专升本高数-第五讲无穷小与无穷大

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专升本高数知识点汇总

专升本高数知识点汇总高等数学在专升本考试中占据着重要的地位，对于许多考生来说，掌握好高数的知识点是成功升本的关键之一。

以下是为大家汇总的专升本高数知识点，希望能对大家的学习有所帮助。

一、函数与极限1、函数的概念函数是一种从一个集合（定义域）到另一个集合（值域）的对应关系。

对于定义域内的每一个输入值，都有唯一的输出值与之对应。

2、函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性和有界性。

奇函数满足 f(x) ＝ f(x)，偶函数满足 f(x) ＝ f(x)。

单调性是指函数在某个区间内是递增或递减的。

周期性函数是指存在一个非零常数 T，使得 f(x ＋ T) ＝ f(x)。

有界性则是指函数的值域在某个范围内。

3、极限的定义极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于的一个确定的值。

4、极限的计算包括利用极限的四则运算法则、两个重要极限（＼（＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛x} ＝ 1\），＼（＼lim_{x ＼to ＼infty} （1 ＋＼frac{1}｛x}）＾x ＝ e\））以及等价无穷小代换来计算极限。

5、无穷小与无穷大无穷小是以零为极限的变量，无穷大是绝对值无限增大的变量。

无穷小的性质在极限计算中经常用到。

二、导数与微分1、导数的定义函数在某一点的导数是函数在该点的切线斜率。

2、导数的几何意义导数表示函数在某一点处的变化率，反映了函数图像的斜率。

3、基本导数公式包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。

4、导数的四则运算法则加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。

5、复合函数求导通过链式法则进行求导。

6、隐函数求导通过方程两边同时对自变量求导来求解。

7、微分的定义函数的微分等于函数的导数乘以自变量的微分。

8、微分的几何意义微分表示函数在某一点处切线的增量。

三、中值定理与导数的应用1、罗尔定理如果函数 f(x) 满足在闭区间 a,b 上连续，在开区间（a,b) 内可导，且 f(a) ＝ f(b)，那么在（a,b) 内至少存在一点ξ，使得 f'（ξ) ＝ 0 。

