《三角形中的几何计算》课件
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人教新课标A版必修5第一章解三角形1.2第2课时 三角形中的几何计算课件
＝
3sinA＋π6≤
2π
30<A<
3
.
当A＝π3时，即△ABC为等边三角形时取等号，
所以sin A＋sin B的最大值为 3.
题点四：多边形面积问题 4．已知圆内接四边形ABCD的边长AB＝2，BC＝6，CD＝DA
＝4，求四边形ABCD的面积S. 解：如图，连接BD，则S＝S△ABD＋S△CBD ＝12AB·ADsin A＋12BC·CDsin C. ∵A＋C＝180°，∴sin A＝sin C， ∴S＝12sin A(AB·AD＋BC·CD)＝16sin A. 在△ABD中，由余弦定理得
(2)求sin A＋sin B的最大值． 解：(1)由题意可知
1 2absin
C＝
43×2abcos
C.
所以tan C＝ 3.
因为0<C<π，所以C＝π3.
(2)由(1)知sin A＋sin B＝sin A＋sinπ－A－π3
＝sin A＋sin23π－A
＝sin
A＋
ห้องสมุดไป่ตู้
3 2 cos
A＋12sin
A
(√ )
(2)三角形中已知三边无法求其面积
(×)
(3)在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积 ( √ ) 解析：(1)正确，S＝12absin C适合求任意三角形的面积．
(2)错误．已知三边可利用余弦定理求角的余弦值，再求得正
弦值，进而求面积．
(3)正确．已知两边和两边的夹角可直接求得面积，已知两边
＝a2－c2 b2
＝左边，
所以a2－c2 b2＝sinsiAn－CB.
与三角形有关的综合问题 题点一：与三角形面积有关的综合问题 1．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.
5_2.2三角形中的几何计算
2. △ABC的周长是20,面积是 10 3 ,
A=600,则BC的长度是(
A.5 B.6 C.7
)
D.8
3.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所 a b 的取值范围是 对的边,则 . c
4.在△ABC中,AB=2,BC=3,AC= 则△ABC外接圆的半径R=
7 ,
.
5.在△ABC中,求证:
2 2 2
2 R sin A 2 R sin B sin A sin B
2.三角形的面积公式 ① S 1 底 高
1 1 1 ② S ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2
2
③ S
pr
1 [其中p= (a b c ), r为内切圆半径] 2
2.在△ABC中,已知面积 S
则角C=______ 6
2
4 3
3.锐角△ABC中,B=2A,则b/a的取值范 围是( A ) A.(-2,2)
C.( 2 ,2)
B.(0,2)
D.( 2, 3 )
4.若三角形中有一角为600,夹这个角的 两边的边长分别是8和5,则它的内切圆 7 3 . 及外接圆半径分别等于 3和
3
三角形的综合问题 1.在△ABC中,角A,B,C的对边a,b,c,
a b sin( A B ) 证明: 2 c sin C
2 2
注：和差化积
2.已知圆内接四边形ABCD的边长分 别为AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边 形ABCD的面积.
答案： 3 8
3.(09湖北)在锐角△ABC中,a,b,c分别为 角A,B,C所对的边,且 3a 2c sin A
abc ④ S 4R
§2 三角形中的几何计算
分析： 分析：四边形 OPDC 可以分成 ∆OPC 与 ∆PCD . S ∆OPC 可用
1 表示； OP ⋅ OC sin θ 表示； 而求 ∆PCD 的面积关键在于求出边长 2
PC， 中利用余弦定理即可求出； PC，在 ∆OPC 中利用余弦定理即可求出；至于面积最值 的获得，则可通过三角函数知识解决. 的获得，则可通过三角函数知识解决.
∴ sin(C + 30 ) = 1,∴ C + 30 = 90
,
∴ C = 60 ,故 A = 60
∴△ABC 为正三角形. ∴△ABC 为正三角形.
1.能够正确运用正弦定理、余弦定理等知识、 1.能够正确运用正弦定理、余弦定理等知识、方法解决 能够正确运用正弦定理 一些与测量以及几何计算有关的实际问题. 一些与测量以及几何计算有关的实际问题. 通过对全章知识的总结提高， 2. 通过对全章知识的总结提高，应系统深入地掌握本章 知识及典型问题的解决方法. 知识及典型问题的解决方法.
