22.1 第3课时 比例的性质与黄金分割-2020秋沪科版九年级数学上册(共25张PPT)
2022秋九年级数学上册 第22章 相似形22.1 比例线段 3比例的性质授课课件(新版)沪科版
知1－讲
利用比例的基本性质进行相关计算时，常用的方法有两种：一 是用含有其中一个字母的代数式表示出另一个字母，然后运用 代入法求值；二是运用参数法，即根据比例式设出合适的未知 数，然后用含此未知数的代数式表示出相应字母，再代入求值， 这也是运用比例的基本性质求解时的一种常用的方法．
知1－练
1 在比例尺是1:50的图纸上，量得一个零件的 长是32cm, 求这个零件的实际长.
5
5
1 3
知识点 4 黄金分割
知4－导
黄金分割是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一 分为二，较大部分与较小部分之比等于 整体与较大部分之比，其比值 为1:0.618或1.618:1，即长段为 全段的0.618.0.618被公认为最具有 审美意义的比例数字， 上述比例是最能引起人 的美感的比例，因此被称为黄金分割.
较得体的位置．( 5 ≈2.24)
知4－讲
导引：由题意知，主持人到达的最佳位置是黄金分割点处，线段AB
的黄金分割点有两个，它们都距较近端点20× 1
5 1 2
≈7.6(m)远，所以这两个黄金分割点之间的距离是20－
7.6×2＝4.8(m)．所以主持人应走到离A点至少7.6 m处较
恰当；若他向B点再走4.8 m，也处在比较得体的位置．
2 已知：a:b=c:d，且a=2.4cm，b=3.6cm， c=5.4cm,求d的值.
3 已知 x 3 ，则下列式子成立的是( )
y5
A．3x＝5y
B．xy＝15
C. 5 x
y3
D. y 5
x3
4 若2y－5x＝0，则x∶y等于( )
A．2∶5
B．4∶25
C．5∶2
D．25∶4
九年级数学上册22.1比例线段(第3课时)名师教案(新版)沪科版
第3课时 平行线基本定理教学目标1．理解平行线分线段成比例定理，平行线等分线段定理．2．会利用平行线分线段成比例定理，平行线等分线段定理求一些线段的长．3．了解将已知线段n 等分的方法．教学重难点平行线分线段成比例的几种类型及应用．教学过程导入新课在记录本上任画两条斜线，让这两条斜线与本子上的三条平行线相交，度量这两条斜线被本子上的三条平行线分成的四条线段，它们成比例吗？推进新课一、合作探究【问题1】 如图，过△ABC 的边AB 上任意一点D 作直线DE 平行于BC 交AC 于点E ，分别度量在AB 上截得的两条线段AD 、BD 和在AC 上截得的两条线段AE 、EC 的长度，AD DB 与AE EC相等吗？学生自己画图，再动手测量(要求测量要尽量准确)，看计算AD DB 与AE EC的结果是否大致相等．(结果：大致相等)【问题2】 任意平移DE ，再度量AD ，BD ，AE ，EC 的长度，AD DB 与AE EC 还相等吗？ 度量后回答．(结果仍相等)然后让学生合作探究学习课本上的证明，教师给予指导．【问题3】 如把上面的问题改为：如图，任意画两条直线l 1、l 2，再画三条与l 1、l 2相交的平行线l 3、l 4、l 5，AB BC与DE EF相等吗？让学生试着转化为问题1的类型进行说明．最后师生共同归纳出定理：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得对应线段成比例．【问题4】 当直线l 1，l 2的位置变化时，如图，直线l 1、l 2分别被三条平行线l 3、l 4、l 5截于点A 、B 、C 和D 、E 、F .问AB BC 与DE EF相等吗？教师引导学生进行证明，引导作出辅助线是关键．证明后得出平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例．【问题5】 在问题4中若AB ＝BC ，那么DE 与EF 有何关系？显然AB BC ＝1，又AB BC ＝DE EF ，所以DE EF＝1，故DE ＝EF . 于是得到平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等．二、巩固提高【例】 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，写出图形中的比例式，试试你能写出多少个？解：根据平行线分线段成比例定理，有AE EC ＝AD BD ，AD AB ＝AE AC ，AC AE ＝AB AD ，BD AD ＝CE AE等．只要写出的比例式左右对应即可．三、随堂训练已知在∠O 的一边上顺次有A ，B 两点，在另一边上顺次有C ，D 两点，若AC ∥BD ，则正确的是( )．A ．OA OC ＝OB OD B ．OA OC ＝CD AB C ．OB OA ＝OC OD D ．AB OB ＝CD OC本课小结1．平行线分线段成比例定理，平行线等分线段定理．2．利用平行线等分线段定理对线段进行等分、倍分．3．无论是平行线分线段成比例定理，还是平行线等分线段定理，一定至少要有两条平行线．1．对相似多边形的理解两个边数相同的多边形，如果对应角都相等，对应边都成比例，叫做相似形．如果两个多边形的对应边都成比例，对应角都分别相等，那么这两个多边形相似．相似具有传递性．因此判断两个边数相同的多边形相似的方法是：首先判断对应边是否成比例，再判断对应角是否相等．两个等边三角形一定相似，两个等腰直角三角形一定相似，两个正方形一定相似，但所有的菱形不一定相似，因为对应角不一定相等．