等差数列学案
学案等差数列
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考向预测
等差数列知识在高考中属必考内容,一般直接考察等 差数列旳通项公式、前n项和公式旳题目为轻易题,一般以 选择题、填空题形式出现，而与其他知识（函数、不等 式、解析几何等）相结合旳综合题一般为解答题，难度 不大为中档题.近几年主要考察等差数列通项公式、求和 公式旳综合题，难度较小.
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等
n 2
差
数
列
旳 返回目录
（1）等差数列{an}中, a15=33,a45=153,则d=
.
（2）等差数列{an}中，a1+a2+a3+a4+a5=20，则a3= .
（3）若一种等差数列前3项旳和为34，最终三项旳和为
146，且全部项旳和为390，则这个数列旳项数为 （ ）
A.13 B.12 C.11 D.10
3
∴Sn=20n+
2
·(- 5)=- 5n2+ 125n
36
6
=- 5 (n- 25)2+ 3 125 .
62
24
∵n∈N+,∴当n=12或13时，Sn有最大值，
且最大值为S12=S13=130.
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解法三：同解法一得d=- 5 .
3
又由S10=S15，得a11+a12+a13+a14+a15=0. ∴5a13=0，即a13=0.∴当n=12或13时,Sn有最大值, 且最大值 为S12=S13=130.
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求等差数列前n项和旳最值，常用旳措施： （1）利用等差数列旳单调性，求出其正负转折项； （2）利用性质求出其正负转折项，便可求得和旳最值； （3）利用等差数列旳前n项和Sn=An2+Bn（A，B为常 数） 为二次函数，根据二次函数旳性质求0,S9=S12,求数列前多少项和最小.
2.2.1 等差数列-王后雄学案
张喜林制2.2.1 等差数列教材知识检索考点知识清单1．等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的 都等于____ ，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数d 叫做等差数列的 .2．等差数列的单调性：等差数列的公差 时，数列为递增数列；等差数列的公差 时，数列为递减数列； 等差数列的公差 时，数列为常数列．等差数列不会是 ．3．等差数列的通项公式=n a4．要证明数列}{n a 为等差数列，只要证明：当2≥n 时，要点核心解读1．等差数列的定义在等差数列的定义中，要强调“从第二项起”和“同一常数”，这体现了等差数列的基本特征，还要注意公差是“每一项与它前一项的差”，防止将被减数和减数颠倒，如果用数学符号来描述，可叙述为：若d n d a a n n ,2(]≥=-- 为常数），则}{n a 是等差数列．还可以写成：若d N n d a a u n ,1++∈<=- 为常数），则}{n a 是等差数列．[注意] 以上定义中的常数是相对于变量n （项数）而言的．2．等差中项如果a 、b 、c 成等差数列，则称b 是a 与c 的等差中项，由以上定义知：b 是a 与c 的等差中项甘a 、b 、c 成等差数列22c a b b c a +=⇔=+⇔ 3．等差数列的判定(1)用定义判定：即判定d a a n n =-+1（常数）)(+∈N n 或122++=+n n n a a a （即)112n n n n a a a a -=-+++ 是否成立．(2)用通项公式判定：即用}{n a 为等差数列q pn a n +=⇔q p 、(为常数）判定．4．等差数列的通项公式及其变式通项公式：d n a a n )1(1-+=（其中1a 为首项，d 为公差）．变式1：).()(⋅=/-+=m n d m n a a m n变式2：).2(11+∈≥--=N n n n a a d n 且 变式3：).(m n m n a a d m n =/--= [注意] (1)等差数列的通项公式是关于变量n （项数）的一次函数或常数函数（d=0时），因此在解决有关问题时，可用函数方法处理．(2)等差数列的通项公式实质是d a n a n ,,,1四者之间的关系式，只要知道其中三个的值，由它们便可求出另一个的值，特别地，要求等差数列的通项公式，只需先求出首项1a 和公差d5．等差数列的性质(1)等差数列}{n a 中，⋅∈-=-+),()(N m n d m n a a m n(2)若a ，b ，c 成等差数列，则k mc k mb k ma +++,.,也成等差数列（m ，k 为常数）．(3)等差数列}{n a 中，若,q p n m +=+则q p m n a a a a +=+).,,,(+∈N q p m n[特别注意] “数列}{n a 中，若,q p m +=则=m a ,,q P a a +是不成立的．(4)等差数列}{n a 中，若公差d>0，则数列}{n a 为递增数列；等差数列}{n a 中，若公差d<0，则数列}{n a 为递减数列．(5)等差数列}{n a 中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列，但剩下的项按原来的顺序排列，构成的新数列不一定是等差数列，证明：假设从第p 项起，每隔q 项抽出等差数列的项，则组成的新数列是,,,,32q p q q p p a a a a +++ρ ,,)1(q n p a -+ 则有--+q n p a )1(=-+q n p a )2(---+]1)1({q n r p qd d q n p =--+]}1)2([为常数所以等差数列}{n a 中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列，显然，剩下的项按原来的顺序排列，构成的新数列不一定是等差数列．(6)若数列}{n b 也是公差为d 的等差数列，则数列+n a 1{λ212}(λλλh n b 是常数）是公差为d )(21λλ+ 的等差数列.证明：因为,)1(,)1(11d n b b d n a a n n -+=-+=所以+n a ]λ])1([112d n a b n -+=λλ-++n b ([12λ,))(1()(]12]1211d n b a d λλλλ+-++=）所以=+--1211n n b a λλ+11[a λ+-])2(d n ])2([12d n b -+λ =)2()(1211-++n b a λλ+](λ,)2d λ所以=+-+--)()(121121n n n n b a b a λλλλ.)(21d λλ+所以数列2121,}{λλλλ<+n n b a 是常数）是公差为d )(21λλ+的等差数列．利用等差数列的性质可使有些问题的解题过程十分简捷．6．等差数列与一次函数的关系通项公式,)1(11d a dn d n a a n -+=-+=即n a 是n 的一次函数式，故表示等差数列各项的点都在一条直线上．如：首项为l ，公差为2的等差数列的通项公式为,12-=n a n 相应的图象是直线12)(-=x x f 上均匀排列开的无穷多个孤立的点，如图2 -2 -1 -1所示，由函数的图象可得等差数列的单调性：当d>0时，数列}{n a 为递增数列（图2 -2 -1-2甲）；当d<0时，数列}{n a 为递减数列（图2 -2 -1-2乙）；当d=0时，数列}{n a 为常数列（图2 -2 -1-2丙）．请注意图象，公差d 恰好为所在直线的斜率，因此有=d ,(n m n m a a n m =/--斜率公式）． 典例分类剖析考点1 等差数列的概念命题规律(1)判断所给出的数列是否为等差数列．(2)判断某一项或某些项是否为等差数列中的项．(3)证明某一数列为等差数列．[例1] (1)求等差数列8，5，2，…的第20项；(2) -401是不是等差数列-5，-9，-13，…中的项？如果是，是第几项？(3)若数列}{n a 的通项⎩⎨⎧≥+==),2(12),1(1n n n a n 试问数列}{n a 是等差数列吗？ [解析] 第(1)小题是求等差数列的指定项，我们可以先求出首项1a 和公差d ，然后将它们代入等差数列的通项公式，即可求出相应的项，第(2)小题是判断一个数是否为一个等差数列的项，只需令此数等于通项公式，并求解此方程，如果它有正整数解，则此数为该数列的项，否则不是．[答案] (1) 由,20,385,81=-=-==n d a 得.49)3()120(820-=-⨯-+=a(2)由,4)5(9,51-=---=-=d a得到这个数列的通项公式为).1(45---=n a n设-401=-5 -4(n -1)成立．解这个关于n 的方程，得n=100.∴ -401是这个数列的第100项．(3)数列}{n a 不是等差数列，根据等差数列定义，一个数列是等差数列的充要条件是从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，而此数列中虽然有,23423==-=- a a a a 但是,2412=/=-a a 因此此数列不满足等差数列的条件，所以它不是一个等差数列，但可以这样说：此数列从第2项起组成一个等差数列．[启示]d a ,]和n 是等差数列的三个基本量，有关等差数列的问题都可以利用这三个基本量来求解这种方法称为基本量法．[例2]在等差数列}{n a 中，已知,5,1185==a a 求⋅10a[解析] 由题目可获取以下主要信息：已知等差数列中的某两项，求另外一项，解答本题可利用通项公式进行．[答案] 设数列}{n a 的公差为d ．由题意知：⎩⎨⎧=+=+,57,11411d a d a 解得⎩⎨⎧-==.2,191d a 故.212)2()1(19+-=-⨯-+=n n a n.12110210=+⨯-=∴a[规律方法] 在等差数列}{n a 中，首项1a 与公差d 是两个最基本的元素；有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关d a 、1的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．母体迁移 1．若,2b c a =+则是否有++c b c a (),5(22)(),2b ac a +能构成等差数列．考点2 等差数列的性质及应用命题规律(1)考查对性质的灵活运用．(2)利用等差数列的性质解决一些计算繁琐的问题，达到减小计算量，优化解题过程的目的．[例3] (1)在等差数列}{n a 中，==++642741,15a a a a a a ,45求数列的通项公式；(2)设}{n a 为等差数列，若,45076543=++++a a a a a 求,82a a +(3)若数列}{n a 为等差数列，),(,q p p a q a q p =/==求⋅+q p a[答案] ,2)1(62471a a a a a +==+.1354741==++∴a a a a10,5624=+∴=∴a a a 且.962=a a62,a a ∴是方程09102=+-x x 的两根，⎩⎨⎧==∴9,162a a 或⎩⎨⎧==1,962a a 若12=a 且,96=a 则.32,2-=∴=n a d n同理可得.213n a n -=故32-=n a n 或.213n a n -=(2)解法一：,28256473a a a a a a a +==+=+.0455576543==++++∴a a a a a a.1802,905825==+∴=∴a a a a解法二：因为}{n a 为等差数列，设首项为,1a 公差为d ，+=++++++=+++∴11117435632a d a d a d a a a a ,20d 即d a d a 4,45020511+∴=+ ，90=.180********=+=+++=+∴d a d a d a a a(3)解法一：可用通项公式求解，,)1(,)1(11d q a a d p a a q p -+=-+=①⎩⎨⎧=-+=-+∴.)1(,)1(11p d q a q d p a 两式相减，得⋅-=-p q d q p )(.1,-=∴=/d q p 代入①，有.1,)1)(1(11-+=∴=--+q p a q p a故.0)1()1(1)1(1=-⋅-++-+=-++=+q p q p d q p a a q p解法二：利用关系式d m n a a m n )(-+=求解，,)(,)(d q p p q d q p a a q p -+=∴-+=即.1,.)(-=∴=/-=-d q p d q p p q故.0)1()][(=-+=-++=+q q d p q p a a p q ρ解法三：利用一次函数图象求解．不妨设p<q ，由于等差数列中，n a 关于n 的图象是一条直线上均匀排开的一群孤立的点，故三点 ,(),,q a p p （),(),q p q a q p a ++共线．设,m a q p =+由已知得三点),(),,(),,(m q p p q q p +共线（如图2 -2 -1-3）．由 △ABE ∽ △BCF 得,CFBF BE AE = pm p q q p m p p q p q -=∴-+-=--∴1)( 得,0=m 即.0=+q p a[启示] (1)等差数列性质q p n m +=+“且,,,p n m ”q p n m a a a a N q +=+⇒∈+是否可推广为“若,,+∈N n m 则+m a ”？n m n a a +=不行．例如，当n a n 213-=时，则,854=+a a 而.59-=a 显然 ,n m n m a a a +=/+但该性质可推广为三项情形，即s q p t n m ++=++且+⇒∈+m a N s q p t n m ,,,,,”s q p t n a a a a a ++=+以及四项乃至一般情形，只要两边项数一样，且下标和相等即可，请你完成它的证明．(2)上述各种解法无不体现了等差数列性质的灵活运用．母体迁移 2．等差数列}{n a 中：(1)若,,147n a m a ==则=21a(2)若,1531-=++a a a 则=++++54321a a a a a(3)若,52.,34525432==+++a a a a a a 且,24a a >则=5a(4)若,53=a 则=+412a a考点3 等差数列的通项公式命题规律(1)利用解方程组的方法求1a 和d ，从而求出通项公式．(2)利用通项公式及其变形形式解决一些简单的问题[例4] （2010年辽宁省部分重点中学联考题）在等差数列{n a }中，已知,5,1185==a a 求⋅10a[答案] 方法一：设数列}{n a 的公差为d ，由题意知：⎩⎨⎧=+=+,57,11411d a d a 解得 ⎩⎨⎧-==.2,191d a 故 .212)2()1(19+-=-⨯-+=n n a n.12110210=+⨯-=∴a 方法二：,,)(m n a a d d m n a a m n m n --=∴-+=,231155858-=-=--=∴a a d .1)2(252810=-⨯+=+=d a a[方法技巧] 在等差数列}{n a 中，首项1a 与公差d 是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关d a 、1的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．母体迁移 3．已知两个等差数列 ,11,8,5:}{n a 与,,11,7,3:}{ n b 它们的项数均为100项，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？考点4 等差数列与一次函数命题规律(1)深刻理解等差数列，进一步理解数列是一特殊的函数，特例是等差数列是一次函数，其中公差d 为斜率．(2)可用函数的性质来处理等差数列问题．[例5] 已知(1，1)，(3，5)是等差数列}{n a 图象上的两点．