选修一 第二章章末检测
2025高考物理步步高同步练习选修1第二章 机械振动 章末检测试卷(二)含答案
2025高考物理步步高同步练习选修1第二章机械振动章末检测试卷(二)(满分：100分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．(2022·泰安市期中)关于做简谐运动物体的位移、速度、加速度的关系，下列说法中正确的是()A．位移减小时，速度增大，加速度也增大B．位移方向总跟加速度方向相反，但跟速度方向相同C．物体远离平衡位置运动时，速度方向跟位移方向相同D．物体通过平衡位置时，回复力为零，故处于平衡状态答案 C解析位移减小时，速度增大，加速度减小，故A错误；位移方向总跟加速度方向相反；当物体远离平衡位置时，位移方向与速度方向相同，当物体靠近平衡位置时，位移方向与速度方向相反，故B错误，C正确；物体通过平衡位置时，回复力为零，但合外力不一定为零，所以不一定处于平衡状态，故D错误。
2．(2022·唐山一中期中)如图所示是两人合作模拟振动曲线的记录装置。
先在白纸中央画一条直线OO1使它平行于纸的长边，作为图像的横坐标轴。
一个人用手使铅笔尖的白纸上沿垂直于OO1的方向振动，另一个人沿OO1的方向匀速拖动白纸，纸上就画出了一条描述笔尖振动情况的x－t图像。
下列说法正确的是()A．白纸上OO1轴上的坐标代表速度B．白纸上与OO1垂直的坐标代表振幅C．匀速拖动白纸是为了保证时间均匀变化D．拖动白纸的速度增大，可使笔尖振动周期变长答案 C解析笔尖振动周期一定，根据白纸上记录的振动图像的个数可确定出时间长短，所以白纸上OO1轴上的坐标代表时间，故A错误；白纸上与OO1垂直的坐标是变化的，代表了笔尖的位移，而不是振幅，故B错误；由v＝x可知，匀速拖动白纸，是为了用相等的距离表示相t等的时间，是为了保证时间均匀变化，故C正确；笔尖振动周期与拖动白纸的速度无关，拖动白纸的速度增大，笔尖振动周期不变，故D错误。
3．如图甲所示，竖直圆盘转动时，可带动固定在圆盘上的T形支架在竖直方向振动，T形支架的下面系着一个弹簧和小球，共同组成一个振动系统。
人教A版高中数学选修一第2章章末检测(B)
高中数学学习材料（灿若寒星 精心整理制作）第2章 推理与证明(B)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”；③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”；⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝a b”． 以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是________．2．数列1,1,2,3，x,8,13,21，…中的x 值为________．3．若数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3＋5，a 3＝7＋9＋11，a 4＝13＋15＋17＋19，…，则a 8＝________.4．p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋d n(m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，则p 、q 的大小关系为________．5．凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．对以上三段论推理下列说法正确的是__________(请填写相应的序号)．①正确；②推理形式不正确；③两个“自然数”概念不一致；④“两个整数”概念不一致．6．观察下列等式：C 15＋C 55＝23－2，C 19＋C 59＋C 99＝27＋23，C 113＋C 513＋C 913＋C 1313＝211－25，C 117＋C 517＋C 917＋C 1317＋C 1717＝215＋27，…由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *，C 14n ＋1＋C 54n ＋1＋C 94n ＋1＋…＋C 4n ＋14n ＋1＝______________.7．对于等差数列{a n }有如下命题：“若{a n }是等差数列，a 1＝0，s 、t 是互不相等的正整数，则有(s －1)a t ＝(t －1)a s ”．类比此命题，给出等比数列{b n }相应的一个正确命题是：“__________________________________________”．8．设f (x )是定义在实数集R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝f (x ＋1)－f (x )，如果f (1)＝lg 32，f (2)＝lg 15，则f (2 010)＝__________.9．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0～1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第________行；第61行中1的个数是________．第1行 1 1第2行1 0 1第3行1 1 1 1第4行1 0 0 0 1第5行1 1 0 0 1 1…………10．某同学准备用反证法证明如下一个问题：函数f (x )在[0,1]上有意义，且f (0)＝f (1)，如果对于不同的x 1，x 2∈[0,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，求证：|f (x 1)－f (x 2)|<12.那么它的反设应该是______________________________．11．凸函数的性质定理为：如果函数f (x )在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意x 1，x 2，…，x n ，有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，已知函数y ＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为_________________________． 12．若不等式(－1)n a <2＋(－1)n ＋1n对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是________．13．由“等腰三角形的两底角相等，两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是__________________________________________________．14．船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度v 1和在静水中的速度v 2的大小关系为_____________________________________________________________________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知a 、b 、c 是互不相等的正数，且abc ＝1， 求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.16．(14分)把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立．(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．17．(14分)已知a >0，求证： a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.18．(16分)在不等边△ABC 中，A 是最小角，求证：A <60°.19．(16分)先解答(1)，再通过类比解答(2)．(1)求证：tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ；(2)设x ∈R 且f (x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )，试问f (x )是周期函数吗？证明你的结论．20．(16分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．第2章 推理与证明(B)答案1．2解析 只有①②对，其余错误．2．5解析 每相邻两数相加等于后面的数．3．512解析 由a 1，a 2，a 3，a 4的形式可归纳，∵1＋2＋3＋4＋…＋7＝7×(1＋7)2＝28， ∴a 8的首项应为第29个正奇数，即2×29－1＝57.∴a 8＝57＋59＋61＋63＋65＋67＋69＋71＝8×(57＋71)2＝512. 4．p ≤q解析 q ＝ab ＋mad n ＋nbc m＋cd ≥ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p .5．①解析 三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的．6．24n －1＋(－1)n 22n －17．若{b n }是等比数列，b 1＝1，s ，t 是互不相等的正整数，则有b s －1t ＝b t －1s解析 由类比推理可得．8．－1解析 由f (1)＝lg 32＝lg 15－1，f (2)＝lg 15， f (3)＝f (2)－f (1)＝1，f (4)＝f (3)－f (2)＝1－lg 15，f (5)＝f (4)－f (3)＝－lg 15，f (6)＝f (5)－f (4)＝－1，f (7)＝f (6)－f (5)＝lg 15－1，f (8)＝f (7)－f (6)＝lg 15，…，可以猜想到，从f (7)开始，又重复了上述数值，即f (x ＋6)＝f (x )，∴f (2 010)＝f (335×6)＝f (6)＝－1.9．2n －1 32解析 (1)第一次全行的数都是1的是第1行，第二次全行的数都是1的是第3行，第三次全行的数都是1的是第7行，第n 次全行的数都是1的是第2n －1行．(2)1 1 0 0 ... 0 0 1 1 (61)1 0 1 0 ... 0 1 0 1 (62)1 1 1 1 ... 1 1 1 1 (63)由图可知第61行的数的特点是两个1两个0交替出现，最后两个数为1，所以在第61行的62个数中有32个1.10．“∃x 1，x 2∈[0,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|且|f (x 1)－f (x 2)|≥12” 11．332解析 ∵f (x )＝sin x 在区间(0，π)上是凸函数，且A 、B 、C ∈(0，π)，∴f (A )＋f (B )＋f (C )3≤f ⎝⎛⎭⎫A ＋B ＋C 3＝f ⎝⎛⎭⎫π3，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332， 所以sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值为332. 12．－2≤a <32 解析 当n 为偶数时，a <2－1n， 而2－1n ≥2－12＝32，∴a <32. 当n 为奇数时，a >－2－1n， 而－2－1n<－2，∴a ≥－2. 综上可得－2≤a <32. 13．正棱锥各侧面与底面所成二面角相等，各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等 解析 等腰三角形的底与腰可分别与正棱锥的底面与侧面类比．14．v 1<v 2解析 设甲地到乙地的距离为S ，船在静水中的速度为v 2，水流速度为v (v 2>v >0)，则船在流水中在甲、乙间来回行驶一次的时间t ＝S v 2＋v ＋S v 2－v ＝2v 2S v 22－v2，平均速度v 1＝2S t ＝v 22－v 2v 2. ∵v 1－v 2＝v 22－v 2v 2－v 2＝－v 2v 2<0， ∴v 1<v 2.15．证明 ∵a 、b 、c 是不等正数，且abc ＝1，∴a ＋b ＋c ＝1bc ＋1ca ＋1ab <1b ＋1c 2＋1c ＋1a 2＋1a ＋1b 2＝1a ＋1b ＋1c. 故a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.16．解 (1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交． 结论是正确的：证明如下：设α∥β，且γ∩α＝a ，则必有γ∩β＝b ，若γ与β不相交，则必有γ∥β，又α∥β，∴α∥γ，与γ∩α＝a 矛盾，∴必有γ∩β＝b .(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交．17．证明 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2， 只要证 a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2. ∵a >0，故只要证⎝⎛⎭⎫ a 2＋1a 2＋22≥⎝⎛⎭⎫a ＋1a＋22， 即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4 ≥a 2＋2＋1a2＋22⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋2， 从而只要证2a 2＋1a2≥2⎝⎛⎭⎫a ＋1a ， 只要证4⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2≥2⎝⎛⎭⎫a 2＋2＋1a 2， 即a 2＋1a2≥2， 而上述不等式显然成立，故原不等式成立．18．证明 假设A ≥60°，∵A 是不等边三角形ABC 的最小角，∵B >A ≥60°，C >A ≥60°， ∴A ＋B ＋C >180°，与三角形内角和等于180°矛盾，∴假设错误，原结论成立，即A <60°.19．(1)证明 tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝tan x ＋tan π41－tan x tan π4＝1＋tan x 1－tan x； (2)解 f (x )是以4为一个周期的周期函数．证明如下：∵f (x ＋2)＝f ((x ＋1)＋1)＝1＋f (x ＋1)1－f (x ＋1)＝1＋1＋f (x )1－f (x )1－1＋f (x )1－f (x )＝－1f (x )， ∴f (x ＋4)＝f ((x ＋2)＋2)＝－1f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是周期函数．20．(1)解 由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．(2)证明 由(1)得b n ＝S n n＝n ＋ 2. 假设数列{b }中存在三项b 、b 、b (p 、q 、r ∈N *且互不相等)成等比数列，则b 2＝b b ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.∵p 、q 、r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧ q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0， ∴⎝⎛⎭⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0， ∴p ＝r ，这与p ≠r 矛盾． ∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．。
数学人教A版选修1-2章末测试：第二章推理与证明A 含解
第二章测评A(基础过关卷)(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．下面说法正确的有()①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”形式；④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．A．1个B．2个C．3个D．4个2．观察图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()A．■B．△C．□D．○3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，应假设() A．三角形的三个内角都不大于60°B．三角形的三个内角都大于60°C．三角形的三个内角至多有一个大于60°D．三角形的三个内角至少有两个大于60°4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面()A．各正三角形内任一点B．各正三角形的某高线上的点C．各正三角形的中心D．各正三角形外的某点5．有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则该直线平行于平面内的所有直线；已知直线b 平面α，a平面α，直线b∥平面α，则直线b∥直线a”，这个结论显然是错误的，这是因为()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误6．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，f n＋1(x)＝f′n(x)，n∈N*，则f2 015(x)等于()A．sin x B．－sin x C．cos x D．－cos x7．按照如图所示的三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式是()CH4C2H6C3H8A．C4H9B．C4H10C．C4H11D．C6H128．设a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是() A．若a，b与α所成的角相等，则a∥bB．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC．若aα，bβ，a∥b，则α∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b9．若函数f(x)＝x2－2x＋m(x∈R)有两个零点，并且不等式f(1－x)≥－1恒成立，则实数m的取值范围为()A．(0,1) B．[0,1)C．(0,1] D．[0,1]10．已知x＞0，不等式x＋1x≥2，x＋4x2≥3，x＋27x3≥4，…，可推广为x＋ax n≥n＋1，则a的值为()A．n2B．n n C．2n D．22n－2二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．观察数列3，3，15，21，33，…，写出该数列的一个通项公式为__________．12．如图所示，4个小动物换座位，开始时鼠、猴、兔、猫分别坐1,2,3,4号座位，如果第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位，第3次前后排动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2 014次互换座位后，小兔坐在________号座位上．13．已知函数f(x)＝x3＋x，a，b，c∈R，且a＋b＞0，b＋c＞0，c＋a＞0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值一定比零__________(填“大”或“小”)．14．