专升本高等数学知识点总结

专升本高等数学知识点总结高等数学作为专升本考试的一门重要科目，需要掌握的知识点相对较多。

下面是对高等数学知识点的详细总结。

一、函数与极限1.函数概念与性质：定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等。

2.函数的常用性质：函数的画像、函数的基本性质、函数的运算、函数的反函数、函数的复合、函数的比较等。

3.极限的概念：极限的定义、左极限、右极限、无穷极限、函数极限等。

4.极限的性质：极限的唯一性、夹逼准则、极限的四则运算、函数极限法则等。

5.无穷小与无穷大：无穷小的定义和性质、无穷大的定义和性质。

二、导数与微分1.导数的定义：函数在一点的导数、导数的几何意义、函数的可导性等。

2.导数的计算：基本函数的导数、基本运算法则、复合函数的导数、隐函数的导数等。

3.高阶导数：导数的高阶导数、高阶导数的计算等。

4.微分：微分的定义、微分的计算、微分形式不变性等。

5.高阶导数与高阶微分的关系：高阶导数与高阶微分的计算、高阶微分的含义等。

三、积分与不定积分1.定积分的概念与性质：积分的定义、黎曼和、定积分的计算、积分中值定理等。

2.不定积分的概念与性质：不定积分的定义、不定积分的计算、定积分与不定积分之间的关系等。

3.基本积分公式：幂函数的积分、三角函数的积分、反函数的积分、特殊函数的积分等。

4.定积分的应用：曲边梯形的面积、旋转体的体积、定积分的几何应用等。

四、级数与幂级数1.数列与级数：数列的概念与性质、收敛与发散、常见数列的性质等。

2.级数的概念与性质：级数的概念、部分和、级数的性质、级数收敛性的判别法等。

3.幂级数的概念与性质：幂级数的收敛域、幂级数的性质、幂级数的运算等。

4.泰勒展开与幂级数展开：泰勒展开的定义、泰勒级数、幂级数展开的计算等。

五、多元函数与方程1.多元函数的概念与性质：多元函数的定义、多元函数的极限、多元函数的连续性等。

2.偏导数与全微分：偏导数的定义、全微分的定义、全微分近似计算等。

3.导数与梯度：偏导数与方向导数、梯度的定义和性质、梯度的运算等。

无穷大与无穷小

无穷大与无穷小无穷大和无穷小是数学中常常提到的概念。

它们在数学的各个领域中都有广泛的应用。

本文将介绍无穷大和无穷小的定义、性质以及一些常见的例子。

无穷大是指在数列或函数中，当自变量趋向于某个特定的值时，函数或数列的绝对值无限增大的情况。

换句话说，无穷大是指某个数在数轴上无限远离原点的时候。

在数学符号表示中，我们常用符号∞来表示无穷大。

当一个数a的绝对值大于任意实数M时，我们可以说这个数a是无穷大，表示为|a|>M或者a→∞。

无穷大在解析几何、极限理论、微积分等数学分支中都起着重要的作用。

在解析几何中，无穷大可以用来描述平行线的情况。

在极限理论和微积分中，无穷大常常用于研究函数的极限和趋势。

与无穷大相对应的是无穷小。

无穷小是指当自变量趋向于某个特定的值时，函数或数列的绝对值逐渐趋于零。

换句话说，无穷小可以理解为比任何实数都小的数。

在数学符号表示中，我们常用符号ε来表示无穷小。

当一个数a的绝对值小于任意正实数ε时，我们可以说这个数a是无穷小，表示为|a|<ε或者a→0。

无穷小在微积分和函数论等领域中得到广泛应用。

在微积分中，无穷小常用于描述函数的变化趋势、导数和积分的定义。

在函数论中，无穷小可以用于衡量一个函数在某个点的连续性和可导性。

下面我们来看几个具体的例子。

例子1：考虑函数f(x)=1/x，当x趋向于0时，函数f(x)的值趋近于正无穷大。

这可以用极限表示为lim(x→0)1/x=∞。

例子2：考虑函数g(x)=1/x，当x趋向于正无穷大时，函数g(x)的值趋近于0。

这可以用极限表示为lim(x→∞)1/x=0。

例子3：考虑数列an=1/n，当n趋向于正无穷大时，数列an的值逐渐趋近于0。

这可以用极限表示为lim(n→∞)1/n=0。

通过以上例子，我们可以看出无穷大和无穷小是两个相关但又不同的概念。

无穷大描述的是函数或数列绝对值的无限增大，而无穷小描述的是函数或数列绝对值的逐渐趋近于零。

高等数学无穷小与无穷大

n
0
k ,
1, 2,
记：
3, n
，则对每个 k
n
k
n
，则有
k 1
有
n
lim n lim k n lim
n
n k 1
n
1 n 2
2 n2
k n2
n n2
lim
n
1
2
n2
n
lim n
n n 1 2n 2
lim n
1 2
1
1 n
1 2
0,
故无穷多个无穷小的和未必是无穷小。
ux M, x X
M
X
O
M
x u x x x 0
若 ( x )当 x → 时为无穷小，u( x )当| x |大于某正数 X 时有界，则 u( x )( x)当 x → 时为无穷小。
例：证明函数
f x
x sin
1 x
是
x → 0 时的无穷小。
利用无穷小的性质进行证明
因为 lim x lim x 0 ,
x
例：根据定义证明：当
x→0
时，y
1 2x x
是无穷大。
又问， x 只要满足什么条件，就能使 y >10 4 ？
按定义证明当 x → 0 时，给定函数是无穷大，就是对任意给定的正数 M ，
要设法说明存在正数，使得当 0 < |x - 0 |= |x |< 时有
y
1 2x x
M.
要说明这样的存在，最直接的办法就是将找出
为体会证明方法，考虑以三个无穷小的情形证明。
根据无穷小的定义进行证明
证明 x → x0 时的情形。
设 lim x 0, lim x 0, lim x 0,

