可化为分一元一次方程的分式方程的解法
可化为一元一次方程的分式方程(教案)
可化为一元一次方程的分式方程教材分析1本章是学生已掌握了整式的四则运算，多项式的因式分解的基础上，通过对比分数的知识来学习的，包括分式的概念，分式的基本性质，分式的四则运算，这一章的内容对于以后的公式变形以及可化为一元二次方程的分式方程、函数等内容的学习都是一本章为基础的。
所以学好本节内容能为以后的进一步学习奠定良好基础。
2可化为一元一次方程的分式方程是在学生已熟练地掌握了一元一次方程的解法,分式四则运算等有关知识的基础进行学习的.它既可看着是分式有关知识在解方程中的应用;也可看着是进一步学习研究其它分式方程的基础(可化为一元二次方程的分式方程).同时学习了分式方程后也为解决实际问题拓宽了路子,打破了列方程解应用题时代数式必须是整式这一限制.教学重点、难点1．教学重点：(1)可化为一元一次方程的分式方程的解法．(2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想．2教学难点：理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法，明确分式方程验根的必要性。
教学目标知识目标1．使学生理解分式方程的意义．2．使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法．3．了解解分式方程时可能产生增根的原因，并掌握解分式方程的验很方法．4．在学生掌握了分式方程的一般解法和分式方程验根方法的基础上，使学生进一步掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，使学生熟练掌握解分式方程的技巧．5．通过学习分式方程的解法，使学生理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．能力目标1培养学生将实际问题转化为数学问题的能力2培养学生观察、比较、抽象、概括的能力3训练学生思维的灵活性德育目标1激发学生的内在动机2养成良好的学习习惯教学手段演示法和同学练习相结合，以练习为主教学过程设计：教学过程(一)复习及引入新课1．提问：什么叫方程？什么叫方程的解？答：含有未知数的等式叫做方程．使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的（二）问题情境导入问题：轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。
青岛版数学八年级上册3.7《可化为一元一次方程的分式方程》教学设计1
青岛版数学八年级上册3.7《可化为一元一次方程的分式方程》教学设计1一. 教材分析《可化为一元一次方程的分式方程》是青岛版数学八年级上册3.7的内容。
这部分内容是在学生已经掌握了分式的概念、分式的运算、分式方程的解法等知识的基础上进行学习的。
本节课的主要内容是引导学生理解并掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，培养学生解决实际问题的能力。
教材通过生活中的实际问题引出分式方程，让学生体会数学与生活的紧密联系，提高学生学习数学的兴趣。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力，对于分式的相关知识也有一定的掌握。
但是，学生在解决实际问题时，往往不能很好地将实际问题转化为数学问题，对于分式方程的解法也有一定的局限性。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习需求，引导学生将实际问题转化为数学问题，并通过举例、讲解等方式，帮助学生理解和掌握分式方程的解法。
三. 教学目标1.理解可化为一元一次方程的分式方程的概念，掌握其解法。
2.能够将实际问题转化为数学问题，并运用所学的知识解决实际问题。
3.提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
4.培养学生学习数学的兴趣。
四. 教学重难点1.重点：理解可化为一元一次方程的分式方程的概念，掌握其解法。
2.难点：将实际问题转化为数学问题，并运用所学的知识解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实际问题，引导学生理解并掌握分式方程的解法。
2.案例教学法：通过举例、讲解等方式，帮助学生理解和掌握分式方程的解法。
3.问题驱动法：引导学生将实际问题转化为数学问题，并运用所学的知识解决实际问题。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示生活中的实际问题和相关的例题。
2.教学案例：准备一些生活中的实际问题和相关的例题，用于讲解和练习。
3.教学素材：准备一些与本节课相关的学习素材，以便学生在课后进行自主学习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的实际问题，引导学生思考并提出问题。
3.7可化为一元一次方程的分式方程(2)
试一试 解方程：
1 4 2 程两边同乘最简公分母（x+2)(x-2)，得
解得
检验：把x=2代入原方程，方程两边的分式的分母 0 都为 ，这样的分式 无意义 ，因此， 根 x=2不是原方程的 ，我们称它为原方程 的 增根 .从而原分式方程无解。
增根：使分母为零的根
2、验根的方法？
(1)代入原方程检验 (2)代入最简公分母检验 (3)代入各分母检验，如果其中至少 一个分母的值为0，就可以判定是方程 的增根
作业：
教材P108 习题 2（2）、3.
P108综合练习 9（1）、（3）。
•数学来源于生活 •生活离不开数学
【学习目标】： 1、熟练掌握可化为一元一次方程的 分式方程的解法. 2、理解增根的概念，了解增根产生 的原因，知道解分式方程须验根并掌 握验根的方法.
解分式方程的一般步骤
分式方程
去分母
整式方程
解整式方程
一化 二解 三检验
X=a
检验
解方程：
1 4 2 x2 x 4
解方程：
解：
1 4 2 x2 x 4
原方程可化为： 去分母得：
1 4 x 2 ( x 2)(x 2)
x+2=4 解得： x=2
（一）检验：把 经检验，x=2 x=2是增根，所以原方程无解 带入原方程，分式的分母都为0， 所以x=2增根，所以原方程无解 （二）检验：把x=2带入最简公分母(x+2)(x-2)=0， 所以x=2增根，所以原方程无解 （三）检验：把x=2带入分母x-2=0， 所以x=2增根，所以原方程无解
x2 16 2 1 x2 x 4
x 8 1 8 x7 7 x
1 3 x 3 x 13 2 6 x 1 、 2 、 23 3 x x2 2 2x x 2 4 x x42 x 2
可化为一元一次方程的分式方程
可化为一元一次方程的分式方程【教材研学】一、可化为一元一次方程的分式方程的解法1．数字系数分式方程的解法解分式方程的关键是去分母，将分式方程化为整式方程求解．去分母即在方程两边同乘以最简公分母，若分母可以分解因式，应首先分解．由整式方程得到的解，需代人最简公分母中检验，使最简公分母不为零的解，才是原方程的解；使最简公分母为零的解，是原方程的增根，应舍掉．2．含有字母系数的分式方程的解法此类方程与数字系数分式方程的解法基本相同，只是在系数化为1时．要讨论系数是否为零．3．增根增根的产生是由于在去分母时，方程两边同乘的整式恰好为零所致．是方程变形造成的，不是解题错误．方程的增根不是分式方程的根．但是增根是变形后所得到的整式方程的根．4．分式方程有增根与无解的关系不仔细推敲，会认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事．事实上并非如此． 分式方程有增根，指的是解分分式方程求出的根是原分式方程变形后所得整式方程的根，但不是原分式方程的根，即这个根使最简公分母为0．比如：方程23132--=--xx x ，可解得：x=3，而x=3是原方程的增根，此方程无解．本题中，分式方程有增根，方程无解，但并不是说只要有增根方程就无解，等大家进入高年级，学习了更多的知识，会发现有增根的分式方程并不全是无解的．问题：若关于x 的方程m x m x =-+3无解，求m 的值。
探究：（1）将分式方程去分母，整理为：（1一m）x＝一4 m．①当1一m=0，而4m≠0时方程无解．此时，m=l （依据是形如ax=b的方程在a=0，b≠0时无解）（2）如果方程①的解恰好是原分式方程的增根，原分式方程无解．根据这种思路，可先确定增根后，再求m的值．原方程若有增根，增根为x＝3，把x＝3代入方程①中，求出m＝一3．综上所述，m＝1或m＝一3时，原分式方程无解．而此分式方程有增根时，m＝一3．结论：通过本例可以发现，（1）现阶段学习的分式方程有增根时，一定无解；（2）分式方程无解，可能是因为有增根，也可能是由分式方程转化所得的整式方程ax=b中的a=0、b≠0造成的．三．分式方程的应用1．列分式方程客观世界中存在大量的问题需要用分式方程去解决，当我们掌握好相关的知识和方法后，就可以运用它们分析和解决实际问题．此类题目接近生活，取材广泛，做题时，要注意题目的情境，弄清是行程问题、增长率问题等中的哪一类，当然也有一些跨学科的综合题，比如：杠杆问题等，无论哪一类都要根据相关的基本量寻找关系．2．列分式方程解应用题的一般步骤：①弄清题意；②设未知数，列出有关的代数式；③依题意找等量关系，列出分式方程；④解方程；⑧检验：一方面要检验所求出的解是否为原方程的根，另一方面还要检验所求的解是否符合实际意义；⑥答。
可化为一元一次方程的分式方程(讲课)
PART 02
分式方程的概念和形式
REPORTING
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定义与分类
定义
分式方程是含有分式的方程。
分类
按照分式方程的分母，可以分为有理分式方程和无理分式方程。
分式方程的解法概述
去分母
将分式方程转化为整式方程， 是解分式方程的基本步骤。
转化为一元一次方程
通过去分母，将分式方程转化 为简单的一元一次方程，便于 求解。
表示和求解。
供需关系问题
