光学习题解(崔宏滨)
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【2.9】组和波罗棱镜由两块 450 角直角棱镜组成，利用两块直角棱镜的四个直角面上产生 的全反射，使像倒转于凸透镜成实像的情况一致，试证明之。 证：如图。
【2.10】极限法测液体折射率的装置如附图所示，ABC 是直角棱镜，其折射率 n g 已知，将 待测液体涂一薄层于其上表面 AB， 再覆盖一块毛玻璃。 用扩展光源在掠入射的方向上照明。 从棱镜的 AC 面出射的光线的折射角将有一个下限 i ′ 。 如用望远镜观察， 则在视场中出现有 明显分界线的半明半暗区。证明待测液体的折射率可以由下式算出： n = 用这种方法测量液体的折射率，测量范围受什么限制？
′ 求导数，有 （2）上式对 i1
di dd = 1 + 1 ，当该导数为 0 时，取得最小偏向角。 ′ ′ di1 di1 ′ di1 di1 di2 di2 = ′ di2 di2 ′ di1 ′ di1
即
′ = sin i1 ′ ，微分，得到 而由折射定律 n sin i 2 = sin i1 ， n sin i 2
解 ： 无 水 时 ， 球 面 的 焦 距 为 20cm ， 球 面 半 径 为 r=2 × 20=40cm ， 注 水 后 ， 其 焦 距
f = 20 / n = 20 /(4 / 3) = 15cm ， 此 时 要 成 清 晰 实 像 ， 而 且 物 距 、 像 距 相 等 ， 则 有
∆x = BC = AB sin(i1 − i2 ) = (t / cos i2 ) sin(i1 − i2 ) = t (sin i1 cos i2 − cos i1 sin i2 ) / cos i2
2
= t (sin i1 −
cos i1 sin i1 i i ) ，在小角度时，有 sin i1 ≈ i1 ， cos i1 ≈ 1 − ( 1 ) 2 ， cos i2 ≈ 1 − ( 2 ) 2 2 2 n cos i2
∠ROQ = δ 即为偏向角，证明此法的依据。
证： 如图所示， 从圆心 O 向棱镜的界面法线做垂线 OM、 OT， 根据作图方法， 可知 ∠ORM = i1 ，
4
而 OR sin ∠ORM = n ′ sin i1 = OM
， OP sin ∠OPM = n sin ∠OPM = OM
， 即
n sin ∠OPM = n ′ sin i1 ，由折射定律 ∠OPM = i2 ，为第一界面的折射角。即 OP 为第一界 ′。 ′ = n sin i2 ′ = OQ sin ∠OQT = n ′ sin ∠OQT = OT ， 面的折射线。∠OPT = i 2 又 OP sin i 2 ′ ，于是 ∠ROQ = δ 。 由折射定律， ∠OQT = i1
′ −α ； ′ 时，有最小偏向角 δ m ，而且， n = 角为 δ = i1 + i1 （2）证明在 i1 = i1
sin
α + δm α
2 2
，
sin
式中 n 为棱镜材料的折射率，在已知 α 的情况下，通过测量 δ m ，利用上式可以算出棱镜材 料的折射率； （ c ）顶角 α 很小的棱镜称为光楔，证明对小角入射光楔产生的偏向角为
说明
教材上的习题是主要依据该题解编辑，但题目次序不一 致，见谅。 崔宏滨
几何光学
【2.1】光线以入射角 i 射到折射率为 n 的物体上，设反射光与折射光线成直角，问入射角与 折射率之间的关系如何？ 解： sin i = n sin i ′ ，而 i ′ =
π
2
− i ，∴ sin i = n cos i ，即 tgi = n 。
sin
α + δm α
2 ≈
(3) 如果顶角很小， n =
sin
α + δm ，可得 δ m = ( n − 1)α α
2
【2.7】顶角为 500 的棱镜的 δ m = 35 ，如果浸入水中，最小偏向角等于多少？水的折射率
为 1.33。
解：可得棱镜的折射率 n =
sin
α + δm α
2 =
sin
