双曲线的几何性质(教师版)
(完整)双曲线的方程及其几何性质
双曲线的标准方程及其几何性质一、双曲线的标准方程及其几何性质。
1．双曲线的定义：平面内与两定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数(大于零，小于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F 1、F 2是焦点,两焦点间的距离｜F 1F 2|是焦距，用2c 表示，常数用2a 表示. (1）若｜MF 1｜-|MF 2｜=2a 时，曲线只表示焦点F 2所对应的一支双曲线. (2)若｜MF 1|—｜MF 2｜=—2a 时，曲线只表示焦点F 1所对应的一支双曲线.(3)若2a =2c 时,动点的轨迹不再是双曲线，而是以F 1、F 2为端点向外的两条射线。
（4）若2a ＞2c 时，动点的轨迹不存在.2。
双曲线的标准方程：22a x -22b y =1(a ＞0,b ＞0）表示焦点在x 轴上的双曲线;22a y -22bx =1(a ＞0，b ＞0)表示焦点在y 轴上的双曲线。
判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x 2、y 2的分母的大小，而是x 2、y 2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上。
4.直线与双曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与双曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定。
（1）通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x （或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式∆，则有：⇔>∆0直线与双曲线相交于两个点；⇔=∆0直线与双曲线相交于一个点；⇔<∆0 直线与双曲线无交点．（2）若得到关于x (或y ）的一元二次方程,则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平行于双曲线的一条渐近线．(3)直线l 被双曲线截得的弦长2212))(1(x x k AB -+=或2212))(11(y y k-+，其中k 是直线l 的斜率，),(11y x ，),(22y x 是直线与双曲线的两个交点A ，B 的坐标,且212212214)()(x x x x x x -+=-，21x x +，21x x 可由韦达定理整体给出．二、例题选讲例1、中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为 ( ）A ．x 2－y 2＝1 B ．x 2－y 2＝2 C ．x 2－y 2＝错误! D ．x 2－y 2＝错误!解析：由题意，设双曲线方程为x 2a2－错误!＝1(a >0)，则c ＝错误!a ，渐近线y ＝x ，∴错误!＝错误!，∴a 2＝2。
《3.2.2 双曲线的几何性质》教学设计教学反思-2023-2024学年中职数学高教版21拓展模块一
《双曲线的几何性质》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 知识与技能：掌握双曲线的几何性质，包括开口方向、焦点位置、离心率等，能够运用双曲线知识解决相关问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析、探究双曲线的几何性质，提高观察、分析和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：培养数学兴趣和探究精神，增强对数学与生活的联系认识。
二、教学重难点1. 教学重点：掌握双曲线的几何性质，如开口方向、焦点位置、离心率等。
2. 教学难点：如何引导学生观察、分析、探究双曲线的几何性质，提高解决问题的能力。
三、教学准备1. 准备教学用具：黑板、白板、投影仪等教学设备，以及双曲线标准图象。
2. 制作课件：包括双曲线标准图象以及相关问题的示例和解答。
3. 搜集资料：收集与双曲线几何性质相关的实际应用案例，用于课堂讲解和讨论。
四、教学过程：本节课是双曲线的几何性质第一课时，是在学生学习了椭圆性质的基础上进行学习的，学习目的是通过类比学习，培养学生自主学习和探究的能力。
为了达成目标，结合本节课内容，我设计如下五个环节：1. 创设情境，引入课题以刘翔跨栏的视频情境为切入点，请学生回想如何计算位移与时间。
将刘翔百米跨栏比赛的视频进行回顾剪辑，给学生展示赛前与比赛结束的栏杆间距和所用时间，引导学生回忆计算位移的方法。
教师给出实际问题：在离地面3米高处要安装一个灯箱，离地面5米高处再安装一个灯箱，如果要求灯箱与地面距离差不超过2米，问两条灯箱的位置应如何设置？请用数学语言描述这个问题。
学生尝试用学过的知识解决这个问题。
通过类比问题，引入双曲线概念和简单几何性质。
设计意图：以刘翔跨栏视频创设情境，有利于激发学生的学习兴趣和求知欲，让学生体会到数学与体育的关系无处不在，同时也自然地引入课题。
2. 自主学习，合作探究将学生分成小组，结合课件通过多媒体网络自学教材内容，对双曲线的定义及几何性质进行自主探究，解决在自学中遇到的疑难问题。
在此过程中教师巡回指导，帮助学生解决疑难问题。
双曲线的简单几何性质总结归纳人教
一．基本概念1 双曲线定义：①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．②动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线 2、双曲线图像中线段的几何特征：⑴实轴长122A A a =，虚轴长2b,焦距122F F c = ⑵顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+⑶顶点到准线的距离：21122 a A K A K a c ==-；21221 a A K A K a c ==+⑷焦点到准线的距离：2211221221 a a F K F K c F K F K c c c==-==+或 ⑸两准线间的距离: 2122a K K c=⑹21F PF ∆中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠，将有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来，12212cot2PF F F PF S b ∆∠= ⑺离心率：121122121122PF PF A F A F c e PM PM A K A K a ======∈（1，+∞）⑻焦点到渐近线的距离：虚半轴长⑼通径的长是a b 22，焦准距2b c ，焦参数2b a（通径长的一半）其中222b a c +=a PF PF 221=-3 双曲线标准方程的两种形式：①22a x －22b y =1，c =22b a +，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0） ②22a y －22bx =1，c =22b a +，焦点是F 1（0，－c ）、F 2（0，c ） 4、双曲线的性质：22a x －22by =1（a ＞0，b ＞0）⑴范围：|x |≥a ，y ∈R⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线：①若双曲线方程为12222=-b y a x 渐近线方程⇒=-02222b y a x x aby ±=②若渐近线方程为x a b y ±=0=±bya x 双曲线可设为λ=-2222b y a x③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x（0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）④特别地当⇔=时b a 离心率2=e 两渐近线互相垂直，分别为y=，此时双曲线为等轴双曲线，可设为λ=-22y x ；y =a b x ，y =－abx ⑸准线：l 1：x =－c a 2，l 2：x =c a 2，两准线之距为2122a K K c=⋅⑹焦半径：21()a PF e x ex a c =+=+，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；22()a PF e x ex a c=-=-，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；当焦点在y 轴上时，标准方程及相应性质（略）⑺与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222by a x )0(≠λ⑻与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x ⑼双曲线上过焦点的弦，当弦的两端点在双曲线的同一支上时，过焦点且垂直于实轴的弦最短，当弦的两端点在双曲线的两支上时，以实轴长最短。
第二讲 双曲线中常用的结论及解法技巧(教师版)
1a
0,b
0 交于
