八年级数学角平分线的课件

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人教版八年级上册数学课件12.3角平分线的性质3

OC，在OC 上任取一点P，过点P 画出OA，OB 的垂
线，分别记垂足为D，E，测量 PD，PE 并
作比较，你得到什么结论？
A
在OC 上再取几个点试一试．通过以上测量，你发现了角
D
的平分线的什么性质？
C
P
O
E
B
求证经；历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
求证：PD =PE．
追问2 由角的平分线的性质的证明过程，你能概
经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
追问1 通过动手实验、观察比较，我们发现“角经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质
∴∠DＯP=∠BＯP（角平分线定义）
线．你能说明它的道理吗？
的平分线上的点到角的两边的距离相等”，你能通过严求证：PD =PE．
受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？
在△OPD和△OPE 中
格的逻辑推理证明这个结论吗？边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分
CA=CA（公共边）
追问2 由角的平分线的性质的证明过程，你能概
受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？
追问3 角的平分线的性质的作用是什么？
已知：如图，ＯC平分∠ＡOＢ，追问3 角的平分线的性质的作用是什么？
追问4 你能说明为什么射线OC 是∠AOB 的平分线吗？
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠A的平分线
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证在△ACD和△ACB中
D
B
问题2 利用尺规我们可以作一个角的平分线，那
格的逻辑推理证明这个结论吗？
证明:∵ ＯC平分∠ＡＯＢ, P是OC上一点（已知）
E

八年级数学下册1.4.2角平分线课件新版北师大版

度数，可以求此角的度数。
3
应用三解决实际问题
可以运用角平分线及其性质来解决直角三角形、等腰三角形等问题。
角平分线的练习
练习一画出角的平分线
练习用尺规等工具作出各种角的平分线。
练习二用角平分线定理求角度
练习应用角平分线定理来求出角的度数。
练习三解决实际问题
练习将角平分线应用于解决不同的实际问题。
总结
1 角平分线的重要性
角平分线是许多的几何问题的基础课件的学习，你是否已经对角平分线有了更好的理解？
3 知识点回顾
通过课件中的练习，你是否已经掌握了角平分线的基本定义、性质、作用、应用及求解方法？
可用尺规作图法作出一条角的平分线。
角平分线的作用
寻找角平分线
可以用尺规作图法求角平分线。
确定长度
若一个角的一条平分线已知其长度，则可以求出与此平分线相应两边的长度。
证明定理
可以用角平分线定理来证明一些定理。
角平分线的应用
1
应用一求角平分线
通过尺规作图等方法求角平分线。
应用二求角度大小
2
已知一个角的一条平分线与相应两边的
角平分线课件：北师大版八年级数学下册1.4.2
本课件将深入讲解角平分线的定义、性质、作用、应用和练习，助你更好地掌握这一知识点。
角平分线的定义
什么是角平分线
角平分线是指可以将一个角平分成两个相等的角的线段。
角平分线的性质
作图
1.角平分线可以互相平分。
2.如果一个角的两条平分线相交，则它们所截的弧上的点都在相同的直线上。

人教版数学八年级上册第十二章 12.3 角的平分线的性质第一课时课件(共33张PPT)

PD⊥OA，PE⊥OB，且
O
P
PD=PE
E B ∴OP是∠AOB的平分线
动脑想一想
• 我们之间就学习了三角形的角分线，之前谈到过，三条角分线一定交于一点，不过当时我们没有给出证明，而只是通过画图的方法给出了印证。
• 现在我们学习了角分线的性质和判定定理，怎样证明这个结论呢？我们先看下面的例题。
DC=BC（已知） ∴ △ADC≌△ABC (SSS) ∴∠DAC=∠BAC（对应角相等）即 AE平分∠BAD
动脑想一想
• 通过刚才的启发，你能想到怎样画出下面的角的平分线吗？
A
仅用尺规作图，
已知∠AOB，
求作∠AOB的
平分线
O
B
尺规法画角平分线
A M
O
NB
以点O为圆心，任意适当长度为半径画弧，
• 对折之后的折痕和这个角有什么关系？
• 如果是木板不能对折，该怎么平分？
动脑想一想
• 如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和 AD沿着角的两边放下，则 AC所在直线就是这个角的平分线。
• 你能说明这是为什么吗？
动脑想一想
证明：在△ADC和△ABC 中 AB=AD（已知） AC=AC（公共边相等）
角分线上的点到角两边的距离相等
A D
∵OC平分∠AOB，
O
P C PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD=PE
EB
动脑想一想
• 如图，要在S区建一个集贸中心，使它到铁路、公路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处 500m，这个集贸中心应建在哪里？
动脑想一想
• 角分线上的点到角两边的距离相等。 • 到角的两边的距离相等的点是否也在角的

