机械优化设计三个案例

机械优化设计案例1

1. 题目

对一对单级圆柱齿轮减速器，以体积最小为目标进行优化设计。

2.已知条件

已知数输入功p=58kw ，输入转速n 1=1000r/min ，齿数比u=5，齿轮的许用应力[δ]H =550Mpa ，许用弯曲应力[δ]F =400Mpa 。 3.建立优化模型

3.1问题分析及设计变量的确定

由已知条件得求在满足零件刚度和强度条件下，使减速器体积最小的各项设计参数。由于齿轮和轴的尺寸（即壳体内的零件）是决定减速器体积的依据，故可按它们的体积之和最小的原则建立目标函数。

单机圆柱齿轮减速器的齿轮和轴的体积可近似的表示为：

]

3228)6.110(05.005.2)10(8.0[25.087)(25.0))((25.0)(25.0)(25.02221222122212222122121222

212221202

22222222121z z z z z z z z z z z g g z z d d l d d m u mz b bd m u mz b b d b u z m b d b z m d d d d l c d d D c b d d b d d b v +++---+---+-=++++-

----+-=πππππππ

式中符号意义由结构图给出，其计算公式为

b c d m umz d d d m

umz D mz d mz d z z g g 2.0)

6.110(25.0,6.110,21022122211=--==-===

由上式知，齿数比给定之后，体积取决于b 、z 1 、m 、l 、d z1 和d z2 六个参数，则设计变量可取为

T

z z T d d l

m z b

x x x x x x x ][][21

1

65

4

3

2

1

==

3.2目标函数为

min

)32286.18.092.0858575.4(785398.0)(26252624252463163212

51261231232123221→++++-+-+-+=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f

3.3约束条件的建立

1）为避免发生根切，应有min z z ≥17=，得

017)(21≤-=x x g

2 )齿宽应满足

max

min ϕϕ≤≤

d b

，min ϕ和max ϕ为齿宽系数d ϕ的最大值

和最小值，一般取min ϕ=0.9，

max ϕ=1.4，得

04.1)()(0

)(9.0)(32133212≤-=≤-=x x x x g x x x x g

3）动力传递的齿轮模数应大于2mm ，得

2)(34≤-=x x g

4）为了限制大齿轮的直径不至过大，小齿轮的直径不能大于

m ax

1d ，得

300)(325≤-=x x x g

5）齿轮轴直径的范围：

max

min z z z d d d ≤≤得

0200)(0

130)(0150)(0100)(69685756≤-=≤-=≤-=≤-=x x g x x g x x g x x g

6）轴的支撑距离l 按结构关系，应满足条件：l 2min 5.02z d b +∆+≥（可取min ∆=20），得

405.0)(46110≤--+=x x x x g

7）齿轮的接触应力和弯曲应力应不大于许用值，得

400)

10394.010177.02824.0(7098

)(0

400)10854.0106666.0169.0(7098)(0550)(1468250)(224222321132

242223211213211≤-⨯-⨯+=≤-⨯-⨯+=≤-=---x x x x x x g x x x x x x g x x x x g

8）齿轮轴的最大挠度

m ax δ不大于许用值][δ，得

003.0)(04.117)(44

5324414≤-=x x x x x x g

9）齿轮轴的弯曲应力

w δ不大于许用值w ][δ，得

5.5106)1085.2(1)(0

5.5104.2)1085.2(1)(122

3

246361612232463515≤-⨯+⨯=≤-⨯+⨯=x x x x x g x x x x x g

4.优化方法的选择

由于该问题有6个设计变量，16个约束条件的优化设计问题，采用传统的优化设计方法比较繁琐，比较复杂，所以选用Matlab 优化工具箱中的fmincon 函数来求解此非线性优化问题，避免了较为繁重的计算过程。

5.数学模型的求解

5.1.1将已知及数据代入上式，该优化设计的数学优化模型表示为：

)

32286.18.092.0858575.4(785398.0)(min 262526425463163212512612

31232123221x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f ++++-+-+-+=

Subject to:

130)(0150)(0100)(0300)(02)(04.1)()(0)9.0)(017)(685756325343213321221≤-=≤-=≤-=≤-=≤-=≤-=≤-=≤-=x x g x x g x x g x x x g x x g x x x x g x x x x g x x g