两个数和差的平方
12.3.2 两数和(差)的平方八年级数学上册同步教学辅导讲义(华师大版)
12.3.2两数和〔差〕的平方根底知识1.2222)(b ab a b a ++=+；即两数和的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍。
这个公式叫做两数和的平方公式。
2222)(b ab a b a +-=-；即两数差的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍。
这个公式叫做两数差的平方公式。
以上两个公式俗称完全平方公式2．完全平方公式的特点：〔1〕左边是一个二项式的完全平方；〔2〕右边是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项为哪一项左边二项式中两项积的两倍；〔3〕公式中的字母，可以代表一个数，还可以代表一个代数式。
3.完全平方公式的变化与推广：ab b a b a 2)(222-+=+；ab b a b a 2)(222+-=+)()(2222b a b a ab +-+=或)]()[(21222b a b a ab +-+= ab b a b a 4)()(22-+=-,ab b a b a 4)()(22+-=+例题例1．计算：2123x y ⎫⎛-+ ⎪⎝⎭． 【答案】224439y x xy -+． 【分析】利用完全平方差公式求解即可.【详解】 解：原式2123x y ⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭ 224439y x xy -+=． 【点睛】此题主要考查有理数及整式的运算，属于根底题型.例2．阅读材料：假设2222210x xy y y ++-+=，求x ，y 的值．解：∵2222210x xy y y ++-+=，∴2222210x xy y y y +++-+=，即22()(1)0x y y ++-=．∴0,10x y y +=-=．∴1,1x y =-=．根据你的观察，探究以下问题：〔1〕224428160m mn n n -+++=，求3()m n --的值．〔2〕24,6130a b ab c c -=+-+=，求a b c ++的值．【答案】16．〔1〕18；〔2〕3 【分析】〔1〕将4m 2-4mn +2n 2+8n +16=0的左边分组配方，然后根据偶次方的非负性，可求出m ，n 的值，代入代数式即可得到结论；〔2〕由a -b =4，得到a =b +4，代入的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b 与c 的值，进而求出a 的值，即可求出a +b +c 的值．【详解】解：〔1〕∵4m 2-4mn +2n 2+8n +16=(2m )2-4mn +n 2+n 2+8n +16=〔2m -n 〕2+〔n +4〕2=0， ∴2m -n =0，n +4=0，∴m =-2，n =-4，∴〔m -n 〕-3=18； 〔2〕∵a -b =4，即a =b +4，代入得：〔b +4〕b +c 2-6c +13=0，整理得：〔b 2+4b +4〕+〔c 2-6c +9〕=〔b +2〕2+〔c -3〕2=0，∴b +2=0，且c -3=0，即b =-2，c =3，a =2，那么a +b +c =2-2+3=3．【点睛】此题考查了完全平方公式的应用，结合偶次方的非负性求值的问题，此题属于中档题．练习1．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形的面积来解释一些代数恒等式，例如图1可以用来解22()()4a b a b ab +--=，那么通过图2中阴影局部面积的计算验证的恒等式是()A ．222()2a b a ab b -=-+B ．22()()a b a b a b -=+-C ．222()2a b a ab b +=++D ．22()(2)2a b a b a ab b -+=+-2．以下各式中，与2(1)x -相等的是()A ．221x x -+B ．221x x --C ．21x -D ．2x 3．9x 2﹣kx ＋4是一个完全平方式，那么常数k 的值为〔〕A ．6B ．±6C ．12D ．±12 4．以下各式中，是完全平方式的是〔〕A ．269x x -+B ．221x x +-C ．2525x x -+D ．216x + 5．m 2+n 2＝1，〔m +n 〕2＝2，那么mn 的值是〔 〕A ．14B ．12C ．1D ．2 6．计算：()22x y +＝_____．7．如果2236x kxy y ++是完全平方式，那么k 的值是________ ．8．22,()1xy x y =-=，那么22x y +=_________．9．x ，y 244y y -=-，假设3axy x y -=，那么实数a 的值为_____________．10．假设()292116x k x --+是完全平方式，那么k 的值为______．11．计算：〔1〕()225a b -+；〔2〕(2)(2)(1)(5)x x x x +-+-+12．先化简，再求值：()()()2211x x x -+--，其中12x =-．13．()218x y +=，()26x y -=，求22x y +及xy 的值． 