无穷小与无穷大

3．函数极限与无穷小的关系
在自变量的某一变化过程中，函数 f (x)以 A为极限的充要条件是 f (x) 可以表示为极限A与一个无穷小的和，即
lim f (x) A f (x) A α
二无穷大 1．无穷大的概念
定义2 在自变量的变化过程中，绝对值无限增大的变量X称为无穷大量，简称无穷大，记作 lim X 。
lim arcsin 4x lim 4x 2 x0 ln(1 2x) x0 2x
（3）因为当 x 0 时，1 cos x ～ 1 x2，ex2 1～ x2 ，所以 2
1 cos x
lim
x0
ex2 1
lim x0
1 x2 2 x2
1 2
高等数学
x 1
1 时， x 1 为无穷小。
（2）因为 lim( 2x 1) ，所以当 x 时，2x 1 为无穷小。
x
（3）因为 lim 2x ，所以当 x 时，2x 为无穷小。 x
（4）因为lim x
1 4
x
，所以当
x
时，
1 4
x
为无穷小。
例5 【银行存款】假设某人在银行存入10 000元，银行的年利率为，试分析存款时间越长，本利和如何变化？解
如果变量 X 取正值无限增大，则称变量 X为正无穷大，记作 lim X ；如果变量 X 取负值而绝对值无限增大，则称变量X为负无穷大，记作 lim X 。
例4 讨论自变量x在怎样的变化过程中，下列函数为无穷大：
（1）
y
1 x 1
（2）y 2x 1（3）y 2x
（4）y
1 4
x
解
（1）因为 lim 1 ，所以当 x1 x 1

轻松理解数学中的无穷大与无穷小

轻松理解数学中的无穷大与无穷小无穷大与无穷小是数学中的重要概念，它们在数学分析、微积分等领域中起着至关重要的作用。

本文将以轻松易懂的方式解释数学中的无穷大与无穷小，并探讨它们的性质与应用。

1. 无穷大的定义与性质在数学中，无穷大是指趋向于正无穷或负无穷的数。

我们用符号∞表示正无穷，用符号-∞表示负无穷。

无穷大具有以下性质：1) 任何有限数与无穷大相加、相乘或相除，结果仍为无穷大；2) 无穷大与无穷大相加、相乘或相除的结果无法确定，可以是无穷大、有限数或不存在。

例如，考虑数列{1, 2, 3, ...}，它的每一项都比前一项大1。

当n趋向于无穷大时，数列的项也趋向于无穷大。

这意味着数列{1, 2, 3, ...}中的每一项都可以被认为是无穷大。

2. 无穷小的定义与性质与无穷大相对应的是无穷小。

无穷小是指趋向于零的数，通常用符号ε表示。

无穷小具有以下性质：1) 任何有限数与无穷小相加、相乘或相除，结果仍为无穷小；2) 无穷小与无穷小相加、相乘或相除的结果无法确定，可以是无穷小、有限数或不存在。

举个例子，考虑数列{1/n}，其中n为正整数。

当n趋向于无穷大时，数列的每一项都趋向于零。

这意味着数列{1/n}中的每一项都可以被认为是无穷小。

3. 无穷大与无穷小的关系无穷大和无穷小是相对的概念。

当一个数趋向于无穷大时，它的倒数趋向于零。

换句话说，无穷大与无穷小是互为倒数。

这一性质在数学分析中有着重要的应用。

例如，考虑函数f(x) = 1/x，其中x为实数。

当x趋向于正无穷时，函数f(x)趋向于零；当x趋向于零时，函数f(x)趋向于正无穷。

这说明函数f(x)中的无穷大与无穷小是互为倒数的关系。

4. 无穷大与无穷小的应用无穷大与无穷小在微积分中有着广泛的应用。

它们常用于描述函数的极限行为、导数和积分等。

在求极限的过程中，我们经常需要使用无穷大与无穷小的概念。

例如，当我们计算函数在某一点的极限时，可以利用无穷小的性质来简化计算。

无穷小和无穷大

（2）如果 lim C 0 那么就说β与α是同阶无穷小；

如果 lim 1 那么就说β与α是等价无穷小，

记作
（3）
如果
lim k
C
0, k
0
那么就说β是α的k阶无穷小；
无穷小与无穷大
一、无穷小二、无穷大大
一、无穷小二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系
二、无穷大
（一）无穷大的概念（二）无穷大的性质（三）无穷大的比较
无穷小与无穷大
一、无穷小二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系
无穷小与无穷大
一、无穷小二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系
定理在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，
那么
f
1 (x
)
为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，
y
o
x
二、无穷大
（一）无穷大的概念（二）无穷大的性质（三）无穷大的比较
二、无穷大
（一）无穷大的概念（二）无穷大的性质（三）无穷大的比较
性质1 同一过程中的有界函数与无穷大之和仍为该过程中的无穷大.
性质2 某过程中的有限个无穷大的乘积仍为该过程中的无穷大.
二、无穷大
（一）无穷大的概念（二）无穷大的性质（三）无穷大的比较
仍为该过程中的无穷小？
例
x2, x , 3x 都是 x 0 中的无穷小.
lim x2 lim x 0
x x0
x0
lim x 1 x0 3x 3
定义
设α,β是同一过程中的两个无穷小，且α≠0
（1）
如果
lim