′ n − sin 2 i1 n − sin 2 i1 α ′ 才 能 成 立 。 即 δ m = 2i1 − α ， 而 i2 = 。 所 以 ， 只 有 i1 = i1 = 2 2 ′ 2 1 − sin i1 1 − sin i1
3
sin i1 n= = sin i2
sin
α +δm α
2 2 sin i1 = sin i2 sin
最后的反射之后，其对另一镜的入射角应为 0。最后（第 n 次）的反射角为 θ n = α ， 第 n-1 次 的 反 射 角 为
θ n −1 = 2α 。 相 邻 的 两 次 反 射 间 ， 有 关 系 式 ，
θ m + (π / 2 − θ m −1 ) = π / 2 − α ，即 θ m −1 = θ m + α 。
解 ： 此 时 大 头 针 顶 发 出 的 光 线 恰 好 发 生 全 反 射 。 即 sin θ1 =
1 ， 而 n
sin 2 θ1 1 2h 2 d ，得到 n = 1 + ( ) tg θ1 = = = 2 2 d 1 − sin θ1 n − 1 2h
2
2
【2.13】如图所示，一束光线以入射角 i 射入折射率为 n 的球形水滴，求： （1）此光线在水 滴内另一侧球面的入射角 α ， 这条光线是被全反射还是部分反射？ （2） 偏向角 δ 的表示式； （3）偏向角最小时的入射角 i 。
而 θ1 可以取到 π / 2 ，则 sin
2
θ1 = 1 = n 2 − n 2 sin 2 θ 2 ≤ n 2 − 1 ，即 n 2 ≥ 2 ， n ≥ 2 。
【2.12】在圆形木塞中心垂直插入一大头针，然后将其倒放浮于水面上，调节大头针露出的 长度，使观察者从水面上无论何种角度都恰好看不到水下的大头针。如果测得大头针露出 木塞得长度为 h，木塞直径为 d，求水的折射率。
sin
2
50 + 35 2 = 1.599 。浸入水中时，入射角为 50 sin 2
n1 sin i1 = n sin i2 ，而满足最小偏向角时，i2 =
α
2
，则 sin i1 =
n sin i2 = n1
n sin n1
α
2 = 0.508 ，
′ = 2i1 − α = 2 × 30.53 − 50 = 11.1 i1 = 30.53 ， δ m
δ = (n − 1)α
证 ：（ 1 ） 由 于 棱 镜 两 侧 面 及 其 法 线 所 构 成 的 四 边 形 中 有 一 对 直 角 ， 则
′ = π − β = π − (π − α ) = α ， i2 + i2 ′ −α ′ ) = i1 + i1 ′ ) = i1 + i1 ′ − (i2 + i2 ′ − i2 而 δ = (i1 − i 2 ) + (i1
【2.2】把一片玻璃板放在装满水的玻璃杯上，光线应以什么样的角度射到玻璃板上才能够 在玻璃板和水的分界面上发生全反射？玻璃的折射率为 1.5，水的折射率为 1.33 能接收到这束全反射光吗？ 解：发生全反射时，光线从玻璃向水的入射角应满足
n g sin iC = n w 。
此时若从空气到玻璃板入射，入射角 i 应满足 sin i = n g sin iC ，即 sin i = n w 。 由于 n w = 1.33 > 1 ，所以上述情况不可能发生。 【2.3】红光和紫光对同种玻璃的折射率分别是 1.51 和 1.53。当这些光线射到玻璃和空气的 分界面上时，全反射的最小角度是多少？当白光以 41o 的角入射到玻璃和空气的界面上时， 将会有什么现象发生？ 解：由于 n sin i = 1 ，所以
【2.8】附图是一种求折射线方向的追迹作图法。例如为了求光线通过棱镜的路径， （如图 b 所示） ，可如图 a 以 O 为中心做二圆弧，其半径正比于折射率 n, n ′ 。作 OR 平行于入射线 DE， 作 RP 平行于棱镜第一界面的法线 N1N1， 则 OP 的方向即为第一次折射后光线的方向。 再作 QP 平行于第二界面的法线 N2N2 ，则 OQ 的方向即为出射线 FG 的方向，从而
i0 =
π
2
，故有 sin i ′ = n g − n ，即 n =