2．相似与全等的联系和区别相似与全等既有联系，又有区别．首先，从它们各自具备的特征来说，(1)它们都具备 “形状相同”的本质特征，对应角都相等．(2)全等形的大小相同，对应边相等；而相似形大小不一定相同，对应边成比例．(3)全等形可以看作是相似形的特殊情况，其相似比k ＝1；反过来，当相似比k ＝1时，两个相似形全等．3．相似符号的起源最初的几何知识是从人们对形的直觉中萌发出来的，是从自然界本身提取几何形式，并且在器皿制作、建筑设计及绘画装饰中加以体现．早期人类对几何的兴趣，不只是对圆、三角形、正方形等一系列几何形状的认识，而且还有对全等、相似、对称等几何知识的运用，几何知识随着人们的实践活动而不断扩展．十七世纪德国莱布尼茨广泛使用了 “＝”，他在几何学中用“∽”表示相似，用“≌”表示全等，这就是相似符号的起源．4．对“黄金分割”的理解把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618.由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比．这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现：10.618≈1.618，1－0.6180.618≈0.618. 这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用．一个很能说明问题的例子是五角星．五角星是非常美丽的，我国的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，这是为什么？因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的．正五边形对角线连接后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形．由于五角星的顶角是36°，这样也可以得出黄金分割的数值为2sin 18°. 黄金分割点是指分一线段为两部分，使得原来线段的长跟较长的那部分的比约等于0.618∶1.线段上有两个这样的点．利用线段上的两个黄金分割点，可作出正五角星，正五边形．2 000多年前，古希腊雅典学派的欧道克萨斯首先提出黄金分割．所谓黄金分割，指的是把长为L 的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比．黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为“金法”，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为“各种算法中最宝贵的算法”．这种算法在印度称之为“三率法”或“三数法则”，也就是我们现在常说的比例方法．其实有关“黄金分割”，我国也有记载．虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的，后来传入了印度．经考证，欧洲的比例算法是源于我国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的，而不是直接从古希腊传入的．黄金分割(Golden Section)是一种数学上的比例关系．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．应用时一般取0.618，就像圆周率在应用时取3.14一样．黄金矩形(Golden Rectangle)的长、宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的长边为短边的1.618倍．黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．在很多艺术品以及大自然中都能找到它．希腊雅典的帕撒神农庙就是一个很好的例子．达·芬奇的《维特鲁威人》符合黄金矩形．《蒙娜丽莎》的脸也符合黄金矩形，《最后的晚餐》同样也应用了该比例布局．。
沪科版数学九年级上册22.1第3课时比例的性质与黄金分割
n
a c ... n
a
（b+d+···+m≠0）
bd
m b d ... m b
灿若寒星
练一练
已知 x 3 ，求 x y 的值.
y4
x y
解：令 x 3 = k, x 3k, y 4 k . y4
x y 3k 4k 1 . x y 3k 4k 7
bd
c∶d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线 段．此时也称这四条线段成比例．
(1)如果 a b ，那么b叫做a和c的比例中项； bc
(2)在比例式a:b=c:d中，d叫做a,b,c的第四比例项；
3成比例线段是有顺序的，即a,b, c, d是成比例线段，则a : b
c : d,而不能写成a : b d : c.
∴ － ad＝ － bc，
在等式两边同加上ac，
∴ ac－ad＝ac－bc，
∴ a（c－d）＝（a－b）c，
两边同除以（a－b）（c－d），
∴
ac ab cd
．
灿若寒星
归纳
合比性质：
a c ab cd
bd b
d
ab cd ab cd
等比性质：
a
c
...
AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比.
比值 5 1叫做黄金数.