(1)求这个数列的通项公式；(2)画出这个数列的图象；(3)判断这个数列的单调性．[答案] (1)由于(1，1)，(3，5)是等差数列}{n a 图象上的两点，所以,5,131==a a 由1213=+=d a a,52=+d 解得,2=d 于是.12-=n a n(2)图象是直线12-=x y 上一些等间隔的点（图略）．(3)因为一次函数12-=x y 是增函数，所以数列}{n a 是递增数列．[启示] 本题综合考查数列的通项公式、图象和性质．母体迁移 4．已知数列}{n a 的通项公式为+=2pn a n qn （常数).,R q p ∈(1)当p ，q 满足什么条件时，数列}{n a 是等差数列？(2)求证：对于任意的实数p 和q ，数列}{1n n a a -+是等差数列．考点5 等差数列模型的实际应用命题规律(1)利用等差数列的知识从实际问题中抽象出等差数列的模型．(2)通过构造等差数列的模型去解决实际问题．[例6] 某人有七位朋友，第一位朋友每天晚上都去他家看他，第二位朋友每隔一个晚上到他家去，第三位朋友每隔两个晚上去他家串门，第四位朋友每隔三个晚上去他家做客．依此类推，直至第七位朋友每隔六个晚上在他家出现．这七位朋友昨晚在主人家中碰面，他们还会同一个晚上在主人家中碰面吗？[答案] 第一位朋友每天晚上在主人家；第二位朋友以后在主人家中的天数为：2，4，6，8，…，这些数构成以2为首项，公差为2的等差数列，通项公式为：,2⋅=n a n第三位朋友以后在主人家中的天数为：3，6，9，…，这些数构成以3为首项，公差为3的等差数列，通项公式为：,3⋅=n a n第四、五、六、七位朋友晚上在主人家的天数分别构成以4，5，6，7为首项，公差为4，5，6，7的等差数列；通项公式分别为：;7,6,5,4n a n a n a n a n n n n ====他们要在同一晚上出现，这个数应为这七个数列的公共项，这一项是2，3，4，5，6，7的倍数，而2，3，4，5，6，7的最小公倍数为420，因此第420，840，1260，…天晚上他们会同时在主人家出现．母体迁移 5．为了测试某种金属热膨胀性质，将这种金属的一根细棒加热，从C 100开始第1次测量细棒长度，以后每升高C50测量一次，把依次量得的数据所成的数列}{n l 表示成图象如图2 -2 -1-4，根据图象解答下列问题：(1)第5次量得金属棒的长度是多少？此时金属棒的温度是多少？(2)求}{n l 的通项公式和金属长度L （单位：m ）关于温度t 单位：℃）的函数关系式（设长度是关于温度的一次函数）；(3)在C 30的温度条件下，如果把两块这种矩形金属板平铺在一个平面上，这个平面的最高温度可达到,500C o 问铺设时两块金属板之间至少要留多宽的空隙？优化分层测讯学业水平测试1.2006是等差数列4，6，8，…的( )．A ．第1002项B ．第1001项C ．第1003项D ．第1006项 2．在数列}{n a 中，),(122,211++∈+==N n a a a n n 则101a 的值为( )．49.A 50.B 51.C 52.D3．在等差数列中，),(,n m m a n a n m =/==则n m a +为( )．n m A -. 0.B 2.m C 2.n D4．设数列}{},{n n b a 都是等差数列，且=+==2211,75,25b a b a ,100则3737b a +等于( )． 0.A 37.B 100.C 37.-D5．在等差数列}{n a 中，若,45076543=++++a a a a a 则82a a +的值等于 6．若,b a =/两个等差数列b x x a ,,,21与b y y y a ,,,,321的公差分别为,,21d d 则=21d d 7．已知数列}{n a 中，,66,2171==a a 通项n a 是项数n 的一次函数，则通项公式=n a 8．体育场一角的看台座位是这样排列的：第一排有15个座位，从第二排起每一排都比前一排多2个座位．你能用n a 表示第n 排的座位数吗？第10排能坐多少个人？高考能力测试（测试时间：90分钟测试满分：100分）一、选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意） 1．（2011年重庆高考题）在等差数列}{n a 中，,4,232==a a 则=10a ( )．12.A 14-B 16.C 18.D)23lg(2-⋅与)23lg(+的等差中项为( )．0.A 2323lg+-⋅B )625lg(-⋅C 1.D3．等差数列}{n a 中，),(,l m m a l a i m =/==则通项公式为( )．n l m a A n ++=. n m a B n -+=1. l m n a C n --=. 2.nl m a D n ++=4．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则=-||n m ( )． 1.A 43.B 21.C 83.D5．-个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项起为负数，则它的公差是( )．2.-A3.-B4.-C 6.-D 6．（2010年湖北黄冈调考题）已知数列}{n a 的前n 项和为=n s ,2n 则++++322111a a a a200620051a a ++的值是( )．214010.-A 214011.-B 214012.-C 214013.-D 7．（高考题改编）下表给出一个等差数阵，其中每行每列都是等差数列，⋅ij a 表示第i 行第J 列的数，则66a 的值是( )．50.A 43.B 24.C 58.D8．（2010年北京海淀区练习题）已知数列}{},{n n b a 都是公差为l 的等差数列，其首项分别为,11b a 、且∈=+1111,,5b a b a ⋅+N 设),(+∈=N n a c n b n 则数列}{n c 的前10项和等于( )．55.A 70.B 58.C 010.D二、填空题（本题包括4小题，每小题5分．共20分）9．（2009年上海高考题）已知函数．,tan sin )(x x x f +=项数为27的等差数列}{n a 满足),2,2(ππ-∈n a 且公差.0=/d 若+)(1a f ,0)()(272=++a f a f 则当=k 时，.0)(=k a f10.（2010年南京市调考题）将等差数列2，7，12，17，22，…中的数按顺序抄写在本子上，如下表所示，若每行写12个数，每页共15行，则数2007应抄在第 页第 行第 个位置上．11.（2010年苏州市模拟题）在正整数100至500之间能被11整除的整数的个数为 12.若)23lg(),23lg(,lg +-x x x 成等差数列，则=22log x三、解答题（本题包括3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13.（13分）已知数列}{n a 为等差数列，,1c a =公差为l ，若=n b ),(122++∈-N n a a n n 试判断数列}{n b 是否为等差数列？并证明你的结论．14.（13分）（2010年东北八校联考题）已知数列}{n a 为等差数列，关于x 的方程2122++++i i i a x a x a),,,2,1(0n i ==且d d a i (0=/为公差）． (1)这些方程是否有公共根？若有，求出它；若没有，请说明理由； (2)在方程有一个公共根的条件下，设另一个根为,i x 则⋅+++11,,11,1121n x x x 是否成等差数列？证明你的结论．15.（14分）（2010年北京模拟题）已知数列}{n a 和}{n b 满足关系式：⋅∈+++=+)(21N n na a ab nn (1)若,2n b n =求数列}{n a 的通项公式；(2)若}{n b 是等差数列，求证：}{n a 也是等差数列．。
《等差数列》学案2(新人教A版必修5)
等差数列与等比数列性质的综合应用一、学习目标：等差数列与等比数列性质的综合应用 二、自主学习： 【课前检测】1.x=ab 是a 、x 、b 成等比数列的( D )条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要 2．等比数列}{n a 中，233,9a a ==，若243=k a ，则k 等于（ C ）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）42直面考点：1）等比数列的定义；2）等比数列的通项公式。
略解：6k 22433q a a 3a a q 51-k 2-k 2k 23=⇒====⇒==3．若数列{}n a （N n ∈*）是等差数列，则有数列12nn a a a b n+++=（N n ∈*）也为等差数列，类比上述性质，相应地：若数列n {c }是等比数列，且n c >0（N n ∈*），则有n d=N n ∈*）也是等比数列．4．设n S 和n T 分别为两个等差数列的前n 项和，若对任意*n N ∈，都有71427n n S n T n +=+ ，则第一个数列的第11项与第二个数列的第11项的比是43． 说明：2121n n n n a S b T --=． 【考点梳理】1.基本量的思想：常设首项、（公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。
转化为“基本量”是解决问题的基本方法。
解读：“知三求二”。
2.等差数列与等比数列的联系1）若数列{}n a 是等差数列，则数列}{n aa 是等比数列，公比为da ，其中a 是常数，d 是{}n a 的公差。
（a>0且a ≠1）；2）若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列{}log a n a 是等差数列，公差为log a q ，其中a 是常数且0,1a a >≠，q 是{}n a 的公比。
3）若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列。
三、合作探究：例1 （2010陕西文16）已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{a n}的通项;（Ⅱ）求数列{2an}的前n项和S n.解：（Ⅰ）由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得121d+＝1812dd++，解得d＝1，d＝0（舍去），故{a n}的通项a n＝1+（n－1）×1＝n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知2m a=2n，由等比数列前n项和公式得S m =2+22+23+ (2)=2(12)12n --=2n+1-2.变式训练1 （2010北京文16）已知{a n }为等差数列，且36a =-，60a =。
人教B版数学必修五：2.2《等差数列》学案(含答案解析)
§2.2 等差数列1．等差数列的判定(1)a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)⇔{a n }是公差为d 的等差数列； (2)2a n ＝a n －1＋a n ＋1 (n ≥2)⇔{a n }是等差数列；(3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数)⇔{a n }是公差为k 的等差数列(n ≥1)；(4)S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是公差为2A 的等差数列(n ≥1)．例如：已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝(n －1)2＋λ，则λ的值是________． 解析 S n ＝(n －1)2＋λ＝n 2－2n ＋(1＋λ)， ∵{a n }是等差数列，∴1＋λ＝0，λ＝－1. 答案 －12．等差数列的通项公式将a n ＝a 1＋(n －1)d 可整理为a n ＝dn ＋(a 1－d )，它是关于n 的一次函数(d ≠0)或常函数(d ＝0)，它的图象是一条射线上的一群横坐标为正整数的孤立的点，公差d 是该射线所在直线的斜率．例如：等差数列{a n }中，若a n ＝m ，a m ＝n (m ≠n )，则a m ＋n ＝______. 解析 由点(n ，a n )，(m ，a m )，(m ＋n ，a m ＋n )三点共线， ∴a m ＋n －a n (m ＋n )－n ＝a m －a n m －n .即a m ＋n －m m ＝n －m m －n＝－1，易得a m ＋n ＝0. 答案 03．等差数列的前n 项和公式(1)将公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 变形可得S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n .故当d ≠0时，等差数列前n 项和公式是关于n 的二次函数，它的图象是抛物线y ＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 上横坐标为正整数的一群孤立点．(2)S n n ＝d2n ＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2是关于n 的一次函数(d ≠0)或常函数(d ＝0)． 当涉及等差数列前n 项和S n 的计算问题时，有时设S n ＝An 2＋Bn 的形式更简便快捷． 例如：等差数列{a n }中，若S p ＝q ，S q ＝p (p ≠q )，则S p ＋q ＝__________. 解析 设S n ＝An 2＋Bn ，则⎩⎪⎨⎪⎧S p ＝Ap 2＋Bp ＝q (1)S q ＝Aq 2＋Bq ＝p (2) 由(1)－(2)得Ap 2＋Bp －Aq 2－Bq ＝q －p ， ∴A (p 2－q 2)＋B (p －q )＝q －p ， ∵p ≠q ，∴A (p ＋q )＋B ＝－1. ∵S p ＋q ＝A (p ＋q )2＋B (p ＋q ) ＝[A (p ＋q )＋B ]·(p ＋q ) ＝－(p ＋q )． 答案 －(p ＋q ) 4．等差数列的性质(1)若数列{a n }和{b n }均是等差数列，则{ma n ＋kb n }仍为等差数列，其中m 、k 均为常数． (2)若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .(3)等差数列中依次k 项的和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，公差为k 2d (d 是原数列公差)．(4)若{a n }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别为S n 与S ′n ，则a m b m ＝S 2m －1S ′2m －1.(5)等差数列{a n }中，奇数项的和记作S 奇，偶数项的和记作S 偶，则S n ＝S 奇＋S 偶．当n 为偶数时：S 偶－S 奇＝n2d ；当n 为奇数时：S 奇－S 偶＝a 中，S 奇＝n ＋12a 中，S 偶＝n －12a 中，S 奇S 偶＝n ＋1n －1.(其中a 中是等差数列的中间一项)例如：已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是________．解析 S 偶－S 奇＝n2d ＝5d ，∴5d ＝30－15＝15，∴d ＝3.答案 35．等差数列前n 项和的最值求等差数列前n 项和的最值的常用方法： (1)通项法当a 1>0，d <0时，数列{a n }只有前面有限项为非负数，从某项开始所有项均为负数，因此，S n 有最大值，当n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0a n ＋1<0时，S n 取到这个最大值；当a 1<0，d >0时，数列{a n }只有前面有限项为非正数，从某项开始所有项均为正数，因此，S n 有最小值，当n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1>0时，S n 取到这一最小值．