一元二次方程根的分布-初中数学知识点

不等式一元二次方程根的分布

布2023-11-07•定义和公式•根的分布情况•图像表示目录•实例分析•解题技巧和注意事项•练习题与答案01定义和公式定义一元二次方程的标准形式是$ax^2 + bx + c = 0$，其中$a \neq 0$。

说明一元二次方程的标准形式是解决一元二次方程问题的基础，通过配方等方法可以将非标准形式的一元二次方程转化为标准形式，便于分析其根的分布情况。

一元二次方程的标准形式一元二次方程的解是满足方程的根，记作$x_{1}, x_{2}$。

定义根据判别式的性质，一元二次方程的解的情况分为三种：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根和没有实数根。

判别式$b^2 - 4ac$是判断一元二次方程解的分布情况的依据。

说明一元二次方程的解02根的分布情况当判别式Δ大于0时，一元二次方程有两个不相等的实根。

两根不等实根与系数关系图像表示两个实根的和为-b/a，两个实根的积为c/a。

在实数平面上表示为两个不相交的直线。

030201当判别式Δ等于0时，一元二次方程有两个相等的实根。

两根相等两个实根的和为-b/a，两个实根的积为c/a。

实根与系数关系在实数平面上表示为一条直线。

图像表示当判别式Δ小于0时，一元二次方程有两个不相等的虚根。

两根不等且虚根两个虚根的实部为0。

实部为0两个虚根的虚部为√(-Δ)/a。

虚部与系数关系在复数平面上表示为两个相交的直线。

图像表示当Δ < 0时，方程的根的分布03图像表示图像表示一元二次方程的解实数根对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，如果 $a > 0$，那么该方程有两个实数根，分别是 $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ 和 $x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$。

虚数根如果 $a < 0$，那么该方程有两个共轭虚数根，分别是 $x_1 = \frac{-b + i\sqrt{4ac - b^2}}{2a}$ 和 $x_2 = \frac{-b - i\sqrt{4ac - b^2}}{2a}$。

一元二次方程根的分布

2
3 m 1 时，根 x 2 3,0 ，即 m 1 满足题意；当 m 时，得出 m 1或 m 3 ，当 2 2
15 3 m 或 m 1 根 x 33,0 ，故 m 3 不满足题意；综上分析，得出 14 2
3.一根在(m,n)内,另一根在(p,q)内
0 f m 0 f n 0 b m n 2a
0 f m 0 f n 0 b m n 2a
2.两根有且仅有一根在(m,n)内
f m f n 0
综合结论 (不讨论 a)
一．一元二次方程根的基本分布——零分布
所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个实根为x1，x2，且x1<x2。
f m 0 f n 0
已知关于 x 的方程 x2 (2m 1) x 4 2m 0 ，求满足下列条件的 m 的取值范围. （1）两个正根（2）有两个负根（3）两个根都小于 1 （4）两个根都大于 1 2 （5）一个根大于 2，一个根小于 2 （6）两个根都在 (0, 2) 内（7）两个根有且仅有一个在 (0, 2) 内（8）一个根在 (2,0) 内，另一个根在 (1,3) 内（9）一个正根，一个负根且正根绝对值较大（10）一个根小于 2，一个根大于 4
一元二次方程根的分布
知识要点
一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根从几何意义上来说就是抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)与轴交点的横坐标,所以研究方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的实根的情况,可借助二次函数图象来研究求解．(几何法) 若在 (- ∞ ,+ ∞)内研究方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的实根情况,只需考察函数 y=ax2+bx+c (a≠0)与 x轴交点个数及交点横坐标的符号,利用韦达定理和判别式来解,由 y=ax2+bx+c (a≠0) 的系数可判断出 △,x1+x2,x1x2的符号,从而判断出实根的情况．（代数法）

一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩；（2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。

如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m，由213m <<得223m <<即为所求；方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。

如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。

分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-根的分布练习题例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。

