【精校】2020年吉林省吉林市高考二模数学理
2020年吉林高三二模理科数学试卷(含答案和解析)
2020年吉林高三二模理科数学试卷注意事项:1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2. 请将答案正确填写在答题卡上。
一、标题1.集合的子集的个数是（ ）．A. B. C. D.2.已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ）．A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是（ ）．A.数据中可能有异常值B.这组数据是近似对称的C.数据中可能有极端大的值D.数据中众数可能和中位数相同4.“”是”，”的（ ）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：，，，，下列函数模型中拟合较好的是（ ）．A.B.C.6.已知实数，满足线性约束条件，则的最小值为（ ）．A.B.C.D.7.已知圆与抛物线的准线相切，则的值为（ ）．A.B.C.D.8.如图，正方体中，，，，分别为所在棱的中点，则下列各直线中，不与平面平行的是（ ）．A.直线B.直线C.直线D.直线9.我国宋代数学家秦九韶（）在《数书九章》（）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．其实质是根据三角形的三边长，，来三角形面积，即．若的面积，，，则等于（ ）．B.C.或D.或10.已知双曲线的焦距为．点为双曲线的右顶点，若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率是（ ）．A.B.C.D.11.已知，，，则（ ）．A.B.C.D.12.如图，在中，点，分别为，的中点，若，，且满足则等于（ ）．A.B.C.D.13.在空间直角坐标系中，，，，，则四面体的外接球的体积为 ．14.直线（，）过圆的圆心，则的最小值是 ．15.若函数在区间上恰有个不同的零点，则正数的取值范围是 ．16.关于函数有下列四个命题：①函数在上是增函数；②函数的图象关于中心对称；③不存在斜率小于且与数的图象相切的直线；④函数的导函数不存在极小值．其中正确的命题有 ．（写出所有正确命题的序号）（1）（2）17.已知数列是公比为正数的等比数列，其前项和为，满足，且，，成等差数列．求的通项公式．若数列满足，求的值．（1）（2）18.如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，且，，， , 是棱的中点．证明：．求二面角的余弦值．19.已知中，角，，所对的边分别为，，，，且满足．（1）（2）求的面积．若，求的最大值．（1）（2）（3）20.为满足人们的阅读需求，图书馆设立了无人值守的自助阅读区，提倡人们在阅读后将图书分类放回相应区域．现随机抽取了某阅读区本图书的分类归还情况，数据统计如下（单位：本）．文学类专栏科普类专栏其他类专栏文学类图书科普类图书其他图书根据统计数据估计文学类图书分类正确的概率．根据统计数据估计图书分类错误的概率．假设文学类图书在“文学类专栏”、“科普类专栏”、“其他类专栏”的数目分别为，，，其中，，，当，，的方差最大时，求，的值，并求出此时方差的值．（1）（2）21.设函数．若函数在是单调递减的函数，求实数的取值范围．若，证明：．（1）（2）22.已知，，动点满足直线与直线的斜率之积为，设点的轨迹为曲线．求曲线的方程．若过点的直线与曲线交于，两点，过点且与直线垂直的直线与相交于点，求的最小值及此时直线的方程．2020年吉林高三二模理科数学试卷答案注意事项:1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2. 请将答案正确填写在答题卡上。
2020年吉林省高考数学二模试卷(理科)(有解析)
2020年吉林省高考数学二模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x ∈Z|−2⩽x <3},B ={0,2,4}，则A ∩B =( )A. {0,2,4}B. {0,2}C. {0,1,2}D. ϕ2. 复数z =i1+i (i 为虚数单位)的模长是( )A. 12B. √22C. 1D. 23. 若向量a ⃗ =(2,k)，b ⃗ =(−1,2)，满足a ⃗ ⊥b⃗ ，则实数k =( ) A. −1B. 1C. 4D. 04. 已知tan(α+β)=25,tan(β+π4)=14，则tan(a −π4)的值为( )A. 16B. 2213C. 322D. 13185. 如图中的程序框图运行结果M 为( )A. 3B. 13 C. 32 D. 16. 双曲线C ：x 24−y 22=1的离心率为( )A. √22B. √62C. √24D. √647. 在公差不为0的等差数列{a n }中，4a 3+a 11−3a 5=10，则15a 4=( )A. −1B. 0C. 1D. 28. 函数f(x)={(12)x −1,−1≤x ≤0x 2,0<x ≤2，若方程f(x)=x +a 恰有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是( )A. [−1,14)B. [−1,14]C. [−14,2]D. (−14,2]9.某几何体的三视图如图所示，则该儿何体的体积是()A. 23B. 43C. 4D. 2√5310.将函数的图象向右平移π6个单位长度，得到的图象关于y轴对称，则ω的最小值为()A. 7B. 6C. 5D. 411.将正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，则直线BD和平面ABC所成的角的大小为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°12.设f(x)=13x3+ax2+5x+6在区间[1,3]上为单调函数，则实数a的取值范围为()A. B.C. D. [−√5,√5]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知n≥3，若对任意的x，都有(x+2)n=a0(x−1)n+a1(x−1)n−1+135⋅(x−1)n−2+⋯+a n，则n=______．14.已知数列{a n}中，a2=2，a n+1−2a n=0，那么数列{a n}的前6项和是______．15.已知满足{x≥2x+y≤42x−y−m≤0 ，若目标函数z=3x+y的最大值为10，则z的最小值为______．16.已知P是抛物线y2=4x上任意一点，Q是圆(x−4)2+y2=1上任意一点，则|PQ|的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知ΔABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c．(1)若bcosA=c，求B；(2)若bsinA=c，求a2+b2+c2ab的最大值．18.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E分别是BC和CC1的中点，已知AB=AC=AA1=4，∠BAC=90°．(Ⅰ)求证：B1D⊥平面AED；(Ⅱ)求二面角B1−AE−D的余弦值．19.随着支付宝、微信等支付方式的上线，越来越多的商业场景可以实现手机支付．为了解各年龄层的人使用手机支付的情况，随机调查50次商业行为，并把调查结果制成下表：年龄(岁)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)频数510151055手机支付4610620(1)若从年龄在[55,65)的被调查者中随机选取2人进行调查，记选中的2人中使用手机支付的人数为X，求X的分布列及数学期望；(2)把年龄在[15,45)称为中青年，年龄在[45,75)称为中老年，请根据上表完成2×2列联表，并说明能否有95%以上的把握判断使用手机支付与年龄(中青年、中老年)有关联？(附)参考公式：(k2=n×(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d)临界值表：20.(1)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线√7x−√5y+12=0相切．求椭圆C的方程；(2)已知⊙A1：(x+2)2+y2=12和点A2(2,0)，求过点A2且与⊙A1相切的动圆圆心P的轨迹方程．21. 已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx +5，曲线y =f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程为y =3x +1．(1)求a ，b 的值；(2)求y =f(x)在[−3,1]上的最大值．22. 已知曲线C 的参数方程为{x =sinα ,y =2cosα(α为参数)，直线l 过点P (0,1)． (1)求曲线C 的标准方程；(2)若直线l 与椭圆交于A 、B 两点，求|PA|⋅|PB|的取值范围．23. 已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x)=x 2−2x −3(x >0)．(Ⅰ) 若函数g(x)=|f(x)|−a 有4个零点，求实数a 的取值范围； (Ⅱ) 求|f(x +1)|≤4的解集．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查集合的交集运算，属于基础题 解：集合A ={−2,−1,0,1,2}，B ={0,2,4}， 所以A ∩B ={0,2}． 故选B ．2.答案：B解析：本题考查复数的模的求法，及复数的四则运算，考查计算能力，属于基础题． 解：z =i1+i =i (1−i )(1+i )(1−i )=i+12=12+12i ，复数模长：|z |=√(12)2+(12)2=√22，故选B ．3.答案：B解析：解：∵向量a ⃗ =(2,k)，b ⃗ =(−1,2)，满足a ⃗ ⊥b ⃗ ， ∴a ⃗ ⋅b ⃗ =−2+2k =0， 解得实数k =1． 故选：B ．利用向量垂直的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.答案：C解析：本题考查了正切的差角公式，属于基础题．利用tan(α−π4)=tan[(α+β)−(β+π4)]即可求解．解：由题意可知，tan(α−π4)=tan[(α+β)−(β+π4)]=25−141+25×14=322，故选C．5.答案：C解析：解：执行程序框图，有x=1y=2M=32故选：C．执行程序框图，依次写出得到的x，y，M的值即可．本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．6.答案：B解析：解：双曲线C：x24−y22=1，可得a=2，b=√2，则c=√6．双曲线的离心率为：√62．故选：B．利用双曲线方程求出a，b，c，然后求解离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．7.答案：C解析：本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用等差数列的通项公式即可得出．解：设公差为d≠0的等差数列{a n}，∵4a3+a11−3a5=10，∴2a 1+6d =10，即a 1+3d =5=a 4， 则15a 4=1． 故选：C ．8.答案：D解析：解：方程f(x)=x +a 恰有两个不相等的实数根 等价于函数y =f(x)与y =x +a 图象恰有两个不同的交点，由图象可知当直线介于两红色线之间时符合题意， ∵a 为直线的截距，由图易得上面直线的截距为2， 由{y =a +a y =x 2可得x 2−x −a =0，由△=0可得a =−14 ∴a 的取值范围为：a ∈(−14,2] 故选：D问题等价于函数y =f(x)与y =x +a 图象恰有两个不同的交点，数形结合可得． 本题考查函数的零点，转化和数形结合是解决问题的关键，属基础题．9.答案：B解析：解：根据三视图知，该几何体是底面为平行四边形的四棱锥P −ABCD ，如图所示；则该四棱锥的高为2，底面积为1×2=2， 所以该四棱锥的体积是V =13×2×2=43． 故选：B ．根据三视图知该几何体是底面为平行四边形的四棱锥，结合图中数据求出该几何体的体积．本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，是基础题．10.答案：C解析：本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得ω的最小值．解：∵将函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度，得到y=sin(ωx−ωπ6+π3)的图象关于y轴对称，∴−ωπ6+π3=kπ+π2，k∈Z，ω=−6k−1，因为ω>0，所以当k=−1时，ω的最小值为5，故选：C．11.答案：B解析：解：如图，当平面BAC⊥平面DAC时，取AC的中点E，则BE⊥平面DAC，故直线BD和平面ABC所成的角为∠DBE，cos∠DBE=BEBD =√22，∴∠DBE=45°．故选：B．当平面BAC⊥平面DAC时，取AC的中点E，则BE⊥平面DAC，故直线BD和平面ABC所成的角为∠DBE，由此能求出结果．本题考查直线与平面所成角的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．12.答案：C解析：本题考查利用导数研究函数的单调性，分离参数的应用，构造函数求最值，考查恒成立方法的应用，属于中档题．由题意得f ′(x)=x 2+2ax +5≥0或f ′(x)=x 2+2ax +5≤0恒成立，分离参数得a ≥−x 2−52x或a ≤−x 2−52x在x ∈[1,3]时恒成立，利用导数求y =−x 2−52x的最值即可．解：f(x)=13x 3+ax 2+5x +6在区间[1,3]上为单调函数，又f ′(x)=x 2+2ax +5， 若函数f(x)在[1,3]单调递增，则有f ′(x)=x 2+2ax +5≥0恒成立， 故a ≥−x 2−52x在x ∈[1,3]时恒成立， 令g(x)=−x 2−52x，则g′(x)=−x 2+52x 2，令g′(x)=0，得x =±√5，所以g(x)在[1,√5)单调递增，在(√5,3]单调递减， 又g(1)=−3，g(√5)=−√5，g(3)=−73，所以g(x)在[1,3]上的最大值为g(√5)=−√5，最小值为g(1)=−3， 所以a ≥(−x 2−52x)max =−√5；若函数f(x)在[1,3]单调递减，则有f′(x)=x 2+2ax +5≤0恒成立， 故a ≤−x 2−52x在x ∈[1,3]时恒成立，所以a ≤(−x 2−52x)min =−3． 综上所述，a 的取值范围为．故选C ．13.答案：6解析：根据题意，分析有(x +2)n =[(x −1)+3]n ，由二项式定理求出其展开式，结合题意分析可得C n 2×32=135，即C n 2=15，解可得n 的值，即可得答案．本题考查二项式定理的应用，关键是(x +2)的变形，属于基础题．解：根据题意，(x +2)n =[(x −1)+3]n ，其展开式为：T r+1=C nr(x −1)n−r ×3r ， 又由(x +2)n =a 0(x −1)n +a 1(x −1)n−1+135⋅(x −1)n−2+⋯+a n ，则有C n 2×32=135，即C n 2=15，解可得：n =6．故答案为6．14.答案：63解析：解：∵a 2=2，a n+1−2a n =0， ∴a n+1=2a n ，∴2a 1=2，解得a 1=1． ∴数列{a n }是等比数列，首项为1，公比为2， ∴S 6=26−12−1=63．故答案为：63．利用等比数列的前n 项和公式即可得出．本题考查了等比数列的前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.答案：5解析：解：不等式组对应的平面区域如图： 由z =3x +y 得y =−3x +z平移直线y =−3x +z ，则由图象可知当直线y =−3x +z 经过点C 时，直线y =−3x +z 的截距最大，此时z 最大，为3x +y =10由{3x +y =10x +y =4，解得{x =3y =1，即C(3,1)，此时C 在2x −y −m =0上， 则m =5．当直线y =−3x +z 经过点A 时，直线y =−3x +z 的截距最小，此时z 最小， 由{x =22x −y −5=0，得{x =2y =−1，即A(2,−1)， 此时z =3×2−1=5， 故答案为：5．作出不等式组对应的平面区域，根据z 的几何意义，利用数形结合即可得到m 的值．然后即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，根据z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．16.答案：2√3−1解析：本题考查抛物线与圆的位置关系的应用，距离的最小值的求法，是中档题．设点P的坐标为(14m2,m)，圆(x−4)2+y2=1的圆心坐标A(4,0)，求出|PA|的最小值，即可得到|PQ|的最小值．解：设点P的坐标为(14m2,m)，圆(x−4)2+y2=1的圆心坐标A(4,0)，∴|PA|2=(14m2−4)2+m2=116(m2−8)2+12≥12，∴|PA|≥2√3，∵Q是圆(x−4)2+y2=1上任意一点，∴|PQ|的最小值为2√3−1，故答案为：2√3−1．17.答案：解：(1)因为bcosA=c，由正弦定理得sinBcosA=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，所以sinAcosB=0，因为0<A<π，sinA≠0，所以cosB=0，B=π2，(2)因为bsinA=c，由正弦定理得sinBsinA=sinC，由余弦定理得，当C=π4时，a2+b2+c2ab可取最大值2√2．解析：本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，难度一般，(1)正弦定理结合已知条件和角的取值范围可得答案；(2)直接应用正弦定理余弦定理结合bsinA=c可得答案．18.答案：解：(Ⅰ)依题意，建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，∵AB=AC=AA1=4，∴A(0,0，0)，B(4,0，0)，E(0,4，2)，D(2,2，0)，B1(4,0，4)，∴B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，−4)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4，2)， ∵B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4+4+0=0， ∴B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即B 1D ⊥AD ， ∵B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0+8−8=0， ∴B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即B 1D ⊥AE ，又AD ，AE ⊂平面AED ，且AD ∩AE =A ， 则B 1D ⊥平面AED ；(Ⅱ)由(Ⅰ)知B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，−4)，为平面AED 的一个法向量， 设平面B 1AE 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， ∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4，2)，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,0，4)， ∴{n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{4y +2z =04x +4z =0，令y =1，得x =2，z =−2，即n⃗ =(2,1，−2)， ∴cos(n ⃗ ,B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=n⃗⃗ ⋅B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|n ⃗⃗ |⋅|B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√9×√24=√66， ∴二面角二面角B 1−AE −D 的余弦值为√66．解析：(Ⅰ)建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别计算B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，利用直线与平面垂直的判定定理可证B 1D ⊥平面AED ；(Ⅱ)由(Ⅰ)分别求出平面AED 和平面B 1AE 一个法向量；利用空间两个向量的夹角公式即可求出二面角B 1−AE −D 的余弦值．此题考查了二面角及求法，直线与平面垂直的判定，锻炼了学生空间想象能力和逻辑推理能力，熟练掌握二面角的求法及直线与平面垂直的判定方法是解本题的关键．19.答案：解：(1)年龄在[55,65)的被调查者共5人，其中使用手机支付的有2人，则抽取的2人中使用手机支付的人数X 可能取值为0，1，2．∴p (X =0)=C 32C 52=310;P (X =1)=C 31C 21C 52=35;P (X =2)=C 22C 52=110．∴X的分布列为：∴E(X)=0×310+1×35+2×110=45;(2)2×2列联表如图所示，∵K2=50×(20×12−8×10)20×30×28×22=800231≈3.463<3.841，∴没有95%以上的把握判断使用手机支付与年龄(中青年、中老年)有关联．解析：本题考查了离散型随机变量的分布列和数学期望及独立性检验．(1)由随机变量的X的所有可能取值为0，1，2，求得对应的概率，得到分布列，求得数学期望；(2)由列联表，代入公式，K2=50×(20×12−8×10)20×30×28×22=800231≈3.463<3.841，得到结果．20.答案：解：(1)由题意得{ca =12√7+5=ba2=b2+c2，解得a=4，b=2√3，c=2故椭圆C的A1方程为x216+y212=1.(2)⊙A1：(x+2)2+y2=12和点A2(2,0)，过点A2且与⊙A1相切的动圆圆心P满足：||PA 1|−|PA 2||=2√3<|A 1A 2|故P 点的轨迹为以A 1，A 2为焦点的双曲线2a =2√3,c =2,解得a =√3,b =1圆心P 的轨迹方程为：x 23−y 2=1解析：(1)利用椭圆的离心率以及椭圆的短半轴长为半径的圆与直线√7x −√5y +12=0相切，列出方程组求解a ，b ，即可得到椭圆方程．(2)判断P 点的轨迹为以A 1，A 2为焦点的双曲线，求出a ，b ，即可得到双曲线方程． 本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的定义的应用，考查转化思想以及计算能力．21.答案：解：(1)由f(x)=x 3+ax 2+bx +5得，f′(x)=3x 2+2ax +b ，∴y =f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程为： y −f(1)=f′(1)(x −1)，即y −(a +b +6)=(3+2a +b)(x −1)， 整理得y =(3+2a +b)x +3−a ．又∵y =f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程为y =3x +1， ∴{3+2a +b =33−a =1，解得{a =2b =−4，∴a =2，b =−4．(2)由(1)知f(x)=x 3+2x 2−4x +5， f′(x)=3x 2+4x −4=(3x −2)(x +2)， 令f′(x)=0，得x =23或x =−2． 当x 变化时，f(x)，f′(x)的变化如下表：∴f(x)的极大值为f(−2)=13，极小值为f(23)=9527， 又∵f(−3)=8，f(1)=4， ∴f(x)在[−3,1]上的最大值为13．解析：本题考查了导数的几何意义，导数与函数的单调性、极值和最值关系，属于中档题． (1)先由求导公式和法则求出导数，再由点斜式求出切线方程并化为斜截式，再与条件对比列出方程，求出a 和b 的值；(2)由(1)求出f′(x)，再求出临界点，列出表格，求出函数的极值和端点处的函数值，对比后求出函数在已知区间上的最大值．22.答案：解：(1)由曲线C 的参数方程为为参数)， 根据得曲线C 的标准方程为x 2+y 24=1；(2)设直线l 的参数方程为代入椭圆方程得：，则，又因为，∴|PA|⋅|PB|的取值范围为[34,3]．解析：本题考查椭圆的参数方程，直线的参数方程的几何意义，基础题． (1)根据消去参数α，直接得到曲线C 的标准方程；(2)设直线l 的参数方程为代入椭圆方程利用韦达定理求解，根据三角函数的值域求解即可．23.答案：(本小题满分12分)解：(Ⅰ)因为f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x)=x 2−2x −3(x >0)， 则f(x)={x 2−2x −3,(x >0)0,(x =0)−x 2−2x +3,(x <0).…(2分) 从而可得函数y =f(x)与y =|f(x)|的图象分别如下图所示．…(4分)因为函数g(x)=|f(x)|−a有4个零点，则题设可等价转化为函数y=|f(x)|与函数y=a的图象有4个交点．…(5分)由右上图可知，a=4或0<a≤3，…(6分)即：当a=4或0<a≤3时，函数g(x)=|f(x)|−a有4个零点．…(7分)(Ⅱ)令f(x)=4得，x=2√2+1或−1，…(8分)因为f(x)是定义在R上的奇函数，当f(x)=−4时，解得x=−2√2−1或1…(9分)结合左上图可知，|f(x+1)|≤4⇔−2√2−1≤x+1≤2√2+1，…(10分)即：−2√2−2≤x≤2√2.…(11分)所以所求解集为[−2√2−2,2√2].…(12分)解析：(Ⅰ)利用f(x)是定义在R上的奇函数，求出函数的解析式，画出函数y=f(x)与y=|f(x)|的图象，利用函数g(x)=|f(x)|−a有4个零点，转化为函数y=|f(x)|与函数y=a的图象有4个交点．推出实数a的取值范围即可．(Ⅱ)令f(x)=4得，x=2√2+1或−1，利用函数f(x)是定义在R上的奇函数，结合图象，求解即可．本题考查函数与方程的应用，函数的图象的应用，考查数形结合思想以及转化思想的应用，考查计算能力．。