(2)二次函数法由于S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，n ∈N *是关于n 的二次函数式，故可转化为求二次函数的最值问题，但要注意数列的特殊性n ∈N *.例如：{a n }是等差数列，a 1>0，a 2 009＋a 2 010>0，a 2 009·a 2 010<0，则使前n 项和S n 最大时，n 的值是________；使前n 项和S n >0成立时，n 的最大值是________．答案 2 009 4 018一、等差数列的判断方法方法链接：判定等差数列的常用方法： (1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)；(2)通项公式法：a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数) (n ∈N *)； (3)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)；(4)前n 项和法：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)，n ∈N *.例1 数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝n (a 1＋a n )2，判断{a n }是否为等差数列？并证明你的结论．解 {a n }是等差数列，证明如下：因为a n ＝S n －S n －1＝n (a 1＋a n )2－(n －1)(a 1＋a n －1)2(n ≥2)，所以a n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a n ＋1)2－n (a 1＋a n )2，所以a n ＋1－a n ＝12[(n ＋1)(a 1＋a n ＋1)－2n (a 1＋a n )＋(n －1)(a 1＋a n －1)]＝12[(n ＋1)a n ＋1－2na n ＋(n －1)a n －1] (n ≥2)， 即(n －1)(a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝0，所以a n ＋1＋a n －1＝2a n (n ≥2)， 所以数列{a n }为等差数列．二、等差数列中基本量的运算方法链接：在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a 1和d 是两个基本量，利用通项公式与前n 项和公式，求出a 1和d ，等差数列就确定了．例2 在等差数列{a n }中，(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8；(2)已知前3项和为12，前3项积为48，且d >0，求a 1； (3)已知前3项依次为a,4,3a ，前k 项和S k ＝2 550，求a 及k . 解 (1)∵a 6＝10，S 5＝5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝105a 1＋10d ＝5. 解方程组得a 1＝－5，d ＝3， ∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16，S 8＝8×(a 1＋a 8)2＝44.(2)设数列的前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，依题意有： ⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝12(a －d )·a ·(a ＋d )＝48， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4a (a 2－d 2)＝48， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4d ＝±2. ∵d >0，∴d ＝2，a －d ＝2.∴a 1＝2. (3)设公差为d ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3a ＝8，d ＝4－a ，ka ＋k (k －1)2d ＝2 550，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，d ＝2，k ＝50或k ＝－51(舍去).因此，a ＝2，k ＝50.三、等差数列的性质及运用方法链接：等差数列有一些重要的性质，例如： (1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； (2)若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p ；(3)若{a n }是等差数列，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k 也成等差数列．(其S k 为前k 项和)(4)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等差数列{b n }的前n 项和为T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.熟练运用这些性质，可以提高解题速度，获得事半功倍的功效．例3 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，求a 2＋a 4＋a 9的值； (2)已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，求证：①a n b n ＝S 2n －1T 2n －1；②a n b m ＝2m －12n －1·S 2n －1T 2m －1.(1)解 由S 9＝9(a 1＋a 9)2＝72，∴a 1＋a 9＝16，∴a 1＋a 9＝2a 5＝16，∴a 5＝8，∴a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝24.(2)证明 ①a n b n ＝2a n 2b n ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2n －1＝(a 1＋a 2n －1)2n －12(b 1＋b 2n －1)2n －12＝S 2n －1T 2n －1.②a n b m ＝2a n 2b m ＝a 1＋a 2n －1b 1＋b 2m －1＝(a 1＋a 2n －1)2n －12·2m －12(b 1＋b 2m －1)2m －12·2n －12＝2m －12n －1·S 2n －1T 2m －1.四、等差数列前n 项和的最值 方法链接：等差数列前n 项和最值问题除了用二次函数求解外，还可用下面的方法讨论：若d >0，a 1<0，S n 有最小值，需⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0；若a 1>0，d <0，S n 有最大值，需⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0.n 取正整数．例4 (1)首项为正数的等差数列，前n 项和为S n ，且S 3＝S 11，问n 为何值时，S n 最大？(2)等差数列{a n }中，a 1＝－60，a 17＝－12，求{|a n |}的前30项和及前n 项和．解 (1)设首项为a 1，公差为d ，则由题意知，d <0，点P (n ，S n )在抛物线y ＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 上，其对称轴方程为x ＝7(由S 11＝S 3知)，故(7，S 7)是抛物线的顶点，∴n ＝7时，S n 最大．(2)设公差为d ，则由a 1＋16d ＝a 17，得d ＝3>0，因此a n ＝3n －63.点Q (n ，a n )在增函数y ＝3x －63的图象上．令y ＝0则得x ＝21，故当n ≥22时，a n >0；当1≤n ≤21且n ∈N *时，a n ≤0， 于是|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 30|＝－a 1－a 2－…－a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 30 ＝a 1＋a 2＋…＋a 30－2(a 1＋a 2＋…＋a 21) ＝765.记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |， 则由上面的求解过程知： 当1≤n ≤21，n ∈N *时， T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝－a 1－a 2－…－a n ＝(123－3n )n 2＝－32n 2＋1232n .当n >21，n ∈N *时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 20|＋|a 21|＋…＋|a n | ＝－(a 1＋a 2＋…＋a 21)＋a 22＋a 23＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )－2(a 1＋a 2＋…＋a 21) ＝32n 2－1232n ＋1 260. ∴数列{|a n |}的前n 项和T n＝⎩⎨⎧－32n 2＋1232n (1≤n ≤21，n ∈N *)，32n 2－1232n ＋1 260 (n >21，n ∈N *).五、关于等差数列的探索性问题方法链接：对于与等差数列有关的探索性问题，先由前三项成等差数列确定参数后，再利用定义验证或证明所得结论．例5 已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1 (n ≥2且n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值；(2)是否存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵a 1＝5，∴a 2＝2a 1＋22－1＝13， a 3＝2a 2＋23－1＝33.(2)假设存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列．则a 1＋λ2，a 2＋λ22，a 3＋λ23成等差数列，∴2×a 2＋λ22＝a 1＋λ2＋a 3＋λ23，∴13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8.解得λ＝－1.当λ＝－1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1－12n ＋1－⎝⎛⎭⎫a n －12n＝12n ＋1[(a n ＋1－1)－2(a n －1)] ＝12n ＋1(a n ＋1－2a n ＋1) ＝12n ＋1[(2a n ＋2n ＋1－1)－2a n ＋1] ＝12n ＋1×2n ＋1＝1. 综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2为等差数列，且首项是2，公差是1.六、关于等差数列的创新型问题方法链接：关于等差数列的创新型试题，常以图表、数阵、新定义等形式出现．解决此类问题时通过对图表的观察、分析、提炼，挖掘出题目蕴含的有用信息，利用所学等差数列的有关知识加以解决．ij(1)写出a 45的值；(2)写出a ij 的计算公式．解 (1)通过观察“等差数阵”发现：第一行的首项为4，公差为3；第二行首项为7，公差为5.归纳总结出：第一列(每行的首项)是以4为首项，3为公差的等差数列，即3i ＋1，各行的公差是以3为首项，2为公差的等差数列，即2i ＋1.所以a 45在第4行，首项应为13，公差为9，进而得出a 45＝49.(2)该“等差数阵”的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a 1j ＝4＋3(j －1)； 第二行是首项为7，公差为5的等差数列： a 2j ＝7＋5(j －1)； ……第i 行是首项为4＋3(i －1)，公差为2i ＋1的等差数列， 因此，a ij ＝4＋3(i －1)＋(2i ＋1)(j －1)＝2ij ＋i ＋j ＝i (2j ＋1)＋j .1．审题不细心，忽略细节而致错例1 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，求公差d 的取值范围．[错解] a 10＝a 1＋9d ＝－24＋9d >0，∴d >83.[点拨] 忽略了“开始”一词的含义，题目强调了第10项是该等差数列中的第一个正项，应有a 9≤0.[正解] 设a n ＝－24＋(n －1)d ， 由⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋(9－1)d ≤0a 10＝－24＋(10－1)d >0， 解不等式得：83<d ≤3.温馨点评 审题时要细心，包括问题的细节，有时细节决定解题的成败.2．忽略公式的基本特征而致错例2 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且对一切正整数n 都有S n T n ＝5n ＋32n ＋7，试求a 9b 9的值． [错解] 设S n ＝(5n ＋3)k ，T n ＝(2n ＋7)k ，k ≠0， 则a 9＝S 9－S 8＝(5×9＋3)k －(5×8＋3)k ＝5k ， b 9＝T 9－T 8＝(2×9＋7)k －(2×8＋7)k ＝2k ，所以a 9b 9＝52.[点拨] 此解答错在根据条件S n T n ＝5n ＋32n ＋7，设S n ＝(5n ＋3)k ，T n ＝(2n ＋7)k ，这是把等差数列前n 项和误认为是关于n 的一次函数，没有准确把握前n 项和公式的特点．[正解] 因为{a n }和{b n }是公差不为0的等差数列， 故设S n ＝n (5n ＋3)k ，T n ＝n (2n ＋7)k ，k ≠0，则 a 9＝S 9－S 8＝9×(5×9＋3)k －8×(5×8＋3)k ＝88k ，b 9＝T 9－T 8＝9×(2×9＋7)k －8×(2×8＋7)k＝41k ，所以a 9b 9＝8841.温馨点评 等差数列的前n 项和S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，当d ≠0时，是关于n 的二次函数式，且常数项为零，当d ＝0时，S n ＝na 1，但是本题不属于这种情况(否则S n T n ＝na 1nb 1＝a 1b 1与S nT n＝5n ＋32n ＋7矛盾)． 3．对数列的特点考虑不周全而致错例3 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 有最大值，并求出它的最大值．[错解] 设公差为d ，∵S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，得120d ＝－200，即d ＝－53，∴a n ＝20－(n －1)·53，当a n >0时，20－(n －1)·53>0，∴n <13.∴n ＝12时，S n 最大，S 12＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53＝130.∴当n ＝12时，S n 有最大值S 12＝130.[点拨] 解中仅解不等式a n >0是不正确的，事实上应解a n ≥0，a n ＋1≤0.[正解] 由a 1＝20，S 10＝S 15，解得公差d ＝－53.