初中数学一元二次方程的实根分布

第六讲一元二次方程的实根分布22.注意：（1）利用相应二次函数图象与x 轴交点位置写出相应的等价条件，一般考虑一下三个方面：①判别式Δ＝b 2－4ac 的符号；②对称轴x ＝－b2a的位置分布；③二次函数在实根分布界点处函数值的符号.（2）对于一元二次方程根和解是有区别的.一、一点同侧两根【例1】若关于x的方程x2－（k＋2）x＋4＝0有两个不等的负根，求实数k的取值范围.【练】若关于x的方程x2＋（m＋2）x＋m＋5＝0有两个正数根，求实数m的取值范围.【例2】若关于x的方程kx2－2kx＋（k－1）＝0有两个正实数根，求实数k的取值范围.【练】若关于x的方程2(k＋1)x2＋4kx＋3k－2＝0有两个负实根，求实数k的取值范围.【例3】若关于x的方程x2－mx＋（3＋m）＝0有两个大于1的根，求实数m的取值范围.【练】若关于x的方程mx2＋（2m－1）x－m＋2＝0有两个小于1的根，求实数m的取值范围.二、一点异侧两根【例4】若关于x的方程4x2＋（m－2）x＋m－5＝0的一正根和一负根，求实数m的取值范围.【练】若关于x的方程（2m＋1）x2－2mx＋m－1＝0有一正根和一个负根，求实数m的取值范围.【例5】若关于x的方程mx2＋（m＋2）x＋9m＝0有两个实数根x1和x2，且x1＜1＜x2，求m的取值范围.【练】若关于x的二次方程2mx2－2x－3m－2＝0的一个根大于1，另一个根小于1，求实数m的取值范围.三、一点一侧有根【例6】若关于x的方程x2－ax＋4＝0有正实根，则实数a的取值范围是【练】若方程x2＋x＋a＝0至少有一根为非负实数，求实数a的取值范围.【例7】若关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根，求实数a的取值范围.【练】若关于x的一元二次方程mx2＋（m－3）x＋1＝0至少有一个正根，求m的取值范围.四、两点中间两根【例8】若关于x的方程x2－ax＋2＝0在区间（0，3）内有两个根，求实数a的取值范围.【练】若关于x的方程x2－2ax＋a2－1＝0的两个不等根在区间（－2，4）上，求实数a 的取值范围.【变】若关于x的二次方程（m－1）x2＋（3m＋4）x＋m＋1＝0的两个根属于（－1，1），求实数m的取值范围.【例9】当实数a和b满足何条件时，关于x的方程x2＋ax＋b＝0在区间[－2，2]上有两个实根？【练】若关于x的方程x2＋（m－1）x＋1＝0有两个相异的实根，且两根均在区间[0，2]上，求实数m的取值范围.【变】若抛物线y＝x2＋ax＋2与连接两点M（0，1）、N（2，3）的线段有两个相异的交点，求a的取值范围.五、两点中间一根【例10】已知关于x的二次方程（2m＋1）x2－2mx＋m－1＝0有且只有一个实根属于（1，2），且x＝1，x＝2都不是方程的根，求实数m的取值范围.【练】若关于x的二次方程（3m－1）x2＋（2m＋3）x－m＋4＝0有且只有一个实根属于（－1，1），求实数m的取值范围.【变】已知点A、B的坐标分别为(1，0)、（2，0），若二次函数f（x）＝x2＋（a－3）x＋3的图象与线段AB恰有一个交点，求实数a的取值范围.【例11】若关于x的方程ax2＋x＋a－3＝0在（－2，0）上有且只有一个实根，求实数a 的取值范围.【练】若关于x的方程mx2＋（2m－3）x＋4＝0有且只有一个小于1的正根，求实数m的取值范围.六、两点中间有根【例12】若方程x2－2mx＋m－1＝0在区间（－2，4）上有根，求实数m的取值范围.【练】若关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0在区间（0，2）内至少存在一根，求实数m的范围.【变】已知关于x的方程2ax2＋2x－a－3＝0在区间[－1，1]上有根，求实数a的取值范围.【例13】集合A＝{(x，y) | y＝x2＋mx＋2}，B＝{(x，y) | x－y＋1，且0≤x≤2}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围.【练】已知抛物线y＝2x2－mx＋m与以点（0，0）和（1，1）为端点的线段（除去两个端点）有公共点，求实数m的取值范围.七、两点隔两根【例14】关于x的方程4x2＋（m－2）x＋m－5＝0的一根小于1，另一根大于2，求实数m的取值范围.【练】若关于x的方程x2＋（2m－1）x＋m－6＝0的一个根不大于－1，另一个根不小于1，求实数m的取值范围.【变1】已知方程（a－1）x2＋（2a－6）x－4a＋1＝0的两根为x1，x2，且－1＜x1＜1＜x2，求实数a的取值范围.【变2】若关于x的方程2x2－（m－2）x－2m2－m＝0的两根在区间[0，1]之外，求实数m 的取值范围.八、多点隔两根【例15】若关于x方程x2－mx－m＋3＝0的一根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，2）内，求实数m的取值范围.【练】已知关于x的方程x2＋2mx＋2m＋1.若方程有两个根，其中一个在区间（－1，0），另一根在区间（1，2）内，求m的范围.【变】若mx2－（m－1）x＋m2－m＋2＝0的两根分别在0＜x＜1和1＜x＜2的范围内，求实数m的取值范围.【作业】1、已知关于x的方程x2＋（m－3）x＋m＝0，分别在下列条件下，求实数m的取值范围.（1）方程有两个正根；（2）方程两个根均小于1；（3）方程的一个根大于1，另一个根小于1；（4）方程的两个根均在（0，2）内；（5）方程的一个根小于2，另一个根大于4.（6）方程的一个根在（－2，0）内，另一个根在（0，4）内；（7）方程有一个正根，一个负根且正根的绝对值较大；（8）方程的两个根有且仅有一个在（0，2）内；2、若方程x2－4|x|＋5＝m有四个互不相等的实数根，求实数m的取值范围.3、设|a|＝1，b为整数，关于x的方程ax2－2x－b＋5＝0有两个负实数根，求b的值.4、已知二次函数f（x）＝（m＋2）x2－（2m＋4）x＋3m＋3与x轴有两个交点，分别在点（1，0）左右两边，求实数m的取值范围.5、求实数m的取值范围，使关于x的方程x2＋2（m－1）x＋2m＋6＝0至少有一个正根.6、如果二次函数y＝mx2＋（m－3）x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围.7、已知关于x的方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程两根均在区间（0，1）内，求实数m的取值范围.8、若关于x的方程7x2－（m＋13）x＋m2－m－2＝0在区间（0，1）、（1，2）上各有一个实根，求实数m的取值范围.9、已知关于x的方程x2＋（3m－1）x＋3m－2＝0的两根都属于（－3，3），且其中至少有一个根小于1，求实数m的取值范围.10、求证：关于x的方程3ax2＋2bx－（a＋b）＝0在（0，1）内至少有一个实根.。

