一类分式函数最小值的求导处理及推广

以口，ｂ，ｃ）＝（口＋ｂ＋Ｃ）（ｂ＋ｃ—ｆｉ）（口＋Ｃ一６）（口 ＋ｂ—ｃ），（口，ｂ，ｃ为三角形三条边）
因为以ａ，ｂ，ｃ）＝（口＋ｂ＋Ｃ）（ｂ＋Ｃ一口）（口＋ｃ —ｂ）（ａ＋ｂ—ｃ）＝４ａ２ｂ２一（口２＋ｂ２一ｃ２）２＝
参考文献 ［１］ 刘超．海伦公式证明之史海钩沉［Ｊ］．中学数学杂志，
２００８，（１０）．
ｚ十菇
ｘ＋＇
ｖ＋ｚ
ｚ＋ｘ
ｘ＋
３＼ ４－ ｚ｝
＋瓦２ｉ万２巧１ ＋瓦ｉ万２ ＋琵忑３万
由算，ｙ，ｚ＞０，３ｘ＋４），＋５ｚ＝Ｉ，可知（戈＋Ｙ）＋
２（ｚ＋ｚ）＋３（ｙ＋ｚ）＝１ 设石＋Ｙ＝ｍ，２（ｚ＋戈）＝，ｌ，贝０ ３（ｙ＋彳）＝１一
＋ｉ２＋熹 因为ｚ，Ｙ，彳＞０，所以ｍ，ｒｔ，１一ｍ—ｎ＞０
构造函数Ｆ（ｍ，ｎ）＝ｉ１
若ｎ Ｅ Ｎ＋，％ｂ∥∈Ｒ＋，ｂｊ＜ｚｊ＜ｃ，∑ｂｉ＜
南ｂ＋南ｂ＋…＋南ｂ＋ ｃ，ｉ＝１，２，…，，ｌ，求函数Ｈ（ｘｌ，算２，…，善。） ＝
＿————旦——可的最小值．读者可自行研 （舅ｌ— Ｉ）７
Байду номын сангаас
（石２— ２）７
（菇。一 。）’
Ｌｃ—ｚｌ—Ｘ２一…一ｘｎ Ｊ
究，不再赘述．
总之，一类分式函数最小值问题的研究过程，它
次，这类导数题首先都应有共同的一步，即先求导，
然后求解导数等于０这个方程，再结合具体题目进
行分析．所以解导数等于０这个方程几乎是解答导
数所有题通向成功的一座独木桥．正如一首歌词里 唱得“让所有问题，都自己扛”，于是乎，就出现了这
样一个问题：当导数等于０解不了怎么办？
我们先来看２００９年浙江高考数学参考卷最后
万方数据
减；当尘娑ｎ‘＋１＋ｂｒ＋ｌ ＜石 ＜ｄ时，ｇ，（石） ＞ｏ，ｇ（髫）递
增；所以，当且仅当菇：尘罕埤时，取最小值
ｇｇ（（膏膏）面）ｎ血２：万土与（‘口口鬲鬲１＋＋６６击鬲））ｒ”＋－１
应用１ 设口，６∈Ｒ＋，Ｉ石ｌ＜号，求函数以石）
解设小）＝尚＋己舞＝ ＝√＾石／１（｛生＋ ２ｘ百２）＋石（１一 ｛Ｌ２ｘ可）２的～最一小。值一 ．
ｑ ＋０ｂ 时以ｚ）取最小值“≠一。 ‘（石＋万）２的结
论．他山之石，可以攻玉．笔者在高中数学教学中，把
它作为研究性学习素材，让学生进行实践探究，收到
良好的教学效果．现将学生研究性学习得到的求导
证明及推广结论整理如下．
导函数是求函数最值的有效方法，学生利用求
导来研究函数性质，思路清晰，较易操作，这类分式
推广ｌ 若函数ｇ（茗） ＝ｚｊＬ百＋
百与‘口，”∈Ｒ＋，ｃ，ｄ∈Ｒ“茗＜ｄ），则当且
仅当菇：生罕±穹翌时，ｇ（ｚ）取最小值ｇ（石）血。：
口ｒ＋１＋ｂ，＋１
百ｂ（茹＋６叫Ｉ“
简证
对函数ｇ（ｘ）求导得：ｇ’（ｚ）＝
石ｉ可＋面刁 —．ａｒ
ｂｒ
因为，当ｚ＝尘军埤时，ｇｔ（算）＝０；
口７＋１＋ｂ’＋Ｉ
当ｃ＜算＜≮上军时，ｇ‰）＜ｏ，ｇ（ｚ）递
一题： 例１
。２
已知函数以石）＝ｅ。一等一口ｚ一１，其中 二
１