∵S 10＝S 15，∴S 15－S 10＝a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0， ∵a 11＋a 15＝a 12＋a 14＝2a 13＝0，∴a 13＝0. ∵公差d <0，a 1>0，∴a 1，a 2，…，a 11，a 12均为正数， 而a 14及以后各项均为负数．∴当n ＝12或13时，S n 有最大值为S 12＝S 13＝130.4．忽略题目中的隐含条件而致错例4 一个凸n 边形的各内角度数成等差数列，其最小角为120°，公差为5°，求凸n 边形的边数．[错解] 一方面凸n 边形的内角和为S n ，S n ＝120°n ＋n (n －1)2×5°.另一方面，凸n 边形内角和为(n －2)×180°.所以120n ＋n (n －1)2×5＝(n －2)×180.化简整理得：n 2－25n ＋144＝0. 所以n ＝9或n ＝16.即凸n 边形的边数为9或16.[点拨] 凸n 边形的每个内角都小于180°.当n ＝16时，最大内角为120°＋15°×5°＝195°>180°应该舍掉．[正解] 凸n 边形内角和为(n －2)×180°，所以120n ＋n (n －1)2×5＝(n －2)×180解得：n ＝9或n ＝16.当n ＝9时，最大内角为120°＋8°×5°＝160°<180°； 当n ＝16时，最大内角为120°＋15×5°＝195°>180°舍去． 所以凸n 边形的边数为9.例 一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和． 分析 本题可从基本方法入手，先求a 1，d ，再求前110项之和，为了简化计算，也可利用等差数列前n 项和的性质．解 方法一 设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知得⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝100， ①100a 1＋100×992d ＝10. ②①×10－②整理得d ＝－1150，代入①，得a 1＝1 099100，∴S 110＝110a 1＋110×1092d＝110×1 099100＋110×1092×⎝⎛⎭⎫－1150＝110⎝⎛⎭⎫1 099－109×11100＝－110. 故此数列的前110项之和为－110. 方法二 设S n ＝an 2＋bn . ∵S 10＝100，S 100＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＝100，1002a ＋100b ＝10，解得⎩⎨⎧a ＝－11100，b ＝11110.∴S n ＝－11100n 2＋11110n .∴S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110.方法三 设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎨⎧S p ＝pa 1＋p (p －1)2d ＝q ， ①(p ≠q )S q＝qa 1＋q (q －1)2d ＝p . ②①－②得(p －q )a 1＋(p －q )(p ＋q －1)2d＝－(p －q )． 又p ≠q ，∴a 1＋p ＋q －12d ＝－1，∴S p ＋q ＝(p ＋q )a 1＋(p ＋q )(p ＋q －1)2d＝(p ＋q )(－1)， ∴S 110＝－110.方法四 数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100 成等差数列，设其公差为D .前10项的和10S 10＋10×92·D ＝S 100＝10，解得D ＝－22，∴S 110－S 100＝S 10＋(11－1)D ＝100＋10×(－22)＝－120. ∴S 110＝－120＋S 100＝－110.方法五 ∵S 100－S 10＝a 11＋a 12＋…＋a 100 ＝90(a 11＋a 100)2＝90(a 1＋a 110)2.又S 100－S 10＝10－100＝－90，∴a 1＋a 110＝－2.∴S 110＝110(a 1＋a 110)2＝－110.1．已知等差数列{a n }中，a 3a 7＝－16，a 4＋a 6＝0，求{a n }的前n 项和S n . 解 设{a n }的公差为d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋2d )(a 1＋6d )＝－16，a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 21＋8da 1＋12d 2＝－16，a 1＝－4d ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－2.因此S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)， 或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9)．2．设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足a 22＋a 23＝a 24＋a 25，S 7＝7. (1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)试求所有的正整数m ，使得a m a m ＋1a m ＋2为数列{a n }中的项．解 (1)由题意，设等差数列{a n }的通项公式为 a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ≠0.由a 22＋a 23＝a 24＋a 25得a 22－a 25＝a 24－a 23，由性质得－3d (a 4＋a 3)＝d (a 4＋a 3)，因为d ≠0 所以a 4＋a 3＝0，即2a 1＋5d ＝0.① 又因为S 7＝7，所以a 1＋3d ＝1.② 由①②可得a 1＝－5，d ＝2.所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n －7，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 2－6n .(2)因为a m a m ＋1a m ＋2＝(a m ＋2－4)(a m ＋2－2)a m ＋2＝a m ＋2－6＋8a m ＋2为数列{a n }中的项，故8a m ＋2为整数． 又由(1)知a m ＋2为奇数，所以a m＋2＝2m－3＝±1，即m＝1,2.经检验，符合题意的正整数只有m＝2.赏析试题考查了等差数列的有关知识，起点较低，落点较高，难度控制得恰到好处．第(2)问要求考生有一定的分析问题解决问题的能力．。
学案七 等差数列的性质
学案七 等差数列的性质一、教学目标：知识与技能：明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式, 能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题。
过程与方法：通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想。
二、教学重点、难点：重点：等差数列的性质及推导。
难点：等差数列的性质及应用。
三、新课探究与讲解：1、复习：①若数列{}n a 为等差数列，且公差为d ，则通项公式为：②a ，A ，b 组成了一个等差数列，那么A =2、等差数列的常见性质探究：（1）、若数列{}n a 为等差数列，且公差为d ，则此数列具有以下性质： ①()d m n a a m n -+=； ②m n a a n a a d m n n --=--=11； ③若q p n m +=+（*,,,N q p n m ∈），则q p n m a a a a +=+；④m n m n n a a a +-+=2。
（2）、等差数列的其它性质探究：①{}n a 为有穷等差数列，按序等距离之和构成等差数列； 即{}n 12n n a a a ++++构成等差数列。
②下标成等差数列且公差为m 的项()*2,,,,N m k a a a m k m k k ∈++ 组成公差为md 的等差数列。
③若数列{}n a 和{}n b 均为等差数列，则{}{}b ka b a n n n +±,（b k ,为非零常数）也为等差数列。
④m 个等差数列，它们的各对应项之和构成一个新的等差数列，且公差为原来m 个等差数列的公差之和。
四、典型例题：例１．设{}n a 是等差数列，且21512841=+---a a a a a ，求133a a + 。
变式1：（1）已知{}n a 是等差数列，若45076543=++++a a a a a ,则82a a +=（2）等差数列{}n a 中，135246+a 105,99a a a a a +=++=，则20a = 例２．三个数成等差数列，它们的和为18，它们的平方和为116，求这三个数；变式2：四个数成递增等差数列，中间两数之和为2，首末两项的积为-8，求这四个数例3.若关于x 的方程x 2－x +a =0和x 2－x +b =0（a ≠b ）的四个根可组成首项为41的等差数列，则a +b 的值是变式3：方程（x 2－x +m ）（x 2－x +n ）=0有四个不同的根，且组成公差为12的等差数列，则mn 的值是例4、已知{a n}为等差数列123456+a 10,13a a a a a +=++=,则222324+a a a +=等于 A.-1 B.1C.3D.7变式4：在等差数列{}n a 中，135246+a 6,8a a a a a +=++=则 222426+a a a +=五、课堂小结六、课后巩固1．已知等差数列{}n a 中，m ,,n m n a n a m a +===则（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．12- 2.已知数列{}n a 是等差数列，128,a d a a ≠+≠则（ ）A ．19a a +B ．46a a +C ．52aD ．135a a a ++3.等差数列{}n a 中，12505152100+,+a 200,+,+a 2700,a a a a +=+==则d K K （ ）A ．1B ．-3C ．32D ．32- 4.若{}n a 是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的有（ ）①{}3n a +，②2{}n a ，③{}1n n a a +-，④{}2n a ，⑤{}2n a n +A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5.若 {}n a 是等差数列，且14745,a a a ++=25839,a a a ++=则369a a a ++=（ ）A ．39B ．20C ．19.5D ．336．在等差数列{}n a 中，已知,,m n m n m a A a B a +-===则7．等差数列{}n a 中，若2402020114,a a a +==则8. 若x ≠ y,数列12123x,,,,,,,a a y x b b b y 和各自成等差数列，则2131a ab b -=- 9. 等差数列{}n a 中，若23101167+4,a a a a a a ++=+=则10．设数列{}n a 是等差数列，1231231211,,,288n an b b b b b b b ⎛⎫=++== ⎪⎝⎭又求等差数列的通项n a ；11.2()23f x x x =--，等差数列{}n a 中，1233(1),,(),2a f x a a f x =-=-= 求：（1）x（2）n a。
数学等差数列教案优秀8篇
数学等差数列教案优秀8篇一、预习问题：1、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从起，每一项与它的前一项的差等于同一个，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的，通常用字母表示。
2、等差中项：若三个数组成等差数列，那么A叫做与的即或。
3、等差数列的单调性：等差数列的公差时，数列为递增数列；时，数列为递减数列；时，数列为常数列；等差数列不可能是。
4、等差数列的通项公式：。
5、判断正误：①1，2，3，4，5是等差数列；（）②1，1，2，3，4，5是等差数列；（）③数列6，4，2，0是公差为2的等差数列；（）④数列是公差为的等差数列；（）⑤数列是等差数列；（）⑥若，则成等差数列；（）⑦若，则数列成等差数列；（）⑧等差数列是相邻两项中后项与前项之差等于非零常数的数列；（）⑨等差数列的公差是该数列中任何相邻两项的差。
（）6、思考：如何证明一个数列是等差数列。
二、实战操作：例1、（1）求等差数列8，5，2，的第20项。
（2）是不是等差数列中的项？如果是，是第几项？（3）已知数列的公差则例2、已知数列的通项公式为，其中为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？例3、已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为求这5个数。
数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。
一方面，数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面，学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。
而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法，通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。
同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。
教学过程：一、片头（30秒以内）前面学习了数列的概念与简单表示法，今天我们来学习一种特殊的数列－等差数列。
本节微课重点讲解等差数列的定义，并且能初步判断一个数列是否是等差数列。
30秒以内二、正文讲解（8分钟左右）第一部分内容：由三个问题，通过判断分析总结出等差数列的定义 60 秒第二部分内容：给出等差数列的定义及其数学表达式50 秒第三部分内容：哪些数列是等差数列？并且求出首项与公差。
等差数列的概念与通项公式学案
2.2.1等差数列的概念与通项公式预习案（限时20分钟）学习目标：1.通过实例，理解等差数列的概念，能根据等差数列的定义判断一个数列是否是等差数列．2．掌握等差数列的通项公式及变形公式.学习重点：理解等差数列的概念，能根据等差数列的定义判断一个数列是否是等差数列．学习难点：等差数列通项公式的应用.预习指导：请根据任务提纲认真预习课本❖ 任务一：什么是等差数列？如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于________常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的__________，通常用字母________表示．❖ 任务二：什么是等差中项？如果三个数a ，A ，b 成等差数列，那么________叫做a 与b 的等差中项．这三个数满足的关系式是_____________． ❖ 任务三：等差数列的通项公式以1a 为首项，d 为公差的等差数列{}n a 的通项公式为n a ＝_____________.特别注意：(1)公式中有四个量，即n a ，1a ，n ，d.已知其中任意三个量，通过解方程都可求得剩下的一个量．(2)等差数列的通项公式可推广为()n m a a n m d =+-(n ≥m ，m ，n ∈N*)．由此可知已知等差数列的任意两项，就可求出其他的任意一项．预习检测1．已知数列3,9,15，…，3(2n －1)，…，那么81是它的( )A ．第12项B ．第13项C ．第14项D ．第15项2．若数列{}n a 的通项公式为n a ＝－n ＋5，则此数列是( )A ．公差为－1的等差数列B ．公差为5的等差数列C ．首项为5的等差数列D ．公差为n 的等差数列3．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数是( )A ．92B ．47C ．46D ．454．(2016年辽宁大连双基测试)在等差数列{}n a 中，1548,7a a a +==，则5a ＝________.5. 判断下列数列是否为等差数列：(1)在数列{}n a 中32n a n =+；(2)在数列{}n a 中2n a n n =+.预习探究已知数列{}n a 通项公式31n a n =+，函数()()31f x x x R =+∈，请你从“数”与“形”两个方面探究数列通项 公式n a 与函数()f x 的区别与联系。
