吉林省吉林一中2014-2015学年高二上学期九月月考数学理考卷含解析

2014-2015学年度
吉林一中高二9月考
数学理考卷
第I卷（选择题)
本试卷第一部分共有24 道试题.
一、选择题( 共24 题,共96 分)
1、如果函数y=(a 2 —4）x 在定义域内是减函数,则a的取值范围是（）
a。

|a|＞2 b.|a｜＞ c.|a｜＜d。

2＜｜a|＜
2、春天来了,某池塘中的荷花枝繁叶茂,已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍,若荷叶20天可以完全长满池塘水面,当荷叶刚好覆盖水面面积一半时,荷叶已生长了( )
a.10天b。

15天 c.19天 d.20天
3、若定义在(—1,0)上的函数f(x）=log 2a （x+1）满足f(x）＞0，则a的取值范围是( ）
a.（0, ）b。

（0，) c.( ，+∞) d.(0,+∞)
4、已知函数f(x）= 则f［f( )］的值是( ）
a。

9 b. c.-9 d。

—
5、已知m=0.9 5。

1 ，n=5.1 0。

9 ,p=log 0。

9 5.1,则这三个数的大小关系是（)
a。

m＜n＜p b.m＜p＜n
c.p＜m＜n d。

p＜n＜m
6、已知函数f(x）=log 2 （x 2 —ax+3a）在［2,+∞］上是增函数,则实数a的取值范围是( ）
a。

（—∞,4） b。

（—4，4)
c.（—∞,—4)∪[2，+∞］d。

［—4，4)
7、农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成。

2003年某地区农民人均收入为3 150元（其中工资性收入为1 800元,其他收入为1 350元）,预计该地区自2004年起的2年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长,其他收入每年增加160元,根据以上数据，2005年该地区农民人均收入介于( )
a.3 200元～3 400元b。

3 400元~3 600元
c。

3 600元～3 800元 d.3 800元～4 000元
8、若函数f（x)=log a x(0＜a＜1）在区间［a，2a］上的最大值是最小值的3倍,则a等于( )
a。

b。

c。

d。

9、函数y=lg 的图象大致是( )
10、若函数f(x）= 则f(log 4 3)等于( )
a. b 。

3 c . d。

4
11、已知m=0.9 5.1 ，n= 5。

1 0.9 ，p=log 0.9 5.1，则这三个数的大小关系是（）
a。

m＜n＜p b.m＜p＜n c。

p＜m＜n d.p＜n＜m
12、设n= ，则n的值属于下列区间中的( )
a.（-2，-1)
b.（1，2) c。

（-3，—2) d。

（2，3）
13、如图所示，在河岸ac 一侧测量河的宽度，测量以下四组数据，较适宜的是( ）．
a．c ，α，γb．c ，b ，α
c．c ，a ，βd．b ，α，γ
14、从a 处望b 处的仰角为α，从b 处望a 处的俯角为β,则α，β的关系是（）．
a．α＞β b．α＝β
c．α+ β＝90° d．α+ β＝180°
15、在高20 m的楼顶测得对面一塔顶的仰角为60°,塔基的俯角为45°,则这座塔的高度为( ）．
a．m b．m
c．m d．m
16、如图，已知两座灯塔a 和b 与海洋观测站c 的距离都等于a km,灯塔a 在观测站c 的北偏东20°,灯塔b 在观测站c 的南偏东40°，则灯塔a 与灯塔b 的距离为( )．
a．a km b．km c．km d．2 a km
17、在△abc 中，若sin a ∶sin b ＝2∶5，则边b ∶a 等于（）．
a．2∶5或4∶25 b．5∶2 c．25∶4 d．2∶5
18、在△abc 中，sin 2 a －sin 2 c +sin 2 b ＝sin a ·sin b ，则∠c 为（)．
a．60°b．45°c．120°d．30°
19、在△abc 中，已知a ＝4, b ＝6，∠c ＝120°,则sin a 的值为( )．
a．b．c．d．
20、△abc 的三个内角∠a ，∠b ，∠c 所对的边分别为a ，b ，
c , a sin a sin b + b cos 2 a ＝，则＝（）．
a．b．c．d．
21、根据下列条件，确定△abc 有两解的是（）．
a．a ＝18，b ＝20，∠a ＝120°
b．a ＝60，c ＝48,∠b ＝60°
c．a ＝3，b ＝6，∠a ＝30°
d．a ＝14，b ＝16，∠a ＝45°
22、在△abc 中，∠a ∶∠b ∶∠c ＝1∶2∶3,那么三边之比
a ∶
b ∶
c 等于( ）．
a．1∶2∶3 b．3∶2∶1
c．1∶∶2 d．2∶∶1
23、在△abc 中，a ＝2，∠a ＝30°，∠c ＝45°，则s △abc ＝（)．
a．b．c．d．
24、在△abc 中，∠a ，∠b ，∠c 的对边分别是a , b ，c ．若
a 2 －
b 2 ＝，sin
c ＝sin b ，则∠a ＝（）．a．30°b．60°c．120°d．150°
第II卷（非选择题）
试卷第二部分共有20 道试题.
二、填空题（共8 题，共28 分)
1、
将, , 由大到小排列为__________.
2、lg5lg8 000+3lg 2 2+lg0.06—lg6=__________。