2 2 2
2 − sin 2 i ′ 。 ng
测量时，要求 n > n g 。 【2.11】光从塑料棒的一端射入，若要保证射入的光总是在棒内全反射传播，其折射率至少 是多大？
解： sin θ1 = n cos θ 2 ， sin
2
Байду номын сангаас
θ1 = n 2 − n 2 sin 2 θ 2 要发生全反射， n sin θ 2 > sin θ C = 1 / n ，
6
解： （1）由反射定律及球面的对称性， sin i1 = n sin i ′ = n sin α ， sin α = sin i1 / n ，由于
sin α ≤ 1 / n ，只有入射光对准球心入射时，才能发生全反射。
而 2α （2）δ = π − 2 β = π − 2[α − (i1 − i ′)] = π − 2( 2α − i1 ) ，2(2α − i1 ) 取极大值即可。 等于圆心角 θ ， 2α − i1 等于入射光线与水平直径间的夹角，对准球心入射时为极大值。即 入射角 i1 = 0 。 【2.14】水槽中盛水，深 20cm，底部有一光源，水面上放一不透光纸片。要使从水面上任 何角度都看不到光源，纸片的形状和面积应怎样？ 解：纸片应该是圆形的。 tgθ = r / h ，而 sin θ ≥ 1 / n ， 所以 sin
2 − sin 2 i ′ 。 ng
5
′ ，而 n sin i0 = n g sin i0 ′。 证：由于液体的折射率 n > n g ，则有 sin i ′ = n g sin i = n g cos i0
2 2 2 ′ = ng ′ ) = ng sin 2 i ′ = n g cos 2 i0 (1 − sin 2 i0 − n 2 sin 2 i0 ，由于是掠入射，在明暗区的边界，
2
θ=
tg 2θ r2 = ≥ n − 2 ， r ≥ nh / 1 − n 2 1 + tg 2θ h 2 + r 2
【2.15】一玻璃杯，底部为凸球面，球面下嵌一画，空杯看去，与普通酒杯无异；注入酒后， 则底部呈现美丽画面，请解释。 解：空杯成实像，注入酒后，相当于有一平凹透镜，画面经折射后成一放大虚像。 【2.16】一球面反射镜将平行光会聚在 x0=20cm 处；将水（折射率约为 4/3）注满球面，光 通过一张白纸片上的针孔射向反射镜，如图，距离 x 为多大时在纸片上成清晰的像？
则 θ1 = ( m − 1)θ m + α = ( n − 1)θ n + α = nα 。 【2.5】证明：当一条光线通过平板玻璃时，出射光线方向不变，只产生侧向平移。当入射 角 i1 很小时，位移 ∆x =
n −1 i1t 。其中，n 为玻璃的折射率，t 为玻璃板的厚度。 n
证：如图，由于上下两面平行，且两侧折射率相等，所以在下表面的入射角等于上表面的折 射角，下表面的折射角等于上表面的入射角。出射光线保持平行。
V = arcsin iC
1 1 1 1 R = arcsin = 40.81 ， iC = arcsin = arcsin = 41.47 。 1.53 1.51 nV nR
1
以 41o 角入射，则紫光全反射；而红光大部分透射，仅有少部分发生反射。 【2.4】如图，以光线射入镜面间并反射 n 次，最后沿入射时的光路返回，试写出 θ i 与 α 间 的关系表达式。 解：
′ ′ ′ ′ cos 2 i2 cos 2 i2 n cos i2 cos i1 cos i2 cos i1 cos i2 cos i2 ， = = =− = −1 ， (−1) = ′ ′ ′ ′ n cos i2 cos i1 cos i1 cos i2 cos i1 cos i1 cos 2 i1 cos 2 i1
i 1 − ( 1 )2 cos i1 sin i1 ti 2 ] ≈ ti1 (n − 1) ，即 ∆x = n − 1 i t 则 t (sin i1 − ) ≈ 1 [n − 1 i2 2 n n n n cos i2 1− ( ) 2