在市场经济中，分式方程可以用 来描述供需关系，例如需求量等 于价格乘以需求量，可以通过分
式方程来表示和求解。
日常生活中的应用
01
购物问题
在日常生活中，我们经常遇到购物打折、优惠等问题，可以通过建立分
式方程来计算最优的购买方案。
02
旅游行程安排
在旅游行程安排中，分式方程可以用来描述时间、路程和速度之间的关
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物理问题中的应用
速度、时间和距离问题
分式方程在物理中常用于描述速度、时间和距离 过分式方程来表示和求解。
力学问题
在力学中，分式方程可以用来描述力的作用关系，例如在 斜面上物体的运动，可以通过建立分式方程来求解物体的 加速度和斜面的角度。
01
变种一
系数变化型
02
变种二
未知数个数增加型
03
变种三
条件限制型
04
变种四
多步骤运算型
THANKS
感谢观看
REPORTING
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电学问题
在电学中，分式方程可以用来描述电流、电压和电阻之间 的关系，例如欧姆定律可以用分式方程来表示和求解。
可化为一元一次方程的分式方程
分式方程的解法及应用【要点梳理】要点一、分式方程的概念★分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 【例1】下列方程中，是分式方程的是（ ）．A ．B ．C ．D ．，（，为非零常数） 【变式1.1】下列方程中，是分式方程的是（ ） A ．13+x 2=1 B ．x +1x=2C ．2x ＝x ﹣5D ．x ﹣4y ＝1【变式1.2】下列关于x 的方程中，不是分式方程的是（ ） A ．1x =2B ．2x 3=3πC ．1x−1=4xD ．x 2−1x+1=2【变式1.3】下列关于x 的方程是分式方程的为（ ）A ．3+x2−x =2+x5B ．12+x =1−2x C ．xπ+1=2−x3D ．2x−17=x2要点二、分式方程的解法★解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程. ★解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【例2】解分式方程（1）22151210=-+-x x ；（2）013522=--+xx x x3214312x x +--=124111x x x x x -+-=+--21305x x +=x ax a b+=a b【变式2.1】解方程：要点三、解分式方程产生增根的原因★方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.★产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.【例3】若解关于x 的分式方程234222+=-+-x x mx x 会产生增根，求m 的值． 【变式3.1】如果方程xxx --=++21321有增根，那么增根是________．要点四、分式方程的应用★分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行：（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数；（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程；（5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案.【例4】甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．求甲、乙两班每小时各种多少棵树?典型例题题型一：分式方程的定义【练习1.1】下列方程中，是分式方程的是（ ） A ．13+x 2=1B ．x +1x =2C ．2x ＝x ﹣5D ．x ﹣4y ＝1【练习1.2】下列关于x 的方程中，不是分式方程的是（ ） A ．1x =2B ．2x 3=3πC ．1x−1=4xD ．x 2−1x+1=2【练习1.3】下列关于x 的方程是分式方程的为（ ） A ．3+x2−x =2+x5 B ．12+x=1−2x21233x x x-=---C ．xπ+1=2−x3D ．2x−17=x2【练习1.4】下列关于x 的方程中，是分式方程的是（ ）A ．2+x5−3=3+x6B ．x a−a b−xbC ．x−17+a=3﹣xD ．(x−1)2x−1=1【练习1.5】下列关于x 的方程：1x+x ＝1，x3+3x 4=25，1x−1=4x，x 2−1x+1=2中，分式方程的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【练习1.6】下列关于x 的方程①x−13=5，②1x =4x−1，③3−x 3=x ﹣1，④x a=1b−1中，是分式方程的有（ ）个． A ．1B ．2C ．3D ．4【练习1.7】有下列方程：①2x +x−15=10；②x −1x =2；③12x+1−3=0；④2x 3+x−12=0．属于分式方程的有（ ） A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④【练习1.8】在下列各式中，是关于x 的分式方程的是（ ） A ．2x ﹣3y ＝0B ．x+12−3=2x 7C ．x+1x−2+3 D ．3x−2=5x【练习1.9】下列各式中是分式方程的是（ ） A ．1xB ．x 2+1＝yC ．x2+1＝0D ．1x−1=2【练习1.10】下列关于x 的方程中，是分式方程的是（ ） A ．3x =12B ．1x=2C ．x+25=3+x 4D ．3x ﹣2y ＝1【练习1.11】下列关于x 的方程是分式方程的是（ ） A ．x+12−1=2+x 3B ．x−13+a=2−xC ．xm−1=n mD ．(x−1)2x−1=1【练习1.12】下列方程是分式方程的是（ ） A ．x−b a =2−x−a b（a ，b 为常数）B ．x +1x =c +1c （c 为常数）C ．x +b 2=5（b 为常数）D ．x+12=3【练习1.13】在下列关于x 的方程中分式方程的个数有（ ）①12x 2−23x +4＝0；②x a =4；③a x =5；④x 2−9x+3=1；⑤1x+2=6；⑥2x−13=x +7．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【练习1.14】下列关于x 的方程中，属于分式方程的个数是（ ）①−12x 3+3x ＝0； ②x b 2+b ＝1； ③1x 2−1＝2； ④x x +x 24=6．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个．【练习1.15】下列方程不是分式方程的是（ ） A ．x−3x=1B ．xx+1+1x−1=1C ．3x+4y=2D ．12−x−23=x【练习1.16】在方程x+53=7，−2x =2，1π+x =12，x−12=x−13+4，3x+9x=1中，分式方程有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【练习1.17】在下列各式①x 2﹣x +1x ；②1a−3＝a +4；③x 2+5x ＝6；④20x−y+10x+y=1中，是分式方程的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【练习1.18】下列是关于x 的分式方程的是（ ）A ．x+24−3=3+x6B ．x−7a+7=3﹣x C ．x a−x b=1D ．2x x 2+2=5【练习 1.19】下列方程：①x5=2；②5x=2；③y =23x ；④1+x 5+x=12；⑤y +1=2y ；⑥1+3（x ﹣2）＝7﹣x ；⑦y 2﹣3=y3．其中，分式方程有（ ）个． A ．1B ．2C ．3D ．4【练习1.20】观察分析下列方程：①x +2x =3；②x +6x =5；③x +12x =7，请利用他们所蕴含的规律，写出这一组方程中的第n 个方程是 ．题型二：解分式方程 【练习2.1】解分式方程2x−1+x+21−x=3时，去分母后变形为（ ）A ．2+（x +2）＝3（x ﹣1）B ．2﹣x +2＝3（x ﹣1）C ．2﹣（x +2）＝3（1﹣x ）D ．2﹣（x +2）＝3（x ﹣1）【练习2.2】解分式方程2x+1+3x−1=6x 2−1，分以下四步，其中，错误的一步是（ ）A ．方程两边分式的最简公分母是（x ﹣1）（x +1）B ．方程两边都乘以（x ﹣1）（x +1），得整式方程2（x ﹣1）+3（x +1）＝6C ．解这个整式方程，得x ＝1D ．原方程的解为x ＝1【练习2.3】已知点P （1﹣2a ，a ﹣2）关于原点的对称点在第一象限内，且a 为整数，则关于x 的分式方程x+1x−a=2的解是（ ） A ．5B ．1C ．3D ．不能确定【练习2.4】解分式方程1x−2−3=42−x时，去分母可得（ ） A ．1﹣3（x ﹣2）＝4 B ．1﹣3（x ﹣2）＝﹣4 C ．﹣1﹣3（2﹣x ）＝﹣4 D ．1﹣3（2﹣x ）＝4【练习2.5】方程2x+3=1x−1的解为（ ）A ．x ＝3B ．x ＝4C ．x ＝5D ．x ＝﹣5【练习2.6】解分式方程1−x x−2=12−x−2时，去分母变形正确的是（ ）A ．﹣1+x ＝﹣1﹣2（x ﹣2）B ．1﹣x ＝1﹣2（x ﹣2）C ．﹣1+x ＝1+2（2﹣x ）D ．1﹣x ＝﹣1﹣2（x ﹣2）【练习2.7】解分式方程x 2x−1+21−2x=3时，去分母化为一元一次方程，正确的是（ ）A ．x +2＝3B ．x ﹣2＝3C ．x ﹣2＝3（2x ﹣1）D ．x +2＝3（2x ﹣1）【练习2.8】对于实数a 、b ，定义一种新运算“ⓧ”为：a ⓧb =3a 2−ab，这里等式右边是通常的四则运算，若（﹣3）ⓧx ＝2，则x 的值为（ ） A ．﹣2B ．−52C ．52D ．−72【练习2.9】方程2−x x−5−35−x=0的解为（ ）A ．