2
灿若寒星
课后作业
见《学练优》本课时练习
灿若寒星
导入新课
观察与思考 问题1 上节课学的比例线段的概念是怎样定义的？
问题2 比例线段要注意的方面有哪些？
灿若寒星
讲授新课
一 比例的基本性质
九年级数学上册 22.1 第3课时 比例的性质与黄金分割教案2 沪科版(2021学年)
２017年九年级数学上册22.１第３课时比例的性质与黄金分割教案2 (新版）沪科版编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望（2017年九年级数学上册22.1 第３课时比例的性质与黄金分割教案2 (新版)沪科版)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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22.1 比例线段第3课时比例的性质与黄金分割教学目标【知识与技能】１.进一步理解并掌握比例、比例线段的概念。
２．会辨认比例式中的“项”.3。
会求常见图形中的线段比.4.会进行黄金分割的有关计算.【过程与方法】1。
经历探究比例、比例线段的性质的过程,体会类比的思想,促进探究、质疑、归纳能力的发展.2.经历黄金分割的引入以及黄金分割点的探究过程。
3．通过问题情境的创设和解决过程进一步体会数学与生活的紧密联系,体会数学的思维方式，增进数学学习的情感。
【情感、态度与价值观】在交流协作中,体会生生交往与师生交往的乐趣;在解决问题的过程中接受挑战、战胜困难,增强学习数学的兴趣。
重点难点【重点】比例及比例线段的性质;黄金分割点的有关计算。
【难点】比例及比例线段的应用;黄金分割点的有关计算。
教学过程一、复习回顾,引入新课师:在上一节，我们学习了成比例线段,同学们现在能画出两条线段、量出长度并求出它们的比值吗?学生作图后测量并求出比值.师：用同一个单位去度量两条线段ａ、ｂ,得到它们的长度，我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比,记作或a∶b．在四条线段a、b、ｃ、d中,如果其中两条线段a、ｂ的比,等于另外两条线段c、d的比，即=(或a∶ｂ＝c∶ｄ),那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
九年级数学上册 22.1 第3课时 比例的性质与黄金分割教案2 (新版)沪科版
22.1 比例线段第3课时比例的性质与黄金分割教学目标【知识与技能】1.进一步理解并掌握比例、比例线段的概念.2.会辨认比例式中的“项”.3.会求常见图形中的线段比.4.会进行黄金分割的有关计算.【过程与方法】1.经历探究比例、比例线段的性质的过程,体会类比的思想,促进探究、质疑、归纳能力的发展.2.经历黄金分割的引入以及黄金分割点的探究过程.3.通过问题情境的创设和解决过程进一步体会数学与生活的紧密联系,体会数学的思维方式,增进数学学习的情感.【情感、态度与价值观】在交流协作中,体会生生交往与师生交往的乐趣;在解决问题的过程中接受挑战、战胜困难,增强学习数学的兴趣.重点难点【重点】比例及比例线段的性质;黄金分割点的有关计算.【难点】比例及比例线段的应用;黄金分割点的有关计算.教学过程一、复习回顾,引入新课师:在上一节,我们学习了成比例线段,同学们现在能画出两条线段、量出长度并求出它们的比值吗?学生作图后测量并求出比值.师:用同一个单位去度量两条线段a、b,得到它们的长度,我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比,记作或a∶b.在四条线段a、b、c、d中,如果其中两条线段a、b的比,等于另外两条线段c、d的比,即=(或a∶b=c∶d),那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.二、探究新知师:两条线段的比是它们长度的比,也就是两个数的比,因此也应具有关于两个数成比例的性质.如果=,你能把这个式子改写成乘积的形式吗?生:两边同乘以bd,得到ad=bc.师:反之,如果ad=bc(b、d≠0)我们是否能得到=呢?生:能,两边同除以bd.师:比例的这个性质叫做比例的基本性质.教师多媒体课件出示:师:现在请同学们看这三个图形.图形(1)和图形(2)对应边是成比例的,图形(3)的长等于图形(1)的长加上图形(2)的长,图形(3)的宽等于图形(1)的宽加上图形(2)的宽,你能判断图形(1)和图形(3)的边是否成比例吗?学生思考,讨论.师:你怎么判断这两个长方形的边是否是成比例的呢?生:计算3.6∶2和2.7∶1.5是否相等.师:现在就请同学们算一下是否相等.学生计算后回答:相等.师:所以我们有=.对于式子=,能否得到=呢?学生思考,讨论.生:在=的两边都加上1,然后通分就得到了=.师:对!所以我们得到了这个结论:如果=,那么=(b、d≠0).这叫做比例的合比性质.