A，B
两点，以
AB
为
直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 F ，若 △ABF 的面积为 4a2 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． 2
B． 3
C．2
D． 5
【答案】D 【解析】由题意可得图像如下图所示： F 为双曲线的左焦点，
∵ AB 为圆的直径，∴ AFB 90 ，
根据双曲线、圆的对称性可知：四边形
则（1）|
PF1
||
PF2
|
2b2 1 cos
；（2）双曲线的焦点角形的面积为
S F1PF2
b2 ．
tan
2
3．过双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0,b
0 上任一点
A(x0 ,
y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交双
曲线于 B,C
两点，则直线 BC 有定向且 kBC
b2 x0 a2 y0
（常数）．
tan
2
cot
2
（或
c c
a a
tan
2
cot
2
）．
14 ． 设
A, B
是双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0 的实轴两端点，
P
是双曲线上的一点，
PAB ， PBA ， BPA ， c、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有
2
(1) |
PA
|
|
2ab2 | cos | a2 c2co s2
b2
几何性质：双曲线上任一点到左右（上下）两顶点的斜率之积为 ．
a2
二．双曲线经典结论汇总
8.4双曲线的简单几何性质(教师)
第4节 双曲线的简单几何性质三点剖析：一、教学大纲及考试大纲要求：1．掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质 2．掌握标准方程中c b a ,,的几何意义3．能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题二．重点与难点教学重点：双曲线的渐近线、离心率、双曲线的另一种定义及其得出过程教学难点：渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系，双曲线的另一种定义的得出过程三.（1）本节知识理解（2）要点诠释1．范围、对称性由标准方程12222=-by ax ，从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 2．顶点顶点：()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b Bb B -,0),,0(21实轴：21A A 长为2a, a 叫做实半轴长虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异 3．渐近线过双曲线12222=-by ax 的两顶点21,A A ，作Y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B 作X 轴的平行线b y ±=，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是x a b y ±=（0=±by ax ），这两条直线就是双曲线的渐近线4．等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率=e等轴双曲线可以设为：)0(22≠=-λλy x ，当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上5．共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为x ab y ±=)0(>±=k x kakb ，那么此双曲线方程就一定是：)0(1)()(2222>±=-k kb yka x或写成λ=-2222by ax6．双曲线的草图具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线 7．离心率双曲线的焦距与实轴长的比ac ac e ==22，叫做双曲线的离心率 范围：1>e双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e ac aa c ab k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔8．共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别：三量a,b,c 中a,b 不同（互换）c 相同共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1共用同一对渐近线kx y ±=的双曲线的方程具有什么样的特征：可设为)0(1222≠=-λλky x，当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上9． 双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数)0(>>=a c ac e 的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e 是双曲线的离心率．10．准线方程：对于12222=-by ax 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线cax l 21:-=，相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线c ax l 22:=；位置关系：02>>≥caa x 焦点到准线的距离cbp 2=（也叫焦参数）对于12222=-bx ay 来说，相对于上焦点),0(1c F -对应着上准线cay l 21:-=；相对于下焦点),0(2c F 对应着下准线cay l 22:=11.双曲线的焦半径定义：双曲线上任意一点M 与双曲线焦点21,F F 的连线段，叫做双曲线的焦半径焦半径公式的推导：利用双曲线的第二定义，设双曲线)0,0( 12222>>=-b a by ax ，21,F F 是其左右焦点则由第二定义：e d MF =11， ∴e cax MF =+2011ex a MF +=∴同理 02ex a MF -=即有焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式： ⎩⎨⎧-=+=∴0201ex a MF ex a MF同理有焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式：⎩⎨⎧-=+=∴0201ey a MF ey a MF （ 其中21,F F 分别是双曲线的下上焦点）点评：双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号，如果要去绝对值，需要对点的位置进行讨论。
双曲线的几何性质教案
双曲线的几何性质教案【教案】一、教学目标：1.了解双曲线的定义及基本特点；2.学习双曲线的标准方程；3.掌握双曲线的几何性质。
二、教学重点：1.学习双曲线的标准方程；2.掌握双曲线的几何性质。
三、教学内容：1.双曲线的定义及基本特点：双曲线是平面上一类特殊的曲线，与椭圆和抛物线相似，它们都是二次曲线。
双曲线的特点是曲线上的每一点到两个固定点（称为焦点）的距离之差等于一个常数（称为离心率）的绝对值。
双曲线有两条分支，两个焦点分别位于两条分支的焦点处。
两条分支无限延伸，且永不相交。
2.双曲线的标准方程：标准方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 或$\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$。
其中，a为双曲线横轴方向的半轴长，b为双曲线纵轴方向的半轴长。
3.双曲线的几何性质：(1) 对称性：双曲线关于x轴、y轴对称，关于原点对称；(2) 焦点性质：曲线上任意一点到两个焦点的距离之差等于离心率的绝对值；(3) 焦点到顶点的距离等于半轴长a；(4) 曲线和渐近线的关系：当$x\to+\infty$或$x\to-\infty$时，曲线趋于渐近线$y=\pm\frac{b}{a}x$；(5) 端点位置：双曲线与横轴和纵轴的交点分别称为端点，位于横轴上的端点坐标为$(\pm a, 0)$，位于纵轴上的端点坐标为$(0, \pm b)$；(6) 曲线的拐点：双曲线没有拐点。
四、教学过程：1.引入双曲线的概念，通过图像展示和对比椭圆、抛物线等曲线的差异，激发学生的兴趣。
2.介绍双曲线的定义及基本特点：说明双曲线与焦点、离心率的关系，引导学生思考对称性、焦点性质等几何特征。
3.讲解双曲线的标准方程：通过代入具体的数值，给予学生实际的例子，帮助他们理解标准方程的含义。
4.分析双曲线的几何性质：依次介绍对称性、焦点性质、焦点到顶点的距离、曲线和渐近线的关系、端点位置以及曲线的拐点等重要几何性质。