﹣2B ．2C ．5D ．无解【练习2.10】对于非零实数a 、b ，规定a ⊗b =2a b −1a．若x ⊗（2x ﹣1）＝1，则x 的值为（ ） A ．1B ．13C ．﹣1D ．−13【练习2.11】对于非零的实数a 、b ，规定a ⊕b =1b −1a．若2⊕（2x ﹣1）＝1，则x ＝（ ） A ．56B ．54C ．32D ．−16【练习2.12】把分式方程1x−2−1−x 2−x=1的两边同时乘以（x ﹣2），约去分母，得（ ）A ．1﹣（1﹣x ）＝1B ．1+（1﹣x ）＝1C ．1﹣（1﹣x ）＝x ﹣2D ．1+（1﹣x ）＝x ﹣2【练习2.13】方程2x+2=1x−1解是（ ）A ．x =43B ．x ＝4C ．x ＝3D ．x ＝﹣4【练习2.14】分式方程1x−3+1=x3−x 的解为（ ）A ．无解B ．x ＝1C ．x ＝﹣1D ．x ＝﹣2【练习2.15】分式方程2x−3=3x的解是 ．【练习2.16】对于实数a ，b 定义一种新运算“⊗”：a ⊗b =1a−b2，例如，1⊗3=11−32=−18．则方程x ⊗2=2x−4−1的解是 ． 【练习2.17】分式7x−2与x 2−x的和为4，则x 的值为 ．【练习2.18】分式方程1x−2=3x的解是 ．【练习2.19】定义：a *b =ab，则方程2*（x +3）＝1*（2x ）的解为 ． 【练习2.20】分式方程1x+2−3x x 2−4=0的解为x ＝ ． 【练习2.21】分式方程3−2x x−2+22−x =1的解为 ． 【练习2.22】分式方程4x+1x 2−1−52(x−1)=1的解为【练习2.23】分式方程3x+1=2x的解是 ．【练习2.24】若代数式6x+2与4x 的值相等，则x ＝ ．【练习2.25】方程x−3x=xx+1的解是 ．【练习2.26】关于x 的分式方程2x−1−1x+1=11−x的解是 ．【练习2.27】分式方程5x =7x−2的解是x ＝ ．【练习2.28】对两个不相等的实数根a 、b ，我们规定符号max {a ，b }表示a 、b 中较大的数，如：max {2，4}＝4，按照这个规定：方程max {x ，﹣x }=2x+1x的解为 ． 【练习2.29】对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号max {a ，b }表示a ，b 中的较大值，如max {﹣3，4}＝4，按照这个规定，方程max {x ，﹣x }=3x+2x的解为 ． 【练习2.30】在正数范围内定义一种运算“△”，其规则是a △b =1a +1b，根据这一规则，方程x △（x +1）=32的解是 ． 【练习2.31】分式方程x x−1=32(x−1)−2的解为 ．【练习2.32】解方程：x x+1=2x 3x+3+1．2−x x−3=13−x−2． x x−1−2x−1x 2−1=1． 1x+2+4x x 2−4−2x−2=1．x x−1−1=2x3x−3． 4x 2−1+1=x−1x+1．2x−1=4x 2−1x−3x−2+1=32−x ．题型三：分式方程的解 【练习3.1】关于x 的分式方程2x−a x+1=1的解为正数，则字母a 的取值范围为（ ）A ．a ≥﹣1B ．a ＞﹣1C ．a ≤﹣1D ．a ＜﹣1【练习3.2】若关于x 的方程ax x−2=4x−2+1无解，则a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．0或2【练习3.3】已知关于x 的分式方程mx−1+31−x=1的解是非负数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞2B ．m ≥2C ．m ≥2且m ≠3D ．m ＞2且m ≠3【练习3.4】已知方程3−aa−4−a =14−a ，且关于x 的不等式组{x ＞a x ≤b只有4个整数解，那么b 的取值范围是（ ） A ．﹣1＜b ≤3B ．2＜b ≤3C ．8≤b ＜9D ．3≤b ＜4【练习3.5】若关于x 的方程x+m x−3+3m 3−x=3的解为正数，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜92 B ．m ＜92且m ≠32C ．m ＞−94D ．m ＞−94且m ≠−34【练习3.6】关于x 的方程3x−2x+1=2+mx+1无解，则m 的值为（ ）A ．﹣5B ．﹣8C ．﹣2D ．5【练习3.7】若方程3x+3=2x+k的根为正数，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＜2B ．﹣3＜k ＜2C ．k ≠﹣3D ．k ＜2且 k ≠﹣3【练习3.8】若关于x 的一元一次不等式组{x −14(4a −2)≤123x−12＜x +2的解集是x ≤a ，且关于y 的分式方程2y−a y−1−y−41−y=1有非负整数解，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．0B ．1C ．4D ．6【练习3.9】已知关于x 的分式方程m−2x+1=1的解是负数，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≤3B ．m ≤3且m ≠2C ．m ＜3D ．m ＜3且m ≠2【练习3.10】已知关于x 的分式方程m x−1=1的解是非负数，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≥1B ．m ≤1C ．m ≥﹣1且m ≠0D ．m ≥﹣1【练习3.11】关于x 的分式方程2x+a x+1=1的解为负数，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＞1B ．a ＜1C ．a ＜1且a ≠﹣2D ．a ＞1且a ≠2【练习3.12】若关于x 的方程ax x−2=4x−2+1无解，则a 的值是 ．【练习3.13】若关于x 的分式方程2m+x x−3−1=2x 无解，则m 的值 ． 【练习3.14】若关于x 的方程1x−4+m x+4=m+3x 2−16无解，则m 的值为 ．【练习3.15】已知关于x 的方程2x+m x−2=3的解是正数，则m 的取值范围是 ． 【练习3.16】若关于x 的分式方程x+m x−2+2m 2−x=3的解为正实数，则实数m 的取值范围是 ．【练习3.17】关于x 的分式方程x+k x+1+2x x+1=1的解为非正数，则k 的取值范围是 ． 【练习3.18】若关于x 的分式方程xx−3+3a 3−x=2a 无解，则a 的值为 ．【练习3.19】若关于x 的方程ax+1x−1−1=0的解为正数，则a 的取值范围是 ．【练习3.20】已知关于x 的分式方程xx−3−2=kx−3有一个正数解，则k 的取值范围为 ． 【练习3.21】若关于x 的方程axx−1=3x−1+1无解，则a 的值是 ．【练习3.22】若数a 使关于x 的不等式组{x−12＜1+x35x −2≥x +a有且只有四个整数解，且使关于y的方程y+a y−1+2a 1−y=2的解为非负数，则符合条件的所有整数a 的和为 ．【练习3.23】关于x 的方程3−2x x−3+2+mx 3−x=−1无解，则m ＝ ．【练习3.24】已知关于x 的方程：2xx+3=mxx+3−2．（1）当m 为何值时，方程无解． （2）当m 为何值时，方程的解为负数．【练习3.25】（1）解下列方程：①x +2x =3根为 ；②x +6x =5根为 ；③x +12x=7根为 ； （2）根据这类方程特征，写出第n 个方程为 ，其根为 ．（3）请利用（2）的结论，求关于x 的方程x +n 2+nx−3=2n +4（n 为正整数）的根．【练习3.26】若关于x 的分式方程xx−3+3a3−x =2a 无解，求a 的值．【练习3.27】已知关于x 的方程x x+1+x+1x=4x+ax(x+1)只有一个实数根，求实数a 的值． 【练习3.28】已知关于x 的分式方程2x−1+mx(x−1)(x+2)=1x+2，若方程无解，求m 的值．【练习3.29】若关于x 的分式方程2m+x x−3−1=2x 无解，求m 的值．【练习3.30】已知关于x 的方程xx−3−2=mx−3解为正数，求m 的取值范围．【练习3.31】若关于x 的分式方程2x−2+mx x 2−4=3x+2无解，求m 的值．【练习3.32】关于x 的分式方程x−5x−3=m 3−x的解为正数，求m 的取值范围．题型四：分式方程的增根 【练习4.1】若分式方程3x−a x 2−2x+1x−2=2x有增根，则实数a 的取值是（ ）A ．0或2B ．4C ．8D ．4或8【练习4.2】关于x 的方程x−1x−3=2+kx−3有增根，则k 的值为（ ）A ．±3B ．3C ．﹣3D ．2【练习4.3】分式方程xx−1−1=m (x−1)(x+1)有增根，则m 的值为（ ） A ．0和2B ．1C ．1和﹣2D ．2【练习4.4】若关于x 的分式方程x+m 4−x 2+x x−2=1无解，则m 的值是（ ） A ．m ＝2或m ＝6B ．m ＝2C ．m ＝6D ．m ＝2或m ＝﹣6【练习4.5】若关于x 的分式方程3x−4+x+m 4−x=1有增根，则m 的值是（ ） A ．m ＝0或m ＝3B ．m ＝3C ．m ＝0D ．m ＝﹣1【练习4.6】若关于x 的分式方程m+1x−1=x 1−x有增根，则m 的值是（ ） A ．m ＝﹣1B ．m ＝1C ．m ＝﹣2D ．m ＝2【练习4.7】若关于x 的分式方程3x−4+x+m 4−x=1有增根，则m 的值是（ ） A ．m ＝0B ．m ＝﹣1C ．m ＝0或m ＝3D ．m ＝3【练习4.8】若分式方程1x−2+3=a+1x−2有增根，则a 的值是（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2【练习4.9】若分式方程x x−4=2+ax−4有增根，则a 的值为（ ） A ．4B ．2C ．1D ．0【练习4.10】若解分式方程2x x+1−m+1x 2+x=x+1x产生增根，则m 的值是（ ） A ．﹣1或﹣2B ．