第六章 自测题及答案
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当k＝1 时，x 1 =0.2, y 1 =0.8，x 2 =0.4，有
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y(x 2 )=y(0.4)y 2 =0.2×0.8×(4－0.2×0.8)＝0.614 4
当k=2 时，x 2 =0.4, y 2 =0.614 4，x 3 =0.6，有
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6. 对 Euler 公式推导局部截断误差及其主项,并指出该方法是几阶方法。 解：其局部截断为 Tn 1 y ( x n 1 ) y ( x n ) hf ( x n , y ( x n )) 对 y ( x n 1 ) 在 x n 处作 Talor 展开，有
即改进欧拉公式的局部阶段误差为 O(h 3 ) . 所以，改进欧拉公式是 2 阶方法
y y xy ( x .) 10.用欧拉法解初值问题 ，取步长 h=0.2.计算中保留 4 位小数. y () 解: h=0.2, f(x)=－y－xy2.
首先建立欧拉迭代公式
h2 h3 y ( x n ) y ( x n ) O(h 4 ) 2 6 而且 y ( x n ) f ( x n , y ( x n )) ， y ( x n 1 ) f ( x n 1 , y ( x n 1 )) 对 y ( x n 1 ) 也在 x n 处作 Talor 展开，有 y ( x n 1 ) y ( x n ) hy ( x n )
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y ( x n 1 ) y ( x n ) hy ( x n )
h2 y ( x n ) O(h 3 ) 2
所以，因此其局部截断为 h Tn 1 y ( x n 1 ) y ( x n ) [ f ( x n , y ( x n )) f ( x n 1 , y ( x n 1 ))] 2 2 h h3 h h h2 h3 4 y(xn ) hy (xn ) y (xn ) y (xn ) O(h ) y(xn ) y (xn ) y (xn ) y (xn ) y(xn ) O(h4 ) 2 6 2 2 2 12 3 h y ( x n ) O(h 4 ) O(h 3 ) 12 h3 所以，梯形公式是 2 阶方法，其截断误差的主项是 y( xn ) 12
9.对改进 Eluer 公式推导局部截断误差, 并指出该方法是几阶方法.
y y i hf ( xi , y i ) ~ i 1 h 解: 改进欧拉公式为 y i 1 y i [ f ( xi , y i ) f ( xi 1 , ~ y i 1 )] 2 由于讨论的是局部截断误差，因而可设 y i y ( xi ) ' ' 又 y f ( x, y ) ， y f x ( x, y ) yf y ( x, y ) ,故有 f ( xi 1 , ~ y i 1 ) f ( xi h, y ( xi ) hy ( xi )) = f ( xi , y ( xi )) [hf x' hy f y' ]( xi , y ( xi )) O (h 2 ) h2 所以 y i 1 y ( xi ) hy ( xi ) y ( xi ) O(h 3 ) 2 而原方程的解连续可微，有 h2 y ( xi 1 ) y ( xi h) y ( xi ) hy ( xi ) y ( xi ) O(h 3 ) 2 通过比较，两式中 h 的次数低于三次的项相同，而三次项不相同，因而 y ( xi 1 ) y i 1 O(h 3 )
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第六章 常微分方程初值问题的数值解法
自测题及答案
1 .欧拉法的局部截断误差的阶为 改进欧拉法的局部截断误差的阶为 三阶龙格-库塔法的局部截断误差的阶为 四阶龙格-库塔法的局部截断误差的阶为 2. 欧拉法的绝对稳定实区域为 二阶龙格-库塔法的绝对稳定实区域为 三阶龙格-库塔法的绝对稳定实区域为 四阶龙格-库塔法的绝对稳定实区域为 。 。 。 。 。 。 。 。
解 步长h=0.2, 此时f(x,y)=－y－y2sinx. 欧拉预报－校正公式为：
预报值 校正值 y k 1 y k hf ( x k , y k ) h y k 1 y k [ f ( x k , y k ) f ( x k 1 , y k 1 )] 2
y (.) y . (. . . sin .) .(. . sin .)