3、函数f（x)=log a (a＞0且a≠1），f(2）=3,则f(—2)的值为
_________.
4、已知函数f(x)=a x +a -x (a＞0且a≠1)，f（1)=3,则f(0)+f（1）+f（2）的值为___________.
5、如图为曲柄连杆结构示意图,当曲柄OA 在OB 位置时，连杆端点P 在Q 的位置,当OA 自OB 按顺时针旋转α角时，P 和Q 之间的距离为x ，已知OA ＝25 cm，AP ＝125 cm，若OA ⊥AP ,则x 等于__________（精确到0。

1 cm）．
6、一船在海面A 处望见两灯塔P ，Q 在北偏西15°的一条直线上,该船沿东北方向航行4海里到达B 处,望见灯塔P 在正西方向，灯塔Q 在西北方向，则两灯塔的距离为__________．
7、在△ABC 中，，, ，则b ＝________.
8、在平行四边形ABCD 中, ，，∠BAC ＝45°，则AD ＝________.
三、解答题( 共12 题,共115 分）
1、已知+ =3，求a 2 +a -2 的值.
2、要使函数y=1+2 x +4 x ·a在(-∞,1）上y＞0恒成立，求a的取值范围.
3、已知f（x)=x（+ )。

（1)判断函数的奇偶性;
(2）证明f（x)＞0。

4、某种细菌每隔两小时分裂一次（每一个细菌分裂成两个,分裂所需时间忽略不计），研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y是研究时间t的函数，记作y=f（t）,
（1)写出函数y=f（t）的定义域和值域;
（2)画出y=f(t)（0≤t＜6）的图象；
（3）写出研究进行到n小时（n≥0，n∈Z)时,细菌的总数有多少个（用关于n的式子表示)
5、设f(x）= ,若0＜a＜1，试求:
(1）f（a)+f（1—a)的值;
(2) f（）+f（）+f（）+…+f（)的值。

.
6、已知函数f（x）=-x+ .
（1）试判断函数f（x）在定义域上的单调性并用单调性定义证明；（2)若函数f（x)的反函数为f -1 （x)，解方程f -1 （—1+log 2 x)=—1.
7、如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A , B ，
C 三点进行测量．已知AB ＝50 m，BC ＝120 m，于A 处测得水深A
D ＝80 m，于B 处测得水深B
E ＝200 m，于C 处测得水深C
F ＝110 m，求∠DEF 的余弦值．
8、如图, A ，B 两个小岛相距21海里，B 岛在A 岛的正南方，现在甲船从A 岛出发，以9海里/时的速度向B 岛行驶，而乙船同时以6海里/时的速度离开B 岛向南偏东60°方向行驶，行驶多少时间后，两船相距最近？并求出两船的最近距离．
9、为了测定不能到达底部的铁塔的高PO ，可以有哪些方法？
10、在△ABC 中，a ＝8，b ＝7，∠B ＝60°，求c 及S △ABC ．
11、在△ABC 中,∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a 2 －c 2 ＝2 b ，且sin B ＝4cos A sin C ,求B ．
12、在△ABC 中，已知（a 2 + b 2 )sin(∠A －∠B )＝（a 2 －b 2 ）sin（∠A +∠B )，试判断△ABC 的形状．
答案解析部分（共有44 道题的解析及答案）
一、选择题
1、思路解析：∵0＜a 2 —4＜1,∴4＜a 2 ＜。

