14.2.2 完全平方公式 教案
人教版数学八年级上册《14.2.2 完全平方公式》教案
14.2.2 完全平方公式教学目标1.完全平方公式的推导及其应用.2.了解公式的几何意义.3.熟练运用公式进行计算.教学重点难点重点：完全平方公式的推导过程、结构特征、几何意义及灵活应用.难点：理解完全平方公式的结构特征，并能灵活应用公式进行计算.课前准备多媒体课件教学过程导入新课导入一：高菲同学做作业时,把一滴墨水滴在一道数学题上,题目变成了■x+1,看不清x前面的数字是什么,只知道这个二次三项式能写成一个整式的平方,急得她抓耳挠腮,你能帮助她吗?学习了完全平方公式之后,问题将迎刃而解.导入二：有一位老人非常喜欢孩子,每当有孩子到他家做客时,老人都要拿出糖果招待他们.来一个孩子,老人就给一块糖;来两个孩子,老人就给每个孩子两块糖;来三个,就给每人三块.(1)第一天有a个男孩去了老人家,老人一共给了这些孩子多少块糖?(2)第二天有b个女孩去了老人家,老人一共给了这些孩子多少块糖?(3)第三天共有(a+b)个孩子去了老人家,老人一共给了这些孩子多少块糖?(4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多?多多少?导入三：问题：知识回顾学生完成下列题目：(1)合并同类项法则：.ab+ba=(1+1)ab=2ab；2xy-5xy+xy=(2-5+1)xy.(2)多项式与多项式相乘的法则：.(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.(3)根据乘方的定义，我们知道：=a·a，那么应该写成什么样的形式呢？= .探究新知问题1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？=(p+1)(p+1)= ；= ；=(p-1)(p-1)= ；= .师生活动教师用多媒体展示题目，学生完成计算，然后观察计算结果都有哪些规律，再以小组为单位进行交流，说出有什么发现.追问1：你还能计算，吗？学生计算，老师进行巡视了解各位学生的计算情况，并做适当引导，学生交流后归纳出完全平方公式如下：，.追问2：你能用语言叙述完全平方公式吗？师生活动学生思考、交流后回答，最后归纳得出：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.追问3：观察公式的左、右两边，公式的结构有何特征？师生活动学生观察后，进行讨论、交流总结得出：①公式左边是两项(数)的和(或差)的平方.②公式的右边有三项，两个平方项，且符号相同，一个两项乘积的两倍或其相反数.(首平方，尾平方，乘积的两倍放中央，中间符号同前方)问题2：你能根据图1和图2中图形的面积说明完全平方公式吗？图1图2(1)如图1所示，可以看出大正方形的边长是，面积是；还可以看出大正方形是由个小正方形和个长方形组成的.所以大正方形的面积与这四个图形面积之和.阴影部分的正方形边长是，面积是；另一个小正方形的边长是，它的面积是;另外两个长方形的长都是，宽都是，所以每个长方形的面积都是.于是就可以得出：，这正好符合完全平方公式.(2)如图2所示，大正方形的边长是，它的面积是；长方形DCGE与长方形BCHF是全等图形，长都是，宽都是，所以它们的面积都是；正方形HCGM的边长是，它的面积是；正方形AFME的边长是，它的面积是.从图中可以看出正方形AFME的面积等于正方形ABCD的面积减去两个长方形DCGE和BCHF的面积，再加上正方形HCGM的面积，也就是：，这正好符合完全平方公式.教师提出问题，学生先独立思考，然后小组交流，学生代表展示求解过程.若学生感到有困难，教师可以引导学生回答分解的问题.新知应用例1 运用完全平方公式计算：；(2)；；.师生活动师生共同分析解答，教师板书(1)，学生板书(2)(3)(4).在解答(1)的过程中，教师引导学生明确本题中的哪一个数或式子相当于公式中的a，b，然后依照公式展开，再化简得出结果；在解答(2)(3)(4)的过程中，同样注意上述问题，并关注学生是否有其他解法.解：+2·(4m)·；(2)-2·y·+-y+；-2·(-a)·；.问题4：通过对(3)(4)两个小题的计算，你发现与相等吗？与相等吗？师生活动教师提出问题，学生思考后回答：都相等.教师追问：与相等吗？师生活动教师出示问题，学生通过计算、思考、讨论后回答，根据回答情况，教师做具体的解析：将作差，得-2ab.若两式相等，则有-2ab=0，=ab.因此，只有在a=b或b=0的情况下，两式才相等.例2 运用完全平方公式计算：；.师生活动师生共同分析，得出：本例中的102接近100，99接近100，故可化成两个数的和或差，从而运用完全平方公式计算，即；.解：==10 000+400+4=10 404；(2)==10 000-200+1=9 801.课堂练习(见导学案“当堂达标”)参考答案1.(1)×(2)√(3)×(4)×2.D-12y+36 -16y+16(3)249 001 (4)40 4014.解：(1)原式＝-2xy).(2)原式+2x+1=2x+10.把x=2代入,得2x+10=2×2+10=14.5.解：∵a+b=5,∴,∴=25,∴=25,∴=25-12,∴=13.6.课堂小结教师和学生一起回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题：(1)本节课学了哪些内容？(2)完全平方公式是怎么探究并推导出来的？在运用时要注意什么？布置作业教材第112页习题14.2第2题.板书设计14.2.2 完全平方公式(第1课时)完全平方公式：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，即，.教学反思1.完全平方公式的推导可类比平方差公式的推导方法：①多项式乘多项式；②几何意义.可先充分发挥学生自主学习、探究的能力,再借助学生与学生之间的合作交流学习来完成学习任务.2.教学过程中,教师要渗透数学思想方法,如数形结合思想、化归思想等.3.在教学过程中,有意识地安排公式的推导过程与的相统一,但又把它与同等对待.最后练习中,对于两者的联系与区别再加以说明,让学生领会到数学中的辩证统一思想.。
14.2.2 完全平方公式 教学设计
14.2.2 完全平方公式教学设计一、教学目标：1.理解并掌握完全平方公式的运算法则.2.从广泛意义上理解公式中的字母含义，会运用完全平方公式进行计算.二、教学重、难点：1.理解并掌握完全平方公式的运算法则.2.从广泛意义上理解公式中的字母含义，会运用完全平方公式进行计算.三、教学过程：一、创设情境，导入新知明明订购了一个6寸的大披萨，不久店员打电话告知6寸的披萨卖完了，问能否换购一个4寸和一个2寸的小披萨(披萨近似看作圆). 你认为明明应该同意吗?你发现了什么？教师引导学生发现 (2 + 1)2≠ 22 + 12，并引出后续探究.二、小组合作，探究概念和性质知识点一：完全平方公式探究 1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？(1) ( p + 1 )2 =(2) ( m + 2 )2 =(3) (p－1)2 = (p－1)(p－1) = .(4) (m－2)2 = (m－2)(m－2) = .定义总结：完全平方公式：(a + b)2 = a2 + 2ab + b2(a–b)2 = a2– 2ab + b2文字说明：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式.猜想验证：你能几何的形式证明公式成立吗?问题1：你有几种方法求边长为 (a + b) 的正方形的面积？问题2：你有几种方法求边长为 (a−b) 的正方形的面积？想一想：问题：观察这两个公式，回答下列问题.师生活动：学生观察公式并填写表格（如下）典例精析例1 运用完全平方公式计算：(1) (4m + n)2；(2) .例2.运用完全平方公式计算：(1)1022； (2)992.=10404 =9801方法总结：运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式。
