仿真模拟卷3 (1)

仿真模拟卷2(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2≤4}，那么∁U A 等于( ) A ．(－∞，－2) B ．(2，＋∞)C ．(－2,2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案 D解析 ∵全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2≤4}＝{x |－2≤x ≤2}，∴∁U A ＝{x |x <－2或x >2}＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)．2．(2020·重庆模拟)设复数z 满足(2－i)z ＝2＋i ，则z 在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 A解析 z ＝2＋i 2－i ＝(2＋i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝3＋4i 5＝35＋45i ，则z 在复平面内所对应的点的坐标为⎝⎛⎭⎫35，45，位于第一象限．3．函数f (x )＝ln (x ＋1)x 2－2x ＋1的部分图象大致是( )答案 A解析 当x ＝2时，f (2)＝ln 34－4＋1＝ln 3>0，故排除C ，当x ＝12时，f ⎝⎛⎭⎫12＝ln 3214＝4ln 32>0，故排除D ，当x →＋∞时，f (x )→0，故排除B.4．已知tan α＝3，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin 2α＋cos(π－α)的值为( ) A.6－1010 B.6＋1010 C.5－1010 D.5＋1010答案 A解析 由tan α＝3，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 得cos α＝1010，sin α＝31010， 而sin 2α＋cos(π－α)＝2sin αcos α－cos α ＝2×31010×1010－1010＝6－1010.5.如图，在△ABC 中，AN →＝14NC →，P 是直线BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋25AC →，则实数m 的值为( )A ．－4B ．－1C ．1D ．4 答案 B解析 由题意，设BP →＝nBN →， 则AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋nBN → ＝AB →＋n (AN →－AB →) ＝AB →＋n ⎝⎛⎭⎫15AC →－AB → ＝(1－n )AB →＋n 5AC →，又∵AP →＝mAB →＋25AC →，AB →，AC →不共线，∴m ＝1－n ，n 5＝25.解得n ＝2，m ＝－1.6．(2020·济南质检)已知函数f (x )＝lg(x 2＋1＋x )＋12，则f (ln 5)＋f ⎝⎛⎭⎫ln 15等于( ) A ．0 B.12 C ．1 D ．2答案 C解析 设g (x )＝lg(x 2＋1＋x )，其定义域为R .因为g (－x )＋g (x )＝lg(x 2＋1－x )＋lg(x 2＋1＋x )＝lg 1＝0，所以g (x )为奇函数， 则g (ln 5)＋g ⎝⎛⎭⎫ln 15＝g (ln 5)＋g (－ln 5)＝0. 因为f (x )＝g (x )＋12，所以f (ln 5)＝g (ln 5)＋12，①f ⎝⎛⎭⎫ln 15＝f (－ln 5)＝g (－ln 5)＋12，② ①＋②得f (ln 5)＋f ⎝⎛⎭⎫ln 15＝1. 7．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝1，且对于任意的x ，f ′(x )<－12恒成立，则不等式f (lg 2x )<lg 2x 2＋12的解集为( ) A.⎝⎛⎭⎫0，110 B.⎝⎛⎭⎫0，110∪(10，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫110，10 D ．(10，＋∞)答案 B解析 设g (x )＝f (x )－12x －12，由f ′(x )<－12，得g ′(x )＝f ′(x )－12<0，∴g (x )为减函数．又f (1)＝1，可得g (1)＝f (1)－1＝0， 由g (lg 2x )<0＝g (1)得lg 2x >1，即lg 2x －1>0 即(lg x ＋1)(lg x －1)>0，即lg x >1或lg x <－1， 解得x >10或0<x <110.8．(2020·石家庄模拟)已知函数f (x )＝3sin 2ωx 2＋12sin ωx －32(ω>0)，若f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，3π2上无零点，则ω的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，29∪⎣⎡⎭⎫89，＋∞ B.⎝⎛⎦⎤0，29∪⎣⎡⎦⎤23，89 C.⎝⎛⎦⎤0，29∪⎣⎡⎦⎤89，1 D.