一元二次方程的根的分布

情形1 方程根的零分布：
结论1 一元二次方程ax 2 bx c 0(a 0)有两个正根.
b2 x1 0 x 2 0 x1 x 2 y x1 x 2
c0 O x1

4ac 0 b 0 a c 0 a
2
k的根.
y
a0 0 x2 b k 2a
a0 0 x2 O b 0 k 2a
k x1 O
x
k x1
x
情形2：方程根的k分布
结论2 一元二次方程ax 2 bx c 0(a〉有两个小于 0) k的根. b 2 4ac 0 b 2 4ac 0 x1 k ( x1 k ) ( x 2 k ) 0 b k x2 k ( x k )( x k ) 0 2a 1 2
x x
一个正根和一个负根，求k的范围。
x
结论4 一元二次方程ax bx c 0(a 0)在区间
2
(k1 , k2 )内有且只有一根x1.即k1 x1 k2
f (k1 ) f (k 2 ) 0
y
f (k1 ) 0
a0
x1 O k1
k2

x2
x
f (k 2 ) 0
结论4 一元二次方程ax bx c 0(a〉的根满足 0)
求函数的零点有两种方法： ①代数法:求方程f(x)=0的实数根； ②几何法:将它与函数y=f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点。
连续函数在某个区间上存在零点的判别方法：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有 f(a)· f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间 (a,b)内有零点.即存在c∈(a,b)，使得 f(c )=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.