14．化简：22()()a b a b -+15．〔1〕先化简，再求值，2(32)(32)5(1)(21)x x x x x +-----，其中13x =-． 〔2〕己知2226100x y x y +-++=，求x y +的值．16．[阅读理解]假设x 满足(80)(60)30x x --=，求22(80)(60)x x -+-的值． 解：设80x a -=，60x b -=，那么(80)(60)30x x ab --==，(80)(60)20a b x x +=-+-=，∴222222(80)(60)()220230340x x a b a b ab -+-=+=+-=-⨯=．[解决问题]假设x 满足22(30)(20)120x x -=+-，求(30)(20)x x --的值．参考答案1．A【详解】解：阴影局部的面积：2()a b -，还可以表示为：222a ab b -+，∴此等式是222()2a b a ab b -=-+．应选：A ．2．A【详解】解：22(1)21x x x -=-+，应选：A ．3．D【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k 的值．【详解】解：∵9x 2-kx +4是一个完全平方式，∴-k =±12， 解得：k =±12， 应选：D ．【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键．4．A【分析】根据完全平方公式：〔a ±b 〕2=a 2±2ab +b 2分析各个式子． 【详解】解：()22693x x x -+=-，是完全平方式，221x x +-，2525x x -+，216x +不是完全平方式， 应选A ．【点睛】此题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．要求掌握完全平方公式，并能从复杂的关系中找到平方项和乘积项，利用公式写成平方的形式．5．B【分析】根据m 2+n 2的值，利用完全平方公式将〔m +n 〕2展开进行计算即可．【详解】解：∵m 2+n 2=1，∴〔m +n 〕2=2，∴m 2+2mn +n 2=2，∴1+2mn =2，∴2mn =1，∴mn =12，应选：B ．【点睛】此题考查完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．6．2244.x xy y ++【分析】直接利用完全平方公式进行计算即可得到答案．【详解】解：()222244x y x xy y +=++，故答案为：2244.x xy y ++【点睛】此题考查的是完全平方公式的运用，掌握利用完全平方公式进行运算是解题的关键． 7．±12【分析】根据完全平方公式即可得到结论．【详解】解：∵2236x kxy y ++是完全平方公式，∴2236x kxy y ++=〔x+6y 〕2或者2236x kxy y ++=〔x-6y 〕2，∴k=+12或k=-12，故答案为：±12． 【点睛】此题考查完全平方公式，注意完全平方公式中间项是±2ab ． 8．5【分析】根据222()2x y x y xy -=+-可得222()2x y x y xy +=-+，代入得出答案．【详解】解：∵22,()1xy x y =-=，∴222()2145x x y y y x =-=+++=，故答案为：5．【点睛】此题考查利用完全平方公式变形求值．熟练掌握完全平方公式和它的变形式是解题关键．9．76【分析】2440y y -+=2(2)0y -=，可得x ，y 的值，将之代入3axy x y -=中可得结果．【详解】2440y y -+=，2(2)0y -=，390,20x y ∴+=-=，解得：3,2x y =-=，代入3axy x y -=，得(3)23(3)2a ⨯-⨯-⨯-=， 解得：76a =， 故答案为：76． 【点睛】此题主要考查了完全平方公式及非负数的性质，属于根底题，关键是根据非负数的性质求出x ，y 的值再求解．10．11-或13【分析】利用完全平方式的定义可得()21234k --=⋅⋅或()()21234k --=⋅⋅-，求解即可．【详解】解：∵()292116x k x --+是完全平方式，∴()21234k --=⋅⋅或()()21234k --=⋅⋅-，解得11k =-或13，故答案为：11-或13．【点睛】此题考查利用完全平方式的定义求参数，掌握完全平方式的定义是解题的关键． 11．〔1〕2242025a ab b -+；〔2〕41x【分析】〔1〕根据完全平方公式直接计算即可；〔2〕根据多项式乘多项式的法那么进行计算即可．【详解】〔1〕解：()225a b -+〔2〕原式2242255x x x x x x =-+-++--41x ．【点睛】此题考查完全平方公式、多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式、多项式乘多项式运算规那么．12．3x -，72- 【分析】根据多项式乘多项式的运算法那么、完全平方公式把原式化简，把x 的值代入计算即可．【详解】解：()()221(1)x x x -+-- 3x =-， 当12x =-时，原式=17322--=-． 【点睛】此题考查了整式的化简求值，掌握整式的混合运算法那么是解题的关键．13．2212x y +=；3xy =．