口为实数，（１）当口＝一÷时，求曲线Ｙ＝以石）在点 二
（１以１））处的切线方程；
海伦公式的一个简洁证明
４ａ２６２【ｌ一（警）２】＝４ａ２６２（－…ｓ２ｃ）＝ 石河子大学师范学院数学系８３２００３
刘超
若已知任一ＡＡＢＣ的三边长为ｆｉ，ｂ，ｃ，则其面
万方数据
中学数学杂志２００９年第１１期
当导数等于０解不了怎么办
——从２００９浙江高考数学参考卷最后一题谈起
浙江上虞城南中学
３１２３００
王永平
导数是高中新课标教材中的重要内容，它既是 研究函数的有力工具，又是对学生进行理性思维训 练的良好素材．自导数进入新教材之后，给函数问题 注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓展了 高考对函数问题的命题空间．导数的考题一般分基 础层次与提高层次，基础层次是导数的简单应用，包 括求函数的单调性，极值，最值等，提高层次是导数 的综合应用，将导数内容与传统内容中解证不等式， 方程根的分布，参数的范围等问题结合起来，这类题 难度很大，综合性强，内容新，是高考命题的丰富宝 藏．解题中还常需用到函数与方程思想、分类讨论思 想、数形结合思想、转化与化归思想，所以颇得高考 命题者的青睐．但是，无论是基础层次，还是提高层
函数的最小值也不例外．
对函数八茗）＝上＋ｊｊＬ一（口，ｂ，ｃ，ｄ∈Ｒ＋，ｃ
。
并一Ｃ
口一石
＜ｚ＜∽求导得／，（旬２石二三备＋西芒了
一垒（兰二１２：二堡（生二苎２：
（算一ｃ）２（ｄ一石）２
一［巫（兰二１２±矗（生二苎２］［拯苎二！！＝正（生二兰Ｕ
（髫一ｃ）２（ｄ一茹）２
一［拯苎＝！）±亟垡二纠［（正±亟苎：（！垣±垡固］
应用３ 设ｘ，ｙ，ｚ Ｅ Ｒ＋，算＋Ｙ＋ｚ＝１，求Ｈ＝
三＋与＋要的最小值．
万南，申推广２可知， 解 构造二元函数Ｇ（童，），）：Ｔ１＋了１＋
汀
当 ｊ且且’仅队当ｊ
弧＋弧＋
汀
），＝
弧＋源＋
ｌ
４
时，
ｌ
４
函数最小值为击（汀＋汀＋洒）３＝６４．
所以，当且仅当石：Ｙ：｛时，Ｍ：与＋丢＋导
．＇
玉
ｊ，
五
的最小值为６４．
＝生警，此即海伦公式．关于海伦公式的证明， 积可表示为Ａ＝，／ｓ（ｓ一口）（ｓ—ｂ）（ｓ—ｃ），其中ｓ 二
笔者已在文［１］中给出了中外数学史上的有关证明 方法．分析发现，历史上的证法均为几何证法（添加 辅助线，利用全等三角形的边、角关系或者相似三角 形中的比例关系进行推导），各种方法堪称精巧美 妙，但略显复杂．本文拟给出海伦公式的一个代数 证法．
中学数学杂志２００９年第１ １期
ｄ口鬲
ｄ），则当且仅当
口 上川 ＋
｝击
诗腑 时
ｙ ２—丁———丁———丁
口鬲＋６鬲＋Ｃ，－Ｚｉ
函数有 最
，Ｊ、值Ｇ（石，），）面。：与（口击＋６鬲１＋ｃ者）７＋ｌ
简证 分式函数自变量从一元推广到两元，可 以用最小两乘法思想求解，由推广１可知，当Ｙ看成
常量时，当ｚ：垒年』且＃时函数有最小值；当算看