0
那么就说β是比α高阶的无穷小，

无穷大与无穷小的关系定理

无穷大与无穷小的关系定理
无穷大与无穷小是数学中极为重要的概念，它们在分析学、微积分、数论等领域中被广泛运用。

无穷大和无穷小是相对的，它们之间存在一定的关系，本文将介绍无穷大与无穷小的关系定理。

首先，我们来定义无穷大和无穷小。

无穷大是指当自变量趋近于某个数时，函数值趋近于正无穷或负无穷的函数。

无穷小是指当自变量趋近于某个数时，函数值趋近于0的函数。

这里需要注意的是，无穷大和无穷小并不是一种具体的数，而是一种趋近的状态。

1.乘积关系定理
如果$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=+\infty$，$\lim\limits_{x\to
x_0}g(x)=a(a\neq 0)$，那么$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)g(x)=+\infty$；
这个定理的含义是，无穷大和有限数相乘的结果还是无穷大。

而无穷大和无穷小相乘的结果趋近于0。

无穷小和有限数相乘的结果还是无穷小。

这个定理的含义是，当一个函数的极限趋近于0，而除数的极限趋近于无穷大时，被除数的极限趋近于0。

当一个函数的极限存在且不为0，而除数的极限趋近于无穷大时，被除数的极限趋近于被除数的极限乘以无穷大。

这个情况也可以理解为当一个函数在无穷远处变化非常缓慢并趋近于某个有限数时，它就相当于是某个数乘以无穷大的大小。

通过上述三个定理，我们可以看出无穷大和无穷小之间存在一定的关系。

在实际问题中，我们可以通过这些定理帮助我们求解复杂的极限问题。

高等数学专升本教材目录

高等数学专升本教材目录一、函数与极限1. 实数与数集2. 函数及其表示3. 函数的极限与连续性4. 极限运算与极限的存在准则5. 无穷小与无穷大6. 极限的运算法则二、微分学1. 导数的概念与运算法则2. 高阶导数与隐函数求导法3. 导数的几何应用4. 微分中值定理与导数的应用5. 微分学基本公式6. 泰勒公式与函数的展开三、积分学1. 不定积分与定积分的概念2. 定积分的性质与求法3. 反常积分的概念与判定4. 微积分基本公式与换元积分法5. 积分的几何应用6. 定积分的应用与物理应用四、级数与级数检查法1. 数项级数的概念2. 级数的收敛与发散3. 正项级数的比较判别法4. 正项级数的比值判别法5. 函数项级数的收敛性6. 幂级数与泰勒级数五、常微分方程1. 常微分方程的基本概念2. 可分离变量的常微分方程3. 齐次方程与一阶线性非齐次方程4. 高阶线性齐次方程5. 常系数非齐次线性微分方程6. 常微分方程的应用六、多元函数微分学1. 多元函数的概念与极限2. 偏导数及其几何应用3. 全微分与微分中值定理4. 多元函数的极值与最值5. 隐函数与参数方程的微分6. 多元函数的泰勒公式和极限运算法则七、重积分与曲线积分1. 二重积分的概念与性质2. 二重积分的计算方法3. 三重积分的概念与计算4. 重积分的应用5. 曲线积分的概念与计算6. 曲线积分的应用八、曲面积分与散度定理1. 曲面积分的概念与计算2. 散度的概念与计算3. 散度定理的应用4. Green公式与环流的计算5. 散度、旋度与调和函数6. Stokes公式与积分曲线无关性以上为《高等数学专升本教材》的目录，涵盖了高等数学的主要内容及其应用。

无论是函数与极限、微分学、积分学、级数与级数检查法、常微分方程、多元函数微分学，还是重积分与曲线积分、曲面积分与散度定理等章节都对数学专升本的学生提供了全面的知识体系和解题技巧。