⎝⎛⎦⎤29，89∪[1，＋∞)答案 B解析 因为f (x )＝3sin 2ωx 2＋12sin ωx －32＝32(1－cos ωx )＋12sin ωx －32＝12sin ωx －32cos ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω>0)， 若π2<x <3π2，则ωπ2－π3<ωx －π3<3ωπ2－π3， ∴⎝⎛⎭⎫3ωπ2－π3－⎝⎛⎭⎫ωπ2－π3≤T 2＝πω， 则ω2≤1，又ω>0，解得0<ω≤1.又⎩⎨⎧k π≤ωπ2－π3，(k ＋1)π≥3ωπ2－π3，解得2k ＋23≤ω≤2k 3＋89(k ∈Z )．∵⎩⎨⎧2k ＋23≤2k 3＋89，2k 3＋89>0，解得－43<k ≤16，∵k ∈Z ，∴k ＝0或－1.当k ＝0时，23≤ω≤89；当k ＝－1时，－43≤ω≤29，又0<ω≤1，∴0<ω≤29.∴ω∈⎝⎛⎦⎤0，29∪⎣⎡⎦⎤23，89. 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得3分)9．某市气象部门根据2019年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值(单位：℃)数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述正确的是( )A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10 ℃的月份有5个D ．从2019年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势 答案 ABC解析 A 项，各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关，故A 正确；B 项，由折线图可知全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，故B 正确；C 项，全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有1月、2月、3月、11月、12月，共5个，故C 正确；D 项，从2019年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值中，7月至8月呈上升趋势，故D 错误．10.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是C 1D 1，BC ，A 1D 1的中点，有下列四个结论，正确的是( )A ．AP 与CM 是异面直线B ．AP ，CM ，DD 1相交于一点C ．MN ∥BD 1 D ．MN ∥平面BB 1D 1D 答案 BD解析 因为MP ∥AC ，MP ≠AC ，所以AP 与CM 是相交直线，又平面A 1ADD 1∩平面C 1CDD 1＝DD 1，所以AP ，CM ，DD 1相交于一点，则A 不正确，B 正确；令AC ∩BD ＝O ，因为M ，N 分别是C 1D 1，BC 的中点，所以ON ∥D 1M ∥CD ，且ON ＝D 1M ＝12CD ，则四边形MNOD 1为平行四边形，所以MN ∥OD 1，又MN ⊄平面BB 1D 1D ，OD 1⊂平面BB 1D 1D ，所以MN ∥平面BB 1D 1D ，所以C 不正确，D 正确．11．点P (1,1)是抛物线C ：y ＝x 2上一点，斜率为k 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且P A ⊥PB ，设直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则下列结论成立的是( ) A ．k ＝k 1＋k 2－2 B.1k ＝1k 1＋1k 2C ．直线l 过点(1，－2)D ．直线l 过点(－1,2)答案 AD解析 设A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，则k 1＝x 21－1x 1－1＝x 1＋1，k 2＝x 22－1x 2－1＝x 2＋1，k ＝x 21－x 22x 1－x 2＝x 1＋x 2， 所以k ＝k 1＋k 2－2，故A 正确，B 错误． 直线l 的方程为y －x 21＝(x 1＋x 2)(x －x 1)， 即y ＝(x 1＋x 2)x －x 1x 2，因为P A ⊥PB ，所以(x 1＋1)(x 2＋1)＝－1， 即x 1＋x 2＋2＝－x 1x 2，代入方程整理得y －2＝(x 1＋x 2)(x ＋1)， 则直线l 过点(－1,2)，故C 错误，D 正确．12．已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意(x 1，y 1)∈M ，存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0，则称集合M 是“垂直对点集”．则下列四个集合是“垂直对点集”的为( ) A ．M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}B ．N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪y ＝1x C ．P ＝{(x ，y )|y ＝e x －2} D ．Q ＝{(x ，y )|y ＝log 2x } 答案 AC解析 对于A ，C 中的函数，结合它们的图象可知，过原点的任意一条直线l 都与它们的图象相交，且存在过原点的直线l ′，使得l ′⊥l ，并与A ，C 中的函数的图象相交，故A ，C 满足题意；对于B ，y ＝1x 的图象是以x ，y 轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90°，所以对于任意的(x 1，y 1)∈N ，不存在(x 2，y 2)∈N ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以B 不满足题意；对于D ，在函数y ＝log 2x 的图象上取点(1,0)，找不到(x 2，y 2)∈Q ，使得1×x 2＋0×y 2＝0，所以D 不满足题意．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·全国Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________． 答案 0.98解析 经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为10×0.97＋20×0.98＋10×0.9910＋20＋10＝0.98.14．记S n 为数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)，则a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝________. 答案 360解析 由题意知，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)， 当n ≥2时，a n ＝2S n －1＋1，两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ，则a n ＋1＝3a n . 当n ＝1时，a 2＝3，∴a 2＝3a 1，即{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列，故a n ＝3n －1， 则a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝32×(1－34)1－3＝360.15．某县城中学安排5位教师(含甲)去3所不同的农村小学(含A 小学)支教，每位教师只能支教一所农村小学，且每所农村小学都有教师支教．甲不去A 小学，则不同的安排方法种数为________． 答案 100解析 A 小学若安排3人，则有C 34A 22＝8(种)，A 小学若安排2人，则有C 24C 23A 22＝36(种)，A小学若安排1人，则有C 14⎝⎛⎭⎫C 34＋C 24C 22A 22A 22＝56(种)，故共有8＋36＋56＝100(种)． 16．(2020·泰安模拟)已知直线l ：3x ＋4y ＋m ＝0，圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2＝0，则圆C 的半径r ＝______；若在圆C 上存在两点A ，B ，在直线l 上存在一点P ，使得∠APB ＝90°，则实数m 的取值范围是________． 答案2 [－16,4]解析 由圆x 2＋y 2－4x ＋2＝0， 得(x －2)2＋y 2＝2， 所以圆C 的半径r ＝ 2.①当直线l ：3x ＋4y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2＝0有交点时，显然满足题意，此时|6＋m |9＋16≤2，解得－6－52≤m ≤－6＋52，②当直线l ：3x ＋4y ＋m ＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2＝0无交点时，此时m <－6－52或m >－6＋52，“在圆C 上存在两点A ，B ，在直线l 上存在一点P ，使得∠APB ＝90°”等价于“直线l 上存在点P ，过点P 作圆的两条切线，其夹角大于等于90°”， 设两个切点为M ，N ，则∠MPN ≥90°， 所以∠MPC ≥45°，所以sin ∠MPC ＝|MC ||PC |≥sin 45°＝22，所以|PC |≤2，根据题意可得直线l 上存在点P ，使得|PC |≤2， 等价于|PC |min ≤2，又|PC |的最小值为圆心C 到直线l 的距离， 所以|3×2＋4×0＋m |32＋42≤2，解得－16≤m ≤4.又m <－6－52或m >－6＋52，所以－16≤m <－6－52或－6＋52<m ≤4， 由①②可得实数m 的取值范围是－16≤m ≤4. 四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)在公比大于0的等比数列{a n }中，已知a 3a 5＝a 4，且a 2,3a 4，a 3成等差数列． (1)求{a n }的通项公式；(2)已知S n ＝a 1a 2…a n ，试问当n 为何值时，S n 取得最大值，并求S n 的最大值． 