例3.已知x-y＝6，xy＝-8.求:(1)x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值.=20 =4方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的变式：x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x+y)2－2xy,(x－y)2＝(x+y)2－4xy.三、课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？【设计意图】培养学生概括的能力。
人教版数学八年级上册 14.2.2完全平方公式 教案
人教版数学八年级上册14.2.2完全平方公式教案第十四章整式的乘法和因式分解14.2 乘法公式第二课时14.2.2完全平方公式1 教学目标1.1 知识与技能：[1]熟练掌握完全平方公式的结构特征，并能灵活运用完全平方公式进行相关计算。
[2]掌握完全平方公式的相关推论。
1.2过程与方法：[1]经历探索完全平方公式的过程，并会根据多项式的乘法法则推导完全平方公式。
[2]会结合几何图形直观解释这一公式，渗透数形结合的思想。
1.3 情感态度与价值观：[1]在数学运算中培养学生细致严谨的精神素养。
[2]培养学生灵活运用知识、勇于探求科学规律的意识。
2 教学重点/难点/易考点2.1 教学重点[1]完全平方公式的结构及灵活运用。
2.2 教学难点[1]理解公式中字母的广泛含义（可以是数字、单项式、多项式）。
[2]a，b，a+b，ab，a−b，a2+b2，六者的关系。
3 专家建议大家看投影。
学校为了美化环境，决定把原来的一块边长为a米的正方形花坛扩大。
扩建完的花坛仍为正方形，边长增加b米。
那新修建的花坛面积可以怎么表示呢？给大家两分钟时间想一想，学习小组之间可以交流和思考一下。
【生】（两分钟思考交流，给出答案）。
整个正方形的边长为(a+b)，因此面积可以表示为(a+b)2。
将整个正方形分为四部分，面积可以表示为a2+2ab+b2。
【师】大家从刚才这个例子中能得到什么样的猜想呢？【生】(a+b)2=a2+2ab+b。
[1]探索和介绍：完全平方公式【师】大家刚才提出了一个猜想，那下面请看投影上给出的多项式的乘法，大家按照多项式乘以多项式的法则，把结果算出来。
(p+1)2= (p+1)(p+1) = 。
(m+2)2= 。
【生】（计算并给出答案）。
【师】现在大家观察一下这两个等式，有什么共同的特点吗？【生】左边都是两个完全相同的和相乘，右面是两个平方项的和加上一个单项式。
【师】非常好。
那这样的话，我们可以抽象出下面这个通式，它包括了刚才各位提出的式子的特点。
人教版初中数学八年级上册14.2.2完全平方公式教案
《完全平方公式》教案【教学目标】1.知识与技能（1）经历完全平方公式的探索及推导过程，掌握完全平方公式的结构特征并能熟练应用。
（2）学会将多项式进行添括号的变形。
2.过程与方法通过观察、操作、交流等活动发展空间观念和推理能力。
3.情感态度和价值观通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识，在独立思考的同时能够认同他人。
【教学重点】完全平方公式及其它的应用。
【教学难点】完全平方公式的应用。
【教学方法】引导发现，启发讨论相结合的教学方法【课前准备】教学课件。
【课时安排】1课时【教学过程】一、复习导入【过渡】上节课我们学习了平方差公式，大家能快速说出什么是平方差公式吗？(a+b)(a-b)=a2-b2【过渡】接着，我们来进行几道简单的计算，复习一下这个公式吧。
（1）(3+2a)(-3+2a)（2）(b2+2a3)(2a3-b2)（3）(-4a-1)(4a-1)【过渡】大家计算的都很快而且准确，看来大家已经掌握了平方差公式。
今天，我们就接着学习另一个公式——完全平方公式。
二、新课教学1．完全平方公式【过渡】首先，我们来看一下课本的探究内容。
你能正确计算这几个式子吗？课件展示探究内容，引导学生思考。
【过渡】从这几个式子中，如果我们分别换成a和b，又能得到什么样的结果呢？探究：计算: (a+b)2, (a- b)2解：(a+b)2= (a+b) (a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-b)2= (a-b) (a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2【过渡】由此，我们就可以得到我们需要的完全平方公式：(a+b)2= a2 +2ab+b2(a-b)2= a2 - 2ab+b2文字叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
【过渡】现在，老师想问大家一个问题，从这两个公式，你能总结出都有哪些特点吗？（1）积为二次三项式；（2）其中两项为两数的平方和；（3）另一项是两数积的2倍，且与左边乘式中间的符号相同。
人教版八年级上册数学 14.2.2 完全平方公式 优秀教案
14．2.2完全平方公式1．会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算．(重点)2．灵活运用完全平方公式进行计算．(难点)一、情境导入1．教师引导学生复习平方差公式．学生积极举手回答．平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.2．教师肯定学生的表现，并讲解：这节课我们学习另一种特殊形式的多项式与多项式相乘——完全平方公式．二、合作探究探究点一：完全平方公式【类型一】直接运用完全平方公式进行计算利用完全平方公式计算：(1)(5－a)2；(2)(－3m－4n)2；(3)(－3a＋b)2.解析：直接运用完全平方公式进行计算即可．解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.方法总结：完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.可巧记为“首平方，末平方，首末两倍中间放”．【类型二】构造完全平方式如果36x＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值．解析：先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定m的值．解：∵36x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(6x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，∴(m＋1)xy＝±2·6x·5y，∴m＋1＝±60，∴m＝59或－61.方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．【类型三】运用完全平方公式进行简便运算利用乘法公式计算：(1)982－101×99；(2)20162－2016×4030＋20152.解析：原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式计算即可得到结果．解：(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)＝1002－400＋4－1002＋1＝－395；(2)原式＝20162－2×2016×2015＋20152＝(2016－2015)2＝1.方法总结：运用完全平方公式进行简便运算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式．【类型四】灵活运用完全平方公式求代数式的值已知x－y＝6，xy＝－8.(1)求x2＋y2的值；(2)求代数式12(x＋y＋z)2＋12(x－y－z)(x－y＋z)－z(x＋y)的值．解析：(1)由(x－y)2＝x2＋y2－2xy，可得x2＋y2＝(x－y)2＋2xy，将x－y＝6，xy＝－8代入即可求得x2＋y2的值；(2)首先化简12(x＋y＋z)2＋12(x－y－z)(x－y＋z)－z(x＋y)＝x2＋y2，由(1)即可求得答案．