由正弦定理， 解： 由正弦定理， 2 sin B = sin A + sin C , 得
∵ B = 60 ,∴ A + C = 120 ,
代入上式， ∴ A = 120 − C 代入上式，得
2sin 60 = sin(120 − C ) + sin C
展开，整理得： 展开，整理得：
3 1 sin C + cos C = 1 2 2
余弦定理， 在 ∆ABC 中，由余弦定理，得
BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 AB ⋅ AC cos A ,
即 x 2 = (4 2) 2 + (17 − 2 x ) 2 − 2 × 4 2 × (17 − 2 x ) cos 45 .
人教a版必修五课件：解三角形-应用举例：三角形中的几何计算(54页)
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第一章 1.2 第3课时
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课 堂 互 动 探 究
例 练 结 合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素 能 提 升
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π 又0＜A＜π，故A＝ . 3
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第一章 1.2 第3课时
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1 (2)△ABC的面积S＝2bcsinA＝ 3，故bc＝4. 而a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8. 解得b＝c＝2.
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第一章 1.2 第3课时
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第一章 1.2 第3课时
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典例导悟
类型一 [例1] 三角形中的面积计算 (2012· 全国新课标卷)已知a，b，c分别为△
ABC三个内角A，B，C的对边，acos C＋ 3 asin C－b－c ＝0. (1)求A； (2)若a＝2，△ABC的面积为 3，求b，c.
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1 1 1 (4)S＝2absinC＝2acsinB＝_________. 2bcsinA
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2．三角形中的计算、证明问题除正弦定理、余弦定理 外，常见的公式还有： (1)P＝a＋b＋c(P为三角形的周长)； (2)A＋B＋C＝π； 1 (3)S＝ aha(ha表示a边上的高)； 2 1 1 1 (4)S＝ absinC＝ acsinB＝ bcsinA； 2 2 2
2.2三角形中的几何计算课件(2013-2014年北师大版必修五)
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题型三
三角形中的综合问题
【例3】(本题满分 12 分)在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别 3 为 a，b，c，设 S 为△ABC 的面积，满足 S＝ (a2＋b2－c2)． 4 (1)求角C的大小； (2)求sin A＋sin B的最大值． 审题指导 本题考查了余弦定理、三角形面积公式、三角 恒等变换等基础知识，同时考查了三角运算求解能力．
π C.A，B，C≠ 2
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题型一
计算三角形的面积
B， 且其对边分别为 a， 【例1】 已知角 A， C 为△ABC 的三个内角， 1 b，c，若 cos Bcos C－sin Bsin C＝ . 2 (1)求角 A； (2)若 a＝2 3，b＋c＝4，求△ABC 的面积．
由 sin 2A＝sin 2B 得到 2A＝2B， 而忘证了 2A＝π －2B，造成错选 A；由 sin 2A＝sin 2B 得 2A＝2B 或 2A＝π π －2B，即 A＝B 或 A＋B＝ ，但看成了等腰直角三角形，错 2 选 B.前者是正弦函数值相等两角关系不清；后者是对“或” 的理解不深入或读题不认真．
3 1 ＝sin A＋ cos A＋ sin A 2 2 ＝
π 3sinA＋ ≤ 6 2π 30<A< (9 3
分)
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π 当 A＝ 时，即△ABC 为等边三角形时取等号(11 分) 3 所以 sin A＋sin B 的最大值为 3.(12 分)
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2 2 2 1 × ＋ 3 2 3
题型二 计算线段的长度
【例2】 如图，在△ABC中，已知， B＝45°，D是BC边上的一点， AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB 的长． [思路探索] 解答本题可先由余弦定理求cos C，然后由 同角三角关系求出sin C，最后由正弦定理求出AB的长．
题型三
三角形中的综合问题
【例3】(本题满分 12 分)在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别 3 为 a，b，c，设 S 为△ABC 的面积，满足 S＝ (a2＋b2－c2)． 4 (1)求角C的大小； (2)求sin A＋sin B的最大值． 审题指导 本题考查了余弦定理、三角形面积公式、三角 恒等变换等基础知识，同时考查了三角运算求解能力．
π C.A，B，C≠ 2
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题型一
计算三角形的面积
B， 且其对边分别为 a， 【例1】 已知角 A， C 为△ABC 的三个内角， 1 b，c，若 cos Bcos C－sin Bsin C＝ . 2 (1)求角 A； (2)若 a＝2 3，b＋c＝4，求△ABC 的面积．
由 sin 2A＝sin 2B 得到 2A＝2B， 而忘证了 2A＝π －2B，造成错选 A；由 sin 2A＝sin 2B 得 2A＝2B 或 2A＝π π －2B，即 A＝B 或 A＋B＝ ，但看成了等腰直角三角形，错 2 选 B.前者是正弦函数值相等两角关系不清；后者是对“或” 的理解不深入或读题不认真．
3 1 ＝sin A＋ cos A＋ sin A 2 2 ＝
π 3sinA＋ ≤ 6 2π 30<A< (9 3
分)
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π 当 A＝ 时，即△ABC 为等边三角形时取等号(11 分) 3 所以 sin A＋sin B 的最大值为 3.(12 分)
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2 2 2 1 × ＋ 3 2 3
题型二 计算线段的长度
【例2】 如图，在△ABC中，已知， B＝45°，D是BC边上的一点， AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB 的长． [思路探索] 解答本题可先由余弦定理求cos C，然后由 同角三角关系求出sin C，最后由正弦定理求出AB的长．
2三角形中的几何计算、解三角形的实际应用举例.