解 (1)设{a n }的公比为q ，由a 3a 5＝a 4，得a 4＝1. 因为a 2,3a 4，a 3成等差数列， 所以a 2＋a 3＝6a 4，则6q 2－q －1＝0， 解得q ＝12或q ＝－13(舍)，故a 1＝8.所以a n ＝8×⎝⎛⎭⎫12n －1＝24－n. (2)S n ＝a 1a 2…a n ＝23＋2＋1＋…＋(4－n )＝()722n n- ，当n ＝3或4时，S n 取得最大值，(S n )max ＝64.18．(12分)(2020·青岛统考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，2b 2＝(b 2＋c 2－a 2)(1－tan A )． (1)求角C ；(2)若c ＝210，D 为BC 的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD 的长度． 条件①：△ABC 的面积S ＝4且B >A ，条件②：cos B ＝255.解 (1)在△ABC 中，由余弦定理知 b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ， 所以2b 2＝2bc cos A (1－tan A )， 所以b ＝c (cos A －sin A )． 又由正弦定理知b c ＝sin Bsin C ，得sin B ＝sin C (cos A －sin A )，所以sin(A ＋C )＝sin C (cos A －sin A )，即sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin C cos A －sin C sin A ， 所以sin A cos C ＝－sin C sin A . 因为sin A ≠0，所以cos C ＝－sin C ， 所以tan C ＝－1.又因为0<C <π，所以C ＝3π4.(2)若选择条件①.△ABC 的面积S ＝4，且B >A .因为S ＝4＝12ab sin C ＝12ab sin 3π4，所以ab ＝8 2.由余弦定理知c 2＝(210)2＝40＝a 2＋b 2－2ab cos 3π4， 所以a 2＋b 2＋2ab ＝40，由⎩⎨⎧a 2＋b 2＋2ab ＝40，ab ＝82， 解得⎩⎨⎧ a ＝4，b ＝22或⎩⎨⎧a ＝22，b ＝4.因为B >A ，所以b >a ，所以⎩⎨⎧a ＝22，b ＝4，所以CD ＝BD ＝ 2.在△ACD 中，AD 2＝CA 2＋CD 2－2CA ·CD ·cos C ＝16＋2－2×4×2cos 3π4＝26， 所以AD ＝26.若选择条件②，cos B ＝255.因为cos B ＝255，所以sin B ＝55.所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝1010. 由正弦定理知，c sin C ＝asin A ，所以a ＝c sin Asin C ＝2 2.在△ABD 中，由余弦定理知 AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B ，解得AD＝26.19．(12分)(2020·广州模拟)厂家在产品出厂前，需对产品做检测，第一次检测厂家的每件产品合格的概率为0.5，如果合格，则可以出厂；如果不合格，则进行技术处理，处理后进行第二次检测．每件产品的合格率为0.8，如果合格，则可以出厂，不合格则当废品回收．(1)求某件产品能出厂的概率；(2)若该产品的生产成本为800元/件，出厂价格为1 500元/件，每次检测费为100元/件，技术处理每次100元/件，回收获利100元/件．假如每件产品是否合格相互独立，记ξ为任意一件产品所获得的利润，求随机变量ξ的分布列与均值．解(1)设“某件产品第一次检测合格”为事件A，“某件产品第二次检测合格”为事件B，则P(A)＝0.5，P(B)＝0.5×0.8＝0.4.所以某件产品能够出厂的概率P＝0.5＋0.4＝0.9.(2)由已知，若该产品不合格，则ξ＝－(800＋100×2＋100)＋100＝－1 000，若该产品经过第二次检测才合格，则ξ＝1 500－(800＋100×2＋100)＝400，若该产品第一次检测合格，则ξ＝1 500－(800＋100)＝600，所以ξ的所有可能取值为－1 000,400,600.P(ξ＝－1 000)＝(1－0.5)×(1－0.8)＝0.1，P(ξ＝400)＝(1－0.5)×0.8＝0.4，P(ξ＝600)＝0.5.故ξ的分布列为E(ξ)＝－1 000×0.1＋400×0.4＋600×0.5＝360(元)．20．(12分)如图，在三棱锥D－ABC中，AB＝BC＝22，DA＝DC＝AC＝4，平面ADC⊥平面ABC，点M在棱BC上．(1)若M为BC的中点，证明：BC⊥DM；(2)若DC 与平面DAM 所成角的正弦值为34，求AM . (1)证明 取AC 的中点O ，连接OB ，OD .因为DA ＝DC ，所以OD ⊥AC .又因为平面ADC ⊥平面ABC ，且相交于AC ，所以OD ⊥平面ABC ，又OB ⊂平面ABC ，所以OD ⊥OB .因为AB 2＋BC 2＝AC 2，所以AB ⊥BC ，所以OB ＝OC ，所以△OBD ≌△OCD ，所以DB ＝DC ，且M 为BC 的中点，所以BC ⊥DM .