MATLAB Optimization Toolbox应用基础

MATLAB Optimization Toolbox应用基础
专题Ⅰ单变量函数最小值问题（一维问题）
一、上机目的：
1、掌握一维搜索方法的基本概念、算法等知识点；
2、熟悉Matlab软件环境及有关语句和函数的使用方法。

二、原理和方法：
函数fminbnd是用来寻找单变量函数在固定区间内的最小值点及最小值。

MATLAB各工具箱的每个函数，包括优化工具箱函数，都有多种不同的调用格式。

其调用格式可使用在线帮助系统查询。

函数fminbnd最常用的调用格式为：
[x, fval] = fminbnd(fun, x1, x2)
%返回函数fun在区间x1<x<x2上的最小值点x和对应的最小值fval，fun为目标函数的文件名句柄或目标函数的表达式字符串。

三、上机内容与步骤：
1、熟悉MATLAB软件环境，了解用户界面、掌握帮助系统使用等（重点）。

2、如求解函数f(x)=sin(x)在区间[0, 2π]内的最小值及最小值点，使用如下命令即可：
>> [x, fval] = fminbnd(@sin, 0, 2*pi)↵
%符号“@”表明目标函数为MATLAB自定义的正弦函数sin.m。

x =4.7124 %最小值点赋值给x。

fval =-1.0000 %最小值赋值给fval。

3、如果目标函数并不是MATLAB自定义的函数，需要首先定义一个函数M 文件，以该文件的名称来代替上述命令行中的“sin”部分。

如希望求出
3
e
x
log
x
x
cos
x
)x(f
+
+
=在[0，1]内的最小值及最小值点，首先编
写目标函数的M文件opt1.m，如下：
function f = myfun(x)
%编写函数M文件时，上句代码中的“myfun”并不一定与文件名相同。

f = (x^3+cos(x)+x*log(x))/exp(x)
然后调用fminbnd函数，在命令窗口中输入：
>> [x, fval]=fminbnd(@opt1, 0, 1)↵
x =0.5223
fval =
0.3974
%注意此处使用“opt1”而不是“myfun”。

4、如果目标函数的表达式较为简单，也可以使用表达式的字符串而不必编写目标函数。

如上例也可以使用[x, fval]=fminbnd('(x^3+cos(x)+x*log(x))/exp(x)',0,1)实现。

注：在MATLAB软件中，function为关键字，%为注释符号，>>为命令窗口中的提示符。

专题Ⅱ 线性方程组的应用
一、上机目的：
1、了解线性规划问题及可行解、最优解的概念 ；
2、掌握Matlab 软件关于求解线性规划的语句和方法。

二、原理和方法：
在工程实践中，很多重要的实际问题都是线性的（至少能够用线性函数很好的近似表示），所以我们一般把这些问题化为线性的目标函数和约束条件进行分析，通常将目标函数和约束都是线性表达式的规划问题称为线性规划。

其一般形式是：
矩阵形式表示为：
线性规划的可行解是满足约束条件的解；
线性规划的最优解是使目标函数达到最优的可行解。

一般求解线性规划的常用方法是单纯形法和改进的单纯形法，这类方法的基本思路是先求得一个可行解，检验是否为最优解；若不是，可用迭代的方法找到另一个更优的可行解，经过有限次迭代后，可以找到可行解中的最优解或者判定无最优解。

三、上机内容与步骤：
在Matlab 优化工具箱中，linprog 函数是使用单纯形法求解下述线性规划问题的函数。

命令格式为： )n ,,2,1i (0x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a .
t .s x c x c x c f min i m n mn 22m 11m 2n n 22221211n n 1212111n n 2211 =>=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=+++<=+++<=++++++=0x ,b Ax .t .s x c f min T >=<==vub x vlb beq aeqx b Ax t s x c f T <=<==<==;,..min )
0,,,,,,,(],[)
,,,,,,(],[x vub vlb beq aeq b A c linprog fval x vub vlb beq aeq b A c linprog fval x ==
其中：A 为不等式约束条件矩阵，b, c 分别为目标函数的系数向量和不等式约束条件中最右边的数值向量；也可设置解向量的上界vlb 和下界vub ，即解向量必须满足vlb<=x<=vub ；还可预先设置初始解向量x0。

如没有不等式约束，而只有等式约束条件时，A=[ ],b=[ ];
aeq 与beq 分别为等式约束矩阵；
输出的结果：x 表示最优解向量；fval 表示最优值。

某一线性规划问题，如下：
考虑到linprog 函数只解决形式如下的线性规划。

所以先要将线性规划变换为如下形式：
建立M 文件如下（如以文件名optest 保存）： c = [-3;1;1];
A = [1 -2 1; 4 -1 -2];
b = [11;-3];
aeq = [2 0 -1];
beq = -1;
vlb = [0;0;0];
[x,fval] = linprog(c, A, b, aeq, beq, vlb)
则在命令窗口中输入：optest ，可得到计算结果：x1 = 4,x2 = 1,x3 = 9，fval = -2。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=>=-=->=++-<=+---=3,2,1i ,0x 1x x 23x 2x x 411x x 2x .t .s x x x 3f max i 313213213210;,..min >==<==x beq aeqx b Ax t s x c f T ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=>=-<=--<=+--=-++-=3,2,1i ,0x 3x 2x x 411x x 2x 1x x 2.t .s x x x 3f min i 32132131321。