直线关于直线对称问题的常用方法与技巧

直线关于直线对称问题的常用方法与技巧
对称问题是高中数学的比较重要内容，它的一般解题步骤是：1. 在所求曲线上选一
点),(y x M ；2. 求出这点关于中心或轴的对称点),(00/y x M 与),(y x M 之间的关系；3. 利用0),(00=y x f 求出曲线0),(=y x g 。

直线关于直线的对称问题是对称问题中的较难的习题，但它的解法很多，现以一道典型习题为例给出几种常见解法，供大家参考。

例题：试求直线01:1=-+y x l 关于直线033:2=--y x l 对称的直线l 的方程。

解法1：（动点转移法）
在1l 上任取点))(,(2/
/l P y x P ∉，设点P 关于2l 的对称点为),(y x Q ，则 ⎪⎩⎪⎨⎧-+=++-=⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=--=-+-+534359343103223//////y x y y x x x x y y y y x x 又点P 在1l 上运动，所以01=-+y x ，所以015
3435934=--++++-y x y x 。

即017=--y x 。

所以直线l 的方程是017=--y x 。

解法2：（到角公式法）
解方程组⎩
⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=--=-+0103301y x y x y x 所以直线21,l l 的交点为A(1,0) 设所求直线l 的方程为)1(-=x k y ，即0=--k y kx ,由题意知，1l 到2l 与2l 到l 的角相等，则7
131313113=⇒+-=⨯-+k k k .所以直线l 的方程是017=--y x 。

解法3：（取特殊点法）
由解法2知，直线21,l l 的交点为A(1,0)。

在1l 上取点P （2，1），设点P 关于2l 的对称点
的坐标为),(//y x Q ，则⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=--=-+-+575431210321223//////y x x y y x 而点A ，Q 在直线l 上，由两点式可求直线l 的方程是017=--y x 。

解法4：（两点对称法）
对解法3，在1l 上取点P （2，1），设点P 关于2l 的对称点的坐标为Q )57,54(，在1l 上取点M （0，1），设点P 关于2l 的对称点的坐标为)5
1,512(
N 而N ，Q 在直线l 上，由两点式可求直线l 的方程是017=--y x 。

解法5：（角平分线法）
由解法2知，直线21,l l 的交点为A(1,0)，设所求直线l 的方程为：设所求直线l 的方程为)1(-=x k y ,即0=--k y kx .由题意知，2l 为1,l l 的角平分线，在2l 上取点P （0，-3），则点P 到1,l l 的距离相等，由点到直线距离公式，有：
1711|30|2|130|2
-==⇒+-+=--或k k k k 1-=k 时为直线1l ，故7
1=
k 。

所以直线l 的方程是017=--y x 解法6（公式法） 给出一个重要定理：曲线（或直线 ）0),(:=y x F C 关于直线
0),(:=++=C By Ax y x f l 的对称曲线/C （或直线 ）的方程为
)1.........(0)],(2),,(2[2222=+-+-y x f B
A B y y x f B A A x F 。

证：设),(y x M 是曲线/C 上的任意一点),(y x M ，它关于l 的对称点为
),(///y x M ，则C M ∈/于是)2........(0),(//=y x F 。

∵M 与M /关于直线l 对称，∴)3..(..........),(2),(20220)()(22/22/////⎪⎩
⎪⎨⎧+-=+-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++⋅++⋅=---y x f B A B y y y x f B A A x x C y y B x x A y y A x x B ,（3）代入（2），得0)],(2),,(2[2222=+-+-y x f B
A B y y x f B A A x F ，此即为曲线/C 的方程。

解析：定理知，直线01),(:1=-+=y x y x F l 关于直线033),(:2=--=y x y x f l 的对称曲线l 的方程为：
017,05
1575101)5
35453(5953540)535453,595354(0)]33(5
1),33(53[0)],(13)1(2),,(1332[2222=--=++-⇒=--++++-⇒=-+++-⇒=--+---⇒=+-⨯-+⨯-y x 即y x y x y x y x y x F y x y y x x F y x f y y x f x F 所以直线l 的方程是017=--y x 点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重
要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.
点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.
直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.
例求直线2x+11y+16=0关于点P（0，1）对称的直线方程.
分析本题可以利用两直线平行，以及点P到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.
解法一由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，得，
即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c= -38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.
解法二在直线2x+11y+16=0上取两点A（-8，0），则点A（-8，0）关于P （0，1）的对称点的B（8，2）. 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.
将B（8，2）代入，解得c=-38.
故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.
点评解法一利用所求的对称直线肯定与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c，使问题解决，而解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程. 本题两种解法都体现了直线系方程的优越性.
直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.
例求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程.
分析由题意，所给的两直线l1，l2为平行直线，求解这类对称总是，我们可以转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.
解根据分析，可设直线l的方程为x-y+c=0，在直线l1：x-y-1=0上取点M（1，0），则易求得M关于直线l2：x-y+1=0的对称点N（-1，2），
将N的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3，
故所求直线l的方程为x-y+3=0.
点评将对称问题进行转化，是我们求解这类问题的一种必不可少的思路. 另外此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l的形式，然后再在直线l2上的任取一点，在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.。