解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8，∴(x－y)2＝x2＋y2－2xy，∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝36－16＝20；(2)∵12(x＋y＋z)2＋12(x－y－z)(x－y＋z)－z(x＋y)＝12(x2＋y2＋z2＋2xy＋2xz＋2yz)＋12[(x－y)2－z2]－xz－yz＝12x2＋12y 2＋12z 2＋xy ＋xz ＋yz ＋12x 2＋12y 2－xy －12z 2－xz －yz ＝x 2＋y 2，又∵x 2＋y 2＝20，∴原式＝20.方法总结：通过本题要熟练掌握完全平方公式的变式：(x －y )2＝x 2＋y 2－2xy ，x 2＋y 2＝(x －y )2＋2xy .【类型五】完全平方公式的几何背景我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab .那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是( )A ．a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )B ．(a －b )(a ＋2b )＝a 2＋ab －2b 2C ．(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2D ．(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2解析：空白部分的面积为(a －b )2，还可以表示为a 2－2ab ＋b 2，所以，此等式是(a－b )2＝a 2－2ab ＋b 2.故选C.方法总结：通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．探究点二：添括号后运用完全平方公式计算：(1)(a －b ＋c )2； (2)(1－2x ＋y )(1＋2x －y )． 解析：利用整体思想将三项式转化为二项式，再利用完全平方公式或平方差公式求解，并注意添括号的符号法则．解：(1)原式＝[(a －b )＋c ]2＝(a －b )2＋c 2＋2(a －b )c ＝a 2－2ab ＋b 2＋c 2＋2ac －2bc ＝a 2＋b 2＋c 2－2ab ＋2ac －2bc ；(2)原式＝[1＋(－2x ＋y )][1－(－2x＋y )]＝12－(－2x ＋y )2＝1－4x 2＋4xy －y 2.方法总结：利用完全平方公式进行计算时，应先将式子变成(a ±b )2的形式．注意a ，b 可以是多项式，但应保持前后使用公式的一致性．三、板书设计完全平方公式1．探究公式：(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2； 2．完全平方公式的几何意义；3．利用完全平方公式计算．本节的探讨方式和上节类似，都是通过“做一做”和“试一试”让学生在代数和几何两方面理解完全平方公式．完全平方公式分为两数和的平方和两数差的平方两种形式，教学中可以将两个公式写作一个公式：(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2，有助于学生的记忆．在探究两数差的平方公式时，因为学生通过前面的学习已经掌握了几何的说明方法，因此可以让学生自己画图证明．。
14.2.2 完全平方公式教案
14．2.2完全平方公式一、教学目标1．完全平方公式的推导及其应用，完全平方公式的几何解释．2．利用去括号法则得到添括号法则，培养学生逆向思维能力．二、教学重难点重点：完全平方公式的推导过程、结构特征、几何解释及灵活应用．难点：理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算．教学过程一、情境引入请同学们一起来探究下列问题：一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们，来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，来三个孩子，老人就给每个孩子三块糖……(1)第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？(2)第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？(3)第三天有(a＋b)个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？解：(1)第一天老人一共给了这些孩子a2块糖．(2)第二天老人一共给了这些孩子b2块糖．(3)第三天老人一共给了这些孩子(a＋b)2块糖．二、互动新授像研究平方差公式一样，我们探究一下(a＋b)2的运算结果有什么规律．【探究】计算下列多项式的积，你能发现什么规律？(1)(p＋1)2＝(p＋1)(p＋1)＝__________；(2)(m＋2)2＝__________；(3)(p－1)2＝(p－1)(p－1)＝__________；(4)(m－2)2＝__________．学生自主探究：(1)(p＋1)2＝(p＋1)(p＋1)＝p2＋p＋p＋1＝p2＋2p＋1；(2)(m＋2)2＝(m＋2)(m＋2)＝m2＋2m＋m·2＋2×2＝m2＋4m＋4；(3)(p－1)2＝(p－1)(p－1)＝p2＋p·(－1)＋(－1)·p＋(－1)×(－1)＝p2－2p＋1；(4)(m－2)2＝(m－2)(m－2)＝m2＋m·(－2)＋(－2)·m＋(－2)×(－2)＝m2－4m＋4.可以发现：(1)结果中的2p＝2·p·1；(2)结果中4m＝2·m·2；(3)、(4)与(1)、(2)比较只有一次项有符号之差．教师总结：上面的几个运算都是形如(a±b)2的多项式相乘，由于(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2，所以，对于具有与此相同形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍．教师说明：这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式．完全平方公式是多项式乘法(a ＋b)(p ＋q)中p ＝a ，q ＝b 的特殊情形．【思考1】 你能根据教材图14.2－2和教材图14.2－3中图形的面积说明完全平方公式吗？教师引导学生自主探究．【例3】 运用完全平方公式计算：(1)(4m ＋n)2； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122. 【解】 (1)(4m ＋n)2＝(4m)2＋2·(4m)·n＋n 2＝16m 2＋8mn ＋n 2；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝y 2－2·y·12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝y 2－y ＋14. 启发：对于第(2)题，你还有其他的解法吗？学生自主探究：⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝y 2＋2·y·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝y 2－y ＋14. 【例4】 运用完全平方公式计算：(1)1022； (2)992.【解】 (1)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋22＝10000＋400＋4＝10404；(2)992＝(100－1)2＝1002－2×100×1＋12＝10000－200＋1＝9801.【思考2】 (a＋b)2与(－a－b)2相等吗？(a－b)2与(b－a)2相等吗？(a－b)2与a2－b2相等吗？为什么？师生合作探究：因为互为相反数的两个数的偶次相等，所以(a＋b)2＝(－a－b)2，(a－b)2＝(b－a)2.但(a－b)2＝a2－2ab＋b2，a2－b2＝(a＋b)(a－b)，所以(a－b)2≠a2－b2.有些整式相乘需要先作适当变形，然后再用公式．【回顾】运用乘法公式计算，有时要在式子中添括号．