=0.52608
12.用改进的欧拉法平均公式，取步长 h=0.1，求解初值问题
y x y (0 x 0.2) y ( 0) 1
所以，因此其局部截断为 Tn 1 y ( x n 1 ) y ( x n ) hf ( x n 1 , y ( x n 1 ))
y ( x n ) hy ( x n )
h2 2 3 y ( x n ) O(h 3 ) y ( x n ) hy ( x n ) h y ( x n ) O(h ) 2
h2 y ( x n ) O(h 3 ) O(h 2 ) 2 h2 y ( x n ) 。 2
所以，隐式 Euler 方法Leabharlann Baidu是 1 阶方法，其截断误差的主项是
8.对梯形公式推导局部截断误差及其主项,并指出该方法是几阶方法. 解：其局部截断为 h Tn 1 y ( x n 1 ) y ( x n ) [ f ( x n , y ( x n )) f ( x n 1 , y ( x n 1 ))] 2 对 y ( x n 1 ) 在 x n 处作 Talor 展开，有
y ( x n ) hy ( x n )
h2 y ( x n ) O(h 3 ) y ( x n ) hy ( x n ) 2
h2 y ( x n ) O(h 3 ) O(h 2 ) 2 h2 y ( x n ) 。 2
所以，显式 Euler 方法是 1 阶方法，其截断误差的主项是
y k (0.9 0.1y k sin x k ) 0.1( y k 1 y k 1 sin x k 1 )
2
当k=0 时，x 0 =1, y 0 =1，x 1 =1.2，有
y y (. . y sin x ) (. sin ) .
7.对隐式 Euler 公式推导局部截断误差及其主项,并指出该方法是几阶方法。 解：其局部截断为 Tn 1 y ( x n 1 ) y ( x n ) hf ( x n 1 , y ( x n 1 )) 对 y ( x n 1 ) 在 x n 处作 Talor 展开，有
h2 y ( x n ) O(h 3 ) 2 而且 y ( x n 1 ) f ( x n 1 , y ( x n 1 )) ，也在 x n 处作 Talor 展开，有 f ( xn 1 , y( xn 1 )) y( xn1 ) y( xn ) hy( xn ) O( h2 ) y ( x n 1 ) y ( x n ) hy ( x n )
y(x 3 )=y(0.6)y 3 =0.2×0.614 4×(4－0.4×0.4613)＝0.800 0
y y y sin x 11.用欧拉预报－校正公式求解初值问题 ，取步长 h=0.2,计算 y(1.2), y () y(1.4)的近似值，计算过程保留 5 位小数.l
2 y k 1 y k hf ( x k , y k ) y k hy k hx k y k
0.2 y k (4 x k y k )(k 0,1,2)
当k=0 时， x 0 =0,
y 0 =1，x 1 =0.2，有
y(x 1 )=y(0.2)y1=0.2×1(4－0×1)＝0.800 0
y (.) y (. . sin ) .(. . sin .) .
当k=1 时， x 1 =1.2, y 1 =0.71549，x 2 =1.4，有
y y (. . y sin x ) . (. . sin .) .
y f ( x , y ) 4．初值问题 )的局部截断误差为 O( h3 ) . 的下列数值方法中，( y ( x 0 ) y0 (A) 欧拉法； (B) 改进欧拉法； (C) 三阶龙格－库塔法； (D) 四阶龙格－库塔法
答案：(B) 5. 改进欧拉法的平均形式公式是( ) y p y k hf ( x k , y k ) y p y k hf ( x k , y k ) (B) y c y k hf ( x k , y p ) .(A) y c y k hf ( x k , y p ) y k ( y p y c ) y k ( y p y c ) y p y k hf ( x k , y k ) y p y k hf ( x k , y k ) (D) y c y k hf ( x k , y p ) (C) y c y k hf ( x k , y p ) y k h ( y p y c ) y k ( y p y c ) 答案：(D)
有迭代公式：
预报值 校正值
2 y k 1 y k h( y k y k sin x k )
y k (0.8 0.2 y k sin x k )
2 h 2 y k 1 y k [( y k y k sin x k ) ( y k 1 y k 1 sin x k 1 )] 2
y f ( x, y ) 3. 求解初值问题 的欧拉法的局部截断误差是( y ( x ) y
);
改进欧拉法的局部截断误差是( 三阶龙格－库塔法的局部截断误差是( 四阶龙格－库塔法的局部截断误差是( (A)O(h2) (B)O(h3) (C)O(h4) (D)O(h5)
); ); ).