如果=,b1+b2≠0,你能否证明=呢?教师提示:我们可以倒着推:要证=,可先证(a1+a2)×b1=(b1+b2)×a1,即a1b1+a2b1=b1a1+b2a1,两边都减去a1b1,两边都减去a1b1,得a2b1=b2a1,你能证明a2b1=b2a1吗?学生思考后回答:能.师:怎么证明?生:因为=,两边同乘以b1b2,就证出来了.师:现在你知道怎么证明=了吗?生:知道了.师:请同学们想想有没有其他的证法?学生思考.教师提示:的值与的值相等,我们要证的是的值也与的值相等,如果我现在设==k,你能否证出=k呢?学生思考,讨论.师:a1、a2能否用含b1、b2的代数式表示?生:能.师:怎样表示?生:a1=b1k,a2=b2k.师:你知道怎样证明了吗?生:知道,将a1=b1k,a2=b2k代入中.师:我们有了两种证法,哪两位同学愿意上来写出证明过程?学生举手,教师从举手的同学中找两生板演.生1板书:证明:∵=(已知),两边同乘以得=.∴=(合比性质).两边同乘以得=.两边取倒数,得=,即=.生2板书:设==k,得a1=b1k,a2=b2k,代入得===k=.师:你能总结一下以上两种方法吗?生:第一种方法是先倒推,再证明;第二种方法是设定值.师:同学们总结得很好!再遇到证明两式相等的问题时要记起这两种方法,其中设定值的方法一般适用于设比值为定值.如果我把这个式子推广,===…=成立,且b1+b2+b3+…+b n≠0,你能否推出所有分子之和与所有分母之和的比是等于呢?生:能.教师找一生板演,其余同学在下面做,教师巡视指导.师:所以我们得到比例的又一性质:如果==…=,且b1+b2+b3+…+b n≠0,那么=.三、例题讲解【例1】已知:如图,在△ABC中,=.师:请同学们看这道题.学生读题思考.师:哪位同学能证明这道题,跟大家说说你的思路.学生举手.教师找一生回答第(1)题.生:因为=,由合比性质得=,即=.教师找另一生回答第(2)题.师:你是怎样考虑的呢?生:AB可以写成AD+DB,AC可以写成AE+EC.因为合比性质是分子加分母,要证明=,可先证=,然后两边取倒数,就得到要证的结果了.师:很好!现在请你把证明步骤写在黑板上,其余同学在下面做.学生证明后集体订正.教师多媒体课件出示:【例2】在地图或工程图纸上,都标有比例尺,比例尺就是图上长度与实际长度的比.现在一张比例尺为1∶5 000的图纸上,量得一个△ABC的三边:AC=3 cm,BC=4 cm,AB=5 cm.问这个图纸所反映的实际△A'B'C'的周长是多少?解:根据题意,得===.即=.又∵AB+BC+AC=5+4+3=12(cm),∴A'B'+B'C'+A'C'=12×5 000=60 000(cm)=600(m).答:实际△A'B'C'的周长是600 m.【例3】如图所示,已知线段AB长度为a,点P是AB上一点,且使AB∶AP=AP∶PB.求线段AP 的长和的值.解:设AP=x,那么PB=a-x.根据题意,得a∶x=x∶(a-x),即x2+ax-a2=0.解方程,得x=a.因为线段长度不能是负值,所以取x=a.即AP=a.于是==≈0.618.把一条线段分成两部分,使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,分割点叫做这条线段的黄金分割点,比值叫做黄金数.四、巩固练习1.若6x=5y,则x∶y= .【答案】2.已知ab=cd,则= .【答案】3.若==,则= .【答案】4.已知x===,则x的值是.解析:∵x===,∴a2+ab=bc+c2. ①b2+bc=a2+ac. ②ac+c2=ab+b2③将③式减去②式得ab-bc=c2-a2. ④将②式减去①式得ac-ab=b2-c2. ⑤将③式减去①式得b2-a2=ac-bc. ⑥由④⑤⑥式都可得出a+b+c=0.∴a+b=-c,b+c=-a,a+c=-b.∴x====-1.【答案】-15.点P在线段AB上,AP2=AB·PB.若PB=4,则AP的长为.解析:设AP=x,∴x2=(x+4)×4,x2-4x-16=0.∴x=2±2.又∵x>0,∴AP长取2+2.【答案】2+26.已知点M将线段AB黄金分割(AM>BM),则下列各式中不正确的是( )A.AM∶BM=AB∶AMB.AM=ABC.BM=ABD.AM≈0.618AB【答案】C7.已知x∶y=3∶5,y∶z=4∶7,求x∶y∶z.【答案】∵x∶y=3∶5,∴x=y.又∵y∶z=4∶7,∴z=y.∴x∶y∶z=y∶y∶y=12∶20∶35.五、课堂小结师:本节课你学习了什么内容?有什么收获?学生回答,教师点评.教学反思首先,从回顾上节已学的比例知识入手,运用类比的方法得到实数范围的比和比例,再类比得到比例线段的概念,这样会比较直观、易学.其次,尽可能体现数学与生活的紧密联系,如课题的引出及知识的应用,尽可能让学生感悟到数学源于实际,并且数学知识和方法能很好地解决实际生活中的问题,激起学生学习数学的欲望.总的来说,本节课是在轻松愉快的氛围中完成的,学生的热情也比较高涨,由于所涉及的问题是每个学生触手可及的,因而学生在活跃的课堂气氛中也各有所获.。