在第二章中，我们学过去括号法则，即a＋(b＋c)＝a＋b＋c；a－(b＋c)＝a－b－c.反过来，就得到添括号法则：a＋b＋c＝a＋(b＋c)；a－b－c＝a－(b＋c)．也就是说，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．【例5】运用乘法公式计算：(1)(x＋2y－3)(x－2y＋3)；(2)(a＋b＋c)2.【解】 (1)(x＋2y－3)(x－2y＋3)＝[x＋(2y－3)][x－(2y－3)]＝x2－(2y－3)2＝x2－(4y2－12y＋9)＝x2－4y2＋12y－9；(2)(a＋b＋c)2＝[(a＋b)＋c]2＝(a＋b)2＋2(a＋b)c＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.三、课堂小结四、板书设计五、教学反思本节课是在学习了平方差公式之后进行的，学习方法与上节课类似，但本课时中的内容多，难点也比较多，所以对课堂教学的组织要求就更高，因此在设计活动时，紧紧围绕着完全平方公式如何得到和应用这一中心问题展开，并根据活动情况不断地变换问题，以问题为核心调动学生参与活动的兴趣与积极性，在每一个教学环节都对学生提出不同的要求，指导他们自主探索与合作交流，更好地掌握模仿与记忆的学习方式．导学方案一、学法点津学生在运用完全平方公式时，要注意分清：两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍；两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍．公式的左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．二、学点归纳总结（一）知识要点总结1．完全平方公式(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2，(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2.即两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍．2．添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．（二）规律方法总结1．运用完全平方公式时应注意以下几个方面：(1)(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2都叫完全平方公式，为了区别，把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式．(2)公式的特征中，a 与b 可以是单项式也可以是多项式．2．添括号与去括号是一个互逆过程，添括号是否正确可将添括号的式子按去括号的法则去掉括号，看结果是否与原式相同来验证变形的正确性．课时作业设计一、选择题1．下列等式能成立的是( )．A ．(a －b)2＝a 2－ab ＋b 2B ．(a ＋3b)2＝a 2＋9b 2C ．(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2D ．(x ＋9)(x －9)＝x 2－92．(a ＋3b)2－(3a ＋b)2计算的结果是( )．A ．8(a －b)2B ．8(a ＋b)2C ．8b 2－8a 2D ．8a 2－8b 2二、填空题3．(a ＋b)2－(__________)＝(a －b)2.4.⎝ ⎛⎭⎪⎫100122＝__________． 三、解答题5．已知m ＋1m＝3，求： (1)m 2＋1m 2； (2)m 4＋1m 4.【参考答案】1.C2.C3. 4ab4. 10100.255.解：(1)∵m＋1m ＝3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1m 2＝9，m 2＋2＋1m 2＝9，∴m 2＋1m 2＝7. (2)∵m 2＋1m 2＝7，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1m 22＝49，m 4＋2＋1m 4＝49，∴m 4＋1m 4＝47.。
14.2.2《完全平方公式》教案
《完全平方公式》一、教材分析说课内容：《整式的乘除与因式分解》的《完全平方公式》。
教材的地位和作用：完全平方公式是初中数学中的重要公式，在整个中学数学中有着广泛的应用，重要的数学方法“配方法”的基础也是依据完全平方公式的。
而且它在整式乘法，因式分解，分式运算及其它代数式的变形中起作十分重要的作用。
本节内容共安排两个课时，这次说课是其中第一个课时。
完全平方公式这一教学内容是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的拓展，教材从具体到抽象，由直观图形引导学生观察、实验、猜测、进而论证，最后建立数学模型，逐步培养学生的逻辑推理能力和建模思想。
教学目标和要求：由课标要求以及学生的情况我将三维目标定义为以下三点：知识与技能目标：了解公式的几何背景，理解并掌握公式的结构特征，能利用公式进行计算。
过程与方法目标：在学习的过程中使学生体会数、形结合的优势，进一步发展符号感和推理能力，培养学生数学建模的思想。
情感与态度目标：体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验与喜悦，树立自信心。
教学的重点与难点：根据对学生学习过程分析及课标要求我把重点定为：完全平方公式的结构特点及公式的直接运用。
而难点应为完全平方公式的应用以及对公式中字母a、b的广泛含义的理解与正确应用。
在教学过程中多处留有空白点以供学生独立研究思考。
二、教法与学法（1）多媒体辅助教学，将知识形象化、生动化，激发学生的兴趣。
（2）教学中逐步设置疑问，引导学生动手、动脑、动口，积极参与知识全过程。
（3）由易到难安排例题、练习，符合八年级学生的认知结构特点。
（4）课堂中，对学生激励为主，表扬为辅，树立其学习的自信心。
三、教学过程教师活动学生活动设计意图一、创设情景，推导公式计算103971、想一想（电脑演示）一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种，（如图所示）（要求学生从不同的角度表示图形的面积）观察动画，学生抢答：⑴、四块实验田的面积分别为：、、、；⑵、两种形式表示实验田的总面积：复习旧知，并以问题引入。
人教版八年级上册数学教案：14.2.2完全平方公式
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）完全平方公式的推导：使学生理解并掌握a²±2ab+b²=（a±b）²的推导过程，这是本节课的核心内容，是后续运用的基础。
举例：通过具体的数值代入，如（3±1）²，引导学生观察、分析并总结出完全平方公式的结构特征。
2.教学难点
（1）完全平方公式的推导过程：对于部分学生来说，理解a²±2ab+b²=（a±b）²的推导过程可能存在困难，需要通过具体的实例和引导来帮助学生理解。
突破方法：利用几何图形（如正方形）的面积变化，形象地展示完全平方公式的推导过程。
（2）符号的运用：在运用完全平方公式时，学生容易混淆±符号的运用，导致运算错误。
关于学生小组讨论环节，我觉得这是一个很好的让学生主动参与、积极思考的机会。通过讨论，学生们不仅巩固了所学的知识，还学会了如何将理论应用于实际。但在讨论过程中，我也发现有些学生较为内向，不太愿意发表自己的观点。为了解决这个问题，我计划在今后的教学中多给予这些学生鼓励和支持，帮助他们树立自信心。
最后，总结回顾环节，我觉得学生对完全平方公式的掌握程度还有待提高。在今后的教学中，我会加强对学生的个别辅导，关注他们的学习困难，确保每个学生都能熟练掌握完全平方公式。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“完全平方公式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
《14.2.2 完全平方公式》教案2.doc