2020届吉林省吉林市高三第二次调研测试数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年吉林省吉林市普通中学度高三第二次调研测试数学（理）试题一、单选题1．集合{}|212P x N x =∈-<-<的子集的个数是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】先确定集合P 中元素的个数，再得子集个数． 【详解】由题意{|13}{0,1,2}P x N x =∈-<<=，有三个元素，其子集有8个． 故选：D ． 【点睛】本题考查子集的个数问题，含有n 个元素的集合其子集有2n 个，其中真子集有21n -个． 2．已知i 为虚数单位，复数z 满足()1z i i ⋅-=，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】求出复数z ，得出其对应点的坐标，确定所在象限． 【详解】 由题意i i(1i)11i 1i (1i)(1i)22z +===-+--+,对应点坐标为11(,)22- ，在第二象限． 故选：B ． 【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题．3．如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是（ ） A ．数据中可能有异常值 B ．这组数据是近似对称的 C ．数据中可能有极端大的值 D ．数据中众数可能和中位数相同【答案】B【解析】根据中位数、平均数、众数的定义说明． 【详解】中位数表示一组数据的一般水平，平均数表示一组数据的平均水平，如果这两者差不多，说明数据分布较均匀，也可以看作近似对称，但现在它们相关很大，说明其中有异常数据，有极端大的值，众数是出现次数最多的数，可能不止一个，当然可以和中位数相同，因此只有B 错误． 故选：B ． 【点睛】本题考查样本数据特征，掌握它们的概念是解题基础． 4．“1cos 22α=-”是“3k παπ=+，k Z ∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】先求出满足1cos 22α=-的α值，然后根据充分必要条件的定义判断． 【详解】 由1cos 22α=-得2223k παπ=±，即3k παπ=±，k Z ∈ ，因此“1cos 22α=-”是“3k παπ=+，k Z ∈”的必要不充分条件．故选：B ． 【点睛】本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础．解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断．5．对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：()0.675,0.989-，()1.102,0.010-，()2.899,1.024，()9.101,2.978，下列函数模型中拟合较好的是（ ） A ．3y x = B ．3x y =C ．()21y x =--D ．3log y x =【答案】D【解析】作出四个函数的图象及给出的四个点，观察这四个点在靠近哪个曲线． 【详解】如图，作出A ，B ，C ，D 中四个函数图象，同时描出题中的四个点，它们在曲线3log y x =的两侧，与其他三个曲线都离得很远，因此D 是正确选项， 故选：D ． 【点睛】本题考查回归分析，拟合曲线包含或靠近样本数据的点越多，说明拟合效果好．6．已知实数x ，y 满足线性约束条件10+20x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．1-B ．1C ．5-D ．5【答案】B【解析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定函数的最值即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：2y x z =-+，其中z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值， 联立直线方程：11x x y =⎧⎨+=⎩，可得点的坐标为：()1,1A -，据此可知目标函数的最小值为：min 2211z x y =+=-=.故选B . 【点睛】本题考查了线性规划的问题，关键是画出可行域并理解目标函数的几何意义，属于基础题.7．已知圆22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，则p 的值为（）A ．1 B.2 C.12D ．4 【答案】B【解析】因为圆22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，则圆心为（3,0），半径为4，根据相切可知，圆心到直线的距离等于原点 半径，可知p 的值为2，选B.8．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，则下列各直线中，不与平面1ACD 平行的是（ ）A ．直线EFB ．直线GHC ．直线EHD ．直线1A B【答案】C【解析】根据线面平行的判定定理判断． 【详解】首先四个选项的直线都不在平面1ACD 内，由中点及正方体的性质知//EF AC ，11////GH AC AC ，11//AB DC ，∴直线EF ，GH ，1A B 都与平面1ACD 平行，剩下的只有EH 不与平面1ACD 平行．实际上过A 作1CD 的平行线，这条平行线在平面1ACD 内且与EH 相交（它们都在平面11ABB A 内）．故选：C ． 【点睛】本题考查线面平行的判定，解题根据是线面平行的判定定理．9．我国宋代数学家秦九韶（1202－1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.其实质是根据三角形的三边长a ，b ，c 求三角形面积S ，即S =若ABC ∆的面积S =，a =2b =，则c 等于（ ）A ．5B ．9C 3D ．5或9【答案】C【解析】把已知数据代入面积公式解方程即得． 【详解】=2221111[3()]424c c --=，整理得4214450c c -+=，29c =或5，即c =3．故选：C ． 【点睛】本题寓数学知识于数学文化之中，解题时只要把已知,a b 代入面积公式解方程即可得．10．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦距为2c .点A 为双曲线C 的右顶点，若点A 到双曲线C 的渐近线的距离为12c ，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．BC ．2D ．3【答案】A【解析】由点到直线距离公式建立,,a b c 的等式，变形后可求得离心率． 【详解】由题意(,0)A a ，一条渐近线方程为b y xa =，即0bx ay -=，∴12d c ==， 222214a b c c =，即22222()14a c a c c -=，42440e e -+=，e = 故选：A ． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，掌握渐近线方程与点到直线距离公式是解题基础．11．已知ln a π=，5log 2b =，12c e -=，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】B【解析】首先与1比较，得一最大的，剩下的两个与12比较． 【详解】首先125ln 1,0log 21,01eπ-><<<<，a 最大，其次551log 2log 2<=，1212e -=>=，∴c b >，∴a c b >>． 故选：B ． 【点睛】本题考查比较幂和对数的大小，对不同底的对数或幂一般借助于中间值比较，如0，1，2等等．本题中是与12比较的．12．如图，在ABC ∆中，点M ，N 分别为CA ，CB 的中点，若AB =1CB =，且满足223AG MB CA CB ⋅=+，则AG AC ⋅等于（ ）A ．2BC ．23D ．83【答案】D【解析】选取,BA BC 为基底，其他向量都用基底表示后进行运算． 【详解】由题意G 是ABC ∆的重心，2133()2()()32AG MB AN BM BN BA BC BA ⋅=⨯⋅-=--⋅+1()()2BA BC BC BA =-⋅+22111152222BA BC BA BC BA BC =-+⋅=-+⋅22222()121BA BC BA BA BC BC CA CB =-+=-⋅+=++5211BA BC =-⋅++ ，∴917222BA BC BA BC +⋅=-⋅，1BA BC ⋅=， ∴AG AC⋅22221213()()()332322AN AC BC BA BC BA BC BC BA BA =⋅=-⋅-=-⋅+2138(5)3223=-+=， 故选：D ． 【点睛】本题考查向量的数量积，解题关键是选取两个不共线向量作为基底，其他向量都用基底表示参与运算，这样做目标明确，易于操作．二、填空题13．在空间直角坐标系O xyz -中，)A，()0,3,0B ，()0,0,5C ，)D，则四面体ABCD 的外接球的体积为______. 【答案】36π；【解析】由四点坐标知此四点正好是一个长方体的四个顶点，则长方体的对角线就是四面体ABCD 外接球的直径． 【详解】取(0,3,5),(0,0,0)E F G O ，则O A F B C E D G-是长方体，其对角线长为6l ==，∴四面体ABCD 外接球半径为32lr ==． 334433633V r πππ==⨯=，故答案为：36π．【点睛】本题考查四面体外接球体积，关键是在三个坐标平面上找三个点结合坐标原点，共八点是一个长方体的八个顶点，这样外接球直径易知．14．直线20+-=mx ny （0m >，0n >）过圆C ：222210x y x y +---=的圆心，则24m n+的最小值是______.【答案】3+【解析】求出圆心坐标，代入直线方程得,m n 的关系，再由基本不等式求得题中最小值． 【详解】圆C ：222210x y x y +---=的标准方程为22(1)(1)3x y -+-=，圆心为(1,1)C ， 由题意20m n +-=，即2m n +=，∴24122()()333m n m n m n m n n m +=++=++≥+=+2m nn m=，即1),2(2m n ==时等号成立，故答案为：3+． 【点睛】本题考查用基本不等式求最值，考查圆的标准方程，解题方法是配方法求圆心坐标，“1”的代换法求最小值，目的是凑配出基本不等式中所需的“定值”．15．若函数()1sin 262f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在区间[]0,π上恰有4个不同的零点，则正数ω的取值范围是______. 【答案】4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭；【解析】求出函数()f x 的零点，让正数零点从小到大排列，第三个正数零点落在区间[]0,π上，第四个零点在区间[]0,π外即可．【详解】由()1sin 2062f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭＝，得2(1)66k x k ππωπ+=+-⋅，k Z ∈， 1=[(1)]266k x k πππω+--⋅，k Z ∈， ∵(0)0f =，∴1(3)2661(4)266ππππωππππω⎧--≤⎪⎪⎨⎪+->⎪⎩ ，解得423ω≤<．故答案为：4[,2)3． 【点睛】本题考查函数的零点，根据正弦函数性质求出函数零点，然后题意，把正数零点从小到大排列，由于0已经是一个零点，因此只有前3个零点在区间[]0,π上．由此可得ω的不等关系，从而得出结论，本题解法属于中档题．16．关于函数()()()ln 2ln 4f x x x =+--有下列四个命题： ①函数()y f x =在()2,4-上是增函数； ②函数()y f x =的图象关于()1,0中心对称； ③不存在斜率小于23且与函数()y f x =的图象相切的直线； ④函数()y f x =的导函数()y f x '=不存在极小值. 其中正确的命题有______.（写出所有正确命题的序号） 【答案】①②③【解析】由单调性、对称性概念、导数的几何意义、导数与极值的关系进行判断． 【详解】函数()()()ln 2ln 4f x x x =+--的定义域是(2,4)-， 由于()()()26ln 2ln 4lnln(1)44x f x x x x x+=+--==-+--， 614u x=-+-在(2,4)-上递增，∴函数()y f x =在()2,4-上是递增，①正确； (2)ln(4)ln(2)()f x x x f x -=--+=-，∴函数()y f x =的图象关于()1,0中心对称，②正确；22116662'()2482(1)993f x x x x x x =+==≥=+-+---+，1x =时取等号，∴③正确；2116'()2428f x x x x x =+=+--++，设()'()g x f x =，则2212(1)'()(28)x g x x x -=-++，显然1x =是()g x 即'()f x 的极小值点，④错误．故答案为：①②③. 【点睛】本题考查函数的单调性、对称性，考查导数的几何意义、导数与极值，解题时按照相关概念判断即可，属于中档题．三、解答题17．已知数列{}n a 是公比为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，满足12a =，且223,2,a S a 成等差数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足2log n n b a =，求2222222212345699100b b b b b b b b -+-+-+⋅⋅⋅+-的值.【答案】（1）()21*2n n a n N -=∈（2）20000-【解析】（1）由公比q 表示出232,,a a S ，由223,2,a S a 成等差数列可求得q ，从而数列的通项公式；（2）求（1）得n b ，然后对和式2222222212345699100b b b b b b b b -+-+-+⋅⋅⋅+-两两并项后利用等差数列的前n 项和公式可求解． 【详解】（1）∵{}n a 是等比数列，且223,2,a S a 成等差数列∴2234S a a =+，即()211114a a q a q a q +=+∴244q q q +=+，解得：1q =-或4q = ∵0q >，∴4q = ∵12a = ∴()121*242n n n a n N --=⋅=∈（2）∵2log 21n n b a n ==- ∴2222221357197199-+-+⋅⋅⋅+-()()()()()()13135757197199197199=-++-++⋅⋅⋅+-+ ()()21357199=-++++⋅⋅⋅+ 119921002+=-⋅⋅ 20000=-【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查并项求和法及等差数列的n 项和公式．本题求数列通项公式所用方法为基本量法，求和是用并项求和法．数列的求和除公式法外，还有错位相关法、裂项相消法、分组（并项）求和法等等．18．如图，三棱柱ABC A B C '''-的侧棱AA '垂直于底面ABC ，且90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =，AA '=，M 是棱CC '的中点.（1）证明：AB A M ''⊥；（2）求二面角A MB A ''--的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】（1）由侧棱AA '垂直于底面ABC ，且90ACB ∠=︒，得可侧面与底面垂直，从而BC 与侧面AA C C ''垂直，因此有BC A M '⊥，即有B C A M '''⊥，于是只要证A M AC ''⊥即可有线面垂直，从而证AB A M ''⊥，这个A M AC ''⊥在矩形ACC A ''由相似三角形可得证；（2）以分别以CA ，CB ，CC '为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面MA B ''和平面MAB '法向量，有平面法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值（注意确定二面角是锐角还是钝角）． 【详解】（1）证明：∵AA '⊥平面ABC ∴四边形ACC A ''是矩形∵M 为CC '中点，且AA CC ''==∴C M '=∵1BC =，30BAC ∠=︒，90ACB ∠=︒∴AC A C ''==∴C M A C A C AA'''=''' 连接AC ' ，∵MC A C A A ''''∠=∠，∴MC A ''∆与C A A ''∆相似 ∴C A M A AC ''''∠=∠，∴90A AC AA M '''∠+∠=︒ ∴A M AC ''⊥∵90ACB ∠=︒，∴BC ⊥平面ACC A '' ∴B C ''⊥平面ACC A ''∵A M '⊂平面ACC A ''，∴B C A M '''⊥ ∴A M '⊥平面AB C ''，∴A M AB ''⊥．（2）解∶如图，分别以CA ，CB ，CC '为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A '，2M ⎛ ⎝⎭，(B '，)A ，∴3,0,2MA ⎛⎫'=⎪⎪⎭，0,1,2MB ⎛⎫'= ⎪ ⎪⎝⎭，3,0,2MA ⎛=- ⎭， 设平面MA B ''的法向量为()1111,,n x y z =，则10MA n '⋅=，20MB n '⋅=解得：12,22n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭同理，平面MAB '的法向量212n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭设二面角A MB A ''--的大小为θ，则1212122cos cos ,|3||||1n n n n n n θ⋅=<>===⋅ 即二面角A MB A ''--的余弦值为23. 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查空间向量法求二面角．证明线面垂直，就要证线线垂直，而证明线线垂直又可通过线面垂直得出，因此我们要注意空间线线与线面垂直的相互转化，用好用活判定定理和性质定理．立体几何中求空间角可用空间向量法求解，即建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角与空间角的关系求解．19．已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A π≠，且满足()sin 220cos 0bc A B C ++=.（1）求ABC ∆的面积S ； （2）若24a S =，求c bb c+的最大值.【答案】（1）5（2）【解析】（1）由诱导公式和二倍角公式可得sin bc A ，从而得三角形面积；（2）由余弦定理得2222cos 2sin b c bc A a bc A +-==，从而可把22c b b c b c bc++=用角A 表示出来，由三角函数性质求得最大值． 【详解】 解：（1）在ABC ∆中，A B C π++=，∴B C A +=π- ∵()sin 220cos 0bc A B C ++= ∴2sin cos 20cos 0bc A A A ⋅-= ∵2A π≠，∴cos 0A ≠∴1sin 52S bc A ==（2）∵24a S =∴222cos 2sin b c bc A bc A +-= ∴222sin 2cos b c bc A bc A +=+∴222sin 2cos 4c b b c A A A b c bc π+⎛⎫+==+=+ ⎪⎝⎭∴当4A π=时，c bb c+取最大值【点睛】本题考查二倍角公式，诱导公式，两角和与差的正弦公式，余弦定理．本题关键是2222cos 2sin b c bc A a bc A +-==，这样可把22c b b c b c bc++=表示为角A 的函数，从而求得最值．20．为满足人们的阅读需求，图书馆设立了无人值守的自助阅读区，提倡人们在阅读后将图书分类放回相应区域.现随机抽取了某阅读区500本图书的分类归还情况，数据统计如下（单位：本）.（1）根据统计数据估计文学类图书分类正确的概率1p ； （2）根据统计数据估计图书分类错误的概率2p ；（3）假设文学类图书在“文学类专栏”、“科普类专栏”、“其他类专栏”的数目分别为a ，b ，c ，其中0a >，100a b +=，50c =，当a ，b ，c 的方差2s 最大时，求a ，b的值，并求出此时方差2s 的值. 【答案】（1）23（2）725（3）当100a =，0b =时，2s 取最大值50003【解析】（1）文学类图书共有150本，其中正确分类的有100本，由此可计算概率； （2）图书分类错误的共有140本，图书总共有500本，易得概率； （3）计算平均值，再计算方差2s ，转化为a 的函数后可得最大值． 【详解】 解：（1）由题意可知，文学类图书共有1004010150++=本，其中正确分类的有100本 所以文学类图书分类正确的概率110021503p == （2）图书分类错误的共有302040101030140+++++=本，因为图书共有500本，所以图书分类错误的概率2302040101030750025p +++++==（3）a ，b ，c 的平均数()1503x a b c =++=所以方差()()()22221505050503s a b ⎡⎤=-+-+-⎣⎦()22150001003a b a b ⎡⎤=++-+⎣⎦ ()22150003a b =+-()22110050003a a ⎡⎤=+--⎣⎦21220050003a a ⎡⎤=-+⎣⎦∵0a >，0b ≥，∴当100a =，0b =时，2s 取最大值50003. 【点睛】本题考查古典概型，考查方差的计算．考查了学生的数据处理能力．属于中档题．21．设函数())ln 1f x x a=-.（1）若函数()y f x =在()1,+∞是单调递减的函数，求实数a 的取值范围；（2）若0n m >>，证明：2ln ln n m +<. 【答案】（1）2a ≥（2）证明见解析【解析】（1）求出导函数()f x '，由()0f x '≤在()1,+∞上恒成立，采用分离参数法求解；（2）观察函数()f x ，不等式凑配后知，利用2a =时()1n f f m ⎛⎫< ⎪⎝⎭可证结论． 【详解】（1）因为()y f x =在()1,+∞上单调递减， 所以()10f x x '=-≤，即a ≥在()1,+∞上恒成立 因为y=在()1,+∞()0,2，所以2a ≥ （2）因为0n m >>，所以1nm> 由（1）知，当2a =时，()y f x =在()1,+∞上单调递减所以()1n f f m ⎛⎫< ⎪⎝⎭即ln 210nm ⎫-<⎪⎪⎭所以2ln ln n m +<. 【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，考查用导数证明不等式．解题关键是把不等式与函数的结论联系起来，利用函数的特例得出不等式的证明．22．已知()2,0A -，()2,0B ，动点P 满足直线PA 与直线PB 的斜率之积为34-，设点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）若过点()1,0F 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，过点F 且与直线l 垂直的直线与4x =相交于点T ，求||||TF MN 的最小值及此时直线l 的方程.【答案】（1）()221243x y x +=≠±（2）||||TF MN 的最小值为1，此时直线l ：1x = 【解析】（1）用直接法求轨迹方程，即设动点为(,)P x y ，把已知用坐标表示并整理即得．注意取值范围；（2）设l ：1x my =+，将其与曲线C 的方程联立，消元并整理得()2234690my my ++-=，设()12,M x y ，()22,N x y ，则可得12y y +，，12y y ，由12MN y =-求出MN ，将直线FT 方程()1y m x =--与4x =联立，得()4,3T m -，求得TF ，计算||||TF MN ，设t =.显然1t ≥，构造()()||1131||4TF f t t t MN t ⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，由导数的知识求得其最小值，同时可得直线l 的方程. 【详解】（1）设(),P x y ，则34PA PB k k ⋅=-，即()3224y y x x ⋅=---- 整理得()221243x y x +=≠±（2）设l ：1x my =+，将其与曲线C 的方程联立，得()2231412my y ++=即()2234690m y my ++-=设()12,M x y ，()22,N x y ，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+2212(1)34m MN m +==+ 将直线FT ：()1y m x =--与4x =联立，得()4,3T m -∴TF ==∴2||11||44TF MN ⎛⎫== ⎝设t =.显然1t ≥ 构造()()||1131||4TF f t t t MN t ⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭()211304f t t ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭在[)1,t ∈+∞上恒成立所以()y f t =在[)1,+∞上单调递增所以||1131||4FT t MN t ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当1t =，即0m =时取“=”即||||TF MN 的最小值为1，此时直线l ：1x =. （注：1.如果按函数1y x x=+的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以根据步骤相应给分.） 【点睛】本题考查求轨迹方程，考查直线与椭圆相交中的最值．直线与椭圆相交问题中常采用“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，设直线方程，直线方程与椭圆方程联立并消元，然后用韦达定理得1212,x x x x +（或1212,y y y y +），把这个代入其他条件变形计算化简得出结论，本题属于难题，对学生的逻辑推理、运算求解能力有一定的要求．。
2020届吉林省吉林市普通高中高三上学期毕业班第二次调研模拟测试数学(理)试卷(PDF版)_PDF压缩
本试卷共 22 小题，共 150 分，共 4 页，考试时间 120 分钟。 注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。
21. （12 分）设函数 f ( x) ln x a( x 1) .
（1）若函数 y f ( x) 在 (1,) 是单调递减的函数，求实数 a 的取值范围；
（2）若 n m 0，证明： 2 ln n 2 n ln m . m
22. （12 分）已知 A(2,0), B(2,0) ，动点 P 满足直线 PA 与直线 PB 的斜率之积为 3 ，设点 P 的轨迹为 4
A. 2
B. 3
C. 4
D. 8
2. 已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 z (1 i) i ，则复数 z 在复平面内对应的点在
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. 如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是
A. 数据中可能有异常值
B. 这组数据是近似对称的
边长 a,b,c 求三角形面积 S ，即 S 1 [a2c2 ( c2 a2 b2 )2 ] . 若 ABC 的面积
4
2
S 11 ,a 3,b 2 ，则 c 等于 2
A. 5
B. 9
C. 5 或 3
D. 5 或 9
10.