第8课时 三角形中的几何计算、 解三角形的实际应用举例
工具
第三章 三角函数
栏目导引
工具
第三章 三角函数
栏目导引
1．仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方 的角叫仰角，在 水平线 下方 的角叫俯角(如图①)．
2．方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为
α(如图②)．
某单位在抗雪救灾中，需要在 A、B 两地之间架设高压电线，测 量人员在相距 6 000 m 的 C、D 两地(A、B、C、D 在同一平面上)，测得 ∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，∠BCD＝30°，∠BDC＝15°(如图)，假如考 虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约应该是 A、B 距离的 1.2 倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？(参考数据：
栏目导引
3．点 B 在点 A 的东偏北 60°方向距 A 为 1 km 的地方，点 C 在点 A 的北偏西 30°方向且距 A 为 2 km 的地方，则 B、C 间的距离为( )
A. 3 km
B. 5 km
C. 7 km
D. 2 km
解析： 由题意知∠BAC＝60°，AB＝1，AC＝2 ∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC ＝1＋4－2×2×1×cos 60°＝3. ∴BC＝ 3.
工具
第三章 三角函数
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5．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标 记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则这条河的宽 度为________m.
工具
第三章 三角函数
栏目导引
解析： 如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB于D点，则CD为所求 宽度，在△ABC中，
工具
第三章 三角函数
栏目导引
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第三章 三角函数
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1．仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方 的角叫仰角，在 水平线 下方 的角叫俯角(如图①)．
2．方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为
α(如图②)．
某单位在抗雪救灾中，需要在 A、B 两地之间架设高压电线，测 量人员在相距 6 000 m 的 C、D 两地(A、B、C、D 在同一平面上)，测得 ∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，∠BCD＝30°，∠BDC＝15°(如图)，假如考 虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约应该是 A、B 距离的 1.2 倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？(参考数据：
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3．点 B 在点 A 的东偏北 60°方向距 A 为 1 km 的地方，点 C 在点 A 的北偏西 30°方向且距 A 为 2 km 的地方，则 B、C 间的距离为( )
A. 3 km
B. 5 km
C. 7 km
D. 2 km
解析： 由题意知∠BAC＝60°，AB＝1，AC＝2 ∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC ＝1＋4－2×2×1×cos 60°＝3. ∴BC＝ 3.
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5．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标 记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则这条河的宽 度为________m.
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第三章 三角函数
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解析： 如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB于D点，则CD为所求 宽度，在△ABC中，
§2 三角形中的几何计算
(10 分) (12 分)
栏目，c 间的关系，再利用余弦定理，是本题关键．
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第二章 解三角形
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角形的面积公式适用于所有的三角形．( √ ) (2)已知三角形两边及其夹角不能求出其面积．( × ) (3)已知三角形的两内角及一边不能求出它的面积．( × )
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第二章 解三角形
在△ABC 中，若 a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC 的面积等于
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第二章 解三角形
(2)由 S△ABC＝12acsin B＝ 3，得 ac＝4. 又 b2＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac＝16. 所以 a＋c＝2 5，所以△ABC 的周长为 4＋2 5.