﹣1或2C ．1或2D ．1或﹣2【练习4.11】关于x 的分式方程m x−2−32−x=1有增根，则m 的值为（ ）A ．m ＝2B ．m ＝1C ．m ＝3D ．m ＝﹣3【练习4.12】分式方程xx−3+1=mx−3有增根，则m 为（ ）A ．0B ．1C ．3D ．6【练习4.13】如果关于x 的分式方程4x−3=1+mx−3有增根，则m 的值为（ ）A ．﹣3B ．3C ．4D ．10【练习4.14】解关于x 的方程x x−1−k x 2−1=x x+1不会产生增根，则k 的值是（ ）A ．2B ．1C ．k ≠2且k ≠一2D ．无法确定【练习4.15】关于x 的分式方程x−2x+3=2−ax+3有增根，则a 的值为（ ） A ．﹣3B ．﹣5C ．5D ．2【练习4.16】关于x 的方程x−1x−3=k x−3有增根，则k 的值是（ ）A ．2B ．3C ．0D ．﹣3【练习4.17】若关于x 的分式方程2x−1+a 1−x=1有增根，则a 的值是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．0或2【练习4.18】若关于x 的方程ax+1x−1=1有增根，则a ＝（ ）A ．﹣1B ．﹣3C ．1D ．3【练习4.19】若关于x 的分式方程mx−2=1−x 2−x−3有增根，则实数m 的值是 ． 【练习4.20】当m ＝ 时，解分式方程x−5x−3=m 3−x会出现增根．【练习4.21】关于x 的分式方程2x−1+kx x 2−1=3x+1会产生增根，则k ＝ ．【练习4.22】若分式方程xx−1−m 1−x =2有增根，则这个增根是 ． 【练习4.23】若关于x 的分式方程xx−2+2m 2−x=2m 有增根，则m 的值为 ．【练习4.24】已知关于x 的分式方程2x−2+mx x 2−4=0有增根且m ≠0，则m ＝ ．【练习4.25】若关于x 的方程1x−2+x+m 2−x =1有增根，则m 的值是【练习4.26】如果关于x 的分式方程m x−2−2x 2−x=1有增根，那么m 的值为 ．【练习4.27】若关于x 的分式方程x+m x−2+3m 2−x=2有增根，则m 的值为 ．【练习4.28】若关于x 的方程x+2x−1=m+1x−1产生增根，则m ＝ ．【练习4.29】关于x 的分式方程7x x−1+5=2m−1x−1有增根，则m 的值为 ．【练习4.30】若分式方程mx−3=2x−3+1有增根，则m ＝ ． 【练习4.31】m ＝ 时，方程x x−3−2=m x−3会产生增根．【练习4.32】若关于x 的分式方程2x−5+x−a 5−x =7有增根，则a 的值为 ． 【练习4.33】若关于x 的分式方程xx−2−x−a 2−x=1有增根，则a 的值 ．【练习4.34】若分式方程1x−3+1=a−xx−3有增根，则a 的值是 ．【练习4.35】（1）若解关于x 的分式方程2x−2+mx x 2−4=3x+2会产生增根，求m 的值．（2）若方程2x+a x−2=−1的解是正数，求a 的取值范围．【练习4.36】解关于x 的方程x+1x+2−x x−1=kx+2(x−1)(x+2)时产生了增根，请求出所有满足条件的k 的值．【练习4.37】小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：？x−2+3=12−x．（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x ＝2，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？ 【练习4.37】解方程：1x−2−1=4x 2−4．【练习4.39】关于x 的方程2x+1+51−x=m x 2−1去分母转化为整式方程后产生增根，求m 的值．题型五：换元法解分式方程【练习5.1】阅读下面材料，解答后面的问题 解方程：x−1x−4x x−1=0．解：设y =x−1x ，则原方程化为：y −4y =0，方程两边同时乘y 得：y 2﹣4＝0， 解得：y ＝±2，经检验：y ＝±2都是方程y −4y =0的解，∴当y ＝2时，x−1x=2，解得：x ＝﹣1，当y ＝﹣2时，x−1x=−2，解得：x =13，经检验：x ＝﹣1或x =13都是原分式方程的解，∴原分式方程的解为x ＝﹣1或 x =13．上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： （1）若在方程x−14x −xx−1=0中，设y =x−1x ，则原方程可化为： ； （2）若在方程x−1x+1−4x+4x−1=0中，设y =x−1x+1，则原方程可化为： ； （3）模仿上述换元法解方程：x−1x+2−3x−1−1=0．【练习5.2】阅读下面材料，解答后面的问题 解方程：x−1x−4x x−1=0．解：设y =x−1x ，则原方程化为：y −4y =0， 方程两边同时乘以y 得：y 2﹣4＝0，解得：y ＝±2， 经检验：y ＝±2都是方程y −4y=0的解， ∴当y ＝2时，x−1x=2，解得：x ＝﹣1；当y ＝﹣2时，x−1x=−2，解得：x =13，经检验：x ＝﹣1或x =13都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x ＝﹣1或 x =13． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题：（1）若在方程x−1x+1−4x+4x−1=0中，设y =x−1x+1，则原方程可化为： ； （2）模仿上述换元法解方程：x−1x+2−3x−1−1＝0．【练习5.3】用换元法解方程x 2−12x −4x x 2−12=3时，设x 2−12x =y ，则原方程可化为（ ）A ．y −1y−3＝0B ．y −4y−3＝0C ．y −1y+3＝0 D ．y −4y+3＝0【练习5.4】用换元法解方程3x x 2−1+x 2−1x=52时，如果设xx 2−1=y ，则原方程可化为（ ）A ．y +1y=52B ．2y 2﹣5y +2＝0C ．6y 2+5y +2＝0D ．3y +1y=52【练习5.5】用换元法解方程x+1x 2+x 2x+1=2时，若设x+1x 2=y ，则原方程可化为关于y 的方程是（ ） A ．y 2﹣2y +1＝0 B ．y 2+2y +1＝0 C ．y 2+y +2＝0 D ．y 2+y ﹣2＝0题型六：有实际问题抽象出分式方程【练习6.1】“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设实际参加游览的同学共x 人，则所列方程为（ ） A ．180x −180x+2=3 B ．180x+2−180x =3 C ．180x−180x−2=3D ．180x−2−180x=3【练习6.2】九年级学生去距学校10km 的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．设骑车学生的速度为xkm /h ，则所列方程正确的是（ ） A ．10x =102x −13B ．10x =102x −20C ．10x=102x+13D ．10x=102x+20【练习6.3】A ，B 两地相距180km ，新修的高速公路开通后，在A ，B 两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A 地到B 地的时间缩短了1h ．若设原来的平均车速为xkm /h ，则根据题意可列方程为（ ） A ．180x −180(1+50%)x =1 B ．180(1+50%)x −180x =1 C ．180x−180(1−50%)x=1D ．180(1−50%)x−180x=1【练习6.4】2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x 万棵，可列方程是（ ） A ．30x−30(1+20%)x=5 B ．30x−3020%x=5C ．3020%x+5=30xD ．30(1+20%)x−30x=5【练习6.5】某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产800台所需时间与原计划生产600台机器所需时间相同．设原计划平均每天生产x 台机器，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A ．800x+50=600xB ．800x−50=600xC ．800x=600x+50D ．800x=600x−50【练习6.6】小军家距学校5千米，原来他骑自行车上学，学校为保障学生安全，新购进校车接送学生，若校车速度是他骑车速度的2倍，现在小军乘校车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同．设小军骑车的速度为x 千米/小时，则所列方程正确的为（ ） A ．5x +16=52xB ．5x−16=52xC ．5x+10=52xD ．5x−10=52x【练习6.7】施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x 米，则根据题意所列方程正确的是（ ） A ．2000x −2000x+50=2 B ．2000x+50−2000x =2C ．2000x−2000x−50=2D ．2000x−50−2000x=2【练习6.8】某校美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用240元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x 本资料，列方程正确的是（ ） A ．240x−20−120x=4 B ．240x+20−120x=4 C ．120x−240x−20=4D ．120x−240x+20=4【练习6.9】小明上月在某文具店正好用20元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜1元，结果小明只比上次多用了4元钱，却比上次多买了2本．