【2.6】如图，一条光线通过一顶角为 α 的棱镜。 （1）证明出射光线相对于入射光线的偏向
【2.10】极限法测液体折射率的装置如附图所示，ABC 是直角棱镜，其折射率 n g 已知，将 待测液体涂一薄层于其上表面 AB， 再覆盖一块毛玻璃。 用扩展光源在掠入射的方向上照明。 从棱镜的 AC 面出射的光线的折射角将有一个下限 i ′ 。 如用望远镜观察， 则在视场中出现有 明显分界线的半明半暗区。证明待测液体的折射率可以由下式算出： n = 用这种方法测量液体的折射率，测量范围受什么限制？
′ 求导数，有 （2）上式对 i1
di dd = 1 + 1 ，当该导数为 0 时，取得最小偏向角。 ′ ′ di1 di1 ′ di1 di1 di2 di2 = ′ di2 di2 ′ di1 ′ di1
即
′ = sin i1 ′ ，微分，得到 而由折射定律 n sin i 2 = sin i1 ， n sin i 2
解 ： 无 水 时 ， 球 面 的 焦 距 为 20cm ， 球 面 半 径 为 r=2 × 20=40cm ， 注 水 后 ， 其 焦 距
f = 20 / n = 20 /(4 / 3) = 15cm ， 此 时 要 成 清 晰 实 像 ， 而 且 物 距 、 像 距 相 等 ， 则 有
∆x = BC = AB sin(i1 − i2 ) = (t / cos i2 ) sin(i1 − i2 ) = t (sin i1 cos i2 − cos i1 sin i2 ) / cos i2
2
= t (sin i1 −
cos i1 sin i1 i i ) ，在小角度时，有 sin i1 ≈ i1 ， cos i1 ≈ 1 − ( 1 ) 2 ， cos i2 ≈ 1 − ( 2 ) 2 2 2 n cos i2
∠ROQ = δ 即为偏向角，证明此法的依据。
证： 如图所示， 从圆心 O 向棱镜的界面法线做垂线 OM、 OT， 根据作图方法， 可知 ∠ORM = i1 ，
4
而 OR sin ∠ORM = n ′ sin i1 = OM
， OP sin ∠OPM = n sin ∠OPM = OM
， 即
n sin ∠OPM = n ′ sin i1 ，由折射定律 ∠OPM = i2 ，为第一界面的折射角。即 OP 为第一界 ′。 ′ = n sin i2 ′ = OQ sin ∠OQT = n ′ sin ∠OQT = OT ， 面的折射线。∠OPT = i 2 又 OP sin i 2 ′ ，于是 ∠ROQ = δ 。 由折射定律， ∠OQT = i1
′ −α ； ′ 时，有最小偏向角 δ m ，而且， n = 角为 δ = i1 + i1 （2）证明在 i1 = i1
sin
α + δm α
2 2
，
sin
式中 n 为棱镜材料的折射率，在已知 α 的情况下，通过测量 δ m ，利用上式可以算出棱镜材 料的折射率； （ c ）顶角 α 很小的棱镜称为光楔，证明对小角入射光楔产生的偏向角为
说明
教材上的习题是主要依据该题解编辑，但题目次序不一 致，见谅。 崔宏滨
几何光学
【2.1】光线以入射角 i 射到折射率为 n 的物体上，设反射光与折射光线成直角，问入射角与 折射率之间的关系如何？ 解： sin i = n sin i ′ ，而 i ′ =
π
2
− i ，∴ sin i = n cos i ，即 tgi = n 。
sin
α + δm α
2 ≈
(3) 如果顶角很小， n =
sin
α + δm ，可得 δ m = ( n − 1)α α
2
【2.7】顶角为 500 的棱镜的 δ m = 35 ，如果浸入水中，最小偏向角等于多少？水的折射率
为 1.33。
解：可得棱镜的折射率 n =
sin
α + δm α
2 =
sin
′ n − sin 2 i1 n − sin 2 i1 α ′ 才 能 成 立 。 即 δ m = 2i1 − α ， 而 i2 = 。 所 以 ， 只 有 i1 = i1 = 2 2 ′ 2 1 − sin i1 1 − sin i1