∴2＜｜a|＜。

答案：D
2、思路解析: 荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关系为y=2 x ，当x=20时,长满水面，所以生长19天时，布满水面一半。

故选C。

答案: C
3、思路解析: 本题考查对数函数的基本性质.
当x∈（-1，0）时,有x+1∈（0，1)，此时要满足f（x)＞0,只要0＜2a＜1即可.
由此解得0＜a＜.
答案：A
4、思路解析: f（)=log 3 =-2,f(—2)=3 —2 = .
答案: B
5、思路解析: 本题考查指数函数的单调性和对数函数的单调性. 由指数函数的性质,∵0＜0.9＜1,5.1＞1，
∴0＜0.9 5.1 ＜1,即0＜m＜1.
又∵5.1＞1，0。

9＞0，
∴5。

1 0.9 ＞1,即n＞1。

由对数函数的性质,∵0＜0.9＜1，5。

1＞1,
∴log 0 。

9 5.1＜0,即p＜0。

综合可得p＜m＜n。

答案: C
6、思路解析: 解决复合函数问题的通法是把复合函数化归为基本初等函数。

令u（x）=x 2 -ax+3a，其对称轴x= 。

由题意有解得-4＜a≤4。

答案: B
7、思路解析：本题考查指数函数的应用.
设2005年该地区农民人均收入为y元,
则y=1 800×(1+6%） 2 +1 350+160×2≈3 686(元）。

答案: C
8、思路解析: 本题关键是利用f（x)的单调性确定f(x）在［a,2a］上的最大值与最小值。

f(x)=log a x(0＜a＜1)在(0，+∞）上是减函数,
当x∈［a,2a]时，f(x）max =f(a）=1，f（x) min =f（2a）=log a 2a.
根据题意,3log a 2a=1，即log a 2a= ,所以log a 2+1= ，即log a 2=—
.
故由=2得a= .
答案：A
9、思路解析：本题通法有两种：①图象是由点构成的，点点构成
函数的图象，所以可取特殊点（2，0），（，1）。

②利用函数解析式判断函数的性质,函数的定义域为(1，+∞），在定义域上函数为减函数。

答案：A
10、思路解析：∵log 4 3∈［0,1］,∴f(x)=4log 4 3=3.
答案：B
11、思路解析：本题考查指数函数的单调性和对数函数的单调性.由指数函数的性质，∵0＜0。

9＜1，5.1＞1，∴0＜0。

9 5。

1 ＜1，即0＜m＜1。

又∵5.1＞1，0.9＞0，∴5。

1 0.9 ＞1，即n＞1.由对数函数的性质，∵0＜0.9＜1，5。

1＞1,∴log 0.9 5。

1＜0，即p＜0.综合可得p ＜m＜n。

答案：C
12、思路解析：n= + = =log 3 10。

∵log 3 9＜log 3 10＜log 3 27，
∴n∈(2,3）。

答案：D
13、D
解析: 本题中的c ，a ，β不好直接测量．
14、B
15、B
解析：如图所示，则AE ＝DE ＝AB ＝20 m,
∴CE ＝AE tan 60°＝m，
∴CD ＝CE + ED ＝m。

16、B
17、B
18、A
19、A
解析：由余弦定理可求得,再由正弦定理得.
20、D
21、D
解析: ，又b ＞a ,
∴∠B 有两解．故△ABC 有两解．
22、C
解析: 易知∠A ＝，∠B ＝，∠C ＝，
∴a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶∶2。

23、C
解析：由得，∠B ＝105°，
S △ABC ＝ac sin B ＝。

24、A
解析：利用正弦定理，sin C ＝sin B 可化为．
又∵，
∴，
即a 2 ＝7 b 2 ，．
在△ABC 中，，∴∠A ＝30°.
二、填空题
1、
思路解析: 本题考查指数函数与幂函数的综合运用.
注意到＜0，而＞0，＞0；
又因为= ，且y= 在［0,+∞）上是增函数，所以＜。