一元二次方程实根的分布

一元二次方程实根的分布一元二次方程实根的分布是二次方程中的重要内容，在各类竞赛和中考中经常出现。

这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于一元二次方程根的判别式和根与系数关系（韦达定理）的运用。

本文将在前面方法的基础上，结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的情况及其运用。

一．一元二次方程实根的基本分布——零分布一元二次方程实根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。

比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。

对于这类问题，用一元二次方程根的判别式和根与系数关系（韦达定理）即可判别。

一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实数根为1x 、2x ，则1x 、2x 均为正⇔△≥0，1x ＋2x ＞0，1x 2x ＞0； 1x 、2x 均为负⇔△≥0，1x ＋2x ＜0，1x 2x ＞0；1x 、2x 一正一负⇔1x 2x ＜0。

例1．关于x 的一元二次方程28(1)70x m x m +++-=有两个负数根，求实数m 取值范围。

解：设两个实数根为1x 、2x ，依题意有1212000x x x x ∆⎧⎪+< ⎨⎪> ⎩≥ ①②③由①得：2(1)32(7)0m m +--≥，2(15)0m -≥，恒成立。

由②得：18m +-＜0，解之，m ＞1-。

由③得：78m -＞0，解之，m ＞7。

综上，m 的取值范围是m ＞7。

例2．若n ＞0，关于x 的方程21(2)04x m n x mn --+=有两个相等的正实数根，求mn 的值。

解：设两个实数根为1x 、2x ，依题意有1212000x x x x ∆= ⎧⎪+⎨⎪> ⎩①＞ ②③由①得：2(2)0m n mn --=，()(4)0m n m n --=，∴m n =或4m n =。

若m n =，则1x ＋2x 22m n n n n =-=-=-＜0，不符合②，舍去。

一元二次方程根的分布

【定理 4】有且仅有 k1<x1(或 x2)<k2(在(k1，k2)内有且仅有一个根)⇔f(k1)·f(k2)<0.
【定理 5】 k1<x1≤x2<k2(两个根都在(k1，k2)内)⇔ ffkΔa（（>1＝<0kk－，b122））2－ba>><400ka，，2c≥0，或Δaffk（（<1＝<0kk－，b122））2－ba<<<400ka，，2c.≥0，⇔aakΔff1≥（（<－0kk，122））ba<>>k002，，.
f（－2）＝0，上恰有一个零点，需满足①f(－2)·f(2)＜0 或②－2＜41m＜0 或 ③0f（＜24）1m＜＝20.，解①得－18＜m＜0 或 0＜m＜38；②无解；解③得 m＝38.综上可知－18<m≤38，故选 D.
例3 关于x的一元二次方程(m-1)x2+2(m+1)x-m=0 根据下列条件求实数m的取值范围
【定理 1】 x1>0，x2>0
Δ＝b2－4ac≥0， (两个正根)⇔x1＋x2＝－ba>0， x1x2＝ca>0.
Δ＝b2－4ac≥0， Δ＝b2－4ac≥0，
推论：x1>0，x2>0⇔af（>00，）＝c>0，或fa（<00，）＝c<0，
b<0
b>0.
上述推论结合二次函数图象不难得到．
【定理 2】 x1<0，x2<0
(m-1)f(2)<0 即m(m-1)<0
解得0<m<1
所以m的取值范围是0<m<1
（2）两根都在区间[-1,3）内