观察：7＋15＜211； 5.5＋16.5＜211；3－3＋19＋3＜211；….对于任意正实数a ，b ，试写出使a ＋b ≤211成立的一个条件可以是________．15．观察下图：12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10…则第__________行的各数之和等于2 0152.三、解答题(本大题共4小题，共25分)16．(6分)已知数列{a n }的通项公式a n ＝1(n ＋1)2(n ∈N *)，f (n )＝(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算f (1)，f (2)，f (3)的值，推测出f (n )的值．17．(6分)已知实数x ，且有a ＝x 2＋12，b ＝2－x ，c ＝x 2－x ＋1，求证a ，b ，c 中至少有一个不小于1.18．(6分)通过计算可得下列等式：22－12＝2×1＋1；32－22＝2×2＋1；42－32＝2×3＋1；…(n ＋1)2－n 2＝2n ＋1.将以上各式两边分别相加，得(n ＋1)2－1＝2×(1＋2＋3＋…＋n )＋n ，即1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2. 类比上述方法，请你求出12＋22＋32＋…＋n 2的值．19．(7分)求证：1·2＋2·3＋…＋n ·(n ＋1)＜(n ＋1)22.参考答案一、1．解析：演绎推理只有大前提、小前提和推理形式都正确才能保证结论正确，故②错误，其他说法都正确．故选C.答案：C2．A3．解析：“至少有一个不大于”的否定为“都大于”．答案：B4．解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．答案：C5．解析：“若直线平行于平面，则该直线平行于平面内的所有直线”是错误的，即大前提是错误的．故选A.答案：A6．解析：由题意可知，函数f n (x )的表达式呈周期性变化，周期为4，而2 015＝4×503＋3，则f 2 015(x )＝f 3(x )＝－cos x ，故选D.答案：D7．解析：由规律不难看出每增加1个C 原子，相应地增加2个H 原子，因此后一种化合物的分子式为C 4H 10.答案：B8．解析：对于选项A ，直线a ，b 有可能相交；对于选项B ，直线a ，b 有可能相交或异面；对于选项C ，平面α，β有可能相交；对于选项D ，若a ⊥α，b ⊥β，当a β时，有b ⊥a ，当a β时，∵α⊥β，∴a ∥β，∴b ⊥a ，故选D.答案：D9．解析：∵f (x )＝x 2－2x ＋m 有两个零点，∴4－4m ＞0，∴m ＜1.由f (1－x )≥－1得(1－x )2－2(1－x )＋m ≥－1，即x 2＋m ≥0，∴m ≥－x 2.∵－x 2的最大值为0，∴0≤m ＜1.答案：B10．解析：由x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x ＋22x 2≥3， x ＋27x 3＝x ＋33x 3≥4，…，可推广为x ＋n nx n ≥n ＋1，故a ＝n n . 答案：B二、11．解析：将各项统一写成根式形式为3，9，15，21，27，…，即3×1，3×3，3×5，3×7，3×9，…，被开方数是正奇数的3倍，故a n ＝3(2n －1)，n ∈N *.答案：a n ＝3(2n －1)，n ∈N *12．解析：由题意得第4次互换座位后，4个小动物又回到了原座位，即每经过4次互换座位后，小动物回到原座位，而2 014＝4×503＋2，所以第2 014次互换座位后的结果与第2次互换座位后的结果相同，故小兔坐在2号座位上．答案：213．解析：f (x )是R 上的奇函数，且是增函数，由a ＋b ＞0，得a ＞－b ，∴f (a )＞f (－b )＝－f (b )．∴f (a )＋f (b )＞0，同理，得f (b )＋f (c )＞0，f (c )＋f (a )＞0.三式相加，整理得f (a )＋f (b )＋f (c )＞0.答案：大14．解析：通过观察可看出题干中每个不等式左边根号内的数的和均为22，故可猜想出a ＋b ＝22.答案：a ＋b ＝2215．解析：经观察知，图中的第n 行的各数构成一个首项为n ，公差为1，共(2n －1)项的等差数列，其各项和为S n ＝(2n －1)n ＋(2n －1)(2n －2)2＝(2n －1)n ＋(2n －1)(n －1)＝(2n －1)2. 令(2n －1)2＝2 0152，得2n －1＝2 015，故n ＝1 008.答案：1 008三、16．解：因为a n ＝1(n ＋1)2， f (n )＝(1－a 1)(1－a 2)…(1－a n )，所以f (1)＝1－a 1＝1－14＝34， f (2)＝(1－a 1)(1－a 2)＝f (1)·⎝⎛⎭⎫1－19 ＝34×89＝23＝46， f (3)＝(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)＝f (2)·⎝⎛⎭⎫1－116＝23×1516＝58， 由此猜想：f (n )＝n ＋22(n ＋1). 17．证明：假设a ，b ，c 都小于1，即a ＜1，b ＜1，c ＜1，则a ＋b ＋c ＜3.∵a ＋b ＋c ＝⎝⎛⎭⎫x 2＋12＋(2－x )＋(x 2－x ＋1)＝2x 2－2x ＋72＝2⎝⎛⎭⎫x －122＋3，且x 为实数， ∴2⎝⎛⎭⎫x －122＋3≥3，即a ＋b ＋c ≥3，这与a ＋b ＋c ＜3矛盾． ∴假设不成立，原命题成立．∴a ，b ，c 中至少有一个不小于1.18．解：23－13＝3×12＋3×1＋1,33－23＝3×22＋3×2＋1,43－33＝3×32＋3×3＋1，…，(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1.将以上各式两边分别相加，得(n ＋1)3－13＝3(12＋22＋32＋…＋n 2)＋3(1＋2＋3＋…＋n )＋n ，所以12＋22＋32＋…＋n 2＝13⎣⎡⎦⎤(n ＋1)3－1－n －3×n (n ＋1)2 ＝n (n ＋1)(2n ＋1)6. 19．证法一：构造f (x )＝(1＋2＋…＋n )x 2＋2[1·2＋2·3＋…＋n (n ＋1)]x ＋(2＋…＋n ＋1)＝(x ＋2)2＋(2x ＋3)2＋…＋(nx ＋n ＋1)2＞0，∵1＋2＋…＋n ＞0，∴Δ＝4[1·2＋2·3＋…＋n ·(n ＋1)]2－4(1＋2＋…＋n )(2＋3＋…＋n ＋1)＜0， 即1·2＋2·3＋…＋n ·(n ＋1)＜n (n ＋1)2＜(n ＋1)22. 证法二：用放缩法证明如下： ∵n ·(n ＋1)＜(n ＋1)·(n ＋1)＝n ＋1， ∴1·2＋2·3＋…＋n ·(n ＋1)＜2＋3＋4＋…＋n ＋1＝n (n ＋1)2＜(n ＋1)22.。
(人教版)高中化学选修1 第二章 促进身心健康章末过关检测卷 (含答案)
第二章促进身心健康章末过关检测卷（测试时间：50分钟评价分值：100分）一.单选题（本题包括40小题，每题2分，共80分，每小题只有一个选项符合题意）1.下列物质不能作为食品添加剂的是（A）A.甲醇B.食盐C.柠檬酸D.苯甲酸钠解析：甲醇有毒，不能作为食品添加剂。
2.“从毒生姜到黑心油，从镉大米到毒奶粉”。
食品安全与人们健康密切相关，下列做法符合食品安全法的是（A）A.用纯碱发酵面食B.用硫磺熏制银耳、粉丝等食品C.用甲醛浸泡易腐烂的食品D.用工业用盐腌制咸菜解析：A、纯碱是碳酸钠，溶液显碱性，发酵的面食显酸性，用纯碱发酵面食发生中和反应，且碳酸钠对人无害，正确；B、硫磺受热生成有毒的二氧化硫气体，利用二氧化硫的漂白性熏制粉丝等，会危害人体健康，错误；C、甲醛有毒，能够破坏人体中的蛋白质，引起中毒，错误；D、工业食盐含有亚硝酸钠，亚硝酸是强烈的致癌物质，会对人的健康产生影响，错误。
3.下列最适合人们长期饮用的是（C）A.纯净水B.蒸馏水C.白开水D.碳酸饮料解析：蒸馏水和纯净水是通过蒸馏和过滤等方式，除去了一些杂质，同时把人体有用的物质也除去了，不适合人长期饮用；碳酸饮料除水外，有糖和二氧化碳，长期饮用对人体健康会有影响，如导致肥胖等；白开水是自来水或天然水经过加热煮沸的，含有一些人体所需的矿物质，最适合长期饮用。
4.加强食品检测是保证食品安全、保护公众利益的重要举措，下列物质不属于食品安全检测范畴的是（D）A.三聚氰胺B.苏丹红C.亚硝酸钠D.葡萄糖解析：三聚氰胺和苏丹红不能作食品添加剂；亚硝酸钠是致癌物质，应严格控制用量。
5.下列说法中正确的是（D）A.使用青霉素时，有些人可以不进行皮肤敏感试验B.长期大量使用阿司匹林可预防疾病，没有副作用C.对于标记“OTC”的药物，必需在医生指导下使用D.“是药三分毒”，必须按医嘱或药物说明书使用药物，防范药物不良反应解析：有些人对青霉素过敏，所以使用前必须做皮肤敏感实验，A项错误；阿司匹林的化学成份是乙酰水杨酸钠，在胃内分解成乙酰水杨酸，对胃有较强的刺激作用，B项错误；“OTC”药物表示非处方药，不必在医生指导下使用，C项错误；“是药三分毒”，必须按医嘱或药物说明书使用药物，防范药物不良反应，D项正确。
高中数学选修1-2 章末检测(一)(优秀经典公开课教案)
章末检测(一)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有下列关系：①人的年龄与他拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的一种树木，其横断面直径与高度之间的关系．其中有相关关系的是()A．①②③B．①②C．②③D．①③④解析：曲线上的点与该点的坐标之间是确定关系—函数关系，故②不正确．其余均为相关关系．答案：D2．在两个变量的回归分析中，作散点图是为了()A．直接求出回归直线方程B．直接求出回归方程C．根据经验选定回归方程的类型D．估计回归方程的参数解析：散点图的作用在于选择合适的函数模型．答案：C3．根据一位母亲记录儿子3～9岁的身高数据，建立儿子身高(单位：cm)对年龄(单位：岁)的线性回归方程为y^＝7.19x＋73.93，若用此方程预测儿子10岁时的身高，有关叙述正确的是()A．身高一定为145.83 cmB．身高大于145.83 cmC．身高小于145.83 cmD．身高在145.83 cm左右解析：用线性回归方程预测的不是精确值，而是估计值．当x＝10时，y＝145.83，只能说身高在145.83 cm左右．答案：D4．在一次调查后，根据所得数据绘制成如图所示的等高条形图，则()A．两个分类变量关系较弱B．两个分类变量无关系C．两个分类变量关系较强D．无法判断解析：从条形图中可以看出，在x1中y1比重明显大于x2中y1的比重，所以两个分类变量的关系较强．答案：C5．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵轴上的截距是a，那么必有()A．b与r的符号相同B．a与r的符号相同C．b与r的符号相反D．a与r的符号相反解析：因为b>0时，两变量正相关，此时r>0；b<0时，两变量负相关，此时r<0. 答案：A6．下表显示出样本中变量y随变量x变化的一组数据，由此判断它最可能是() x 45678910y 14181920232528A.线性函数模型C．指数函数模型D．对数函数模型解析：画出散点图(图略)可以得到这些样本点在某一条直线上或该直线附近，故最可能是线性函数模型．答案：A7．在一线性回归模型中，计算其相关指数R2＝0.96，下面哪种说法不够妥当() A．该线性回归方程的拟合效果较好B．解释变量对于预报变量变化的贡献率约为96%C．随机误差对预报变量的影响约占4%D．有96%的样本点在回归直线上解析：由相关指数R2表示的意义可知A、B、C三种说法都很妥当，相关指数R2＝0.96，其值较大，说明残差平方和较小，绝大部分样本点分布在回归直线附近，不一定有96%的样本点在回归直线上，故选D.答案：D8．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：月份x 123 4用水量y 4.543 2.5由散点图可知，其线性回归方程^＝－0.7x＋a^，则a^＝()是yA．10.5 B．5.15C．5.2 D．5.25^＝5.25.解析：样本点的中心为(2.5,3.5)，将其代入线性回归方程可解得a答案：D9．下面的等高条形图可以说明的问题是()A．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响是绝对不同的B．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响没有什么不同C．此等高条形图看不出两种手术有什么不同的地方D．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的，但是没有100%的把握解析：由等高条形图可知选项D正确．答案：D10．如图，5个(x，y)数据，去掉D(3,10)后，下列说法错误的是()A．相关系数r变大B．残差平方和变大C．相关指数R2变大D．解释变量x与预报变量y的相关性变强解析：去掉点D(3,10)后，x与y的相关性变强．r，R2变大，残差平方和变小．答案：B11．根据下面的列联表得到如下四个判断：①至少有99.9%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；②至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关”；③在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒有关”；④在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒无关”.嗜酒不嗜酒总计患肝病70060760未患肝病20032232总计90092992A．0 B．1C．2 D．3解析：由列联表中数据可求得随机变量K2的观测值k＝992×(700×32－60×200)2≈7.349>6.635，所以在犯错误的概率不超过0.01的前760×232×900×92提下，认为“患肝病与嗜酒有关系”，即至少有99%的把握认为“患肝病与嗜酒有关系”．因此②③正确，故选C.答案：C12．某产品在某零售摊位的零售价x(单位：元)与每天的销售量y(单位：个)的统计资料如下表所示：由上表可得线性回归方程y＝b x＋a中的b＝－4，据此模型预测零售价为15元时，每天的销售量为()A．51个B．50个C．49个D．48个解析：∵x＝16＋17＋18＋194＝17.5，y＝50＋34＋41＋314＝39.∴由39＝－4×17.5＋a^得a^＝109.∴当x＝15时，y^＝－4×15＋109＝49(个)．答案：C二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知下表所示数据的线性回归方程为y^＝4x＋242，则实数a＝________.解析：由题意，得x＝4，y＝15(1 028＋a)，代入y^＝4x＋242，可得15(1 028＋a)＝4×4＋242，解得a＝262.答案：26214．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：已知P (K 2≥3.841)≈0.05，据表中数据，得到k ＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844，则认为“选修文科与性别有关系”出错的可能性为________ .解析：k ≈4.844>3.841，故判断出错的概率为0.05. 答案：0.0515．已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，其回归方程为y ^＝－3＋b ^x ，若∑i ＝110xi＝17，∑i ＝110y i ＝4，则b^的值为________． 解析：易知x ＝1.7，y ＝0.4， 又回归直线过样本点中心(1.7,0.4)， ∴0.4＝－3＋1.7b ^，∴b ^＝3.41.7＝2. 答案：216．某单位为了了解用电量y (度)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表．由表中数据得线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b^＝－2.现预测当气温为－4 ℃时，用电量的度数约为________.解析：由题意可知：x ＝14×(18＋13＋10－1)＝10， y ＝14×(24＋34＋38＋64)＝40， b^＝－2.又回归直线y ^＝－2x ＋a ^过点(10,40)， 故a^＝60， 所以当x ＝－4时，y ^＝－2×(－4)＋60＝68. 答案：68三、解答题(共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)调查某桑场采桑员桑毛虫皮炎发病情况结果如表．利用2×2列联表的独立性检验估计“患桑毛虫皮炎病与采桑”是否有关，你认为两者有关系会犯错误的概率是多少？K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )解析：由题意知a ＝18，b ＝12，c ＝5，d ＝78，所以a ＋b ＝30，c ＋d ＝83，a ＋c ＝23，b ＋d ＝90，n ＝113. 所以K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝113×(18×78－5×12)230×83×23×90≈39.6>10.828.所以患桑毛虫皮炎病与采桑有关系．认为两者有关系会犯错误的概率是0.1%. 18．(12分)《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”；《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚．下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据：(1)请利用所给数据求违章人数y 与月份x 之间的回归直线方程y ＝b x ＋a ^； (2)预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数．参考公式：b^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，a^＝y －b ^x . 参考数据：x i y i ＝1 415.解析：(1)由表中数据知x ＝3，y ＝100，∴b^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2＝1 415－1 50055－45＝－8.5，a^＝y －b ^x ＝125.5， ∴所求回归直线方程为y ^＝－8.5x ＋125.5. (2)令x ＝9，则y ^＝－8.5×9＋125.5＝49(人)．19．(12分)某学校高三年级有学生1 000名，经调查，其中750名同学经常参加体育锻炼(称为A 类同学)，另外250名同学不经常参加体育锻炼(称为B 类同学)，现用分层抽样方法(按A 类、B 类分两层)从该年级的学生中共抽取100名同学，如果以身高达165 cm 作为达标的标准，对抽取的100名学生，得到以下列联表：体育锻炼 15 总计100(1)完成上表；(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系？(K 2的观测值精确到0.001) 解析：(1)填写列联表如下：身高达标 身高不达标总计 经常参加体育锻炼 40 35 75 不经常参加体育锻炼10 15 25 总计5050100(2)由列联表中的数据，得K 2的观测值为： k ＝100×(40×15－35×10)275×25×50×50≈1.333<3.841.所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为经常参加体育锻炼与身高达标有关系．20．