已知双曲线 C
:
x2 a2
y2 b2
吉林省吉林市高考数学二模试卷(理科)
吉林省吉林市高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）已知集合A={x｜x2＋x－2<0｝，集合B={x｜(x＋2)(3－x)＞0｝，则等于（）A . {x｜1≤x<3｝B . {x｜2≤x<3｝C . {x｜－2<x<1｝D . {x｜－2<x≤－1或2≤x<3｝2. （2分）已知复数为纯虚数，其中虚数单位，则实数x的值为（）A .B .C .D .3. （2分）下列命题中的假命题是（）A .B .C .D .4. （2分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a：b：c=：4：3，设=cosA，=sinA，又△ABC的面积为S，则•=（）A . sB . sC . sD . s5. （2分） (2019高三上·长春月考) 若关于的方程有三个不等的实数解 ,且 ,其中 , 为自然对数的底数,则的值为（）A .B .C .D .6. （2分）(2018·益阳模拟) 如图所示的程序框图，若输出的，则输入的值为（）A .B .C .D . 或7. （2分） (2016高二上·洛阳期中) 设等差数列{an}的前n项和为Sn ，若Sk=2，S3k=18，则S4k=（）A . 24B . 28C . 32D . 548. （2分）棱长为2的正方体的外接球的表面积为（）A . 4πB . 12πC . 24πD . 48π9. （2分）要得到函数的图象，只要将函数的图象（）A . 向左平移2个单位B . 向右平移2个单位C . 向左平移个单位D . 向右平移个单位10. （2分） (2020高一下·台州期末) 如图，在平行四边形中，点E是边的中点，点F是的中点，则（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高三上·焦作期中) 若F1、F2是双曲线 =1的左右焦点，M是双曲线右支上一动点，则﹣的最大值为（）A .B .C . 1D .12. （2分）已知是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，.若在上有5个根，则的值是（）A . 10B . 9C . 8D . 7二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分）(2020·池州模拟) 设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值是________．14. （1分） (2016高一上·如皋期末) 已知函数f（x）=cosx（x∈[0，2π]）与函数g（x）=tanx的图象交于M，N两点，则| + |=________．15. （1分）(2017·泰州模拟) 已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣ =1的右焦点，则双曲线的渐近线方程为________．16. （1分） (2016高二上·黄浦期中) 数列{an}满足a1=1，a2=3，且an+2=|an+1|﹣an ，n∈N* ，记{an}的前n项和为Sn ，则S100=________．三、解答题： (共6题；共55分)17. （10分） (2019高一下·温州期中) 已知函数（其中）图像的两条相邻对称轴之间的距离为（1）求的值及的单调减区间；（2）若求的值.18. （10分）(2019·泉州模拟) 设数列的前项和为 .已知， .（1）证明：为等比数列；（2）记，数列的前项和为 .若，求的取值范围.19. （10分）(2017·唐山模拟) 某3D打印机，其打出的产品质量按照百分制衡量，若得分不低于85分则为合格品，低于85分则为不合格品，商家用该打印机随机打印了15件产品，得分情况如图；（1）写出该组数据的中位数和众数，并估计该打印机打出的产品为合格品的概率；（2）若打印一件合格品可获利54元，打印一件不合格品则亏损18元，记X为打印3件产品商家所获得的利润，在（1）的前提下，求随机变量X的分布列和数学期望．20. （5分）(2017·江西模拟) 已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，△PAB与△ABC是等腰三角形，PA⊥平面ABCD，PA=2，AD=2 ，AC⊥BA，点E是线段AB上靠近点B的一个三等分点，点F、G分别在线段PD，PC上．（Ⅰ）证明：CD⊥AG；（Ⅱ）若三棱锥E﹣BCF的体积为，求的值．21. （10分）(2017·武汉模拟) 已知椭圆C： =1（a＞b＞0）过点（，1），离心率为，直线l：y=k（x+1）与椭圆C相交于不同的两点A，B．（1）求椭圆C的方程；（2）在x轴上是否存在点M，使 + 是与k无关的常数？若存在，求出点M的坐标，并求出此常数；若不存在，请说明理由．22. （10分）已知函数f（x）= ﹣m，（a，m∈R）在x=e（e为自然对数的底）时取得极值且有两个零点．（1）求实数m的取值范围；（2）记函数f（x）的两个零点为x1 ， x2 ，证明x1x2＞e2 ．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
2020年吉林省长春市高考数学二模试卷(理科) (含答案解析)
2020年吉林省长春市高考数学二模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1,3，5，7}，B={x|x2−7x+10≤0}，则A∩B=()A. {1,3}B. {3,5}C. {5,7}D. {1,7}2.已知z=ai(a∈R)，若(1+z)(1+i)是实数，则|z+2|=()A. √3B. √5C. 3D. 53.下列函数中，值域为R且在区间(0,+∞)上单调递增的是()．A. y=x2+2xB. y=2x+1C. y=x3+1D. y=(x−1)|x|4.在等差数列{a n}中，a2=5，a6=17，则a14等于()A. 45B. 41C. 39D. 375.已知a⃗，b⃗ 为单位向量，其夹角为120°，则(a⃗−2b⃗ )⋅b⃗ =()A. −52B. −32C. −1D. 26.如图是甲、乙、丙三个企业的产品成本(单位：万元)及其构成比例，则下列判断正确的是()A. 乙企业支付的工资所占成本的比重在三个企业中最大B. 由于丙企业生产规模大，所以它的其他费用开支所占成本的比重也最大C. 甲企业本着勤俭创业的原则，将其他费用支出降到了最低点D. 乙企业用于工资和其他费用支出额比甲丙都高7.已知命题p：∀x>0，x<tanx，命题q：∃x>0使得ax<lnx，若p∨(￢q)为真命题，则实数a的取值范围是()A. a≥1B. a≥1e C. a<1 D. a<1e8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2c−ba =cosBcosA，a=2√3，则△ABC面积的最大值为()A. √3B. 2√3C. 3√3D. 4√39. 为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着A ，B ，C 三个农业扶贫项目进驻某村，对该村仅有的甲、乙、丙、丁四个贫困户进行产业帮扶．经过前期实际调研得知，这四个贫困户选择A ，B ，C 三个扶贫项目的意向如下表：扶贫项目 A B C 贫困户甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁若每个贫困户只能从自己已登记的选择意向项目中随机选取一项，且每个项目至多有两个贫困户选择，则不同的选法种数有( )A. 24种B. 16种C. 10种D. 8种10. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，下列结论错误的是A. C 1D 1⊥B 1CB. BD 1⊥ACC. BD 1⊥B 1CD. BD 1⊥B 1D11. 抛物线y 2=4x 的焦点为F ，点P(2,a)在抛物线上，则|PF|=( )A. 3B. 4C. 5D. 612. 定义域为R 的函数f(x)满足f′(x)>f(x)，则不等式e x−1f(x)<f(2x −1)的解为( )A. (14,+∞)B. (12,+∞)C. (1,+∞)D. (2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足{2x −y ≤0,x −y +1≥0,y ≥0,则x +2y 的最大值为__________．14. 若∫1x a 1dx =1(a >1)，则a = ______ ．15. 已知函数f(x)=sinωx +cosωx(ω>0)，x ∈R.若函数f(x)在区间(−ω,ω)内单调递增，且函数y =f(x)的图象关于直线x =ω对称，则ω的值为____．16. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱AA 1的中点为E,AC 与BD 交于点O ，平面α过点E ，且与直线OC 1垂直，若AB =1，则平面α截该正方体所得截面图形的面积为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频数分布直方图如图所示．(Ⅰ)求频数直方图中a的值；(Ⅱ)分别球出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数．18.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，侧面BCC1B1是矩形，AB=A1B，N是B1C的中点，M是棱AA1上的一点，且AA1⊥CM，(1)证明：直线MN//平面ABC；(2)若AB⊥A1B，求二面角A−CM−N的余弦值．19. 已知数列{a n }的前n 项和S n =32n 2+52n(n ∈N ∗)(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n =1an a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．20. 已知点(1,32)在椭圆C ：x 2a 2+y2b 2=1(a >b >0)上，且椭圆的离心率为12． (1)求椭圆C 的方程；(2)若M 为椭圆C 的右顶点，点A ，B 是椭圆C 上不同的两点(均异于M)且满足直线MA 与MB 斜率之积为14.试判断直线AB 是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．21.已知函数f(x)=4lnx−mx2+1(m∈R)．(1)若函数在点(1,f(1))处的切线与直线2x−y−1=0平行，求实数m的值；(2)若对任意x∈[1,e)，都有f(x)≤0恒成立，求实数m的取值范围．22.已知曲线C1的参数方程为{x=tcosα,y=1+tsinα,(t为参数)，曲线C2的参数方程为{x=sinθ,y=√1+cos2θ,(θ为参数)．(1)求C1与C2的普通方程；(2)若C1与C2相交于A，B两点，且|AB|=√2，求sinα的值．23.设函数f(x)=|x+a|+|x−a|．(1)当a=1时，解不等式f(x)≥4；(2)若f(x)≥6在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：B={x|2≤x≤5}；∴A∩B={3,5}．故选：B．可解出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算．2.答案：B解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题．利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得a值，再由复数模的计算公式求解．解：∵z=ai(a∈R)，且(1+z)(1+i)是实数，∴(1+ai)(1+i)=(1−a)+(1+a)i是实数，则a=−1，∴|z+2|=|2−i|=√5．故选B．3.答案：C解析：根据题意，依次分析选项中函数的单调性以及值域，综合即可得答案．本题考查函数的单调性以及值域，关键是掌握常见函数的单调性以及值域，属于基础题．解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=x2+2x=(x+1)2−1，其值域为[−1,+∞)，不符合题意；对于B，y=2x+1，其值域为(0,+∞)，不符合题意；对于C，y=x3+1，值域为R且在区间(0,+∞)上单调递增，符合题意；对于D ，y =(x −1)|x|={x 2−x,x ≥0−x 2+x,x <0，在区间(0,12)上为减函数，不符合题意．故选C ．4.答案：B解析：解：设等差数列{a n }的公差为d ， 由a 2=5，a 6=17得，d =a 6−a 24=3，则a 14=a 6+(14−6)×3=17+24=41， 故选：B ．根据题意和等差数列的通项公式求出公差d ，代入通项公式即可． 本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题．5.答案：A解析：本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题． 利用数量积运算律求解即可．解：∵a ⃗ ，b ⃗ 为单位向量，其夹角为120°，∴a ⃗ 2=b ⃗ 2=1，a ⃗ ⋅b ⃗ =1×1×cos120°=−12． ∴(a ⃗ −2b ⃗ )⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅b ⃗ −2b ⃗ 2=−12−2=−52．故选：A ．6.答案：C解析：先对图表数据的分析处理，再结合进行简单的合情推理逐一检验即可得解． 本题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属中档题． 解：三个企业中甲企业工资所占成本的比重最大，故A 错误，虽然丙企业生产规模大，但它的其他费用开支所占成本的比重与乙企业是一样的，故B 错， 甲企业其他费用开支确实最低，故C 正确，甲企业的工资和其他费用开支额为4000万元，乙企业为5400万元，丙企业为6000万元，所以丙企业用于工资和其他费用支出额比甲乙都高，故D 错误， 故选：C ．7.答案：B解析：解：命题p ：∀x >0，x <tanx 为假命题，如x =3π4；∵p ∨(￢q)为真命题，则￢q 为真命题， 即∀x >0使得ax ≥lnx 为真命题， 则a ≥lnx x对任意x >0恒成立，令f(x)=lnx x，则f′(x)=1−lnx x 2，当x ∈(0,e)时，f(x)为增函数，当x ∈(e,+∞)时，f(x)为减函数， 则f(x)的最大值为f(e)=1e ． ∴a ≥1e ．故选：B ．举例说明p 为假命题，由p ∨(￢q)为真命题，可得￢q 为真命题，即∀x >0使得ax ≥lnx 为真命题，则a ≥lnx x 对任意x >0恒成立，令f(x)=lnx x，利用导数求其最大值得答案．本题考查复合命题的真假判断，考查利用导数研究函数的单调性，是中档题．8.答案：C解析：解：根据题意，在△ABC 中，若2c−b a=cosB cosA，则有2ccosA −bcosA =acosB ，由正弦定理可得：2sinCcosA =sinAcosB +sinBcosA =sinC ， 则有cosA =12， 则有b 2+c 2−a 22bc=12，变形可得b 2+c 2−12=bc ，又由b 2+c 2≥2bc ， 则有bc ≤12，又由cosA =12，则sinA =√32，则△ABC面积S=12bcsinA≤3√3，即△ABC面积的最大值为3√3．故选C．根据题意，将2c−ba =cosBcosA变形可得2ccosA−bcosA=acosB，结合正弦定理可得2sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA=sinC，变形可得cos A的值，又由余弦定理b2+c2−a22bc =12，变形可得b2+c2−12=bc，结合基本不等式可得b2+c2≥2bc，则有bc≤12，由三角形面积公式分析可得答案．本题考查三角形中的几何计算，涉及正弦定理、余弦定理的应用，属于综合题．9.答案：B解析：本题主要考查计数原理的相关知识，属于中档题．先分类讨论不同可能性的排列组合，再根据加法计数原理求出答案即可．解：依题意，可让甲先选择扶贫项目，有A或B共2种选择．再让乙进行选择，①若甲选择A，则乙可选择A或B共2种选择．若乙选择A，则丙可选A或B或C，当丙选择A时，丁只能选C；当丙选择B或C时，丁可选A或C.共1+2x2=5(种)．②若甲选择B，则乙可选择A或B共2种选择.若乙选择B，则丙只能选A或C，此时丁均有A或C两种选择；共2x2=4(种)选择．若乙选怎A，则丙可选A或B或C，当丙选择A时，丁只能选C；当丙选择B或C时，丁课选A或C.共1+2x2=5(种)．根据加法计数原理，可知总选法有2+5+4+5=16(种)．故选B．10.答案：D解析：本题考查空间直线与直线的位置关系，同时考查直线与平面垂直的判定定理，题目基础．据题目特点逐项判断求解即可．解：A.因为C1D1⊥平面BCC1B1，所以C1D1⊥B1C，故正确；B.因为AC⊥平面BDD1B1，所以BD1⊥AC，故正确；C .因为B 1C ⊥平面BC 1D 1，所以BD 1⊥B 1C ，故正确；D .因为四边形BDD 1B 1为矩形，所以BD 1⊥B 1D 不正确．故选D ．11.答案：A解析：本题考查了抛物线的概念，抛物线的标准方程及其性质，属于基础题．解：由抛物线y 2=4x 可得准线方程：即x =−1．因为点P(2,a)在抛物线上，所以|PF|等于点P 到准线x =−1的距离．所以|PF| =2+1=3，故选A .12.答案：C解析：解：令g(x)=f(x)e x ，则g′(x)=f′(x)−f(x)e x >0， 故g(x)在R 递增，不等式e x−1f(x)<f(2x −1)，即f(x)e x <f(2x−1)e 2x−1，故g(x)<g(2x −1)，故x <2x −1，解得：x >1，故选：C ．令g(x)=f(x)e x ，求出函数的导数，根据函数的单调性得到关于x 的不等式，解出即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．13.答案：5解析：本题考查利用简单线性规划求最值，属于基础题目．由约束条件作出可行域，再由目标函数的几何意义求出最值即可．解：由约束条件{2x −y ≤0,x −y +1≥0,y ≥0,作出可行域如图：由目标函数z =x +2y 可知当目标函数z =x +2y 过点B(1,2)取得最大值，其最大值为5． 故答案为5．14.答案：e解析：解：∫1xa 1dx =1=lnx| 1a =lna ，(a >1)，所以a =e ． 故答案为：e ．找出被积函数的原函数，得到关于a 的方程解之．本题考查了定积分的计算；找出被积函数的原函数是关键．15.答案：√π2解析：本题考查y =Asin(ωx +φ)的图象及性质，属于中档题．解：f(x)=sin ωx +cos ωx =√2sin(ωx +π4)，因为函数f(x)的图象关于直线x =ω对称，所以f(ω)=√2sin(ω2+π4)=±√2，所以ω2+π4=π2+kπ，k ∈Z ，即ω2=π4+kπ，k ∈Z ，又函数f(x)在区间(−ω,ω)内单调递增，所以ω2+π4≤π2，即ω2≤π4，取k=0，得ω2=π4，所以ω=√π2．故答案为√π2．16.答案：√64解析：本题考查平面的基本性质.由条件可知平面α与正方体的截面是过O的截面三角形，不难求出其面积．解：由已知可算出OE=√32,OC1=√62,EC1=32．则OE⊥OC1所以平面α与正方体的截面为△EBD，S△EBD=12×BD×OE=12×√2×√32=√64．故答案为√64．17.答案：解：(I)由频率分布直方图得：(2a+3a+7a+6a+2a)×10=1⇒a=0.005；(II)成绩落在[50,60)与[60,70)的频率分布为0.01×10+0.015×10=0.25，∴成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数为20×0.25=5(人)．解析：(I)根据所有小矩形的面积之和为1求a的值；(II)根据频率=小矩形的高×组距求得成绩落在[50,60)与[60,70)的频率，再利用频数=样本容量×频率求得人数．本题考查了由频率分布直方图求频率与频数，在频率分布直方图中，频率=小矩形的高×组距=频数样本容量．18.答案：解：(1)如图1，在三棱柱ABC−A1B1C1中，连结BM，因为四边形BCC1B1是矩形，所以BC⊥BB1，因为AA1//BB1，所以AA1⊥BC．又因为AA 1⊥MC,BC ∩MC =C ，所以，MB ⊂平面BCM ，所以AA 1⊥MB ，又因为AB =A 1B ，所以M 是AA 1中点．取BC 中点P ，连结NP ，AP ，因为N 是B 1C 的中点，则NP //BB 1且NP =12BB 1，所以NP //MA 且NP =MA ，所以四边形AMNP 是平行四边形，所以MN //AP ．又因为MN ⊄平面ABC ，AP ⊂平面ABC ，所以．(2)因为AB ⊥A 1B ，所以△ABA 1是等腰直角三角形，设AB =√2a ，则AA 1=2a,BM =AM =a ．在Rt △ACM 中，AC =√2a ，所以MC =a ．在△BCM 中,CM 2+BM 2=2a 2=BC 2，所以MC ⊥BM ．由(1)知，MC ⊥AA 1,BM ⊥AA 1，如图2，以M 为坐标原点，MA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则M(0,0,0),C(0,0,a),B 1(2a,a,0)．所以N(a,a 2,a 2)，则MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,a )，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,a 2,a2)． 设平面CMN 的法向量为n⃗ 1=(x,y,z )， 则{n ⃗ 1⋅MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ 1⋅MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{az =0ax +a 2y +a 2z =0, 取x =1得y =−2．故平面CMN 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(1,−2,0)．因为平面ACM 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，则． 因为二面角A −CM −N 为钝角，所以二面角A −CM −N 的余弦值为−2√55．解析：本题主要考查立体几何中线面平行的判定，以及二面角余弦值的求法，考查学生的空间想象能力与应用能力.属于中档题。
2020届吉林省高考二模数学(理科)试卷及答案
)
2
5
A． 7 24
B． 5 24
C． 5 24
D． 7 24
5．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的结果为 ( )
A． 19 3
B．4
C． 25 4
D． 13 2
6．（5
分）连接双曲线 C1
:
x2 a2
y2 b2
1 及 C2
:
y2 b2
x2 a2
1的
4
个顶点的四边形面积为 S1 ，连接
4
A． 3 3
B． 2 2
C． 3 2
D． 2 3 3
12．（5
分）已知函数
f
(x)
1 ax3 3
x2 (a
0)
．若存在实数
x0
(1, 0) ，且
x0
1 2
，使得
f (x0 )
f
( 1) ，则实数 a 的取值范围为 ( 2
)
A． ( 2 ， 5) 5
B． ( 2 ， 3) (3 ， 5) 3
C． (18 ， 6) 7
(a
c)
b
，
(a c)b (1 n) 2 4 2 0 ，
D．6
解得 n 5 ．
故选： C ．
4．（5 分）设 tan 1 ， cos( ) 4 ( (0, )) ，则 tan(2 ) 的值为 (
)
2
5
A． 7 24
B． 5 24
C． 5 24
D． 7 24
第 6页（共 19页）
x 3 ， M 19 4 ，退出循环，输出结果为 19 ．
3
3
故选： A ．
6．（5
分）连接双曲线 C1
2020届吉林省吉林市高三第二次调研测试数学(理)试题
2019-2020学年吉林省吉林市普通中学度高三第二次调研测试数学（理）试题一、单选题1．集合{}|212P x N x =∈-<-<的子集的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．82．已知i 为虚数单位，复数z 满足()1z i i ⋅-=，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是（ ） A ．数据中可能有异常值 B ．这组数据是近似对称的 C ．数据中可能有极端大的值 D ．数据中众数可能和中位数相同4．“1cos 22α=-”是“3k παπ=+，k Z ∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：()0.675,0.989-，()1.102,0.010-，()2.899,1.024，()9.101,2.978，下列函数模型中拟合较好的是（ ） A ．3y x =B ．3x y =C ．()21y x =--D ．3log y x =6．已知实数x ，y 满足线性约束条件10+20x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．1-B ．1C ．5-D ．57．已知圆22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，则p 的值为（）A ．1 B.2 C.12D ．4 8．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，则下列各直线中，不与平面1ACD 平行的是（ ）A ．直线EFB ．直线GHC ．直线EHD ．直线1A B9．我国宋代数学家秦九韶（1202－1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.其实质是根据三角形的三边长a ，b ，c 求三角形面积S ，即S =.若ABC ∆的面积2S =，a =2b =，则c 等于（ ）A ．5B ．9C 3D ．5或910．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦距为2c .点A 为双曲线C 的右顶点，若点A 到双曲线C 的渐近线的距离为12c ，则双曲线C 的离心率是（ ）AB C ．2D ．311．已知ln a π=，5log 2b =，12c e -=，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >>12．如图，在ABC ∆中，点M ，N 分别为CA ，CB 的中点，若AB =1CB =，且满足223AG MB CA CB ⋅=+，则AG AC ⋅等于（ ）A ．2BC ．23D ．83二、填空题13．在空间直角坐标系O xyz -中，)A，()0,3,0B ，()0,0,5C ，)D，则四面体ABCD 的外接球的体积为______.14．直线20+-=mx ny （0m >，0n >）过圆C ：222210x y x y +---=的圆心，则24m n+的最小值是______. 15．若函数()1sin 262f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在区间[]0,π上恰有4个不同的零点，则正数ω的取值范围是______.16．关于函数()()()ln 2ln 4f x x x =+--有下列四个命题： ①函数()y f x =在()2,4-上是增函数； ②函数()y f x =的图象关于()1,0中心对称； ③不存在斜率小于23且与函数()y f x =的图象相切的直线； ④函数()y f x =的导函数()y f x '=不存在极小值. 其中正确的命题有______.（写出所有正确命题的序号） 三、解答题17．已知数列{}n a 是公比为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，满足12a =，且223,2,a S a 成等差数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足2log n n b a =，求2222222212345699100b b b b b b b b -+-+-+⋅⋅⋅+-的值.18．如图，三棱柱ABC A B C '''-的侧棱AA '垂直于底面ABC ，且90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =，AA '=，M 是棱CC '的中点.（1）证明：AB A M ''⊥；（2）求二面角A MB A ''--的余弦值.19．已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A π≠，且满足()sin 220cos 0bc A B C ++=.（1）求ABC ∆的面积S ；（2）若24a S =，求c bb c+的最大值. 20．为满足人们的阅读需求，图书馆设立了无人值守的自助阅读区，提倡人们在阅读后将图书分类放回相应区域.现随机抽取了某阅读区500本图书的分类归还情况，数据统计如下（单位：本）.（1）根据统计数据估计文学类图书分类正确的概率1p ； （2）根据统计数据估计图书分类错误的概率2p ；（3）假设文学类图书在“文学类专栏”、“科普类专栏”、“其他类专栏”的数目分别为a ，b ，c ，其中0a >，100a b +=，50c =，当a ，b ，c 的方差2s 最大时，求a ，b的值，并求出此时方差2s 的值.21．设函数())ln 1f x x a=-.（1）若函数()y f x =在()1,+∞是单调递减的函数，求实数a 的取值范围；（2）若0n m >>，证明：2ln ln n m +<. 22．已知()2,0A -，()2,0B ，动点P 满足直线PA 与直线PB 的斜率之积为34-，设点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）若过点()1,0F 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，过点F 且与直线l 垂直的直线与4x =相交于点T ，求||||TF MN 的最小值及此时直线l 的方程.2019-2020学年吉林省吉林市普通中学度高三第二次调研测试数学（理）试题一、单选题1．集合{}|212P x N x =∈-<-<的子集的个数是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】先确定集合P 中元素的个数，再得子集个数． 