《14.2.2 完全平方公式》教案学习目标1、了解完全平方公式几何背景.会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算.2、经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力.学习重点会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算.学习过程一、创设情境，导入新课请计算1、(a+b)(a+b)=2、(a-b)(a-b)=二、学案引领，自学新知1、阅读教材内容，思考并总结本节课学习的主要内容，写出来.2、阅读课本, 了解完全平方公式几何背景.会推导完全平方公式.思考：完全平方公式有几种推导的方法？把它们写在下面.(a)写出完全平方公式字母表达式：(b)写出完全平方公式文字表达式：(c)分析公式左右两边的特点：左边：右边：(d)概括成口诀3、阅读课本，完成下列问题.(1)分别指出例题1两式中的a，b.(2)总结使用完全平方公式进行计算应分几步？跟踪练习：(1)(2x+1)2 (2)(-x+2y)2三、合作探究，交流展示根据自己练习的情况，思考交流使用完全平方公式时应注意什么问题？探究一：乘法公式的应用例1、计算：(1)(x-2y)(x+2y)-(x+2y) 2+8y2(2)4(x-1)(x+1)-(2x+3) 2例2、计算：(1)(a+2b+c) 2(2)(a+2b+3c)(a+2b-3c)(3)先化简，再求值：(x+y) 2-4xy,其中x=12,y=9.例3：计算：152= ，252= ，352= ，452= .你发现个位数字是5的两位数的平方的末尾两位数有什么规律？你能记住他们的值吗？探究二：完全平方公式的变形由完全平方公式(a+b)2= a2+2ab+b2和(a-b)2= a2-2ab+b2可知a2+b2=(a+b)2－_________________________a2+b2=(a-b)2+____________________(a+b)2=(a-b)2+________________(a-b)2=(a+b)2-________________(a+b)2－(a-b)2=_______________要牢记以上公式，熟练应用例1：已知a+b=9，ab=20，求a2+b2的值.例2：已知(a+b)2=6，(a-b)2=8，求a2+b2和ab的值例3：已知4x2－mxy+9y2是一个完全平方式，求m的值.四、精讲点拨书上例题中，是如何使用完全平方公式的？你还有其它方法吗？用自己的方法完成下列两个题目.(1)(1-2x)2 (2)9972五、系统总结本节课学习了哪些内容用你喜欢的形式总结在下面：六、达标测评1、下列运算正确的是( )A (a+b)2=a2+b2B (a-b)2 =a2-b2C (a+m)=ab+mnD (m+n)(-m+n)=-m2+n22、完成下列计算：(1)(-x-y)2 (2)(2a+5b)2(3)(3x-y)2 (4)542。
人教版八年级数学上册：14.2.2 完全平方公式 教案设计
完全平方公式【教学目标】1．知识与技能：（1）完全平方公式的推导及其应用。
（2）完全平方公式的几何解释。
2．过程与方法：（1）经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力。
（2）重视学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力。
3．情感、态度与价值观：在灵活应用公式的过程中激发学生学习数学的兴趣，培养创新能力和探索精神。
【教学重点】完全平方公式2)(b a ±= a 2±2ab+b 2的推导及应用。
【教学难点】理解完全平方公式的结构特征。
【教学准备】多媒体投影。
【教学过程】一、问题与情境。
问题：1．请你叙述平方差公式并用字母表示。
2．哪位同学能说一下平方差公式是怎样得到吗？探究：计算下列各式，你能发现什么规律？（1）(p+1)2 =（p+1）(p+1)=_______（2）(m+2)2 =__________（3）(p-1)2 = (p-1) (p-1)= __________（4）(m-2)2= ___________验证：(a+b)2 =(a-b)2 =师生行为：引导学生用语言叙述，学生补充，并指出公式的特征。
学生独立思考并回答老师关注学生的公式形式，并指出字母a. b 的意义。
学生独立完成，交流结果请学生概括自己发现的规律。
概括：完全平方公式：（a+b ）2=a 2+2ab+b 2（a-b ）2=a 2-2ab+b 2两数和（或差）的平方等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍。
特征：左边：两个数和或差的平方，是两项式右边：二次三项式，首末是这两数的平方，中间是这两项积的2倍，符号与前面相同。
讨论：你能根据下图中的面积说明完全平方公式吗？应用：例题3：用完全平方公式计算：（1）（4m+n ）2 (2) 2)21(-y 解：（1）（4m+n ）2是 与 和的平方（4m+n ）2=（ ）2+2（ ）（ ）+（ ）2（a +b ）2= a 2 +2 a ∙ b + b 2（2）2)21(-y =（ ）2－2（ ）（ ）+（ ）2（a －b ）2= a 2 －2 a ∙ b + b 2例题4 用完全平方公式计算：（1）1022 ； （2）992 。
人教版数学八年级上册14.2.2 完全平方公式教案
自主学习：(自学课本109页内容，完成下列问题)
1.计算下列多项式的积：
（p+1）2 (m+2)2
=(p+1)(p+1) =___________
=_________ =___________
=__________ =__________
（p-1）2 (m-2)2
=___________ =___________
=_________ =___________
=__________ =__________
通过计算你发现了什么规律？与同伴说说你的想法.
2.小结：完全平方公式是
(a+b)2 =_____________
(a-b)2=______________
3.在图1
4.2-2中，大正方形的边长为______,面积为_________;从分割的角度，大正方形由______部分组成，所以它的面积还可以表示为__________，于是我们可以得到一个等式___________.
在图14.2-3中，左下角正方形的边长为______,面积为_________;左下角正方形的面积还可以表示为______________，于是我们可以得到一个等式__________________.
4.文字语言表述完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍。
用字母表示完全平方公式：
结构特征:(首±尾)² = 首²± 2×首×尾 +尾²
口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方。
引导学生认真分析体会计算过程，并让学生了解公式的几何意义。
14.2.2完全平方公式 教案
(4)(α-b)(a-b)=
活动一：
2.西湖湿地公园对一块边长为a米的正方形花圃进行重新规划，以备来年种植新的花卉。
(1)若将其边长增加b米，则规划后花圃的面积为
平方米。
(2)若将其边长减少b米，则规划后花圃的面积为
平方米。
要求：
①请用手中的卡片拼出或剪出规划后的花圃；
三、完全平方公式
(1)(4m~n)2(2)(n-4m)2
(3)(3x+∣.y)2(4)(—3Ty)2
(5)1022;(6)(99—)2
5
五、小结：
学生总结，教师补充。
六、布置作业：
思考：计算：（a+b+c）2
教学
反思
教学设计
课题
14.2.2Βιβλιοθήκη 全平方公式(1)学校教法
探究式
执教者
教学目标
(一)教学知识点
1.完全平方公式的推导及其应用.
2.完全平方公式的几何解释.
(二)能力训练要求
1.经历探索完全平方公式的过程,进一步发展符号感和推理能力.
2.进一步向学生渗透从特殊到一般、类比、转化、数形结合等思想，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力.
(三)情感与价值观要求
在探索完全平方公式和灵活应用完全平方公式的过程中激发学生学习数学的兴趣，培养创新能力和探索精神.
