2 1 在任意点的切线斜率。 27
(x) 称为原函数 积分是导数的逆运算
[例] 求 2 x3dx 0
[解]
找 x3的原函数：因为
(x) 1 x4

1 4
x4


x3 ,
故:
4
2
2 0
x3dx


1 4
x4

0

1 4
24 04
4
三、不定积分
不定积分是不定出上、下限的积分，可写成
tan

lim tan
A A

lim y x0 x

f (x0)
曲线上横坐标为x0 的一点A处的切线斜率就 是函数 f ( x ) 在 x0 处的导数值 f '( x0 ) 。
§1.1.2 导数的运算
一、基本函数的导数运算举例
1. y f (x) x2 , 求 dy dx


1 4
xdx

x2 8
C
不同的C 对应不同的曲线。
(2)
曲线经过点
2,
5 2

,
把 x 2,
y 5 代入 2
曲线方程，
5 22 C C 2 28
则曲线方程为:
y x2 2 8
四、基本积分公式
附录 1.2 矢量
一、矢量定义 二、矢量的合成
一、矢量定义
n
v(ti ) t i 1
当 t 0 时 , n , 右
边的极限值就是所求总路程：
n
s

lim
t0 n
i1
v(ti ) t
几何意义: 从 0 到 t 这段时间中v (t ) 曲线下的面积。
上式可用积分形式表达：
t
s 0 v(t)dt
即定积分形式。定积分的一般形式：
(1) d(Cu) Cdu (2) d(u v) du dv
(3) d(uv) vdu udv
(4)
d

u v


vdu v2
udv
(5) 若 y f (x), ，x 则(t)
y f [ (t)]
dy y dt ( yx xt) dt yx dx
(2) 几何意义：函数的曲线上任意一点的切线的 斜率，就是函数在这一点的导数值。
设函数 y＝ f (x) ，在曲线上 取一点A， A'是曲线上另一点， 割线AA' 和 x 轴的夹角记为 。 当A'点沿着曲线趋近于A时， 割线AA’趋近于某一极限位置 AT，显然，直线 AT 就是曲线 在A点的切线，AT与 x 轴所成 的夹角 即为变角 的极限。 导数的几何意义
[解]
dy
y
(x x)2 x2
lim lim
dx x0 x x0
x
lim(2x x) 2x x0
2. y sin x , 求 dy 及 dy
dx
dx x π
4
[解]
y

sin( x

x)
sin
x

2 sin
x 2
cos

x

x 2

dy

lim
y

lim
sin
x 2
cos

x

x 2

dx x0 x x0
x
2
当 x 0 时，sin x x 22
dy dx

lim
x0
cos

x

x 2


cos
x
dy cos π 2
dx x π
42
4
二、常用初等函数的导数公式
(4) 复合函数的导数法则，设 y＝f (v )，v＝ (x)
均有导数，则
y(x) f (v) v(x) 或 dy dy dv dx dv dx
[例1] y 2 x 1 3, 求 y 3x
[解]
1 y 2x2
1
x 3
3

1 2x2
x
x
称增量比。
x 密切
定义：如果极限
lim y lim wenku.baidu.com (x x) f (x)
x x0
x0
x
存在，则该极限就称为函数 f ( x ) 在 x 点的导数，
记为
，dyf '( x ) 或 y' 。 dx
四、导数的意义
(1)导数是函数在一点(而不是一个区间里)的变化率， 物理中的瞬时速度和瞬时加速度即导数的例子。
导数 微商
函数微分
自变量微分
二、微分的几何意义 P，C 是曲线上两点，
dy f (x) dx tan dx
BD
函数在 x 处的微分 dy 就是曲线在 x 点的切线的 纵坐标的增量。
三、微分运算法则 根据微分定义，可直接由导数公式求微分，相应 地，微分运算法则与导数运算法则相同，如：
三、导数运算法则
以下设 u,v 为x 的函数，且导数 u’,v’ 存在 (1) 和（差）的导数，由极限的加法法则：
(u v) u v
(2) 积的导数： (uv) uv uv
(Cu) Cu
(3) 商的导数：

u v


uv uv v2
,
v0
h

h0

1 2
g
t
2
这里t 为自变量，h 为因变量，也可记为：
h h(t)
二、极限
当自变量 x 无限趋于某一数值 x0 ( 记作x x0 ) 时， 函数 f (x) 的数值无限趋于某一确定的数值a ， 则 a 叫做 x x0 时函数 f (x) 的极限值，记作：
lim f (x) a
xx0
四、微分在近似计算中的应用
当 x 很小时， y dy
y f (x0 x) f (x0) f (x0) x 改为 f (x) f (x0) f (x0)(x x0)
或 f (x) f (x0) f (x0)(x x0)
当取 x0 0 时，即有近似公式
1 x 3