h2 y ( x n ) O(h 3 ) 2 而且 y ( x n ) f ( x n , y ( x n )) ，因此其局部截断为 Tn 1 y ( x n 1 ) y ( x n ) hf ( x n , y ( x n )) y ( x n 1 ) y ( x n ) hy ( x n )
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y(x 2 )=y(0.4)y 2 =0.2×0.8×(4－0.2×0.8)＝0.614 4
当k=2 时，x 2 =0.4, y 2 =0.614 4，x 3 =0.6，有
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6. 对 Euler 公式推导局部截断误差及其主项,并指出该方法是几阶方法。 解：其局部截断为 Tn 1 y ( x n 1 ) y ( x n ) hf ( x n , y ( x n )) 对 y ( x n 1 ) 在 x n 处作 Talor 展开，有
即改进欧拉公式的局部阶段误差为 O(h 3 ) . 所以，改进欧拉公式是 2 阶方法
y y xy ( x .) 10.用欧拉法解初值问题 ，取步长 h=0.2.计算中保留 4 位小数. y () 解: h=0.2, f(x)=－y－xy2.
首先建立欧拉迭代公式
h2 h3 y ( x n ) y ( x n ) O(h 4 ) 2 6 而且 y ( x n ) f ( x n , y ( x n )) ， y ( x n 1 ) f ( x n 1 , y ( x n 1 )) 对 y ( x n 1 ) 也在 x n 处作 Talor 展开，有 y ( x n 1 ) y ( x n ) hy ( x n )
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y ( x n 1 ) y ( x n ) hy ( x n )
h2 y ( x n ) O(h 3 ) 2
所以，因此其局部截断为 h Tn 1 y ( x n 1 ) y ( x n ) [ f ( x n , y ( x n )) f ( x n 1 , y ( x n 1 ))] 2 2 h h3 h h h2 h3 4 y(xn ) hy (xn ) y (xn ) y (xn ) O(h ) y(xn ) y (xn ) y (xn ) y (xn ) y(xn ) O(h4 ) 2 6 2 2 2 12 3 h y ( x n ) O(h 4 ) O(h 3 ) 12 h3 所以，梯形公式是 2 阶方法，其截断误差的主项是 y( xn ) 12
9.对改进 Eluer 公式推导局部截断误差, 并指出该方法是几阶方法.
y y i hf ( xi , y i ) ~ i 1 h 解: 改进欧拉公式为 y i 1 y i [ f ( xi , y i ) f ( xi 1 , ~ y i 1 )] 2 由于讨论的是局部截断误差，因而可设 y i y ( xi ) ' ' 又 y f ( x, y ) ， y f x ( x, y ) yf y ( x, y ) ,故有 f ( xi 1 , ~ y i 1 ) f ( xi h, y ( xi ) hy ( xi )) = f ( xi , y ( xi )) [hf x' hy f y' ]( xi , y ( xi )) O (h 2 ) h2 所以 y i 1 y ( xi ) hy ( xi ) y ( xi ) O(h 3 ) 2 而原方程的解连续可微，有 h2 y ( xi 1 ) y ( xi h) y ( xi ) hy ( xi ) y ( xi ) O(h 3 ) 2 通过比较，两式中 h 的次数低于三次的项相同，而三次项不相同，因而 y ( xi 1 ) y i 1 O(h 3 )
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第六章 常微分方程初值问题的数值解法
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1 .欧拉法的局部截断误差的阶为 改进欧拉法的局部截断误差的阶为 三阶龙格-库塔法的局部截断误差的阶为 四阶龙格-库塔法的局部截断误差的阶为 2. 欧拉法的绝对稳定实区域为 二阶龙格-库塔法的绝对稳定实区域为 三阶龙格-库塔法的绝对稳定实区域为 四阶龙格-库塔法的绝对稳定实区域为 。 。 。 。 。 。 。 。
解 步长h=0.2, 此时f(x,y)=－y－y2sinx. 欧拉预报－校正公式为：
预报值 校正值 y k 1 y k hf ( x k , y k ) h y k 1 y k [ f ( x k , y k ) f ( x k 1 , y k 1 )] 2
y (.) y . (. . . sin .) .(. . sin .)