(2)解 如图，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，OC 的方向为y 轴正方向，OD 的方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系，由已知得A (0，－2,0)，C (0,2,0)，D (0,0,23)，AD →＝(0,2,23)，DC →＝(0,2，－23)，设M (a,2－a,0)(0≤a ≤2)，则AM →＝(a,4－a,0)．设平面DAM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．由AD →·n ＝0，AM →·n ＝0，得⎩⎨⎧ 2y ＋23z ＝0，ax ＋(4－a )y ＝0，可取n ＝(3(a －4)，3a ，－a )，设DC 与平面DAM 所成的角为θ，所以sin θ＝|cos 〈DC →，n 〉|＝|23a ＋23a |43(a －4)2＋3a 2＋a 2＝34， 解得a ＝－4(舍去)或a ＝43，则AM →＝⎝⎛⎭⎫43，83，0， 所以AM ＝|AM →|＝⎝⎛⎭⎫432＋⎝⎛⎭⎫832＝453. 21．(12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的点P 到左、右焦点F 1，F 2的距离之和为22，且离心率为22.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 2的直线l 交椭圆于A ，B 两点，点C 与点B 关于x 轴对称，求△AF 2C 面积的最大值． 解 (1)因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝22，所以a ＝2，又因为e ＝c a ＝22， 所以c ＝22×2＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2－1＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)由题意可知直线l 的斜率必存在，又F 2(1,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 2，－y 2)．联立直线与椭圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 22＋y 2＝1， 化简得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2. 2AF C S ＝S △ABC －2F BC S S △F 2BC ＝12|2y 2||(x 1－x 2)－(1－x 2)| ＝|y 2(x 1－1)|＝|k (x 1－1)(x 2－1)|＝|k (x 1x 2－x 1－x 2＋1)|＝⎪⎪⎪⎪k 1＋2k 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12k ＋1k ≤24， 当且仅当|2k |＝1|k |，即k ＝±22时，等号成立． 所以△AF 2C 面积的最大值为24. 22．(12分)已知函数f (x )＝e x ＋a x＋(a ＋1)ln x －x －a . (1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数；(2)若f (x )的最小值为e －1，求a 的取值范围．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝(x －1)e x －x 2＋(a ＋1)x －a x 2＝(x －1)e x －(x －1)(x －a )x 2＝(x －1)(e x －x ＋a )x 2， 令f ′(x )＝0，解得x ＝1或e x －x ＝－a ，令g(x)＝e x－x(x>0)，则g′(x)＝e x－1>0，故g(x)在(0，＋∞)上单调递增，故g(x)>g(0)＝1.又当x＝1时e1－1＝－a⇒a＝1－e.故当a≥－1或a＝1－e时，f′(x)只有一个零点；当1－e<a<－1或a<1－e时，f′(x)有两个零点．(2)当a≥－1时，e x－x＋a>0，所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，则f(x)在x＝1处取得最小值f(1)＝e－1＋a－a＝e－1，符合题意．当a<－1时，则y＝e x－x在(0，＋∞)上单调递增，则必存在正数x0使得0e x－x0＋a＝0.若a<1－e，则x0>1，f(x)在(0,1)和(x0，＋∞)上单调递增，在(1，x0)上单调递减，又f(1)＝e－1>f(x0)，故不符合题意．若a＝1－e，则x0＝1，所以f′(x)≥0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝e－1，故不符合题意．若1－e<a<－1，则0<x0<1，f(x)在(0，x0)和(1，＋∞)上单调递增，在(x0,1)上单调递减，当x→0，f(x)→－∞时，与f(x)的最小值为e－1矛盾．综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．。