《角的平分线的性质》PPT优质课件

E B
∴∠AOP=∠BOP （全等三角形的对应角相等）.
∴点P在∠AOB的平分线上.
探究新知
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE. O ∴点P 在∠AOB的平分线上.
O
这个点应该在角的平分线
S
探究新知
知识点 1 角平分线的判定
叙述角平分线的性质定理.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
回几何语言描述：∵ OC平分∠AOB，且PD⊥OA， PE⊥OB.
顾旧知
∴ PD= PE. 不必再证全等
A D
P到OA的距离PD
C P
P是角平分线上的点
O
E
B P到OB的距离PE.
证明：∵OD平分∠AOB，∠1＝∠2，又∵OA＝OB，OD＝OD， ∴△AOD≌△BOD，∴∠3＝∠4，又∵PM⊥DB，PN⊥DA， ∴PM＝PN.(角平分线上的点到角两边的距离相等)
探究新知
素养考点 2 利用角平分线的性质求线段的长度
例2 如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB， PE⊥AC，垂足分别是D,E，PD=4cm，则PE=___4___cm.
探究新知
猜想证明
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D,E，
PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上.
证明：作射线OP，∵PD⊥OA，PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°，
D
A
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，

人教八年级数学上册《角的平分线的判定》(共18张)

等于2 cm，则Q 在∠AOB 的平分线上．( ) √
A
M
Q
O
ห้องสมุดไป่ตู้
N
B
应用角平分线性质定理的逆定理
2．在问题1中，在S 区建一个集贸市场，使它到公路与铁路的距离相等．
（1）这个集贸市场应建于何处？这样的集贸市场可建多少个？
应用角平分线性质定理的逆定理
2．在问题1中，在S 区建一个集贸市场，使它到公路与铁路的距离相等．
学习重点：角平分线性质定理的逆定理．
引言
问题1 如图，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路，铁路的距离相等，并且距离公路与铁路的交叉处500m
，请你帮忙设计一下，这个集贸市场应建于何（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？
探索并证明角平分线的性质定理的逆定理
问题2 交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？
（1）这个集贸市场应建于何处？这样的集贸市场可建多少个？
（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）
应用角平分线性质定理的逆定理
2．在问题1中，在S 区建一个集贸市场，使它到公路与铁路的距离相等．
（3）如图，点P是△ABC的两条角平分线BM， CN 的交点，点P 在∠BAC的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
探索并证明角平分线的性质定理的逆定理
追问1 你能证明这个结论的正确性吗？
探索并证明角平分线的性质定理的逆定理
追问2 这个结论与角的平分线的性质在应用上有什么不同？
这个结论可以判定角的平分线，而角的平分线的性质可用来证明线段相等．