苏教版选修2《双曲线的几何性质》教案及教学反思2024
苏教版选修2《双曲线的几何性质》教案及教学反思教案简介本教案主要针对高中数学选修2的“双曲线的几何性质”主题进行设计，旨在通过对双曲线的定义、性质和相关定理的学习，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
教学时长：2课时教学目标1.学习双曲线的定义并理解其基本性质；2.掌握双曲线的基本方程及其相关变形；3.理解双曲线的渐近线及其性质；4.学习双曲线的焦点、准线、离心率等相关概念及其相关定理；5.能够应用所学知识解决相关问题。
教学重点与难点教学重点1.双曲线的定义及基本性质；2.双曲线的基本方程及其相关变形；3.双曲线的焦点、准线、离心率等相关概念及其相关定理。
教学难点1.双曲线的定义及其与其他曲线的区别；2.双曲线的渐近线及其性质；3.焦点、准线、离心率等概念的应用。
教学内容与方法教学内容第一节双曲线的定义与基本性质1.双曲线定义；2.双曲线的基本性质。
第二节双曲线的基本方程与相关变形1.双曲线的标准方程；2.双曲线的一般方程；3.双曲线的其他相关变形。
第三节双曲线的渐近线与性质1.双曲线渐近线的定义；2.双曲线渐近线的方程；3.双曲线渐近线的性质。
第四节双曲线的焦点、准线、离心率等相关概念及其相关定理1.双曲线的焦点；2.双曲线的准线；3.双曲线的离心率；4.相关定理。
教学方法1.板书示范法；2.讲解演示法；3.课堂练习与讨论。
教学反思本节课是高中选修2数学课程中讲解双曲线的性质和相关定理，旨在提高学生的证明能力和解决实际问题的能力。
整节课程涵盖了双曲线的定义、性质、基本方程及其变形、渐近线、焦点、准线、离心率等知识点，并通过讲解和课堂练习，引导学生逐步掌握这些概念和定理。
本节课重点在于帮助学生理解双曲线的性质与定义。
因此，我在课前准备了充分的教学材料，包括简明明了的课堂笔记和一些示例问题。
由于双曲线这个概念对学生来说可能比较抽象，因此我通过板书、图解、例题等多种方式演示双曲线的性质和特点，帮助学生理解双曲线的概念，并通过多次示范及讨论进行自主思考和总结。
双曲线的简单几何性质(经典)
双曲线的简单几何性质【知识点1】双曲线22a x -22b y ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x ｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点：A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴长为2a ，虚轴长为2b ，且(4)＝1中的1(5)(6)e ＝2(7)注意：且λ（2）与椭圆2a +2b ＝1(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λ-2a -λ-2b ＝1(λ＜a 2,其中b 2-λ＞0时为椭圆，b 2＜λ＜a 2时为双曲线)（3）双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l :x ＝c a 2的距离之比等于常数e ＝a c(c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝c b 2，与椭圆相同.1、写出双曲线方程1254922-=-y x 的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程2、已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=，求双曲线的离心率3、求以032=±y x 为渐近线，且过点p （1,2）的双曲线标准方程4、已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程。
5、求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()23,3A -点的双曲线的标准方及离心率．【知识点2】弦长与中点弦问题（1）．直线和圆锥曲线相交时的一般弦长问题：一般地，若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ，A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则弦长]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+=]4)[()11(11212212122y y y y ky y k -+⋅+=-⋅+=,这里体现了解析几何“设而不求”的（2）设A(x 1；对于y 2【变1变4】7、过双曲线2212y x -=的右焦点F 作直线l 交双曲线于A,B 两点,若|AB|=4,这样的直线有几条？【题型2】双曲线离心率的求法一、根据离心率的范围，估算e ：即利用圆锥的离心率的范围来解题，有时可用椭圆的离心率e ∈()01，，双曲线的离心率e >1，抛物线的离心率e =1来解决。
【参考教案】《双曲线的简单几何性质》(人民教育出版社)
一、教案内容：《双曲线的简单几何性质》1. 教学目标（1）理解双曲线的定义及标准方程。
（2）掌握双曲线的焦点、实轴、虚轴、顶点等基本几何性质。
（3）能够运用双曲线的性质解决实际问题。
2. 教学重点与难点（1）双曲线的定义及标准方程。
（2）双曲线的焦点、实轴、虚轴、顶点等基本几何性质。
3. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组讨论法等，引导学生主动探究、合作交流。
4. 教学过程（1）导入：通过复习椭圆的相关知识，引导学生思考双曲线的定义及性质。
（2）新课讲解：介绍双曲线的定义、标准方程及基本几何性质。
（3）案例分析：分析具体的双曲线例子，让学生加深对双曲线性质的理解。
（4）课堂练习：布置相关的练习题，巩固所学知识。
（5）总结拓展：引导学生思考双曲线在实际问题中的应用。
5. 课后作业（1）复习双曲线的定义及标准方程。
（2）练习双曲线的性质分析。
二、教案内容：《双曲线的焦点与实轴、虚轴的关系》1. 教学目标（1）掌握双曲线的焦点与实轴、虚轴的关系。
（2）能够运用焦点与实轴、虚轴的关系解决实际问题。
2. 教学重点与难点（1）双曲线的焦点与实轴、虚轴的关系。
3. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组讨论法等，引导学生主动探究、合作交流。
4. 教学过程（1）导入：复习双曲线的定义及基本几何性质。
（2）新课讲解：介绍双曲线的焦点与实轴、虚轴的关系。
（3）案例分析：分析具体的双曲线例子，让学生加深对焦点与实轴、虚轴关系的理解。
（4）课堂练习：布置相关的练习题，巩固所学知识。
（5）总结拓展：引导学生思考焦点与实轴、虚轴关系在实际问题中的应用。
5. 课后作业（1）复习双曲线的焦点与实轴、虚轴的关系。
（2）练习运用焦点与实轴、虚轴关系解决实际问题。
三、教案内容：《双曲线的顶点与渐近线》1. 教学目标（1）掌握双曲线的顶点与渐近线。
（2）能够运用顶点与渐近线解决实际问题。
2. 教学重点与难点（1）双曲线的顶点与渐近线。
双曲线的几何性质教案
双曲线的几何性质教案教案标题：双曲线的几何性质教案目标：1. 了解双曲线的定义和基本性质。
2. 掌握双曲线的几何性质，包括焦点、准线、渐近线等。
3. 能够应用所学知识解决与双曲线相关的几何问题。
教案步骤：引入活动：1. 引导学生回顾并复习椭圆和抛物线的几何性质，引出双曲线的概念。
2. 引导学生思考双曲线与椭圆、抛物线的异同之处。
知识讲解：3. 介绍双曲线的定义，以及与椭圆和抛物线的区别。
4. 解释双曲线的标准方程，并讲解如何根据方程确定双曲线的形状和位置。
性质探究：5. 讲解双曲线的焦点和准线的定义，以及它们与双曲线方程中的参数的关系。
6. 引导学生通过计算实例，理解焦点和准线对双曲线形状的影响。
应用实践：7. 引导学生通过实例，探究双曲线的渐近线的性质和方程。
8. 给学生一些实际问题，要求他们应用所学知识解决问题，如：给定双曲线的焦点和准线，求双曲线的方程。
巩固练习：9. 提供一些练习题，让学生巩固所学知识。
总结回顾：10. 总结双曲线的几何性质，强调重点和难点。
11. 鼓励学生提问和解答疑惑。
教学辅助：- 演示板或投影仪，用于展示双曲线的图形和方程。
- 教科书或教学PPT，用于讲解和示范。
- 计算器，用于计算实例。
教学评估：- 在课堂上观察学生的参与度和理解情况。
- 布置作业，检查学生对双曲线几何性质的掌握程度。
- 进行小组或个人演示，让学生展示他们对双曲线的理解和应用能力。
教案扩展：- 引导学生进一步探究双曲线的其他性质，如离心率、直线的切线等。
- 引导学生应用双曲线的性质解决更复杂的几何问题，如求解交点、证明性质等。
注意事项：- 确保讲解清晰，语言简明扼要，避免过于抽象或复杂的表达。
- 鼓励学生思考和提问，激发他们的兴趣和参与度。
- 根据学生的实际情况和学习进度，适当调整教学内容和步骤。
2.3.2《双曲线的简单几何性质》(人教版选修2-1)
（2）如图，线段 A1A2 叫做双曲线 的实轴，它的长为2a,a叫做
实半轴长；线段 B1B2 叫做双
曲线的虚轴，它的长为2b,b
y
叫做双曲线的虚半轴长.