3



1
x2

1
4
x3
3
[例2] y tan x , 求 y
[解]
y


sin cos
x x


sin x cos x sin x cos x
cos2 x
cos2 x sin2 x 1 sec2 x
f (x) f (0) f (0) x
x 应限于较小的值，这样可得到一系列的近似公式：
(1 x)N 1 Nx
例如
1 x 1 1 x 2
ex 1 x; ln(1 x) x
sin x x, tan x x,
rr
(3) 若 A,r两B矢r 量垂直
AB 0
rrr
(4) 直角坐标系的单位矢量 i , j具, k有正交性
rr rr r r
i i j j k k 1
rr rr rr
i j jk k i 0
四、矢量的矢积(叉乘)
两矢量相乘得到一个矢量 矢积。写成：
r rr C A B 规定：
附录 1.1 微积分简介
§1.1.1 导数 §1.1.2 导数的运算 §1.1.3 单变量函数的微分 §1.1.4 积分
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§1.1.4 积分
一、定积分
微分和积分是对立面的统一。
[例] 物体作匀速直线运动，路程＝速度 时间，
即s＝v t 。在 v-t 图中，路程 s 为阴影的面积。
[例] 若物体作变速直线运动，速度v＝v(t ) , 可
以把 t 分成许多均等小段 t ，只要 t 充分小，每 段时间中的速率近似看成是不变的，把各小 段时间内走过的路程相加，即近似为总路程， 曲折的梯形曲线下的面积即近似为总路程。
s v(t1) t v(t2 ) t v(tn ) t
dt t0
t
rrr 在直角坐标中，i , j 为, k常矢量
r dA

dAx
r i
dAy
r j
dAz
r k
dt dt dt dt
一般情况下有以下性质：
六、矢量的积分 一般采用直角坐标分量式计算。
矢量的线积分：
rr
Adl L

L (Axd x Ayd y+Azd z)
矢量的面积分,就是计算矢量通过曲面的通量N :
与此对应，因变量 y 的数值由 y0 ＝ f ( x0 ) 变到 y1 ＝ f ( x1 ) ，增量为：
y y1 y0 f (x1) f (x0) f (x0 x) f (x0)
增量可正可负， y 与自变量的增量 相关，两者之比：
y f (x0 x) f (x0)
f (x)dx (x) C
式中C 为常量，可根据具体问题所给的条件 定出此常量
[例] 已知曲线的切线斜率为 k 1 x , 4
(1) 求曲线方程 ；
(2)
若曲线经过点

2,
5 2

,
求此曲线方程
。
[解]
(1)
设曲线方程为
y

f
(x),
已知
y
1 x, 4
故
y


ydx
r rr C AB
rr A B (Ax Bx , Ay By , Az Bz )
三、矢量的标积(点乘) 两矢量相乘得到一个标量 标积。其定义为：
rr
A B AB cos
投影
根据r标积r定义 推论：
A r
B r

Ar x
Brx

Ay
Br y

r
Az
Bz
A B B A A A A2
• 在三角函数中， 当 x 无限向正向增大时，
arctan x 无限接近 π ，用极限表示：
2
lim arctan x π
x
2
类似有： lim arctan x π
x
2
三、导数
当自变量 x 由一个数值 x0 变到另一个数值 x1 时， 后者减去前者叫作该自变量的增量，记作
函数 x＝x1－x0 .
rr
N
AdS
S
S And S
在正法线方向的分量
§1.1.1 导数
一、函数
有两个互相联系的变量 x 和y ，每当x 取了某一 数值后，按照一定的规律就可以确定 y 的值，就 称 y 是 x 的函数，记作 y＝f（x）或 y＝y（x）， x 为自变量， y 叫因变量。
• 自由落体运动: 物体从离地面为 h0 高度处开始下 落，则物体与地面的距离依赖于时间 t 的规律是：
[解] 切线斜率为 dy ，在方程中逐项对 x 求导 dx
2x 2y y 0 27
于是 y 7 x ，此即曲线在坐标为( x , y ) 2y
的点的切线斜率。
§1.1.3 单变量函数的微分
一、微分概念 定义：若 f (x) 在x 处有导数，则称 f '(x) dx 为 f
(x) 在 x 处的微分，记为dy＝ f '(x) dx 。
矢量平移时大小和方向不变。
二、矢量的合成 1. 三角形法则：
余弦定理
C A2 B2 2ABcos
几何关系
arctan Bsin A B cos
若两个以上的矢量相加 所有的矢量首尾相连
2. 解析法
将矢量沿直角坐标轴分解，各分矢量叫分量 只 需用带正号或负号的代数值表示
物理量可以按其是否具有空间方向性来分类。 • 只有大小而无方向的量 — 标量，如：
温度、质量、体积。 • 需要以大小和方向表示的物理量 — 矢量，
如：速度、加速度、力。
矢量的大小 — 矢量的模 • 模等于 1 的矢量 — 单位矢量
用图表示矢量 — 用有向线段表示： 长度表示其大小，箭头表示其方向。
b
a f (x)dx
定积分的上、下限、被积函数、积分变量
二、基本定理
如果被积函数 f (x) 是某一个函数 (x) 的导数，
f (x)＝ ’ (x)，则在 x＝a 到 x＝b 区间内 f (x) 对
x 的定积分等于 (x) 在这区间内的增量。
b
a f (x)dx (b) (a)