(21)第三章 第四讲 下推自动机

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显然，上述无限状态的模型是无法用有限状态自动机来表示的， 因此需要扩充机器的能力。 下推自动机拥有一个容量不受限制的下推“栈”，所以它可以 解决许多实际问题。例如：对于非正则语言L(M)={anbn|n≥1}，由于 PDA能够利用栈容量的无界性保存大量的信息，可以动态跟踪保存 a的个数，从而PDA能够识别这个语言。
注意1：上述定义中，“只含一个元素”保证了δ函数的“确定性”,
同时①②避免了在同样的状态、同样的栈顶元素下，在读入一个符 号时发生状态转移和在不读入字符时发生状态转移之间作选择的可 能性。也即在任何一个格局状态下只有唯一的一个后继格局。
注意2：不满足条件①②的PDA 即为不确定的PDA。与有限自动机
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显然，上述无限状态的模型是无法用有限状态自动机来表示的， 因此需要扩充机器的能力。
一、有关概念
1、下推自动机的特点 引例：前面曾用泵浦定理(定理6）证明：L(M)={anbn|n≥1}不是正则
集。这就表明无法用有限自动机来识别该语言。这是因为： 对于任意的正整数k，至少必须有一个状态用以记住“k个a”， 则用状态转换图表示这种情况，在对任意大的n来说，有如下无限 状态转换图： a a a a ..........
δ(q2,b,a)={(q2,ε)}, δ(q2,ε,Z0)={(q0,ε )} 。
一、有关概念
在q2状态下，一旦遇见栈底元素Z0， 2、不确定的下推自动机 且此时剩余输入串恰好为空串，则弹 nbn|n≥1}。 构造一个PDA M，能够接受语言 L(M)={a 实例： 出Z0使栈为空，同时进入终止状态q0 从而以终止状态接受输入字符串。 设 PDA M=（Q , T , Γ,δ, q0 , Z0 , F)，其中： Q={q0,q1,q2} , T={a,b} , Γ={Z0,a} , F={q0} ，δ定义如下： δ(q0,a,Z0)={(q1,aZ0)}, δ(q1,a,a)={(q1,aa)}, δ(q1,b,a)={(q2,ε)},
q0 q2
δ(q1,b,a)={(q2,ε)},
a,a/aa q1
δ(q2,b,a)={(q2,ε)}, δ(q2,ε,Z0)={(q0,ε )} 。
b,a/ε
(q1, abbb,aaZ0) (q2, bb,aaZ0) (q2, b,aZ0)
b,a/ε
(q0,ε,ε)
一、有关概念
即只有一个函数值 2、不确定的下推自动机 确定的下推自动机之定义： 下推自动机M=(Q,T,Γ,δ,q0,Z0,F)，如果是确定的，必须满足以下 两个条件之一： 对任意的q∈Q，Z∈Γ和a∈T，有： ① δ(q,a,Z)只含一个元素，且δ(q,ε,Z) =Ф(即函数值无定义); ② δ(q,a,Z)=Ф(函数值无定义),且δ(q,ε,Z) 只含一个元素。
一、有关概念
2、不确定的下推自动机 构造一个PDA M，能够接受语言L(M)={anbn|n≥1}。 实例：
设 PDA M=（Q , T , Γ,δ, q0 , Z0 , F)，其中： Q={q0,q1,q2} , T={a,b} , Γ={Z0,a} , F={q0} ，δ定义如下： δ(q0,a,Z0)={(q1,aZ0)}, δ(q1,a,a)={(q1,aa)}, δ(q1,b,a)={(q2,ε)},
δ(q2,b,a)={(q2,ε)}, δ(q2,ε,Z0)={(q0,ε )} 。
一、有关概念
此处ε表示弹出栈顶元素a,即以空元素 2、不确定的下推自动机 替代栈顶元素a（也既输入的第一个 nbn|n≥1}。 构造一个PDA M，能够接受语言 L(M)={a 实例： 字符b应与栈顶的a相匹配，故弹出该 字符 a，同时进入状态q2） 设 PDA M=（Q , T , Γ,δ, q0 , Z0 , F)，其中： Q={q0,q1,q2} , T={a,b} , Γ={Z0,a} , F={q0} ，δ定义如下： δ(q0,a,Z0)={(q1,aZ0)}, δ(q1,a,a)={(q1,aa)}, δ(q1,b,a)={(q2,ε)},
接受语言的两种方式：
终止状态方式接受：当PDA以终止状态接受语言L(M)时，有： L(M)={w | (q0,w,Z0) * (q,ε,α),且 q∈F,α∈Γ*} 空栈方式接受：当PDA以空栈接受语言Lφ(M)时，有： * (q,ε,ε),且 q是Q中的任意状态} Lφ(M)={w | (q0,w,Z0)
第三章
上下文无关文法与下推自动机
第四讲 下推自动机
一、有关概念
1、下推自动机的特点 特点：下推自动机PDA(Push Down Automaton)是一种类似于NFA
的新型计算机模型，它比NFA多了一个下推栈。下推栈在控制器的 有限存储量之外增加了一个附加的存储，从而使得下推自动机能够 识别某些非正则语言。 引例：前面曾用泵浦定理(定理6）证明：L(M)={anbn|n≥1}不是正则 集。这就表明无法用有限自动机来识别该语言。这是因为： 对于任意的正整数k，至少必须有一个状态用以记住“k个a”， 则用状态转换图表示这种情况，在对任意大的n来说，有如下无限 状态转换图： a a a a ..........