【分析】根据完全平方公式对式子进行变形，并将条件整体代入即可．【详解】解：()222222222222222222x y x y x y x y x y x y xy xy +++++++-++=== ()()2222222218612222x y x x y x xy y y y x ++=++-++==+-=； ()()()222222221863444x xy y x xy y x y x y ++--++---====． 【点睛】此题考查了完全平方式，把式子灵活变形是解题关键．14．42242a a b b -+【分析】利用平方差公式和完全平方公式计算即可；【详解】解：()()()2222224224()()2a b a b a b a b a b a a b b ==-=-+⎡⎤⎣⎦-+-+； 【点睛】此题考查了平方差公式和完全平方公式，灵活应用平方差公式及完全平方公式是解题的关键．15．〔1〕95x -，8-；〔2〕-2【分析】〔1〕根据平方差公式和单项式乘多项式、完全平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答此题．〔2〕将等式利用完全平方公式变形，再利用非负数的性质得到x 和y 值，代入计算即可．【详解】解：〔1〕2(32)(32)5(1)(21)x x x x x +-----=2229455414x x x x x --+--+=95x - 将13x =-代入， 原式=1953⎛⎫⨯-- ⎪⎝⎭=8-； 〔2〕∵2226100x y x y +-++=，∴2221690x x y y -++++=，∴()()22130x y -++=，∴x -1=0，y +3=0，∴x =1，y =-3，∴132x y +=-=-．【点睛】此题考查整式的混合运算-化简求值，完全平方公式的应用，解答此类问题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．16．10【分析】根据题目所给的方法，设30,20x a x b -=-=，那么22120a b +=，再根据222()2a b a b ab +=+-，即可得出答案． 【详解】解：设30,20x a x b -=-=，22(30)(20)120x x --=+，22120a b ∴+=，那么=3020120a b x x +-+-=，222()2a b a b ab +=+-，【点睛】此题主要考查了完全平方公式，解得的关键是：熟练掌握完全平方公式的变式应用是进行计算的关键．。
乘法公式2两数和(或差)的平方
通过乘法公式和向量外积计算三角 形的面积。
体积计算
01
02
03
长方体体积
通过乘法公式计算长方体 的体积，即长乘以宽乘以 高。
圆柱体体积
利用乘法公式和圆的面积 公式计算圆柱体的体积。
圆锥体体积
通过乘法公式和圆的面积 公式以及高计算圆锥体的 体积。
长度计算
向量的模
通过乘法公式计算向量的 模，即向量各分量的平方 和的平方根。
空间中两点的距离
利用乘法公式和向量减法 计算空间中两点的距离。
圆的周长
通过乘法公式和圆的半径 计算圆的周长。
05 乘法公式在物理中的应用
运动学问题
匀变速直线运动
利用乘法公式推导位移与时间的 关系，如$s = v_0t + frac{1}{2}at^2$。
抛体运动
将乘法公式应用于抛体运动的水 平位移和竖直位移，求解物体的
通过乘法公式的运用， 可以简化复杂的多项 式表达式，降低计算 难度。
方程求解
利用乘法公式将方程化为标准形式， 便于求解未知数。
通过对方程的变形和化简，可以更容 易地找到方程的解，提高解题效率。
在解方程时，可以根据乘法公式的特 点，选择合适的变形方式，简化求解 过程。
不等式证明
利用乘法公式证明不等式，可 以将复杂的不等式化为简单的 形式，便于证明。
运动轨迹。
圆周运动
通过乘法公式计算向心加速度、 线速度、角速度等物理量之间的
关系。
动力学问题
1 2
牛顿第二定律
结合乘法公式，推导物体加速度与作用力、质量 之间的关系，即$F = ma$。
动量定理
应用乘法公式求解物体动量变化与冲量之间的关 系，如$Delta p = Ft$。
12.3.2两数和(差)的平方
纠 错 练 习
指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1； (3) (a−1)2＝a2−2a−1. 解: (1) 第一数被平方时, 未添括号;
第一数与第二数乘积的2倍 少乘了一个2 ; 应改为: (2a−1)2＝ (2a)2−2•2a•1+1; (2) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项); 应改为: (2a+1)2＝ (2a)2+2•2a•1 +1; (3) 第一数平方未添括号, 第一数与第二数乘积的2倍 错了符号; 第二数的平方 这一项错了符号; 应改为: (a−1)2＝(a)2−2•(a )•1+12;
例2、利用两数和的平方公式
请说出题中哪 部分相当于公 式中的 哪 部分相当于
计算:
（1） (a+3b)2 (2) (2x+3y)2
（3） (-2x-y)2
（4） (a-b)2
解：
（1） (a+3b)2 ＝ a2 2 a 3b (3b)2 a2 6ab 9b2
(2) (2x+3y)2
两数和（差）的平方
(a b) ?