一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳21、一元二次方程ax bxO 根的分布情况设方程ax 2 bx O a = O 的不等两根为x 1 ,x 2且x 1 ：：： X 2，相应的二次函数为 f X = ax 2 bx O ，方程的根即为二次函数图象与 X 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与O 的大小比较即根的正负情况）Δ >0-b ： O 2aa f O O分布情况两个负根即两根都小于 0 X 1 ：： O, x 2 ：： O两个正根即两根都大于 0x 1 O, x 2 O一正根一负根即一个根小于 0, 一个大于 OX 1 ::： O ::：X 2得出的结论O OO O OOf O ：O得出的结论O OOO OO综合结论{不讨论a2a表二：（两根与k的大小比较）分布情况两根都小于k即x1：： k,X2：： k两根都大于k即x1 k, x2k一个根小于k ,一个大于k即x1：：k x2( >0 ) 0I∖ // J∖J ka 得出的结论b- k2ab2af k ：：得出的结论Δ Ao-b：k2a f k<0Δ>0-b k2a fk ：0综合结论{不讨论aA >0-Hk2aa f k 0Δ >02aa f k C 0表三：（根在区间上的分布）分布情况两根都在m,n 内大致图象∖1√两根有且仅有一根在m,n 内一根在 m, n 内，另一根在 p, q内,m ：：： n ：：： p .- q得出的结论Δ >0 f (m )A 0 * f (n )>0 bm £ ------ Cn2af m f n ：： 0得出的结论Δ>0 f (m )v 0« f (n )<0bm £ —一 C n2a综合结论{不讨论af n )<0 或 J f (m f n )^° f ( p )<0 I f (P )f (q )c ° f q )>of (m )c 0 f (n )>0[f (m )f ( n )c °«或Qf ( p )A 0 I f (P )f (q )<°f q )c 0f m f n ：： 0f P f q ：： 0根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间 m, n 夕卜，即在区间两侧 x 1 ：：：m,x 2 ∙n ,（图形分别如下）需满足的条件是(2) a对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明:(1)两根有且仅有一根在m,n内有以下特殊情况:若f m =0或f n =0,则此时f m =f n ：：： 0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n ,可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间m,n内，从而可以求出参数的值。

一元二次方程根的分布问题

一元二次方程根的分布问题一元二次方程的两根就是相应二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标，因此在讨论方程的根的分布时，一定要分析方程对应的函数图象与坐标轴的交点情况，列出等价的不等式（组）求解。

在列不等式组时，一般情况下需要从三个方面考虑：①判别式；②区间端点函数值的正负；③对称轴与区间端点的关系，有时也可以利用韦达定理。

1. 判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b acx a a-+=． ① 因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a；（3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．2.韦达定理如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a．这一关系也被称为韦达定理．3. 一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为c bx ax x f ++=2)(，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk分布情况两根都在()nm,内两根有且仅有一根在()nm,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在()nm,内，另一根在()q p,内，qpnm<<<大致图象（0 > a）得出的结论()()2f mf nbm na∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅nfmf()()()()f mf nf pf q⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()f m f nf p f q<⎧⎪⎨<⎪⎩大致图象（0 < a）得出的结论()()2f mf nbm na∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅nfmf()()()()f mf nf pf q⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()f m f nf p f q<⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a ）——————()()0<⋅nfmf()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<qfpfnfmf根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩；（2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩4.例题例 1．已知2(3)0x m x m +-+=，分别求方程的根满足下列条件下的m 的取值范围：（1）两个正根；（2）两个负根；（3）两根都小于1；（4）两根都大于1；（5）一根大于1，一根小于1；（6）两根都在区间（0,2）内；（7）两根有且仅有一个在区间（0,2）内；解：（1）由1212000,0200b x x a x x c a ⎧⎪∆>∆>⎧⎪⎪⎪->+>⎨⎨⎪⎪>⎩⎪>⎪⎩即，得01m <≤。