3
sin i1 n= = sin i2
sin
α +δm α
2 2 sin i1 = sin i2 sin
最后的反射之后，其对另一镜的入射角应为 0。最后（第 n 次）的反射角为 θ n = α ， 第 n-1 次 的 反 射 角 为
θ n −1 = 2α 。 相 邻 的 两 次 反 射 间 ， 有 关 系 式 ，
θ m + (π / 2 − θ m −1 ) = π / 2 − α ，即 θ m −1 = θ m + α 。
解 ： 此 时 大 头 针 顶 发 出 的 光 线 恰 好 发 生 全 反 射 。 即 sin θ1 =
1 ， 而 n
sin 2 θ1 1 2h 2 d ，得到 n = 1 + ( ) tg θ1 = = = 2 2 d 1 − sin θ1 n − 1 2h
2
2
【2.13】如图所示，一束光线以入射角 i 射入折射率为 n 的球形水滴，求： （1）此光线在水 滴内另一侧球面的入射角 α ， 这条光线是被全反射还是部分反射？ （2） 偏向角 δ 的表示式； （3）偏向角最小时的入射角 i 。
而 θ1 可以取到 π / 2 ，则 sin
2
θ1 = 1 = n 2 − n 2 sin 2 θ 2 ≤ n 2 − 1 ，即 n 2 ≥ 2 ， n ≥ 2 。
【2.12】在圆形木塞中心垂直插入一大头针，然后将其倒放浮于水面上，调节大头针露出的 长度，使观察者从水面上无论何种角度都恰好看不到水下的大头针。如果测得大头针露出 木塞得长度为 h，木塞直径为 d，求水的折射率。
sin
2
50 + 35 2 = 1.599 。浸入水中时，入射角为 50 sin 2
n1 sin i1 = n sin i2 ，而满足最小偏向角时，i2 =
α
2
，则 sin i1 =
n sin i2 = n1
n sin n1
α
2 = 0.508 ，
′ = 2i1 − α = 2 × 30.53 − 50 = 11.1 i1 = 30.53 ， δ m
δ = (n − 1)α
证 ：（ 1 ） 由 于 棱 镜 两 侧 面 及 其 法 线 所 构 成 的 四 边 形 中 有 一 对 直 角 ， 则
′ = π − β = π − (π − α ) = α ， i2 + i2 ′ −α ′ ) = i1 + i1 ′ ) = i1 + i1 ′ − (i2 + i2 ′ − i2 而 δ = (i1 − i 2 ) + (i1
【2.2】把一片玻璃板放在装满水的玻璃杯上，光线应以什么样的角度射到玻璃板上才能够 在玻璃板和水的分界面上发生全反射？玻璃的折射率为 1.5，水的折射率为 1.33 能接收到这束全反射光吗？ 解：发生全反射时，光线从玻璃向水的入射角应满足
n g sin iC = n w 。
此时若从空气到玻璃板入射，入射角 i 应满足 sin i = n g sin iC ，即 sin i = n w 。 由于 n w = 1.33 > 1 ，所以上述情况不可能发生。 【2.3】红光和紫光对同种玻璃的折射率分别是 1.51 和 1.53。当这些光线射到玻璃和空气的 分界面上时，全反射的最小角度是多少？当白光以 41o 的角入射到玻璃和空气的界面上时， 将会有什么现象发生？ 解：由于 n sin i = 1 ，所以
【2.8】附图是一种求折射线方向的追迹作图法。例如为了求光线通过棱镜的路径， （如图 b 所示） ，可如图 a 以 O 为中心做二圆弧，其半径正比于折射率 n, n ′ 。作 OR 平行于入射线 DE， 作 RP 平行于棱镜第一界面的法线 N1N1， 则 OP 的方向即为第一次折射后光线的方向。 再作 QP 平行于第二界面的法线 N2N2 ，则 OQ 的方向即为出射线 FG 的方向，从而
i0 =
π
2
，故有 sin i ′ = n g − n ，即 n =
2 2 2
2 − sin 2 i ′ 。 ng
测量时，要求 n > n g 。 【2.11】光从塑料棒的一端射入，若要保证射入的光总是在棒内全反射传播，其折射率至少 是多大？
