关于数学分析的读书笔记

经过一个半学期的《数学分析》的学习，我基本上对其学习方法有了一定的掌握。了解到《数学分析》与高中的数学既有联系又有差别。一方面在许多思想与分析中运用了高中数学的基础知识；另一方面它将许多东西细微化，一步步探究深层次的东西。它使我们对许多东西有了进一步的了解而不是只停留在理解表面。

下面对我目前已学习的知识进行理解与分析：

一、实数集与函数。实数分有理数和无理数，有理数可用既约分数的形式表示，而无理数则不能用一个确定式表示。人们先发现有理数，再运用Dedek ind分割划分出一些不属于有理数的数。全部这些数的集合就是实数集。用同样的方法分割，却得不到非实数，这证明了实数具有完备性。关于实数完备性有一些基本定理，如：区间套定理、柯西收敛准则、聚点定理和有限覆盖定理。对于任何一个包含于实数集的集合，还有著名的确界原理。函数的定义是一个具有某种结构的集合到一个数集的对应关系。有基本函数和特殊的函数，如：符号函数、Heaviside函数、Riemann函数和Dirichelet函数。

二、极限分为数列极限和函数极限。对于极限，重在理解它的定义。函数极限是数列极限的推广，所以理解了数列极限，函数极限问题就不大了。收敛的数列有许多特殊性质，如:有界性、唯一性、保号保序性和迫敛性，且满足线性组合运算。既然有这么多很好的性质，我们就想弄清哪些数列收敛或收敛数列需满足的条件。人们发现，单调有界数列和满足柯西收敛准则的数列一定有极限。

三、函数的连续性。函数在某一点X。连续的定义是在X。的某邻域内有定义且满足当X趋于X。时，函数F(X)趋于F(X。).而在某区间上的连续可由在某点推广。对一闭区间上连续的函数有一些性质，如：有界性、最值、介值性和一致连续性。对于函数连续性，重在理解定义的内容。

四、导数与微分。导数在中学已学过，而微分是一个新概念。微分的核心思想是对一件事物，当对整体无法解决或难以解决时，可以将它分成许多细小的部分来解决。当每一部分都解决了时，整体也就解决了。对于微分的应用有罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理以及泰勒公式。运用这些定理，还可以分析函数性质，如：函数是否有凸性和拐点，这些对作图是有帮助的。

五、积分分为两种：不定积分和定积分。不定积分是微分的逆运算，它的核心思想是将许多无法解决或难以解决的事物积累成一个整体来解决。不定积分的运算有一些方法，如：换元法和分部积分法。与不定积分不同，定积分则是一个分割T的模趋于零的极限。对一个闭区间上的函数作划分，求出黎曼和，当分割的模趋于零时，黎曼和趋于一个常数，此时称这个常数为函数在闭区间上的定积分。定积分的运算可运用牛顿—莱布尼茨公式。哪些函数是可积的，可积函数有哪些性质。人们发现了可积函数需满足的条件和它的一些性质，如：积分中值定理。

整体内容连贯有序，学习者思路清晰，目的明确。

数学分析是精彩有趣的，但有时会让人学的很累。当一个概念或思想没有理解时，在很大层度上阻碍了后面内容的学习理解，让人有雾里探花的感觉。所以应脚踏实地的学好每一步，扎稳基础，相信未来的道路是光明的。

(13)《数学分析》读书报告

经过一个半学期的《数学分析》的学习，基本上对其学习方法有了一定的掌握。在刚刚进入大一的数学学习的开始，感觉到了种种的不适应，发现大学的数学和以前高中的有很大的不同。如果用以前的学习方法，根本就行不通。以前的数学，就是讲概念，例题，做练习，并不强调基本理论，而只是会做练习就可以了，一味的应试教育而已。而在大学，恰恰相反，我们也许没有了高考升学考试的压力，我们学习的目的已经不是一味的做习题，而是要了解概念的本质以及推理。原本在高中就知道的一个定理或者推论，我们在这门课程中，却要进行推理证明。从表面上来看，我们大都认为，这根本是“化简为繁”，但是，只有从本质出发，我们才能了解和发现更多有用的知识。其实，我们从一开始，就是先知道先人所发现结果，只有了解事物因果，才能更好的培养我们的逻辑思维能力。

数学分析的第一课，我们讲的是逻辑和因果。这是贯穿整个课程的基础，在以后的学习中，我们都有运用到。我认为，这门课程也许现在看来，用处并不大，但在我们好好学习之后，我们的逻辑思维能力会得到很大的提高，我们思考问题会变得多元化。

第一章，讲的是实数集与函数。从对有理数的分割，我们找到了实数。如果再分割实数的话，却找不到实数以外的数了，这就是实数的完备性（第七章）。其中大多数是高中学习过的内容：实数的性质，函数的定义和四则运算，函数的基本形式，增加的是数集和确界原理：邻域和有界集。

第二和第三章，讲的是极限问题，关于数列和函数。数列极限也是高中所涉及的内容，规范了数列极限的定义，增加了收敛数列的性质和存在条件。函数极限是数列极限的拓广，数列极限是定义于自然数上的极限，而函数极限是定义于实数上的极限。第三章中，引进了两个重要的极限，从而通过它们，求一些较为特殊的函数极限。并且，介绍无穷小量和无穷大量以及曲线的渐近线。

第四章，讲的是函数的连续性；第五和第六章，讲的是导数和微分以及微分中值定理和运用；第七章，讲的是实数的完备性，是第一章的补充内容；第八和第九章，讲的是不定积分和定积分，都是一些崭新的知识内容。但从前三章可知，每一章的教学顺序都是从概念，性质，运用等方面展开。前三章可以说是高中数学到大学数学的过渡阶段，让我们适应大学学习，引导我们从中学习到大学数学的学习方法。

数学的学习过程是很辛苦的，但从中学习到的思想和方法，却可以使我们一生受用。寒假后，开学三周后便是考试周，希望可以通过自己的努力学习，在考试中，得到一个满意的答复。