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第二章 解三角形
解三角形综合问题的策略 (1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角 形面积公式、三角恒等变形等知识联系在一起，要注意选择合 适的方法、知识进行求解． (2)解三角形常与向量、三角函数及三角恒等变形等知识综合考 查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条 件，然后要根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解．
2.在△ABC 中，A，B，C 是三角形的三内角， a，b，c 是三内角对应的三边，已知 b2＋c2－a2＝bc.若 a＝ 13， 且△ABC 的面积为 3 3，求 b＋c 的值． 解：cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2bbcc＝12， 又 A 为三角形内角， 所以 A＝π3.
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第二章 解三角形
＝
1－2
5
52＝
55，sin
A＝sin(B＋∠ACB)
＝sin Bcos ∠ACB＋cos Bsin ∠ACB
2.2《三角形中的几何计算》课件(北师大版必修5)
3 cosA=0, 2
∴sin(A-30°)=0, ∴A=30°. 答案：30°
三、解答题（每题8分，共16分） 7.在锐角三角形中，边a、b是方程x2-2 3 x+2=0的两根，角 A、B满足：2sin(A+B)- 3 =0，求角C的度数，边c的长度 及△ABC的面积.
【解析】由2sin(A+B)∵△ABC为锐角三角形, ∴A+B=120°,C=60°,
8
【解析】选C.c2＝a2+b2-2abcosC=9,c=3，B为最大角，
cosB=- 1 .
7
2.（2010·营口高二检测）已知△ABC中，AB= 3 ，AC=1，且
B=30°，则△ABC的周长等于(
（A）3+ 3 （B） 3 +1 （C）2+ 3 或 3 +1 （D）3+ 3 或2+ 3
)
【解析】选D.由余弦定理得，AC2=BC2+AB2-2AB·BCcosB， 即12=BC2+(
2ab
又0°＜C＜180°，所以C＝45°.
二、填空题（每题4分，共8分）
5.在△ABC中,A=120°,a= 21 ,S△ABC= 3 ,则b=__________. 1 【解析】S= bcsin120°= 3 ,得bc=4 ①
2
又a2=b2+c2-2bccos120°=21，得b2+c2＝17
4
（2）求sin(2A+C)的值.
【解题提示】
【解析】（1）由余弦定理得， AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC =4+1-2×2×1× ∴AB= 2 .
3 =2, 4
9.（10分）半径为R的圆外接于△ABC，且2R(sin2A-sin2C)＝
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谢立良
正弦定理变式: ①a:b:c＝sinA : sinB : sinC .
湖北省通山县第一中学
谢立良
正弦定理变式:
①a:b:c＝sinA : sinB : sinC . a sinA a sinA b sinB ② ＝ ， ＝ ， ＝ . b sinB c sinC c sinC
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分析：由已知条件知A，O，B，M四点共圆，故所求 的OM为△OAB的外接圆直径．
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谢立良
例1:如图所示,已知∠POQ＝60°, M是∠POQ内的一点,它到两 边的距离分别为MA＝2， MB＝11, 求OM的长．
解：如图所示，连接AB. 由已知 条件得O，A，M，B都在以 OM为直径的圆周上． 又∵∠POQ＝60°， ∴∠AMB＝120°.
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谢立良
解：如图所示，连接AB. 由已知 条件得O，A，M，B都在以 OM为直径的圆周上． 又∵∠POQ＝60°， ∴∠AMB＝120°.
在△ABM 中，由余弦定理得： AB 2＝MA 2＋MB 2－2MA ·MB cos120° 1 2 2 ＝2 ＋11 －2×2×11×(－ )＝147， 2 ∴AB ＝7 3. AB ·sin ∠OAM 7 3 由正弦定理得 OM ＝ ＝ ＝14. sin120° sin ∠AMB
谢立良
正弦定理变式:
①a:b:c＝sinA : sinB : sinC . a sinA a sinA b sinB ② ＝ ， ＝ ， ＝ . b sinB c sinC c sinC a＋b＋c a b c ③ ＝ ＝ ＝ . sinA sinB sinC sinA＋sinB＋sinC
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谢立良
正弦定理变式:
①a:b:c＝sinA : sinB : sinC . a sinA a sinA b sinB ② ＝ ， ＝ ， ＝ . b sinB c sinC c sinC a＋b＋c a b c ③ ＝ ＝ ＝ . sinA sinB sinC sinA＋sinB＋sinC ④a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC. a b c ⑤sinA＝ ，sinB＝ ，sinC＝ . 2R 2R 2R ⑥A< B a< b 2RsinA< 2RsinB sinA< sinB .