若设他上月买了x 本笔记本，则根据题意可列方程（ ） A ．24x+2−20x=1 B ．20x−24x+2=1C ．24x−20x+2=1D ．20x+2−24x=1【练习6.10】甲、乙两船从相距300km 的A 、B 两地同时出发相向而行，甲船从A 地顺流航行180km 时与从B 地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6km /h ，若甲、乙两船在静水中的速度均为xkm /h ，则求两船在静水中的速度可列方程为（ ） A ．180x+6=120x−6B ．180x−6=120x+6C ．180x+6=120xD ．180x=120x−6【练习6.11】某工程队准备修建一条长1200m 的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20%，结果提前2天完成任务．若设原计划每天修建道路xm ，则根据题意可列方程为（ ）A ．1200(1−20%)x −1200x=2 B ．1200(1+20%)x−1200x=2C ．1200x−1200(1−20%)x=2D ．1200x−1200(1+20%)x=2【练习6.12】衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x 万千克，根据题意，列方程为（ ） A ．30x−361.5x =10 B ．30x −301.5x =10 C ．361.5x−30x=10D ．30x+361.5x=10【练习6.13】某农场开挖一条480米的渠道，开工后，实际每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x 米，那么所列方程正确的是（ ） A ．480x +480x+20=4 B ．480x −480x+4=20C ．480x−480x+20=4D ．480x−4−480x=20【练习6.14】在临桂新区建设中，需要修一段全长2400m 的道路，为了尽量减少施工对县城交通工具所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8天完成任务，求原计划每天修路的长度．若设原计划每天修路xm ，则根据题意可得方程 ． 【练习6.15】某水果店搞促销活动，对某种水果打8折出售，若用60元钱买这种水果，可以比打折前多买3斤．设该种水果打折前的单价为x 元，根据题意可列方程为 ． 【练习6.16】端午节那天，“味美早餐店”的粽子打9折出售，小红的妈妈去该店买粽子花了54元钱，比平时多买了3个，求平时每个粽子卖多少元？设平时每个粽子卖x 元，列方程为 ．【练习6.17】已知甲、乙两地间的铁路长1480千米，列车大提速后，平均速度增加了70千米/时，列车的单程运行时间缩短了3小时．设原来的平均速度为x 千米/时，根据题意，可列方程为 ．【练习6.18】2019年2月，全球首个5G 火车站在上海虹桥火车站启动，虹桥火车站中5G 网络峰值速率为4G 网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输8千兆数据，5G 网络快720秒，求这两种网络的峰值速率，设4G 网络的峰值速率为每秒传输x 千兆，依题意，可列方程为 ．【练习6.19】“复兴号”是我国具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车．“复兴号”的速度比原来列车的速度每小时快40千米，提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟，已知从北京到上海全程约1320千米，求“复兴号”的速度．设“复兴号”的速度为x 千米/时，依题意，可列方程为 ．【练习6.20】在读书活动中，某同学对甲、乙两个班学生的读书情况进行了统计：甲班学生人数比乙班学生人数多3人，甲班学生读书480本，乙班学生读书360本，乙班平均每人读书的本数是甲班平均每人读书的本数的45．求甲、乙两班各有多少人？设乙班有x 人，则甲班有（x +3）人，依题意，可列方程为 ．【练习6.21】两个小组同时从甲地出发，匀速步行到乙地，甲乙两地相距7500米．第一组的步行速度是第二组的1.2倍，并且比第二组早15分钟到达乙地．设第二组的步行速度为x 千米/小时，根据题意可列方程 ．【练习6.22】某圾处理厂日处理垃圾3600吨，实施垃圾分类后，每小时垃圾的处理量比原来提高20%，这样日处理同样多的垃圾就少用3h ．若设实施垃圾分类前每小时垃圾的处理量为x 吨，则可列方程 ．【练习6.23】某市为治理无水，需要铺设一段全长为600m 的污水排放管道，铺设120m 后，为加快施工进度，后来每天比原计划增加20m ，结果共用11天完成这一任务，求原计划每天铺设管道的长度．如果设原计划每天铺设xm 管道，那么根据题意，可列方程 ． 【练习6.24】清明节期间，初二某班同学租一辆面包车前去故宫游览，面包车的租金为600元，出发时又增加了5名同学，且租金不变，这样每个同学比原来少分摊了10元车费，若设实际参加游览的同学一共有x 人，则可列分式方程 ．【练习6.25】新型冠状病毒肺炎疫情发生后，全社会积极参与疫情防控．甲、乙两个工厂生产同一种防护口罩，甲厂每天比乙厂多生产口罩5万只，甲厂生产该种口罩40万只所用时间与乙厂生产该种口罩15万只所用时间相同，若设甲厂每天生产口罩x 万只，根据题意可列出方程： ．【练习6.26】已知A ，B 两地相距80千米，甲车从A 地到B 地，乙车从B 地到A 地，两车同时出发，已知甲车的速度比乙车的速度快15千米/时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x 千米/时，则根据题意可列方程为 ．【练习6.27】题目：为了美化环境，某地政府计划对辖区内60km 2的土地进付绿化，为了尽快完成任务，实际平均每月的绿化面积是原计划的1.5倍，结果提前2个月完成任务，求原计划平均每月的绿化面积．甲同学所列的方程为60x −601.5x=2乙同学所列的方程为60y =1.5×60y+2（1）甲同学所列方程中的x 表示 ．乙同学所列方程中的y 表示 ． （2）任选甲、乙两同学的其中一个方法解答这个题目．【练习6.28】2019年4月4日，珊瑚中学组织七年级学生乘车前往距学校130km 的大观参观．学校租用30座和48座两种客车运送学生．（1）一部分学生乘48座客车先行，出发0.5小时后，另一部分学生乘30座的客车前往，结果他们同时到达大观．已知30座客车的速度是48座客车速度的1.3倍，求48座客车的速度．解：设48座客车的速度为xkm /h ： 填写表格：s v t 48座客车 x 30座客车1.3x列出方程： ， 解： ， 答： ．（2）若学校单独租用50座客车m 辆，则有2人没有座位，则全校七年级学生人数可表示为 人．题型七：分式方程的应用【练习7.1】某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A 、B 两种不同的包装箱进行包装，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用6个；已知每个B 型包装箱比每个A 型包装箱可多装15本课外书．若设每个A 型包装箱可以装书x 本，则根据题意列得方程为（ ） A ．1080x =1080x−15+6 B ．1080x =1080x−15−6C ．1080x+15=1080x−6D ．1080x+15=1080x+6【练习7.2】某乡镇对公路进行补修，甲工程队计划用若干天完成此项目，甲工程队单独工作了3天后，为缩短完成的时间，乙工程队加入此项目，且甲、乙工程队每天补修的工作量相同，结果提前3天完成，则甲工程队计划完成此项目的天数是（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9【练习7.3】某工程队承接了60万平方米的绿化工程，由于情况有变，…．设原计划每天绿化的面积为x 万平方米，列方程为60(1−20%)x−60x=30，根据方程可知省略的部分是（ ）A ．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果提前30天完成了这一任务B ．实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%，结果延误30天完成了这一任务C ．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果延误30天完成了这一任务D ．实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%，结果提前30天完成了这一任务 【练习7.4】甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a 小时相遇；若同向而行，则b 小时后甲追上乙．那么甲的速度是乙的（ ） A ．a+b b倍 B ．ba+b倍 C ．b+a b−a倍 D ．b−a b+a倍【练习7.5】某书店在开学之初用760元购进工具书若干本，按每本20元出售，很快销售一空，据了解学生还急需2倍这种工具书，于是又用1300元购进所需工具书，由于量大每本进价比上次优惠2元，该店仍按每本20元出售，最后剩下2本按七五折卖出，这笔生意该店共赢利（ ）元． A ．1220元B ．1225元C ．1230元D ．1235元【练习7.6】一种商品原来的销售利润率是47%．现在由于进价提高了5%，而售价没变，所以该商品的销售利润率变成了 ．（注：销售利润率＝（售价﹣进价）÷进价） 【练习7.7】徐州至北京的高铁里程约为700km ，甲、乙两人从徐州出发，分别乘坐”徐州号“高铁A 与”复兴号“高铁B 前往北京．已知A 车的平均速度比B 车的平均速度慢80km /h ，A 车的行驶时间比B 车的行驶时间多40%，两车的行驶时间分别为 ．【练习7.8】某网店老板经营销售甲、乙两种款式的浮潜装备，每件甲种款式的利润率为30%，每件乙种款式的利润率为50%，当售出的乙种款式的件数比甲种款式的件数少40%时，这个老板得到的总利润率是40%；当售出的乙种款式的件数比甲种种款式的件数多80%时，这个老板得到的总利润率是．