(12分)如图是我国2012年至2018年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2012～2018.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2020年我国生活垃圾无害化处理量．参考数据：∑i ＝17y i ＝9.32，∑i ＝17t i y i ＝40.17，∑i ＝17(y i －y )2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n(t i －t )2∑i ＝1n(y i －y )2，回归方程y ^＝a^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b^＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n(t i －t )2，a^＝y －b ^t . 解析：(1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得： t ＝4，∑i ＝17(t i －t )2＝28,∑i ＝17(y i －y )2＝0.55，∑i ＝17 (t i －t )(y i －y )＝∑i ＝17t i y i －t ∑i ＝17y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，∴r ≈2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系． (2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得：b^＝∑i＝17(t i－t)(y i－y)∑i＝17(t i－t)2＝2.8928≈0.103，a^＝y－b^t≈1.331－0.103×4≈0.92.所以y关于t的回归方程为y^＝0.92＋0.10t.将2016年对应的t＝9代入回归方程得y^＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以预测2020年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．21．(12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i和年销售量y i(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的如图所示散点图及一些统计量的值．x yω∑i＝18(x i－x)2∑i＝18(w i－w)2∑i＝18(x i－x)·(y i－y)∑i＝18(w i－w)·(y i－y)46.6563 6.8289.8 1.6 1 469108.8表中w i＝x i，w＝18∑i＝18w i.(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d x哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程．(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题：①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α^＋β^u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑i ＝1n(u i －u )(v i －v )∑i ＝1n(u i －u )2，α^＝v －β^u .解析：(1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于d^＝∑i ＝18(w i －w )·(y i －y )∑i ＝18 (w i －w )2＝108.81.6＝68，c ^＝y －d^w ＝563－68×6.8＝100.6， 所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ，因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x .(3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ^＝100.6＋6849＝576.6， 年利润z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值 z ^＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12.所以当x＝13.6＝6.8，即x＝46.24时，z^取得最大值．2故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．22．(12分)某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量值落在(495,510]的产品为合格品，否则为不合格品．下表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本频率分布直方图．表甲流水线样本频数分布表产品质量/克频数(490,495] 6(495,500]8(500,505]14(505,510]8(510,515] 4乙流水线样本频率分布直方图(1)根据上表数据作出甲流水线样本频率分布直方图；(2)若以频率作为概率，试估计从两条流水线分别任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率分别是多少；(3)由以上统计数据作出2×2列联表，并回答在犯错误的概率不超过多少的前提下认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关”．解析：(1)甲流水线样本频率分布直方图如下：(2)由题表知甲样本合格品数为8＋14＋8＝30，由题图知乙样本中合格品数为(0.06＋0.09＋0.03)×5×40＝36，故甲样本合格品的频率为3040＝0.75，乙样本合格品的频率为3640＝0.9，据此可估计从甲流水线任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率为0.75. 从乙流水线任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率为0.9. (3)2×2列联表如下：甲流水线 乙流水线 总计 合格品 a ＝30 b ＝36 66 不合格品 c ＝10 d ＝4 14 总计40 40n ＝80因为K 2的观测值k ＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝80×(120－360)266×14×40×40≈3.117>2.706，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．。
高中数学选修一第二章 直线和圆的方程 章末测试(解析版)
第二章 直线和圆的方程章末测试注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）1．（2020·福建高二学业考试）已知直线1l ：2y x =-，2l ：y kx =，若12//l l ，则实数k =（ ） A ．－2 B ．－1C ．0D ．1【答案】D【解析】已知直线1l ：2y x =-，2l ：y kx =，因为12//l l ，所以1k =故选：D2．（2020·洮南市第一中学高一月考）直线()()1:2140l a x a y -+++=与()2:190l a x ay ++-=互相垂直，则a 的值是（ ）. A ．-0.25 B ．1C ．-1D ．1或-1【答案】D【解析】当10a +=时，1a =-，此时14:3l x =，2:9l y =-，显然两直线垂直， 当0a =时，此时1:240l x y -++=，2:9l x =，显然两直线不垂直， 当10a +≠且0a ≠时，因为12l l ⊥，所以()()()2110a a a a -+++=，解得：1a =，综上可知：1a =或1-.故选D.3．（2020·江苏省海头高级中学高一月考）直线:l (1)230m x my m ---+=（m R ∈）过定点A ，则点A 的坐标为（ ）A ．(3,1)-B ．(3,1)C ．(3,1)-D ．(3,1)--【答案】B【解析】根据直线(1)230m x my m ---+=得()230m x y x ---+=，故直线过定点为直线20x y --=和30x -+=的交点，联立方程得2030x y x --=⎧⎨-+=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩ ，所以定点A 的坐标为()3,1A .故选：B. 4．（2020·广东高二期末）设a R ∈，则“a =1”是“直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件,【答案】C【解析】若直线ax+y-1=0与直线x+ay+1=0平行，则21a =,且11a-≠解得1a =故选C5．（2020·黑龙江高一期末）若曲线y y ＝k （x ﹣2）+4有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．3,14⎛⎤⎥⎝⎦B ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．（1，+∞）D ．（1，3]【答案】A【解析】作出曲线y 的图像，直线y ＝k （x ﹣2）+4恒过定点()2,4，当直线与曲线相切时，原点到直线240kx y k --+=的距离等于22=，解得34k =，由图可知， ()3401422k -<≤=--，故选：A 6．（2020·浙江柯城。
人教版选修【1-2】第二章《推理与证明》章末检测及答案
数学·选修1－2(人教A版)章末检测(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．下列表述正确的是()①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤答案：D2．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是()A．有两个内角是直角B．有三个内角是直角C．至少有两个内角是直角D．没有一个内角是直角解析：至多有一个的否定是至少存在两个，所以选C.答案：C3．有一段演绎推理是这样的：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数．”这段推理的结论显然是错误的，是因为()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误答案：C4．我们把平面几何里相似的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就称它们是相似体．给出下面的几何体中：①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥．则一定是相似体的个数为()A．4个B．3个C．2个D．1个解析：根据相似体的定义，只有①③是相似体，选C.答案：C5．下面几种推理是合情推理的是()①由正三角形的性质，推测正四面体的性质；②由平行四边形、梯形内角和是360°，归纳出所有四边形的内角和都是360°；③某次考试金卫同学成绩是90分，由此推出全班同学成绩都是90分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)180°.A．①②B．①③C．①②④D．②④答案：C6．证明命题：“f(x)＝e x＋1e x在(0，＋∞)上是增函数”．现给出的证法如下：因为f(x)＝e x＋1e x，所以f′(x)＝ex－1e x.因为x>0，所以e x>1,0<1e x<1.所以e x－1e x>0，即f′(x)>0.所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．使用的证明方法是()A．综合法B．分析法C．反证法D．以上都不是答案：A7．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定解析：用正弦定理将正弦关系转化为边的关系．由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，∴sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.∵sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ， ∴a 24R 2＋b 24R 2<c 24R 2， ∴a 2＋b 2<c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0.∴C 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形． 答案：C8．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 009和a 2 014分别等于( )A ．1,1B ．1,0C ．0,0D ．0,1解析：本题主要考查周期数列等基础知识．属于创新题型．依题意，得a 2 009＝a 4×503－3＝1，a 2 014＝a 2×1 007＝a 1 007＝a 4×252－1＝0.所以应选B.答案：B9．若S n ＝sin π7＋sin 2π7＋…＋sin n π7(n ∈N *)，则在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )A ．16个B ．72个C ．86个D ．100个分析：本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题．解决此类问题需要找到规律，从题目出发可以看出每隔13或14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力．解析：依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项．答案：C10．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1,2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、二对角线的三个数之和都等于15，如下图所示，一般地，将连续的正整数1,2,3，…，n2填入n×n 个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方．记n阶幻方的对角线上数的和为N，右上图的幻方记为N3＝15，那么N12的值为()A．869 B．870 C．871 D．875答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)11．用火柴棒摆“金鱼”，如下图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________．答案：6n＋212．对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“_________________________________________________________ _______________”这个类比命题的真假性是___________________________________________________________ _____________．答案：如果两个二面角的两个半平面分别垂直，那么这两个二面角相等或互补假命题13．(2013·广州一模)已知经过同一点的n(n∈N*，n≥3)个平面，任意三个平面不经过同一条直线．若这n个平面将空间分成f(n)个部分，则f(3)＝________，f(n)＝________.答案：8n2－n＋214．下列为一组等式：S1＝1，S2＝2＋3＝5，S3＝4＋5＋6＝15，S4＝7＋8＋9＋10＝34，S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，…某学生据此猜测S2n－1＝(2n－1)(an2＋bn＋c)，老师回答正确，则a＋b＋c＝________.答案：1三、解答题(本大题共6小题，共80分， 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)若a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，试用分析法或综合法证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.证明：证法一：(综合法) ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c c －1 ＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ＝(b ＋c )(c ＋a )(a ＋b )abc ≥2bc ·2ac ·2ab abc ＝8(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号)，所以不等式成立．证法二：(分析法)要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8成立， 只需证1－a a ·1－b b ·1－cc ≥8成立． 因为a ＋b ＋c ＝1，所以只需证(a ＋b ＋c )－a a ·(a ＋b ＋c )－b b ·(a ＋b ＋c )－cc≥8成立， 即b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥8.只需证b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8成立． 而2bc a ·2ac b ·2abc ＝8显然成立， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8成立．16．(12分)请你把命题“若a 1，a 2是正实数，则有221212a a a a≥a 1＋a 2”推广到一般情形，并证明你的结论．解析：推广的命题：若a 1，a 2，…，a n 都是正数，a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n＋a 2na 1≥a 1＋a 2＋…＋a n . 证明：∵a 1，a 2，…，a n 都是正数， ∴a 21a 2＋a 2≥2a 1， a 22a 3＋a 3≥2a 2， … a 2n －1a n ＋a n ≥2a n －1， a 2na 1＋a 1≥2a n ， 以上各式相加得：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n＋a 2na 1≥a 1＋a 2＋…＋a n .17．(14分)已知a ，b ，c 是不为1的正数，x ，y ，z ∈R ＋，且有a x ＝b y ＝c z和1x ＋1z ＝2y .求证：a ，b ，c 顺次成等比数列．证明：令a x ＝b y ＝c z ＝k >0，则有：x ＝log a k ，y ＝log b k ，z ＝log c k .因为1x ＋1z ＝2y ，所以有1log a k ＋1log c k ＝2log b k.所以lg a lg k ＋lg c lg k ＝2lg b lg k，即lg a ＋lg c ＝2lg b ，即有b 2＝ac ，所以a ，b ，c 顺次成等比数列．18．