（见教材P.56)
b B2
（3）实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
x2 y 2 m(m 0)
A1 -a o a A2
x
-b B1
第6页，共69页。
2.3.2 双曲线简单的几何性质 (一)
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定义 图象
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
M
y
M F2
F1 o F2 x
x
F1
方程
焦点
a.b.c 的关系
x2 a2
y2 b2
1
y2 x2 a2 b2 1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2
(x,-y)
x以轴-x、代yx轴方是程不双变曲，线故的图对像称关轴于，原轴y点对是称对；称中心，
又 以-叫y代做y方双程曲不线变的，中故心图像。关于 轴对x 称；。
以-x代x且以-y代y方程不变，故图像关于 原点对称
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3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶点是A1(a,0)、A2 (a,0)
P( 1,－3 ) 且离心率为 的2双曲线标准方程.
y2 x2 1 88
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学习小结:
渐近线方程为 y b x 的双曲线的方程可写 a
成
x2 a2
y2 b2
y b x a
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【人教B版】双曲线的几何性质 教师版
【人教B 版】双曲线的几何性质学习目标1.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.能用双曲线的几何性质解决一些简单问题．导语在研究椭圆的几何性质时，我们从图形、方程、范围、顶点、轴长、焦点、对称性、离心率等多方面进行了研究，下面我们类比研究椭圆性质的方法研究双曲线的性质．一、双曲线的简单几何性质问题1类比对椭圆几何性质的研究，探究双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的几何性质．2．对称性x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)关于x 轴、y 轴和原点都对称．x 轴、y 轴是双曲线的对称轴，坐标原点是对称中心，又称为双曲线的中心．3．顶点(1)双曲线与对称轴的交点，称为双曲线的顶点.顶点是A 1(－a ,0)，A 2(a ,0)，只有两个．(2)如图，称线段A 1A 2为双曲线的实轴，它的长为2a ，a 称为半实轴长；称线段B 1B 2为双曲线的虚轴，它的长为2b ，b 称为双曲线的半虚轴长．(3)实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线．方程为x 2－y 2＝m (m ≠0)．4．渐近线双曲线在第一象限内部分的方程为y ＝ba x 2－a 2，它与y ＝b a x 的位置关系：在y ＝ba x 的下方．它与y ＝bax 的位置的变化趋势：慢慢靠近．(1)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x .(2)利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图．5．离心率(1)定义：e＝ca.(2)e的范围：e>1.(3)e的含义：因为c>a>0，所以可以看出e>1，另外，注意到ba＝c2－a2a＝c2－a2a2＝e2－1，说明e越趋近于1，则ba的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄．知识梳理(2)等轴双曲线的离心率为2，渐近线方程为y＝±x.(3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置．(4)焦点到渐近线的距离为b.(5)画双曲线时，先画两条渐近线．例1求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．延伸探究若将双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m>0，n>0)，求双曲线的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．跟踪训练1双曲线x 2－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于()A.12B.22C ．1D.2二、由简单几何性质求标准方程例2求满足下列条件的双曲线的方程：(1)已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为53，且经过点M (－3,23)；(2)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；(3)过点(2,1)的等轴双曲线．跟踪训练2求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x 轴上，虚轴长为8，离心率为53；(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝233，过点A (0，－b )和B (a ,0)的直线与原点的距离为32，求此双曲线的标准方程．三、双曲线的离心率例3已知圆C ：x 2＋y 2－10y ＋21＝0与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是()A.2B.53C.52D.5跟踪训练3已知F 1，F 2右焦点，P 为该双曲线上一点，若△PF 1F 2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为()A.3＋1B.2＋1C ．23D ．221．知识清单：(1)双曲线的几何性质．(2)等轴双曲线．(3)双曲线的离心率．2．方法归纳：待定系数法、直接法、解方程法．3．常见误区：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错．1.(多选)已知双曲线方程为x 2－8y 2＝32，则()A ．实轴长为82B ．虚轴长为4C ．焦距为6D ．离心率为3242．双曲线x 29－y 216＝1的左焦点与右顶点之间的距离等于()A ．6B ．8C ．9D ．103．中心在原点，焦点在x 轴上，且一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线的方程是()A ．x 2－y 2＝8B ．x 2－y 2＝4C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝44.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以正方形ABCD 的两个顶点A ，B 为焦点，且过点C ，D 的双曲线的离心率是________．课时对点练1．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1(a >0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于()A.31414B.324C.32D.432．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为()A.x 225－y 225＝1 B.x 29－y 29＝1C.y 216－x 216＝1 D.x 216－y 216＝13．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为()A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x 4．