【练习7.9】某水果销售商在年末准备购进一批水果进行销售，经过市场调查，发现芒果、车厘子、奇异果、火龙果比较受顾客的喜爱，于是制定了进货方案．其中芒果、车厘子的进货量与奇异果、火龙果的进货量分别相同，而芒果、车厘子的单价与火龙果、奇异果的单价分别相同，已知芒果和车厘子的单价和为每千克180元，且芒果和车厘子的进货总价比奇异果和火龙果的进货总价多863元．由于年末资金周转不开，所以临时决定只购进芒果和车厘子，芒果和车厘子的进货量与原方案相同，且进货量总数不超过300kg，则该水果商最多需要准备元进货资金．【练习7.10】某社区计划对面积为1600m2的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成，若甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用5天．若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，规定甲乙两队单独施工的总天数不超过25天完成，且施工总费用最低，则最低费用为万元．【练习7.11】某工程队由甲乙两队组成，承包我市河东东街改造工程，规定若干天完成，已知甲队单独完成这项工程所需时间比规定时间多32天，乙队单独完成这项工程所需时间比规定时间多12天，如果甲乙两队先合作20天，剩下的甲队单独做，则延误两天完成，那么规定时间是天．【练习7.12】将三支长度相同的蜡烛A，B，C同时点燃，当蜡烛A剩一半时，蜡烛B和蜡烛C剩余部分的长度之比为28：33，当蜡烛B剩一半时，蜡烛A和蜡烛C剩余部分的长度之比为16：25，若整个燃烧过程中．每支蜡烛燃烧速度均保持不变，则当蜡烛C剩一半时，蜡烛A和蜡烛B剩余部分的长度之比为．【练习7.13】某饮品店老板新推出A、B两种囗味的饮料，其中每杯A种口味饮料的利润率为60%，每杯B种口味饮料的利润率为20%．当售出的A种口味的杯数比B种口味的杯数少50%时，这个老板得到的总利润率为36%；当售出的A种口味的杯数比B种口味的杯数多25%时，这个老板得到的总利润率为．（利润率＝利润÷成本）【练习7.14】中有公司是中国知名手机厂家，旗下的产品不仅受到国人追捧而且在国外也圈粉不少．2018年6月中有公司推出了A款手机，国内售价和国外售价分别定为3000元/部和4500元/部，且国内出货量与国外出货量之比为3：2，经核算，6月份A款手机的利润率为80%．11月份中有公司推出了更高端更智能的B款手机，已知每部B款手机的成本是每部A款手机的1.5倍，其国内售价和国外售价分别定为5000元/部和6000元/。
可化为一元一次方程的分式方程
可化为一元一次方程的分式方程一元一次方程的分式方程是一类有用的数学方程式，它可以通过将一元多项式分式化来解决复杂的表达式问题。
它的基本形式是：a/b = c，用分数的形式表示。
该方程的本质是变形，我们可以把它化成一元一次方程来解决。
首先，我们可以利用乘法来变换这个分式方程。
首先，我们将二分之一乘以a变成a/2，然后再乘以c，得到a/2 * c = b。
这样，就将分式方程变成一元一次方程a/2 * c - b = 0，即a/2c - b = 0。
接下来，我们可以利用反相法将这个方程进一步化简。
首先，我们可以把a/2c乘以2，变成2a/2c，然后用2a减去2b，得到2a/2c - 2b = 0。
这样，就将分式方程变成了一元一次方程2a - 2b = 0，即2a - 2b = 0。
最后，我们可以将这个方程进一步化简。
首先，我们可以把2a 除以2，变成a，然后用a减去b，得到a - b = 0。
这样，就将分式方程变成了一元一次方程a - b = 0，即a - b = 0，这就是最终的结果。
总之，一元一次方程的分式方程是一类重要的数学方程，它的基本形式是：a/b = c，用分数的形式表示。
我们可以通过乘法和反相法将这个方程变换为一元一次方程，从而解决复杂的表达式问题。
而且，这种变形的方法也可以应用在多元方程的解决中，这样就可以让复杂问题变得更加容易处理。
从上面的讨论可以看出，一元一次方程的分式方程是一类具有重要意义的数学方程式。
它不仅可以用来解决简单的表达式问题，而且也可以应用在多元方程中，让复杂问题变得更加容易处理。
因此，一元一次方程的分式方程受到广泛的应用，不管是在数学领域还是其他领域。
八年级数学上册 3.7 可化为一元一次方程的分式方程 分式求值五技巧素材 (新版)青岛版
分式求值五技巧求分式的值这种题型在《分式》一章中经常出现.有些求值题用一般方法直接可以解答，但有些求值题用一般的方法解起来很困难.所以我们要善于总结，寻找技巧，这样才能顺利解题.以下向同学们介绍了几种常用的技巧.一、巧用整体代换例1：已知：x+x 1=2，求x 2+21x的值. 分析：用x+x 1表示x 2+21x，用已知式整体代换所求式. 解： 由x+x 1=2可得 ⎝⎛⎪⎭⎫+21x x =4 所以x 2+21x = ⎝⎛⎪⎭⎫+21x x -2•x•x 1 =4-2=2二、巧用变形代入：例2：已知：n m =4 求 2222n mn m mn m +--的值 分析：先将求值式化简，再把已知条件变形代入. 解：由n m=4可得m=4n 代入原式，原式=)()(2n m n m m --=n m m -=n n n -44=n n 34=34 三、巧设比值代入例3：已知：2a =3b =4c 求分式222c b a ac bc ab ++++的值 分析：已知条件2a =3b =4c 为等比形式时，常设比值为k ，把a ，b ，c 都用K 来表示，这样就可以求值了. 解：设2a =3b =4c =k 则a=2k b=3k c=4k 代入求值式：原式=2221694424332kk k k k k k k k ++•+•+•=222926k k =2926 四、巧用倒数：例4：已知：a+a 1=5 则1242++a a a 为________ 分析：由a+a 1=5求出a 的值式代入1242++a a a 明显比较复杂，对求值式取倒数，并向已知条件靠拢有下列解法. 解：把1242++a a a 的分子、分母倒过来 即2241aa a ++=24a a +22a a +21a =a 2+21a +1 = ⎝⎛⎪⎭⎫+21a a -2+1 = ⎝⎛⎪⎭⎫+21a a -1 =52-1=24 所以，原式1242++a a a =241 五、巧选特殊值代入：例5：若 x 1-y 1=31，求y xy x y xy x ---+3232的值 分析：通过条件式的一组特殊值来计算求值式的值.这种特殊的方法计算起来简单快捷，但是条件中字母不能任意取值，要受限制.所以我们在选值时要让它符合两个条件：（1）代入条件式和求值式中都有意义.（2）尽量找整数，利于求值计算.解：令x=2代入已知等式得， y=6把x=2，y=6代入求值式，得y xy x y xy x ---+3232=662326262322-••-•-••+•=636212364---+原式=4028 =-107 以上例5题还有其它的巧解方法，希望同学们在今后的学习中多找技巧，提高数学的学习兴趣，丰富自己的生活.。
八年级数学上11.5可化为一元一次方程的分式方程及其应
实际生活中的应用
金融问题
分式方程在金融领域也有广泛的应用。例如，复利的计算、 投资回报率的计算等可以用分式方程来表示和解决。
交通问题
在交通管理中，分式方程可以用于描述车辆行驶的速度和时 间关系，以及道路交通流量等问题。例如，在高速公路上， 车辆的平均速度和行驶时间的关系可以用分式方程来表示和 计算。
根据方程定义取舍
有些分式方程在特定条件下无解 或无穷多解，需要根据方程的定 义和条件进行取舍。
解的适用范围
注意变量的取值范围
在分式方程中，变量的取值范围可能 会影响解的存在性和唯一性，因此需 要注意变量的取值范围。
注意方程的定义域
分式方程可能只在特定的定义域内有 解，因此需要注意方程的定义域，确 保解的适用范围。
转化原理和方法
1 2
消除分母
通过通分或消去分母，将分式方程转化为整式方 程。
转化为一元一次方程
将转化后的整式方程整理为一元一次方程的形式。
3
求解一元一次方程
解出转化后的一元一次方程的解。
转化过程和步骤
01
02
03
04
确定最简公分母
找到分式方程中各分母的最小 公倍数，作为最简公分母。
通分
将方程两边的分式通分，使分 式方程转化为整式方程。
移项与合并同类项
将整式方程中的项移至等号同 一边，并合并同类项。
化简整理
将整式方程化简整理为标准的 一元一次方程形式。
转化后的解法
01
02
03
直接求解法
对于简单的分式方程，可 以直接求解得到解。
换元法
对于复杂的分式方程，可 以通过换元法简化计算过 程。
图解法
可化为一元一次方程的分式方程分式方程及其解法
方程两边同乘以 x 4,
得x-4≠0
得， x4x51
∴x=5是原分式方程的解.
解得： x5
例题讲解
(2)
x2 16 x2 x2 x24 x2
解：方程两边同乘以 (x2)(x2), 得
(x2)216 (x2)2,
去括号，得
x2 4 x 4 1 6 x2 4 x 4 , 一
整理，得 8x=-16
定
解得x： 2.
x+1=2.
解这个整式方程，得
x=1.
事实上，当x=1时，原分式方程左边和右边的分
母（x－1）与（x2－1）都是0，方程中出现的两个分
式都没有意义，因此，x=1不是原分式方程的根，应
当舍去. 所以原分式方程无解.
为什么出现这 种情况？
探究分式方程产生增 根的原因
在将分式方程变形为整式方程时，方程 两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了 分母，有时可能产生不适合原分式方程的解 （或根），这种根通常称为增根. 因此，在解分式方程时必须进行检验.
那么，可能产生“增根”的原因在哪里呢？
探究分式方程产生增 根的原因
对于原分式方程的解来说，必须要求使 方程中各分式的分母的值均不为零，但变形 后得到的整式方程则没有这个要求.如果所 得整式方程的某个根，使原分式方程中至少 有一个分式的分母的值为零，也就是说使变 形时所乘的整式（各分式的最简公分母）的 值为零，它就不适合原方程，即是原分式方 程的增根.