Z0:下推栈的起始符号，Z0∈Γ； F :终止状态集合，F∈Q； δ:转换函数，是从Q×(T∪{ε})×Γ到Q×Γ*的映射。
状态转换图：
当有转换函数δ(q,a,Z)={(p,α)} ( q,p∈Q,a∈T,Z∈Γ,α∈Γ*)时, 表示在状态q输入字符a且下推栈的栈顶字符为Z时，进入状态p，下 推栈的栈顶字符Z由字符串α替代，同时读头右移一位。 这个过程的状态转换图如右图所示： 结束标志。
采用终止状态接收方式
δ(q2,b,a)={(q2,ε)}, δ(q2,ε,Z0)={(q0,ε )} 。
一、有关概念
在q1状态下，读入字符a时，用aa替代栈顶元 2、不确定的下推自动机 素a，状态保持不变(即在状态q1下，用栈来记 nbn|n≥1}。 构造一个PDA 录 M ，能够接受语言 L(M)={a 实例： a的个数，将所有的a压入栈中)。 设 PDA M=（Q , T , Γ,δ, q0 , Z0 , F)，其中： Q={q0,q1,q2} , T={a,b} , Γ={Z0,a} , F={q0} ，δ定义如下： δ(q0,a,Z0)={(q1,aZ0)}, δ(q1,a,a)={(q1,aa)}, δ(q1,b,a)={(q2,ε)},
过上下文无关文法是以产生语言的方式而存在的；而下推自动机是 以识别语言的方式而存在的。这个等价性对于后面许多定理的证明 来说提供了很多方便。
注意2：有些语言用生成器（文法）描述较为容易，而另一些语言
又可能用识别器（下推自动机）描述更容易一些。
注意3：下推自动机(PDA)与有限自动机类似，亦分为确定的下推
一、有关概念
1、下推自动机的特点 组成：下推自动机(PDA)是由一条输入带、一个有限控制器和一个
下推栈组成的。其示意图如下：
a
b
b
b
c
c
输入带
a
......
有限控制器
下 推 栈
A B C Z0 . .
栈顶元素
栈底元素
一、有关概念
1、下推自动机的特点 注意1：下推自动机(PDA)在能力上与上下文无关文法等价。只不
若当前状态为q，当前读入字符为a，若有状态 转换函数δ(q,a)=q1 , 则状态变换后的后继状态为q1， 此时可用格局变化形式描述这一变换过程： (q,aw)├─(q1,w) 。
一、有关概念
这里q是任意状态，说明空栈接受时 用γ字符串替换栈顶Z， 2、不确定的下推自动机 对终止状态没有要求，因此可以认为 aF 为当前输入字符 终止状态集 为空集Ф 。 注意：这里第一个 ε 表示此时 w 恰好被读完； 格局及其应用： 第二个ε表示此时栈恰好为空。 格局是一个三元组：(q,w,α),其中：q是当前状态(q∈Q)；w是待输 入的字符串(w∈T*,当w=ε时，表示输入字符均已读完)；α是栈中内容 注意：ε) 表示此时 w恰好被读完，q∈F表 (α∈Γ*,当α=ε时表示下推栈已弹空 。 示此时也恰好进入终止状态。 格局描述下推自动机的瞬时工作状况： 当转换函数δ(q,a,Z)={(p,γ)} 时，可用格局表示为： (q , aw , Zα) (p , w , γα)
δ(q2,b,a)={(q2,ε)}, δ(q2,ε,Z0)={(q0,ε )} 。
一、有关概念
注意：在本例中，对于每一个格局的下一步 2、不确定的下推自动机 （即后继格局）都只有一种选择，这样的 构造一个 PDA M，能够接受语言L(M)={anbn|n≥1}。 实例： PDA称为确定的下推自动机(DPDA) 设 PDA M=（Q , T , Γ,δ, q0 , Z0 , F)，其中： Q={q0,q1,q2} , T={a,b} , Γ={Z0,a} , F={q0} ，δ定义如下： δ(q0,a,Z0)={(q1,aZ0)}, δ(q1,a,a)={(q1,aa)}, PDA M的状态转换图如右： 当输入字符串aaabbb时，M的 工作过程是： (q0,aaabbb,Z0) (q1,aabbb,aZ0) (q1, bbb,aaaZ0) (q2,ε,Z0)
自动机(DPDA)和不确定的下推自动机(NPDA)。
一、有关概念 约定：①当|α|>1时，α的最左位放在栈的最高位；②
生改变，且栈顶元素被α替换。 Q:有限控制器的状态集合； T:有限的输入字母表； Γ:有限的下推栈字母表； q0 :初始状态，q0∈Q；
2、不确定的下推自动机 当α=ε时，表示栈顶符号Z被弹出。③当a=ε时，称为ε 转换，这时不考虑输入字符，读头不移动，但状态发 定义：下推自动机 M是一个七元组：M=(Q,T,Γ,δ,q0,Z0,F)，其中