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为()A ．4B ．3C ．2D ．15．(多选)若双曲线C 的一个焦点F (5,0)，P 是双曲线上一点，且渐近线方程为y ＝±43x ，则下列结论正确的是()A．C的方程为x29－y216＝1 B．C的离心率为54C．焦点到渐近线的距离为3 D．|PF|的最小值为26．(多选)已知曲线C：x2m2＋y2m－2＝1，下列说法不正确的是()A．m<2时该曲线为双曲线B．m＝1是曲线C为等轴双曲线的充要条件C．若曲线C为双曲线，则该双曲线的焦点一定在x轴上D．若该曲线的离心率为7，则m＝12或m＝－2 37．双曲线x2－y23＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于________．8．若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为________．9．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆(x－5)2＋y2＝16相切．(1)求双曲线的离心率；(2)P(3，－4)是渐近线上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，若PF1⊥PF2，求双曲线的方程．10．设双曲线x2a2－y2b2＝1(0<a<b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为34c，求双曲线的离心率．11．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.x2 20－y25＝1 B.x25－y220＝1C.x2 80－y220＝1 D.x220－y280＝112.如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点，若M，O，N将椭圆的长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A．3B．2 C.3 D.213．已知P为双曲线y24－x2＝1上任意一点，过点P向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A，B，则|PA |·|PB |的值为()A ．4B ．5C.45D ．与点P 的位置有关14．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，P 为双曲线上任意一点，则点P 到右焦点F 2的距离与直线x＝a 2c的距离之比为________．15．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________．16．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c ,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．参考答案问题1提示1.范围利用双曲线的方程求出它的范围，由方程x 2a 2－y 2b 2＝1可得x 2a 2＝1＋y 2b 2≥1，于是，双曲线上点的坐标(x ，y )都适合不等式x 2a 2≥1，y ∈R ，所以x ≥a 或x ≤－a ；y ∈R .例1解将9y 2－4x 2＝－36变形为x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1，所以a ＝3，b ＝2，c ＝13，因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，焦点坐标为(－13，0)，(13，0)，实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4，离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程y ＝±23x .延伸探究解把方程nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)化为标准方程为x 2m －y 2n＝1(m >0，n >0)，由此可知，半实轴长a ＝m ，半虚轴长b ＝n ，c ＝m ＋n ，焦点坐标为(m ＋n ，0)，(－m ＋n ，0)，离心率e ＝ca ＝m ＋n m＝1＋nm，顶点坐标为(－m ，0)，(m ，0)，所以渐近线方程为y ＝±n mx ，即y ＝±mn m x .反思感悟由双曲线的标准方程求几何性质的一般步骤跟踪训练1答案B解析双曲线x 2－y 2＝1的顶点坐标为(±1,0)，渐近线为y ＝±x ，所以x ±y ＝0，所以顶点到渐近线的距离为d＝|±1±0|2＝22.例2解(1)设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．∵e ＝53，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝259，∴b a ＝43.＝43，－12b 2＝1，2＝94，2＝4.∴所求的双曲线方程为4x 29－y 24＝1.(2)依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13，又c a ＝135，∴a ＝5，b 2＝c 2－a 2＝144，故其标准方程为y 225－x 2144＝1.(3)设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，代入点(2,1)，则λ＝3，∴所求双曲线方程为x 23－y 23＝1.反思感悟由双曲线的性质求双曲线的标准方程(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．(2)巧设双曲线方程的技巧①与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(λ≠0，－b 2<λ<a 2)．②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．③渐近线方程为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)．跟踪训练2解(1)设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知2b ＝8，e ＝c a ＝53，从而b ＝4，c ＝53a ，代入c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝9，故双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1.(2)∵e ＝233，∴c a ＝233，∴a 2＋b 2a 2＝43，∴a 2＝3b 2.①又∵直线AB 的方程为bx －ay －ab ＝0，∴d ＝ab a 2＋b 2＝32，即4a 2b 2＝3(a 2＋b 2)．②解①②组成的方程组，得a 2＝3，b 2＝1.∴双曲线的标准方程为x 23－y 2＝1.例3答案C解析由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，可得其一条渐近线的方程为y ＝bax ，即bx －ay ＝0，又由圆C ：x 2＋y 2－10y ＋21＝0，可得圆心为C (0,5)，半径r ＝2，则圆心到渐近线的距离为d ＝|－5a |b 2＋ －a 2＝5ac，则5a c ＝2，可得e ＝c a ＝52.反思感悟求双曲线离心率的方法(1)直接法：若可求得a ，c ，则直接利用e ＝ca得解．(2)解方程法：若得到的是关于a ，c 的齐次方程pc 2＋q ·ac ＋r ·a 2＝0(p ，q ，r 为常数，且p ≠0)，则转化为关于e 的方程pe 2＋q ·e ＋r ＝0求解．跟踪训练3答案B解析不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a .