这本教材将帮助学生深入理解高等数学的基本概念和原理，并能应用于实际问题的求解中。

河北专升本高等数学教材

河北专升本高等数学教材高等数学作为一门重要的学科，对于河北专升本考试来说至关重要。

河北专升本高等数学教材应该包含哪些内容呢？第一章：极限与连续1.1 极限的定义与性质1.2 极限运算法则1.3 无穷小与无穷大1.4 函数连续与间断1.5 利用导数的应用1.6 变率与导数第二章：导数与微分2.1 反函数与隐函数的导数2.2 高阶导数与高阶微分2.3 微分中值定理2.4 泰勒公式与泰勒展开式2.5 常见函数的导数2.6 曲率与曲率半径第三章：不定积分与定积分3.1 不定积分与原函数3.2 定积分的概念与性质3.3 定积分的计算与应用3.4 计算定积分的几种方法3.5 定积分与不定积分的关系3.6 多重积分的概念与计算第四章：微分方程4.1 常微分方程的基本概念4.2 一阶微分方程的解法4.3 可降阶的高阶微分方程4.4 齐次与非齐次线性微分方程4.5 可化为常系数线性微分方程4.6 近似计算与数值解法第五章：多元函数微分学5.1 多元函数的极限与连续5.2 多元函数的偏导数5.3 多元函数的全微分与全导数5.4 多元函数的隐函数与参数方程5.5 多元函数的最大值与最小值5.6 二重积分与三重积分第六章：无穷级数与傅里叶级数6.1 数项级数的收敛性和发散性6.2 正项级数的审敛法6.3 幂级数与函数项级数6.4 傅里叶级数的基本概念6.5 傅里叶级数的性质与应用6.6 傅里叶变换与逆变换第七章：空间解析几何与向量代数7.1 坐标与向量的基本概念7.2 点、直线、平面的方程7.3 空间曲线与曲面的方程7.4 向量的数量积与向量积7.5 向量的混合积与坐标7.6 空间解析几何与向量的应用以上只是对于河北专升本高等数学教材的一个简要概述，具体的内容还需要根据教学大纲的要求来确定。

通过系统地学习这些知识，可以提高学生在高等数学领域的理论水平和问题解决能力。

高等数学第五节无穷小与无穷大

xxxxxx000
0 0
则称x x0是y f x的铅直渐近线.
8
无穷大与无穷小的关系:
定理2: 在自变量的同一变化过程中，如果f x为无穷大,
则
f
1
x
为无穷小;
反之, 且如果f
x为无穷小,且f
x
0,
则
f
1
x
为无穷大.
证设 lim f x ,
x x0
M 0, 0,当0 x x0 时,有 f x M.
x ( x0 , 1 ),
u M 成立。
U 设 lim 0, 则对于 x x0 当 x ( x0 , 2 )
0, 2 0, 时，恒有 .
M
U 取 min1 , 2, 则当 x ( x0 , ),
u M 及同时成立。
M
从而 u u M .
M
所以，
取
1 M
,对上述
0, 当0
x x0
,
有
1
f x
1 M
f
1
x
为
无穷小.
9
反之 : 设当x x0时, f x为无穷小：
0, 0,当0 x x0 时,就有 f x .
取M
1 , 对上述
0,当0
x x0
时, 就有
1
f x
M.
由 , M的任意性：当x x0时, f 1x为无穷大.
x0
由定理2知, x cos 1 是无穷小,
lim x cos 1 0.
x
x0
x
14
即 y不是无穷大.
7
例2 证明lim 4 x3 x 3
证 M 0, 要使 4 4 M , 只要 x 3 1 ,

山西专升本高数知识点归纳

山西专升本高数知识点归纳山西专升本高数知识点归纳涵盖了高等数学的基本概念、函数、极限、导数、积分等重要内容。

以下是对这些知识点的归纳总结：一、基本概念- 数域：实数集、复数集- 集合运算：交集、并集、补集- 映射：一一映射、满射、双射- 函数：定义域、值域、奇偶性、周期性二、函数- 基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数- 复合函数：复合函数的定义、性质- 反函数：反函数的存在条件、求法三、极限- 数列极限：数列极限的定义、性质- 函数极限：函数极限的定义、性质- 无穷小与无穷大：无穷小的比较、无穷大的概念- 极限存在条件：夹逼定理、单调有界定理四、连续性与间断点- 连续性：函数连续的定义、性质- 间断点：第一类间断点、第二类间断点五、导数与微分- 导数的定义：导数的几何意义、物理意义- 基本导数公式：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数- 高阶导数：高阶导数的定义、性质- 微分：微分的定义、微分中值定理六、导数的应用- 函数的单调性：导数与函数单调性的关系- 函数的极值：极值的定义、求法- 函数的凹凸性：凹凸性的定义、性质- 曲率：曲率的概念、计算方法七、不定积分与定积分- 不定积分：不定积分的定义、基本积分公式- 定积分：定积分的定义、性质- 积分技巧：换元积分法、分部积分法- 定积分的应用：面积、体积、物理量八、级数- 级数的收敛性：正项级数、交错级数、绝对收敛- 幂级数：幂级数的定义、性质- 泰勒级数：泰勒级数的定义、应用九、多元函数微分学- 偏导数：偏导数的定义、性质- 多元函数的极值：拉格朗日乘数法- 方向导数与梯度：方向导数的定义、梯度的概念十、多元函数积分学- 二重积分：二重积分的定义、计算方法- 三重积分：三重积分的定义、计算方法结束语通过以上对山西专升本高数知识点的归纳，我们可以看到高等数学是一个系统而严谨的学科，它不仅要求我们掌握基本的数学概念和运算技巧，还要求我们理解数学思想和方法，培养解决问题的能力。