一元二次方程根的分布

第九讲一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。

这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。

知识点：1.为了本课教学内容的需要与方便，先介绍函数符号"f(x)".例如二次函数记作f(x)= ax 2+bx+c (a ≠0)， x=1时的函数值记作f(1)，即f(1)=a+b+c. 2.韦达定理： 1212,b c x x x x a a+=-= 3.一元二次方程根的分布函数与方程思想：若y =()f x 与x 轴有交点0x ⇔f (0x )=0下面我们将主要结合二次函数图象的性质，系统地介绍一元二次方程实根的分布（1）开口方向；（2）对称轴位置；（3）判别式；（4）端点函数值符号。

例题：例1.若一元二次方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围。

例2.若一元二次方程0332=-++k kx kx 的两根都是负数，求k 的取值范围。

变式：k 在何范围内取值，一元二次方程0332=-++k kx kx 有一个正根和一个负根？例3．已知方程02112=-+-m x x 的两实根都大于1，求m 的取值范围。

变式（1）方程()f x =2ax bx c ++=0(a >0)的两个根都大于1的充要条件是 ( )A 、△≥0且f (1)>0B 、f (1)>0且－ab >2C 、△≥0且－a b >2，ca>1D 、△≥0且f (1)>0，－ab>2变式（2）若一元二次方程03)1(2=++-x m mx 的两个实根都大于-1，求m 的取值范围。

变式（3）若一元二次方程03)1(2=++-x m mx 的两实根都小于2，求m 的取值范围。

例4.已知方程032222=-++m mx x 有一根大于2，另一根比2小，求m 的取值范围。

一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x <<两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩()00<f 大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩()00>f 综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即k x k x <<21,两根都大于k 即k x k x >>21,一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩()0<k f 大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩()0>k f 综合结论（不讨论a）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩()0<⋅k f a kkk分布情况两根都在()n m ,内两根有且仅有一根在()n m ,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，qp n m <<<大致图象（>a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f ()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩大致图象（<a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f ()()()()0000fm f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a）——————()()0<⋅n f m f ()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00q f p f n f m f 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()0f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩；（2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：（1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n < 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。

一元二次方程根的分布

(x1 m) (x2 m) 0
0
5 .方程两根都小于m (x1 m) (x2 m) 0
(x1 m) (x2 m) 0
6. 方程一根大于m另一根小于m
(x1 m) (x2 m) 0
• 例1பைடு நூலகம் 方程x2+2ax+1=0有两个不等负
• 二、二次方程与二次函数联系紧密，关于二次方程问题求解的另一思路是转化为二次函数来解，因此一元二次方程根的分布问题可借助二次函数图象来研究求解。(函数法）抓△，对称轴的位置，特殊点的函数值
令f(x)=ax2+bx+c(a>0) 则有如下结论
1 .方程两根都大于m
2.方程两根都小于m 3.方程一个根大于m另一根小于m 4.方程两根都大于m且都小于n
C.必要不充分条件 D.既不必要不充分条件
例5:求方程3x2－2mx+m+1=0一根在0,1之间另一根在1,2之间的充要条件
例6 : 抛物线y=－x2+3x－m与直线y=3－x在 0<x<3时只有一个交点,求m的范围. －3<m≤0或m=1
根，求实数a的取值范围。(a>1)
例2: 方程mx2+(2m－1)x－3(m－1)=0 两根都大于3，求实数m的取值范围。
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替那些果实遮过阴凉、从枝头跌落、背井离乡的叶子。祖母在秋天的离世毫无征兆，只是那一天刮了很大的风，院子里的那棵老柳树稀里哗啦地掉落了所有的叶子。其实，也只有风能让叶子喘息或者感叹。在叶子的生命中，风往往扮演着接生婆和送行者的双重角色，所以叶子的心思只和风说，它只和风窃窃私语。落叶也有遗言吗？在离开枝头的刹那，它和风都说了什么？谁

根的分布

一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。

这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。

下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。

一．一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。

比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。

设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤。

【定理1】⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=>-=+≥-=∆>>00040,02121221a c x x a bx x ac b x x ，则例1若一元二次方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 有两个正根，求m的取值范围。

