奥数第4讲-巧求周长与面积

巧求周长与面积

掌握巧求周长与面积的基本方法；

1. 理解并掌握割补、平移等数学思想方法。

【例1】 （2007年“希望杯”第一试）右图中的阴影部分BCGF 是正方形，线段FH 长18厘米，线段

AC 长24厘米，则长方形ADHE 的周长是

__________厘米。

【分析】 由于图中阴影部分BCGF 是个正方形，其四条边的边长都相等，且等于长方形ADHE 的宽。

FH AC +的和应为长方形ADHE 的长加上正方形BCGF 的边长，所以等于长方形

ADHE 的长与宽之和。所以长方形ADHE 的周长为：(1824)284+⨯=厘米。

【例2】 如右图所示，在一个正方形内画中、小两个正方形，使三个正方形具有公共顶点，这样大正方形被分割成了正方形区域甲，和L 形区域乙和丙。甲的边长为4厘米，乙的边长是甲的边长的1.5倍，丙的边长是乙的边长的1.5倍，那么丙的周长为多少厘米？EF 长多少厘米？

【分析】 乙的周长实际上是正方形AHJE 的周长（我们可将乙与甲重合的两条线段分别向左、

向下平移），同样的，丙的周长也就是正方形ABCD 的周长。由于4 1.56AE =⨯=，

6 1.59AD =⨯=，所以丙的周长为9436⨯=厘米，

642EF AE AF =-=-=（厘米）

。

【例3】 用若干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形（如右图）拼接成一个大的平行四边

形，已知大平行四边形的周长是244厘米，

那么平行四边形和三角形各有多少个？

【分析】 大平行四边形上、下两边的长为(24422)2120-⨯÷=厘米，观察上边，每6厘米有两

个平行四边形的边，所以共有小平行四边形1206240÷⨯=个，三角形的数量与小平行

四边形的数量相等，也是40个。

[拓展] 用若干个边长都是2厘米的平行四边形与三角形（如右图）拼接成一个大的平行四边形，

已知大平行四边形的周长是236厘米，那

么平行四边形和三角形各有多少个？

[分析] 大平行四边形上、下两边的长为

(23622)2116-⨯÷=厘米，

观察上边，每6厘米有两个平行四边形的边，1166192÷=，所以有三角形

19238⨯=个，小平行四边形38139+=个。

【例4】 有9个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这9个

小长方形拼成的大长方形(如图)的面积是45平方厘米，求这个大长方形的周长。

【分析】 从图上可以知道，小长方形的长的4倍等于宽的5倍，所以长是宽的54 1.25÷=倍。

每个小长方形的面积为4595÷=平方厘米，所以1.25⨯宽⨯宽5=，所以宽为2厘米，

长为2.5厘米。大长方形的周长为(2.542 2.5)229⨯++⨯=厘米。

G F E A C B

乙丙甲

J I

F E H D B A

[拓展] 右图的长方形被分割成5个正方形，已知原长方形的面积为

120平方厘米，求原长方形的长与宽。

[分析] 大正方形边长的2倍等于小正方形边长的3倍，所以大正方

形的边长是小正方形边长的1.5倍，大正方形的面积是小正方形面积的1.5 1.5 2.25

⨯=倍，所以小正方形面积为120(2.2523)16÷⨯+=平方厘米，所以小正方形的边长为4厘

米，大正方形的边长为6厘米，原长方形的长为4312⨯=厘

米，宽为4610+=厘米。

【例5】 （希望杯培训题）如右图所示，在一个正方形上先截去宽11

分米的长方形,再截去宽7分米的长方形，所得图形的面积比原正方形减少301平方分米。原正方形的边长是______分米。

【分析】 把截去的两个长方形拼在一起，如右下图所示，再补上长11分米、宽7分米的小长方

形，所得长方形的面积是301117378+⨯=平方分米，这个

长方形的长等于原正方形的边长，宽为11718+=分米，所

以原正方形边长为：3781821÷=分米。

【例6】 如图，一个矩形被分成八个小矩形，其中有五个矩形的面积如图中所示（单位：平方厘米），问

大矩形的面积是多少平方厘米？

【分析】 通过分析题目中的已知条件可以看出，面积为16平

方厘米和面积为20平方厘米的两个长方形的宽相

等，即BC 相等，不妨假设2BC =厘米，可以算得：

8AC =厘米，10CD =厘米。于是可以算得：

368 4.5GC =÷=厘米，30103BE =÷=厘米，

128 1.5EF =÷=厘米。于是大长方形的长为

10818+=厘米，宽为4.523 1.511+++=厘米，因

此大长方形的面积为1811198⨯=平方厘米。

【例7】 一块正方形的苗圃（如右图实线所示），若将它的边

长各增加30米（如图虚线所示），则面积增加9900平方米，问原来这块正方形苗圃的

面积是多少平方米？

【分析】 小正方形的面积为：3030900⨯=平方米。用增加的面积减去小正方形的面积就得到

增加的两个长方形的面积和，为：99009009000-=平方米。而增加的两个长方形的

面积相等，于是其中一个长方形的面积为900024500÷=平方米。长方形的宽为30米，

那么长为：450030150÷=米，这就是原来这块正方形苗圃的边长，原来这块正方形

苗圃的面积为150********⨯=（平方米）。

7

11B C E F

G D A 3020121636

【例8】 长方形ABCD 的周长是30厘米，以这个长方形的每一条边为边长向外画正方形。已知

这四个正方形的面积之和为290平方厘米，那么长方形ABCD 的面积是多少平方厘

米？

【分析】 从图形我们可以看出，1A B 的长度恰好为长方形的长与宽之

和，即为长方形ABCD 周长的一半，可以看出若以1A B 和1

BC 为边能构成大正方形111A BC E （如右图b 所示），其中包含两

个长方形和两个正方形，而且两个长方形的面积是相等的，

两个正方形的面积刚好是290平方厘米的一半。这样我们容易

求出：大正方形111A BC E 的边长为30215÷=厘米，面积为：1515225⨯=平方厘米，正方形11CDD C 与正方形1ADEA 的面积之和为：2902145÷=（平方厘米）。长方形ABCD 与长方形11EDD E 的面积相等。所以，长方形ABCD 的面积为：

(225145)240-÷=（平方厘米）

。

[巩固] 用两块长方形纸片和一块正方形纸片拼成一个大正方形，长方形

纸片面积分别为44平方厘米与28平方厘米，原正方形纸片面积

是多少平方厘米？

[分析] 做辅助线，如右下图，小正方形Ⅰ的面积为442816-=，所以

4a =,2847b =÷=，原正方形面积为7749⨯=（平方厘米）

。

【例9】 如图，正方形ABCD 的边长是5，E ，F 分别是AB 和BC 的中点，求四边形BFGE 的面积。

【分析】 如下图，利用割补法，原正方形面积等于5个小正方形面积之和，所以每个小正方形面积是5555⨯÷=，而阴

影部分面积等于1个小正方形面积，所以也是5。

中中大

C 1A 1A

D C B C 1D 1

E 1A 1E B C

D A

G F E A

C B

B C D A E F G