解：如图，设 BD＝x ，
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谢立良
例 2：在△ABC 中，D 为 BC 边上一点，BC＝3BD， AD＝ 2，∠ADB＝135° .若 AC ＝ 2AB，则 BD＝________.
解：如图，设 BD＝x ， 在△ ABD 中，根据余弦定理， 得 AB2＝AD2＋BD2－2AD×BD× cos135° 2 ＝x ＋2x＋2.
让习惯成就我们的优秀,让优秀成为我们的习惯
通山一中 谢立良
2018年1月2日星期二
湖北省通山县第一中学 谢立良
第一章
解三角形
1.1
正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理
湖北省通山县第一中学
谢立良
第一章
1.2.4
解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理
三角形在的几何计算
湖北省通山县第一中学
谢立良
正弦定理
另： S ABC
1 1 1 ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2
湖北省通山县第一中学 谢立良例1:如图所示,已知∠POQ＝60°, M是∠POQ内的一点,它到两 边的距离分别为MA＝2， MB＝11, 求OM的长．
湖北省通山县第一中学
谢立良
例1:如图所示,已知∠POQ＝60°, M是∠POQ内的一点,它到两 边的距离分别为MA＝2， MB＝11, 求OM的长．
湖北省通山县第一中学 谢立良
例 2：在△ABC 中，D 为 BC 边上一点，BC＝3BD， AD＝ 2，∠ADB＝135° .若 AC ＝ 2AB，则 BD＝________.
例 2：在△ABC 中，D 为 BC 边上一点，BC＝3BD， AD＝ 2，∠ADB＝135° .若 AC ＝ 2AB，则 BD＝________.
湖北省通山县第一中学
谢立良
正弦定理变式:
①a:b:c＝sinA : sinB : sinC . a sinA a sinA b sinB ② ＝ ， ＝ ， ＝ . b sinB c sinC c sinC a＋b＋c a b c ③ ＝ ＝ ＝ . sinA sinB sinC sinA＋sinB＋sinC ④a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC. a b c ⑤sinA＝ ，sinB＝ ，sinC＝ . 2R 2R 2R
a b c 2R sin A sin B sinC
余弦定理
(1)公式表达 (2)推论
a2＝b2＋c2－2bccosA ； b2＝a2＋c2－2accosB ； c2＝a2＋b2－2abcosC .
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b2＋c2－a2 cosA＝ ； 2bc 2 2 2 a ＋ c － b cosB＝ ； 2ac 2 2 2 a ＋ b － c cosC＝ . 2ab
谢立良
正弦定理变式:
①a:b:c＝sinA : sinB : sinC . a sinA a sinA b sinB ② ＝ ， ＝ ， ＝ . b sinB c sinC c sinC a＋b＋c a b c ③ ＝ ＝ ＝ . sinA sinB sinC sinA＋sinB＋sinC ④a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.
湖北省通山县第一中学
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正弦定理变式:
①a:b:c＝sinA : sinB : sinC . a sinA a sinA b sinB ② ＝ ， ＝ ， ＝ . b sinB c sinC c sinC a＋b＋c a b c ③ ＝ ＝ ＝ . sinA sinB sinC sinA＋sinB＋sinC ④a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC. a b c ⑤sinA＝ ，sinB＝ ，sinC＝ . 2R 2R 2R ⑥A< B a< b 2RsinA< 2RsinB sinA< sinB .
正弦定理变式: ①a:b:c＝sinA : sinB : sinC .
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正弦定理变式:
①a:b:c＝sinA : sinB : sinC . a sinA a sinA b sinB ② ＝ ， ＝ ， ＝ . b sinB c sinC c sinC
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分析：由已知条件知A，O，B，M四点共圆，故所求 的OM为△OAB的外接圆直径．
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例1:如图所示,已知∠POQ＝60°, M是∠POQ内的一点,它到两 边的距离分别为MA＝2， MB＝11, 求OM的长．
解：如图所示，连接AB. 由已知 条件得O，A，M，B都在以 OM为直径的圆周上． 又∵∠POQ＝60°， ∴∠AMB＝120°.
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谢立良
解：如图所示，连接AB. 由已知 条件得O，A，M，B都在以 OM为直径的圆周上． 又∵∠POQ＝60°， ∴∠AMB＝120°.