综合得＞＞.
答案: ＞＞.
2、解析: 原式=lg5（3+3lg2)+3lg 2 2+lg =3（1-lg2)（1+lg2)+3lg 2 2—2=3-2=1.
答案: 1
3、解析: ∵f（—x）=log a =-log a =—f(x），
∴函数为奇函数.∴f（—2)=—f(2）=-3。

答案：-3
4、解析：f（0)=a 0 +a 0 =2，f(1）=a+a -1 =3，f（2)=a 2 +a —2 =（a+a -1 ） 2 —2=9—2=7。

∴f(0）+f(1)+f(2）=12.
答案: 12
5、22。

5 cm
解析：x ＝PQ ＝OA + AP －OP ＝25+125－≈22.5（cm）．
6、海里
解析：如图，
在△ABP 中，AB ＝4,∠BAP ＝60°，∠ABP ＝45°,
∴∠APB ＝75°。

由正弦定理得．
又在△ABQ 中,∠ABQ ＝45°+45°＝90°，∠PAB ＝60°，∴AQ ＝2 AB ＝8,于是PQ ＝AQ －AP ＝，
∴两灯塔间距离为海里．
7、
解析：∵，∴, S △ABC ＝ab sin C ＝,即
，∴。

8、
解析：BC 2 ＝AB 2 + AC 2 －2 AB ·AC ·cos∠BAC ＝48，∴,∴.
三、解答题
1、解：本题考查指数的运算.
从已知条件中解出a的值，再代入求值的方法不可取,应该设法从整体寻求结果与条件+ =3的联系进而整体代入求值。

将+ =3两边平方得a 1 +a -1 +2=9，
即a 1 +a -1 =7。

再将其平方，
有a 2 +a —2 +2=49，从而得到a 2 +a —2 =47.
2、思路分析:把1+2 x +4 x ·a＞0在（-∞,1)上恒成立问题，分离参数后等价转化为a＞-( ) x -( ) x 在（-∞，1）上恒成立，而-（）x -（）x 为增函数,其最大值为—，可得a＞—。

解:由1+2 x +4 x ·a＞0在x∈(-∞,1）上恒成立，即a＞—=-( ) x —( ) x 在(—∞,1)上恒成立。

又g(x）=—( ）x —( ）x 在（—∞，1）上的值域为(-∞,- ）,∴a＞—.
评述：（1）分离参数构造函数问题是数学中解决问题的通性通法.
（2)恒成立问题可化归为研究函数的最大（或最小）值问题.
3、（1）解:函数的定义域为｛x|x≠0}.
f(—x)=—x·=-x·=x·=f(x)。

∴函数为偶函数。

（2）证明:由函数解析式，当x＞0时,f（x)＞0。

又f（x)是偶函数，当x＜0时,-x＞0.
∴当x＜0时，f（x）=f(-x)＞0，即对于x≠0的任何实数x,均有f（x)＞0。

评述：本题以复合函数为载体判断函数的奇偶性，并利用函数的奇偶性证明不等式.
4、解：（1)y=f（t)定义域为t∈［0，+∞)，
值域为｛y|y=2 n ,n∈N ＊}.
（2）0≤t＜6时，为一分段函数y=
图象如图2-1。

图2-1
(3)n为偶数时,y= ;n为奇数时,y= 。

∴y=
5、解：（1）f（a）+f（1—a)= + = + = + = + = =1.
（2）f( )+f( )+f( ）+…+f（）
=［f（）+f（)］+［f( ）+f（）］+…+［f（)+f （）］=500×1=500.
6、解: (1）令＞0,解得函数f（x)的定义域为｛x|-2＜x＜1}.
令—2＜x 1 ＜x 2 ＜1,则f（x 1 ）—f(x 2 ）=-x 1 +x 2 + - =（x 2 —x 1 )+ 。