【详解】由题意{|13}{0,1,2}P x N x =∈-<<=，有三个元素，其子集有8个． 故选：D ． 【点睛】本题考查子集的个数问题，含有n 个元素的集合其子集有2n 个，其中真子集有21n -个． 2．已知i 为虚数单位，复数z 满足()1z i i ⋅-=，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】求出复数z ，得出其对应点的坐标，确定所在象限． 【详解】 由题意i i(1i)11i 1i (1i)(1i)22z +===-+--+,对应点坐标为11(,)22- ，在第二象限． 故选：B ． 【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题．3．如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是（ ） A ．数据中可能有异常值 B ．这组数据是近似对称的 C ．数据中可能有极端大的值 D ．数据中众数可能和中位数相同【答案】B【解析】根据中位数、平均数、众数的定义说明． 【详解】中位数表示一组数据的一般水平，平均数表示一组数据的平均水平，如果这两者差不多，说明数据分布较均匀，也可以看作近似对称，但现在它们相关很大，说明其中有异常数据，有极端大的值，众数是出现次数最多的数，可能不止一个，当然可以和中位数相同，因此只有B 错误． 故选：B ． 【点睛】本题考查样本数据特征，掌握它们的概念是解题基础． 4．“1cos 22α=-”是“3k παπ=+，k Z ∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】先求出满足1cos 22α=-的α值，然后根据充分必要条件的定义判断． 【详解】 由1cos 22α=-得2223k παπ=±，即3k παπ=±，k Z ∈ ，因此“1cos 22α=-”是“3k παπ=+，k Z ∈”的必要不充分条件．故选：B ． 【点睛】本题考查充分必要条件，掌握充分必要条件的定义是解题基础．解题时可根据条件与结论中参数的取值范围进行判断．5．对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据：()0.675,0.989-，()1.102,0.010-，()2.899,1.024，()9.101,2.978，下列函数模型中拟合较好的是（ ） A ．3y x = B ．3x y =C ．()21y x =--D ．3log y x =【答案】D【解析】作出四个函数的图象及给出的四个点，观察这四个点在靠近哪个曲线． 【详解】如图，作出A ，B ，C ，D 中四个函数图象，同时描出题中的四个点，它们在曲线3log y x =的两侧，与其他三个曲线都离得很远，因此D 是正确选项， 故选：D ． 【点睛】本题考查回归分析，拟合曲线包含或靠近样本数据的点越多，说明拟合效果好．6．已知实数x ，y 满足线性约束条件10+20x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．1-B ．1C ．5-D ．5【答案】B【解析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定函数的最值即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：2y x z =-+，其中z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值， 联立直线方程：11x x y =⎧⎨+=⎩，可得点的坐标为：()1,1A -，据此可知目标函数的最小值为：min 2211z x y =+=-=.故选B . 【点睛】本题考查了线性规划的问题，关键是画出可行域并理解目标函数的几何意义，属于基础题.7．已知圆22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，则p 的值为（）A ．1 B.2 C.12D ．4 【答案】B【解析】因为圆22670x y x +--=与抛物线()220y px p =>的准线相切，则圆心为（3,0），半径为4，根据相切可知，圆心到直线的距离等于原点 半径，可知p 的值为2，选B.8．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，则下列各直线中，不与平面1ACD 平行的是（ ）A ．直线EFB ．直线GHC ．直线EHD ．直线1A B【答案】C【解析】根据线面平行的判定定理判断． 【详解】首先四个选项的直线都不在平面1ACD 内，由中点及正方体的性质知//EF AC ，11////GH AC AC ，11//AB DC ，∴直线EF ，GH ，1A B 都与平面1ACD 平行，剩下的只有EH 不与平面1ACD 平行．实际上过A 作1CD 的平行线，这条平行线在平面1ACD 内且与EH 相交（它们都在平面11ABB A 内）．故选：C ． 【点睛】本题考查线面平行的判定，解题根据是线面平行的判定定理．9．我国宋代数学家秦九韶（1202－1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.其实质是根据三角形的三边长a ，b ，c 求三角形面积S ，即S =.若ABC ∆的面积S =，a =2b =，则c 等于（ ）A ．5B ．9C 3D ．5或9【答案】C【解析】把已知数据代入面积公式解方程即得． 【详解】=2221111[3()]424c c --=，整理得4214450c c -+=，29c =或5，即c =3．故选：C ． 【点睛】本题寓数学知识于数学文化之中，解题时只要把已知,a b 代入面积公式解方程即可得．10．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦距为2c .点A 为双曲线C 的右顶点，若点A 到双曲线C 的渐近线的距离为12c ，则双曲线C 的离心率是（ ）A B C ．2D ．3【答案】A【解析】由点到直线距离公式建立,,a b c 的等式，变形后可求得离心率． 【详解】由题意(,0)A a ，一条渐近线方程为b y xa =，即0bx ay -=，∴12d c ==， 222214a b c c =，即22222()14a c a c c -=，42440e e -+=，e = 故选：A ． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，掌握渐近线方程与点到直线距离公式是解题基础．11．已知ln a π=，5log 2b =，12c e -=，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】B【解析】首先与1比较，得一最大的，剩下的两个与12比较． 【详解】首先125ln 1,0log 21,01eπ-><<<<，a 最大，其次551log 2log 2<=，1212e -=>=，∴c b >，∴a c b >>． 故选：B ． 【点睛】本题考查比较幂和对数的大小，对不同底的对数或幂一般借助于中间值比较，如0，1，2等等．本题中是与12比较的．12．如图，在ABC ∆中，点M ，N 分别为CA ，CB 的中点，若AB =1CB =，且满足223AG MB CA CB ⋅=+，则AG AC ⋅等于（ ）A ．2BC ．23D ．83【答案】D【解析】选取,BA BC 为基底，其他向量都用基底表示后进行运算． 【详解】由题意G 是ABC ∆的重心，2133()2()()32AG MB AN BM BN BA BC BA ⋅=⨯⋅-=--⋅+1()()2BA BC BC BA =-⋅+22111152222BA BC BA BC BA BC =-+⋅=-+⋅22222()121BA BC BA BA BC BC CA CB =-+=-⋅+=++5211BA BC =-⋅++ ，∴917222BA BC BA BC +⋅=-⋅，1BA BC ⋅=， ∴AG AC⋅22221213()()()332322AN AC BC BA BC BA BC BC BA BA =⋅=-⋅-=-⋅+2138(5)3223=-+=， 故选：D ． 【点睛】本题考查向量的数量积，解题关键是选取两个不共线向量作为基底，其他向量都用基底表示参与运算，这样做目标明确，易于操作．二、填空题13．在空间直角坐标系O xyz -中，)A，()0,3,0B ，()0,0,5C ，)D，则四面体ABCD 的外接球的体积为______. 【答案】36π；【解析】由四点坐标知此四点正好是一个长方体的四个顶点，则长方体的对角线就是四面体ABCD 外接球的直径． 【详解】取(0,3,5),(0,0,0)E F G O ，则O A F B C E D G-是长方体，其对角线长为6l ==，∴四面体ABCD 外接球半径为32lr ==． 334433633V r πππ==⨯=，故答案为：36π．【点睛】本题考查四面体外接球体积，关键是在三个坐标平面上找三个点结合坐标原点，共八点是一个长方体的八个顶点，这样外接球直径易知．14．直线20+-=mx ny （0m >，0n >）过圆C ：222210x y x y +---=的圆心，则24m n+的最小值是______.【答案】3+【解析】求出圆心坐标，代入直线方程得,m n 的关系，再由基本不等式求得题中最小值． 【详解】圆C ：222210x y x y +---=的标准方程为22(1)(1)3x y -+-=，圆心为(1,1)C ， 由题意20m n +-=，即2m n +=，∴24122()()333m n m n m n m n n m +=++=++≥+=+2m nn m=，即1),2(2m n ==时等号成立，故答案为：3+． 【点睛】本题考查用基本不等式求最值，考查圆的标准方程，解题方法是配方法求圆心坐标，“1”的代换法求最小值，目的是凑配出基本不等式中所需的“定值”．15．若函数()1sin 262f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在区间[]0,π上恰有4个不同的零点，则正数ω的取值范围是______. 【答案】4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭；【解析】求出函数()f x 的零点，让正数零点从小到大排列，第三个正数零点落在区间[]0,π上，第四个零点在区间[]0,π外即可．【详解】由()1sin 2062f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭＝，得2(1)66k x k ππωπ+=+-⋅，k Z ∈， 1=[(1)]266k x k πππω+--⋅，k Z ∈， ∵(0)0f =，∴1(3)2661(4)266ππππωππππω⎧--≤⎪⎪⎨⎪+->⎪⎩ ，解得423ω≤<．故答案为：4[,2)3． 【点睛】本题考查函数的零点，根据正弦函数性质求出函数零点，然后题意，把正数零点从小到大排列，由于0已经是一个零点，因此只有前3个零点在区间[]0,π上．由此可得ω的不等关系，从而得出结论，本题解法属于中档题．16．关于函数()()()ln 2ln 4f x x x =+--有下列四个命题： ①函数()y f x =在()2,4-上是增函数； ②函数()y f x =的图象关于()1,0中心对称； ③不存在斜率小于23且与函数()y f x =的图象相切的直线； ④函数()y f x =的导函数()y f x '=不存在极小值. 其中正确的命题有______.（写出所有正确命题的序号） 【答案】①②③【解析】由单调性、对称性概念、导数的几何意义、导数与极值的关系进行判断． 【详解】函数()()()ln 2ln 4f x x x =+--的定义域是(2,4)-， 由于()()()26ln 2ln 4lnln(1)44x f x x x x x+=+--==-+--， 614u x=-+-在(2,4)-上递增，∴函数()y f x =在()2,4-上是递增，①正确； (2)ln(4)ln(2)()f x x x f x -=--+=-，∴函数()y f x =的图象关于()1,0中心对称，②正确；22116662'()2482(1)993f x x x x x x =+==≥=+-+---+，1x =时取等号，∴③正确；2116'()2428f x x x x x =+=+--++，设()'()g x f x =，则2212(1)'()(28)x g x x x -=-++，显然1x =是()g x 即'()f x 的极小值点，④错误．故答案为：①②③. 【点睛】本题考查函数的单调性、对称性，考查导数的几何意义、导数与极值，解题时按照相关概念判断即可，属于中档题．三、解答题17．已知数列{}n a 是公比为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，满足12a =，且223,2,a S a 成等差数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足2log n n b a =，求2222222212345699100b b b b b b b b -+-+-+⋅⋅⋅+-的值.【答案】（1）()21*2n n a n N -=∈（2）20000-【解析】（1）由公比q 表示出232,,a a S ，由223,2,a S a 成等差数列可求得q ，从而数列的通项公式；（2）求（1）得n b ，然后对和式2222222212345699100b b b b b b b b -+-+-+⋅⋅⋅+-两两并项后利用等差数列的前n 项和公式可求解． 【详解】（1）∵{}n a 是等比数列，且223,2,a S a 成等差数列∴2234S a a =+，即()211114a a q a q a q +=+∴244q q q +=+，解得：1q =-或4q = ∵0q >，∴4q = ∵12a = ∴()121*242n n n a n N --=⋅=∈（2）∵2log 21n n b a n ==- ∴2222221357197199-+-+⋅⋅⋅+-()()()()()()13135757197199197199=-++-++⋅⋅⋅+-+ ()()21357199=-++++⋅⋅⋅+ 119921002+=-⋅⋅ 20000=-【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查并项求和法及等差数列的n 项和公式．本题求数列通项公式所用方法为基本量法，求和是用并项求和法．数列的求和除公式法外，还有错位相关法、裂项相消法、分组（并项）求和法等等．18．如图，三棱柱ABC A B C '''-的侧棱AA '垂直于底面ABC ，且90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，1BC =，AA '=，M 是棱CC '的中点.（1）证明：AB A M ''⊥；（2）求二面角A MB A ''--的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】（1）由侧棱AA '垂直于底面ABC ，且90ACB ∠=︒，得可侧面与底面垂直，从而BC 与侧面AA C C ''垂直，因此有BC A M '⊥，即有B C A M '''⊥，于是只要证A M AC ''⊥即可有线面垂直，从而证AB A M ''⊥，这个A M AC ''⊥在矩形ACC A ''由相似三角形可得证；（2）以分别以CA ，CB ，CC '为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面MA B ''和平面MAB '法向量，有平面法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值（注意确定二面角是锐角还是钝角）． 【详解】（1）证明：∵AA '⊥平面ABC ∴四边形ACC A ''是矩形∵M 为CC '中点，且AA CC ''==∴C M '=∵1BC =，30BAC ∠=︒，90ACB ∠=︒∴AC A C ''==∴C M A C A C AA'''=''' 连接AC ' ，∵MC A C A A ''''∠=∠，∴MC A ''∆与C A A ''∆相似 ∴C A M A AC ''''∠=∠，∴90A AC AA M '''∠+∠=︒ ∴A M AC ''⊥∵90ACB ∠=︒，∴BC ⊥平面ACC A '' ∴B C ''⊥平面ACC A ''∵A M '⊂平面ACC A ''，∴B C A M '''⊥ ∴A M '⊥平面AB C ''，∴A M AB ''⊥．（2）解∶如图，分别以CA ，CB ，CC '为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A '，2M ⎛ ⎝⎭，(B '，)A ，∴3,0,2MA ⎛⎫'=⎪⎪⎭，0,1,2MB ⎛⎫'= ⎪ ⎪⎝⎭，3,0,2MA ⎛=- ⎭， 设平面MA B ''的法向量为()1111,,n x y z =，则10MA n '⋅=，20MB n '⋅=解得：12,22n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭同理，平面MAB '的法向量212n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭设二面角A MB A ''--的大小为θ，则1212122cos cos ,|3||||1n n n n n n θ⋅=<>===⋅ 即二面角A MB A ''--的余弦值为23. 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查空间向量法求二面角．证明线面垂直，就要证线线垂直，而证明线线垂直又可通过线面垂直得出，因此我们要注意空间线线与线面垂直的相互转化，用好用活判定定理和性质定理．立体几何中求空间角可用空间向量法求解，即建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角与空间角的关系求解．19．已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2A π≠，且满足()sin 220cos 0bc A B C ++=.（1）求ABC ∆的面积S ； （2）若24a S =，求c bb c+的最大值.【答案】（1）5（2）【解析】（1）由诱导公式和二倍角公式可得sin bc A ，从而得三角形面积；（2）由余弦定理得2222cos 2sin b c bc A a bc A +-==，从而可把22c b b c b c bc++=用角A 表示出来，由三角函数性质求得最大值． 【详解】 解：（1）在ABC ∆中，A B C π++=，∴B C A +=π- ∵()sin 220cos 0bc A B C ++= ∴2sin cos 20cos 0bc A A A ⋅-= ∵2A π≠，∴cos 0A ≠∴1sin 52S bc A ==（2）∵24a S =∴222cos 2sin b c bc A bc A +-= ∴222sin 2cos b c bc A bc A +=+∴222sin 2cos 4c b b c A A A b c bc π+⎛⎫+==+=+ ⎪⎝⎭∴当4A π=时，c bb c+取最大值【点睛】本题考查二倍角公式，诱导公式，两角和与差的正弦公式，余弦定理．本题关键是2222cos 2sin b c bc A a bc A +-==，这样可把22c b b c b c bc++=表示为角A 的函数，从而求得最值．20．为满足人们的阅读需求，图书馆设立了无人值守的自助阅读区，提倡人们在阅读后将图书分类放回相应区域.现随机抽取了某阅读区500本图书的分类归还情况，数据统计如下（单位：本）.（1）根据统计数据估计文学类图书分类正确的概率1p ； （2）根据统计数据估计图书分类错误的概率2p ；（3）假设文学类图书在“文学类专栏”、“科普类专栏”、“其他类专栏”的数目分别为a ，b ，c ，其中0a >，100a b +=，50c =，当a ，b ，c 的方差2s 最大时，求a ，b的值，并求出此时方差2s 的值. 【答案】（1）23（2）725（3）当100a =，0b =时，2s 取最大值50003【解析】（1）文学类图书共有150本，其中正确分类的有100本，由此可计算概率； （2）图书分类错误的共有140本，图书总共有500本，易得概率； （3）计算平均值，再计算方差2s ，转化为a 的函数后可得最大值． 【详解】 解：（1）由题意可知，文学类图书共有1004010150++=本，其中正确分类的有100本 所以文学类图书分类正确的概率110021503p == （2）图书分类错误的共有302040101030140+++++=本，因为图书共有500本，所以图书分类错误的概率2302040101030750025p +++++==（3）a ，b ，c 的平均数()1503x a b c =++=所以方差()()()22221505050503s a b ⎡⎤=-+-+-⎣⎦()22150001003a b a b ⎡⎤=++-+⎣⎦ ()22150003a b =+-()22110050003a a ⎡⎤=+--⎣⎦21220050003a a ⎡⎤=-+⎣⎦∵0a >，0b ≥，∴当100a =，0b =时，2s 取最大值50003. 【点睛】本题考查古典概型，考查方差的计算．考查了学生的数据处理能力．属于中档题．21．设函数())ln 1f x x a=-.（1）若函数()y f x =在()1,+∞是单调递减的函数，求实数a 的取值范围；（2）若0n m >>，证明：2ln ln n m +<. 【答案】（1）2a ≥（2）证明见解析【解析】（1）求出导函数()f x '，由()0f x '≤在()1,+∞上恒成立，采用分离参数法求解；（2）观察函数()f x ，不等式凑配后知，利用2a =时()1n f f m ⎛⎫< ⎪⎝⎭可证结论． 【详解】（1）因为()y f x =在()1,+∞上单调递减， 所以()10f x x '=-≤，即a ≥在()1,+∞上恒成立 因为y=在()1,+∞()0,2，所以2a ≥ （2）因为0n m >>，所以1nm> 由（1）知，当2a =时，()y f x =在()1,+∞上单调递减所以()1n f f m ⎛⎫< ⎪⎝⎭即ln 210nm ⎫-<⎪⎪⎭所以2ln ln n m +<. 【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，考查用导数证明不等式．解题关键是把不等式与函数的结论联系起来，利用函数的特例得出不等式的证明．22．已知()2,0A -，()2,0B ，动点P 满足直线PA 与直线PB 的斜率之积为34-，设点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）若过点()1,0F 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，过点F 且与直线l 垂直的直线与4x =相交于点T ，求||||TF MN 的最小值及此时直线l 的方程.【答案】（1）()221243x y x +=≠±（2）||||TF MN 的最小值为1，此时直线l ：1x = 【解析】（1）用直接法求轨迹方程，即设动点为(,)P x y ，把已知用坐标表示并整理即得．注意取值范围；（2）设l ：1x my =+，将其与曲线C 的方程联立，消元并整理得()2234690my my ++-=，设()12,M x y ，()22,N x y ，则可得12y y +，，12y y ，由12MN y =-求出MN ，将直线FT 方程()1y m x =--与4x =联立，得()4,3T m -，求得TF ，计算||||TF MN ，设t =.显然1t ≥，构造()()||1131||4TF f t t t MN t ⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，由导数的知识求得其最小值，同时可得直线l 的方程. 【详解】（1）设(),P x y ，则34PA PB k k ⋅=-，即()3224y y x x ⋅=---- 整理得()221243x y x +=≠±（2）设l ：1x my =+，将其与曲线C 的方程联立，得()2231412my y ++=即()2234690m y my ++-=设()12,M x y ，()22,N x y ，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+第 21 页 共 21 页2212(1)34m MN m +==+ 将直线FT ：()1y m x =--与4x =联立，得()4,3T m -∴TF ==∴2||11||44TF MN ⎛⎫== ⎝设t =.显然1t ≥构造()()||1131||4TF f t t t MN t ⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭()211304f t t ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭在[)1,t ∈+∞上恒成立 所以()y f t =在[)1,+∞上单调递增 所以||1131||4FT t MN t ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当1t =，即0m =时取“=” 即||||TF MN 的最小值为1，此时直线l ：1x =. （注：1.如果按函数1y x x =+的性质求最值可以不扣分；2.若直线方程按斜率是否存在讨论，则可以根据步骤相应给分.）【点睛】本题考查求轨迹方程，考查直线与椭圆相交中的最值．直线与椭圆相交问题中常采用“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，设直线方程，直线方程与椭圆方程联立并消元，然后用韦达定理得1212,x x x x +（或1212,y y y y +），把这个代入其他条件变形计算化简得出结论，本题属于难题，对学生的逻辑推理、运算求解能力有一定的要求．。
吉林省实验中学2020届高三第二次模拟理科数学考试试题(含答案)讲解学习
吉林省实验中学2020届高三第二次模拟理科数学考试试题(含答案)吉林省实验中学2020届高三第二次模拟考试数学学科（理）试题一、选择题（每小题5分，共60分）1. 若集合{}22<-∈=x N x A ,{}2)1(log 2<+=x x B ,则B A I 为（ ）A. {}31<<x xB.{}211<<x xC.{}3,2,1 D.{}2,1 2. 命题“2)2(log ),3,1(23>+∈∀x x x ”的否定为（ ） A. 2)2(log ),3,1(23<+∈∀x x x B.2)2(log ),3,1(02030>+∈∃x x x B. 2)2(log ),3,1(23≤+∈∀x x x D.2)2(log ),3,1(02030≤+∈∃x x x3. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=0,log 0,12)(21x x x x f x ，若0)(=-a x f 有两个零点，则a 的范围（ ）A. ),1(+∞B.[),0+∞C. ]2,1(D. ),2(+∞ 4. “21<<y x 或”是”3<+y x ”的（ ）条件A. 充分不必要B.必要不充分C. 充分必要D.即不充分也不必要5. 函数)4(log 4)(21++-=x x x f 的值域是（ ）A. (]4,4-B. [)4,3-C.[)+∞-,3D.(]3,-∞-6. 已知[]x a e x p ln ,,1:2<∈∀，04,:0200=++∈∃a x x R x q 使，若命题""q p ∧为假，则a 的取值范围是（ ）A. ()+∞,0B.()+∞,4C. [)+∞,0D.[)4,07. 设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足)6()4(x f x f -=-，则=+++)2020()2()1(f f f Λ（ ）A. 无法确定B. 0C. 2D. 48. 设)(x f 是定义在R 上的偶函数，对()+∞∈∀,0,21x x ，当21x x ≠时，总有()[]0)()(2121<--x f x f x x 成立，则（ ）A. )2()2()41(log 32233-->>f f fB. )2()2()41(log 23323-->>f f fC. )41(log )2()2(33223f f f >>-- D. )41(log )2()2(32332f f f >>--9. 已知x x f ln 3)(=，⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,22)(2x x x x x x g ，令)()()(x g x f x h -=，则函数)(x h y =的零点个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 410. 设)(x f 是定义在R 的函数，满足0)(2)2(=++x f x f π，且[]0,2π-∈x 时，x x f sin )(=，若对(]a x ,∞-∈∀，恒有4)(≤x f 成立，则a 的最大值为（ ） A. 25π B. 29π C. 625π D. 631π11. 若点P 的坐标满足1ln -=x y ，则点P 的轨迹为（ ）A. B.C. D.12. 设函数()f x 在R 上存在导数()f x '， x R ∀∈，有()()2f x f x x -+=，且()+∞∈,0x 时总有x x f <')(成立，若02135)()13(2>----++a a a f a f ，则实数a 的取值范围为（ ）A. ⎥⎦⎤ ⎝⎛-21,21B. ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,D. ⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,21二、填空题（每题5分，共20分）13. 集合{}52<<-=x x A ，()12,1+-=m m B ，若A B A =Y ，则m 的取值范围是 .14. 已知函数)(x f 的定义域为R ，对21x x <∀，都有2121)()(x x x f x f ->-，且1)2(=f ，则不等式x x f 2121log 1)(log <+的解集为 .15. 若对R x x ∈∀21,，总有4)()()(++=+y f x f y x f 成立，则)(4cos sin )(x f x xx g ++=的最大值和最小值的和为 .16. 若曲线21:(0)C y ax a => 与曲线2:x C y e = 存在公共切线，则a 的取值范围是 .三、解答题（一）必做题，共60分17. 在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且满足C C A B sin 23cos sin sin +=。