因为△PF 1F 2是等腰直角三角形，所以只能是∠PF 2F 1＝90°，所以|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，所以|PF 1|＝2a ＋|PF 2|＝2a ＋2c ，所以(2a ＋2c )2＝2·(2c )2，即c 2－2ac －a 2＝0，两边同除以a 2，得e 2－2e －1＝0.因为e >1，所以e ＝2＋1.1.答案ABD解析双曲线方程x 2－8y 2＝32化为标准方程为x 232－y 24＝1，可得a ＝42，b ＝2，c ＝6，所以双曲线的实轴长为82，虚轴长为4，焦距为12，离心率为324.2．答案B解析由已知得左焦点的坐标为(－5,0)，右顶点的坐标为(3,0)，所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.3．答案A解析令y ＝0，得x ＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)，∴c ＝4，a 2＝b 2＝12c 2＝12×16＝8，故选A.4.答案2＋1解析设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由以正方形ABCD 的两个顶点A ，B 为焦点，且过点C ，D 的双曲线，可得C (c ,2c )，代入双曲线方程得c 2a 2－4c 2b 2＝1，即c 2a 2－4c 2c 2－a2＝1.可得e 4－6e 2＋1＝0，解得e 2＝3＋22，所以e ＝2＋1.课时对点练1．答案C解析由题意知a2＋5＝9，解得a＝2，e＝ca＝32.2．答案D解析由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，即x216－y216＝1.3．答案B解析∵e＝3，∴ca＝3，即a2＋b2a2＝3，∴b2＝2a2，∴双曲线方程为x2a2－y22a2＝1，∴渐近线方程为y＝±2x. 4．答案C解析由双曲线的几何性质可得，双曲线x2a2－y29＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±3ax，又因为渐近线方程为3x±2y＝0，即y＝±32x，故a＝2.5答案AD解析双曲线C的一个焦点F(5,0)，且渐近线方程为y＝±43x，可得c＝5，焦点坐标在x轴上，所以ba＝43，因为c＝5，所以b＝4，a＝3C的方程为x29－y216＝1，A正确；离心率为e＝53，B不正确；焦点到渐近线的距离为d＝4×542＋32＝4，C不正确；|PF|的最小值为c－a＝2，D正确．6．答案AB解析由题意知，若曲线C －2<0，2>0，即m<2且m≠0，故A不正确；若该曲线为等轴双曲线，方程可化为x2m2－y22－m＝1，则m2＝2－m，解得m＝1或m＝－2，故B不正确；∵m2>0，故C正确；D中，e＝7，∴m2＋2－mm2＝7，即6m2＋m－2＝0，解得m ＝12或m ＝－23，故D 正确．7．答案3解析双曲线x 2－y 23＝1的一个焦点坐标是(2,0)，一条渐近线的方程为y ＝3x ，因此焦点到渐近线的距离d ＝233＋1＝ 3.8．答案y 236－x 212＝1解析椭圆4x 2＋y 2＝64可变形为x 216＋y 264＝1，a 2＝64，c 2＝64－16＝48，∴焦点为(0,43)，(0，－43)，离心率e ＝32，则双曲线的焦点在y 轴上，c ′＝43，e ′＝23＝233，从而a ′＝6，b ′2＝12，故所求双曲线的方程为y 236－x 212＝1.9．解(1)设经过第一、三象限的渐近线的方程为y ＝kx ，则5k k 2＋1＝4，解得k ＝43.若双曲线焦点在x 轴上，则b a ＝43，e ＝53；若双曲线焦点在y 轴上，则a b ＝43，e ＝54，故所求双曲线的离心率为e ＝53或e ＝54.(2)由题意设F 1(－c ,0)，F 2(c ,0)，由PF 1⊥PF 2得PF 1—→·PF 2—→＝0.所以(3＋c )(3－c )＋16＝0，解得c ＝5，由(1)知b a ＝43，又a 2＋b 2＝c 2＝25，所以a ＝3，b ＝4，所以双曲线的方程为x 29－y 216＝1.10．解直线l 的方程为x a ＋y b 1，即bx ＋ay －ab ＝0.于是有|b ·0＋a ·0－ab |a 2＋b 2＝34c ，所以ab ＝34c 2，两边平方，得a 2b 2＝316c 4.又b 2＝c 2－a 2，所以16a 2(c 2－a 2)＝3c 4，两边同时除以a 4，得3e 4－16e 2＋16＝0，解得e 2＝4或e 2＝43.又b >a ，所以e 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2>2，则e ＝2.于是双曲线的离心率为2.11．答案A 解析由题意，点P (2,1)在双曲线的渐近线y ＝b ax 上，∴b a ＝12，即a ＝2b .又2c ＝10，∴c ＝5.由a 2＋b 2＝c 2，解得a 2＝20，b 2＝5.故所求双曲线方程为x 220－y 25＝1.12.答案B 解析设椭圆与双曲线的标准方程分别为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)，因为它们共焦点，所以设它们的半焦距均为c ，所以椭圆与双曲线的离心率分别为e 1＝c a ，e 2＝c m，由点M ，O ，N 将椭圆长轴四等分可知m ＝a －m ，即2m ＝a ，所以e 2e 1＝c m c a＝a m＝2.13．答案C 解析设点P (x 0，y 0)，则有y 204－x 20＝1，所以y 20－4x 20＝4.易知双曲线y 24－x 2＝1的渐近线方程为2x ±y ＝0，所以|PA |·|PB |＝|2x 0＋y 0|5·|2x 0－y 0|5＝|4x 20－y 20|5＝45.14．答案2解析离心率e ＝2，则c a＝2，∴c ＝2a ，b 2＝c 2－a 2＝3a 2，∴b ＝3a ，∴右焦点F 2(2a ,0)，直线x ＝a 2c ＝a 22a ＝a 2，设点P (x 0，y 0)，∴x 20a 2－y 20b 2＝1，即x 20a 2－y 203a2＝1，∴点P 到F 2的距离与点P 到直线x ＝a 2的距离之比为 x 0－2a 2＋y 20|x 0－a 2＝ x 0－2a 2＋ 3x 20－3a 2 |x 0－a 2|＝4x 20－4ax 0＋a 2|x 0－a2|＝|2x 0－a ||x 0－a 2|＝2.15．答案3－12解析椭圆、双曲线都关于x 轴、y 轴对称，所以只需考虑第一象限内的情况．记双曲线N 的一条渐近线与椭圆M 在第一象限的交点为P ，椭圆左焦点为Q ，右焦点为F ，连接PQ ，由题意知，△OPF 为正三角形，边长设为2，则高为3，所以椭圆半焦距为2,2a ＝|PQ |＋|PF |＝23＋2，a ＝3＋1，离心率为23＋1＝3－1.双曲线N 的一条渐近线斜率为n m＝tan 60°＝3，e 2＝m 2＋n 2m 2＝1＋n 2m 2＝4，所以离心率为2.16．解(1)由题意，知ba＝1，c＝2，a2＋b2＝c2，所以a2＝b2＝2，所以双曲线方程为x22－y22＝1.(2)由题意，设A(m，n)，则k OA＝33，从而n＝33 m，又m2＋n2＝c2，所以m＝32c，n＝c2，所以将点A代入双曲线方程x2a2－y2b2＝1得，3c2 4a2－c24b2＝1，所以c2(3b2－a2)＝4a2b2且c2＝a2＋b2，所以(a2＋b2)(3b2－a2)＝4a2b2，所以3b4－2a2b2－a4＝0，所以－－1＝0，所以b2a2＝1，从而e2＝1＋b2a2＝2，又e>1，所以e＝ 2.。
《双曲线的几何性质》教案
《双曲线的几何性质》教案一、教学目标1. 理解双曲线的定义及其标准方程。
2. 掌握双曲线的几何性质，包括焦点、准线、渐近线等。
3. 能够运用双曲线的几何性质解决实际问题。
二、教学内容1. 双曲线的定义及标准方程引导学生回顾椭圆的定义及标准方程，引出双曲线的定义及标准方程。
强调双曲线的关键要素：中心、焦点、实轴、虚轴、顶点等。
2. 双曲线的焦点解释双曲线的焦点概念，引导学生理解焦点与实轴的关系。
引导学生通过实例验证双曲线的焦点性质。
3. 双曲线的准线介绍准线的概念，引导学生理解准线与虚轴的关系。
引导学生通过实例验证双曲线的准线性质。
4. 双曲线的渐近线解释双曲线的渐近线概念，引导学生理解渐近线与双曲线的关系。