∵-2＜x 1 ＜x 2 ＜1，
∴x 2 —x 1 ＞0，＞1, ＞1.
∴·＞1.
∴log 2 ( ·）＞0。

∴f（x 1 )—f（x 2 ）＞0.
∴f(x）为定义域上的减函数。

(2）由f -1 (-1+log 2 x）=—1，f（-1）=-1+log 2 x，即1+log 2 2=—1+log x，解得x=8。

2
经检验，x=8为原方程的解。

7、解：如图,作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M .
(m），
（m），
(m)．
在△DEF 中,由余弦定理的变形形式，得
cos∠DEF ＝
.
8、解：设行驶t h后，甲船行驶了9 t 海里到达C 处，乙船行驶了6 t 海里到达D 处．
①当9 t ＜21,即时，C 在线段AB 上，
此时BC ＝21－9 t 。

在△BCD 中，BC ＝21－9 t ，BD ＝6 t ，
∠CBD ＝180°－60°＝120°，由余弦定理知CD 2 ＝BC 2 + BD 2 －2 BC ·BD ·cos 120°＝（21－9 t ） 2 +（6 t ) 2 －2×（21－
9 t ）·6 t ·＝63 t 2 －252 t +441＝63（t －2) 2 +189。

∴当t ＝2时，CD 取得最小值.
②当时，C 与B 重合，
则.
③当时，BC ＝9 t －21，
则CD 2 ＝(9 t －21) 2 +(6 t ) 2 －2·（9 t －21)·6 t ·cos 60°＝63 t 2 －252 t +441＝63（t －2) 2 +189＞189。

综上可知，当t ＝2时，CD 取最小值。

答：行驶2 h后，甲、乙两船相距最近为海里．
9、解：方法一：在地面上引一条基线AB ,这条基线和塔底在同一水平面上，且延长后不过塔底,测出AB 的长，用经纬仪测出角β，γ和A 对塔顶P 的仰角α的大小，则可求出铁塔PO 的高．计算方法如下：
如图所示，在△ABO 中，由正弦定理得
,
在Rt△PAO 中，PO ＝AO ·tan α,
∴.
方法二：在地面上引一条基线AB ，这一基线与塔底在同一水平面上，且AB 延长后不过点O 。

测出AB 的长、张角∠AOB (设为θ)及A ，B 对塔顶P 的仰角α，β，则可求出铁塔PO 的高，计算方法如下:
如图所示，在Rt△POA 中, AO ＝PO ·cot α,
在Rt△POB 中，BO ＝PO ·cot β，
在△AOB 中，由余弦定理得OA 2 + OB 2 －2 OA ·OB ·cos θ＝AB 2 ，
∴.
方法三：在地面上引一条基线AB ，这一基线与塔底在同一水平面上，并使A ，B ，O 三点在一条直线上，测出AB 的长和A ，B 对塔顶P 的仰角α，β,则可求出铁塔PO 的高．计算方法如下:
如图所示，在△PAB 中,由正弦定理得
,
在Rt△PAO 中, PO ＝PA ·sin α，
∴.
10、解：由余弦定理得8 2 + c 2 －2×8×c ×cos 60°＝7 2 ，即c 2 －8 c +15＝0，∴c ＝3或5。

当c ＝3时，;
当c ＝5时，。

11、解：由余弦定理得a 2 －c 2 ＝b 2 －2 bc cos A ,又a 2 －c 2 ＝2 b ，b ≠0,∴b ＝2 c ·cos A +2。

由正弦定理得,又由
已知得，∴b ＝4 c ·cos A ，由可得b ＝4.
12、解：由已知有a 2 sin(∠A －∠B )+ b 2 sin（∠A －∠B ）＝a 2 sin（∠A +∠B ）－b 2 sin(∠A +∠B )，即2 a 2 cos A sin B －2 b 2 cos B sin A ＝0，
∴a 2 cos A sin B －b 2 sin A cos B ＝0。

由正弦定理,上式可化为sin 2 A cos A sin B －sin 2 B sin A cos B ＝0，即sin A sin B (sin A cos A －sin B cos B )＝0，
∵sin A ≠0，sin B ≠0，
∴sin A cos A －sin B cos B ＝0，即sin 2 A ＝sin 2 B ，
∴2∠A ＝2∠B 或2∠A +2∠B ＝π，
∴∠A ＝∠B 或∠A +∠B ＝.
故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．。