(14分)如右下图所示，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，若AD ＝a 1，AE ＝b 1，AB ＝a ，AC ＝b ，则S △ADE S △ABC ＝b 11aba .试在立体几何中写出类似的四面体性质的猜想，并予以证明．解析：如图所示，在三棱锥S -ABC 中，D ，E ，F 分别是侧棱SA ，SB ，SC 上的点，且SA ＝a ，SB ＝b ，SC ＝c ，SD ＝a 1，SE ＝b 1，SF＝c 1，则V S －DEF V S －ABC ＝a 1b 1c 1abc .证明：过点A 作AH ⊥平面SBC 于点H ，过点D 作DH 1⊥平面SBC 于点H 1，则DH 1∥AH ，且S ，H 1，H 三点共线．∵V S －DEF ＝V D －SEF ＝13S △SEF ·DH 1＝13×12·SE ·SF ·sin ∠ESF ·DH 1＝16b 1c 1·DH 1·sin ∠ESF ，V S －ABC ＝V A －SBC ＝13S △SBC ·AH ＝16bc ·AH ·sin ∠BSC ，且sin ∠ESF ＝sin ∠BSC ，DH 1∥AH ，∴DH 1AH ＝SD SA ＝a 1a .∴V S －DEF V S －ABC＝a 1b 1c 1abc .19．(14分)已知△ABC 中，角A 、B 、C 成等差数列，求证：1a ＋b＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c .证明(分析法)：要证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，需证：a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c＝3，即证：c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 即证：c 2＋a 2＝ac ＋b 2，因为△ABC 中，角A 、B 、C 成等差数列，所以B ＝60°，由余弦定理得b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，即b 2＝c 2＋a 2－ca ，所以c 2＋a 2＝ac ＋b 2，因此1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c .20．(14分)如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点．(1)试用分析法证明 MN //平面 PAD ； (2)试用分析法证明 MN ⊥CD ； (3)若∠PDA ＝45°，求证 MN ⊥平面 PCD .证明：(1)要证明MN //平面 PAD ，需让 MN 平行于平面 PAD 内某一直线．注意到 M ，N 分别为 AB ，PC 的中点，可取 PD 的中点 E ，连接 AE ，从而只需证 MN //AE 即可．证明如下：取 PD 的中点 E ，连接 AE ，EN ，则 EN 綊12CD綊12AB 綊AM ，故四边形 AMNE 为平行四边形，∴MN //AE . ∵AE ⊂平面 PAD ，MN ⊄平面 PAD . ∴MN //平面 PAD .(2)要证 MN ⊥CD ，可证 MN ⊥AB ， 由(1)知需证 AE ⊥AB .∵PA ⊥平面 ABCD ，∴PA ⊥AB . 又∵AD ⊥AB ，∴AB ⊥平面 PAD ， ∴AB ⊥AE ，即 AB ⊥MN . ∵CD //AB ，∴MN ⊥CD .(3)由(2)知 MN ⊥CD ，即 AE ⊥CD ，再证 AE ⊥PD 即可． ∵ PA ⊥平面 ABCD ，∴PA ⊥AD .又∠PDA ＝45°，E 为 PD 的中点，∴AE ⊥PD ，即 MN ⊥PD .又 MN ⊥CD ，PD ∩CD ＝D ，∴MN ⊥平面 PCD .。
2017-2018学年高中数学人教B版 选修1-2-第二章 章末综
章末综合测评(二)推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于()A.28B.32C.33D.27【解析】观察知数列{a n}满足：a1＝2，a n＋1－a n＝3n，故x＝20＋3×4＝32.【答案】 B2.用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A.方程x3＋ax＋b＝0没有实根B.方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C.方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D.方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根【解析】方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.【答案】 A3.下列推理过程是类比推理的是()A.人们通过大量试验得出掷硬币出现正面的概率为1 2B.科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼C.通过检测溶液的pH值得出溶液的酸碱性D.数学中由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数【解析】A为归纳推理，C，D均为演绎推理，B为类比推理.【答案】 B4.下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；③由f(x)＝sin x，满足f(－x)＝－f(x)，x∈R，推出f(x)＝sin x是奇函数；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.A.①②B.①③④C.①②④D.②④【解析】合情推理分为类比推理和归纳推理，①是类比推理，②④是归纳推理，③是演绎推理.【答案】 C5.设a＝21.5＋22.5，b＝7，则a，b的大小关系是()A.a>bB.a＝bC.a<bD.a>2(b＋1)【解析】因为a＝21.5＋22.5>221.5·22.5＝8>7，故a>b.【答案】 A6.将平面向量的数量运算与实数的乘法运算相类比，易得到下列结论：①a·b ＝b·a；②(a·b)·c＝a·(b·c)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c；④|a·b|＝|a||b|；⑤由a·b＝a·c(a≠0)，可得b＝c.以上通过类比得到的结论中，正确的个数是()A.2个B.3个C.4个D.5个【解析】①③正确；②④⑤错误.【答案】 A7.证明命题：“f(x)＝e x＋1e x在(0，＋∞)上是增函数”.现给出的证法如下：因为f(x)＝e x＋1e x，所以f′(x)＝ex－1e x.因为x>0，所以ex>1，0<1e x<1.所以ex－1e x>0，即f′(x)>0.所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，使用的证明方法是()【导学号：37820030】A.综合法B.分析法C.反证法D.以上都不是【解析】从已知条件出发利用已知的定理证得结论，是综合法.【答案】 A8.已知c >1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( ) A.a >b B.a <bC.a ＝bD.a ，b 大小不定【解析】 要比较a 与b 的大小，由于c >1，所以a >0，b >0，故只需比较1a 与1b 的大小即可，而1a ＝1c ＋1－c＝c ＋1＋c ，1b ＝1c －c －1＝c ＋c －1， 显然1a >1b ，从而必有a <b ，故选B. 【答案】 B9.设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，经计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，观察上述结果，可推测出一般结论( )A.f (2n )>2n ＋12B.f (n 2)≥n ＋22 C.f (2n )≥n ＋22D.以上都不对【解析】 f (2)＝32，f (4)＝f (22)>2＋22，f (8)＝f (23)>3＋22，f (16)＝f (24)>4＋22，f (32)＝f (25)>5＋22.由此可推知f (2n )≥n ＋22.故选C. 【答案】 C10.定义A *B ，B *C ，C *D ，D *A 的运算分别对应下面图1中的(1)(2)(3)(4)，则图中a ，b 对应的运算是( )图1A.B*D，A*DB.B*D，A*CC.B*C，A*DD.C*D，A*D【解析】根据(1)(2)(3)(4)可知A对应横线，B对应矩形，C对应竖线，D 对应椭圆.由此可知选B.【答案】 B11.观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A.28B.76C.123D.199【解析】从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.【答案】 C12.在等差数列{a n}中，若a n>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n>0，公比q>1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是()A.b4＋b8>b5＋b7B.b4＋b8<b5＋b7C.b4＋b7>b5＋b8D.b4＋b7<b5＋b8【解析】在等差数列{a n}中，由于4＋6＝3＋7时，有a4·a6>a3·a7，所以在等比数列{b n}中，由于4＋8＝5＋7，所以应有b4＋b8>b5＋b7或b4＋b8<b5＋b7.因为b4＝b1q3，b5＝b1q4，b7＝b1q6，b8＝b1q7，所以(b4＋b8)－(b5＋b7)＝(b1q3＋b1q7)－(b1q4＋b1q6)＝b1q6·(q－1)－b1q3(q－1)＝(b1q6－b1q3)(q－1)＝b1q3(q3－1)(q－1).因为q>1，b n>0，所以b4＋b8>b5＋b7.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.)13.已知x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时假设应为________.【解析】“至少有一个”的否定为“一个也没有”，故假设应为“x，y 均不大于1”(或x≤1且y≤1).【答案】x，y均不大于1(或x≤1且y≤1)14.如图2，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1，2，3，…)，则第n－2(n>2)个图形中共有________个顶点.【导学号：37820031】图2【解析】设第n个图形中有a n个顶点，则a1＝3＋3×3，a2＝4＋4×4，…，a n＝(n＋2)＋(n＋2)·(n＋2)，a n－2＝n2＋n.【答案】n2＋n15.设a>0，b>0，则下面两式的大小关系为lg(1＋ab)________12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)].【解析】因为(1＋ab)2－(1＋a)(1＋b)＝1＋2ab＋ab－1－a－b－ab ＝2ab－(a＋b)＝－(a－b)2≤0，所以(1＋ab)2≤(1＋a)(1＋b)，所以lg(1＋ab)≤12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)].【答案】≤16.对于命题“如果O 是线段AB 上一点，则|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →＝0”将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OBA ·OC →＝0，将它类比到空间的情形应为：若O 是四面体ABCD 内一点，则有_____________________________________________.【解析】 根据类比的特点和规律，所得结论形式上一致，又线段类比平面，平面类比到空间，又线段长类比为三角形面积，再类比成四面体的体积，故可以类比为V O BCD ·OA →＋V O ACD ·OB →＋V O ABD ·OC →＋V O ABC ·OD →＝0.【答案】 V O BCD ·OA →＋V O ACD ·OB →＋V O ABD ·OC →＋V O ABC ·OD →＝0 三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分10分)已知a ，b ，c 成等差数列，求证：ab ＋ac ，b 2＋ac ，ac ＋bc 也成等差数列.【证明】 因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，所以(ab ＋ac )＋(ac ＋bc )＝b (a ＋c )＋2ac ＝2(b 2＋ac ).所以ab ＋ac ，b 2＋ac ，ac ＋bc 也成等差数列.18.(本小题满分12分)在平面几何中，对于Rt △ABC ，∠C ＝90°，设AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，则(1)a 2＋b 2＝c 2； (2)cos 2A ＋cos 2B ＝1把上面的结论类比到空间写出类似的结论，无需证明.【解】 在空间选取三个面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象.(1)设三个两两垂直的侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，底面积为S ，则S 21＋S 22＋S 23＝S 2.(2)设三个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.19.(本小题满分12分)已知△ABC 的三条边分别为a ，b ，c ，且a >b ，求证：ab1＋ab <a ＋b 1＋a ＋b.【证明】 依题意a >0，b >0，所以1＋ab >0，1＋a ＋b >0. 所以要证ab1＋ab <a ＋b 1＋a ＋b，只需证ab (1＋a ＋b )<(1＋ab )(a ＋b )， 只需证ab <a ＋b ，因为a >b ，所以ab <2ab <a ＋b ， 所以ab 1＋ab <a ＋b 1＋a ＋b.20.(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n ，n ∈N +，求a 2，a 3，a 4，并猜想数列的通项公式，并给出证明.【解】 数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝12＝24，a 4＝2a 32＋a 3＝25，…，所以猜想{a n }的通项公式a n ＝2n ＋1(n ∈N +).此猜想正确. 证明如下：因为a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n ，所以1a n ＋1＝2＋a n 2a n ＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，公差为12的等差数列， 所以1a n＝1＋(n －1)12＝n 2＋12，即通项公式a n ＝2n ＋1(n ∈N +).21.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3－x 2，x ∈R .(1)若正数m ，n 满足m ·n >1，证明：f (m )，f (n )至少有一个不小于零； (2)若a ，b 为不相等的正实数且满足f (a )＝f (b )，求证：a ＋b <43. 【证明】 (1)假设f (m )<0，f (n )<0， 即m 3－m 2<0，n 3－n 2<0， ∵m >0，n >0， ∴m －1<0，n －1<0， ∴0<m <1，0<n <1， ∴mn <1，这与m ·n >1矛盾，∴假设不成立，即f (m )，f (n )至少有一个不小于零. (2)证明：由f (a )＝f (b )，得a 3－a 2＝b 3－b 2， ∴a 3－b 3＝a 2－b 2，∴(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )(a ＋b )， ∵a ≠b ，∴a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，∴(a ＋b )2－(a ＋b )＝ab <⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， ∴34(a ＋b )2－(a ＋b )<0， 解得a ＋b <43.22.(本小题满分12分)设f (x )＝a x ＋a －x 2，g (x )＝a x －a －x2(其中a >0，且a ≠1). (1)5＝2＋3，请你推测g (5)能否用f (2)，f (3)，g (2)，g (3)来表示； (2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广. 【解】 (1)f (3)g (2)＋g (3)f (2)＝a 3＋a －32·a 2－a －22＋a 3－a －32·a 2＋a －22＝a 5－a －52， 又g (5)＝a 5－a －52， ∴g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2).(2)由(1)知g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)，即g(3＋2)＝f(3)g(2)＋g(3)f(2)，于是推测g(x＋y)＝f(x)g(y)＋g(x)f(y).证明：∵f(x)＝a x＋a－x2，g(x)＝a x－a－x2，g(x＋y)＝a x＋y－a－（x＋y）2，g(y)＝a y－a－y2，f(y)＝a y＋a－y2，∴f(x)g(y)＋g(x)f(y)＝a x＋a－x2·a y－a－y2＋a x－a－x2·a y＋a－y2＝a x＋y－a－（x＋y）2＝g(x＋y).。
人教A版高中数学选修1章末检测2第二章直线和圆的方程