可化为一元一次方程的分式方程 分式方程及其解法
可化为一元一次方程的分式方程 ---分式方程及其解法
复习提问
1、什么叫做方程？什么是一元一次方程？什么 是方程的解？
2、解一元一次方程的基本方法和步骤是么？ 3、分式有意义的条件是什么？ 4、分式的基本性质是怎样的？
湘教版数学八年级上册1.5《可化为一元一次方程的分式方程的解法》说课稿1
湘教版数学八年级上册1.5《可化为一元一次方程的分式方程的解法》说课稿1一. 教材分析《可化为一元一次方程的分式方程的解法》是湘教版数学八年级上册1.5节的内容。
这部分内容是在学生已经掌握了分式的基本性质、分式的运算、分式方程的初步知识的基础上进行学习的。
本节课的主要内容是让学生掌握如何将分式方程化为整式方程，并运用一元一次方程的解法来求解。
通过这部分的学习，让学生能够解决一些实际问题，提高他们的数学应用能力。
二. 学情分析学生在学习这部分内容时，已经有了一定的分式知识基础，但对于如何将分式方程化为整式方程，以及如何运用一元一次方程的解法来求解，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生理解分式方程的化简过程，以及如何将问题转化为一元一次方程来解决。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握将分式方程化为整式方程的方法，以及运用一元一次方程的解法来求解分式方程。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：将分式方程化为整式方程的方法，以及一元一次方程的解法。
2.教学难点：如何引导学生理解分式方程的化简过程，以及如何将问题转化为一元一次方程来解决。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、教师引导的教学方法。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等教学工具。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引导学生思考如何解决分式方程。
2.自主学习：让学生自主探究如何将分式方程化为整式方程。
3.合作交流：学生分组讨论，分享各自的解题方法。
4.教师引导：教师引导学生总结分式方程化简的方法，并讲解一元一次方程的解法。
5.巩固练习：让学生运用所学知识解决一些实际问题。
6.课堂小结：教师引导学生总结本节课的主要内容和收获。
分式方程及其应用
分式方程及其应用一、分式方程的基本解法：1．分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫作分式方程．2．可化为一元一次方程的分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程．（2）解可化为一元一次方程的分式方程的一般方法和步骤：①去分母，即在方程的两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；②解这个整式方程；③验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于零的值是原方程的根；使最简公分母等于零的值是原方程的增根．注意：（1）增根能使最简公分母等于0；（2）增根是去分母后所得整式方程的根．3．解分式方程产生增根的原因：增根的产生是在解分式方程的第一步“去分母”时造成的，根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得的方程是原方程的同解方程，如果方程的两边都乘以的数是0 ，那么所得的方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根．【例1】解下列分式方程：（1）131x x+=-（2）31244xx x-+=--（3）21122xx x=---（4）11222xx x-=---（5）212xx x+=+（6）2216124xx x--=+-【例2】（1）若关于x 的方程1233mx x=+--有增根，则m =________．（2）解关于x 的方程2224222x a a x x+-=--会产生增根，则a 的值是________．（3）若关于x 的分式方程11044a xx x---=--无解，则a 的值为________．（4）若关于x 的分式方程2111m x x+=--的解为整数，则m 的取值范围是________．（5）若关于x 的分式方程311x a x x--=-无解，则a =________．二、巧解分式方程： 【例3】（1）111141086x x x x +=+---- （2）2263503x x x x-++=-（3）()()()()()1111111220212022x x x x x x x +++=------…（4）方程222313x x x x-+=-中，如设23y x x =-，原方程可化为整式方程：________．【拓1】观察下列方程及其解的特征：①12x x+=的解为121x x ==； ②152x x +=的解为12x =，212x =；③1103x x +=的解为13x =，213x =；…… 解答下列问题： ①请猜想：方程1265x x +=的解为________； ②请猜想：关于x 的方程1x x +=________的解为1x a =，21x a=（0a ≠）； ③上题中的结论可以证明是正确的，请用该结论来解方程：315132x x x x -+=-．【拓2】24111181111x x x x +++=-+++．三、分式方程的应用：【例4】（20宝应模拟）十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有6000米的钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设20米，就能提前15天完成任务．设原计划每天铺设钢轨x 米，则根据题意所列的方程是（ ） A ．600060001520x x -=+ B ．600060001520x x -=+ C ．600060002015x x -=- D ．600060002015x x-=-【拓3】某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问原计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设原计划每天加工x 套，则根据题意可得方程为（ ） A ．()16040018120%x x +=+ B ．()16040016018120%x x -+=+ C ．1604001601820%x x -+= D ．()40040016018120%x x-+=+【例5】一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度行驶，一小时后加速为原来的1.5倍，并比原计划提前40分钟到达目的地，求前一小 时的平均速度．【拓4】有一段6000米的道路由甲乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独 完成此项工程少用10天．（1）求甲、乙两工程队每天各完成多少米？（2）如果甲工程队每天需工程费7000元，乙工程队每天需工程费5000元，若甲队 先单独工作若干天，再由甲乙两工程队合作完成剩余的任务，支付工程队总费用不超 过79000元，则两工程队最多可以合作施工多少天？四、真题演练：1．（21扬州三模）若关于x 的分式方程21mx x=-有正整数解，则整数m 的值是（ ） A ．3 B ．5 C ．3或5 D ．3或42．（19仪征期中）定义：如果一个关于x 的分式方程a b x=的解等于1a b -，我们就说这个方程叫差解方程．比如：243x =就是个差解方程．如果关于x 的分式方程2mm x =-是一个差解方程，那么m 的值是（ ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2-3．（20邗江月考）扬州轨道交通线网规划2020年由4条线路组成，其中1号线一期工程全长30千米，预计运行后的平均速度是原来乘公交车的1.5倍，行驶时间则缩短半小时．设原来公交车的平均速度为x 千米/时，则下列方程正确的是（ ） A ．30301.50.5x x +=B ．30301.50.5x x -= C ．30300.5 1.5x x +=D ．30300.5 1.5x x-=4．（21高邮期末）如果关于x 的不等式组521113()22m x x x -≥⎧⎪⎨-<+⎪⎩有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程28122my y y --=--有非负数解，则符合条件的所有整数m 的和是（ ） A ．13 B ．15 C ．20 D ．225．（21仪征期末）若关于x 的分式方程312mx -=+的解为负数，则m 的取值范围为________．6．（21邗江期末）关于x 的方程1122m x x-=--有增根，则m 的值为________．7．（19宝应月考）若关于x 的分式方程21011m x x -=-+无解，则m =________．8．（18高邮期中）已知关于x 的分式方程111x k kx x +-=+-的解为负数，则k 的取值范围是________．9．（19江都期中）若关于x 的方程4122ax x x =+--无解，则a 的值是________．10．（20广陵期中）要使方程121x x a=--有正数解，则a 的取值范围是________．11．（21仪征期末）若关于x 的分式方程12221(2)(1)x x x ax x x x --+-=-+-+的解为负数，则a 的取值范围是________．12．（19邗江月考）对于非零实数a 、b ，规定21a ab b a⊗=-．若(21)1x x ⊗-=，则x 的值为________．13．（20仪征期中）对于两个不相等的实数a 、b ，我们规定{in }m h a b 、表示a 、b 中较小的数的一半，如min 2{}31h =、，那么方程22{i }m n h x x xx=-+、的解为________．14．（20仪征期中）定义运算“※”： , , aa b a ba b b a b b a⎧>⎪⎪-=⎨⎪<⎪-⎩※，若52x =※，则x 的值为________．15．（20仪征期中）若32248168224816321111111a x x x x x x x =+++++--+++++，则a 的值是________．16．（2021·扬州）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天．问：原先每天生产多少万剂疫苗？17．（20邗江月考）疫情防控形势下，人们在外出时都应戴上口罩以保护自己免受新型冠状病毒感染．某药店用4000元购进若干包次性医用口罩，很快售完，该店又用7500元钱购进第二批这种口罩，所进的包数比第一批多50%，每包口罩的进价比第一批每包口罩的进价多0.5元，请解答下列问题： （1）求购进的第一批医用口罩有多少包？（2）政府采取措施，在这两批医用口罩的销售中，售价保持了一致，若售完这两批口罩的总利润不高于3500元钱，那么药店销售该口罩每包的最高售价是多少元？18．（21邗江期末）对于两个不等的非零实数a ，b ，若分式()()x a x b x--的值为0，则x a =或x b =．因为2()()()()x a x b x a b x ab abx a b x x x---++==+-+，所以关于x 的方程abx a b x+=+的两个解分别为1x a =，2x b =．利用上面建构的模型，解决下列问题： （1）若方程px q x+=的两个解分别为11x =-，24x =．则p =________，q =________；（2）已知关于x 的方程222221n n x n x +-+=+两个解分别为1x ，2x （12x x <）．求12223x x -的值．19．（21高邮期末）八年级学生去距学校12km 的珠湖小镇游玩，一部分学生骑自行车先走，其余学生20min 后乘汽车出发，结果他们同时到达、已知汽车的速度是骑车学生速度的3倍．（1）求骑车学生的速度；（2）游玩中八（4）班班主任为增强班级凝聚力决定让全班学生在户外拓展区参加一次户外拓展活动，班主任根据该项目收费标准支付了1575元，请根据该项目收费信息确定全班人数．户外拓展收费标准：人数 收费 不超过30人 人均收费50元超过30人每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于40元20．（2020·扬州）如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染． 进货单：商品 进价（元/件）数量（件）总金额（元）甲7200 乙3200李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%． 王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件． 请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．。
可化为一元一次方程的分式方程可化为一元一次方程的分式方程的解法教案湘教版doc
1．5 可化为一元一次方程的分式方程第11课时 可化为一元一次方程的分式方程的解法1．理解分式方程的概念；2．掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法；(重点)3．理解分式方程产生增根的原因，掌握分式方程验根的方法．(难点)一、情境导入甲、乙两名同学同时从学校出发，去15千米外的景区游玩，甲比乙每小时多行1千米，结果比乙早到半小时，甲、乙两名同学每小时各行多少千米？设甲同学每小时行x 千米，你能列出相应的方程吗？这个方程是我们以前学过的方程吗？如果不是，你能给它取个名字吗？二、合作探究探究点一：分式方程的概念【类型一】 分式方程的定义下列方程是分式方程的是( )＝3x －1x －1＝32x ＋2x 2－x ＝1解析：根据分式方程的定义，分母含有未知数的方程是分式方程，B ，C 选项是整式方程，D 选项是分式，只有A 选项分母含有未知数，并且是方程，故选A.方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数，如果分母中含有未知数就是分式方程，分母中不含未知数就不是分式方程．【类型二】 分式方程的根已知x ＝1是分式方程1x ＋1＝3k x的根，求k 的值． 解析：根据分式方程根的定义，把x ＝1代入1x ＋1＝3k x 得到关于k 的一元一次方程，解之即可．解：将x ＝1代入1x ＋1＝3k x 得，11＋1＝3k 1， 解得k ＝16.方法总结：分式方程的解也叫作分式方程的根，已知方程的根求字母系数的值时，可把方程的根代入原方程，得到关于字母系数的方程，再解之即可．探究点二：分式方程的解法解关于x 的方程：(1)5－x x －4＋14－x＝1； (2)xx ＋3＝1＋2x －1. 解析：(1)小题先把方程两边乘最简公分母(x －4)，(2)小题先把方程两边乘最简公分母(x ＋3)(x －1)，把分式方程转化为整式方程求解，最后必须要检验．解：(1)方程的两边同乘(x －4)，得5－x －1＝x －4，解得x ＝4.检验：把x ＝4代入x －4得x －4＝0.∴x ＝4是原方程的增根，∴原方程无解．(2)方程的两边同乘(x ＋3)(x －1)，得x (x －1)＝(x ＋3)(x －1)＋2(x ＋3)，整理得5x ＋3＝0，解得x ＝－35. 检验：把x ＝－35代入得(x ＋3)(x －1)≠0. ∴原方程的解为：x ＝－35. 方法总结：解分式方程的一般步骤：①方程两边都乘最简公分母，化分式方程为整式方程；②解这个整式方程；③把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为0，使最简公分母为0的根是原方程的增根，应舍去；④写出原方程的根．探究点三：分式方程的增根【类型一】 利用增根求字母的值若关于x 的分式方程4x x －5＝a 5－x－1有增根，那么增根是________，这时 a ＝________ .解析：分式方程的增根是使最简公分母为0的数，即x －5＝0，所以增根是x ＝5.把原方程去分母得：4x ＝－a －(x －5)，所以a ＝－5x ＋5，又因为x ＝5，因此a ＝－20.方法总结：分式方程的增根是使最简公分母为0的数．【类型二】 利用分式方程无解求字母的值若关于x 的分式方程2x －2＋mx x 2－4＝3x ＋2无解，求m 的值． 解析：先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：一元一次方程无解与分式方程有增根．解：方程两边都乘以(x ＋2)(x －2)得：2(x ＋2)＋mx ＝3(x －2)，即(m －1)x ＝－10，①当m －1＝0时，此方程无解，此时m ＝1，②方程有增根，则x＝2或x＝－2，当x＝2时，(m－1)×2＝－10，m＝－4；当x＝－2时，(m－1)×(－2)＝－10，解得m＝6，∴m的值是1，－4或6.方法总结：分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数，分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数．三、板书设计1．分式方程的概念2．分式方程的解法：方程两边同乘最简公分母，化为整式方程求解，再检验．3．增根：(1)解分式方程为什么会产生增根；(2)解分式方程检验的方法．。
八年级数学上册分式. 可化为一元一次方程的分式方程 可化为一元一次方程的分式方程的解法
Image
12/13/2021
第十五页，共十五页。
解得：
x=30
经检验(jiǎnyàn)，x=30是所列方程的解.