等差数列学案2
基础达标：1．等差数列40，37，34中的第一个负数项是( ) A ．第13项 B ．第14项 C ．第15项 D ．第16项 2．在-1与7之间顺次插入三个数，使这五个数成等差数列，则此数列为________.3.单调递增等差数列{a n }中，若a 3+a 6+a 9=12, a 3·a 6·a 9=28, 则a n =______.4.数列{a n }中，a n =3n-5, 则S 9=__________.5.等差数列{a n }中，已知a 2+a 9+a 12+a 19=100, 则S 20=________.6.等差数列{a n }中，a 1>0, d ≠0, S 20=S 30, 则S n 取得最大值时的n 的值为_____.7.在公差d=21的等差数列{a n }中，已知S 100=145，则a 1+a 3+a 5+……+a 99的值为_____.8.把20分成四个数成等差数列，使第一项与第四项的积同第二项与第三项的积的比为2∶3，则这四个数从小到大依次为____________.9.在等差数列{a n }中，a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=450，求a 2+a 8.10．已知数列{a n }是等差数列，令221n n n a a b -=+，求证：{b n }也是等差数列.能力提升：14．等差数列{a n }中，a 2+a 5=19，S 5=40，则a 10为( ) A ．27 B ．28 C ．29 D ．3015、已知等差数列{}n a 的前3项依次为1a -，1a +，23a +，则通项公式n a =（ ）.A. 25n -B. 23n -C. 21n -D. 21n + 16．已知等差数列{a n }满足：a 3a 7=-12，a 4+a 6=-4，则通项公式a n =________.17、已知等差数列{}n a 中，m a n =，n a m =，且m n ≠，则m n a +=__________.18、首项为24-的等差数列，从第10项开始为正数，则公差的取值范围是__________.19、等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，25833a a a ++=，则369a a a ++=_________.20、已知ABC ∆中，角A ，B ，C 依次成等差数列，则22cos cos A C +的取值范围是__________.21．已知等差数列{a n }满足：S 10=310，S 20=1220，求a n .22．已知等差数列{a n }中，a 3+a 13=4，求S 15.23．一个有n项的等差数列，前四项和为26，最后四项和为110，所有项之和为187，求项数n.24．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，求证：S n，S2n-S n，S3n-S2n，……成等差数列.25．已知等差数列{a n}满足，S p=q，S q=p，(p≠q)，求S p+q.26．已知等差数列{a n }中，a 1＜0，S 9=S 12，求S n 何时取最小值.综合探究：27.求证:数列1{lg(100sin )}4n π-是等差数列，并求它的前n 项和的最大值.（精确到十分位，lg 20.3010 ）。
等差数列教案大班
等差数列教案大班一、教学目标：1. 了解等差数列的概念和性质。
2. 掌握等差数列的通项公式及应用。
3. 能够运用等差数列解决实际问题。
4. 培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
二、教学重点：1. 等差数列的概念和性质。
2. 等差数列的通项公式及应用。
三、教学难点：1. 运用等差数列解决实际问题。
2. 发现等差数列在生活中的应用。
四、教学准备：1. 教学课件、教学书籍。
2. 黑板、粉笔。
3. 习题和练习题。
五、教学过程：步骤一：导入（5分钟）老师通过提问的方式，复习学生对数列的基本概念的理解。
引出等差数列的概念，并给出一个生活中的例子，如每天步行的步数。
引导学生思考等差数列的性质。
步骤二：讲解（20分钟）1. 通过教学课件，详细讲解等差数列的定义和性质。
2. 指导学生理解等差数列的通项公式，并给出相关的示例。
3. 鼓励学生自己推导等差数列的通项公式，帮助他们理解公式的由来。
步骤三：练习（25分钟）1. 分发练习题，并让学生独立完成。
2. 学生完成后，老师逐个讲解题目的解答过程，同时解释解题的思路和方法。
3. 引导学生分析实际问题，应用等差数列进行计算。
步骤四：拓展（20分钟）1. 引导学生思考等差数列在生活中的应用。
例如，车速、水位的变化等。
2. 让学生分组进行小研究，找出更多生活中的等差数列应用，并分享给全班。
3. 整理学生的发现，鼓励他们运用数学知识解决生活中的问题。
步骤五：总结与反思（5分钟）老师引导学生总结今天学习的内容，回顾所学的知识点和解题方法。
并鼓励学生进行反思，思考自己在学习过程中的问题和不足之处。
六、教学延伸：1. 教师可以带领学生进行更复杂的等差数列的计算和应用。
2. 引导学生进行等差数列的推广，如等差数列的和公式等。
3. 给学生提供更多的练习题和挑战题，以更好地巩固所学的知识。
七、教学评价：1. 教师可以通过课堂练习和小组讨论的方式进行学生的评价。
2. 老师可以提供一些练习题或考试题，检查学生对等差数列的掌握程度。
数学学案(新教材人教A版)第六章62等差数列
等差数列 考试要求 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系． 知识梳理1．等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表示，定义表达式为 ．(2)等差中项由三个数a ，A ，b 组成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且有2A ＝ .2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝ .(2)前n 项和公式：S n ＝ 或S n ＝ .3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋ (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则 .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为 的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列．(5)S 2n －1＝(2n －1)a n .(6)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列． 常用结论1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .2．在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值．3．等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列．4．数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．这里公差d ＝2A .思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)数列{a n}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2a n＋1＝a n＋a n＋2.()(3)在等差数列{a n}中，若a m＋a n＝a p＋a q，则m＋n＝p＋q.()(4)若无穷等差数列{a n}的公差d>0，则其前n项和S n不存在最大值．()教材改编题1．在等差数列{a n}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10等于()A．－2 B．－1 C．1 D．22．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4＝8，S8＝20，则a9＋a10＋a11＋a12等于() A．12 B．8 C．20 D．163．设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a1＝10，S4＝28，则S n的最大值为________．题型一等差数列基本量的运算例1(1)(2023·开封模拟)已知公差为1的等差数列{a n}中，a25＝a3a6，若该数列的前n项和S n ＝0，则n等于()A．10 B．11 C．12 D．13(2)(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A．3 699块B．3 474块C．3 402块D．3 339块听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，a n，S n，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a 1和公差d .跟踪训练1 (1)《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为(一丈＝十尺＝一百寸)( )A ．一尺五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸(2)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a n ＋1是等差数列，且a 1＝1，a 3＝－13，那么a 2 024＝________. 题型二 等差数列的判定与证明例2 (2021·全国甲卷)已知数列{a n }的各项均为正数，记S n 为{a n }的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{a n }是等差数列；②数列{S n }是等差数列；③a 2＝3a 1.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 判断数列{a n }是等差数列的常用方法(1)定义法．(2)等差中项法．(3)通项公式法．(4)前n 项和公式法．跟踪训练2 已知数列{a n }的各项都是正数，n ∈N *.(1)若{a n }是等差数列，公差为d ，且b n 是a n 和a n ＋1的等比中项，设c n ＝b 2n ＋1－b 2n ，n ∈N *，求证：数列{c n }是等差数列；(2)若a 31＋a 32＋a 33＋…＋a 3n ＝S 2n ，S n 为数列{a n }的前n 项和，求数列{a n }的通项公式．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 题型三 等差数列的性质命题点1 等差数列项的性质例3 (1)已知在等差数列{a n }中，若a 8＝8且log 2(1211222a a a⋅⋅⋅…)＝22，则S 13等于( )A ．40B ．65C ．80D ．40＋log 25(2)已知数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝2，b 1＝－3，a 7－b 7＝17，则a 2 024－b 2 024的值为________．听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 等差数列项的性质的关注点(1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质．(2)项的性质常与等差数列的前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2相结合． 跟踪训练3 (1)若等差数列{a n }的前15项和S 15＝30，则2a 5－a 6－a 10＋a 14等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5(2)(2023·保定模拟)已知等差数列{a n }满足a 8a 5＝－2，则下列结论一定成立的是( ) A.a 9a 4＝－1 B.a 8a 3＝－1 C.a 9a 3＝－1 D.a 10a 4＝－1 命题点2 等差数列前n 项和的性质例4 (1)设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意的n ∈N *，都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 2b 3＋b 13＋a 14b 5＋b 11的值为( ) A.2945 B.1329 C.919 D.1930(2)已知等差数列{a n }共有(2n ＋1)项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则a n ＋1的值为( )A ．30B ．29C ．28D ．27听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 等差数列前n 项和的常用的性质是：在等差数列{a n }中，数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列，且有S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；S 2n －1＝(2n －1)a n .跟踪训练4 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝20，S 5＝30，a m ＝40，则m 等于( )A ．6B ．10C ．20D ．40(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 020，S 2 0202 020－S 2 0142 014＝6，则S 2 023等于( ) A ．2 023B ．－2 023C ．4 046D ．－4 046。
江苏省徐州市高二数学《等差数列》学案
等差数列学习目标：掌握等差数列的概念和性质，能够熟练求解等差数列中的基本量。
能够判断数列是否是等差数列。
重点、难点：等差数列的性质运用。