第二章章末检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0【答案】A【解析】设与直线x －2y －2＝0平行的直线方程为x －2y ＋c ＝0(c ≠－2)，将点(1,0)代入直线方程x －2y ＋c ＝0，得1－2³0＋c ＝0，解得c ＝－1．所以所求直线方程为x －2y －1＝0．2．直线l 的方程为3x ＋3y －1＝0，则直线l 的倾斜角为( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30° 【答案】A【解析】设直线l 的倾斜角为θ，θ∈[0，π)，直线l 的方程为3x ＋3y －1＝0，则k ＝tan θ＝－33，解得θ＝5π6．所以直线l 的倾斜角为150°．故选A ． 3．直线l 1：ax －y －3＝0和直线l 2：x ＋(a ＋2)y ＋2＝0平行，则实数a 的值为( ) A ．3 B ．－1 C ．－2 D ．3或－1【答案】B【解析】由a ²(a ＋2)＋1＝0，即a 2＋2a ＋1＝0，解得a ＝－1．经检验成立，所以a ＝－1．4．无论m 取何实数，直线l ：mx ＋y －1＋2m ＝0恒过一定点，则该定点坐标为( ) A ．(－2,1) B ．(－2，－1) C ．(2,1) D ．(2，－1)【答案】A【解析】直线l ：mx ＋y －1＋2m ＝0可整理为m (x ＋2)＋y －1＝0，当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，y －1＝0，解得x ＝－2，y ＝1，无论m 为何值，直线总过定点(－2,1)．5．已知圆心在y 轴上的圆C 与直线x ＝3切于点M (3,2)．若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆C 相切，则m 的值为( )A ．9B ．7C ．－21或9D ．－23或7【答案】D【解析】圆心在y 轴上的圆C 与直线x ＝3切于点M (3,2)，可得圆C 的半径为3，圆心为(0,2)．因为直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆C 相切，所以|8＋m |32＋42＝3，解得m ＝－23或m ＝7．故选D ．6．(2021年哈尔滨期末)圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝2关于直线l ：x ＋y －2＝0对称的圆的方程为( )A ．(x －4)2＋(y －1)2＝2 B ．(x ＋4)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －4)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x ＋4)2＋(y －1)2＝2【答案】A【解析】由于圆心(1，－2)关于直线x ＋y －2＝0对称的点的坐标为(4,1)，半径为2，故圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝2关于直线x ＋y －2＝0对称的圆的方程为(x －4)2＋(y －1)2＝2．故选A ．7．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8【答案】B【解析】圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，所以圆心为(－1,1)，半径r ＝2－a ，弦心距为d ＝|－1＋1＋2|12＋12＝2．因为圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦长为4，所以22＋(2)2＝2－a ，所以a ＝－4．8．圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9与圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4外切，则m 的值为( ) A ．2 B ．－5 C ．2或－5 D ．不确定【答案】C【解析】由圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9与圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，得C 1(m ，－2)，C 2(－1，m )，半径分别为3和2．∵两圆外切，∴m ＋122－m2＝3＋2，化简得(m ＋5)(m －2)＝0，∴m ＝－5或m ＝2．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若直线过点A (1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 的方程可能为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．2x －y ＝0D ．x －y －1＝0【答案】ABC【解析】当直线经过原点时，斜率为k ＝2－01－0＝2，所求的直线方程为y ＝2x ，即2x －y＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x ±y ＝k ，把点A (1,2)代入可得1－2＝k 或1＋2＝k ，解得k ＝－1或k ＝3，故所求的直线方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝0．综上，所求的直线方程为2x －y ＝0或x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝0．10．已知直线l ：3x －y ＋1＝0，则下列结论正确的是( ) A ．直线l 的倾斜角是π6B ．若直线m ：x －3y ＋1＝0，则l ⊥mC ．点(3，0)到直线l 的距离是2D ．过(23，2)与直线l 平行的直线方程是3x －y －4＝0 【答案】CD【解析】对于A ，直线l 的斜率k ＝tan θ＝3，故直线l 的倾斜角是π3，故A 错误；对于B ，因为直线m 的斜率k ′＝33，kk ′＝1≠－1，故直线l 与直线m 不垂直，故B 错误；对于C ，点(3，0)到直线l 的距离d ＝|3²3－0＋1|3212＝2，故C 正确；对于D ，过点(23，2)与直线l 平行的直线方程是y －2＝3(x －23)，整理得3x －y －4＝0，故D 正确．11．已知圆(x －1)2＋(y －1)2＝4与直线x ＋my －m －2＝0，下列选项正确的是( ) A ．圆的圆心坐标为(1,1) B ．直线过定点(－2,1)C ．直线与圆相交且所截最短弦长为2 3D ．直线与圆可以相切 【答案】AC【解析】由题意，圆(x －1)2＋(y －1)2＝4的圆心C (1,1)，半径r ＝2，A 对．直线x ＋my －m －2＝0变形得x －2＋m (y －1)＝0，得直线过定点A (2,1)，B 错．∵|CA |＝2－121－12＝1＜2，∴直线与圆必相交，D 错．如图，由平面几何知识可知，当直线与过定点A 和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，此时弦长为2r 2－|CA |2＝23，C 对．12．在同一平面直角坐标系中，直线y ＝ax ＋a 2与圆(x ＋a )2＋y 2＝a 2的位置不可能是( )A B C D【答案】ABD【解析】直线y ＝ax ＋a 2经过圆(x ＋a )2＋y 2＝a 2的圆心(－a,0)，且斜率为a ，故不可能为A ，B ，D ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在△ABC 中，已知A (2,1)，B (－2,3)，C (0,1)，则BC 边上的中线所在的直线的一般方程为__________．【答案】x ＋3y －5＝0【解析】BC 的中点D (－1,2)，BC 边上的中线所在的直线的方程为y －1＝2－1－1－2(x －2)，即x ＋3y －5＝0．14．若直线l 1：y ＝kx －3与l 2：2x ＋3y －6＝0的交点M 在第一象限，则直线l 1恒过定点________；l 1的倾斜角α的取值范围是________．【答案】(0，－3) ⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2【解析】直线l 1：y ＝kx －3恒过定点(0，－3)．直线l 2：2x ＋3y －6＝0在x 轴和y 轴上的截距分别为3,2，如图所示，因为k PA ＝1，所以直线PA 的倾斜角为π4，由图可知，要使直线l 1：y ＝kx －3与l 2：2x ＋3y －6＝0的交点M 在第一象限，则l 1的倾斜角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2．15．已知圆x 2－2x ＋y 2－2my ＋2m －1＝0，当圆的面积最小时，直线y ＝x ＋b 与圆相切，则b ＝________．【答案】± 2【解析】将x 2－2x ＋y 2－2my ＋2m －1＝0化为(x －1)2＋(y －m )2＝m 2－2m ＋2，所以圆的半径为m 2－2m ＋2．当圆面积最小时，圆的半径最小，此时m ＝1，圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1．因为直线y ＝x ＋b 与圆相切，所以|1－1＋b |2＝1，解得b ＝±2．16．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，l 为过点(0,2)的动直线，若l 与圆O 相切，则直线l 的倾斜角为________．【答案】π3或2π3【解析】若直线l 与圆相切，则l 的斜率肯定存在，设l ：y ＝kx ＋2，则d ＝2k 2＋1＝1，所以k ＝±3．所以直线l 的倾斜角为π3或2π3．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知直线l 经过两条直线l 1：x ＋y －4＝0和l 2：x －y ＋2＝0的交点，直线l 3：2x －y －1＝0．(1)若l ∥l 3，求l 的直线方程； (2)若l ⊥l 3，求l 的直线方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，x －y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，∴l 1与l 2的交点为(1,3)．设与直线2x －y －1＝0平行的直线为2x －y ＋c ＝0，则2－3＋c ＝0，∴c ＝1． ∴所求直线方程为2x －y ＋1＝0．(2)设与直线2x －y －1＝0垂直的直线为x ＋2y ＋c ＝0， 则1＋2³3＋c ＝0，解得c ＝－7． ∴所求直线方程为x ＋2y －7＝0．18．(12分)已知直线l ：(1＋2m )x ＋(m －1)y ＋7m ＋2＝0． (1)求证：不论m 为何实数，直线恒过一定点M ；(2)过定点M 作一条直线l 1，使夹在两坐标轴之间的线段被点M 平分，求直线l 1的方程． (1)证明：直线l 整理得(x －y ＋2)＋m (2x ＋y ＋7)＝0．联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x ＋y ＋7＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－1.所以无论m 为何实数，直线l 恒过定点(－3，－1)．(2)解：当直线l 1的斜率不存在或等于零时，显然不合题意． 设直线l 1的方程为y ＝k (x ＋3)－1(k ≠0)． 令x ＝0，则y ＝3k －1； 令y ＝0，则x ＝1k－3．所以直线l 1与坐标轴的交点为A (0,3k －1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k－3，0．由于过定点M (－3，－1)作一条直线l 1，使夹在两坐标轴之间的线段被点M 平分， 则点M 为线段AB 中点， 即⎩⎪⎨⎪⎧3k －12＝－1，12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －3＝－3，解得k ＝－13．所以直线l 1的方程为y ＝－13x －2，即x ＋3y ＋6＝0．19．(12分)已知直线l ：y ＝kx 与圆C 1：(x －1)2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，C 2与圆C 1相外切，且与直线l 相切于点M (3，3)．(1)求k 的值，并求AB 的长； (2)求圆C 2的方程．解：(1)直线l ：y ＝kx 经过点M (3，3)， 所以3＝3k ，得k ＝33． 圆C 1：(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C 1(1,0)，半径为1，直线l ：3x －3y ＝0， 点C 1(1,0)到直线l 的距离d ＝33＋9＝12，所以|AB |＝212－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝3．(2)设过点M 作与直线l 垂直的直线l 1，l 1的方程是y －3＝－3(x －3)，即y ＝－3x ＋43．设C 2(a ，－3a ＋43)，又因为C 1(1,0)，圆C 2与圆C 1相外切，且与直线l 相切于点M (3，3)，所以|C 1C 2|＝1＋|MC 2|， 即a －12－3a ＋432＝1＋a －323a ＋43－32，化简得a 2－4a ＝0，解得a ＝4或a ＝0． 当a ＝4时，C 2(4,0)，此时r 2＝(4－3)2＋(0－3)2＝4，C 2：(x －4)2＋y 2＝4．当a ＝0时，C 2(0,43)，此时r 2＝(0－3)2＋(43－3)2＝36，C 2：x 2＋(y －43)2＝36．20．(12分)已知△ABC 的顶点C (2，－8)，直线AB 的方程为y ＝－2x ＋11，AC 边上的高BH 所在直线的方程为x ＋3y ＋2＝0．(1)求顶点A 和B 的坐标； (2)求△ABC 外接圆的一般方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋11，x ＋3y ＋2＝0，得顶点B (7，－3)．由AC ⊥BH ，k BH ＝－13．所以可设AC 的方程为y ＝3x ＋b ，将C (2，－8)代入，得b ＝－14．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋11，y ＝3x －14，得顶点为A (5,1)．所以点A 和B 的坐标分别为(5,1)和(7，－3)． (2)设△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将点A (5,1)，B (7，－3)，C (2，－8)分别带入圆的方程代入， 得⎩⎪⎨⎪⎧5D ＋E ＋F ＋26＝0，7D －3E ＋F ＋58＝0，2D －8E ＋F ＋68＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝6，F ＝－12，所以△ABC 的外接圆的一般方程为x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0．21．(12分)某种体育比赛的规则是：进攻队员与防守队员均在安全线l 的垂线AC 上(C 为垂足)，且分别位于距C 为2a 和a (a ＞0)的点A 和点B 处，进攻队员沿直线AD 向安全线跑动，防守队员沿直线方向拦截，设AD 和BM 交于点M ，若在点M ，防守队员比进攻队员先到或同时到，则进攻队员失败．已知进攻队员速度是防守队员速度的两倍，且他们双方速度不变，问进攻队员的路线AD 应为什么方向才能取胜？解：如图，以l 为x 轴，C 为原点建立平面直角坐标系．设防守队员速度为v ，则进攻队员速度为2v ．设点M 的坐标为(x ，y )，进攻队员与防守队员跑到点M 所需时间分别为t 1＝|AM |2v ，t 2＝|BM |v． 若t 1＜t 2，则|AM |＜2|BM |， 即x2y －2a2＜2x2y －a2，整理得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －23a 2＞⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2，这说明点M 应在圆E ：x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －23a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 2以外，进攻队员方能取胜．设AN 为圆E 的切线，N 为切点．在Rt △AEN 中，AE ＝2a －2a 3＝4a 3，EN ＝2a 3，所以sin ∠EAN ＝EN AE ＝2a34a 3＝12，故sin ∠EAN ＝30°．所以进攻队员的路线AD 与AC 所成角大于30°即可． 22．(12分)已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)． (1)求点A 关于直线l 的对称点B 的坐标； (2)直线l 关于点A 对称的直线a 的方程；(3)以点A 为圆心，3为半径长作圆，直线b 过点M (2,2)，且被圆A 截得的弦长为27，求直线b 的方程．解：(1)设点B (m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ＋2m ＋1²23＝－1，2²m －12－3²n －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3313，n ＝413，所以点A 关于直线l 的对称点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413． (2)设P (x ，y )是直线a 上任意一点，则点P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点C (－2－x ，－4－y )在直线l 上， 所以2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0．(3)设圆心A 到直线b 的距离为d ，直线b 被圆A 截得的弦长为27，因此d ＝9－7＝2．当直线b 斜率不存在时，x ＝2不满足条件；当直线b 斜率存在时，设其方程为y －2＝k (x －2)，则|3k －4|1＋k 2＝2， 解得k ＝12±467．综上，直线b 的方程为y ＝12＋467x －10＋2467或y ＝12－467x －10－2467．。
北师大版数学选修1-2 章末检测一