中学数学杂志２００９年第１１期
霓舞夤噎４舾Ｉ彩雹；％酚裼。趸弘跷己埽￡。为哆
一类分式函数最小值的求导处理及推广
江苏省常熟市中学
２１５５００
蔡祖才
函数以石）＝—生＋ｊ—堡一（口，ｂ，ｃ，ｄ∈Ｒ＋，ｃ＜
石一Ｃ
口一石
ｚ＜ｄ），求其最小值，文［１］［２］采用均值不等式或
筹ａ三角换元变换去求解，并得到当且仅当石＝
（算一ｃ）２（ｄ一茗）２
显然有ｃ＜垫笪±虫丝＜／－－－－ｄ
因为，当髫＝ｑ丛Ｂ＋辫ｑｎ时，ｆ，（石）＝ｏ；当ｃ＜
名＜垫辫时，ｆ，（石） √口十√０
＜ｏ以石）递减；当
型鳟＜ｑ石ａ＋＜ｑ ｄＤ 时，ｆ，（菇）＞ｏ以算）递增；
√ａ所＋√以Ｄ ，当且仅当写：型鳟时，以茁）有最小
≈Ｑ＋０ｂ
值八等警）＝士（，／－ｄ＋∥．
ａｒ＋ｌ＋ｃｒ＋ｌ
成常量时，当ｙ：型＃兰翠时函数有最小值；
ｄｎ鬲
上川
口
＋
＋ 上川
ａｌｒ＋＿ｌ＿ｉ忑４－Ｃ 联立解得当 ｙ２
诗腑
时 Ｇ 石ｙ 有
＋６…
ｒ＋１
最小值为｛（口士＋６击＋ｃ鬲Ｉ）川． ｄ
应用２ 设ｘ，），，ｚ＞ｏ，３石＋４ｙ＋５ｚ＝ｌ，求７毛
＋—Ｌ＋—Ｌ的最小值．
解而１＋再１＋鬲１＝鬲１ Ｙ＋南Ｙ ），十孑
体现了最小两乘法思想及函数求导思想，是学生研
究性学习的好材料，值得我们借鉴应用．
参考文献 ［１］ 郭晓泉．一类分式函数最小值讨论［Ｊ］．中学数学杂
志．２００９，（３）． ［２］ 李春雷．双根式和或差的函数求最值方法［Ｊ］．数学通
报，２００８，（１２）．
作者简介 蔡祖才，１９６５年８月出生，中学高级教师．发 表论文多篇．主要从事高中数学教学研究，学术主持省、市级 课题若干．
［髫一（一扣２。‘丁１一石）２’
由推广ｌ可知，当且仅当菇＝麦糕时，
２赫．Ｔａ ｇ（茗）的最小值为ｇ（戈）耐。＝（拓＋拓）３，
所以当且仅当石２
时以旬取最小
。
（ ＋√６）
值污＋拓
推广２ 对函数Ｇ（石，），）：＿ａ＋＿ｂ＋
石
Ｙ
万ｊ可（口，６，ｃ，如“＋，０＜“ｄ，０＜ｙ＜
万方数据
舅．署娩镌貔泓拣５霸绲Ｉ高私焉￡壕ｇ叠§岁
构造多项式：
１６（１ａｂｓｉｎＣ）＝１６Ａ２
又八ａ，ｂ，ｃ）＝２ｓ·２（ｓ—ｄ）·２（ｓ ｊ ６）·２（５一 ｃ）＝１６ｓ（ｓ一口）（ｓ一６）（５一ｃ），
两者比较得，１６Ａ２＝１６ｓ（ｓ—ｆｉｔ）（ｓ一６）（ｓ—ｃ）， 故Ａ＝石（ｓ—ａ）（ｓ—ｂ）（ｓ—ｃ），公式得证． 该证法较之历史上的几何证法，所用知识简单， 证明过程直观、自然，巧而不烦，且对于运用“构造 多项式”方法证明几何命题也有一定的启发作用．
由推广 ２ 可知，
当且仅当
１
ｌ 瓜’压 点 瓜’压 ＋矗
２∽牡志’ ｒ万而 ＋五 ＋万）２
Ｈ
ｌ
即
Ｖ■Ｔ Ｖ厶Ｔ ＶＪ
３算＋４），＋５ｚ＝１
解得｛…ｙ＝嬲６＋３√芝一２ ４３ 石＝————＝■——＝＝——■＝ １２（√ｌ＋√互＋√３）
一６＋３√２＋２ ４３
●一
１２（√１十√２＋√３）
此时，鬲１ ＋歹ｌ＿＋＿毛有最小值为（汀＋厄＋万）２．