2020年吉林省第二次高考模拟考试理科数学试题与答案
2020年吉林省第二次高考模拟考试理科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知复数ii z 212019-=，则复数z 的虚部为（ ）A.52-B.i 52-C.51-D.i 51- 2. 已知集合A={-2，-1,0,1,2}，B={x|（x-1）（x+2）<0},则A ∩B=（ ） A.{-1,0} B.{0,1} C.{-1,0,1} D.{0,1,2}3. 如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为 A. 4 B. 5 C. 8 D. 94. 已知三个村庄A ，B ，C 构成一个三角形，且AB=5千米，BC=12千米，AC=13千米．为了方便市民生活，现在△ABC 内任取一点M 建一大型生活超市，则M 到A ，B ，C 的距离都不小于2千米的概率为（ ） A.B.C.D.5. 如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，CC 1的中点，以下四个结论： ①直线DM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与NB 是平行直线；③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的个数为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4 6．已知数列}{n a 是等比数列，且4622a a a =，则=53a a （ ） A ．0B ．2C ．4D ．0或47．函数()232=||f x x x -+的单调递增区间是( ) A ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和[)2,+∞C ．(],1-∞和3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦和[)2,+∞8．若函数(),y f x =的定义域是[0,4]，则函数()g x =的定义域是（ ）。
吉林省2020届高三第二次模拟考试数学(理)试题 Word版含解析
理 科 数 学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}23100A x x x =--<，集合{}16B x x =-≤<，则A B 等于（ ）A. {}15x x -<< B. {}15x x -≤< C. {}26x x -<< D. {}25x x -<<【答案】B 【解析】 【分析】求出A 中不等式的解集确定出集合A ，之后求得AB .【详解】由{}()(){}{}2310025025A x x x x x x x x =--<=+-<=-<<，所以{}15A B x x ⋂=-≤<， 故选：B.【点睛】该题考查的是有关集合的运算的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题目. 2.复数21iz i=-（i 为虚数单位），则z 等于（ ） A. 3 B. 22C. 2 2【答案】D 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，从而求得z ，然后直接利用复数模的公式求解. 【详解】()()()()21211111i i i z i i i i i i +===+=-+--+， 所以1z i =--，2z =， 故选：D.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，复数的模，属于基础题目.3.已知(1,3),(2,2),(,1)a b c n ===-，若()a c b -⊥，则n 等于（ ） A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】 【分析】先求出(1,4)a c n -=-，再由()a c b -⊥，利用向量数量积等于0，从而求得n . 【详解】由题可知(1,4)a c n -=-，因为()a c b -⊥，所以有()12240n -⨯+⨯=，得5n =， 故选：C.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的减法坐标运算公式，向量垂直的坐标表示，属于基础题目. 4.设1tan 2α=，4cos()((0,))5πββπ+=-∈，则tan 2()αβ-的值为（ ）A. 724-B. 524-C. 524D. 724【答案】D 【解析】 【分析】利用倍角公式求得tan2α的值，利用诱导公式求得cos β的值，利用同角三角函数关系式求得sin β的值，进而求得tan β的值，最后利用正切差角公式求得结果.【详解】1tan 2α=，22tan 4tan21tan 3ααα==-， ()4cos cos 5πββ+=-=-，()(0,βπ∈，4cos 5β∴=，3sin 5β=，3tan 4β=，()43tan2tan 734tan 2431tan2tan 24134αβαβαβ---===++⨯，故选：D.【点睛】该题考查的是有关三角函数求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，正切倍角公式，同角三角函数关系式，正切差角公式，属于基础题目. 5.执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A.193B. 4C.254D.132【答案】A 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的,x M 的值，当3x =，1943M =>，退出循环，输出结果.【详解】程序运行过程如下：3x =，0M =；23x =，23M =；12x =-，16M =；3x =，196M =；23x =，236M =； 12x =-，103M =；3x =，1943M =>，退出循环，输出结果为193， 故选：A.【点睛】该题考查的是有关程序框图的问题，涉及到的知识点有判断程序框图输出结果，属于基础题目.6.连接双曲线22122:1x y C a b -=及22222:1y x C b a-=的4个顶点的四边形面积为1S ，连接4个焦点的四边形的面积为2S ，则当12S S 取得最大值时，双曲线1C 的离心率为（ ）B.2【答案】D 【解析】 【分析】先求出四个顶点、四个焦点的坐标，四个顶点构成一个菱形，求出菱形的面积，四个焦点构成正方形，求出其面积，利用重要不等式求得12S S 取得最大值时有a b =，从而求得其离心率. 【详解】双曲线22221x y a b-=与22221y x b a -=互为共轭双曲线，四个顶点的坐标为(,0),(0,)a b ±±，四个焦点的坐标为(,0),(0,)c c ±±，四个顶点形成的四边形的面积112222S a b ab =⨯⨯=， 四个焦点连线形成的四边形的面积2212222S c c c =⨯⨯=，所以1222221222S ab ab ab S c a b ab ==≤=+， 当12S S 取得最大值时有a b =，c =，离心率ce a== 故选：D.【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有共轭双曲线的顶点，焦点，菱形面积公式，重要不等式求最值，等轴双曲线的离心率，属于简单题目. 7.在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得301xx -≥-成立的概率为等差数列{}n a 的公差，且264a a +=-，若0n a >，则n 的最小值为（ ）A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】D【解析】 【分析】由题意，本题符合几何概型，只要求出区间的长度以及使不等式成立的x 的范围区间长度，利用几何概型公式可得概率，即等差数列的公差，利用条件2642a a a +=，求得42a =-，从而求得1033n na =-+，解不等式求得结果. 【详解】由题意，本题符合几何概型，区间[]3,3-长度为6，使得301xx -≥-成立的x 的范围为(]1,3，区间长度为2， 故使得301x x -≥-成立的概率为2163d ==， 又26442a a a +=-=，42a ∴=-，()11024333n na n ∴=-+-⨯=-+， 令0n a >，则有10n >，故n 的最小值为11， 故选：D.【点睛】该题考查的是有关几何概型与等差数列的综合题，涉及到的知识点有长度型几何概型概率公式，等差数列的通项公式，属于基础题目. 8.已知函数()()614,7,7x a x x f x ax -⎧-+≤=⎨>⎩是R 上的减函数，当a 最小时，若函数()4y f x kx =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A. 1(,0)2-B. 1(2,)2- C. (1,1)- D. 1(,1)2【答案】A 【解析】 【分析】首先根据()f x 为R 上的减函数，列出不等式组，求得112a ≤<，所以当a 最小时，12a =，之后将函数零点个数转化为函数图象与直线交点的个数问题，画出图形，数形结合得到结果.【详解】由于()f x 为R 上的减函数，则有()1001714a a a a ⎧-<⎪<<⎨⎪≤-+⎩，可得112a ≤<，所以当a最小时，12a=，函数()4y f x kx=--恰有两个零点等价于方程()4f x kx=+有两个实根，等价于函数()y f x=与4y kx=+的图像有两个交点．画出函数()f x的简图如下，而函数4y kx=+恒过定点()0,4，数形结合可得k的取值范围为102k-<<．故选：A. 【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有分段函数在定义域上单调减求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，数形结合思想的应用，属于中档题目.9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.53πB.43πC.223π+ D.243π+【答案】A【解析】【分析】观察可知，这个几何体由两部分构成,：一个半圆柱体，底面圆的半径为1，高为2；一个半球体，半径为1，按公式计算可得体积．【详解】设半圆柱体体积为1V ，半球体体积为2V ，由题得几何体体积为231214*********V V V πππ=+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，故选A ．【点睛】本题通过三视图考察空间识图的能力，属于基础题．10.函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的部分图像如图所示，若5AB =，点A 的坐标为(1,2)-，若将函数()f x 向右平移(0)m m >个单位后函数图像关于y 轴对称，则m 的最小值为（ ）A.12B. 1C.3π D.2π 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象以及题中所给的条件，求出,A ω和ϕ，即可求得()f x 的解析式，再通过平移变换函数图象关于y 轴对称，求得m 的最小值.【详解】由于5AB =，函数最高点与最低点的高度差为4， 所以函数()f x 的半个周期32T =，所以263T ππωω==⇒=， 又()1,2A -，0ϕπ<<，则有2sin 123πϕ⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭，可得56πϕ=， 所以()()52sin 2sin 2cos 1363323f x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫=+=++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 将函数()f x 向右平移m 个单位后函数图像关于y 轴对称，即平移后为偶函数，所以m 的最小值为1， 故选：B.【点睛】该题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决该题的关键，要求熟练掌握函数图象之间的变换关系，属于简单题目.11.等腰直角三角形BCD 与等边三角形ABD 中，90C ∠=︒，6BD =，现将ABD △沿BD 折起，则当直线AD 与平面BCD 所成角为45︒时，直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值为（ ）A.33B.22C.32D.33【答案】A 【解析】 【分析】设E 为BD 中点，连接AE 、CE ，过A 作AO CE ⊥于点O ，连接DO ，得到ADO ∠即为直线AD 与平面BCD 所成角的平面角，根据题中条件求得相应的量，分析得到CAE ∠即为直线AC 与平面ABD 所成角，进而求得其正弦值，得到结果. 【详解】设E 为BD 中点，连接AE 、CE ，由题可知AE BD ⊥，CE BD ⊥，所以BD ⊥平面AEC ， 过A 作AO CE ⊥于点O ，连接DO ，则AO ⊥平面BDC ， 所以ADO ∠即为直线AD 与平面BCD 所成角的平面角， 所以2sin 2AOADO AD∠==，可得32AO = 在AOE △中可得3OE =， 又132OC BD ==，即点O 与点C 重合，此时有AC ⊥平面BCD ， 过C 作CF AE ⊥与点F ，又BD AEC ⊥平面，所以BD CF ⊥，所以CF ⊥平面ABD ，从而角CAE ∠即为直线AC 与平面ABD 所成角，sinCE CAE AE ∠===， 故选：A.【点睛】该题考查的是有关平面图形翻折问题，涉及到的知识点有线面角的正弦值的求解，在解题的过程中，注意空间角的平面角的定义，属于中档题目. 12.已知函数321()(0)3f x ax x a =+>．若存在实数0(1,0)x ∈-，且012x ≠-，使得01()()2f x f =-，则实数a 的取值范围为（ ）A. 2(,5)3B. 2(,3)(3,5)3⋃C. 18(,6)7D.18(,4)(4,6)7⋃ 【答案】D 【解析】 【分析】首先对函数求导，利用导数的符号分析函数的单调性和函数的极值，根据题意，列出参数所满足的不等关系，求得结果.【详解】()22f x ax x '=+，令()0f x '=，得10x =，22x a=-． 其单调性及极值情况如下：若存在0111,,022x ⎛⎫⎛⎫∈--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()012f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()21221112aaf f⎧-<-⎪⎪⎪->-⎨⎪⎪⎛⎫-<-⎪ ⎪⎝⎭⎩（如图1）或3122a a-<-<-（如图2）．（图1）（图2）于是可得()18,44,67a⎛⎫∈⋃⎪⎝⎭，故选：D.【点睛】该题考查的是有关根据函数值的关系求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性与极值，画出图象数形结合，属于较难题目.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.(1)nx展开式中的系数的和大于8而小于32，则n=______．【答案】4【解析】【分析】由题意可得项的系数与二项式系数是相等的，利用题意，得出不等式组，求得结果.详解】观察式子可知018232n nn n nC C C<++⋅⋅⋅=<，4n∴=，故答案为：4.【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有展开式中项的系数和，属于基础题目.14.已知数列{}n a 的各项均为正数，满足11a =，1k k i a a a +-=．(,1,2,i k k ≤=3,,1)n -，若{}n a 是等比数列，数列{}n a 的通项公式n a =_______． 【答案】12n - 【解析】 【分析】利用递推关系，等比数列的通项公式即可求得结果. 【详解】因为211a a a -=，所以212a a =， 因为{}n a 是等比数列，所以数列{}n a 的公比为2．又1,1,2,3,,1)k k i a a a i k k n +-=≤=-（，所以当i k =时，有12k k a a +=．这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列，所以12n n a ，故答案为：12n -.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据递推公式求数列的通项公式，属于简单题目.15.实数x ，y 满足121y y x x y m≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩，如果目标函数z x y =-的最小值为2-，则yx 的最小值为_______． 【答案】17【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z x y =-的最小值为2-，确定出m 的值，进而确定出C 点坐标，结合目标函数yx几何意义，从而求得结果. 【详解】先做121y y x ≥⎧⎨≤-⎩的区域如图可知在三角形ABC 区域内，由z x y =-得y x z =-可知，直线的截距最大时，z 取得最小值， 此时直线为()22y x x =--=+， 作出直线2y x =+，交21y x =-于A 点，由图象可知，目标函数在该点取得最小值，所以直线x y m +=也过A 点， 由212y x y x =-⎧⎨=+⎩，得35x y =⎧⎨=⎩，代入x y m +=，得358m =+=，所以点C 的坐标为()7,1．yx等价于点(,)x y 与原点连线的斜率， 所以当点为点C 时，y x 取得最小值，最小值为17，故答案为：17.【点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，注意正确画出约束条件对应的可行域，根据最值求出参数，结合分式型目标函数的意义求得最优解，属于中档题目. 16.已知M 是抛物线22y x =上一点，N 是圆22(2)1x y +-=关于直线0x y -=对称的曲线C 上任意一点，则MN 的最小值为________．31 【解析】 【分析】由题意求出圆的对称圆的圆心坐标，求出对称圆的圆坐标到抛物线上的点的距离的最小值，减去半径即可得到MN 的最小值.【详解】假设圆心()0,2关于直线0x y -=对称的点为()00,x y ，则有0000212022y x x y -⎧=-⎪⎪⎨+⎪-=⎪⎩，解方程组可得0020x y =⎧⎨=⎩，所以曲线C 的方程为()2221x y -+=，圆心为()2,0C ，设(),(0)M x y x >，则()2222MC x y =-+，又22y x =，所以()()222222=2413MC x y x x x =-+-+=-+，2min3MC∴=，即min MC =，所以min 1MN ，1.【点睛】该题考查的是有关动点距离的最小值问题，涉及到的知识点有点关于直线的对称点，点与圆上点的距离的最小值为到圆心的距离减半径，属于中档题目.三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.已知在ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且sin sin sin sin a A c Cb B C-=-．（1）求角A 的值； （2）若a =B θ=，ABC 周长为y ，求()y f θ=的最大值．【答案】（1）3π；（2）max y = 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，结合题中条件，可以得到222b c a bc +=+，之后应用余弦定理即可求得3A π=；（2）利用正弦定理求得2sin b θ=，求出三角形的周长，利用三角函数的最值求解即可. 【详解】（1）由已知sin sin sin sin a A c Cb B C-=-可得sin sin sin sin b B b c a A c C -=-，结合正弦定理可得222b c a bc +=+，∴2221cos 22b c a A bc +-==，又()0,A π∈，∴3A π=．（2）由a =3A π=及正弦定理得2sin sin sin b c a B C A===，∴2sin 2sin b B θ==，222sin 2sin 2sin 33c C B ππθ⎛⎫⎛⎫==-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故232sin 2sin 3y a b c πθθ⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭，即23sin 36y πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由203πθ<<，得5666πππθ<+<，∴当62ππθ+=，即3πθ=时，max 33y =．【点睛】该题主要考查的是有关解三角形的问题，解题的关键是掌握正余弦定理，属于简单题目.18.如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，ABC 与1B BC 是全等的等边三角形.（1）求证：1BC AB ⊥； （2）若11cos 4B BA ∠=，求二面角1B B C A --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（25． 【解析】 【分析】（1）取BC 的中点O ，则1B O BC ⊥，由ABC 是等边三角形，得AO BC ⊥，从而得到BC ⊥平面1B AO ，由此能证明1BC AB ⊥（2）以OA ，OB ，1OB 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值，得到结果.【详解】（1）取BC 的中点O ，连接AO ，1B O ，由于ABC 与1B BC 是等边三角形，所以有AO BC ⊥，1B O BC ⊥， 且1AOB O O =，所以BC ⊥平面1B AO ，1AB ⊂平面1BAO ，所以1BC AB ⊥． （2）设AB a ，1ABC B BC 与是全等的等边三角形， 所以11BB AB BC AC B C a =====， 又11cos 4B BA ∠=，由余弦定理可得2222113242AB a a a a a =+-⋅⨯=，在1O AB 中，有22211AB AO B O =+，所以以OA ，OB ，1OB 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则3,0,02A a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,,02aB ⎛⎫⎪⎝⎭，130,0,2B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面1ABB 的一个法向量为(),,n x y z =，则1310020330ax ay n AB n AB ax az ⎧-+=⎪⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎩⎪-+=⎪⎩，令1x =，则()1,3,1n =，又平面1BCB 的一个法向量为()1,0,0m =， 所以二面角1B B C A --的余弦值为1130105cos 51n n mm θ⋅⨯+⨯+⨯===⨯⋅, 即二面角1B B C A --的余弦值为5．【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利用线面垂直证明线性垂直，利用向量法求二面角的余弦值，属于中档题目.19.移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到22⨯列联表如下：（1）将上22⨯列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄是否有关？（2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3人颁发参与奖励，设年龄都低于35岁（含35岁）的人数为X，求X的分布列及期望.（参考公式：()()()()()22n ad bcka b c d a c b d-=++++（其中n a b c d=+++）【答案】（1）列联表见解析，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄有关；（2）分布列见解析，期望为125.【解析】【分析】（1）根据题中所给的条件补全列联表，根据列联表求出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄有关.（2）首先确定X的取值，求出相应的概率，可得分布列和数学期望.【详解】（1）根据题意及22⨯列联表可得完整的22⨯列联表如下：35岁以下（含35岁）35岁以上合计使用移动支付40 10 50不使用移动支付10 40 50合计50 50 100根据公式可得()221004040101036 6.63550505050k ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄有关.（2）根据分层抽样，可知35岁以下（含35岁）的人数为8人，35岁以上的有2人， 所以获得奖励的35岁以下（含35岁）的人数为X ， 则X 的可能为1，2，3，且()128231081120C C P X C ===，()218231056210C C P X C ===，()38310563120C P X C ===， 其分布列为85656121231201201205EX =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】独立性检验依据2K 的值结合附表数据进行判断，另外，离散型随机变量的分布列，在求解的过程中，注意变量的取值以及对应的概率要计算正确，注意离散型随机变量的期望公式的使用，属于中档题目.20.已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为2，且以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆与直线20x y +-=相切． （1）求椭圆的标准方程；（2）已知动直线l 过右焦点F ，且与椭圆C 交于A 、B 两点，已知Q 点坐标为5(,0)4，求QA QB⋅的值．【答案】（1）2212x y +=；（2）716-．【解析】 【分析】（1c a =，根据直线与圆的位置关系，得到原心到直线的距离等于半径，得到a =1b =，进而求得椭圆的方程；（2）分直线的斜率存在是否为0与不存在三种情况讨论，写出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，向量的数量积，结合已知条件求得结果.【详解】（1）由离心率为2，可得2c e a ==，2c a ∴=，且以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆的方程为222x y a +=，因与直线20x y +-=a =，即a =1c =，1b ∴=， 故而椭圆方程2212x y +=．（2）①当直线l 的斜率不存在时，1,2A ⎛ ⎝⎭，1,2B ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，由于55711,4416⎛⎛-⋅-=- ⎝⎭⎝⎭；②当直线l 的斜率为0时，)A ，()B ，则557,0,04416⎫⎛⎫⋅=-⎪ ⎪⎭⎝⎭； ③当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由1x ty =+及2212x y +=，得()222210t y ty ++-=，有>0∆，∴12222ty y t +=-+，12212y y t =-+， 111x ty =+，221x ty =+，∴()()2112212121212551111,,14444416x y x y ty ty y y t y y t y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅-=--+=+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()22222211212217124216161622t t t t t t t t --+=-++⋅+=+=-+++，综上所述：716QA QB ⋅=-． 【点睛】该题考查直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，求向量数量积，在解题的过程中，注意对直线方程的分类讨论，属于中档题目. 21.已知函数2()22ln f x bx ax x =-+．（1）若曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线为24y x =+，试求实数a ，b 的值； （2）当1b =时，若()y f x =有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，52a ≥，若不等式12()f x mx ≥恒成立，试求实数m 的取值范围． 【答案】（1）6ab ==-；（2）9ln 28m ≤--． 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得(1),'(1)f f 的值，根据切点在切线上以及斜率等于'(1)f ，构造方程组求得,a b 的值；（2）函数()f x 有两个极值点，等价于方程210x ax -+=的两个正根1x ，2x ，不等式()12f x mx ≥恒成立，等价于()12f x m x ≤恒成立，12()f x x 3111122ln x x x x =--+，令()3122ln ,(0)2h x x x x x x =--+<≤，求出导数，判断单调性，即可得到()h x 的范围，即m的范围.【详解】（1）由题可知()121462f b a =⨯+==-，()222f x bx a x-'=+，()12222f b a ∴=-+='，联立可得6a b ==-．