高中数学北师大版选修1-2 章末检测一一、选择题1． 下列语句表示的事件中的因素不具有相关关系的是( )A ．瑞雪兆丰年B ．名师出高徒C ．吸烟有害健康D ．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧2． 设两个变量x 和y 之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r ，y 关于x 的回归直线的斜率是b ，纵截距是a ，那么必有 ( )A ．b 与r 的符号相同B ．a 与r 的符号相同C ．b 与r 的相反D ．a 与r 的符号相反3． 某化工厂为预测某产品的回收率y ，需要研究它和原料有效成份含量之间的相关关系，现取了8对观测值，计算得：∑8i ＝1x i ＝52，∑8i ＝1y i ＝228，∑8i ＝1x 2i ＝478，∑8i ＝1x i y i ＝1 849，则y 与x 的线性回归方程是( )A ．y ＝11.47＋2.62xB ．y ＝－11.47＋2.62xC ．y ＝2.62x ＋11.47xD ．y ＝11.47－2.62x4． 根据一位母亲记录儿子3～9岁的身高数据，建立儿子身高(单位：cm)对年龄(单位：岁)的线性回归方程y ＝7.19x ＋73.93，用此方程预测10岁时的身高，有关叙述正确的是( )A ．身高一定为145.83 cmB ．身高大于145.83 cmC ．身高小于145.83 cmD ．身高在145.83 cm 左右 5． 下列是x 与y 之间的一组数据则y 关于x( )A ．(32，4)B ．(32，2)C ．(2,2)D ．(1,2)6．为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9 965人，得到如下结果(单位：人)() A．90% B．95% C．99% D．100%=7．调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到下面的数据表：() A．80% B．90%C．95% D．99%8．甲、乙二人分别对一目标射击一次，记“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B.则在A与B，A与B、A与B、A与B中，满足相互独立的有() A．1对B．2对C．3对D．4对9．下列说法中正确的是()①独立性检验的结论是带有概率性质的；②独立性检验就是选取一个假设H0条件下的小概率事件，若在一次试验中该事件发生了，这是与实际推断相抵触的“不合理”现象，则作出拒绝H0的推断；③独立性检验一定能给出明确的结论．A．①②B．①③C．②③D．①②③10．两个分类变量X与Y，可能的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数满足a＝10，b＝21，c＋d＝35，若X与Y有关系的可信程度为90%，则c的值可能等于() A．4 B．5 C．6 D．711．某调查机构调查教师工作压力大小的情况，部分数据如表：() A．0.01 B．0.05 C．0.10 D．0.005二、填空题12．对具有线性相关关系的变量x和y，由测得的一组数据已求得线性回归方程的斜率为6.5，且恒过(2,3)点，则这条线性回归方程为________．13．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和及格统计人数后，得到如下列联表：班级与成绩列联表则统计量χ2≈14．从某地区老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：15．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②线性回归方程y＝bx＋a必过点(x，y)；③曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；④在一个2×2列联表中，由计算得χ2＝13.079，则其两个变量间有关系的可能性是90%.其中错误的是________．(填序号)三、解答题16．5个学生的数学成绩x与物理成绩y如下表，求其相关系数.17．含杂质的关系，调查结果如下表所示.18．在一段时间内，某种商品的价格x(元)和需求量y(件)之间的一组数据为：已知x与y19．某聋哑研究机构，对聋与哑是否有关系进行抽样调查，在耳聋的657人中有416人哑，而在另外不聋的680人中有249人哑，你能运用这组数据，得到相应结论吗？请运用独立性检验进行判断．20．某单位餐厅的固定餐椅经常有损坏，于是该单位领导决定在餐厅墙壁上张贴文明标语看是否有效果，并对文明标语张帖前后餐椅的损坏情况作了一个统计，具体数据如下：21．测得某国10对父子身高(单位：英寸)如下：(2)如果y与x之间具有线性相关关系，求线性回归方程；(3)如果父亲的身高为73英寸，估计儿子的身高．答案1．D 2.A 3.A 4.D 5.A 6.C 7.B 8．D 9.A 10.B 11.B 12．y ＝－10＋6.5x 13．0.600 14．90% 15．③④16．解 由表中给出的数据可以得出：x ＝70，y ＝66，∑5i ＝1x 2i ＝24 750， ∑5i ＝1y 2i ＝21 820，∑5i ＝1x i y i ＝23 190， ∴r ＝∑5i ＝1x i y i －5x y ∑5i ＝1x 2i －5x2∑5i ＝1y 2i －5y2＝23 190－5×70×6624 750－5×702×21 820－5×662＝0.9.17．解 由已知数据得到如下2×2列联表由公式χ2＝382×(37×202－121×22)2158×224×59×323≈13.11，由于13.11>6.635，故有99%的把握认为含杂质的高低与设备改造是有关的． 18．解 x ＝15×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，y ＝15×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，∑5i ＝1x 2i ＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660，∑5i ＝1y 2i ＝122＋102＋72＋52＋32＝327， ∑5i ＝1x i y i ＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，所以b ＝∑5i ＝1x i y i －5x y ∑5i ＝1x 2i －5x 2＝620－5×18×7.41 660－5×182＝－2320 ＝－1.15，所以a ＝y －b x ＝7.4＋1.15×18＝28.1， 所以线性回归方程为y ＝－1.15x ＋28.1. 19．解 能．根据题目所给数据得到如下列联表：χ2＝1 337×(416×431－241×249)2657×680×665×672≈95.291>6.635.因此有99%的把握认为聋与哑有关． 20．解 根据题中的数据计算：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝392×(39×167－157×29)2196×196×68×324≈1.78.因为1.78<2.706，所以我们没有理由认为在餐厅墙壁上张贴文明标语对减少餐椅损坏数有效果，即效果不明显． 21．解 (1)x ＝66.8，y ＝67.01，∑10 i ＝1x 2i ＝44 794，∑10 i ＝1y 2i ＝44 941.93， x y ＝4 476.27，x 2＝4 462.24，y 2＝4 490.34， ∑10 i ＝1x i y i ＝44 842.4.所以r ＝∑10i ＝1x i y i －10x y ∑10 i ＝1x 2i －10x2∑10i ＝1y 2i －10y2＝44 842.4－10×4 476.2744 794－44 622.4 44 941.93－44 903.4＝79.76 611.748≈79.781.31≈0.980 2.由于r 非常接近于1，所以y 与x 之间具有线性相关关系． (2)设线性回归方程为y ＝bx ＋a . 由b ＝∑10 i ＝1x i y i －10x y ∑10 i ＝1x 2i －10x 2＝44 842.4－44 762.744 794－44 622.4＝79.7171.6≈0.464 5， a ＝y －b x ＝67.01－0.464 5×66.8≈35.98. 故所求的线性回归方程为y ＝0.464 5x ＋35.98.(3)当x ＝73时，y ＝0.464 5×73＋35.98≈69.9，所以当父亲身高为73英寸时，估计儿子的身高约为69.9英寸．。
人教a版数学【选修1-1】：第二章《圆锥曲线与方程》章末检测(a)(含答案)
第二章 章末检测(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是( ) A.14 B.12C ．2D ．4 2．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1 (m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( )A.x 212＋y 216＝1B.x 216＋y 212＝1 C.x 248＋y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝1 4．P 是长轴在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的点，F 1、F 2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差一定是( )A ．1B ．a 2C ．b 2D ．c 25．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1 C.y 24－x 28＝1 D.x 28－y 24＝1 6．设a >1，则双曲线x 2a 2－y 2(a ＋1)2＝1的离心率e 的取值范围是( ) A ．(2，2) B ．(2，5)C ．(2,5)D ．(2，5)7．过点M (2,4)作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，则这样的直线的条数是( )A ．1B ．2C ．3D ．08．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦距，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则FB →|＋|FB →|＋|FC →|等于( )A ．9B ．6C ．4D ．39．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(1,2)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)10．若动圆圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－2)11．抛物线y ＝x 2上到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是( )A.（32，54） B ．(1,1) C. （32，94） D ．(2,4) 12．已知椭圆x 2sin α－y 2cos α＝1 (0≤α<2π)的焦点在y 轴上，则α的取值范围是( )A.（34π，π）B.（π4，π） C.（π ，π） D.（π ，3π）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．椭圆的两个焦点为F 1、F 2，短轴的一个端点为A ，且三角形F 1AF 2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为________．14．点P (8,1)平分双曲线x 2－4y 2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是______________．15．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，线段F 1F 2被点（b 2，0）分成3∶1的两段，则此椭圆的离心率为________．16．对于曲线C ：x 24－k ＋y 2k －1＝1，给出下面四个命题： ①曲线C 不可能表示椭圆；②当1<k <4时，曲线C 表示椭圆；③若曲线C 表示双曲线，则k <1或k >4；④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<k <52. 其中所有正确命题的序号为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，MP ′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P ′，并且M 为线段PP ′的中点，求P 点的轨迹方程．18．(12分)双曲线C 与椭圆x 28＋y 24＝1有相同的焦点，直线y ＝3x 为C 的一条渐近线．求双曲线C 的方程．19.(12分)直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标等于2，求弦AB 的长．20．(12分)已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)上的一点，F 1、F 2为椭圆的两焦点，若PF 1⊥PF 2，试求：(1)椭圆的方程；(2)△PF 1F 2的面积．21.(12分)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程．22．(12分)在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，－3)、(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线y ＝kx ＋1与C 交于A 、B 两点．(1)写出C 的方程；（2）若OA →⊥OB →，求k 的值．第二章 圆锥曲线与方程(A) 答案1．A [由题意可得21m ＝2×2，解得m ＝14.] 2．B [∵y 2＝8x 的焦点为(2,0)，∴x 2m 2＋y 2n2＝1的右焦点为(2,0)，∴m >n 且c ＝2. 又e ＝12＝2m，∴m ＝4. ∵c 2＝m 2－n 2＝4，∴n 2＝12.∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1.] 3．B [抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6，故双曲线中c ＝6. ①由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝3x ，知b a＝3， ② 且c 2＝a 2＋b 2.③由①②③解得a 2＝9，b 2＝27.故双曲线的方程为x 29－y 227＝1，故选B.] 4．D [由椭圆的几何性质得|PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号．|PF 1|·|PF 2|＝|PF 1|(2a －|PF 1|)＝－|PF 1|2＋2a |PF 1|＝－(|PF 1|－a )2＋a 2≥－c 2＋a 2＝b 2，所以|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差为a 2－b 2＝c 2.]5．B [由于双曲线的顶点坐标为(0,2)，可知a ＝2，且双曲线的标准方程为y 24－x 2b2＝1. 根据题意2a ＋2b ＝2·2c ，即a ＋b ＝2c .又a 2＋b 2＝c 2，且a ＝2，∴解上述两个方程，得b 2＝4.∴符合题意的双曲线方程为y 24－x 24＝1.] 6．B [∵双曲线方程为x 2a 2－y 2(a ＋1)2＝1， ∴c ＝ 2a 2＋2a ＋1.∴e ＝c a ＝ 2＋1a 2＋2a＝ ⎝⎛⎭⎫1a ＋12＋1. 又∵a >1，∴0<1a <1.∴1<1a＋1<2. ∴1<⎝⎛⎭⎫1＋1a 2<4.∴2<e < 5.] 7．B8．B [设A 、B 、C 三点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，F (1,0)， ∵ F A →＋FB →＋FC →＝0，∴x 1＋x 2＋x 3＝3.又由抛物线定义知|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋1＋x 2＋1＋x 3＋1＝6.]9．C [如图所示，要使过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率小于等于渐近线的斜率b a ，∴b a ≥3，离心率e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2≥4，∴e ≥2.] 10．B [根据抛物线的定义可得．]11．B [设与直线2x －y ＝4平行且与抛物线相切的直线为2x －y ＋c ＝0 (c ≠－4)，2x －y ＋c ＝0由y ＝x 2得x 2－2x －c ＝0. ①由Δ＝4＋4c ＝0得c ＝－1，代入①式得x ＝1.∴y ＝1，∴所求点的坐标为(1,1)．]12．D [椭圆方程化为x 21sin α＋y 2－1cos α＝1. ∵椭圆焦点在y 轴上，∴－1cos α>1sin α>0. 又∵0≤α<2π，∴π2<α<3π4.] 13.32解析 由已知得∠AF 1F 2＝30°，故cos 30°＝c a ，从而e ＝32. 14．2x －y －15＝0解析 设弦的两个端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21－4y 21＝4，x 22－4y 22＝4，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.因为线段AB 的中点为P (8,1)，所以x 1＋x 2＝16，y 1＋y 2＝2.所以y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24(y 1＋y 2)＝2. 所以直线AB 的方程为y －1＝2(x －8)，代入x 2－4y 2＝4满足Δ>0.即2x －y －15＝0.15.22解析 由题意，得b 2＋c c －b 2＝3⇒b 2＋c ＝3c －32b ⇒b ＝c ， 因此e ＝c a ＝ c 2a 2＝ c 2b 2＋c 2＝ 12＝22. 16．③④解析 ①错误，当k ＝2时，方程表示椭圆；②错误，因为k ＝52时，方程表示圆；验证可得③④正确．17．解 设P 点的坐标为(x ，y )，M 点的坐标为(x 0，y 0)．∵点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，∴x 2036＋y 209＝1. ∵M 是线段PP ′的中点，x 0＝x ， x 0＝x ，∴ y 0＝y 2， 把 y 0＝y 2， 代入x 2036＋y 209＝1，得x 236＋y 236＝1，即x 2＋y 2＝36. ∴P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝36.18．解 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1. 由椭圆x 28＋y 24＝1，求得两焦点为(－2,0)，(2,0)， ∴对于双曲线C ：c ＝2.又y ＝3x 为双曲线C 的一条渐近线，∴b a＝3，解得a 2＝1，b 2＝3， ∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1. 19．解 将y ＝kx －2代入y 2＝8x 中变形整理得：k 2x 2－(4k ＋8)x ＋4＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0(4k ＋8)2－16k 2>0，得k >－1且k ≠0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意得：x 1＋x 2＝4k ＋8k2＝4⇒k 2＝k ＋2⇒k 2－k －2＝0. 解得：k ＝2或k ＝－1(舍去)由弦长公式得：|AB |＝1＋k 2·64k ＋64k 2＝5×1924＝215. 20．解 (1)令F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则b 2＝a 2－c 2.因为PF 1⊥PF 2，所以kPF 1·kPF 2＝－1，即43＋c ·43－c＝－1， 解得c ＝5，所以设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－25＝1. 因为点P (3,4)在椭圆上，所以9a 2＋16a 2－25＝1. 解得a 2＝45或a 2＝5.又因为a >c ，所以a 2＝5舍去．故所求椭圆方程为x 245＋y 220＝1. (2)由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝65， ①又|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝100， ②①2－②得2|PF 1|·|PF 2|＝80，所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝20. 21．解 焦点F (p 2，0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 若AB ⊥Ox ，则|AB |＝2p <52p ，不合题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －p 2)，k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －p 2)，y 2＝2px 消去x ， 整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由韦达定理得，y 1＋y 2＝2p k，y 1y 2＝－p 2. ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝ (1＋1k2)·(y 1－y 2)2 ＝ 1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝2p (1＋1k 2)＝52p . 解得k ＝±2.∴AB 所在的直线方程为y ＝2(x －p 2)或y ＝－2(x －p 2)． 22．解 (1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)、(0，3)为焦点，长半轴为2的椭圆，它的短半轴b ＝22－(3)2＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1. 消去y 并整理得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0.其中Δ＝4k 2＋12(k 2＋4)>0恒成立．故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4. OA →⊥OB →，即x 1x 2＋y 1y 2＝0.而y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，于是x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2k 2＋4＋1＝0， 化简得－4k 2＋1＝0，所以k ＝±12.小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？ 自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