数学-沪科版-九年级上黄金分割
古希腊巴台农神庙
巴黎圣母院
联合国总部大厦
黄金分割，尤其宽与长的比为黄金比的矩形，在 古典及现代建筑中都有广泛的应用．
黄金分割
沪科版九年级上册第22章《22.1比例线段》第三课时
著名画家达•芬奇的旷世名 作《蒙娜丽莎》的构图完美的 体现了黄金分割在油画艺术上 的应用．
黄金分割
沪科版九年级上册第22章《22.1比例线段》第三课时
AB AC
化为整式方程：
x2 + x–1=0
，
利用一元二次方程知识可以解出x＝
√5 – 1
2
，
利用计算器计算 x =
√5 – 1
2
≈ 0.618 ．(精确到千分位)
黄金分割
沪科版九年级上册第22章《22.1比例线段》第三课时
A
C
B
如图,点C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,
如果
AC
AB =
B C
A
黄金分割
沪科版九年级上册第22章《22.1比例线段》第三课时
3.想一想
巴台农神庙
A
E
B
D
F
C
如果用图中的虚线表示的矩形画成如图所示的矩形 ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD， 那么我们可以惊奇的发现，
BC BE
=
AB BC
。点E是AB的
黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？
• 1、P69练习第7题 • 2、阅读P73阅读与欣赏之《奇妙的黄金数》 • 3、一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐 以下的高度符合黄金分割，则这个人好看。如图，是 一个参加空姐选拔活动的选手情况，那么她应该穿多 高的鞋子好看？
沪科版九上数学课件22.1.3 比例的性质
B．BC2＝AC·BA
AC 5 1 D. BC 2
知4－练
2 3
若点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
5 1 则①AB＝ 2
AC；②AC＝3 5 AB；③AB∶AC＝
2
AC∶CB；④AC≈0.618AB.其中正确的有(
)
4
A．1个
B．2 个
C．3个
若
x y
和
x y 的值. y
）
2
(东营）
3
x 3 x y ,则 的值为（ y 4 x 4 5 7 A. 1 B. C. D. 7 4 4 x +y 7 x 如果 , 那么 的值是（ ） y 4 y
3 A. 4
2 B. 3
4 C. 3
3 D. 2
知3－讲
知识点
3 等比性质
an , 且b1 b2 bn
审美意义的比例数字，
上述比例是最能引起人 的美感的比例，因此线段分成两部分，使其中较长线段为全线
段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做 黄金分割． 2．分割点叫做线段的黄金分割点，比值
5 1 2
叫
做黄金数．一条线段的黄金分割点有两个．
3 7 7 b b b 3 解法一：由已知得 a b ，故 a +b = 4 = 4 4 7. 4 1 1 ab 3 bb b 4 4 4
a 3 ， 所以设a=3k,b=4k, 解法二：因为 b 4
则
a +b 3k 4k 7k = 7. a b 3k 4k k
a1 a2 等比性质：如果 b1 b2 a1 a2 那么 b1 b2 an a1 . bn b1
22.1 第3课时 比例的性质和黄金分割
东方明珠塔，塔高 468 米. 设计师在 263 米处设计了一 个球体，使平直单调的塔身 变得丰富多彩，非常协调、 美观.
人的俊美，体现在头部及躯 干是否符合黄金分割.
美神维纳斯，她身体的各个 部位都暗藏比例 0.618，虽然 雕像残缺，却能仍让人叹服她 不可言喻的美．
黄金分割的魅力
Apple logo苹果中小叶子的高度和缺口的高度比是 0.6，而缺口的位置也和 黄金分割有着千丝万缕的关系。也许这里面还有更多黄金的分割的密码，这里
AB 2
2
概念学习
把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线
段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金
分割.分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值 5 1
2
叫做黄金数. A
CB
想一想：如果把图中用虚线表示的矩形画成如图所示的
矩形 ABCD，以矩形 ABCD 的宽为边在其内部作正方形 AEFD，那么我们可以惊奇地发现 BE BC ， 点 E 是
就要同学们自己去发现。
当堂练习
1.(1)已知
a b
4 3
，那么
ab b
=
7 3
，a
b
b
=
1 3
.