（2）当1b =时，()222ln f x x ax x =-+，()()221222x ax f x x a x x-+∴=-+='，()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，1x ∴，2x 是方程210x ax -+=的两个正根，1252x x a ∴+=≥，121x x ⋅=， 不等式()12f x mx ≥恒成立，即()12f x m x ≤恒成立，()232321111111111211122()22ln 22ln 22ln f x x ax x x ax x x x x x x x x x x -+∴==-+=-++3111122ln x x x x =--+，由1252x x a ∴+=≥，121x x ⋅=，得11152x x +≥，1102x ∴<≤， 令()3122ln ,(0)2h x x x x x x =--+<≤，()232ln 0h x x x =-+<'， ()h x ∴在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上是减函数，()19ln228h x h ⎛⎫∴≥=-- ⎪⎝⎭，故9ln28m ≤--．【点睛】该题考查的是有关导数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，函数的极值点的个数，构造新函数，应用导数研究函数的值域得到参数的取值范围，属于较难题目. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.过点()1,0P -作倾斜角为α的直线与曲线:x C y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）相交于M 、N 两点．（1）写出曲线C 的一般方程； （2）求PM PN ⋅的最小值．【答案】（1）22132x y +=；（2）43． 【解析】 【分析】（1）将曲线的参数方程消参得到普通方程；（2）写出直线MN 的参数方程，将参数方程代入曲线方程22132x y +=，并将其化为一个关于t的一元二次方程，根据12PM PN t t ⋅=⋅，结合韦达定理和余弦函数的性质，即可求出PM PN ⋅的最小值.【详解】（1）由曲线C的参数方程x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ是参数）， 可得2222cos sin 132x y θθ+=+=，即曲线C 的一般方程为22132x y +=． （2）直线MN 的参数方程为1x t cos y t sin αα=-+⋅⎧⎨=⋅⎩（t 为参数）， 将直线MN 的参数方程代入曲线22132x y +=， 得()()2221cos 3sin 6t t αα-++=，整理得()223cos 4cos 40t t αα-⋅-⋅-=， 设M ，N 对应的对数分别为1t ，2t ，则12243cos PM PN t t α⋅=⋅=-， 当cos 0α=时，PM PN ⋅取得最小值为43． 【点睛】该题考查的是有关参数方程的问题，涉及到的知识点有参数方程向普通方程的转化，直线的参数方程的应用，属于简单题目.23.已知函数()1621f x x =--．（1）解不等式()2f x x ≤+；（2）若函数()y f x a =-存在零点，求a 的求值范围．【答案】（1）17{|3x x ≤-或5}x ；（2）16a ≤． 【解析】【分析】（1）通过讨论x 的范围，将绝对值符号去掉，转化为求不等式组的解集，之后取并集，得到原不等式的解集；（2）将函数零点问题转化为曲线交点问题解决，数形结合得到结果.【详解】（1）有题不等式可化为22116x x ++-≥， 当2x -≤时，原不等式可化为22116x x ---+≥，解得173x ≤-；当122x -<≤时，原不等式可化为22116x x +-+≥，解得13x ≤-，不满足，舍去； 当12x >时，原不等式可化为22116x x ++-≥，解得5x ≥， 所以不等式的解集为17|53x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或． （2）因为()1172,21152,2x x f x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪+<⎪⎩， 所以若函数()y f x a =-存在零点则可转化为函数()y f x =与y a =的图像存在交点，函数()f x 在1(,]2-∞上单调增，在1[,)2+∞上单调递减，且1()162f =.数形结合可知16a ≤．【点睛】该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有分类讨论求绝对值不等式的解集，将零点问题转化为曲线交点的问题来解决，数形结合思想的应用，属于简单题目.。
2020年吉林省长春市高考数学二模试卷(理科)
2020年吉林省长春市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{|(2)0}A x x x =-…，{1B =-，0，1，2，3}，则(A B =I ) A ．{1-，0，3}B ．{0，1}C ．{0，1，2}D ．{0，2，3}2．（5分）若1(1)()z a i a R =+-∈，||2z =，则(a = ) A ．0或2B ．0C ．1或2D ．13．（5分）下列与函数y x=定义域和单调性都相同的函数是( )A ．22log xy =B ．21log ()2x y =C ．21log y x=D ．14y x =4．（5分）已知等差数列{}n a 中，5732a a =，则此数列中一定为0的是( ) A ．1aB ．3aC ．8aD ．10a5．（5分）若单位向量1e u r ，2e u u r 夹角为60︒，12a e e λ=-u r u u r r ，且||3a =r ，则实数(λ= )A ．1-B ．2C ．0或1-D ．2或1-6．（5分）《高中数学课程标准》(2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（注：雷达图()RadarChart ，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图()SpiderChart ，可用于对研究对象的多维分析）( )A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体水平优于甲7．（5分）命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得0sin()sin x x x +=-恒成立：:0q a ∀>，()a xf x lna x+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是( ) A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∨⌝ C ．()p q ∧⌝ D ．()p q ⌝∧8．（5分）在ABC ∆中，30C =︒，2cos 3A =-，2AC =，则AC 边上的高为( )AB ．2 CD9．（5分）2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遣到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有( ) A ．6种B ．12种C ．24种D ．36种10．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4π．正确命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．311．（5分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，1(2M ，0)y 为该抛物线上一点，以M为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，则抛物线方程为( ) A ．22y x =B ．24y x =C ．26y x =D ．28y x =12．（5分）已知11()x x f x e e x --=-+，则不等式()(32)2f x f x +-„的解集是( ) A ．[1，)+∞B ．[0，)+∞C ．(-∞，0]D ．(-∞，1]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）若x ，y 满足约条条件222022x y y x y +⎧⎪-⎨⎪-⎩…„„，则z x y =+的最大值为14．（5分）若1205()3a x dx -=⎰，则a = ．15．（5分）已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间[π，2)π上的值小于0恒成立，则ω的取值范围是 ．16．（5分）三棱锥A BCD -的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O ，且22BD =，三棱锥A BCD -体积的最大值为 ；三棱锥A BCD -体积最大时，平面ABC 截球所得的截面圆的面积为 ．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼．现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列22⨯列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？擅长 不擅长 合计 男生 30 女生 50 合计1002()P K x …0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式及数据：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．18．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，124AA AB ==，M ，N 分别为1CC ，1BB 的中点，G 为棱1AA 上一点，若1A B ⊥平面MNG ． （Ⅰ）求线段AG 的长；（Ⅱ）求二面角B MG N --的余弦值．19．（12分）已知数列{}n a 满足，11a =，24a =且*21430()n n n a a a n N ++-+=∈． （Ⅰ）求证：数列1{}n n a a +-为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2n n b n a =g ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，焦距为2，点P为椭圆上异于A 、B 的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为34-．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作//OM AP 交椭圆于点M ，试探究2||||||AP AQ OM g 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21．（12分）已知函数()x f x e =．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程；（Ⅱ）若对任意的m R ∈，当0x >时，都有21(2())1m f x x+>-恒成立，求最大的整数k ．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线1C 的参数方程为22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），曲线2C 的参数方程为38cos 4(3sin4x t ty t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数） （Ⅰ）求1C 和2C 的普通方程；（Ⅱ）过坐标原点O 作直线交曲线1C 于点(M M 异于)O ，交曲线2C 于点N ，求||||ON OM 的最小值．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知函数()|1||1|f x ax x =++-． （Ⅰ）若2a =，解关于x 的不等式()9f x <；（Ⅱ）若当0x >时，()1f x >恒成立，求实数a 的取值范围．2020年吉林省长春市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合{|(2)0}A x x x =-„，{1B =-，0，1，2，3}，则(A B =I ) A ．{1-，0，3}B ．{0，1}C ．{0，1，2}D ．{0，2，3}【解答】解：{|02}A x x =剟； {0A B ∴=I ，1，2}．故选：C ．2．（5分）若1(1)()z a i a R =+-∈，||z =(a = ) A ．0或2B ．0C ．1或2D ．1【解答】解：因为1(1)()z a i a R =+-∈，2||(1)10z a a ∴=-=⇒=或2；故选：A ．3．（5分）下列与函数y( )A ．22log xy = B ．21log ()2x y =C ．21log y x=D ．14y x =【解答】解：y在定义域{|0}x x >上单调递减，22log x y x ==在定义域{|0}x x >上单调递增，21()2x y log =的定义域为R ，21y log x=在定义域{|0}x x >上单调递减，14y x =的定义域为{|0}x x …． 故选：C ．4．（5分）已知等差数列{}n a 中，5732a a =，则此数列中一定为0的是( ) A ．1aB ．3aC ．8aD ．10a【解答】解：Q 等差数列{}n a 中，5732a a =， 113(4)2(6)a d a d ∴+=+，化为：10a =．则此数列中一定为0的是1a ． 故选：A ．5．（5分）若单位向量1e u r ，2e u u r 夹角为60︒，12a e e λ=-u r u u r r ，且||3a =r，则实数(λ= )A ．1-B ．2C ．0或1-D ．2或1-【解答】解：Q 12||||1e e ==u r u u r ，12,60e e <>=︒u r u u r，∴1212e e =u r u u rg ，且||3a =r ， ∴222221122213a e e e e λλλλ=-+=-+=u r u r u u r u u r r g ，解得2λ=或1-． 故选：D ．6．（5分）《高中数学课程标准》(2017版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（注：雷达图()RadarChart ，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图()SpiderChart ，可用于对研究对象的多维分析）( )A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体水平优于甲【解答】解：对于A 选项，甲的数据分析为3分，乙的数据分析为5分，即甲的数据分析素养低于乙，故选项A 错误，对于B 选项，甲的数学建模素养为3分，数学抽象素养为3分，即甲的数学建模素养与数学抽象素养同一水平，故选项B 错误，对于C 选项，由雷达图可知，乙的六大素养中数学建模、数学抽象、数学运算最差，故选项C 错误，对于D 选项，乙的六大素养中只有数学运算比甲差，其余都由于甲，即乙的六大素养整体水平优于甲，故选项D 正确， 故选：D ．7．（5分）命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得0sin()sin x x x +=-恒成立：:0q a ∀>，()a xf x lna x+=-为奇函数，则下列命题是真命题的是( ) A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∨⌝ C ．()p q ∧⌝ D ．()p q ⌝∧【解答】解：根据题意，命题p ：存在实数0x ，对任意实数x ，使得0sin()sin x x x +=-恒成立，当0x π=时，对任意实数x ，使得sin()sin x x π+=-恒成立， 故P 为真命题； 命题:0q a ∀>，()a xf x ln a x+=-，有0a x a x +>-，解可得a x a -<<，函数的定义域为(,)a a -，关于原点对称， 有()()a x a xf x lnln f x a x a x++-==-=---，即函数()f x 为奇函数， 故其为真命题；则p q ∧为真命题，()()p q ⌝∨⌝、()P q ∧⌝、()p q ⌝∧为假命题； 故选：A ．8．（5分）在ABC ∆中，30C =︒，2cos 3A =-，2AC =，则AC 边上的高为( )AB ．2 CD【解答】解：Q 2cos ,03A A π=-<<，∴sin A =∴21sin sin()sin cos cos sin 32ABC A C A C A C ∠=+=+=⨯， 由正弦定理有，sin sin AC ABABC C =∠12AB =，解得3AB =，∴11sin 22AB AC A AC BD ⨯⨯⨯=⨯⨯，即53(152)(152)BD ⨯-⨯=-⨯， ∴5BD =，即AC 边上的高为5．故选：C ．9．（5分）2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遣到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有( ) A ．6种B ．12种C ．24种D ．36种【解答】解：若甲单独被派遣到A 县，则有22326C A =种， 若若甲不单独被派遣到A 县，则有336A =种， 故根据分类计数原理可得，共有6612+=种， 故选：B ．10．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4π．正确命题的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：如图对于①，连接1A C ，11B D ，则11//EG D B ，而1CA ⊥平面EFG ，所以1AC EG ⊥；故①正确； 对于②，取11B C 的中点M ，连接CM ，EM ，可得四边形CDEM 为平行四边形，//CM ED ∴，因此//GC ED 不正确；③由于1B F 与11B C 不垂直，11//B C BC ，1B F ∴与BC 不垂直，因此1B F ⊥平面1BGC 不成立．④11//D D B B Q ，EF 和1DD 所角为4π．EF ∴和1BB 成角为4π．正确． 正确命题的个数是2． 故选：C ．11．（5分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，1(2M ，0)y 为该抛物线上一点，以M为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，则抛物线方程为( ) A ．22y x =B ．24y x =C ．26y x =D ．28y x =【解答】解：1(2M ，0)y 为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，过点M 作MB x ⊥轴， 1||||22p MA MF ∴==+，1||22p BF =- 120AMF ∠=︒Q ， 30BMF ∴∠=︒，2||||BF MF ∴=，112()2222p p∴-=+，解得3p =，∴抛物线方程为26y x =，故选：C ．12．（5分）已知11()x x f x e e x --=-+，则不等式()(32)2f x f x +-„的解集是( ) A ．[1，)+∞B ．[0，)+∞C ．(-∞，0]D ．(-∞，1]【解答】解：11()x x f x e e x --=-+Q ①，(2)11(2)11(2)(2)2x x x x f x e e x e e x ------∴-=-+-=-+-②， ①+②得：()(2)2f x f x +-=，()(32)2()(32)()(2)f x f x f x f x f x f x ∴+-⇔+-+-剟， (32)(2)f x f x ∴--„③，又11()10x x f x e e --'=++>恒成立，11()x x f x e e x --∴=-+为R 上的增函数， ∴③式可化为：322x x --„，解得：1x …， 故选：A ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）若x ，y 满足约条条件222022x y y x y +⎧⎪-⎨⎪-⎩…„„，则z x y =+的最大值为 4【解答】解：由x ，y 满足约条条件222022x y y x y +⎧⎪-⎨⎪-⎩…„„作出可行域如图：化目标函数z x y =+为y x z =-+，由图可知，当直线y x z =-+过A 时，z 取得最大值，由222y x y =⎧⎨-=⎩，解得(2,2)A 时，目标函数有最大值为4z =． 故答案为：4．14．（5分）若1205()3a x dx -=⎰，则a = 2 ． 【解答】解：1205()3a x dx -=⎰，整理得1213100015()||33a x dx ax x -=-=⎰， 所以1533a -=，解得2a =．故答案为：215．（5分）已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间[π，2)π上的值小于0恒成立，则ω的取值范围是 5(6，11]12．【解答】解：Q 函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在区间[π，2)π上的值小于0恒成立，故()f x 的最大值小于零． 当[x π∈，2)π，[66x ππωωπ+∈+，2)6πωπ+，6πωππ∴+>，且226πωππ+„，求得511612ω<„， 故答案为：5(6，11]12．16．（5分）三棱锥A BCD -的顶点都在同一个球面上，满足BD 过球心O ，且22BD =，三棱锥A BCD -体积的最大值为 22；三棱锥A BCD -体积最大时，平面ABC 截球所得的截面圆的面积为 ．【解答】解：当BD 过球心，所以90BAD BCD ∠=∠=︒，所以AO⊥面BCD，1132A BCDV BC CD OA -=gg g，当BC CD=时体积最大，因为22BD=，2OA=，所以2BC CD==，所以最大体积为：112222232=g g g g；三棱锥A BCD-体积最大时，三角形ABC中，222AB AC OC OA BC==+==，设三角形ABC的外接圆半径为r，则23r=，所以3r=，所以外接圆的面积为243S rππ==，故答案分别为：22，43π．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～23题为选考题，考生根据要求作答.17．（12分）2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼．现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列22⨯列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？参考公式及数据：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．【解答】解：（Ⅰ）由图可知，(0.0050.0150.0200.0300.005)101m +++++⨯=， 解得0.025m =； （Ⅱ）2()100(800300) 4.762 6.635()()()()50503070n ad bc K a b c d a c b d -⨯-==≈<++++⨯⨯⨯，故不能在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系．18．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB BC ⊥，124AA AB ==，M ，N 分别为1CC ，1BB 的中点，G 为棱1AA 上一点，若1A B ⊥平面MNG ． （Ⅰ）求线段AG 的长；（Ⅱ）求二面角B MG N --的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）1A B ⊥Q 平面MNG ，GN 在平面MNG 内， 1A B GN ∴⊥，设1A B 交GN 于点E ，在BNE ∆中，可得145cos 2164BE BN A BN =∠==+g ， 则114565164A E A B BE =-=+=， 在△1AGE 中，11165534cos 25A EA G AA B===∠，则1AG =； （Ⅱ）以1B 为坐标原点，1B B ，1B C ，11B A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(4B ，0，0)，(2M ，2，0)，(3G ，0，2)，(2N ，0，0)，故(2,2,0),(1,0,2)BM BG =-=-u u u u r u u u r，(0,2,0),(1,0,2)NM NG ==u u u u r u u u r，设平面BMG 的一个法向量为(,,)m x y z =r ，则22020m BM x y m BG x z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩u u u u r r g u u u rr g ，可取(2,2,1)m =r ， 设平面MNG 的一个法向量为(,,)n a b c =r ，则2020n NM b n NG a c ⎧==⎪⎨=+=⎪⎩u u u u r r g u u u rr g ，可取(2,0,1)n =-r ， 设二面角B MG N --的平面角为θ，则5|cos ||cos ,|||||||m n m n m n θ=<>==r rg r rr r ，∴二面角B MG N --5．19．（12分）已知数列{}n a 满足，11a =，24a =且*21430()n n n a a a n N ++-+=∈． （Ⅰ）求证：数列1{}n n a a +-为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2n n b n a =g ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【解答】（Ⅰ）证明：依题意，由21430n n n a a a ++-+=，可得 2143n n n a a a ++=-，则2111333()n n n n n n a a a a a a ++++-=-=-． 21413a a -=-=Q ，∴数列1{}n n a a +-是以3为首项，3为公比的等比数列．11333n n n n a a -+∴-==g ，*n N ∈． 由上式可得，1213a a -=，2323a a -=，g g g113n n n a a ---=， 各项相加，可得：11211331333331322n n n n a a ---=++⋯+==--g ，113131331(31)22222n n nn a a ∴=-+=-+=-g g g ，*n N ∈．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，122(31)32nn n n b n a n n n ==-=-g g g g ．构造数列{}n c ：令3n n c n =g ． 设数列{}n c 的前n 项和为n T ，则1231231323333n n n T c c c c n =+++⋯+=+++⋯+g g g g ， 2331323(1)33n n n T n n =++⋯+-+g g g g ， 两式相减，可得：112333233233333331322n nnn n n n T n n +---=+++⋯+-=-=---g g g ，233344n n n T -∴=+g ．故12n n S b b b =++⋯+12(1)(2)()n c c c n =-+-+⋯+- 12()(12)n c c c n =++⋯+-++⋯+(1)2n n n T +=- 22331134422n n n n -=+--g ． 20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，焦距为2，点P为椭圆上异于A 、B 的点，且直线PA 和PB 的斜率之积为34-．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）设直线AP 与y 轴的交点为Q ，过坐标原点O 作//OM AP 交椭圆于点M ，试探究2||||||AP AQ OM g 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）有题意可得22c =，即1c =，(,0)A a -，(,0)B a ， 设(,)P x y ，由直线PA 和PB 的斜率之积为34-可得34y y x a x a =-+-g ，即22234y x a =--，而P 在椭圆上，所以22221(0)x y a b a b +=>>，22222222(1)()x b y b x a a a=-=--g ，所以2234b a =，而222b ac =-可得：24a =，23b =，所以椭圆的方程为：22143x y +=；（Ⅱ）设直线AP 的方程为：2x my =-，联立与椭圆的方程：22234120x my x y =-⎧⎨+-=⎩，整理可得22(43)120m y my +-=， 所以21243P m y y m +=+，所以21243P my m =+，226843P m x m -=+，所以||AP ===在2x my =-中，令0x =，2y m =，即2(0,)Q m，所以||AQ =所以221||||643m AP AQ m +=+g ，有题意设OM 的方程为：x my =，代入椭圆中可得22(43)12m y +=，所以221243M y m =+，所以2221243Mm x m =+，所以2222212(1)||43MMm OM x y m +=+=+，所以222226(1)||||614312(1)||12243m AP AQ m m OM m ++===++g 为定值． 21．（12分）已知函数()x f x e =．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程；（Ⅱ）若对任意的m R ∈，当0x >时，都有21(2())1m f x x+>-恒成立，求最大的整数k ．