无穷大无穷小公式总结

无穷大无穷小公式总结一、引言无穷大无穷小公式是高等数学中的重要概念之一，它在极限理论、微积分和数学分析等领域有着广泛的应用。

本文将对无穷大无穷小公式进行总结和介绍，帮助读者理解和掌握这一重要的数学工具。

二、无穷大和无穷小的定义在数学中，无穷大和无穷小是极限理论的基础概念。

无穷大是指当自变量趋于某一特定值时，函数取得的值趋于无穷的情况；无穷小则是指当自变量趋于某一特定值时，函数取得的值趋于零的情况。

三、无穷大无穷小的关系无穷大和无穷小之间存在一定的关系，可以通过极限运算互相转换。

具体而言，当自变量趋于某一特定值时，如果函数f(x)是无穷小，那么1/f(x)就是无穷大；反之，如果函数f(x)是无穷大，那么1/f(x)就是无穷小。

四、无穷大无穷小的性质无穷大无穷小具有一些重要的性质，这些性质在数学分析和微积分等领域的推导中起着关键作用。

以下是其中的几个性质：1. 无穷大与常数的乘积仍为无穷大；2. 无穷大与无穷小的乘积趋于无穷小；3. 无穷小的高阶无穷小是低阶无穷小的倍数；4. 无穷小的和、差仍为无穷小；5. 无穷大的和、差不一定是无穷大。

五、无穷大无穷小的应用无穷大无穷小公式在数学分析和微积分中有着广泛的应用。

它们可以用于求解极限、计算导数、积分等问题。

在实际问题中，无穷大无穷小公式也经常被用于描述物理过程、经济模型和工程应用等。

六、举例说明为了更好地理解无穷大无穷小公式的应用，我们举一个简单的例子进行说明。

假设有一个函数f(x) = x^2，在x趋于无穷大时，函数的值也趋于无穷大。

根据无穷大无穷小的关系，我们可以得到1/f(x) = 1/(x^2)，在x趋于无穷大时，1/f(x)趋于0，即1/x^2是一个无穷小。

七、总结无穷大无穷小公式是数学中的重要概念，在极限理论、微积分和数学分析等领域有着广泛的应用。

本文对无穷大无穷小的定义、关系、性质和应用进行了总结和介绍，并通过举例说明了其在实际问题中的应用。

高等数学专升本知识点

高等数学专升本知识点
1. 极限与连续
- 闭区间套定理
- 无穷小与无穷大
- 函数的极限定义和性质
- 极限存在准则（夹逼定理、单调有界准则）
- 洛必达法则
- 连续函数的定义和性质
- 间断点与间断类型
2. 导数与微分
- 导数的定义和性质
- 高阶导数
- 函数求导法则（和差法则、积法则、商法则、复合函数法则）
- 隐函数求导
- 参数方程求导
- 微分的定义和性质
- 级数收敛与发散
- 泰勒展开与泰勒公式
3. 微分方程
- 常微分方程的基本概念
- 一阶常微分方程解法（分离变量法、齐次方程法、一阶线性方程法） - 高阶常微分方程解法（常系数齐次线性方程、常系数非齐次线性方程） - 变量可分离的偏微分方程
- 一阶线性偏微分方程
- 泊松方程和拉普拉斯方程
4. 曲线与曲面积分
- 曲线的参数方程
- 曲线积分的定义和性质
- Green公式
- 曲面的参数方程
- 曲面积分的定义和性质
- 散度与无源场
- 斯托克斯公式
5. 多元函数微分学
- 多元函数的极限、连续、偏导数
- 隐函数定理
- 多元函数的极值（条件极值）
- 多元函数的微分学中值定理
- 多元函数的泰勒公式
- 二重积分的定义和性质
- 三重积分的定义和性质
6. 多元函数积分学
- 曲线的参数方程和弧长
- 平面区域和曲面积分的计算方法
- 广义积分的收敛性
- 极坐标系和柱坐标系下的积分
这些知识点涵盖了高等数学专升本的常见考点，希望对你的学习有帮助。