=0.52608
12.用改进的欧拉法平均公式，取步长 h=0.1，求解初值问题
y x y (0 x 0.2) y ( 0) 1
所以，因此其局部截断为 Tn 1 y ( x n 1 ) y ( x n ) hf ( x n 1 , y ( x n 1 ))
y ( x n ) hy ( x n )
h2 2 3 y ( x n ) O(h 3 ) y ( x n ) hy ( x n ) h y ( x n ) O(h ) 2
h2 y ( x n ) O(h 3 ) O(h 2 ) 2 h2 y ( x n ) 。 2
所以，隐式 Euler 方法Leabharlann Baidu是 1 阶方法，其截断误差的主项是
8.对梯形公式推导局部截断误差及其主项,并指出该方法是几阶方法. 解：其局部截断为 h Tn 1 y ( x n 1 ) y ( x n ) [ f ( x n , y ( x n )) f ( x n 1 , y ( x n 1 ))] 2 对 y ( x n 1 ) 在 x n 处作 Talor 展开，有
y ( x n ) hy ( x n )
h2 y ( x n ) O(h 3 ) y ( x n ) hy ( x n ) 2
h2 y ( x n ) O(h 3 ) O(h 2 ) 2 h2 y ( x n ) 。 2
所以，显式 Euler 方法是 1 阶方法，其截断误差的主项是
y k (0.9 0.1y k sin x k ) 0.1( y k 1 y k 1 sin x k 1 )
2
当k=0 时，x 0 =1, y 0 =1，x 1 =1.2，有
y y (. . y sin x ) (. sin ) .
7.对隐式 Euler 公式推导局部截断误差及其主项,并指出该方法是几阶方法。 解：其局部截断为 Tn 1 y ( x n 1 ) y ( x n ) hf ( x n 1 , y ( x n 1 )) 对 y ( x n 1 ) 在 x n 处作 Talor 展开，有
h2 y ( x n ) O(h 3 ) 2 而且 y ( x n 1 ) f ( x n 1 , y ( x n 1 )) ，也在 x n 处作 Talor 展开，有 f ( xn 1 , y( xn 1 )) y( xn1 ) y( xn ) hy( xn ) O( h2 ) y ( x n 1 ) y ( x n ) hy ( x n )
y(x 3 )=y(0.6)y 3 =0.2×0.614 4×(4－0.4×0.4613)＝0.800 0
y y y sin x 11.用欧拉预报－校正公式求解初值问题 ，取步长 h=0.2,计算 y(1.2), y () y(1.4)的近似值，计算过程保留 5 位小数.l
2 y k 1 y k hf ( x k , y k ) y k hy k hx k y k
0.2 y k (4 x k y k )(k 0,1,2)
当k=0 时， x 0 =0,
y 0 =1，x 1 =0.2，有
y(x 1 )=y(0.2)y1=0.2×1(4－0×1)＝0.800 0
y (.) y (. . sin ) .(. . sin .) .
当k=1 时， x 1 =1.2, y 1 =0.71549，x 2 =1.4，有
y y (. . y sin x ) . (. . sin .) .
y f ( x , y ) 4．初值问题 )的局部截断误差为 O( h3 ) . 的下列数值方法中，( y ( x 0 ) y0 (A) 欧拉法； (B) 改进欧拉法； (C) 三阶龙格－库塔法； (D) 四阶龙格－库塔法
答案：(B) 5. 改进欧拉法的平均形式公式是( ) y p y k hf ( x k , y k ) y p y k hf ( x k , y k ) (B) y c y k hf ( x k , y p ) .(A) y c y k hf ( x k , y p ) y k ( y p y c ) y k ( y p y c ) y p y k hf ( x k , y k ) y p y k hf ( x k , y k ) (D) y c y k hf ( x k , y p ) (C) y c y k hf ( x k , y p ) y k h ( y p y c ) y k ( y p y c ) 答案：(D)
有迭代公式：
预报值 校正值
2 y k 1 y k h( y k y k sin x k )
y k (0.8 0.2 y k sin x k )
2 h 2 y k 1 y k [( y k y k sin x k ) ( y k 1 y k 1 sin x k 1 )] 2
y f ( x, y ) 3. 求解初值问题 的欧拉法的局部截断误差是( y ( x ) y
);
改进欧拉法的局部截断误差是( 三阶龙格－库塔法的局部截断误差是( 四阶龙格－库塔法的局部截断误差是( (A)O(h2) (B)O(h3) (C)O(h4) (D)O(h5)
); ); ).
h2 y ( x n ) O(h 3 ) 2 而且 y ( x n ) f ( x n , y ( x n )) ，因此其局部截断为 Tn 1 y ( x n 1 ) y ( x n ) hf ( x n , y ( x n )) y ( x n 1 ) y ( x n ) hy ( x n )