高考数学二轮专题复习三角函数

三角函数【考纲解读】1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能实行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切）的定义.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出2πα±,πα±的正弦、余弦、正切的诱导公式;理解同角的三角函数的基本关系式：sin 2x+cos 2x=1,sin tan cos xx x=.3.能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间(-2π,2π)内的单调性.4.了解函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义；能画出sin()y A x ωϕ=+的图象，了解,,A ωϕ对函数图象变化的影响.5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系.6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能使用上述公式实行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).【考点预测】从近几年高考试题来看，对三角函数的考查：一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用，一般占两个小题；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、sin()y A x ωϕ=+的性质、三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等.预测明年，考查形式不变，选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主，解答题将会以向量为载体，考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合，以小型综合题形式出现.【要点梳理】1.知识点：弧度制、象限角、终边相同的角、任意角三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角函数线、三角函数图象和性质；和、差、倍角公式，正、余弦定理及其变形公式.2.三角函数中常用的转化思想及方法技巧：(1)方程思想：sin cos αα+,sin cos αα-,sin cos αα三者中,知一可求二;(2)“1”的替换：22sincos 1αα+=;(3)切弦互化：弦的齐次式可化为切；(4)角的替换：2()()ααβαβ=++-,()22αβαβααββ+-=+-=+;(5)公式变形：21cos 2cos2αα+=,21cos 2sin 2αα-=,tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-;(6)构造辅助角(以特殊角为主)：sin cos )(tan ba b aαααϕϕ+=+=.3.函数sin()y A x ωϕ=+的问题：(1)“五点法”画图：分别令0x ωϕ+=、2π、π、32π、2π，求出五个特殊点；(2)给出sin()yA x ωϕ=+的部分图象,求函数表达式时,比较难求的是ϕ,一般从“五点法”中取靠近y 轴较近的已知点代入突破;(3)求对称轴方程：令x ωϕ+=2k ππ+()k Z ∈,求对称中心：令x ωϕ+=k π()k Z ∈;(4)求单调区间：分别令22k x ππωϕ-≤+≤22k ππ+()k Z ∈;22k x ππωϕ+≤+≤322k ππ+()k Z ∈,同时注意A 、ω符号.4.解三角形：(1)基本公式：正弦、余弦定理及其变形公式；三角形面积公式；(2)判断三角形形状时，注意边角之间的互化.【考点在线】考点1三角函数的求值与化简此类题目主要有以下几种题型：⑴考查使用诱导公式和逆用两角和的正弦、余弦公式化简三角函数式水平，以及求三角函数的值的基本方法.⑵考查使用诱导公式、倍角公式，两角和的正弦公式，以及利用三角函数的有界性来求的值故f (x )的定义域为.Z,2|R ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-≠∈k k x x ππ（Ⅱ）由已知条件得.54531cos1sin 22-⎪⎭⎫⎝⎛-=-=a a 从而)2sin()42cos(21)(ππ+-+=a a a f ＝aa a cos 4sin 2sin 4cos cos 21⎪⎭⎫ ⎝++ππ＝a a a a a a a cos cos sin 2cos 2cos sin 2cos 12+=++＝.514)sin (cos 2=+a a 【名师点睛】本小题主要考查三角函数的定义域和两角差的公式，同角三角函数的关系等基本知识，考查运算和推理水平，以及求角的基本知识..【备考提示】：熟练掌握三角函数公式与性质是解答好本类题的关键.练习1：（2019年高考福建卷文科9)若α∈（0，2π），且2sinα+1cos 24α=，则tan α的值等于()【答案】D【解析】因为α∈（0，2π），且2sinα+1cos 24α=，所以2sin α+221cos sin 4αα-=,即21cos4α=,所以cos α=12或12-(舍去),所以3πα=,即tan α=,选D.考点2考查sin()y A x ωϕ=+的图象与性质考查三角函数的图象和性质的题目，是高考的重点题型.此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活使用，会用数形结合的思想来解题.【备考提示】：三角函数的图象及性质是高考考查的热点内容之一,熟练其基础知识是解答好本类题的关键.练习2.(2019年高考江苏卷9)函数ϕϕ,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数，)0,0>>w A 的部分图象如图所示，则____)0(=f 【解析】由图象知：函数()sin()f x A wx φ=+的周期为74()123πππ-=，而周期2T wπ=，所以2w =，由五点作图法知：23πφπ⨯+=，解得3πφ=，又，所以函数()3f x x π=+，所以(0)f =3π=考点3三角函数与向量等知识的综合三角函数与平面向量的综合,解答过程中,向量的运算往往为三角函数提供等量条件.例3.（2009年高考江苏卷第15题）设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-（1）若a 与2b c -垂直，求tan()αβ+的值；（2）求||b c +的最大值;（3）若tan tan 16αβ=，求证：a ∥b.【解析】【名师点睛】本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本水平.【备考提示】：熟练三角公式与平面向量的基础知识是解决此类问题的关键.练习3.（天津市十二区县重点中学2019年高三联考二理）（本小题满分13分）已知向量2,1),(cos ,cos )444x x x m n == ，()f x m n =⋅ ．（I ）若()1f x =,求cos()3x π+值；（II ）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=，求函数()f A 的取值范围.