(2)如果
a b
c d
e f
5 7
，那么
ace bd f
5 7
.
(3)如果
a b
c d
e f
2 5
ace
，那么 b d f
2 5
.
2.已知线段 AB，点 P 是它的黄金分割点，AP＞BP，
设以 AP 为边的正方形的面积为 S1，以 PB、AB 为边
那么 ad = bc 吗？ 在等式两边同时乘以 bd，得 ad = bc 由此可得到比例的基本性质：
22.1第3课时 比例的性质与黄金分割-2020秋沪科版九年级数学上册教案
第3课时 比例的性质与黄金分割◇教学目标◇【知识与技能】1.理解比例的基本性质;2.能根据比例的基本性质求比值,能根据条件写出比例式或进行比例式的简单变形;3.知道黄金分割的定义,会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.【过程与方法】通过例题的学习,培养学生的灵活运用能力.【情感、态度与价值观】建立初步的空间观念,发展形象思维;并通过有趣的图形,培养学生学习数学的兴趣.◇教学重难点◇【教学重点】比例的基本性质.【教学难点】掌握黄金分割的概念,并能解决相关的实际问题.◇教学过程◇一、情境导入美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618;一些长方形的画框,宽与长之比也设计成0.618.许多美丽的形状都与0.618这个比值有关,你知道0.618这个比值的来历吗?二、合作探究探究点1 比例的基本性质典例1 如果四条线段a ,b ,c ,d 构成a b =c d ,m>0,则下面推理正确的有 ( )①a b =cm dm ;②a b =7a+cm 7b+dm ;③a b =c+m d+m ;④a a+cm =b b+dm . A.1个 B.2个C.3个D.4个 [解析] ①∵a b =c d ,m>0,∴a b =cm dm ;②∵a b =c d ,m>0,∴a b =7a 7b =cm dm ,∴a b =7a+cm 7b+dm ;③a b =c+m d+m 错误;④设a b =c d =k ,则a=kb ,c=kd ,所以a a+cm =bk bk+kdm =b b+dm .综上所述,推理正确的有①②④.[答案] C已知x 2=y 3=z 4,求2x+2y+z 3y -z . [解析] 设x 2=y 3=z 4=k ,则x=2k ,y=3k ,z=4k.∴2x +2y +z 3y -z =2×2k +2×3k +4k 3×3k -4k =145.遇到连等式时常利用设“k”法,即引进参数解题.具体步骤如下:探究点2黄金分割典例2主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体,如果舞台AB长为20米,一个主持人现站在舞台AB的黄金分割点C处,则下列结论一定正确的是()①AB∶AC=AC∶BC;②AC≈6.18米;③AC=10(√5-1)米;④BC=10(3-√5)米或10(√5-1)米.A.①②③④B.①②③C.①③D.④[解析]若AC<BC,则AB∶BC=BC∶AC,所以①不一定正确;AC≈0.618AB≈12.36或AB=10(√5-1),BC=10(3-√5);若AC≈20-12.36=7.64,所以②错误;若AC为较长线段时,AC=√5-12AB=10(√5-1),AC=10(3-√5),所以③不一定正确,④正确.BC为较长线段时,BC=√5-12如图是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》.画中的脸部被包在矩形ABCD内,点E是AB的黄金分割点,BE>AE,若AB=2a,则BE长为() A.(√5+1)a B.(√5-1)aC.(3-√5)aD.(√5-2)a[答案] B三、板书设计比例的性质与黄金分割1.比例的基本性质2.黄金分割◇教学反思◇本节课学习的黄金分割是一个新的概念,学生缺少这方面知识的积累,因此教学中在内容选择上,充分利用网络资源,选用大量图文作为背景,通过建筑、艺术、生活中的实例了解黄金分割,体现数学丰富的文化价值.同时,在应用中进一步理解线段的比、成比例线段等相关内容,在实际操作、思考、交流等过程中增强学生的实践意识.。
22.1.3比例的性质与黄金分割比教学设计2024-2025学年沪科版九年级数学上册
主备人
备课成员
教学内容分析
本节课的主要教学内容是比例的性质与黄金分割比。教学内容与学生已有知识的联系：学生在八年级时学习了比例的概念和基本性质，本节课将在这个基础上进一步探究比例的性质。教材的章节是沪科版九年级数学上册第22章，具体内容包括比例的性质和黄金分割比。本节课的内容与课本有关联性，符合教学实际，不需要额外的解释和说明。
核心素养目标
本节课的核心素养目标包括：逻辑推理、数学建模、数学抽象和数学交流。通过探究比例的性质，学生将培养逻辑推理能力，能够运用已知的比例性质推导出新的结论。在黄金分割比的学习过程中，学生将运用数学建模的思想，将实际问题抽象为数学模型，并能够运用比例知识解决实际问题。同时，学生通过与他人交流和合作，将提升数学交流能力，能够清晰地表达自己的思路和解题方法。通过本节课的学习，学生将能够提升数学抽象能力，将复杂的实际问题转化为数学问题，并运用数学知识进行解决。
在导入新课时，我通过提问的方式激发了学生的兴趣，让他们能够积极参与到课堂活动中来。我发现学生们对于比例的概念并不陌生，他们能够迅速地理解比例的基本性质。然而，对于黄金分割比的理解，学生们存在一定的困难。因此，我通过具体的案例和讲解，帮助他们进一步理解黄金分割比的概念和应用。
在讲授新课时，我注重了理论与实践的结合。我通过几何模型的展示和实际问题的引入，让学生能够直观地感受到比例的性质和黄金分割比的应用。我发现学生们在实践活动中的参与度很高，他们积极地进行分组讨论和实验操作。通过实践活动，学生们能够更好地理解和运用比例知识解决实际问题。
三、实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与比例相关的实际问题。
22、1、3 比例的性质3 课件 2021-2022学年沪科版数学九年级上册
宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形.