重点
完全平方公式的结构特点、几何解释。
难点
理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算。
教学过程
师生活动
一、复习引入
二、公式几何验证
1.计算
(1)(a+b)(m+n)=
八年级数学上册 14.2.2 完全平方公式教案 (新版)新人教版
完全平方公式教学目标：一、知识与技能1、通过对完全平方公式的探索和推导，进一步发展符号（字母）的识别运用能力和推理能力。
2、培养学生进一步地掌握、灵活运用公式的能力。
二、过程与方法1、通过实际生活背景（实验田面积计算），运用多项式乘法法则，推导出公式(a+b) =a+2ab+b2、关于公式(a-b) =a-2ab+b的获得，既可照（a+b）的公式推导方法，但利用(a-b)=[a+(-b)]更能体现公式使用条件的广泛性和“代数”的意义。
三、情感与态度对公式的推导及理解，培养学生思维严密的习惯。
来源于生活实际的数学问题，是用以培养学生热爱数学并用运用数学的好习惯。
对公式结构的分析和认识，使学生有条理的思考和语言表达能力。
教学重难点：重点对公式(a±b) =a±2ab+b的理解难点：完全平方公式的运用课前准备：投影仪、幻灯片教学设计：中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
一、教材分析：本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。
书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。
早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。
1、教学目标：使学生了解书法的发展史概况和特点及书法的总体情况，通过分析代表作品，获得如何欣赏书法作品的知识，并能作简单的书法练习。
2、教学重点与难点：（一）教学重点了解中国书法的基础知识，掌握其基本特点，进行大量的书法练习。
（二）教学难点：如何感受、认识书法作品中的线条美、结构美、气韵美。
3、教具准备：粉笔，钢笔，书写纸等。
4、课时：一课时二、教学方法：要让学生在教学过程中有所收获，并达到一定的教学目标，在本节课的教学中，我将采用欣赏法、讲授法、练习法来设计本节课。
人教版-数学-八年级上册-《14.2.2 完全平方公式》精品教案
完全平方公式一、教学目标用完全平方公式分解因式。
二、过程与方法1、理解完全平方公式的特点。
2、能较熟悉地运用完全平方公式分解因式。
3、会用提公因式、完全平方公式分解因式，并能说出提公因式在这类因式分解中的作用。
4、能灵活应用提公因式、公式法分解因式。
三、情感、态度与价值观通过综合运用提公因式、完全平方公式分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力，通过知识结构图培养学生归纳总结的能力。
四、重点、难点重点：用完全平方公式分解因式难点：灵活应用公式分解因式五、教学过程(1)2222)3(33296+=+••+=++x x x x x(2) 2222)52()5()5()2(2)2(25204-=+••-=+-x x x a a 练习：把下列各式因式分解：（1）122++x x ； （2）1442++a a（3）2961y y +- （4）412m m ++例2：把2244y xy x -+-因式分解解：)44(442222y xy x y xy x +--=-+-（平方项前面是负数时，先把负号提到括号外面）=])2(22[22y y x x +••-- =2)2(y x -- 练习：分解因式（1）222y x xy --- ；（2）x x 12942+--；（3）2244y xy x ---； 例3：分解因式（1）22363ay axy ax ++ （2）36)(12)(2++-+b a b a解：（1）)2(33632222y xy x a ay axy ax ++=++（有公因式时，应先提出公因式，再进一步分解）2)(3y x a +=学生独立思考解决问题。
教师引导，组织练习，巡回辅导，重点问题进行强化、点拨方法、总结规律，共养学生分析问题解决问题的能力。
部编人教版八年级数学上册 14.2.2 完全平方公式 教案
14.2.2 完全平方公式1教学目标1．知识与技能会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的运算，形成推理能力． 2．过程与方法利用多项式与多项式的乘法以及幂的意义，推导出完全平方公式．掌握完全平方公式的计算方法．3．情感、态度与价值观培养学生观察、类比、发现的能力，体验数学活动充满着探索性和创造性．重点：完全平方公式的推导和应用．难点：完全平方公式的应用．教具准备制作边长为a和b的正方形以及长为a宽为b的纸板．教学方法采用“情境──探究”教学方法，让学生在所创设的情境中领会完全平方公式的内涵．教学过程导入：【激趣辅垫】寓言故事：请一位学生讲一讲《滥竽充数》的寓言故事．【学生活动】由一位学生上讲台讲《滥竽充数》的寓言故事，其他学生补充．【教师活动】提出：你们从故事中学到了什么道理？（寓德于教）【学生发言】比喻没有真才实学的人，混在行家里充数，或以次货充好货．【教师引导】对！所以我们在以后的学习和工作中，千万别滥竽充数，一定要有真才实学．好．今天同学们喊得很响亮，我要看看有没有南郭先生，请同学们完成下面的几道题：（1）（2x－3）2；（2）（x+y）2；（3）（m+2n）2；（4）（2x－4）2新授: 先独立完成以上练习，再争取上讲台演练，（1）（2x－3）2=4x2－12x+9；（2）（x+y）2=x2+2xy+y2；（3）（m+2n）2=m2+4mn+4n2；（4）（2x－4）2=4x2－16x+16．【教师活动】组织学生通过上面的运算结果中的每一项，观察、猜测它们的共同特点．【学生活动】分四人小组，讨论．观察，探讨，发现规律如下：（1）•右边第一项是左边第一项的平方，右边最后一项是左边第二项的平方，中间一项是它们两个乘积的2倍．（2）左边如果为“+”号，右边全是“+”号，左边如果为“－”号，它们两个乘积的2•倍就为“－”号，其余都为“＋”号．探究:那我们就利用简单的（a+b）2与（a－b）2进行验证，请同学们利用多项式乘法以及幂的意义进行计算．【学生活动】计算出（a+b）2=a2+2ab+b2；（a－b）2=a2－2ab+b2，完成后，•一位学生上讲台板演．【教师活动】利用学生的板演内容，引出本节课的教学内容──完全平方公式．归纳：完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2；（a－b）2=a2－2ab+b2．语言叙述：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．为了让学生直观理解公式，可做下面的拼图游戏．【拼图游戏】解释：（1）现有图1所示的三种规格的硬纸片各若干张，•请你根据二次三项式a2+2ab+b2，选取相应种类和数量的硬纸片，拼出一个正方形，• 并探究所拼出的正方形的代数意义．（2）你能根据图2，谈一谈（a－b）2=a2－2ab+b2吗？【课堂活动】第（1）题由小组合作，在互动中完成拼图游戏，比一比，哪个四人小组快？第（2）题，可以借助多媒体课件，直观地演示面积的变化，帮助学生联想到（a－b）2=a2－b2－2b（a－b）=a2－2ab+b2．巩固:【例1】运用完全平方公式计算：（1）（－x －y ）2； （2）（2y －13）2 （1）解法一：（－x －y ）2=[（－x ）+（－y ）] 2=（－x ）2+2（－x ）（－y ）+（－y ）2=x 2+2xy+y 2；解法二：（－x －y ）2=[－（x+y ）] 2=（x+y ）2=x 2+2xy+y 2．（2）解法一：（2y －13）2=（2y ）2－2·2y ·13+（13）2 =4y 2－43y+19． 解法二：（2y －13）2=[2y+（－13）] 2 =（2y ）2+2·2y ·（－13）+（－13）2 =4y 2－43y+19． 【例2】运用乘法公式计算99992．解：99992=（104－1）2=108－2×104+1=100000000－20000+1=99980001．扩展延伸：【基础训练】（1）（3a －2b ）2； （2）（2xy+3）2； （3）（－ab+13）2； （4）（7ab+2）2． 【拓展训练】（1）（－2x －3）2； （2）（2x+3）2；（3）（2x －3）2； （4）（3－2x ）2．【教师活动】在学生完成“拓展训练”之后，让学生观察一下结果， 看看有什么规律．【学生活动】分四人小组合作交流，寻找规律如下：把以上所有的题目都看作两个数的和的完全平方（把减去一个数看作加上一个负数），如果两个数是相同的符号，则结果中的每一项都是正的，如果两个数具有不同的符号，•则它们乘积的2倍这一项就是负的．【探研时空】已知：x+y=－2，xy=3，求x 2+y 2．小 结：本节课学习了（a±b）2=a2±2ab+b2，两个乘法公式，在应用时，（1）•要了解公式的结构和特征．让住每一个公式左右两边的形式特征，记准指数和系数的符号；（2）掌握公式的几何意义；（3）弄清公式的变化形式；（4）注意公式在应用中的条件；（5）应灵活地应用公式来解题．课堂作业：课本P112习题14．2第3、4、8、9题．教学反思重视公式的几何背景，较直观地让学生理解代数中的某些问题．•利用拼图游戏，能调动学生的积极性，•让学生关注几何与代数之间的内在联系，增强记忆．。
(完整word版)14.2.2完全平方公式教学设计
依据.