在△ABM 中，由余弦定理得： AB 2＝MA 2＋MB 2－2MA ·MB cos120° 1 2 2 ＝2 ＋11 －2×2×11×(－ )＝147， 2 ∴AB ＝7 3. AB ·sin ∠OAM 7 3 由正弦定理得 OM ＝ ＝ ＝14. sin120° sin ∠AMB
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正弦定理变式:
①a:b:c＝sinA : sinB : sinC . a sinA a sinA b sinB ② ＝ ， ＝ ， ＝ . b sinB c sinC c sinC a＋b＋c a b c ③ ＝ ＝ ＝ . sinA sinB sinC sinA＋sinB＋sinC
湖北省通山县第一中学
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正弦定理变式:
①a:b:c＝sinA : sinB : sinC . a sinA a sinA b sinB ② ＝ ， ＝ ， ＝ . b sinB c sinC c sinC a＋b＋c a b c ③ ＝ ＝ ＝ . sinA sinB sinC sinA＋sinB＋sinC ④a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC. a b c ⑤sinA＝ ，sinB＝ ，sinC＝ . 2R 2R 2R ⑥A< B a< b 2RsinA< 2RsinB sinA< sinB .
解：如图，设 BD＝x ，
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例 2：在△ABC 中，D 为 BC 边上一点，BC＝3BD， AD＝ 2，∠ADB＝135° .若 AC ＝ 2AB，则 BD＝________.
解：如图，设 BD＝x ， 在△ ABD 中，根据余弦定理， 得 AB2＝AD2＋BD2－2AD×BD× cos135° 2 ＝x ＋2x＋2.
让习惯成就我们的优秀,让优秀成为我们的习惯
通山一中 谢立良
2018年1月2日星期二
湖北省通山县第一中学 谢立良
第一章
解三角形
1.1
正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理
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第一章
1.2.4
解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理
三角形在的几何计算
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正弦定理
另： S ABC
1 1 1 ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2
湖北省通山县第一中学 谢立良例1:如图所示,已知∠POQ＝60°, M是∠POQ内的一点,它到两 边的距离分别为MA＝2， MB＝11, 求OM的长．
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例1:如图所示,已知∠POQ＝60°, M是∠POQ内的一点,它到两 边的距离分别为MA＝2， MB＝11, 求OM的长．
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例 2：在△ABC 中，D 为 BC 边上一点，BC＝3BD， AD＝ 2，∠ADB＝135° .若 AC ＝ 2AB，则 BD＝________.
例 2：在△ABC 中，D 为 BC 边上一点，BC＝3BD， AD＝ 2，∠ADB＝135° .若 AC ＝ 2AB，则 BD＝________.
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正弦定理变式:
①a:b:c＝sinA : sinB : sinC . a sinA a sinA b sinB ② ＝ ， ＝ ， ＝ . b sinB c sinC c sinC a＋b＋c a b c ③ ＝ ＝ ＝ . sinA sinB sinC sinA＋sinB＋sinC ④a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC. a b c ⑤sinA＝ ，sinB＝ ，sinC＝ . 2R 2R 2R
a b c 2R sin A sin B sinC
余弦定理
(1)公式表达 (2)推论
a2＝b2＋c2－2bccosA ； b2＝a2＋c2－2accosB ； c2＝a2＋b2－2abcosC .
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b2＋c2－a2 cosA＝ ； 2bc 2 2 2 a ＋ c － b cosB＝ ； 2ac 2 2 2 a ＋ b － c cosC＝ . 2ab
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正弦定理变式:
①a:b:c＝sinA : sinB : sinC . a sinA a sinA b sinB ② ＝ ， ＝ ， ＝ . b sinB c sinC c sinC a＋b＋c a b c ③ ＝ ＝ ＝ . sinA sinB sinC sinA＋sinB＋sinC ④a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.
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正弦定理变式:
①a:b:c＝sinA : sinB : sinC . a sinA a sinA b sinB ② ＝ ， ＝ ， ＝ . b sinB c sinC c sinC a＋b＋c a b c ③ ＝ ＝ ＝ . sinA sinB sinC sinA＋sinB＋sinC ④a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC. a b c ⑤sinA＝ ，sinB＝ ，sinC＝ . 2R 2R 2R ⑥A< B a< b 2RsinA< 2RsinB sinA< sinB .