知识梳理：1．等差数列的定义如果一个数列从第 项起，每一项减去它的前一项所得的 等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫等差数列的 ，通常用字母 表示．定义的数学表达式为 (n ∈N*)．2．等差中项：若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的 ，且A ＝ ．3．通项公式：等差数列的通项公式为 .推广形式为a n ＝a m ＋ .4．前n 项的和：等差数列前n 项和的公式为S n ＝ ＝ .其推导方法为数列{a n }的前n 项和Sn ＝An 2＋Bn 是{a n }成等差数列的 条件．5．等差数列的性质(1)若数列{a n }和{b n }是等差数列，则{ma n ＋kb n }仍为等差数列，其中m ，k 为常数．(2)对于正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ，则等差数列中(3)等差数列中依次k 项和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，且公差为k 2d (d 是原数列公差)．(4)若{a n }成等差数列，则{a 2n }，{a 2n －1}，{a 3n }等仍成等差数列．(5)等差数列的增减性d ＞0时，{a n }为 数列，且当a 1＜0时，前n 项和S n 有最 值．d ＜0时，{a n }为 数列，且当a 1＞0时，前n 项和S n 有最 值．基础练习：1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则{a n }的通项a n ＝________.2．{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝______.3、设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2，则{a n }是4．若{a n }是等差数列且S 3S 6＝13，则S 6S 12＝________. 典型例题：例1．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50.(1)求通项a n ；(2)若S n ＝242，求n .例2．(1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ≤N ，n ，N ∈N *)，已知前6项和为36，最后6项的和为180(n ＞6)，S N ＝324，求数列的项数及a 9＋a 10；(2)等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且S n T n ＝3n －12n ＋3，求a 8b 8的值．例3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0.(1)求公差d 的取值范围；(2)指出S 1、S 2、…、S 12中哪一个值最大，说明理由．例4．已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．巩固练习：1．若{a n }是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的个数有_____个．①{a n ＋3}；②{a 2n }；③{a n ＋1－a n }；④{2a n }；⑤ {2a n ＋n }．2．已知数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1·a n ＝a n ＋1－a n ，则数列{a n }的通项公式为________．3．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .设b n ＝a n2n －1，证明：数列{b n }是等差数列．4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________.5．一个凸n 边形，各内角的度数成等差数列，公差是10°，最小内角为100°，则边数n ＝________.6．设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n .(1)若首项a 1＝32，公差d ＝1，求满足S k 2＝(S k )2的正整数k ； (2)求所有的无穷等差数列{a n }，使得对于一切正整数k ，都有 S k 2＝(S k )2成立．7、(2010·新课标全国卷)设等差数列{a n}满足a3＝5，a10＝－9.(1)求{a n}的通项公式；(2)求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．。
等差数列的概念学案
2.2.1等差数列导学案一、课前预习：1、预习目标：①通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；②能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；③体会等差数列与一次函数的关系。
2、预习内容：（1）、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的差等于同一个 ，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的 ， 通常用字母d 表示。
（2）、等差中项：若三个数b A a ,,组成等差数列，那么A 叫做a 与b 的 ， 即=A 2 或=A 。
（3）、等差数列的单调性：等差数列的公差 时，数列为递增数列； 时，数列为递减数列； 时，数列为常数列；等差数列不可能是 。
（4）、等差数列的通项公式：=n a 。
二、课内探究学案例1、1、求等差数列8、5、2… …的第20项解：由81=a 385-=-=d 20=n 得：49)3()120(820-=-⨯-+=a2、401-是不是等差数列5-、9-、13-… …的项？如果是，是第几项？解：由51-=a 4)5(9-=---=d 得14)1(45--=---=n n a n由题意知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得：14401-=-n 成立解得：100=n 即401-是这个数列的第100项。
例2、某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4km （不含4km ）计费为10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？分析：可以抽象为等差数列的数学模型。
4km 处的车费记为：2.111=a公差2.1=d ，当出租车行至目的地即14km 处时，n=11 求11a所以：2.232.1)111(2.1111=⨯-+=a例3：数列53-=n a n 是等差数列吗？变式练习：已知数列｛n a ｝的通项公式q pn a n +=，其中p 、q 为常数，这个数列是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？（指定学生求解）解：取数列｛n a ｝中任意两项n a 和1-n a )2(≥n[]q n p q pn a a n n +--+=--)1()(1p q p pn q pn =+--+=)(它是一个与n 无关的常数，所以｛n a ｝是等差数列？并且：q p a +=1 p d = 例5(1) 已知a ，b ，c 成等差数列.求证：ab -c 2，ca -b 2，bc -a 2也成等差数列；(2)三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积为12，求此三数.三、课后练习与提高1、在等差数列{}n a 中，已知,10,3,21===n d a 求n a =已知,2,21,31===d a a n 求=n已知,27,1261==a a 求=d 已知,8,317=-=a d 求=1a2、已知231,231-=+=b a ，则b a ,的等差中项为（ ） A 3 B 2 C 31 D 213、2000是等差数列4，6，8…的（ ）A 第998项B 第999项C 第1001项D 第1000项4、在等差数列40，37，34，…中第一个负数项是（ ）A 第13项B 第14项C 第15项D 第16项5、在等差数列{}n a 中，已知,13,2321=+=a a a 则654a a a ++等于（ ）A 10B 42 C43 D456、等差数列-3，1， 5…的第15项的值为7、等差数列{}n a 中，0,2511>=d a 且从第10项开始每项都大于1，则此等差数列公差d 的取值范围.8、在等差数列{}n a 中，已知,31,10125==a a ，求首项1a 与公差d9、在公差不为零的等差数列{}na中，21,aa为方程0432=+-axax的跟，求{}n a的通项公式。
高三数学必修五教案等差数列优秀4篇
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高中数学 同步学案 等差数列的性质
第2课时 等差数列的性质学 习 目 标核 心 素 养1.掌握等差数列的有关性质．(重点、易错点) 2．能灵活运用等差数列的性质解决问题．(难点)1.通过等差数列性质的学习,体现了数学运算素养． 2．借助等差数列的实际应用,培养学生的数学建模及数学运算素养.1．等差数列与一次函数(1)等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d,当d ＝0时,a n 是关于n 的常函数；当d≠0时,a n 是关于n 的一次函数；点(n,a n )分布在以d 为斜率的直线上,是这条直线上的一列孤立的点．(2)等差数列通项公式的推广：在等差数列{a n }中,已知a 1,d,a m ,a n (m≠n),则d ＝a n －a 1n －1＝a n －a mn －m ,从而有a n ＝a m ＋(n －m)d.思考1：已知等差数列中任意两项是否可以直接求公差？[提示] 等差数列{a n }的图象是均匀分布在一条直线上的孤立的点,任选其中两点(n,a n )(m,a m )(m≠n),类比直线的斜率公式可知公差d ＝a n －a mn －m.2．等差中项如果a,A,b 这三个数成等差数列,那么A ＝a ＋b 2.我们把A ＝a ＋b2叫做a 和b 的等差中项．3．等差数列的性质(1)项的运算性质：在等差数列{a n }中,若m ＋n ＝p ＋q(m,n,p,q∈N *),则a m ＋a n ＝a p ＋a q . (2)等差数列的项的对称性在有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和,即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝….(3)若{a n },{b n }分别是公差为d,d′的等差数列,则有数列 结论{c ＋a n } 公差为d 的等差数列(c 为任一常数) {c·a n }公差为cd 的等差数列(c 为任一常数){a n ＋a n ＋k } 公差为2d 的等差数列(k 为常数,k∈N *) {pa n ＋qb n } 公差为pd ＋qd′的等差数列(p,q 为常数)(4){a n }的公差为n n n }为常数列．思考2：等差数列{a n }中,若a 5＝7,a 9＝19,则a 2＋a 12＝________,a 7＝________. [提示] ∵a 2＋a 12＝2a 7＝a 5＋a 9＝26, ∴a 2＋a 12＝26,a 7＝13.思考3：还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗？ [提示] 利用1＋100＝2＋99＝….1．在等差数列{a n }中,a 3＋a 5＝10,则a 1＋a 7等于( ) A ．5 B ．8 C ．10 D ．14 C [a 1＋a 7＝a 3＋a 5＝10.]2．等差数列{a n }中,a 100＝120,a 90＝100,则公差d 等于( ) A ．2 B ．20 C ．100D ．不确定A [∵a 100－a 90＝10d,∴10d＝20,即d ＝2.]3．在等差数列{a n }中,若a 5＝6,a 8＝15,则a 14＝________. 33 [由题意得d ＝a 8－a 58－5＝15－68－5＝3.∴a 14＝a 8＋6d ＝15＋18＝33.]4．已知等差数列{a n }中,a 7＋a 9＝16,a 4＝1,则a 12＝________. 15 [由等差数列的性质得a 7＋a 9＝a 4＋a 12＝16, 又∵a 4＝1,∴a 12＝15.]等差中项及其应用【例1】 已知数列{x n }的首项x 1＝3,通项x n ＝2np ＋nq(n∈N *,p,q 为常数),且x 1,x 4,x 5成等差数列．求p,q 的值．思路探究：由x 1,x 4,x 5成等差数列得出一个关于p,q 的等式,结合x 1＝3推出2p ＋q ＝3,从而得p,q. [解] 由x 1＝3,得2p ＋q ＝3,①又x 4＝24p ＋4q,x 5＝25p ＋5q,且x 1＋x 5＝2x 4得, 3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q, ②由①②得,q ＝1,p ＝1.在等差数列{a n }中,由定义有a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n≥2,n∈N *),即a n ＝a n ＋1＋a n －12,从而由等差中项的定义知,等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.1．在－1与7之间顺次插入三个数a,b,c 使这五个数成等差数列,求此数列． [解] (1)∵－1,a,b,c,7成等差数列, ∴b 是－1与7的等差中项, ∴b＝－1＋72＝3.又a 是－1与3的等差中项, ∴a＝－1＋32＝1.又c 是3与7的等差中项,∴c＝3＋72＝5,∴该数列为－1,1,3,5,7.等差数列的性质及应用【例2】 (1)n 1815910(2)数列{a n }为等差数列,已知a 2＋a 5＋a 8＝9,a 3a 5a 7＝－21,求数列{a n }的通项公式； (3)在等差数列{a n }中,a 15＝8,a 60＝20,求a 75的值． 思路探究：(1)利用等差中项求解；(2)利用m ＋n ＝p ＋q,则a m ＋a n ＝a p ＋a q 求解； (3)利用d ＝a m －a nm －n 求解．[解] (1)由等差数列的性质,得 a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120, ∴a 8＝24,又2a 9＝a 8＋a 10, ∴2a 9－a 10＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝24. (2)∵a 2＋a 8＝2a 5,∴3a 5＝9, ∴a 5＝3,∴a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝6,① 又a 3a 5a 7＝－21, ∴a 3a 7＝－7.②由①②解得a 3＝－1,a 7＝7或a 3＝7,a 7＝－1. ∴a 3＝－1,d ＝2,或a 3＝7,d ＝－2. 由通项公式的变形公式a n ＝a 3＋(n －3)d, 得a n ＝2n －7或a n ＝－2n ＋13. (3)∵a 60＝a 15＋(60－15)d,∴d＝20－860－15＝415,∴a 75＝a 60＋(75－60)d ＝20＋15×415＝24.解决本类问题一般有两种方法一是运用等差数列{a n }的性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2w,则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a w (m,n,p,q,w 都是正整数)； 二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算,属于通性通法,两种方法都运用了整体代换与方程的思想.提醒：递增等差数列d>0,递减等差数列d<0,解题时要注意数列的单调性对d 的取值的限制.2．已知等差数列{a n },满足a 2＋a 3＋a 4＝18,a 2a 3a 4＝66,求a 2,a 3,a 4.