5-1
黄金数
0.618
2
实际
应用
468
m
?
上海东方明珠电视塔
高468m,上球体是塔身
的黄金分割点,它到塔
底部的距离大约是多
少米(精确到0.1m)?
468×0.618≈289.2m
数学美的魅力
古埃及胡夫金字塔
文明古国埃及的金字塔，形似方锥，
大小各异。但这些金字塔底面的边
跟鞋看起来会更美？
解：设肚脐到脚底的距离为 x m，根据题意，得
x
0.60
1.60
，解得x = 0.96.
设穿上 y m高的高跟鞋看起来会更美，则
y 0.96
0.618.
1.60 y
解得 y≈0.075，而0.075m=7.5cm.
故她应该穿约为7.5cm高的高跟鞋看起来会更美.
随堂练习
B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分
割点（即AC是AB与BC的比例中项），支撑点D是
靠近点A的黄金分割点，求AC、DC、BC的长。
6.如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的
中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作
正方形AFGH.则点H就是AB的黄金分割点.为什么？
(4) 在AB上截取AP=AC
∴ P就是线段AB的黄金分割点
C
A
P
D
B
想一想
根据上述作图回答下列问题:
(1)若AB=2, 那么BD、AD、AP、BP分别等于多少？
(2)计算：AP:AB=
,BP:AP=
.
(3)如何证明点P是线段AB的黄金分割点？
沪科版九年级数学上册教学课件：22.1比例线段第三课时
京剧演员经常选择舞台宽度的一个黄金分割 点作为出场亮相的位置．
这两幅照片，哪一幅更好看，看起来 更舒服？
这两幅照片，哪一幅更好看，看起来 更舒服？
埃菲尔铁塔，塔 高446米。第二 层的观光平台高 172米,第一层观 光平台高57米, 它们恰好都位于 于整个塔身黄金 分割处,使平直单 调的塔身变得非 常协调、美观。
分43秒下午1时38分13:38:4321.11.8
A
C
B
如图,点C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,
如果
AC =
BC , 那么称线段 AB 被点 C 黄金分割，
AB AC
点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比 .