【解答】解：()()x I f x e '=，则曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线斜率k f ='（1）e =， 又f （1）e =，故曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程(1)y e e x -=-即y ex =， ()II因为21(2())1m f x x+>-恒成立，当0m =时，显然成立，当0m ≠时，不等式可化为12()f x x +， 令11()2()2x h x f x e x x =+=+，则21()2x h x e x'=-，因为21()2x h x e x '=-在(0,)+∞上单调递增，且1()402h '=<，2330h '=->>，故存在01(2x ∈使得00201()20x h x e x '=-=当0(0,)x x ∈时，()0h x '<，函数单调递减，当0(x x ∈，)+∞时，()0h x '>，函数单调递增， 故当0x x =时，函数取得最小值002000111()2x h x e x x x =+=+，令01t x =∈，则0202000111()2(3x h x e t t x x x =+=+=+∈，将()h x 的最小值记为a ，则(3a ∈+．因此原式需要满足a >即210am -+>恒成立， 又0a >，可知△840k a =-<即可，即12k a <，且(3a ∈+．故k 可以取得的最大整数为2．（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线1C 的参数方程为22cos (2sin x y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），曲线2C 的参数方程为38cos 4(3sin4x t ty t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数） （Ⅰ）求1C 和2C 的普通方程；（Ⅱ）过坐标原点O 作直线交曲线1C 于点(M M 异于)O ，交曲线2C 于点N ，求||||ON OM 的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由22cos(2sinxyααα=+⎧⎨=⎩为参数），消去参数α，可得1C的参数方程为22 (2)4x y-+=；由38cos4(3sin4x tty tππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），得2822x ty t⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去参数t，可得2C的普通方程为8x y+=；（Ⅱ）如图，圆1C的极坐标方程为4cosρθ=，直线2C的极坐标方程为cos sin8ρθρθ+=，即8cos sinρθθ=+，设过坐标原点且与两曲线相交的直线方程为()42ππθαα=-<<，则28||244|cos sin|||4|cos||sin cos||sin2cos21||2sin(2)1|4 ONOM cosααπααααααα+====+++++．Q42ππα-<<，∴52444πππα-<+<．∴|2sin(2)1|[1,12]4πα++∈+，则||||ONOM的最小值为4(21)21=-+．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数()|1||1|f x ax x=++-．（Ⅰ）若2a=，解关于x的不等式()9f x<；（Ⅱ）若当0x>时，()1f x>恒成立，求实数a的取值范围．第21页（共21页）【解答】解：（Ⅰ）当2a =时，3,11()|21||1|2,1213,2x x f x x x x x x x ⎧⎪>⎪⎪=++-=+-⎨⎪⎪-<-⎪⎩剟，则()9f x <等价为139x x >⎧⎨<⎩或11229x x ⎧-⎪⎨⎪+<⎩剟或1239x x ⎧<-⎪⎨⎪-<⎩，解得13x <<或112x -剟或132x -<<-，综上可得原不等式的解集为(3,3)-；（Ⅱ）当0x >时，()1f x >恒成立，即为1()min f x <，当0a =时，()|1|f x x =-，其最小值为f （1）0=，不符题意； 当0a <，即0a ->时，111()|1||1||||1|(1)||(|1|||)f x ax x a x x a x x x a a a =++-=-++-=--++-++，当10a --…，()f x 有最小值，且为1|1|a +，又1|1|1a +>不恒成立；当0a >，0x >时，()1|1f x ax x =++-的最小值为f （1）1|1a =+>恒成立， 综上可得，a 的范围是(0,)+∞．。
精品解析：吉林省吉林市普通中学2020-2021学年度高三上学期第二次调研测试理科数学试题(解析版)
吉林市普通中学2020-2021学年度高中毕业班第二次调研测试理科数学本试卷共22小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题1. 集合{}22A x x =-<<，{}13B x x =-≤<，那么A B =（ ）A. {}23x x -<< B. {}12x x -≤<C. {}21x x -<≤D. {}23x x <<【答案】A 【解析】【分析】根据并集的定义，直接求解. 【详解】{}22A x x =-<<，{}13B x x =-≤<，{}23A B x x ∴⋃=-<<.故选：A2. 在复平面内，复数(2)i i +对应的点的坐标为（ ） A. (1,2) B. (2,1)C. (1,2)-D. (2,1)-【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算以及复数表示的几何意义即可求解.【详解】解：因为复数i （2+i ）=2i ﹣1， 故复数对应的点的坐标为（﹣1，2）， 故选：C.【点睛】本题考查了复数的乘法运算以及复数的几何意义，属于基础题.3. 若()1,2,3,4,5i x i =对应数据的茎叶图如图甲所示，现将这五个数据依次从小到大输入程序框（如图乙）进行计算（其中20x =），则下列说法正确的是（ ）A. 输出的S 值是10B. 输出S 值是2C. 该程序框图的统计意义为求这5个数据的标准差D. 该程序框图的统计意义为求这5个数据的方差 【答案】A 【解析】【分析】根据程序框图计算运算结果即可得出选项. 【详解】由程序框图可得()()()()()222221820192020202120222010S =-+-+-+-+-=.故选：A4. 我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的正视图、侧视图、俯视图依次是（ ）A. ①②③B. ②①③C. ②①④D. ③①④【答案】C 【解析】【分析】根据三视图的定义直接选出结果即可. 【详解】由三视图的定义可知： 正视图为②；侧视图为①；俯视图为④. 故选：C5. 已知ABC 中，“sin sin A B >”是“cos cos A B <”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由三角形大边对大角可知sin sin A B A B >⇔>，由cos y x =在()0,π上的单调性可得cos cos A B A B >⇔<，由此可确定结果.【详解】由正弦定理以及三角形大边对大角可得：sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，又(),0,A B π∈，cos y x =在()0,π上单调递减，cos cos A B A B ∴>⇔<，即sin sin cos cos A B A B >⇔<，∴“sin sin A B >”是“cos cos A B <”成立的充分必要条件.故选：C.6. 等比数列{}n a 中，147108a a a a +++=，3691232a a a a +++=，则{}n a 的前12项和为（ ） A. 24 B. 48C. 56D. 24或56【答案】D 【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据147108a a a a +++=，3691232a a a a +++=，利用等比数列的性质求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的性质得：()25811147108a a a a q a a a a q +++=+++=，()369122581132a a a a q a a a a +=+++=++，所以2832q =， 解得2q =±，所以2581116a a a a +++=±，所以{}n a 的前12项和为8321656S =+±=或24， 故选：D7. 圆22420x y x +-+=与直线l 相切于点(3,1)A ，则直线l 的方程为 A. 250x y --= B. 210x y --= C. 20x y --= D. 40x y +-=【答案】D 【解析】【详解】根据圆x 2+y 2-4x+2=0与直线l 相切于点A （3，1），得到直线l 过（3，1）且与过这一点的半径垂直，做出过这一点的半径的斜率，再做出直线的斜率，利用点斜式写出直线的方程． 解：∵圆x 2+y 2-4x+2=0与直线l 相切于点A （3，1）， ∴直线l 过（3，1）且与过这一点的半径垂直， ∵过（3，1）的半径的斜率是1032--=1， ∴直线l 的斜率是-1，∴直线l 的方程是y-1=-（x-3） 即x+y-4=0 故选D ．8. 将函数()πsin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移π6，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图像，则下列说法正确的是（ ） A. 函数()g x 的图像关于点()π,0对称 B. 函数()g x 的最小正周期为π2C. 函数()g x 的图像关于直线π6x =对称 D. 函数()g x 在区间π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】D 【解析】【分析】本题可根据图像变换得出()πsin 6g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，通过函数()g x 关于点,06k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭对称得出A 错误，然后根据最小正周期2T π=得出B 错误，再然后根据函数()g x 关于直线23x k ππ=+对称得出C 错误，最后根据函数()g x 在区间22,233ππk k ππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦上单调递增判断出D 正确.【详解】函数()f x 的图像向右平移π6，得到ππsin 2sin 2666y x x π⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到()πsin 6g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，A 项：6x k ππ-=，即()6x k k Z ππ=+∈，函数()g x 的图像关于点(),06k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭对称，A 错误； B 项：最小正周期221T ππ==，B 错误； C 项：62x k πππ-=+，即2ππ3xk k Z ， 函数()g x 的图像关于直线2ππ3x k k Z 对称，C 错误； D 项：πππππ262k x k ，即π2π2π2π33k x k k Z ，函数()g x 在区间()22,2ππ33k k k Z ππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，D 正确，故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数图像变换以及正弦函数的性质，主要考查正弦函数的单调性、周期性以及对称性，考查三角函数图像的平移变换及伸缩变换，考查推理能力，是中档题.9. 人们眼中的天才之所以优秀卓越，并非是他们的天赋异禀，而是付出了持续不断的努力．一万小时的锤炼是任何人从平庸变成非凡，从困境走向成功的必要条件．某个学生为提高自己的数学做题准确率和速度，决定坚持每天刷题，刷题时间x 与做题正确率y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y bx a =+中的b 为9.4，据此模型预报刷题时间为6个单位的准确率为（ ） A. 72.0% B. 67.7%C. 65.5%D. 63.6%【答案】C 【解析】【分析】首先根据题意得到 3.5x =，42y =，代入回归直线方程得到9.1a =，即9.49.1y x =+，再将6x =代入回归直线方程计算即可. 【详解】23453.54x +++==，26394954424y +++==， 因为9.4y x a =+过点()3.5,42，所以9.1a =，即回归直线方程为9.49.1y x =+. 当6x =时，9.469.165.5y =⨯+=.故选：C10. 法国机械学家莱洛（F ．Reuleaux 1829-1905）发现了最简单的等宽曲线莱洛三角形，它是分别以正三角形ABC 的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作三段圆弧组成的一条封闭曲线，在封闭曲线内随机取一点，则此点取自正三角形ABC 之内（如图阴影部分）的概率是（ ）A.332π23- B.32π23- C.2π3- D.π3-【答案】B 【解析】【分析】由扇形面积公式、正三角形面积公式得：封闭曲线的面积为2(3)a S π-=，由几何概型的概率公式得解．【详解】设正三角形的边长为a ，由扇形面积公式可得封闭曲线的面积为22213(3)3223a S a a ππ-=⨯⨯⨯-=，设阴影部分的面积为1S ，由几何概型中的面积型可得：此点取自正三角形ABC 之内（如图阴影部分）的概率是()12233422332S P S a ππ===-- 故选：B【点睛】方法点睛：几何概型的解题步骤：首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题）；接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件A 构成的区域长度（角度、弧长等），最后代公式得解；如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变量，再列出试验的全部结果和事件A 分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式.11. 已知函数()22cos f x x x =+，则不等式()()21f x f x -<的解集是（ ）A. 1,13⎛⎫⎪⎝⎭B. (),1-∞C. ()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭D. ()1,+∞【答案】A 【解析】【分析】依题意得出()f x 是定义域为R 的偶函数，且在[0,)+∞单调递增，进而可得结果. 【详解】显然2()2cos f x x x =+是定义域为R 的偶函数.当0x ≥时，()22sin ()f x x x g x '=-=，()22cos 0g x x '=-≥， 所以()g x 即()'f x 在[0,)+∞单调递增，所以()(0)0f x f ''≥=， 所以()f x 在[0,)+∞单调递增，故不等式222(21)()(|21|)(||)|21|||1|21|||3410 1.3f x f x f x f x x x x x x x x -<⇔-<⇔-<⇔-<⇔-+<⇔<< 所以，不等式解集为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：依题意得出()f x 是定义域为R 的偶函数，且在[0,)+∞单调递增.12. 已知双曲线C ：22197x y -=的左焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B两点，则14FA FB-的取值范围是（ ） A. 13,67⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B. 13,67⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 1,06⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D. 1,6⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】设FA r =，1r ≥，则14146FA FB r r -=-+，构造函数21463()66r f r r r r r-=-=++，[1,)r ∈+∞，用导数求()f r 在[1,)+∞上的取值范围即可. 【详解】设FA r =，则1r c a ≥-=.设双曲线的右焦点为F '，由对称性可知BF FA r '==，则26FB r a r =+=+，所以14146FA FB r r -=-+.令21463()66r f r r r r r -=-=++，[1,)r ∈+∞， 则222223(412)3(2)(6)()(6)(6)r r r r f r r r r r --+-'==++，令()0f r '=得6r =， 当(1,6)x ∈时，()0f r '<，()f r 单调递减；当(6,)x ∈+∞时，()0f r '>，()f r 单调递增. 所以min 1()(6)6f r f ==-，又当(6,)x ∈+∞时()0f r <，所以max 3()(1)7f r f ==. 故14FA FB -的取值范围是13,67⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选：B .【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：构造函数21463()66rf r r r r r-=-=++，[1,)r ∈+∞，用导数求()f r 在[1,)+∞上的取值范围.二、填空题13. 已知x ，y 满足约束条件23601330x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪++≥⎩，则3z x y =-的最大值为______． 【答案】5 【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，由3z x y =-，得1133y x z =-，作出直线:30l x y -=，平移直线l ，有图可得当直线l 平移到经过点B 的位置时，解得B 点坐标代入目标函数即可得出答案． 【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示： 由3z x y =-，可得1133y x z =-， 作出直线:30l x y -=，平移直线l ，由图可得，当直线l 平移到经过点B 的位置时，直线在y 轴上的截距最小，此时，3z x y =-取得最大值，由1330x x y =⎧⎨++=⎩，可得点B 的坐标为4(1,)3-，所以3z x y =-的最大值为413()53-⨯-=，故答案为：5．【点睛】方法点睛：线性规划问题解题步骤如下：（1）根据题意，设出变量,x y ；（2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数)；（6）观察图形，找到直线()(y f x z =为参数)在可行域上使z 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案.14. 已知10sin cos 5αα+=sin 2α=______． 【答案】35【解析】【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得结果． 【详解】因为10sin cos 5αα+=21+2sin cos 5αα=，即21sin 23α+=，得3sin 25α=-. 故答案为：35. 15. 已知两个单位向量1e 、2e 的夹角为60，向量1232m e e =-，则|m =_____． 7【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算律和定义计算出2m 的值，进而可求得m 的值. 【详解】根据题意，两个单位向量1e 、2e 的夹角为60，则121211cos 601122e e e e ⋅=⋅=⨯⨯=， 1232m e e =-，则()222221211221329124131272m m e e e e e e ==-=-⋅+=-⨯=， 因此，7m =.【点睛】本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题．16. 在三棱锥S ABC -中，6AB =，8BC =，10AC =，二面角S AB C --，S AC B --，S BC A --的大小均为45°，则三棱锥S ABC -的顶点S 在底面ABC 的射影为ABC 的______（填重心、垂心、内心、外心）．三棱锥S ABC -的外接球的半径为______．【答案】 (1). 内心 (2).【解析】【分析】过S 作底面ABC 的垂线，垂直为E ，过E 分别作EF AC ⊥，EG AB ⊥，EH BC ⊥，连接SE ，SG ，SH ，则SFE ∠，SGE ∠，SHE ∠分别为二面角S AC B --，S AB C --，S BC A --的平面角，由二面角S AB C --，S AC B --，S BC A --的大小相等及三角形全等，可得S 在底面射影为底面三角形ABC 的内心；利用等面积法求得底面内切圆的半径，设D 是AC 的中点，则D 是三角形ABC 的外心，由三棱锥S ABC -的外接球球心为O ，得OD ⊥平面ABC ，可得//OD SE ，则M ，D ，E 共线，利用解析法求得DE ，设三棱锥S ABC -的外接球的半径为R ，即OC OA R ==，然后利用三角形相似列式求得R .【详解】解：如图，过S 作底面ABC 的垂线，垂足为E ，过E 分别作EF AC ⊥，EG AB ⊥，EH BC ⊥，连接SE ，SG ，SH ，由三垂线定理可得，SF AC ⊥，SG AB ⊥，SH BC ⊥，则SFE ∠，SGE ∠，SHE ∠分别为二面角S AC B --，S AB C --，S BC A --的平面角，二面角S AB C --，S AC B --，S BC A --的大小相等，可得SFE SGE SHE ∠=∠=∠，又直角边SE 为公共边，EF EG EH ∴==，S ∴在底面射影为底面三角形ABC 的内心；6AB =，8BC =，10AC =，222AB BC AC ∴+=，可得ABC 是以角B 为直角的直角三角形．由等面积法求得：11()22BC AB AB BC AC EF ⋅=++⨯，得2EF =， 设D 是AC 的中点，则D 是三角形ABC 的外心，三棱锥S ABC -的外接球球心为O ，则OD ⊥平面ABC ，则//OD SE ，M ∴，D ，E 共线，在直角三角形ABC 中，分别以BC ，BA 所在直线为x ，y 轴建立平面直角坐标系，由(2,2)E ，(4,3)D ，得22(42)(32)5DE =-+-=．设三棱锥S ABC -的外接球的半径为R ，即OC OA R ==，若O 与S 在平面ABC 的同侧，由直角梯形SEDO 与直角三角形ODC 得：222255R R --=-，R 无解；若O 与S 在平面ABC 的异侧，则222525R R -+=-，解得41R =，故答案为：内心；41．【点睛】方法点睛：求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC 外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.三、解答题17. 已知等差数列{}n a 满足534a a =+，且31a -是21a -和41a +的等比中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）21n a n =-；（2）21n n +． 【解析】【分析】（1）首先根据数列是等差数列，求出公差，再根据等比中项的定义，列式求通项公式；（2）由条件可知()()1112121n n n b a a n n +==-+，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为534a a =+，所以2d =．又31a -是21a -和41a +的等比中项，有()()()2324111a a a -=-+．即()()()2111317a a a +=++，得11a =． ()1121n a a n d n =+-=-，所以数列{}n a 的通项公式21n a n =-．（2）()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭123n n T b b b b =+++⋅⋅⋅+1111111111112323525722121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111111112335572121n n ⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭ 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n =+. 18. 在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知6C π=，()sin ,1m A →=-，()cos ,1n B →=，且//m n →→.（1）求A 的值；（2）若点D 为边BC 上靠近B 的四等分点，且AD =ABC 的面积.【答案】（1）6π；（2）【解析】 【分析】（1）根据题意，由//m n →→，利用平面向量共线的坐标运算，得出sin cos A B =-，且6C π=，进而得出1sin cos cos cos sin sin sin 2A B A C A C A A =-=-=-，即可求出sin A A =，结合三角形的内角，即可求出A 的值；（2）设BD x =，由点D 为边BC 靠近B 点的四等分点，得4BC x =，由三角形内角和可算出23B A B ππ=--=，在ABD △中，利用余弦定理求出x ，从而得出AB 和BC ，最后利用三角形的面积公式即可求出ABC 的面积.【详解】解：（1）由题可知，()sin ,1m A →=-，()cos ,1n B →=，且//m n →→，∴()sin cos 10A B -⨯-=，即sin cos A B =-，∴()sin cos cos cos cos sin sin A B A C A C A C =-=+=-， 又6C π=，∴1sin cos cos sin sin sin 2A A C A C A A =-=-，即3sin 2A A =，∴sin A A =， 若cos 0A =，则sin 0A =，与22sin cos 1A A +=矛盾，∴cos 0A ≠，∴tan A =， 又A 为ABC 的内角，∴6A π=，∴A 的值为6π. （2）设BD x =，由点D 为边BC 靠近B 点的四等分点，得4BC x =，由（1）得6A π=，且已知6C π=，则23B A B ππ=--=， 在ABD △中，根据余弦定理：2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅，得2222(21)(4)24cos3x x x x π=+-⋅⋅⋅， 解得：1x =，∴4AB BC ==，∴112sin 44sin 43223ABC S BA BC B π=⋅⋅=⨯⨯⨯=△， ∴ABC 的面积为43.【点睛】本题考查平面向量共线的坐标运算和三角形的面积，通过余弦定理解三角形以及两角和与差的正弦公式的应用，考查化简运算能力.19. 已知四边形ABCD 是边长为2的正方形，PAB △是正三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ，O 为AB 中点．（1）证明：PO ⊥平面ABCD ；（2）求PC 与平面POD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（210． 【解析】【分析】（1）利用线面面面垂直的性质定理即可证明.（2）方法一：取CD 的中点E ，连接OE 在正方形ABCD 中，以O 为原点，以OA ，OE ，OP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系O xyz -，求出平面POD 一个法向量，根据s in ,s co PC n θ=即可求解；方法二：连接OC ，由（1）利用等体法求出C 到平面POD 的距离为h ，根据sin h PCθ=即可求解. 【详解】（1）PAB △是正三角形，O 为AB 中点，PO AB ∴⊥，又平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PO ∴⊥平面ABCD .（2）方法一：取CD 的中点E ，连接OE 在正方形ABCD 中，O 为AB 中点，∴OE AB ⊥，由（1）知，PO ⊥平面ABCD ，所以以O 为原点，以OA ，OE ，OP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系O xyz -．∵2AB = ∴(3P ，()1,2,0C ，()0,0,0O ，()1,2,0D -， ∴(1,2,3PC =，(3OP =，()1,2,0OD =-设平面POD 法向量为(),,n x y z = 则3020n OP z n OD x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1y =，得()2,1,0n =． 10cos ,225PC nPC n PC n ⋅===⨯设PC 与平面POD 所成角θ，则10sin θ=． 所以PC 与平面POD 所成角的正弦值为10． 方法二：连接OC ，在等边三角形PAB 中2AB =，所以3PO =．在直角三角形OBC 中1OB =，2BC =， 所以5OC由（1）知PO ⊥平面ABCD ，所以POC △与POD 都是直角三角形，． 所以223522PC PO OC =++=POD S △111535222PO OD =⨯⨯==． 