[解] ∵{a n }为等差数列,∴2a 3＝a 2＋a 4,∴3a 3＝18,∴a 3＝6,设公差为d,则(6－d)×6×(6＋d)＝66, ∴d 2＝25,∴d＝±5,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a 4＝11或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 4＝1.等差数列的设法与求解[探究问题]1．若三个数成等差数列,如何设这三个数使计算较为方便？[提示] 设等差中项为a,公差为d,则这三个数分别为a －d,a,a ＋d,这样计算较为方便． 2．若四个数成等差数列,如何设这四个数使计算较为方便？[提示] 设这四个数分别为a －3d,a －d,a ＋d,a ＋3d,计算较为方便．【例3】 已知三个数组成等差数列,首末两项之积为中项的5倍,后两项的和为第一项的8倍,求此三个数．思路探究：根据这三个数成等差数列,可设这三个数为x －d,x,x ＋d. [解] 设此三个数分别为x －d,x,x ＋d,由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(x －d )(x ＋d )＝5x ，x ＋x ＋d ＝8(x －d )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，d ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，d ＝6，故此三数分别为0,0,0或3,9,15.(变条件)本例条件改为：三个数成单调递增等差数列,它们的和等于18,它们的平方和等于116,求此数列．[解] 设所求数列为a －d,a,a ＋d(d>0), 根据题意得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝18，①(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝116，②由①得a ＝6.将a ＝6代入②, 得d ＝2,d ＝－2(舍)． 所以所求数列为4,6,8.设等差数列的三个技巧(1)对于连续奇数项的等差数列,可设为：…,x －d,x,x ＋d,…,此时公差为d.(2)对于连续偶数项的等差数列,通常可设为：…,a －3d,a －d,a ＋d,a ＋3d,…,此时公差为2d. (3)等差数列的通项可设为a n ＝pn ＋q.1．在等差数列{a n }中,每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列,构成的新数列仍然是等差数列．2．在等差数列{a n }中,首项a 1与公差d 是两个最基本的元素,有关等差数列的问题,如果条件与结论间的联系不明显,则均可根据a 1,d 的关系列方程组求解,但是,要注意公式的变形及整体计算,以减少计算量．1．判断正误(1)若{a n }是等差数列,则{|a n |}也是等差数列．( ) (2)若{|a n |}是等差数列,则{a n }也是等差数列．( )(3)若{a n }是等差数列,则对任意n∈N *都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( )(4)数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ＋5,则数列{a n }的公差与函数y ＝3x ＋5的图象的斜率相等．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√[提示] (1)错误,如－2,－1,0,1,2是等差数列,但其绝对值就不是等差数列．(2)错误,如数列－1,2,－3,4,－5其绝对值为等差数列,但其本身不是等差数列． (3)正确,根据等差数列的通项可判定对任意n∈N *都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2成立． (4)正确．因为a n ＝3n ＋5的公差d ＝3,而直线y ＝3x ＋5的斜率也是3. 2．在等差数列{a n }中,若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝100,则3a 9－a 13的值为( ) A ．20 B ．30 C ．40 D ．50 C [∵a 3＋a 11＝a 5＋a 9＝2a 7, ∴a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝5a 7＝100, ∴a 7＝20.∴3a 9－a 13＝3(a 7＋2d)－(a 7＋6d)＝2a 7＝40.]3．已知数列{a n }是等差数列,若a 4＋a 7＋a 10＝17,a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 12＋a 13＋a 14＝77且a k ＝13,则k ＝________.18 [∵a 4＋a 7＋a 10＝3a 7＝17, ∴a 7＝173.又∵a 4＋a 5＋…＋a 13＋a 14＝11a 9＝77,∴a 9＝7. 故d ＝a 9－a 79－7＝7－1732＝23.∵a k ＝a 9＋(k －9)d ＝13, ∴13－7＝(k －9)×23,∴k＝18.]4．(1)已知{a n }是等差数列,且a 1－a 4＋a 8－a 12＋a 15＝2,求a 3＋a 13的值． (2)已知在等差数列{a n }中,若a 49＝80,a 59＝100,求a 79. [解] (1)因为{a n }是等差数列, 所以a 1＋a 15＝a 4＋a 12＝a 3＋a 13＝2a 8. 又因为a 1－a 4＋a 8－a 12＋a 15＝2, 所以a 8＝2,即a 3＋a 13＝2a 8＝2×2＝4. (2)因为{a n }是等差数列,可设公差为d. 由a 59＝a 49＋10d,知10d ＝100－80,解得d ＝2. 又因为a 79＝a 59＋20d,所以a 79＝100＋20×2＝140.。
学案11：§2.2 等差数列(一)
§2.2 等差数列1．等差数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第项起，每一项与它的的差等于，那么这个数列就叫做等差数列，这个叫做等差数列的，公差通常用字母表示．(2)符号语言：a n＋1－a n＝d(d为常数，n∈N*).2．等差中项(1)条件：如果a，A，b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是．思考：观察所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：(1)2，4；(2)－1，5；(3)a，b；(4)0，0.3．等差数列的通项公式以a1为首项，d为公差的等差数列{a n}的通项公式a n＝．思考：教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它方法吗？如何操作？4．从函数角度认识等差数列{a n}若数列{a n}是等差数列，首项为a1，公差为d，则a n＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d).(1)点(n，a n)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d．思考：由等差数列的通项公式可以看出，要求a n，需要哪几个条件？初试身手1．已知等差数列{a n }的首项a 1＝4，公差d ＝－2，则通项公式a n ＝( )A.4－2nB ．2n －4 C.6－2n D ．2n －62．等差数列－6，－3，0，3，…的公差d ＝ ．3．下列数列：①0，0，0，0；②0，1，2，3，4；③1，3，5，7，9；④0，1，2，3，….其中一定是等差数列的有 个．4．lg (3＋2)与lg (3－2)的等差中项是 ．合作探究类型1 等差中项例1 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，求此数列．规律方法三数a ，b ，c 成等差数列的条件是b ＝a ＋c 2(或2b ＝a ＋c )，可用来解决等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{a n }为等差数列，可证2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *). 跟踪训练1．已知数列{a n }满足a n －1＋a n ＋1＝2a n (n ≥2)，且a 2＝5，a 5＝13，则a 8＝ ． 类型2 等差数列的通项公式及其应用例2 (1)在等差数列{a n }中，已知a 4＝7，a 10＝25，求通项公式a n ；(2)已知数列{a n }是等差数列，a 5＝－1，a 8＝2，求a 1与d .规律方法1．应用等差数列的通项公式求a 1和d ，运用了方程的思想．一般地，可由a m ＝a ，a n ＝b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（m －1）d ＝a ，a 1＋（n －1）d ＝b ，求出a 1和d ，从而确定通项公式． 2．若已知等差数列中的任意两项a m ，a n ，求通项公式或其它项时，则运用a m ＝a n ＋(m －n )d 较为简捷．跟踪训练2．(1)求等差数列8，5，2，…的第20项；(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？类型3 等差数列的判定与证明探究问题1．在数列{a n }中，若a n －a n －1＝d (常数)(n ≥2且n ∈N *)，则{a n }是等差数列吗？为什么？2．在数列{a n }中，若有2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)成立，则{a n }是等差数列吗？为什么？3．若{a n }是公差为d 的等差数列，那么{a n ＋a n ＋2}是等差数列吗？若是，公差是多少？例3 已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2. (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由； (2)求a n .等差数列的判定方法有以下三种：(1)定义法：a n＋1－a n＝d(常数)(n∈N*)⇔{a n}为等差数列；(2)等差中项法：2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)⇔{a n}为等差数列；(3)通项公式法：a n＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)⇔{a n}为等差数列．但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．课堂小结1．判断一个数列是否为等差数列的常用方法(1)a n＋1－a n＝d(d为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列；(2)2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)⇔{a n}是等差数列；(3)a n＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．2．由等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，a n四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．课堂检测1．判断正误(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)等差数列{a n}的单调性与公差d有关．()(3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．() 2．在等差数列{a n}中，若a1·a3＝8，a2＝3，则公差d＝()A．1B．－1C．±1 D．±23．已知a＝13＋2，b＝13－2，则a，b的等差中项为．4．已知数列{a n}，a1＝a2＝1，a n＝a n－1＋2(n≥3)，判断数列{a n}是否为等差数列？说明理由．参考答案新知初探1．(1)2 前一项同一个常数常数公差d2．(3)a＋b＝2A思考：[提示] 插入的数分别为3，2，a ＋b 2，0. 3．a 1＋(n －1)d思考：[提示] 还可以用累加法，过程如下：∵a 2－a 1＝d ，a 3－a 2＝d ，a 4－a 3＝d ，…a n －a n －1＝d (n ≥2)，将上述(n －1)个式子相加得a n －a 1＝(n －1)d (n ≥2)，∴a n ＝a 1＋(n －1)d (n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝a 1＋(1－1)d ，符合上式，∴a n ＝a 1＋(n －1)d (n ∈N *).4．(2) d思考：[提示] 只要求出等差数列的首项a 1和公差d ，代入公式a n ＝a 1＋(n －1)d 即可． 初试身手1．【答案】C【解析】a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4＋(n －1)×(－2)＝4－2n ＋2＝6－2n .2．【答案】3【解析】(－3)－(－6)＝3，故d ＝3.3．【答案】3【解析】①②③是等差数列，④只能说明前4项成等差数列．4．【答案】0【解析】lg (3＋2)与lg (3－2)的等差中项为 lg （3＋2）＋lg （3－2）2＝ lg [（3＋2）（3－2）]2＝lg 12＝0. 合作探究类型1 等差中项例1 解：∵－1，a ，b ，c ，7成等差数列，∴b 是－1与7的等差中项，∴b ＝－1＋72＝3.又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1. 又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5. ∴该数列为－1，1，3，5，7.跟踪训练1．【答案】21【解析】由a n －1＋a n ＋1 ＝2a n (n ≥2)知，数列{a n }是等差数列，∴a 2，a 5，a 8成等差数列． ∴a 2＋a 8＝2a 5，∴a 8＝2a 5－a 2＝2×13－5＝21.类型2 等差数列的通项公式及其应用例2 解：(1)∵a 4＝7，a 10＝25，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝7，a 1＋9d ＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3， ∴a n ＝－2＋(n －1)×3＝3n －5，∴通项公式a n ＝3n －5(n ∈N *).(2)∵a 5＝－1，a 8＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝－1，a 1＋7d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝1. 跟踪训练2．解：(1)由a 1＝8，d ＝5－8＝－3，n ＝20，得a 20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.(2)由a 1＝－5，d ＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为 a n ＝－5＋(n －1)×(－4)＝－4n －1.由题意，令－401＝－4n －1，得n ＝100，即－401是这个数列的第100项．类型3 等差数列的判定与证明探究问题1．[提示] 由等差数列的定义可知满足a n －a n －1＝d (常数)(n ≥2)是等差数列．2．[提示] 是，由等差中项的定义可知．3．[提示] ∵(a n ＋1＋a n ＋3)－(a n ＋a n ＋2)＝(a n ＋1－a n )＋(a n ＋3－a n ＋2)＝d ＋d ＝2d .∴{a n ＋a n ＋2}是公差为2d 的等差数列．例3 解：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，理由如下：∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n a n ＋2，∴1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n ，∴1a n ＋1－1a n ＝12， 即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝12，公差为d ＝12的等差数列． (2)由上述可知1a n ＝1a 1＋(n －1)d ＝n 2，∴a n ＝2n.1．【答案】 (1)× (2)√ (3)√【解析】 (1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d >0时为递增数列；d ＝0时为常数列；d <0时为递减数列．(3)正确．若a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，即b －a ＝c －b ，故a ，b ，c 为等差数列．2．【答案】C【解析】由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1（a 1＋2d ）＝8，a 1＋d ＝3，解得d ＝±1. 3．【答案】3【解析】a ＋b 2＝13＋2＋13－22＝3－2＋3＋22＝ 3.] 4．解：因为a n ＝a n －1＋2(n ≥3)，所以a n－a n－1＝2(常数).又n≥3，所以从第3项起，每一项减去前一项的差都等于同一个常数2，而a2－a1＝0≠a3－a2，所以数列{a n}不是等差数列．。