引导学生通过实例验证双曲线的渐近线性质。
5. 双曲线的对称性引导学生理解双曲线的对称性，包括轴对称和中心对称。
引导学生通过实例验证双曲线的对称性。
三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探索、发现双曲线的几何性质。
2. 利用图形软件或板书，直观展示双曲线的几何性质，帮助学生理解。
3. 提供丰富的实例，引导学生通过实践验证双曲线的几何性质。
四、教学评估1. 课堂练习：布置相关的练习题，检测学生对双曲线几何性质的理解。
2. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，促进学生之间的交流与合作。
3. 课后作业：布置相关的作业题，巩固学生对双曲线几何性质的掌握。
五、教学资源1. 教学PPT：制作精美的教学PPT，展示双曲线的几何性质。
2. 图形软件：利用图形软件或板书，展示双曲线的几何性质。
3. 练习题及答案：提供相关的练习题及答案，方便学生自测。
教学反思：本节课通过问题驱动的教学方法，引导学生探索双曲线的几何性质。
通过实例验证，使学生更好地理解双曲线的焦点、准线、渐近线等性质。
利用图形软件或板书进行直观展示，帮助学生形成直观的双曲线几何性质的认识。
在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时进行反馈和指导。
数学教案-双曲线的几何性质
数学教案－双曲线的几何性质1. 引言在高中数学课程中，双曲线是重要的内容之一。
本教案将帮助学生了解双曲线的几何性质，包括双曲线的图像特征、焦点与准线的关系以及双曲线的切线方程等内容。
通过本教案的学习，学生将更好地理解和应用双曲线的几何性质。
2. 双曲线的定义双曲线是一类二次曲线，其定义通过焦点与准线之间的距离差等于常数来描述。
双曲线可分为两支，其图像形状类似于打开的弓形，两支曲线相互对称。
3. 双曲线的图像特征双曲线的图像特征包括离心率、焦点位置以及渐近线。
3.1 离心率离心率是描述双曲线形状的一个重要参数。
对于双曲线，离心率大于1，它的两个焦点在x轴上，曲线从（e，0）和（-e，0）分别延伸；离心率小于1，焦点在y轴上，曲线从（0，e）和（0，-e）分别延伸。
3.2 焦点位置双曲线的焦点是离心率与准线之间距离差为常数的固定点。
根据离心率的大小，焦点有不同的位置。
3.3 渐近线双曲线有两条渐近线，分别与曲线的两支无限接近，但永远不会相交。
渐近线的方程可以通过求极限来得到。
对于双曲线的两支，右支的渐近线为y=x/e，左支的渐近线为y=-x/e。
4. 焦点与准线的关系焦点与准线是双曲线的两个重要元素，它们之间有一定的关系。
4.1 焦点到准线的距离关系对于双曲线上任意一点P(x, y)，其到焦点F1的距离减去到准线L的距离的差为常数。
即PF1-PL=2a，其中a为常数。
4.2 焦点与准线的联立方程焦点与准线的位置可以通过联立方程来求解。
设焦点的坐标为(F1, 0)和(F2, 0)，准线的方程为y=±a/e，其中e为离心率，a为焦点到准线的距离。
5. 双曲线的切线方程双曲线的切线方程可以通过求导得到。
设双曲线的方程为y2/a2 - x2/b2 = 1，对其求导可以得到斜率的表达式。
然后将斜率代入点斜式方程，即可得到切线方程。
6. 总结通过本教案的学习，我们了解了双曲线的几何性质，包括双曲线的图像特征、焦点与准线的关系以及双曲线的切线方程。
双曲线的简单几何性质优秀教案
2.3.2 双曲线的几何性质（第一课时教案)一、 教学目标1. 知识与技能（1）理解并掌握双曲线的简单几何性质；（2）利用双曲线的几何性质解决双曲线的问题。
2. 过程与方法（1）通过类比椭圆的几何性质，得到双曲线的几何性质；（2）通过例题和练习掌握根据条件求双曲线几何性质的相关问题。
3. 情感、态度与价值观（1）培养学生的知识类比的数学思想和逻辑思维能力；（2）培养学生的方法归纳能力和应用意识。
二、 教学重难点1、教学重点：双曲线的几何性质2、教学难点：应用双曲线的几何性质解决双曲线的相关问题三、 教学过程结合双曲线图像以及几何画板动画，学习双曲线的相关几何性质。
1. 取值范围(1) 焦点在x 轴上：x a ≥或x a ≤-，y R ∈(2) 焦点在y 轴上：y a ≥或y a ≤-，x R ∈2. 对称性——既是轴对称图形，又是中心对称图形3. 顶点——双曲线与坐标轴的交点，即12,A A （以图为例）(1) 实轴——线段12A A 。
122,A A a a =为半实轴长；(2) 虚轴——记12(0,),(0,)B b B b -，则线段12B B 为虚轴。
122,B B b b =为半虚轴长。
(3) 等轴双曲线——实轴与虚轴长度相等的双曲线。
一般可设为：22,(0)x y m m -=≠4. 离心率：c e a= (1) 范围：1e >；(2) 变化规律：e 越大，双曲线开口越大；e 越小，双曲线开口越小.5. 渐近线(1) 若22221(0,0)x y a b a b -=>>，则渐近线为：b y x a=±， (2) 若)0,0(12222>>=-b a b x a y ，则渐近线为：a y x b=±， (3) 一般求法：令双曲线方程等于0，即22220x y a b -=（或22220y x a b-=） (4) 渐近线相同的双曲线可设为：2222(0)x y a bλλ-=≠题型一：求双曲线的标准方程例 求满足下列条件的双曲线标准方程（1） 顶点在x 轴上，两定点间的距离为8，54e =； （2） 焦点在y 轴上，焦距为16，43e =； （3） 以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线； （4） 过点(3,1)A -的等轴双曲线.题型二：有关渐近线的计算例1 已知双曲线的渐近线方程为34y x =±，求双曲线的离心率为.例2 若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点为)，求双曲线的方程.例3 求与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点(3,-的双曲线方程.作业：P61 A 组 《导报》第8课时。
《双曲线的几何性质》教案
《双曲线的几何性质》教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生了解双曲线的定义，掌握双曲线的标准方程及几何性质，能够运用双曲线的性质解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生发现双曲线的几何性质，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的抽象思维能力，感受数学在实际生活中的应用。
二、教学重点1. 双曲线的定义及标准方程。
2. 双曲线的几何性质：焦点、实轴、虚轴、顶点、渐近线等。
三、教学难点1. 双曲线几何性质的理解和应用。
2. 双曲线方程的求解。
四、教学准备1. 教师准备：双曲线的教学课件、教案、例题及练习题。
2. 学生准备：预习双曲线相关知识，准备课堂讨论。
五、教学过程1. 导入新课：通过复习椭圆的知识，引出双曲线的学习，激发学生的兴趣。
2. 讲解双曲线的定义及标准方程：引导学生了解双曲线的定义，讲解双曲线的标准方程及求解方法。
3. 分析双曲线的几何性质：引导学生观察双曲线的图形，分析双曲线的焦点、实轴、虚轴、顶点、渐近线等几何性质。
4. 例题讲解：挑选具有代表性的例题，讲解解题思路和方法，引导学生运用双曲线的几何性质解决问题。
5. 课堂练习：为学生提供一些有关双曲线的练习题，巩固所学知识，提高学生的解题能力。
6. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调双曲线的几何性质及其在实际问题中的应用。
7. 布置作业：布置一些有关双曲线的练习题，让学生课后巩固所学知识。
8. 课后反思：教师对本节课的教学进行反思，针对学生的掌握情况，调整教学策略。
六、教学评价1. 学生对双曲线的定义、标准方程及几何性质的掌握程度。
2. 学生运用双曲线性质解决问题的能力。
3. 学生对数学学习的兴趣和积极性。
七、教学建议1. 注重双曲线几何性质的讲解，让学生充分理解并掌握。