AC
:
AB＝ √5
– 2
1
AC AB
＝
√5
– 2
1
: 1≈ 0.618 : 1 ≈ 0.618
由定义可知：一条线段 B 如果有黄金分割点，必有
一条长线段和一条短线段。
5 1a 2
5 1 0.618
a
2
即 AP 5 1 AB(或AB 0.618AB) 2
把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线 段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割
比值 5-1叫做黄金数 问：一条线段有几个黄金分割点？ 2个 2
古希腊巴台农神庙
巴ห้องสมุดไป่ตู้圣母院
联合国总部大厦
黄金分割，尤其宽与长的比为黄金比的矩形，在 古典及现代建筑中都有广泛的应用．
试一试
应用 黄金分割
利用黄金分割求值：
A
B
问题1
C
如图所示，把窗台看成线段AB，点C是 AB的黄金 分割点，现把原来放在A处的一盆花移到点C处 (AC›BC)，若AB=2米，则这盆花应由点A向点B的 方向移( 动5 1)
沪科版-数学-九年级上册-- 22.1 比例线段第3课时
第3课时 平行线基本定理1．定理：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得对应线段成比例．2．平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例．3．平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等．4．如图，在△ABC 中，如果DE ∥BC ，则下列式子正确的是( )．A ．AE EC ＝BD ADB ．AD AB ＝AE EC C ．AC AE ＝AB AD D ．AD BD ＝DE BC 答案：C5. 如图，l 1∥l 2∥l 3，AB =3，DE =2，EF =2，则BC 的长为_____________.答案：31．定理的应用【例1】 如图，已知DE ∥BC ，AB ＝15，AC ＝9，BD ＝4，求AE .分析：利用定理“平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得对应线段成比例”．解：∵DE ∥BC ，∴AB BD ＝AC CE ，即154＝9CE. ∴CE ＝2.4，∴AE ＝AC ＋CE ＝9＋2.4＝11.4.针对性训练见当堂检测·基础达标栏目第1题2．平行线分线段成比例定理【例2】 如下图，已知l 1∥l 2∥l 3，AB BC ＝m n ，求证：DE DF ＝m m ＋n.分析：根据平行线分线段成比例定理，得到线段AB 、BC 、DE 、EF 的比例式，根据比例的性质对比例式变形得到要求的结果．证明：∵l 1∥l 2∥l 3，∴DE EF ＝AB BC ＝m n (平行线分线段成比例定理)．∴EF DE ＝n m .∴EF ＋DE DE＝n ＋m m (合比性质)，即DF DE ＝n ＋m m .∴DE DF ＝m m ＋n.针对性训练见当堂检测·基础达标栏目第3题1. 如图，△ABC 中，DE ∥BC ，AD=1，DB=2，AE=2，那么EC 等于( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：∵DE ∥BC ，∴AE EC ＝AD DB ，即2EC ＝12.∴EC ＝4. 答案：D2．如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，AC ＝4，CE ＝6，BD ＝3，则BF ＝( )．A ．7B ．7.5C ．8D ．8.5答案：B3．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是( )．A ．AD DF ＝BC CEB ．BC CE ＝DF AD C ．CD EF ＝BC BED ．CD EF ＝AD AF答案：A4. 如图所示，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，连接AC 交BD 于O .若AB ＝3，BO ＝4，BD ＝12，则OC 的长是( )．A ．10B ．8C ．6D ．5解析：由已知可知，AB ∥CD ，AO ＝5，∴BO BD ＝AO AC， ∴AC ＝15.又∵AO ＝5， ∴OC ＝AC －AO ＝10.答案：A5. 已知四边形ABCD 为平行四边形，F 在BC 上，E 在DC 上，且AF ∶FE=2∶3.求：(1)CF ∶BF ；(2)BF ∶AD ；(3)CE ∶ED ．解：(1)∵DE ∥AB ，∴CF BF =FE AF =32. (2)∵DE ∥AB ，∴BF BC =AF AE =25. ∵BC=AD ，∴BF AD =25. (3)∵BC ∥AD ，∴CE ED =EF AE =35.。
九年级数学上册 22.1 第3课时 比例的性质与黄金分割教案2 沪科版(2021年整理)
2017年九年级数学上册22.1 第3课时比例的性质与黄金分割教案2 （新版）沪科版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017年九年级数学上册22.1 第3课时比例的性质与黄金分割教案2 （新版）沪科版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017年九年级数学上册22.1 第3课时比例的性质与黄金分割教案2 （新版）沪科版的全部内容。
22.1 比例线段第3课时比例的性质与黄金分割教学目标【知识与技能】1.进一步理解并掌握比例、比例线段的概念。
2.会辨认比例式中的“项”.3。
会求常见图形中的线段比.4.会进行黄金分割的有关计算.【过程与方法】1。
经历探究比例、比例线段的性质的过程，体会类比的思想,促进探究、质疑、归纳能力的发展.2.经历黄金分割的引入以及黄金分割点的探究过程。
3.通过问题情境的创设和解决过程进一步体会数学与生活的紧密联系，体会数学的思维方式,增进数学学习的情感。
【情感、态度与价值观】在交流协作中，体会生生交往与师生交往的乐趣;在解决问题的过程中接受挑战、战胜困难,增强学习数学的兴趣。
重点难点【重点】比例及比例线段的性质;黄金分割点的有关计算。
【难点】比例及比例线段的应用;黄金分割点的有关计算。
教学过程一、复习回顾,引入新课师:在上一节,我们学习了成比例线段，同学们现在能画出两条线段、量出长度并求出它们的比值吗？学生作图后测量并求出比值.师：用同一个单位去度量两条线段a、b,得到它们的长度，我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比，记作或a∶b.在四条线段a、b、c、d中,如果其中两条线段a、b的比,等于另外两条线段c、d的比,即=(或a∶b=c∶d),那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。