快速列出算式.
a
（a m）(a m) (a 公式
1.利用多项式的乘法法则
计算下列各式,你能发现什么规律？
得出结果。观察等式左右
（1）（p+1)2 = （p+1) （p+1） = ______ 两边的每一项的关系总结
（2)(m+2)2= _________；
a n表（）个（）相乘。
同理：(a
b)2
表示 ： 乘。
个
相
（a b）2 （a b）(a b)
学生活动
效果期待
（一）：回顾涉及本节课 有关的知识。并利用已学 知识探究新知。 1。学生能快速说出法则的 内容 2。根据乘方意义可以填 空. 3。利用多项式的乘法法则 求出结果。
（一）快速想起 多项式乘法法 则和乘方的意 义。 能准确适用法 则.
（二）结合引课内容，体 结合的数学思 会数形结合的思想，通过 想。 面积的计算进一步体会完 全平方公式的内容。
(1（ ) y 1 ）2；(2)(4m n) 2
(3)1 0 22；(4)9 92 总结方法： 1.漏项(乘积的 2 倍） 2.符号统一 3.特殊式的简便运算 练习 1：指出下列各式中的错误,并加以改 正: （1） (2x− 3y)2＝2x2 — 2（2x)(3y) +3y2； （2） （2x+3y）2＝4x2+ 9y2 ； （3) (2x− 3y)2＝(2x)2- (2x）(3y）+ （3y)2。 注意：公式中的字母 a，b 可以表示数， 单项式和多项式，因此注意系数的平方。 设计意图：掌握公式内容，并可以利用公 式进行计算。通过判断题让学生了解易错 点。 （四）1.学生活动 3： （a+b)2 与（-a-b)2 相等吗？ （a—b)2 与（b-a）2 相等吗？ (a-b）2 与 a2-b2 相等吗？ 切记：互为相反数的平方相等 设计意图： 让学生再次体会互为相反数的平方相等， 并且学会利用所学知识判断计算中的错 误。在学习整式乘法时，学生经常出现 （3）中的等式，现在学习完全平方公式 后自己可以判断（3)不成立。 2.巩固提升. 1.若 a+b=5，ab=-6 求 a2+b2 的和. 2。如果 x2+kx+25 是完全平方式，则 k=_____。
14.2.2完全平方公式 优秀教案
继续让学生体会到完全平 方公式是乘法公式的特例 生：用代数的方法验证公式 化未学为已知，体会数学 的准确性 中的化归思想。
还有其他证明方法吗？
教
学 = a 2 + 2a(-b) + (-b)2 过 程 设 计
= a 2 - 2ab + b 2
活动三：结构分析，建构新知 4、完全平方公式： (a + b ) = a + 2ab + b
教学重点和难点 项 目 教学重点 内 容 解 决 措 施
教学难点
在教学中逐步设置疑问 ，引导学生动手、动脑、动 口，积极参与知识全过程。由易到难安排例题、练 习，符合八年级学生的认知结构特点。课堂中，对学 生激励为主，表扬为辅，树立其学习的自信心。师生 完全平方公式的应用以及对公式中字母 a、 互动、讲练结合，从而突出教学重点、突破教学难 b 的广泛含义的理解与正确应用 点． 完全平方公式的结构特点及公式的直接运 用 教学内容 师生互动 设计意图
2
在教师的引导下，学生独立 让学生体会到完全平方公 完成解题，观察并找出式子 式是乘法公式的特例，因 的规律 应用广泛，计算简捷，故 作为公式学习。
(a - b) 2 = (a - b) (a - b） = a 2 - ab - ab + b 2 = a - 2ab + b
(a-b) 2 = [a + (-b) ] 2
活动一：问题感知，情景切入
教 牌，记忆并找出相同内容的底牌，连续点出相同内容 学 是每个关卡的底牌布局，观察并回答下列问题： 过 程 设 （1） 第 a 个关卡有_______张底牌； 计 （3） 第（a+b）个关卡有__________张底牌；
（4） 第 a 个关卡的底牌数与第 b 个关卡的底牌数之 和与第（a+b）个关卡的底牌数哪个多？多多少？ （2） 第 b 个关卡有_______张底牌； 的底牌即可消失，直至底牌全部消失就算过关。下图 师：班班通展示问题，层层 利用生活情景引入，消除 设问，引导学生解决实际问 学生的陌生感，激发学生 题，并关注学生情况。 的学习兴趣，体会数学来 源于生活。 生：在教师引导下思考并解 决问题
14.2.2完全平方公式 优秀教案
2、例 2、计算： (1) 102 2 ② 992 引导、启发 汇报 2、砸金蛋 播放课件 在游戏中做练 习 让学生在愉快的氛 围中对所学知识加 以应用，培养学生 学习的主动性和积 极性。 梳理本节学习内容 自我小结 以不同层次要求不 布置作业 了解作业 同的同学，体现分 层教学 1、基础演练
教法：启发、引导 学法：自主探索、合作交流 多媒体课件 教学内容 1、复习多项式的乘法法 回忆并口答 直接由面积问题引入完 全平方公式，不仅降低 了教学难度，而且加深 了学生对完全平方公式 的几何意义的理解。 教师活动 学生活动 设计意图 课堂 总结 布置 作业 1、通过这节课的学习你学到 了什么?又有哪些困惑？ 2、布置作业 ①必做题 ②选做题 指名说
范例 解析 深化 新知
1、例 1、计算： (1)(4m+n)2 (2)(x-2y)2 (3)(-a-b)2 (4)(b-a)2 观察这两个式子的结果与完 全平方公式有什么联系？ 播放课件 引导观察 引导学生讨论 观察、讨论、 交流，得出结 论
让学生在计算中加 深对完全平方公式 的理解。
拓展 教学重点： 教学 重点 难点 教法 学法 教具 教学 过程 创设 情景 导入 新知 则。 2、想一想: 一块边长为 a 米的正方形 实验田，因需要将其边长 增加 b 米，形成四块实验 田，以种植不同的新品 种，用不同的形式表示实 验田的总面积，并进行比 引导 操作 探究 新知 较，你发现了什么？ 1、用多项式乘法的法则证 明(a+b)2=a2+2ab+b2 是否成 立? 2、类推差的完全平方公 式。 3、用几何图形诠释完全平 播放课件 观察 数形结合，直观形象 引导学生类推 推导出完全平方 公式 引导学生证明 引导学生观察，比较 得出结论 问题 1 的设计既可以引 导学生用整式乘法的运 算推导出完全平方公 式，又能培养学生的逻 辑推理能力。 板书 播放课件 学生观察，比较 完全平方公式的发现、推导及应用。 教学难点： ① 对公式中字母 a、b 的广泛含义的理解。 ② 正确、灵活地选用模型。 延伸 形成 能力
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14.2.2完全平方公式
教学目标:完全平方公式的推导及其应用．完全平方公式的几何解释．学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力．