无穷小与无穷大的概念及其应用

无穷小与无穷大的概念及其应用在数学中，无穷小与无穷大是极限理论中重要的概念，它们可以帮助人们更好地理解一些数学问题。

在本文中，我们将详细介绍无穷小与无穷大的概念及其应用。

一、无穷小的概念在数学中，无穷小是指当自变量趋近于某个值时，其函数值趋近于零。

例如，当x趋近于零时，函数f(x)的极限为零，则f(x)是x趋于零时的无穷小。

无穷小也可以写成dx，dy等形式，用来表示变化量非常小的量。

例如，在微积分中，dx表示自变量x的无穷小变化量。

在求导数、积分等一些数学问题中，无穷小是一个非常重要的概念，它可以帮助我们更清楚地理解数学中的一些问题。

二、无穷大的概念与无穷小相反，无穷大是指当自变量趋近于某个值时，其函数值趋近于无穷大。

例如，在x趋近于零时，函数f(x)的极限为无穷大，则f(x)是x趋于零时的无穷大。

同样地，无穷大也可以写成+∞，-∞等形式，用来表示函数值非常大或非常小的量。

在求函数的渐近线、解方程等问题中，无穷大也是一个非常重要的概念。

三、无穷小与无穷大的应用在实际生活中，无穷小与无穷大的应用非常广泛。

下面我们来介绍一些常见的应用场景。

1. 极限问题无穷小与无穷大在求极限问题中非常重要。

例如，在求这个函数的极限时：lim(x→0) ( sinx )/x我们使用无穷小的概念，将sinx写成其无穷小形式，即：sinx = x + o(x), (x→0)代入原式中，可以得到：lim(x→0) ( sinx )/x = lim(x→0) (x+o(x))/x=lim(x→0) 1+o(1) = 1其中，o(1)表示x趋于0时的无穷小。

这个例子中，我们利用无穷小的概念，将不易求解的极限问题简化为易于求解的简单问题。

2. 渐近线在函数的渐近线问题中，无穷大是一个非常重要的概念。

例如，在下面这个函数中：f(x) = 1/(x-1)当x趋近于1时，函数的值趋近于无穷大，因此x=1是这个函数的一个垂直渐近线。

3. 解方程在解方程问题中，无穷大也是一个非常重要的概念。

《无穷小和无穷大》课件

无穷小序列
讨论无穷小序列的定义及其特点。
无穷大序列
介绍无穷大序列的定义和性质。
性质
无穷小性质
探讨无穷小的性质，比如加法、乘法和极限运算。
无穷大性质
讨论无穷大的性质，如无穷大和有界函数的关系。
无穷小与有界函数
探讨无穷小和有界函数之间的关联。
无穷大与趋向无穷函数
讨论无穷大和趋向无穷函数之间的关系。
讨论
1
无穷小的判定
介绍判断一个数是否为无穷小的方法
无穷大的判定
2
和技巧。
讨论判断一个数是否为无穷大的方法
和策略。
3
常用的无穷小和无穷大
列举常见的无穷小和无穷大，并探究
可比无穷大和同阶无穷小
4
它们的应用。
解释可比无穷大和同阶无穷小的概念及其重要性。
应用
洛必达法则
介绍洛必达法则及其在无穷小和无穷大中的应用。
泰勒公式
解释泰勒公式及其在无穷小和无穷大中的作用。
解析几何中的应用
探讨无穷小和无穷大在解析几何中的实际应用。
总结
定义和性质回顾
回顾无穷小和无穷大的定义及其性质。
应用场景总结
总结无穷小和无穷大在不同领域中的应用场景。
未来深入学习方向
指导听众进一步学习无穷小和无穷大相关领域的知识。
ห้องสมุดไป่ตู้
参考文献
提供相关学术文献和参考资料，供听众进一步学习和研究。
《无穷小和无穷大》PPT 课件
# 无穷小和无穷大介绍无穷小和无穷大的概念及其重要性。
前言
1 基础研究
2 概念讨论
无穷小和无穷大在研究区间内函数性质中扮演着重要角色。