去分母
第三页，共十五页。
推进(tuījìn)新课
分母(fēnmǔ)不含未知数
例
不含等号
下列关于x的式子：①
x ；1②= 5 3
；1 = 4 x x1
③ x 2 1 ；④ x - 2 x ；式方 x
平均车速1分.5x别km为/h 多少？
1h
解：设走线路一的平均(píngjūn)车速为xkm/h.
6
分母中含有未 知数的方程叫 做分式方程.
25 30 = 1 x 1.5x 6
第二页，共十五页。
25 30 = 1 x 1.5x 6
最简公分母6x
解： 方程(fāngchéng)两边同乘6x，得
25×6-30×4=x
第七页，共十五页。
可化为一元一次方程的分式方程 方程(fāngchéng)两边同乘各个分式的最简公分母
一元一次方程 求解(q：iú 去jiě)括号，移项，合并 同类项，系数化为1；
一元一次方程的解
检验(jiǎnyàn)
把一元一次方程的解代入最简公分母中，若它的值不等于0，则 这个解是原方程的根；若它的值等于0，则原分式方程无解.
02 0-4
因此x=0是原方程的解.
第十二页，共十五页。
2.解下列(xiàliè)方程：
（2）1 2 = 1 3 2x-1 6x-3
七年级数学可化为一元一次方程的分式方程人教四年制版知识精讲
七年级数学可化为一元一次方程的分式方程人教四年制【同步教育信息】一. 本周教学内容可化为一元一次方程的分式方程二. 教学重点、难点重点：可化为一元一次方程的分式方程的解法难点：对解分式方程可能产生根的理解和认识不足，解题中，易忽略验根。
三. 教学要点1. 分式方程——分母里含有未知数的方程叫分式方程 例如：4251=+xx 2. 解分式方程的基本思想是去掉分母将分式方程转化为整式方程3. 解分式方程的解答步骤：（1）去分母（方程两边都乘以各分母的最小公倍式）化为整式方程（2）解整式方程（3）检验：将整式方程解得的解代入各分母的最小公倍式若不为零是原方程的根，若等于零是增根舍去。
【典型例题】[例1] 解方程22416222-+=--+-x x x x x 解：方程两边都乘以)2)(2(-+x x ，约去分母得 22)2(16)2(+=--x x解这个方程，得2-=x检验：当2-=x 时 0)2)(2(=-+x x 所以2-是增根，原方程无解。
[例2] 解方程6272332+=++x x 解：将原方程整理得)3(272332+=++x x 方程两边都乘以 )3(2+x得7)3(34=++x 解得 2-=x检验：将2-=x 代入02)32(2)3(2≠=+-=+x∴2-=x 是原方程的根[例3] 解方程xx x x x -=-++2224123 解：将方程整理，得)1(4)1)(1(2)1(3-=-+++x x x x x x 把方程两边都乘以)1)(1(-+x x x得 )1(42)1(3+=+-x x x 44233+=+-x x x解得 7=x检验：将7=x 代入)17)(17(7)1)(1(-+=-+x x x 0336≠=∴7=x 是原方程的根[例4] 分式方程0111=+--+-x x x x x k 有增根1=x 求k 的值。
解：将原方程去分母，得0)1()1()1(=--+++x x x x x k022=+-+++x x x x k kx k x k -=+)2(把1=x 代入整式方程得 k k -=+2 解得1-=k[例5] m 为何值时，关于x 的方程234222+=-+-x x mx x 会产生增根。
可化为一元一次方程的分式方程分式方程及其解法
物体加热或冷却的过程。
工程问题
01
02
03
建筑设计
在建筑设计领域，分式方 程可以用来优化设计方案， 例如，计算建筑物的最佳 尺寸和比例。
机械设计
在机械设计中，分式方程 可以用来分析机器的性能 和效率，例如，计算齿轮 的转速和扭矩等。
电子工程
在电子工程中，分式方程 可以用来描述电路的工作 状态，例如，计算电流、 电压和电阻等。
解的验证
验证解的有效性
在得到分式方程的解后，应进行验证，确保解是有效的并且满足原方程。
考虑特殊情况
在验证解的过程中，应考虑特殊情况，如分母为零、无穷大等情况，以确保解 的全面性和准确性。
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分子有理化的方法是将分子与适当的表达式相乘，以消去根号或使分数形式简化。
分子有理化有助于简化方程，使其更容易求解。
03 可化为一元一次方程的分 式方程
方程的转化
1 2
将分式方程化为整式方程
通过通分、消去分母，将分式方程转化为整式方 程。
展开整式方程
将整式方程展开，整理成标的解
02
对代回后的分式方程进行化简，得到最终的分式方程的解。
检查解的合理性
03
对求出的分式方程的解进行检验，确保其满足原分式方程的定
义域和值域条件。
04 分式方程的解法
公式法
定义
公式法是一种通过对方程进行整 理，将其转化为标准的一元二次 方程，然后利用一元二次方程的 解公式来求解分式方程的方法。
定义域问题
确定分母不为零的解
在解分式方程时，需要特别注意定义 域问题，确保分母不为零，否则会导 致无解或解不合法。
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1.5 可化为一元一次方程的分式方程
第一课时 分式方程的解法
创设情境
课本P32 某校八年级学生乘车前往某景 点秋游，现有两条路线可供选择：线 路一全程25㎞，线路二全程30㎞;若走 线路二平均车速是走线路一的1.5倍， 所花时间比走线路一少用10min，则 走线路一、走线路二的平均车速分别 为多少？
分式方程
25 30 x 1.5x
1 6
的分母中
含有未知数，我们该如何来求解
呢？
解分式方程的关键是把含有未知数的分 母去掉，这可以通过在分式方程的两边 同乘各个分式的最简公分母而达到
自主学习
例题1 解方程：
5 30 x2 x
解 方程两边同乘最简公分母x x 2，得
5x 3x 2 0
随堂练习
（课本P34页）
练习 第1（2）（4）题 第一排的三组做1（2）题 第二排的三组做1（4）题
回顾总结
通过这节课的学习，同学们 有哪些收获？
创设情境
解：设走线路一的平均车速为x km h， 则走线路二的平均车速为__1._5_x_ km h
由题意可得的方程为 25 30 1
______x___1_.5_x___6_______
25 30 1 x 1.5x 6
像这样，分母中含有未知 数的方程叫做分式方程。
交流探索
（课本P32页）议一议
x24
解得
x2
检 存在验这：种把数x，因2代此入x 原 方2 不程是，分得式左方边程 的2 1根2 ， 10从而，原不
方程无解
合作交流
在检验时只要把所求出的未知数的值代入 最简公分母中，如果它使最简公分母的值 不等于0，那么它是原分式方程的根；如果 它使最简公分母的值为0，那么它不是原分 式方程的根，称它是原方程的增根。
解分式方程有可能产生增根，因此 解分式方程必须检验。
合作交流
解分式方程的基本步骤有哪些？
解分式方程的基本步骤 第一步，去分母，将方程化为一元一次方程
先找到各个分母的最简公分母，再方程两 边同乘各个分式的最简公分母
第二步，求解一元一次方程的解
去括号，移项，合并同类项，化系数为1
第三步，检验
把一元一次方程的解代入最简公分母中， 若它的值不等于0，则这个解是原方程的根，若它的 值等于0，则是原方程的增根。
解得 x 3
检验：把x 3 代入原方程，
得左边 5 3 0 右边，
32 3
因此 x 3是原方程的解
自主学习
分式方程的解也叫分式方程的根
合作交流
（课本P33页）例题2 解方程：
1
4
x 2 2x 2，得