人教A版选修一章末综合测评(二) 推理与证明.docx
章末综合测评(二) 推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于( )A．28 B．32C．33 D．27【解析】观察知数列{a n}满足：a1＝2，a n＋1－a n＝3n，故x＝20＋3×4＝32.【答案】 B2．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，若f(x0)＝0，则x＝x是函数f(x)的极值点．因为f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以0x＝0是f(x)＝x3的极值点．以上推理中( )A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确【解析】大前提是错误的，若f′(x0)＝0，x＝x0不一定是函数f(x)的极值点，故选A.【答案】 A3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，应假设( )A．三角形的三个内角都不大于60°B．三角形的三个内角都大于60°C．三角形的三个内角至多有一个大于60°D．三角形的三个内角至少有两个大于60°【解析】其假设应是对“至少有一个角不大于60°”的否定，即“都大于60°”．【答案】 B4．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180°归纳出所有三角形的内角和都是180°；③由f (x )＝sin x ，满足f (－x )＝－f (x )，x ∈R ，推出f (x )＝sin x 是奇函数；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n －2)·180°.A ．①②B ．①③④C ．①②④D ．②④【解析】 合情推理分为类比推理和归纳推理，①是类比推理，②④是归纳推理，③是演绎推理．【答案】 C5．设a ＝21.5＋22.5，b ＝7，则a ，b 的大小关系是( ) A ．a >b B ．a ＝b C ．a <bD ．a >2(b ＋1)【解析】 因为a ＝21.5＋22.5>221.5·22.5＝8>7，故a >b . 【答案】 A6．已知点A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)是函数y ＝x 2图象上任意不同的两点，依据图象知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的上方，因此有结论x 21＋x 222＞⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222成立，运用类比方法可知，若点A (x 1，sin x 1)，B (x 2，sin x 2)是函数y ＝sin x (x ∈(0，π))图象上不同的两点，则类似地有结论( )A.sin x 1＋sin x 22＞sin x 1＋x 22B.sin x 1＋sin x 22＜sin x 1＋x 22C.sin x 1＋sin x 22≥sin x 1＋x 22D.sin x 1＋sin x 22≤sin x 1＋x 22【解析】 画出y ＝x 2的图象，由已知得AB 的中点⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 21＋x 222恒在点⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222的上方，画出y ＝sin x ，x ∈(0，π)的图象可得A ，B 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，sin x 1＋sin x 22恒在点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，sin x 1＋x 22的下方，故B 正确．【答案】 B7．证明命题：“f (x )＝e x ＋1e x 在(0，＋∞)上是增函数”．现给出的证法如下：因为f (x )＝e x ＋1e x ，所以f ′(x )＝e x －1e x .因为x >0，所以e x >1,0<1e x <1.所以e x －1e x>0，即f ′(x )>0.所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，使用的证明方法是( )A ．综合法B ．分析法C ．反证法D ．以上都不是【解析】 从已知条件出发利用已知的定理证得结论，是综合法． 【答案】 A8．对“ a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0；②a ＝b 与b ＝c 及a ＝c 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立． 其中判断正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3【解析】 若(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，则a ＝b ＝c ，与“a ，b ，c 是不全相等的正数”矛盾，故①正确．a ＝b 与b ＝c 及a ＝c 中最多只能有一个成立，故②不正确．由于“a ，b ，c 是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确．【答案】 B9．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，经计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，观察上述结果，可推测出一般结论( )A ．f (2n )>2n ＋12B ．f (n 2)≥n ＋22C．f(2n)≥n＋22D．以上都不对【解析】f(2)＝32，f(4)＝f(22)>2＋22，f(8)＝f(23)>3＋22，f(16)＝f(24)>4＋22，f(32)＝f(25)>5＋22.由此可推知f(2n)≥n＋22.故选C.【答案】 C10．定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下面图1中的(1)(2)(3)(4)，则图1中a，b对应的运算是( )图1A．B*D，A*D B．B*D，A*CC．B*C，A*D D．C*D，A*D【解析】根据(1)(2)(3)(4)可知A对应横线，B对应矩形，C对应竖线，D 对应椭圆．由此可知选B.【答案】 B11．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )A．28 B．76C．123 D．199【解析】从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.【答案】 C12．在等差数列{a n}中，若a n>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n>0，公比q>1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是( )A．b4＋b8>b5＋b7B．b4＋b8<b5＋b7C．b4＋b7>b5＋b8D．b4＋b7<b5＋b8【解析】在等差数列{a n}中，由于4＋6＝3＋7时，有a4·a6>a3·a7，所以在等比数列{b n}中，由于4＋8＝5＋7，所以应有b4＋b8>b5＋b7或b4＋b8<b5＋b7.因为b4＝b1q3，b5＝b1q4，b7＝b1q6，b8＝b1q7，所以(b4＋b8)－(b5＋b7)＝(b1q3＋b1q7)－(b1q4＋b1q6)＝b1q6·(q－1)－b1q3(q－1)＝(b1q6－b1q3)(q－1)＝b1q3(q3－1)(q－1)．因为q>1，b n>0，所以b4＋b8>b5＋b7.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．)13．已知x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时假设应为________．【解析】“至少有一个”的否定为“一个也没有”，故假设应为“x，y均不大于1”(或x≤1且y≤1)．【答案】x，y均不大于1(或x≤1且y≤1)14．如图2，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n－2(n>2)个图形中共有________个顶点．图2 【解析】设第n个图形中有a n个顶点，则a1＝3＋3×3，a2＝4＋4×4，…，an＝(n＋2)＋(n＋2)·(n＋2)，a n－2＝n2＋n. 【答案】n2＋n15．设a>0，b>0，则下面两式的大小关系为lg(1＋ab)________12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．【解析】因为(1＋ab)2－(1＋a)(1＋b)＝1＋2ab＋ab－1－a－b－ab ＝2ab－(a＋b)＝－(a－b)2≤0，所以(1＋ab)2≤(1＋a)(1＋b)，所以lg(1＋ab)≤12[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．【答案】≤16．对于命题“如果O是线段AB上一点，则|OB→|·OA→＋|OA→|·OB→＝0”将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，有S△OBC·OA→＋S△OCA·OB→＋S△OBA·OC→＝0，将它类比到空间的情形应为：若O是四面体ABCD内一点，则有_________．【导学号：81092033】【解析】根据类比的特点和规律，所得结论形式上一致，又线段类比平面，平面类比到空间，又线段长类比为三角形面积，再类比成四面体的体积，故可以类比为V OBCD·OA→＋V OACD·OB→＋V OABD·OC→＋V OABC·OD→＝0.【答案】V OBCD·OA→＋V OACD·OB→＋V OABD·OC→＋V OABC·OD→＝0三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)在平面几何中，对于Rt△ABC，∠C＝90°，设AB ＝c，AC＝b，BC＝a，则(1)a2＋b2＝c2；(2)cos2A＋cos2B＝1；(3)Rt△ABC的外接圆半径r＝a2＋b2 2.把上面的结论类比到空间写出类似的结论，无需证明．【解】在空间选取三个面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象．(1)设三个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面积为S，则S21＋S22＋S23＝S2.(2)设三个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.(3)设三个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a，b，c，则这个四面体的外接球半径R＝a2＋b2＋c22.18．(本题满分12分)设f(x)＝x2＋ax＋b，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于1 2 .【证明】假设|f(1)|＜12，|f(2)|＜12，|f(3)|＜12，于是有－12＜1＋a＋b＜12，①－12＜4＋2a＋b＜12，②－12＜9＋3a＋b＜12，③①＋③，得－1＜10＋4a＋2b＜1，所以－3＜8＋4a＋2b＜－1，所以－32＜4＋2a＋b＜－12.这与②－12＜4＋2a＋b＜12矛盾，所以假设不成立，即|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于1 2 .19．(本小题满分12分)已知△ABC的三条边分别为a，b，c，且a>b，求证：ab 1＋ab <a＋b1＋a＋b.【证明】依题意a>0，b>0，所以1＋ab>0,1＋a＋b>0.所以要证ab1＋ab<a＋b1＋a＋b，只需证ab(1＋a＋b)<(1＋ab)(a＋b)，只需证ab<a＋b，因为a>b，所以ab<2ab<a＋b，所以ab1＋ab<a＋b1＋a＋b.20．(本小题满分12分)在数列{a n}中，a1＝1，a n＋1＝2a n2＋a n，n∈N*，求a2，a3，a4，并猜想数列的通项公式，并给出证明．【解】数列{a n}中，a1＝1，a2＝2a12＋a1＝23，a3＝2a22＋a2＝12＝24，a4＝2a32＋a3＝25，…，所以猜想{a n}的通项公式a n＝2n＋1(n∈N*)．此猜想正确．证明如下：因为a1＝1，a n＋1＝2a n2＋a n，所以1an＋1＝2＋a n2a n＝1an＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12， 所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是以1a 1＝1为首项，公差为12的等差数列，所以1a n ＝1＋(n －1)12＝n 2＋12，即通项公式a n ＝2n ＋1(n ∈N *)． 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3－x 2，x ∈R .(1)若正数m ，n 满足m ·n >1，证明：f (m )，f (n )至少有一个不小于零； (2)若a ，b 为不相等的正实数且满足f (a )＝f (b )，求证：a ＋b <43.【证明】 (1)假设f (m )<0，f (n )<0， 即m 3－m 2<0，n 3－n 2<0， ∵m >0，n >0， ∴m －1<0，n －1<0， ∴0<m <1,0<n <1，∴mn <1，这与m ·n >1矛盾，∴假设不成立，即f (m )，f (n )至少有一个不小于零． (2)证明：由f (a )＝f (b )，得a 3－a 2＝b 3－b 2， ∴a 3－b 3＝a 2－b 2，∴(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )(a ＋b )， ∵a ≠b ，∴a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，∴(a ＋b )2－(a ＋b )＝ab <⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， ∴34(a ＋b )2－(a ＋b )<0， 解得a ＋b <43.22．(本小题满分12分)如图3，在四棱锥PABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝12AD.图3(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；(2)证明：平面PAB⊥平面PBD.【解】(1)取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点．理由如下：因为AD∥BC，BC＝12 AD，所以BC∥AM，且BC＝AM.所以四边形AMCB是平行四边形，所以CM∥AB.又AB⊂平面PAB，CM⊄平面PAB，所以CM∥平面PAB.(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点) (2)证明：由已知，PA⊥AB，PA⊥CD，因为AD∥BC，BC＝12AD，所以直线AB与CD相交，所以PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &鑫达捷 因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，M 为AD 的中点，连接BM ， 所以BC ∥MD ，且BC ＝MD ，所以四边形BCDM 是平行四边形，所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB . 又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面PAB .又BD ⊂平面PBD ，所以平面PAB ⊥平面PBD .。
选修1-2第二章章末小结与测评
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2．已知数列{an}的通项公式 an＝n＋1 12(n∈N*)，f(n)＝
(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试通过计算 f(1)，f(2)，f(3)的值， 推测出 f(n)的值．
解：因为 an＝n＋112，f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，
理、定义、公理和运算法则证明结论． (2)分析法是“执果索因”，即从结论出发逆向转化，寻
找一个已证的命题(已知条件或定义、公理、定理、公式 等)．
[注意] ①分析法是从结论出发，寻找使结论成立的充 分条件，但不可将结论当作条件．
②在证明过程中，“只要证”“即证”等词语不能省 略．
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[证明] (1)反证法．假设 l1 与 l2 不相交，则 l1 与 l2 平行， 有 k1＝k2.代入 k1k2＋2＝0，得 k21＋2＝0，
此与 k1 为实数的事实相矛盾．从而 k1≠k2，即 l1 与 l2 相 交．
(2)法一 ：由方程组yy＝ ＝kk12xx＋ －11， ， 解得交点 P 的坐标(x，y)为xy＝ ＝kkk222＋ －－2 kkk111，，
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因为 y2－y1＝loga(ax2－1)－loga(ax1－1)＝logaaaxx21－ －11.
①当 a>1 时，由 0<x1<x2 得 a0<ax1<ax2，即 0<ax1－1<ax2 －1，故有aaxx21－ －11>1，logaaaxx21－ －11>0，即 y2－y1>0.