初中数学《角平分线的性质》优质课件

M
B
D P
N C
∴ △AMP ≌ △ANP（AAS） ∴PM=PN
角平分线的性质1
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
M
B
（1）AD为角的平分线；（2）点P在该平分线上； A
D P
（3）PM⊥AB PN⊥AC
符号语言：
N C
∵AD平分∠BAC ，PM⊥AB ， PN⊥AC
∴PM=PN
作用：判断线段相等的依据.
练习一：判断正误，并说明理由：
1.如图，P是∠AOB的平分线OC上的一点，D、E分
别在OA、OB上，则PD=PE .
(×)
2.如图，P在射线OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，
PE=PF.
A
D
O
O
PC
E B
（1题）
A D
PC
E B
（2题）
(× )
3.如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，若P到 OA 的距离为3cm，则P到OB的距离边为3cm.( √ )
B
A
D
C
结论：角是轴对称图形，角的平分线所在的
直线是它的对称轴.
活动二：探索角平分线的第一个性质
请同学们在刚才折出的角平分线AD上，任意取一点 P，
通过尺规作图，过点 P 作 PM⊥AB，PN⊥AC，垂足分
别是点 M，N，用圆规比较 PM 与 PN 的大小，你有什
么发现？说明你的理由.
M
B
D
A
P
N C
结论：角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等.
已知：AD是∠BAC的角平分线,点P是AD上任意一点，
PM⊥AB，PN⊥AC.求证：PM=PN

八年级数学《尺规作图-角平分线、垂线和中垂线》课件

2、试把一个钝角四等分。
3、任意画一个三角形，画出三个内角的角平分线.（不写画法，保留作图痕迹）
4、已知：角∠α，线段m。求作：等腰三角形△ABC，使其顶角
∠BAC=∠α， ∠BAC的平分线为m。
2、经过一点作已知直线的垂线
1、如图，点C在直线上，试过点C画出直线的垂线。
2、如图，如果点C不在直线上，试和同学讨论，应采取怎样的步骤，过点C画出直线的垂线？
2题的作法：
（1）任取一点M，使点M和点C在的两侧；（2）以C点为圆心，以CM长为半径画弧，交
于A、B两点；（3）分别以A、B两点为圆心，以大于 1 AB
长为半径画弧，两弧相交于D点； 2 （4）过C、D两点作直线CD。
所以，直线CD就是所求作的。
练习
1、如图，过点P画∠O 两边的垂线.
2、如图，画 △ABC 边 BC 上的(第高1 题.)
第19章全等三角形 19.3 尺规作图
基本作图
❖在几何里,把限定用直尺和圆规来画图,称为尺规作图.最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图.
❖ 其中,直尺是没有刻度的;
❖ 一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的. 以前学过的”作一条线段等于已知线段”,就是一种基本作图.
❖ 下面介绍几种基本作图:
（第 2 题）
❖什么垂直平分线？
（过线段的中点，垂直这条线段的直线）
❖线段垂直平分线有哪些特征？
（线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；反过来，到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）
❖已知线段AB，画出它的垂直平分线.
说出你的作图思路
议一议；能否说出这种画法的依据，小组讨论交流一下。
1、平分已知角

人教版八年级数学上册《三角形的高、中线与角平分线》PPT教育课件

三角形中线的理解
∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD
∴BD= BC

CD=
BC
∴BC=2BD BC=2CD
A
B
C
D
第十页，共二十页。
三角形的重心
概念：三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。
A
F
B
E
O
D
第十一页，共二十页。
C
扩展
思考：△ABD和△ADC的面积相等吗？
∵D是BC的中点
人教版八年级数学上册《三角形的高、中线与角平分线》PPT教育课件
科
目：数学
适用版本：人教版
适用范围：【教师教学】
第十一章三角形
11.1.2 三角形的高、中
线与角平分线
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知识点回顾
问题：你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗?
分析：即过点p做已知直线l的垂线。
0
p
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
l
O
第三页，共二十页。
课堂测试
问题：过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗?
分析：即过点A点做已知对边BC的垂线。
0
A
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
B
C
O

北师大版八年级数学下册1.4角平分线角平分线的性质与判定课件

= ，
∴△ADB≌△ADC(SAS)．
∴BD＝CD.
复习训练
1．如图，视察尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ C ）
A．OE是∠AOB的平分线
B．OC＝OD
C．点C，D到OE的距离不相等
D．∠AOE＝∠BOE
2．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D，E，且PD＝PE，若
∠BAP＝20°，则∠BAC＝（ D ）
5.如图，DA⊥AC于点A，DE⊥BC于点E.若AD＝5，DE＝5，∠ACD
＝30°，则∠DCE＝（ A ）
A.30°
B．40°
C．50°
D．60°
例2
如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂
足分别是点E，F，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵点D是BC的中点，∴DB＝DC.
D，DE⊥BC于点E，若AD＝3，DC＝5，则DE＝ 3 ，CE＝ 4 ．
⁠
例1
如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.求证：EB＝FC.
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°.
= ，
解：如图，连接BD.
∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴BD平分∠ABC.