专升本高数复习资料全

第一章极限和连续第一节极限[复习考试要求]1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。

会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。

3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。

会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。

会运用等价无穷小量代换求极限。

4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

第二节函数的连续性[复习考试要求]1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。

2.会求函数的间断点。

3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。

4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。

第二章一元函数微分学第一节导数与微分[复习考试要求]1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。

2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。

4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。

会求分段函数的导数。

5.了解高阶导数的概念。

会求简单函数的高阶导数。

6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。

第二节导数的应用[复习考试要求]1.熟练掌握用洛必达法则求“0·∞”、“∞-∞”型未定式的极限的方法。

2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。

会利用函数的单调性证明简单的不等式。

3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。

4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。

5.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线第三章一元函数积分学第一节不定积分[复习考试要求]1.理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。

专升本高数《无穷大量与无穷小量》

例如,当x 0时, x sin 1 , x2 arctan 1 都是无穷小
x
x
二、无穷大
绝对值无限增大的变量称为无穷大.
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
lim f ( x) (或 lim f ( x) )
x x0 ( x)
x x0 ( x)
注意 1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
2.切勿将 lim f ( x) 认为极限存在. x x0
0, 数列{(1)n }是当n n
时的无穷小.
注意 1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
2.零是可以作为无穷小的唯一的数.
2.无穷小与函数极限的关系:
证必要性设 lim f ( x) A, 令 ( x) f ( x) A, x x0 则有 lim ( x) 0, f ( x) A ( x). x x0 充分性设 f ( x) A ( x),
3.无穷小的运算性质:
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
证设及是当x 时的两个无穷小,
0,N1 0, N2 0,使得
当
x
N
时恒有
1
; 2
当
x
N
时恒有
2
; 2
取 N max{N1 , N2 }, 当 x N时, 恒有 ,
22
0 (x )
第五节无穷小与无穷大
一、无穷小二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系四、小结
一、无穷小
1.定义: 极限为零的变量称为无穷小.
例如,
lim sin x 0, 函数sin x是当x 0时的无穷小. x0
lim 1 0, x x
函数 1 是当x 时的无穷小. x

如何理解无穷大和无穷小

无穷大和无穷小是数学中的概念，常常出现在极限和无穷级数等领域中。

理解无穷大和无穷小的概念对于数学的研究和应用至关重要。

在此，我们将探讨如何理解无穷大和无穷小。

首先，无穷大可以理解为一个趋向于正无穷或负无穷的数。

当一个数的绝对值越来越大，超过所有有限数，我们可以说它是无穷大。

举个例子，考虑函数f(x) = x^2，当 x 接近于正无穷时，f(x) 也趋向于正无穷。

这就是说，随着x 的增大，f(x)的值也会越来越大，超过所有有限数。

类似地，当 x 接近于负无穷时，f(x) 也趋向于正无穷。

因此，我们可以说 f(x) 在正无穷和负无穷处具有无穷大的极限。

然而，我们需要注意无穷大并不是一个确切的数值，而是一个数的性质。

它描述了一个数的增长或减小趋势，而不是一个具体的值。

因此，当我们说一个数是无穷大时，我们并不是在给出一个确定的值，而是在描述这个数相对于其他数的比较关系。

与无穷大相对应的是无穷小。

无穷小可以理解为一个趋向于零的数。

当一个数的绝对值越来越小，无限地接近于零，我们可以说它是无穷小。

举个例子，考虑函数 g(x) = 1/x，当 x 接近于正无穷时，g(x) 趋向于零。

这就是说，随着x 的增大，g(x) 的绝对值会越来越小，且无限接近于零。

因此，我们可以说g(x) 在正无穷处具有无穷小的极限。

与无穷大类似，无穷小也不是一个确切的数值，而是一个数的性质。

它描述了一个数的减小趋势，而不是一个具体的值。

因此，当我们说一个数是无穷小时，我们并不是在给出一个确定的值，而是在描述这个数相对于其他数的比较关系。

在数学中，我们常常使用无穷大和无穷小的概念来研究极限、无穷级数和微积分等领域。

通过理解无穷大和无穷小，我们可以更好地理解极限的概念。

例如，当我们说一个函数在某点处的极限为无穷大时，我们可以理解为在该点附近的数值对于无穷大来说越来越大。

类似地，当我们说一个函数在某点处的极限为无穷小时，我们可以理解为在该点附近的数值对于零来说越来越小。