教学重点:完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释、灵活运用。
教学过程：
第一课时：完全平方公式
（一）提出问题，学生自学
1．问题：根据乘方的定义，我们知道：a2=a·a，那么（a+b）2应该写成什么样的形式呢？
（a+b）2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？
（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______；（m+2）2=_______；
（2）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________；（m-2）2=_______；
2．学生探究
3．得到结果：（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2+2p+1
（m+2）2=（m+2）（m+2）= m2+4m+4
（2）（p-1）2=（p-1）（p-1）= p2-2p+1
（m-2）2=（m-2）（m-2=m2-4m+4
4．分析推广：结果中有两个数的平方和，而2p=2·p·1，4m=2·m·2，恰好是两个数乘积的二倍．（1）（2）之间只差一个符号．
推广：计算（a+b）2=_____ ___ （a-b）2=_____ ___
（二）得到公式，分析公式
1．结论：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 即：
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．
2.几何分析：
图（1），可以看出大正方形的边长是a+b，它是由两个小正方形和两个矩形组成，•所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．
（三） 运用公式
1、 直接运用
例：应用完全平方公式计算：
（1）（4m+n ）2 （2）（y-
12）2 （3）（-a-b ）2 （4）（b-a ）2 练习：课本练习1，2
2、 简便计算
例：运用完全平方公式计算：
（1）1022 （2）99
2 练习：计算： 50.012 49.92
附加练习：
计算： 2)4(y x - 222)43(c ab b a - -x 5( ）2= 4210y xy +- )3)(3(b a b a --+ 2)1(x x + 2)1(x
x -
在下列多项式中，哪些是由完全平方公式得来的？ 442+-x x 2161a + 12-x 22y xy x ++ 224
139y xy x +
-
（四）小结：完全平方公式的结构特征． 公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方．而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．
（五）作业 课本112页 习题14.2 第2题
（六）板书设计
§14．2．2．1 完全平方公式
一、1.探究公式：（a ±b ）2=a 2±2ab+b 2
2.完全平方公式的几何意义：
二、应用举例：利用完全平方公式计算：
三、巩固练习
四、小结
第二课时：（添括号法则在公式里的运用回顾完全平方公式
（一） 提出问题，解决问题
1． 在运用公式的时候，有些时候我们需要把一个多项式看作一个整体，把另外一个多项式
看作另外一个整体．例如：))((c b a c b a +-++和2
)(c b a ++，这就需要在式子里添加括号．那么如何加括号呢？它有什么法则呢？它与去括号有何关系呢？
2． 解决问题： 在去括号时：c b a c b a ++=++)（ c b a c b a --=+-)(
反过来，就得到了添括号法则： )(c b a c b a ++=++ )(c b a c b a +-=--
3． 理解法则：
如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；•如果括号前面是负号，
括到括号里的各项都改变符号．
也是：遇“加”不变，遇“减”都变．
4． 运用法则：
（1）a+b-c=a+（ ） （2）a-b+c=a-（ ）
（3）a-b-c=a-（ ） （4）a+b+c=a-（ ）
2．判断下列运算是否正确．
（1）2a-b-2c =2a-（b-2
c ） （2）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b ） （3）2x-3y+2=-（2x+3y-2） （4）a-2b-4c+5=（a-2b ）-（4c+5）
5． 总结：
添括号法则是去括号法则反过来得到的，无论是添括号，还是去括号，运算前后代数式的值都保持不变，•所以我们可以用去括号法则验证所添括号后的代数式是否正确．
（二） 在公式里运用法则
例：计算：（1）（x+2y-3）（x-2y+3）
（2）（a+b+c ）
2 （3）（x+3）2-x
2 （4）（x+5）2-（x-2）（x-3）
练习：课本练习1，2
计算：2)2(c b a +- 2
2)()(c b a c b a ---++ 、
（三） 两公式的综合运用
例：如果81362++x kx 是一个完全平方公式，则k 的值是多少？
练习：如果3642++kx x 是一个完全平方公式，则k 的值是多少？
例：如果422=-y x ，那么22)()(y x y x +-的结果是多少？
练习：已知5=+b a 5.1=ab ，求22b a +和 2)(b a -的值．已知31=+
x x ，求221x x +和2)1(x x -的值．
已知-7=+b a 12=ab ，求ab b a -22+和 2)(b a -的值．
附加：证明25)12(2-+n 能被4整除．
（四） 小结：利用添括号法则可以将整式变形，从而灵活利用乘法公式进行计算，灵活运
用公式进行运算
（五）作业 课本112页 习题14.2 第3、4、7题
（六）板书设计
§14．2.2.2 完全平方公式
一、去括号法则：a+（b+c ）=a+b+c
a-（b+c ）=a-b-c
添括号法则：a+b+c=a+（b+c ） a+b+c=a-（-b-c ）
1．填空：（略） 2．判断下列运算是否正确：
（1）方法一：用去括号法则验证．方法二：用添括号法则验证．
二、乘法公式的深化应用．
例：计算（1）（x+2y-3）（x-2y+3）（2）（a+b+c ）2
（五） （3）（x+3）2-x 2（4）（x+5）2-（x-2）（x-3）。