【解析】（I ）()f x m n =⋅= 2cos cos 444x x x +----------------1分11cos 2222x x ++----------------3分=1sin(262x π++----------------4分∵()1f x =∴1sin(262x π+=∴2cos(12sin (326x x ππ+=-+=12-------6分（II ）∵(2)cos cos a c B b C -=，由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=-----------------8分∴2sin sin cos sin cos AcosB C B B C-=∴2sin cos sin()A B B C =+-----------------9分∵A B C π++=∴sin()sin B C A +=，且sin 0A ≠∴1cos ,2B =∵0B <<π∴3B π=----------------10分∴203A π<<----------------11分∴1,sin()16262226A A ππππ<+<<+<----------------12分∴131sin(2622A π<++<∴()f A =1sin(262A π++3(1,)2∈---13分考点4.解三角形解决此类问题，要根据已知条件，灵活使用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.timndAng例4.(2019年高考安徽卷文科16)在A ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，，12cos()0B C++=，求边BC上的高.【解析】∵A＋B＋C＝180°，所以B＋C＝A，又12cos()0B C++=，∴12cos(180)0A+-=，即12cos0A-=，1cos2A=，又0°<A<180°，所以A＝60°.在△ABC中，由正弦定理sin sina bA B=得sinsinb ABa===，又∵b a<，所以B＜A，B＝45°，C＝75°，∴BC边上的高AD＝AC·sinC7530)=+45cos30cos45sin30)=+12==.【名师点睛】本题考察两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，利用内角和定理、正弦定理、余弦定理以及三角形边与角之间的大小对应关系解三角形的水平，考察综合运算求解水平.【备考提示】：解三角形问题所必备的知识点是三大定理“内角和定理、正弦定理、余弦定理”具体的思路是化统一的思想“统一成纯边或纯角问题”即可.练习4.（2019年高考山东卷文科17)在A ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A-2cos C2c-a=cos B b.（I）求sinsinCA的值；（II）若cosB=14，5bABCA的周长为，求的长.【解析】(1)由正弦定理得2sin,a R A=2sin,b R B=2sin,c R C=所以cos A-2cos C2c-a=cos B b=2sin sinsinC AB-,即sin cos2sin cos2sin cos sin cosB A BC C B A B-=-,即有sin()2sin()A B B C+=+,即sin2sinC A=,所以sinsinCA=2.(2)由(1)知sin C=2,所以有2c=,即c=2a,又因为ABC∆的周长为5,所以b=5-3a,由余弦定理得：2222cos b c a ac B =+-，即22221(53)(2)44a a a a -=+-⨯，解得a=1，所以b=2.【易错专区】问题：三角函数的图象变换例.(2019年高考全国卷理科5)设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于()（A ）13（B ）3（C ）6（D ）9【答案】C 【解析】()cos[(cos 33f x x x ππωω-=-=即cos()cos 3x x ωπωω-=,22()663k k Z k ωπππω∴-=+∈⇒=--z 则1k =-时min 6ω=故选C.【名师点睛】本题考查三角函数的图象平移,在平移时,应注意x 的系数.【备考提示】：三角函数的图象变换是高考的热点,必须熟练此类问题的解法.【考题回放】1.(2019年高考山东卷理科3)若点（a,9）在函数3x y=的图象上，则tan=6a π的值为()（A ）【答案】D【解析】由题意知：9=3a,解得a =2,所以2tantan tan 663a πππ===,故选D.t i msi i rb 2.(2019年高考山东卷理科6)若函数()sin f x x ω=(ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在【答案】C.【解析】若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，则()sin()163f ππϕ=+=，所以,32k k Z ππϕπ+=+∈，,6k k Z πϕπ=+∈.由()()2f f ππ>，（k Z ∈），可知sin()sin(2)πϕπϕ+>+，即sin 0ϕ<，所以72,6k k Z πϕπ=+∈，代入()sin(2)f x x ϕ=+，得7()sin(26f x x π=+，由7222262k x k πππππ-++……，得563k x k ππππ--……，故选C.4.(2019年高考辽宁卷理科4)△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，asinAsinB+bcos 2A=则ba=（）(A)(B)【答案】D【解析】由正弦定理得，sin 2AsinB+sinBcos 2sinA ，即sinB （sin 2A+cos 2A ）sinA ，故sinA ，所以ba=；5.(2019年高考辽宁卷理科7)设sin1+=43πθ（），则sin 2θ=（）(A)79-(B)19-(C)19(D)79【答案】A【解析】217sin 2cos 22sin 121.2499ππθθθ⎛⎫⎛⎫=-+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6.(2019年高考浙江卷理科6)若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos(42πβ-=cos()2βα+=（）（A （B ）C （D ）【答案】C 【解析】()(2442βππβαα+=+-- cos(cos[()(2442βππβαα∴+=+--sin()442ππβα+++13===,故选C.7.(2019年高考全国新课标卷理科5)已知角θ的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线x y 2=上，则，=θ2cos （）A 54-B 53-C 32D 43【答案】B【解析】因为该直线的斜率是θtan 2==k ，所以，53tan 1tan 1cos 22-=+-=θθθ.8.(2019年高考全国新课标卷理科11)设函数()sin()cos()(0,2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（）（A ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减（B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减（C ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增（D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增【答案】A【解析】函数解析式可化为4sin(2)(πϕω++=x x f ，2,2=∴=ωπωπT 又因为该函数是偶函数，所以，x x f 2cos 2)(4=∴=πϕ，所以，该函数在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上是减函数。