设C 到平面POD 的距离为h由C POD P OCD V V --=得1133POD OCD S h S PO ⨯⨯=⨯⨯△△， 即115123323h ⨯⨯=⨯45h =． 设PC 与平面POD 所成的角为θ 则45105sin 22h PC θ=== 所以PC 与平面POD 10 【点睛】思路点睛：解决线面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内；（2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错.（3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量.（4）利用法向量求距离、线面角或二面角.20. 2020年3月20日，中共中央、国务院印发了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》（以下简称《意见》），《意见》中确定了劳动教育内容要求，要求普通高中要注重围绕丰富职业体验，开展服务性劳动、参加生产劳动，使学生熟练掌握一定劳动技能，理解劳动创造价值，具有劳动自立意识和主动服务他人、服务社会的情怀．我市某中学鼓励学生暑假期间多参加社会公益劳动，在实践中让学生利用所学知识技能，服务他人和社会，强化社会责任感，为了调查学生参加公益劳动的情况，学校从全体学生中随机抽取100名学生，经统计得到他们参加公益劳动的总时间均在15~65小时内，其数据分组依次为：[)15,25，[)25,35，[)35,45，[)45,55，[]55,65，得到频率分布直方图如图所示，其中0.028a b -=．（1）求a ，b 的值，估计这100名学生参加公益劳动的总时间的平均数（同一组中的每一个数据可用该组区间的中点值代替）；（2）学校要在参加公益劳动总时间在[)35,45、[)45,55这两组的学生中用分层抽样的方法选取5人进行感受交流，再从这5人中随机抽取2人进行感受分享，求这2人来自不同组的概率．【答案】（1）0.042a =，0.014b =；平均数为40.2；（2）35． 【解析】【分析】（1）根据矩形面积和为1，求,a b 的值，再根据频率分布直方图求平均数；（2）首先利用分层抽样，在[)35,45中抽取3人，在[)45,55中抽取2人，再编号，列举基本事件，求概率，或者利用组合公式，求古典概型概率.【详解】（1）依题意，()0.0050.0110.028101b a ++++⨯=，故0.056a b +=．又因为0.028a b -=，所以0.042a =，0.014b =．所求平均数为200.11300.14400.42500.28600.0540.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（小时）．所以估计这100名学生参加公益劳动的总时间的平均数为40.2．（2）由频率分布直方图可知，参加公益劳动总时间在[)35,45和[)45,55的学生比例为0.42:0.283:2=． 又由分层抽样的方法从参加公益劳动总时间在[)35,45和[)45,55的学生中随机抽取5人，则在[)35,45中抽取3人，分别记为a ，b ，c ，在[)45,55中抽取2人，分别记为M ，N ，则从5人中随机抽取2人的基本事件有(),a b ，(),a c ，(),a M ，(),a N ，(),b c ，(),b M ，(),b N ，(),c M ，(),c N ，(),M N ．这2人来自不同组的基本事件有：(),a M ，(),a N ，(),b M ，(),b N ，(),c M ，(),c N ，共6个， 所以所求的概率63105P ==． 解法二：由频率分布直方图可知，参加公益劳动总时间在[)35,45和[)45,55的学生比例为0.42:0.283:2=．又由分层抽样的方法从参加公益劳动总时间在[)35,45和[)45,55的学生中随机抽取5人，则在[)35,45中抽取3人，在[)45,55中抽取2人，则从5人中随机抽取2人的基本事件总数为2510C =．这2人来自不同组的基本事件数为11326C C =． 所以所求的概率63105P ==． 21. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上一点，且12PF F △的周长是6，()4,0Q ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 经过椭圆的左焦点1F 且与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，试问：直线QM 与直线QN 的斜率的和是否为定值？若是，请求出此定值：若不是，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）直线QM 与直线QN 的斜率的和不为定值． 【解析】【分析】（1）由椭圆的定义可得12PF F △的周长为22a c +，再由离心率12c e a ==，即可求出a 、c ，最后根据222a c b -=求出b ，即可得解；（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，当直线l 的斜率k 存在时，设直线方程为(1)y k x =+，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，121244QM QN y y k k x x +=+--计算可得． 【详解】（1）由椭圆的定义知12PF F △的周长为22a c +，所以226a c +=．又因为椭圆C 的离心率12c e a ==，所以2a c =， 联立解得2a =，1c =，所以b == 因此所求的椭圆方程为22143x y +=； （2）设()11,M x y ，()22,N x y当直线l 的斜率k 存在且不为零时，设直线方程为()1y k x =+． 联立22143x y +=消去y 得()22223484120k x k x k +++-=． 则2122834k x x k -+=+，212241234k x x k-=+ 因为()()()()()()122112121214144444QM QN k x x k x x y y k k x x x x +-++-+=+=---- ()()12121212238416kx x k x x k x x x x -+-=-++ 222222228242483434041232163434k k k k k k k k k -+-++=⋅≠-++++ 当直线l 与x 轴垂直时，有0OM ON k k +=．所以，直线QM 与直线QN 的斜率的和不为定值．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22. 已知函数()()ln2f x x a x ⎛=-- ⎝⎭且4f =（其中e 为自然对数的底数）． （1）求函数()f x 的解析式；（2）判断()f x 的单调性；（3）若()f x k =有两个不相等实根1x ，2x ，证明：12x x +>．【答案】（1）()()1ln f x x x ⎛=-- ⎝⎭；（2）函数()f x 在(上单调递增，在)+∞上单调递减；（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据4f =求出a 的值即得解； （2）利用导数和二次求导求出函数的单调性；（3）构造函数()()()F x F x f x =-，(x ∈，得到()y F x =在(上单调递增，得到()()21f x f x <，即得解.【详解】（1）12224f a ⎛⎫⎫=-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1a =，所以函数解析式()()1ln f x x x ⎛=- ⎝⎭ （2）函数()f x 的定义域为()0,∞+()11ln ln f x x x x x ⎛⎛⎫'=-+-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭设()ln g x x =-，()1g x x'=， 在()0,∞+上，()0g x '<恒成立所以()g x 在()0,∞+上单调递减，即()f x '在()0,∞+上单调递减又0f '=，则在(上()0f x '>，在)+∞上()0f x '<．所以函数()f x 在(上单调递增，在)+∞上单调递．（3）构造函数()()()F x F x f x =-，(x ∈．所以()()()F x f x f x '''=+()ln lnx x =+-()lnx x ⎡⎤=-⎣⎦设()t x x =，当(x ∈时，()0,t e ∈．设()ln e h t t t =-，且()210e h t t t'=--< 可知()h t 在()0,e 上单调递减，且()0h e =．所以()0h t >在()0,t e ∈上恒成立即()0F x '>在(x ∈上恒成立所以()y F x =在(上单调递增．不妨设12x x <，由（2）知12x x ()()()(1110F x f x f x Ff f =-<=-=即()()11f x f x <．因为()()12f x f x =，所以()()21f x f x <由（2）知()f x 在)+∞上单调递减得21x x >．所以12x x +>【点睛】方法点睛：若12,x x 是函数()f x 的两个零点，而0x x =是函数()f x 的极值点，证明1202x x x +<（或1202x x x +>），极值点偏移问题常用的解题步骤是：（1）构建函数0()()(2)h x f x f x x =--（移小不移大），（2）判断函数()h x 的单调性（一般利用复合函数的单调性求单调性）；（3）证明()0h x >（或()0h x <）即0()(2)f x f x x >-（或0()(2)f x f x x <-）；（4）利用函数()f x 的单调性证1202x x x +<（或1202x x x +>）.。
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2020年吉林省吉林市高考二模数学理一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.1.已知U=R，M={x|-l≤x≤2}，N={x|x≤3}，则(ðU M)∩N=( )A.{x|2≤x≤3}B.{x|2＜x≤3}C.{x|x≤-1，或2≤x≤3}D.{x|x＜-1，或2＜x≤3}解析：利用补集的定义求出集合M的补集；借助数轴求出(ðu M)∩N.答案：D.2.如果复数z=21i-+，则( )A.|z|=2B.z的实部为1C.z的虚部为-1D.z的共轭复数为1+i解析：直接利用复数的除法运算化简，求出复数的模，然后逐一核对选项即可得到答案. 答案：C.3.下列关于命题的说法错误的是( )A.命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2-3x+2≠0”B.“a=2”是“函数f(x)=log a x在区间(0，+∞)上为增函数”的充分不必要条件C.若命题P：∃n∈N，2n＞1000，则￢P：∀n∈N，2n≤1000D.命题“∃x∈(-∞，0)，2x＜3x”是真命题解析：选项A是写一个命题的逆否命题，只要把原命题的结论否定当条件，条件否定当结论即可；选项B看由a=2能否得到函数f(x)=log a x在区间(0，+∞)上为增函数，反之又是否成立；选项C、D是写出特称命题的否定，注意其否定全称命题的格式.答案：D.4.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，b=3，c=2，则∠A=( )A.30°B.45°C.60°D.90°解析：根据题意和余弦定理求出cosA的值，由A的范围求出角A的值.答案：C.5.函数f(x)=1x+ln|x|的图象大致为( )A. B. C. D.解析：当x＜0时，函数f(x)=1x+ln(-x)，由函数的单调性，排除CD；当x＞0时，函数f(x)=1x+ln(x)，此时，代入特殊值验证，排除A，只有B正确，答案：B.6.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为( )A.-2B.12C.-1D.2解析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案. 答案：B.7.设{a n }是公差不为零的等差数列，满足22224567a a a a +=+，则该数列的前10项和等于( ) A.-10 B.-5 C.0 D.5解析：设出等差数列的首项和公差，把已知等式用首项和公差表示，得到a 1+a 10=0，则可求得数列的前10项和等于0. 答案：C.8.某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为( )A.4πB.283π C.443πD.20π解析：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积. 答案：B.9.已知2x ，把f(x)的图象向右平移12π个单位，再向上平移2个单位，得到y=g(x)的图象，若对任意实数x ，都有g(α-x)=g(α+x)成立，则g(α+4π)+g(4π)=( ) A.4 B.3 C.2 D.32解析：由条件利用三角函数的恒等变换求得g(x)的解析式，再根据题意可得g(x)的图象关于直线x=α对称，再根据正弦函数的图象的对称性求得α的值，可得g(α+4π)+g(4π)的值. 答案：A.10.在等腰直角△ABC 中，AC=BC ，D 在AB 边上且满足：()1CD tCA t CB =+-u u u r u u u r u u u r，若∠ACD=60°，则t 的值为( )A.12C.2D.12解析：易知A ，B ，D 三点共线，从而建立坐标系，从而利用坐标运算求解即可. 答案：A.11.已知双曲线C 1：24x -y 2=1，双曲线C 2：2222x y a b -=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 2的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若2OMF S V =16，且双曲线C 1，C 2的离心率相同，则双曲线C 2的实轴长是( )A.32B.16C.8D.4解析：求得双曲线C 1的离心率，求得双曲线C 2一条渐近线方程为y=bax ，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和三角形的面积公式，化简整理解方程可得a=8，进而得到双曲线的实轴长. 答案：B.12.已知函数f(x)=1|2|0210x e x x x x -⎧⎪⎨--+≤⎪⎩，＞，，若关于x 的方程f 2(x)-3f(x)+a=0(a ∈R)有8个不等的实数根，则a 的取值范围是( ) A.(0，14) B.(13，3) C.(1，2) D.(2，94) 解析：画出函数的图象，利用函数的图象，判断f(x)的范围，然后利用二次函数的性质求解a 的范围. 答案：D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.已知O 是坐标原点，点A(-1，1).若点M(x ，y)为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM ⋅u u u r u u u u r的取值范围是_____.解析：先画出满足约束条件212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入OA OM ⋅u u u r u u u u r 分析比较后，即可得到OA OM ⋅u u u r u u u u r的取值范围.答案：[0，2].14.已知|a r |=2，|b r |=2，a r 与b r 的夹角为45°，且λb r -a r 与a r垂直，则实数λ=_____. 解析：根据向量λb r -a r 与向量a r 垂直⇔(λb r -a r )·a r=0再结合两向量数量积的定义即可求解..15.过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B ，若|AF|=3|BF|，则l 的斜率是_____.解析：由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，设出直线l 的方程，和抛物线方程联立，化为关于y 的一元二次方程后利用根与系数的关系得到A ，B 两点纵坐标的和与积，结合|AF|=3|BF|，转化为关于直线斜率的方程求解..16.艾萨克·牛顿(1643年1月4日-1727年3月31日)英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f(x)零点时给出一个数列{x n }：满足x n+1=x n -()()n n f x f x '，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数f(x)=ax 2+bx+c(a＞0)有两个零点1，2，数列{x n }为牛顿数列，设a n =ln 21n n x x --，已知a 1=2，x n ＞2，则{a n }的通项公式a n =_____.解析：由已知得到a ，b ，c 的关系，可得f(x)=ax 2-3ax+2a ，求导后代入x n+1=xn-()()n n f x f x '，整理可得2112211n n n n x x x x ++--=--⎛⎫ ⎪⎝⎭，两边取对数，可得ln 21n n x x --是以2为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式求导答案.答案：2n.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知函数f(x)=Msin(ωx+φ)(M ＞0，|φ|＜2π)的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若(2a-c)cosB=bcosC ，求f(2A)的取值范围.解析：(1)根据图象求出A ，ω 和φ，即可求函数f(x)的解析式；(2)利用正弦定理化简，求出B ，根据三角内角定理可得A 的范围，利用函数解析式之间的关系即可得到结论答案：(1)由图象知A=1，T=4(5126ππ-)=π，∴ω=2， ∴f(x)=sin(2x+φ)∵图象过(6π，1)，将点(6π，1)代入解析式得sin(3π+φ)=1， ∵|φ|＜2π，∴φ=6π故得函数f(x)=sin(2x+6π).(2)由(2a-c)cosB=bcosC ，根据正弦定理，得：(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC ∴2sinAcosB=sin(B+C)， ∴2sinAcosB=sinA. ∵A ∈(0，π)， ∴sinA ≠0，∴cosB=12，即B=3π ∴A+C=23π，即0＜A ＜23π那么：f(2A )=sin(A+6π)，0＜A ＜23π，6π＜A+6π＜56π，sin(A+6π)∈(12，1]故得f(2A)∈(12，1].18.已知数列{a n }是等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 3=3，S 3=9 (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)设b n =2233log n a +，且{b n }为递增数列，若c n =14n n b b +⋅，求证：c 1+c 2+c 3+…+c n ＜1.解析：(Ⅰ)设数列{a n }的公比为q ，根据等比数列的前n 项和公式，从而解得； (Ⅱ)讨论可知a 2n+3=3·(-12)2n =3·(12)2n，从而可得b n =2233log n a +=2n ，利用裂项求和法求和.答案：(Ⅰ)设数列{an}的公比为q ， ①当q=1时，符合条件a 1=a 3=3，a n =3.②当q ≠1时，()21313191a q a q q ⎧=⎪-⎨=⎪-⎩，所以()2121319a q a q q ⎧=⎪⎨++=⎪⎩解得a 1=12，q=-12，所以a n =12×(-12)n-1.综上所述：数列{a n }的通项公式为a n =3(q=1)或a n =12×(-12)n-1.(Ⅱ)证明：若a n =3，则b n =0，与题意不符； 故a 2n+3=3·(-12)2n =3·(12)2n， 故b n =2233log n a +=2n ，故c n =14111n n b b n n +=-⋅+，故c 1+c 2+c 3+…+c n =1-111111122311n n n +-+⋯+-=-++＜1.19.某车间20名工人年龄数据如表：(Ⅰ)求这20名工人年龄的众数与平均数；(Ⅱ)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；(Ⅲ)从年龄在24和26的工人中随机抽取2人，求这2人均是24岁的概率.解析：(Ⅰ)利用车间20名工人年龄数据表能求出这20名工人年龄的众数和平均数. (Ⅱ)利用车间20名工人年龄数据表能作出茎叶图.(Ⅲ)记年龄为24岁的三个人为A1，A2，A3；年龄为26岁的三个人为B1，B2，B3，利用列举法能求出这2人均是24岁的概率.答案：(Ⅰ)由题意可知，这20名工人年龄的众数是30，这20名工人年龄的平均数为x=120(19+3×28+3×29+5×30+4×31+3×32+40)=30，(Ⅱ)这20名工人年龄的茎叶图如图所示：(Ⅲ)记年龄为24岁的三个人为A1，A2，A3；年龄为26岁的三个人为B1，B2，B3，则从这6人中随机抽取2人的所有可能为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}共15种.满足题意的有{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}3种，故所求的概率为P=31 155=.20.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠ABC=120°.点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F.(Ⅰ)求证：AB∥EF；(Ⅱ)若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AEF所成的二面角的正弦值.解析：(Ⅰ)推导出AB∥CD，从而AB∥面PCD，由此能证明AB∥EF.(Ⅱ)取AD中点G，连接PG，GB，以G为原点，GA、GB、GP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系G-xyz，利用向量法能求出平面PAF与平面AFE所成的二面角的正弦值.答案：(Ⅰ)∵底面ABCD是菱形，∴AB∥CD，又∵AB⊄面PCD，CD⊂面PCD，∴AB∥面PCD又∵A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，∴AB∥EF解：(Ⅱ)取AD 中点G ，连接PG ，GB ，∵PA=PD ，∴PG ⊥AD ， 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD=AD ， ∴PG ⊥平面ABCD∴PG ⊥GB ，在菱形ABCD 中，∵AB=AD ，∠DAB=60°，G 是AD 中点，∴AD ⊥GB ， 如图，以G 为原点，GA 、GB 、GP 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系G-xyz由PA=PD=AD=2得，G(0，0，0)，A(1，0，0)，B(00)，C(-20)，D(-1，0，0)，P(0，0又∵AB ∥EF ，点E 是棱PC 中点，∴点F 是棱PD 中点，∴F(-12，0)，AF u u u r =(-32，0，AB u u u r =(-1，0)，设平面AFE 的法向量为n r=(x ，y ，z)，则有00n AF n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r，∴z y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，不妨令x=3，则平面AFE 的一个法向量为n r=(3， ∵BG ⊥平面PAD ，∴GB uuu r=(00)是平面PAF 的一个法向量，|cos ＜n r ，GB uuu r ＞|=13n GB n GB⋅==⋅r u u u rr u u u r ， ∴平面PAF 与平面AFE 所成的二面角的正弦值为：sin ＜n r ，GB uuu r ＞=.21.如图，椭圆E ：2224x y b+=1(0＜b ＜2)，点P(0，1)在短轴CD 上，且PC PD ⋅u u u r u u u r=-2(Ⅰ) 求椭圆E 的方程及离心率；(Ⅱ) 设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点.是否存在常数λ，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.解析：(Ⅰ)由已知可得点C ，D 的坐标分别为(0，-b)，(0，b).结合PC PD ⋅u u u r u u u r =-2列式求得b ，则椭圆方程可求，进一步求出c 可得椭圆的离心率；(Ⅱ)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y=kx+1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2).联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系可得A ，B 横坐标的和与积OA OB PA PB λ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，可知当λ=2时，OA OB PA PB λ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r =-7为定值.当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ，仍有2OA OB PA PB OC OD PC PD λ⋅+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =-3-4=-7，故存在常数λ=2，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 为定值-7.答案：(Ⅰ)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，-b)，(0，b).又点P 的坐标为(0，1)，且PC PD ⋅u u u r u u u r =-2，即1-b 2=-2，解得b 2=3. ∴椭圆E 方程为2243x y +=1. ∵=1，∴离心率e=12； (Ⅱ)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y=kx+1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2). 联立221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得(4k 2+3)x 2+8kx-8=0. 其判别式△＞0，x 1+x 2=2843k k -+，x 1x 2=2843k -+. 从而，OA OB PA PB λ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r =x 1x 2+y 1y 2+λ[x 1x 2+(y 1-1)(y 2-1)]=(1+λ)(1+k 2)x 1x 2+k(x 1+x 2)+1=()222281143424)343(k k k k λλ-++-+-=++-2λ-3，当λ=2时，24243k λ-+-2λ-3=-7， 即OA OB PA PB λ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r =-7为定值. 当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ，此时2OA OB PA PB OC OD PC PD λ⋅+⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =-3-4=-7，故存在常数λ=2，使得OA OB PA PB λ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 为定值-7.22.设函数f(x)=(x+b)lnx ，g(x)=alnx+12a -x 2-x(a ≠1)，已知曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x+2y=0垂直.(1)求b 的值；(2)若对任意x ≥1，都有g(x)＞1a a -，求a 的取值范围. 解析：(1)求出函数导数，由两直线垂直斜率之积为-1，解方程可得b ； (2)求出导数，对a 讨论，①若a ≤12，则1a a -≤1，②若12＜a ＜1，则1a a -＞1，③若a ＞1，分别求出单调区间，可得最小值，解不等式即可得到所求范围.答案：(1)直线x+2y=0的斜率为-12， 可得曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2，所以f ′(1)=2，又f ′(x)=lnx+b x+1，即ln1+b+1=2，所以b=1. (2)g(x)的定义域为(0，+∞)，g ′(x)= b x+(1-a)x-1=()1a x a x --(x-1). ①若a ≤12，则1a a-≤1，故当x ∈(1，+∞)时，g ′(x)＞0，g(x)在(1，+∞)上单调递增. 所以，对任意x ≥1，都有g(x)＞1a a -的充要条件为g(1)＞1a a -，即112a --＞1a a -，解得a ＜-1-1＜a ≤12②若12＜a ＜1，则1a a -＞1，故当x ∈(1，1a a-)时，g ′(x)＜0； 当x ∈(0，1)，(1a a-，+∞)时，g ′(x)＞0. f(x)在(1，1a a -)上单调递减，在(0，1)，(1a a-，+∞)上单调递增. 所以，对任意x ≥1，都有g(x)＞1a a -的充要条件为g(x)＞1a a -.而g(x)=aln ()212111a a a a a a a a ++----＞在12＜a ＜1上恒成立， 所以12＜a ＜1 ③若a ＞1，g(x)在[1，+∞)上递减，不合题意.综上，a 的取值范围是(-∞，∪-1，1).考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。