2. 多举例子，让学生在实际问题中感受双曲线的应用。
3. 鼓励学生提问、讨论，提高课堂互动性。
《双曲线的几何性质》教案(公开课)
(一)知识教学点使学生理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征．(二)能力训练点在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．(三)学科渗透点使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系概念的理解，这样才干解决双曲线中的弦、最值等问题．1．重点：双曲线的几何性质及初步运用．(解决办法：引导学生类比椭圆的几何性质得出，至于渐近线引导学生证明． ) 2．难点：双曲线的渐近线方程的导出和论证．(解决办法：先引导学生观察以原点为中心， 2a、2b 长为邻边的矩形的两条对角线，再论证这两条对角线即为双曲线的渐近线． )3．疑点：双曲线的渐近线的证明．(解决办法：通过详细讲解． )提问、类比、重点讲解、演板、讲解并归纳、小结．(一)复习提问引入新课1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？请一同学回答．应为：范围、对称性、顶点、离心率，是从标准方程探讨的．2．双曲线的两种标准方程是什么？再请一同学回答．应为：中心在原点、焦点在 x 轴上的双曲线的标下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质．(二)类比联想得出性质(性质 1~3)引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格(让学生回答，教师引导、启示、订正并板书)．<见下页>(三)问题之中导出渐近线(性质 4)在学习椭圆时，以原点为中心， 2a、2b 为邻边的矩形，对于估计仍以原点为中心， 2a、2b 为邻边作一矩形(板书图形)，那末双曲线和这个矩形有什么关系？这个矩形对于估计和画出双曲线简图(图 2-26)有什么指导意义？这些问题不要求学生回答，只引起学生类比联想．接着再提出问题：当 a、b 为已知时，这个矩形的两条对角线的方程是什么？下面，我们来证明它：双曲线在第一象限的部份可写成：当 x 逐渐增大时， |MN|逐渐减小， x 无限增大， |MN|接近于零， |MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部份从射线 ON 的下方逐渐接近于射线 ON．在其他象限内也可以证明类似的情况．现在来看看实轴在 y 轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y 轴上的双曲线方程是由焦点在 x 轴上的双曲线方程，将x、y 字母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将 x、y 字这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线．(四)顺其自然介绍离心率(性质 5)由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．这时，教师指出：焦点在 y 轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变．(五)练习与例题1．求双曲线 9y2-16x2=144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．请一学生演板，其他同学练习，教师巡视，练习毕予以订正．由此可知，实半轴长 a=4，虚半轴长 b=3．焦点坐标是(0，-5)， (0，5)．本题实质上是双曲线的第二定义，要重点讲解并加以归纳小结．解：设 d 是点 M 到直线 l 的距离，根据题意，所求轨迹就是集合：化简得： (c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．这就是双曲线的标准方程．由此例不难归纳出双曲线的第二定义．(六)双曲线的第二定义1．定义(由学生归纳给出)平面内点 M 与一定点的距离和它到一条直线的距离的比是常数 e=叫做双曲线的准线，常数 e 是双曲线的离心率．2．说明(七)小结(由学生课后完成)将双曲线的几何性质按两种标准方程形式列表小结．五、布置作业1．已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率 e 和渐近线方程．(1)16x2-9y2=144；(2)16x2-9y2=-144．2．求双曲线的标准方程：(1)实轴的长是 10，虚轴长是 8，焦点在 x 轴上；(2)焦距是 10，虚轴长是 8，焦点在 y 轴上；曲线的方程．点到两准线及右焦点的距离．作业答案：距离为 7六、板书设计。
《双曲线的几何性质》教案
《双曲线的几何性质》教案一、教学目标：1. 让学生理解双曲线的定义及其标准方程。
2. 掌握双曲线的基本几何性质，包括渐近线方程、离心率、焦距等。
3. 能够应用双曲线的几何性质解决实际问题。
二、教学内容：1. 双曲线的定义与标准方程2. 双曲线的渐近线方程3. 双曲线的离心率4. 双曲线的焦距5. 双曲线与其他几何图形的关系三、教学重点与难点：1. 重点：双曲线的定义、标准方程及其几何性质。
2. 难点：双曲线渐近线方程的推导，离心率、焦距的计算。
四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生探索双曲线的几何性质。
2. 利用数形结合的方法，让学生直观地理解双曲线的特点。
3. 注重个体差异，鼓励学生提问和发表见解。
五、教学过程：1. 导入：回顾椭圆的几何性质，引导学生思考双曲线的定义及其与椭圆的区别。
2. 新课：讲解双曲线的定义与标准方程，引导学生理解双曲线的图形特点。
3. 探究：让学生自主探究双曲线的渐近线方程，教师给予指导。
4. 讲解：讲解双曲线的离心率和焦距的计算方法，结合实际例子进行演示。
5. 应用：布置练习题，让学生运用双曲线的几何性质解决实际问题。
6. 总结：对本节课的内容进行归纳总结，强调重点和难点。
7. 作业布置：布置适量作业，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问和回答问题的情况。
2. 作业完成情况：检查学生作业的完成质量，巩固所学知识。
3. 练习题解答：评估学生在练习题中的表现，了解其对双曲线几何性质的掌握程度。
4. 课堂讨论：鼓励学生积极参与课堂讨论，提高其分析和解决问题的能力。
七、教学资源：1. 教案、PPT课件2. 数学教材3. 练习题及答案4. 几何画图软件（可选）八、教学进度安排：1. 第一课时：双曲线的定义与标准方程2. 第二课时：双曲线的渐近线方程3. 第三课时：双曲线的离心率4. 第四课时：双曲线的焦距5. 第五课时：双曲线与其他几何图形的关系九、教学反思：在教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏。
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课题 双曲线的几何性质
上课教师 上课班级 主备人 孙茂
审核人
上课时间
教学目标 了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等 教学重点与强化方法 双曲线的几何性质及初步运用． 教学难点与突破方法
双曲线的渐近线方程的导出和论证．
前置学案
复习：
1.焦点的位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程 范围 顶点
轴长 长轴长＝________； 短轴长＝________． 焦点坐标
焦距
对称轴 对称轴是__________； 对称中心是____________．
离心率
椭圆中c b a ,,的关系是 ．
2.（1）椭圆的一个焦点为(23,0)F ，2a c =，则椭圆的标准方程为 ．
（2）已知椭圆2215x y m
+=的离心率10e =
，则_____m =．
（3）椭圆对称轴是坐标轴，离心率为1
3
，长轴长为12，则椭圆的标准方程为_____________．。