所以 f(1)＝1－a1＝1－14＝34，
f(2)＝(1－a1)(1－a2)＝f(1)·(1－19)＝34·89＝23＝46，
最新人教版高中物理选修1-1试题：第二章 章末盘点 知识整合与阶段检测 专题冲关含答案
1．关于磁场和磁感线的描述，下列哪些说法是正确的( )A．磁感线是磁场中实际存在的线，没有磁感线的地方就没有磁场B．条形磁铁产生的磁场只在其外部存在，其内部因是实心的，则没有磁场存在C．在特殊情况下两条磁感线是可以相交的D．磁感线的切线方向就是该点磁场的方向解析：磁感线是为了形象、直观地描述磁场而引入的假想曲线，实际上不存在，则A 错误。
条形磁铁的内部和外部均有磁场，且内部的磁场更强，B错误。
两条磁感线在任何情况下均不可相交，C错误。
磁感线上每一点的切线方向就表示该点的磁场方向，D正确。
答案：D2．磁场中某区域的磁感线，如图2－4所示，则( )图2－4A．a、b两处的磁感应强度的大小不等，B a>B bB．a、b两处的磁感应强度的大小不等，B a<B bC．同一通电导线放在a处受力一定比放在b处受力大D．同一通电导线放在a处受力一定比放在b处受力小解析：根据磁感线的疏密程度可以判断出a、b两处的磁感应强度的大小不等，B a<B b，即B正确；同一通电导线放在a处受力的情况大小不一定，因为放入时的位置(即放入时与磁感线的方向)不确定，则其受安培力的大小就不一定。
答案：B3. 如图2－5所示，带负电的金属环绕轴OO′以角速度ω匀速旋转，在环左侧轴线上原小磁针最后平衡的位置是( )A．N极竖直向上B．N极竖直向下图2－5 C．N极沿轴线向左D．N极沿轴线向右解析：金属环匀速旋转时，形成的电流方向与旋转方向相反，由安培定则可以判断轴线上磁场的方向向右，则小磁针N极静止时的指向向右。
答案：D4. (2012·山东学业水平模拟)如图2－6所示，匀强磁场中有一通电直导线，关于导线受到的安培力F，下列判断正确的有( )A．F方向向上B．F与电流大小有关C．F与磁感应强度大小有关图2－6 D．F与导线在磁场中的长度有关解析：由左手定则知，安培力F的方向向下，A项错误；由F＝BIL sin θ知，安培力F 的大小与电流大小、磁场强弱、导线的有效长度都有关，B、C、D正确。
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选修一第二章章末检测1.如图是鼓浪屿西南沙滩上屹立着的一块巨岩，中间有一个大岩洞，潮涨潮落，海浪拍打这个岩洞时，发出咚咚声响，俨如击鼓，人们称它为“鼓浪石”。
读图回答20～21题。
图中由海水作用形成的堆积地貌是（）A. 岩洞B. 岩礁C. 沙滩D. 海岸【答案】C【解析】解：A、岩洞是由于天然水流经可溶性岩石（如石灰岩、白云岩等）与它们发生化学反应而使岩石溶解所形成的地下空间。
从这个概念中分析此地貌是流水作用形成的，故不符合题意；B、岩礁位于或近于水面的石块。
海岸地形之一。
珊瑚礁，岩礁，泥质等地形是鱼类栖息的乐园。
从这句话中可以分析此地貌是海浪的侵蚀作用形成的，故不符合题意；C、沙滩是海底的土壤在地壳运动中露出海面，一些珊瑚礁与贝壳也随之露出，在海浪的冲击磨洗下变成微小的颗粒，成为海滩、沙滩。
根据这个定义分析沙滩是海水作用形成的堆积地貌，故正确；D、海岸（又称滨），分为海岸、湖岸及河岸，是在水面和陆地接触处，经波浪、潮汐、海流等作用下形成的滨水地带。
这个地区主要是海浪的侵蚀作用为主，故不符合题意。
故选：C。
岩洞又称溶洞或洞穴．岩洞是由于天然水流经可溶性岩石（如石灰岩、白云岩等）与它们发生化学反应而使岩石溶解所形成的地下空间．岩礁位于或近于水面的石块．海岸地形之一．珊瑚礁，岩礁，泥质等地形是鱼类栖息的乐园．沙滩是海底的土壤在地壳运动中露出海面，一些珊瑚礁与贝壳也随之露出，在海浪的冲击磨洗下变成微小的颗粒，成为海滩、沙滩．海岸（又称滨），分为海岸、湖岸及河岸，是在水面和陆地接触处，经波浪、潮汐、海流等作用下形成的滨水地带．海洋和陆地相互接触和相互作用的地带．包括遭受波浪为主的海水动力作用的广阔范围，海岸即从波浪所能作用到的深度（波浪基面），向陆延至暴风浪所能达到的地带．2.“嫦娥三号”探月卫星于北京时问2013年12月2日1时30分发射，并在月面成功实现软着陆．回答1-2题．“嫦娥三号”着陆区分布着古老的玄武类岩石和厚厚的月壤，这说明月球上目前（）A. 风化作用剧烈B. 变质作用显著C. 侵蚀作用强烈D. 岩浆活动频繁【答案】A【解析】解：A、“嫦娥三号”着陆区分布着厚厚的月壤，是古老的玄武类岩石在外力风化作用下形成的，故正确；B、“嫦娥三号”着陆区分布着古老的玄武类岩石和厚厚的月壤，没有变质作用形成其他的岩石，故不符合题意；C、侵蚀作用包括岩石和矿物经由媒介如水、冰、风及重力等引起其移动与瓦解．题目中看不出物质有移动，故不符合题意；D、古老的玄武类岩石是岩浆活动形成的，但不是现在目前的作用，故不符合题意．故选：A．3.受天体引力、地形和气候等综合因素影响，钱塘江口有“八月十八潮、壮观天下无”独特景象．如图为钱塘江口和杭州湾岸线变化图．完成21、22题造成杭州湾北岸岸线变化的主要外力因素及其作用形式是（）A. 潮流、侵蚀B. 河流、侵蚀C. 潮流、沉积D. 河流、沉积【答案】A【解析】解：读图文可知，造成杭州湾北岸岸线变化的主要外力因素及其作用形式是潮流、侵蚀。
故选：A。
钱塘江大潮是天体引力和地球自转的离心作用，加上杭州湾喇叭口的特殊地形所造成的特大涌潮．每年农历八月十八，钱江涌潮最大，潮头可达数米．海潮来时，声如雷鸣，排山倒海，犹如万马奔腾，蔚为壮观．4.大约在800万年前，冰川融水带着泥土通过贝拉库勒河注入太平洋，在出海口遇到太平洋地热温泉，冰川泥被温泉揪动像沸水那样翻滚在百丈冰层之下。
百万年后，在海底形成了约40英亩细如雾、柔似棉的冰川泥，这是加拿大独有的美容护肤品原料。
读加拿大冰川泥分布区示意图，完成9-10题。
冰川泥形成的主要外力作用是（）A. 风力侵蚀B. 海浪侵蚀C. 冰川堆积D. 流水堆积【答案】D【解析】解：由题干可知，在出海口遇到太平洋地热温泉，冰川泥被温泉揪动像沸水那样翻滚在百丈冰层之下。
百万年后，在海底形成了约40英亩细如雾、柔似棉的冰川泥，冰川泥形成的主要外力作用是流水堆积。
故选：D。
5.洪积扇是河流、沟谷的洪水流出山口进入平坦地区后，因坡度骤减，水流搬运能力降低，碎屑物质堆积而形成的扇形堆积体。
洪积扇自上而下分为扇根、扇中和扇缘三个部分。
如图示意贺兰山东麓洪积扇的分布状况，甲、乙、丙三处洪积扇扇根位置沉积物平均粒径分别为7.5cm、25cm 和35cm。
读图完成43～44题。
与甲、乙处洪积扇相比，丙地洪积扇扇根处堆积物平均粒径最大的可能原因是丙处（）A. 降水量更大B. 河流更长C. 风化物粒径更大D. 集水区相对高度更大【答案】D【解析】解：与甲、乙处洪积扇相比，丙地洪积扇扇根处堆积物平均粒径最大的可能原因是丙处集水区相对高度更大。
故选：D。
看地形图，贺兰山山势较高，河流主要东流，短小流急，加之东侧降水偏多，山麓地带沟谷众多，导致在沟口泥沙堆积形成密集的冲积扇。
6.下列地表形态，主要由堆积作用形成的是（）A. 石林、三角洲B. 沙丘、曲流凹岸C. 三角洲、沙丘D. 石林、河流凸岸【答案】C【解析】解：主要由堆积作用形成的地表形态是三角洲、沙丘。
故选：C。
7.读图文资料，回答24-26题．河流阶地是超出一般洪水位以上，呈阶梯状分布在河谷谷坡的地形，图中河流阶地由泥沙构成，是不同时期地壳运动和流水共同作用形成的．在图示地貌形成过程中流水所起的作用，正确的是（）①风化②侵蚀③搬运④沉积．A. ①②③B. ②③④C. ①②④D. ①③④【答案】B【解析】解：结合河流阶地的定义，在图示地貌形成过程中流水所起的作用有侵蚀、搬运、沉积．故选：B．8.华山西峰的地质构造属于（）A. 背斜B. 向斜C. 地垒D. 地堑【答案】C【解析】试题分析:在断层两侧陷落、中间突起的部分叫做地垒，在地垒的基础上发育成陡峻的山峰，如华山西峰、峨眉山万佛顶等。
中间部分相对下沉的断层，形成地堑构造。
在地堑构造上常有许多典型的盆地或谷地，如吐鲁番盆地、渭河平原等。
9.为了调查东南丘陵某地某岩层的构造状况，地质工作者采用钻孔的方式获得了该岩层顶部的埋藏深度数据，如图为该地区地形等高线和部分钻孔位置分布图，读图完成3～4题。
下列能够正确表示上图中剖面线地形地质构造状况的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】解：据图可知，岩层在AB一线的中部埋藏较深，在两侧埋藏较浅，故AB错；岩层在XY一线的X侧埋藏较浅，在Y一侧的埋藏较深，故C对，D错。
故选：C。
本题考查地质作用的知识，引起地表形态变化的作用，按其能量来源分为内力作用和外力作用。
内力作用的能量主要来自于地球内部的热能，表现为地壳运动、岩浆活动和变质作用等，它使地表变得高低起伏。
外力作用的能量来源主要来自于地球外部的太阳能，以及地球重力能等，表现为地表物质的风化、侵蚀、搬运和堆积等作用。
10.读图所示的地貌景观，完成第37～40题。
③是（）A. 三角洲B. 冲积扇C. 河漫滩D. 山谷【答案】B【解析】解：③是山麓冲积扇，B对。
三角洲位于河口地区，A错。
河漫滩位于河流两岸地区，C错。
山谷两侧高，中间低，D错。
故选：B。
广西属于湿润气候区，植被茂盛。
气候干旱区，植被稀少。
山麓冲积扇分布在山麓地带，河流出山口处风蚀蘑菇地貌，特点是岩石坚硬、地表植被覆盖少、形态独特。
主要是风力侵蚀作用形成。
11.如图为雅鲁藏布江中游宽谷的爬升沙丘，读图完成18～19题．该沙丘位于（）A. 冲积扇B. 洪积平原C. 三角洲D. 河漫滩【答案】D【解析】解：A、图中是河流的中游地区，冲积扇一般位于河流流出山口处，故不符合题意；B、洪积平原是指干旱地区山前地带由一系列洪积扇不断扩大伸展组合而成的平原．图中是河流的中游地区，故不符合题意；C、三角洲位于河流入海口，图中是河流的中游地区，故不符合题意；D、河漫滩一般位于河流中下游，河流中下游河道宽阔，水流速较慢，以流水沉积为主，多发育沙洲和河漫滩等沉积地貌，故正确．故选：D．12.相邻的两条河流，在发育的过程中，低位河若具有较强的侵蚀力，河谷上源不断加长，致与高住河相遇，进而袭夺其河水的现象称为河流袭夺。
如图为河流袭夺前后的示意图，据此完成9-11题。
M处泥沙堆积较强的原因是（）A. 上游水量减少，泥沙堆积严重B. 河道两侧岩体崩塌泥沙堆积严重C. 河道变窄泥沙堆积严重D. 地转偏向力作用致其堆积严重【答案】A【解析】解：甲河被袭夺后，①河段大量补给乙河，造成②河段上游补给水量明显减少，故携带泥沙量明显减少。
故选：A。
13.黄河是中华民族的母亲河，她不但对人们的生产、生活有着巨大的影响，对流域地表地貌的发育也起到重要作用。
如图中，图甲为黄河干流图，图乙为黄河流域某区域沟壑地貌景观，分析完成22～23题。
对图乙中沟壑地貌的塑造起主导作用的是（）A. 流水侵蚀B. 流水沉积C. 风力侵蚀D. 风力沉积【答案】A【解析】解：读图可知，图乙为黄河流域某区域沟壑地貌景观，对图乙中沟壑地貌的塑造起主导作用的是流水侵蚀。
故选：A。
14.比拉大沙丘坐落于法国西南部波尔多市（0°34′E，44°50′N）的大西洋畔，它的东边是郁郁葱葱的森林。
该沙丘是在距海岸线约1千米的沙洲影响下形成的。
落潮时，海风将沙洲沙子吹上海岸，沙子逐渐堆积，每年大致以5米的速度向内陆移动。
如图为比拉大沙丘，据此完成6～7题。
距海岸线约1千米的沙洲形成原因是（）A. 流水的搬运与堆积B. 岩浆的固结与风化C. 风力的搬运与堆积D. 海浪与风力的侵蚀【答案】A【解析】解：A、该沙洲是流水的搬运与堆积形成的，故正确。
B、该地位于亚欧板块内部，地壳比较稳定，岩浆活动很少，不符合题意。
C、风力的侵蚀多分布在干旱或者半干旱区，该区域终年温和多雨，不符合题意。
D、风力的侵蚀多分布在干旱或者半干旱区，该区域终年温和多雨，不符合题意。
故选：A。
15.如图为科罗拉多大峡谷成因示意图，①～⑤表示了它的形成过程．读图完成23、24题．科罗拉多大峡谷的主要成因是（）A. 海水侵蚀B. 流水侵蚀C. 风力侵蚀D. 冰川侵蚀【答案】B【解析】解：科罗拉多大峡谷位于陆地上，不会是海水侵蚀；从图中5看，峡谷的形态呈V 字形，是典型的流水侵蚀谷地．所以科罗拉多大峡谷的主要成因是流水侵蚀．故选：B．坡面受流水作用，被冲刷、下切形成沟谷，水流汇集使沟谷不断加深加宽．例如，我国黄土高原地区千沟万壑的地表形态，主要是流水侵蚀的结果．在河流向下侵蚀作用强烈的地区，常常形成峡谷．16.沙坡是河流浅水区河床中的沙粒堆积地貌。
如图示意某常见的沙坡形成过程。
在浅水区，水面受河床底部起伏影响呈波形，水流流速受上坡和下坡影响存在差异，进而导致沙坡背水坡泥沙被侵蚀，而被侵蚀的泥沙会在下一个沙坡的迎水坡堆积。
读图回答7～9题。
该沙坡中以堆积作用为主的部位是（）A. ①坡和②坡B. ①坡和③坡C. ③坡和④坡D. ②坡和④坡【答案】B【解析】读材料“沙波背水坡泥沙被侵蚀，而被侵蚀的泥沙会在下一个沙波的迎水坡堆积”可知，迎水坡表现为水流堆积，背水坡表现为水流侵蚀，由此判断，①、③坡主要表现为泥沙的沉积，因此为迎水坡。