等差数列(学案)
等差数列（学案）1.在等差数列{}n a 中，38133120a a a ++=，则3138a a a +-=( )A.24 B.22 C.20 D.8-2．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，5283()S a a =+,则53a a 的值为（ ）A ．56 B ． 13 C ．35 D ．163.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m m a a a -++-=，2138m S -=,则m =（ ）A.38B.20C.10D.94. 等差数列}{n a 的前项和为n S ，若0,087<>a a ，则下列结论正确的是（ ）A.87S S <B. 1615S S <C. 130S >D.015>S5.若等差数列的公差731,,a ,0a a d 且≠成等比数列，则12a a =( )A.2 B.32 C.32 D.21 6.已知数列}{n a 是等差数列，若3,244113==+a a a ，则数列}{n a 的公差等于（ ）A ．1 B ．3 C ．5 D ．67．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项的和，254a a +=，721S =，则7a 的值为（ ）A ．6 B ．7 C ．8 D ．98.如果等差数列{}n a 中，,12543=++a a a 则=+++721...a a a （ ） A.14 B.21 C.28 D. 359.设S n =是等差数列{a n }的前n 项和，a 12=-8,S 9=-9,则S 16= .10.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1221S =，则25811a a a a +++= ．11.若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-=，，，，则此数列的通项公式为 ； 数列{}n na 中数值最小的项是第 项． 12.n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若11=S ，42=S ，则=n a ．13.已知{}n a 是等差数列，12784,28a a a a +=+=，则该数列前10项和10S =________14.已知等差数列{}n a 中，5836=+=a a a ，则=9a .15.等差数列{}n a 中，12981a a a +++=且2310171a a a +++=，则公差d =16．等差数列{}n a 共有21n +项,其中奇数项之和为319,偶数项之和为290,则n= .其中间项为17、已知等差数列{}n a 中，公差0>d 且2009a ，2010a 是方程0532=--x x 的两个根，那么使得前n 项和n S 为负值的最大的n 的值是__________.18已知{a n }为等差数列，且36a =-，60a =。
《等差数列》教学设计-经典教学教辅文档
《等差数列》教学设计
教学目标：
1.知识与技能教学目标：
理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式；初步培养先生观察、归纳、推理论证的逻辑思想能力；培养先生数学应意图识和言语表达能力；浸透分类讨论的数学思想，培养先生逻辑思想的严谨性，进步数学素养。
2.过程与方法教学目标：
由实践例子引发先生探求数学知识的愿望，师生共同探求知识的发生发展的过程，促进先生自主探求合作交流，使技能得以进步，充分发挥先生的主观能动性。
3.情感态度与价值观：
充分激发先生学习数学的兴味，让先生体验成功的快乐，培养先生严谨的科学态度和实事求是的精神，让先生建立正确的人生观和价值观，提升先生实践用用的能力。
重点：掌握等差数列的概念及其通项公式的推导过程和运用：
难点：①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义；
②“数学建模”的思想方法。
五、板书设计：表现重点，难点，及知识结构。
设计如下：
3.2等差数列
一、等差数列的定义……………… 练习：……………
二、等差数列的本质……………… ……………
三、等差数列的通项公式………… 成绩：……………例1
例2。
等差数列学案
等 差 数 列课前热身激活思维1. 等差数列{a n }的首项为70，公差为-9，则这个数列中绝对值最小的项为___________.2.设{a n }是正项数列，其前n 项和S n 满足：4S n =（a n -1）（a n +3）,则数列{a n }的通项公式a n =___________.3. 若两个等差数列{a n }、{b n }满足125125...75,____....3n n a a a a n b b b n b ++++==++++则 4. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 12=-8,S 9=-9，则S 16=___________.5. 已知{a n }为等差数列，a 1+a 3+a 5=105，a 2+a 4+a 6=99.以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n是___________.知识梳理1. 等差数列的定义如果一个数列 ，则称这个数列为等差数列，这个常数叫做 ，即 （d 为常数），其中n ∈N *（或者表示为2. 等差数列的通项公式a n = .（1） 推广：a n =a m +（ ）d ；（2） 变式：d =（3） 数列{a n }为等差数列的充要条件：a n = .3. 等差数列的前n 项和公式S n = .（1） n 为奇数时，有S n = ，S 奇-S 偶= ；n 为偶数时，有S 偶-S 奇= .（2） 数列{a n }为等差数列的充要条件：S n =4. 等差中项若a ,b ,c 成等差数列，则称b 为a ,c 的等差中项，即b = .a ,b ,c 成等差数列⇔ .5. 等差数列的性质（1） 在等差数列{a n }中，若m +n =p +q （m ,n ,p ,q ∈N*）,则有 ；（2） 若数列{a n }、{b n }均为等差数列，则数列{pa n }、{a n +q }、{a n ±b n }也成等差数列；（3） 若数列{a n }成等差数列，则下标成等差的子数列也成等差数列；（4） 若数列{a n }成等差数列，S n 为其前n 和，则 成等差数列.数列 为等差数列.课堂导学知识点1 等差数列的概念及通项【例1】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n S n -1=0（n ≥2）,a 1=12.（1） 求证：1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （2） 求数列{a n }的通项公式.［精要点评］（1） 证明一个数列成等差数列，其依据是等差数列的定义.证明时一定要注意定义中的项数“从第二项起”的要求.实现证明的方法通常有两种形式：一是证“a n +1-a n =d （d 为常数），n ∈N *”；二是证“a n +2-a n +1=a n +1-a n ,n ∈N *”. （2） 公式a n =111,,2nn S n S S n -⎧=⎨-≥⎩对任何数列都是成立的，因此在求解有关等差数列或等比数列的问题时，它同样是一个有力的工具.【变式拓展】已知正项数列{a n }的前n 和为S n ，且对任意的正整数n ，满足2n S =a n +1，求数列{a n }的通项公式.等差数列的基本运算2知识点2 等差数列的基本运算【例2】在等差数列{a n }中:（1） 已知a 15=33,a 45=153,求a 61；（2） 已知a 6=10,S 5=5,求a 8和S 8；（3） 已知前3项和为12，前3项积为48，且d >0,求a 1.【变式拓展】在等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 10=100,S 100=10,求S 110.知识点3 等差数列的前n 项和【例3】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3=12,S 12>0,S 13<0.（1） 求公差d 的取值范围；（2） 指出S 1,S 2,…，S 12中哪一个最大,并说明理由.［精要点评］本题中，在求S n 最大值时，采用了三种方法，这三种方法都是在函数思想的指导下完成的.其中方法一、方法二主要运用了函数的单调性思路结合数列的特征，当一个数列是递减数列时，一定会出现一个时刻，在此之前，a 1,a 2,…，a n 都是正数，而a n +1,a n +2,…都是负数,显然在这种情况下，S n 最大.方法三是运用二次函数最大（小）值的求解思路，但由于是离散型最大（小）值问题，所以不一定是在顶点处取得最大（小）值，而是在离顶点最近的横坐标为整数的点处最大（小）值.【变式拓展】 在等差数列{a n }中，a 3=8,S 3=33.（1） 求数列{a n }的前n 项和的最大值；（2） 求数列{|a n |}的前n 项和T n .规范答题赏析：设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足22222345a a a a +=+S 7=7.（1） 求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；（2） 试求所有的正整数m ，使得12m m m a a a ++为数列{a n }中的项.总结规律本节主要复习等差数列的定义、基本运算及通项公式与前n 项和的应用.1. 不仅要熟练应用基本公式，还要会用变通的公式和等差数列的有关性质.2. 由五个量a 1,d ,n ,a n ,S n 中的三个量可求出其余两个量，即“知三求二”.要求选用的公式灵活恰当，即善于减少运算量，达到快速、准确的目的.3. 在求解等差数列的问题时，除了要注意函数思想、方程思想、消元及整体思想的运用外还要特别注意在解题中要有“目标意识”，“需要什么，就求什么”，以提高解题的针对性.等 差 数 列基础达标1．设x 1,a 1,a 2,y 成等差数列，x,b 1,b 2,b 3,y 也成等差数列，则2113a ab b --的值是_______． 2． 设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若a 4+a 12+a 17+a 19=8，则S 25的值为_____．3． 在等差数列｛a n ｝中，已知a 1=1，前5项和S 5=35，则a 8的值是_______．4． 在公差为正数的等差数列｛a n ｝中，a 10+a 11＜0,且a 10·a 11＜0,S n 是其前n 项和，则使S n 取最小值的n 是______．5．设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，已知a 2=3，a 6=11，则S 7=_____．6．设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,若a 6=S 3=12,则a n =_____．7． 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5=5a 3，则95S S =______． 8．等差数列{ a n }的前n 项和为S n ，已知a m-1+a m+1-a 2m =0，S 2m-1=38,则m=______．能力提升9．已知等差数列｛a n ｝中，a 3a 7=-16,a 4+a 6=0,求｛a n ｝的前n 项和S n ．10． 设｛a n ｝为等差数列，S n 为其前n 项和，已知S 7=7,S 15=75,T n 为数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求T n ．11． 设等差数列｛a n ｝的首项a 1及公差d 都为整数，前n 项和为S n(1) 若a 11=0,S 14=98,求数列｛a n ｝的通项公式；(2) 若a 1≥6，a 11＞0，S 14≤77，求所有可能的数列｛a n ｝的通项公式．滚动训练12． 已知｛a n ｝是等差数列，a 1=2，a 3=18；｛b n ｝也是等差数列，a 2-b 2=4，b 1+b 2+b 3+b 4=a 1+a 2+a 3．(1) 求数列｛b n ｝的通项公式及前n 项和S n 的公式．(2) 数列｛a n ｝与{b n }是否有相同的项？ 若有，则在100以内有几个相同项？若没有，请说明理由．。
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两个数列有什么共同特征？
从第二项起，每、判断下列数列是否为等差数列：
例2、求下列等差数列中的未知项：
例3、（1）在等差数列{ }中，是否有
（2）在数列{ }中，如果对于任意的正整数n ，都有 ，那么数列{ }一定是等差数列吗？
【当堂检测】
1、已知下列数列是等差数列，试在横线上填上适当的数：
（1），3，-2；（2）2， ，；
2、判断下列数列是否为等差数列：
(1) (2) (3)
3、已知 是公差为d的等差数列．
（1） 也成等差数列吗？如果是，公差是多少？
（2） 也成等差数列吗？如果是，公差是多少？
老师寄语：课前预习不可少，自主质疑效果好；课上跟着目标跑，合作探究是法宝；知识网络要织巧，理论清晰又明了；达标训练讲效率，拓展提升很重要；格式合理讲效率，要点全面话要巧。
课题
等差数列的概念
学习目标
1．理解等差数列的概念；
2．能判断一个数列是否为等差数列，并能解决相关问题。
重点
等差数列概念的理解及应用
难点
等差数列概念的理解及应用
学习内容及过程
教学设计及学习札记
学习内容及过程
教学设计及学习札记
【自学导引】
观察数列 5，15，25，35，…（2）3000，2995，2990，2980，…