【定理2】⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+≥-=∆<<00040,02121221a c x x a bx x ac b x x ，则【定理3】0021<<<ac x x ，则例 3 k 在何范围内取值，一元二次方程0332=-++k kx kx 有一个正根和一个负根？二．一元二次方程的非零分布——k 分布设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤。

k 为常数。

则一元二次方程根的k 分布（即1x ，2x 相对于k 的位置）有以下若干定理。

【定理1】⎪⎪⎪⎪⎨⎧>->≥-=∆≤<k ab k af ac b x x k 20)(04221，则【定理2】⎪⎪⎪⎪⎨⎧<->≥-=∆<≤k b k af ac b k x x 0)(04221，则【定理3】21x k x <<⇔0)(<k af【定理4】有且仅有11xk <（或2x ）【定理5】221211p x p k x k <<≤<<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<>><<0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 【定理6】2211k x x k <≤<，则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>>≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b 或⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<<<<≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b1.方程x 2+2px+1=0有一个根大于1，一个根小于1，求p 的取值范围2.若关于x 的方程kx 2-(2k+1)x-3=0在(-1,1)和(1,3)内各有一个实根，求k 的取值范围3.已知集合A={x|x2+(2-a)x+1=0}，若A R+，求a的取值范围4.已知A={x| x2+2x+2-p=0}，且A∩R+=φ，求p的取值范围5. 已知x2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根，且都在[1,3]外，求m范围6.若方程2ax2 -x-1=0在(0,1)内恰好有一个实根，求a的范围7.方程ax2 -2(a+1)x+a-1=0，是否存在实数a使它的两根都大于18.若二次函数y=-x2+mx-1的图像与两端点为A(0,3),B(3,0)的线段AB有两个不同的交点，求m的范围9. 已知f(x)=mx2+(m-3)x+1的图像的零点至少一个在原点右侧，求m的取值范围。

初高中衔接——一元二次方程根的分布

一．一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。

比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。

设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤。

【定理1】01>x ，02>x (两个正根)⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧∆=-≥⎪⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩，推论：01>x ，02>x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=<≥-=∆0)0(0042b c f a ac b 上述推论结合二次函数图象不难得到。

【定理2】01<x ，02<x ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+≥-=∆000421212a c x x a b x x ac b ，推论：01<x ，02<x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>=>≥-=∆0)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<≥-=∆0)0(0042b c f a ac b 由二次函数图象易知它的正确性。

【定理3】210x x <<⇔0<ac 【定理4】 ○101=x ，02>x ⇔0=c 且0<a b ； ○201<x ，02=x ⇔0=c 且0>ab 。

二．一元二次方程的非零分布——k分布设一元二次方程02=++cbxax（0≠a）的两实根为1x，2x，且21xx≤。

k为常数。

则一元二次方程根的k分布（即1x，2x相对于k的位置）有以下若干定理。

【定理1】21xxk≤<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≥-=∆kabkafacb2)(42【定理2】kxx<≤21⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->≥-=∆kabkafacb2)(42。

一元二次方程根的分布

一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。

这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。

函数与方程思想：若y =()f x 与x 轴有交点0x ⇔f 0x =0若y =f x 与y =g x 有交点0x ，0y ⇔()f x =()g x 有解0x 。

下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。

一．一元二次方程根的基本分布——零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。

比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。

设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤。

【定理1】01>x ，02>x 两个正根⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧∆=-≥⎪⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩，推论：01>x ，02>x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=<≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 上述推论结合二次函数图象不难得到。

【例1】若一元二次方程0)1(2)1(2=-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围。

分析：依题意有24(1)4(1)02(1)0101m m m m m mm ⎧⎪∆=++-≥⎪+⎪->⎨-⎪-⎪>⎪-⎩0<m <1。

【定理2】01<x ，02<x ⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+≥-=∆000421212a c x x ab x x ac b ，推论：01<x ，02<x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<≥-=∆00)0(042b c f a ac b由二次函数图象易知它的正确性。