解： sin θ1 = n cos θ 2 ， sin
2
Байду номын сангаас
θ1 = n 2 − n 2 sin 2 θ 2 要发生全反射， n sin θ 2 > sin θ C = 1 / n ，
6
解： （1）由反射定律及球面的对称性， sin i1 = n sin i ′ = n sin α ， sin α = sin i1 / n ，由于
sin α ≤ 1 / n ，只有入射光对准球心入射时，才能发生全反射。
而 2α （2）δ = π − 2 β = π − 2[α − (i1 − i ′)] = π − 2( 2α − i1 ) ，2(2α − i1 ) 取极大值即可。 等于圆心角 θ ， 2α − i1 等于入射光线与水平直径间的夹角，对准球心入射时为极大值。即 入射角 i1 = 0 。 【2.14】水槽中盛水，深 20cm，底部有一光源，水面上放一不透光纸片。要使从水面上任 何角度都看不到光源，纸片的形状和面积应怎样？ 解：纸片应该是圆形的。 tgθ = r / h ，而 sin θ ≥ 1 / n ， 所以 sin
2 − sin 2 i ′ 。 ng
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′ ，而 n sin i0 = n g sin i0 ′。 证：由于液体的折射率 n > n g ，则有 sin i ′ = n g sin i = n g cos i0
2 2 2 ′ = ng ′ ) = ng sin 2 i ′ = n g cos 2 i0 (1 − sin 2 i0 − n 2 sin 2 i0 ，由于是掠入射，在明暗区的边界，
2
θ=
tg 2θ r2 = ≥ n − 2 ， r ≥ nh / 1 − n 2 1 + tg 2θ h 2 + r 2
【2.15】一玻璃杯，底部为凸球面，球面下嵌一画，空杯看去，与普通酒杯无异；注入酒后， 则底部呈现美丽画面，请解释。 解：空杯成实像，注入酒后，相当于有一平凹透镜，画面经折射后成一放大虚像。 【2.16】一球面反射镜将平行光会聚在 x0=20cm 处；将水（折射率约为 4/3）注满球面，光 通过一张白纸片上的针孔射向反射镜，如图，距离 x 为多大时在纸片上成清晰的像？
则 θ1 = ( m − 1)θ m + α = ( n − 1)θ n + α = nα 。 【2.5】证明：当一条光线通过平板玻璃时，出射光线方向不变，只产生侧向平移。当入射 角 i1 很小时，位移 ∆x =
n −1 i1t 。其中，n 为玻璃的折射率，t 为玻璃板的厚度。 n
证：如图，由于上下两面平行，且两侧折射率相等，所以在下表面的入射角等于上表面的折 射角，下表面的折射角等于上表面的入射角。出射光线保持平行。
V = arcsin iC
1 1 1 1 R = arcsin = 40.81 ， iC = arcsin = arcsin = 41.47 。 1.53 1.51 nV nR
1
以 41o 角入射，则紫光全反射；而红光大部分透射，仅有少部分发生反射。 【2.4】如图，以光线射入镜面间并反射 n 次，最后沿入射时的光路返回，试写出 θ i 与 α 间 的关系表达式。 解：
′ ′ ′ ′ cos 2 i2 cos 2 i2 n cos i2 cos i1 cos i2 cos i1 cos i2 cos i2 ， = = =− = −1 ， (−1) = ′ ′ ′ ′ n cos i2 cos i1 cos i1 cos i2 cos i1 cos i1 cos 2 i1 cos 2 i1
i 1 − ( 1 )2 cos i1 sin i1 ti 2 ] ≈ ti1 (n − 1) ，即 ∆x = n − 1 i t 则 t (sin i1 − ) ≈ 1 [n − 1 i2 2 n n n n cos i2 1− ( ) 2
【2.6】如图，一条光线通过一顶角为 α 的棱镜。 （1）证明出射光线相对于入射光线的偏向