∴∠ABD＝ ∠ABC＝ ×60°＝30°.

在Rt△BDE中，DE＝，∠DBE＝30°，
∴BD＝2DE＝2 .∴BE＝ − ＝3.
基础巩固
1．如图，DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分别为点B，C，AD平分
∠BAC，BD＝2，∠BAC＝80°，则DC＝ 2 ，∠ADC＝ 50 °.

角平分线的性质课件

在数学竞赛和高考中，角平分线定理通常是必考内容，体现了它在数学教育中的重要性。
角平分线定理也被广泛应用于实际生活中，如建筑设计、机械制造和测量等领域。
角平分线定理的应用在其他学科领域中的体现
在经济学中，角平分线定理可以用于研究市场结构和市场份额。
在物理学中，角平分线定理可以用于研究物体的运动轨迹和受力分析。
CHAPTER
角平分线的历史背景和起源
角平分线的起源可以追溯到古代数学和几何学的研究。
在古埃及和古希腊时期，角平分线被用于解决几何问题，如土地
测量和建筑。
中世纪欧洲数学家进一步研究了角平分线，将其与三角形的其他
性质联
角平分线是数学中的一个基本概念，是几何学中的重要定理之一。
02 角平分线的定义与性质
CHAPTER
角平分线的定义
角平分线是一条射线，它把一个角分成两个相等的部分。
角平分线用符号“”表示，如“”表示角平分线。
角平分线的性质定理
角平分线将角的两边分为等长线段。
在角平分线上的点到角的两边的距离相等。
在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在角平分线上。
角平分线的性质解决实际问题。
对后续学习的建议和展望
加强对角平分线性质的应用练习，通过更多的实际案例和应用实践提高自己的应用能力。加强与角平分线相关的其他几何性质的学习和研究，为后续的学习和实践打下坚实的基础。
通过参加数学竞赛、学术交流等活动，提高自己的数学素养和应用能力。
谢谢
THANKS
面积等。
03
利用角平分线定理解决立体几何问题
在立体几何中，角平分线定理可以用来解决一些与角度、距离相关的问
题。
04 角平分线在三角函数中的应用

北师大版八年级数学下册1.4角平分线课件

只需作出两个角的平分线,第三个角的平分线必过这两
条角平分线的交点.
3.利用面积法求距离的方法:三角形角平分线交点与三
个顶点的连线,把原三角形分割成了三个小三角形,利用
小三角形的面积之和等于原三角形的面积,是求角平分
线交点到三边距离的常用方法.
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠B的平分线与∠C的外角的
∴点F在∠DAE的平分线上.
3.证明(1)∵P是∠AOB平分线上的一
点,PC⊥OA,PD⊥OB,∴PC=PD.
又∵OP=OP,∴Rt△OCP≌Rt△ODP.
∴OC=OD.
(2)∵OC=OD,∠COP=∠DOP,
∴OP是CD的垂直平分线.
4.解(1)如图,作∠BAC的角平分线AF或作∠BAC的外角
∠CAE的外角平分线AN,则直线AF或直线AN上任意一点
的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上,BD=DF.
求证：CF=EB.
证明：∵AD平分∠CAB,
A
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,
∴
CD＝DE (角平分线的性质).
在Rt△CDF和Rt△EDB中,
CD=ED（已证）,
DF=DB （已知）,
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL).
F
C
∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）.
∴ QD＝QE
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC
的平分线,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF.
求证:(1)CF=EB;
(2)AB=AF+2EB.
证明:(1)∵AD是∠BAC的平分线
,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DE=DC.
∵在Rt△DCF和Rt△DEB中,