2
学习六步曲
学习目标
复习回顾
探究新知
例题讲解
巩固练习 课堂小结
学习目标
能根据两数和平方公式的特点，正确运用 两数和的平方公式进行计算；通过两数和 的平方公式的推导，来初步体验数学中相互转 化、数形结合的思维方法，了解公式的几何背 景。
回顾 & 思考 ☞
(a+b)(a−b)= a2 − b2;
做一做
研究性学习
两数和(差)的平方
两数和（差）的平方课前知识管理1、完全平方公式有两个：〔a+b 〕2=a2+2ab+b2,〔a-b 〕2=a2-2ab+b2.即，两数和〔或差〕的平方，等于这两个数的平方和，加上〔或者减去〕这两个数的积的2倍.这两个公式叫做完全平方公式.它们可以合写在一起，为〔a ±b 〕2=a2±2ab+b2.为便于记忆，可形象的表达为：〝首平方、尾平方，2倍乘积在中央〞.几何背景：如图，大正方形的面积可以表示为〔a+b 〕2，也可以表示为S ＝S Ⅰ+ S Ⅱ+ S Ⅲ+S Ⅳ，同时S ＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2.从而验证了完全平方公式〔a+b 〕2＝a2+2ab+b2.2、完全平方公式的特征：左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上〔这两项相加时〕或减去〔这两项相减时〕这两项乘积的2倍.公式中的字母可以表示具体的数〔正数或负数〕，也可以表示单项式或多项式等代数式.只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式.3、在使用完全平方公式时应注意问题：〔1〕千万不要发生类似〔a ±b 〕2=a2±b2的错误；〔2〕不要与公式〔ab 〕2=a2b2混淆；〔3〕切勿把〝乘积项〞2ab 中的2漏掉；〔4〕计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，那么可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形为公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，那么运用乘法法那么进行计算.名师导学互动典例精析：知识点1：改变公式中b a ,的符号：例1、运用完全平方公式计算： ()252y x +-【解题思路】本例改变了公式中b a ,的符号，处理方法之一：把两式分别变形为()()[]225252y x y x --=+-()252y x -=再用公式计算〔反思得：()()()()2222;b a b a a b b a +=---=-〕； 方法二：把两式分别变形为：()()222552x y y x -=+-后直接用公式计算；方法三：把两式分别变形为()()[]225252y x y x +-=+-后直接用公式计算.【解】()252y x +-=()()()22222420252252525x xy y x x y y x y +-=+⨯⨯-=-.【方法归纳】对乘法公式的最初运用是模仿套用，套用的前提是确定是否具备使用公式的条件，关键是正确确定〝两数〞即〝a 〞和〝b 〞.对应练习：()2b a --知识点2：改变公式中的项数例2、计算：()2c b a ++【解题思路】完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾.所以在运用公式时， ()2c b a ++ 可先变形为()[]2c b a ++ 或()[]2c b a ++ 或者()[]2b c a ++ ，再进行计算．【解】()2c b a ++=()[]2c b a ++【方法归纳】运用整体思想可以使计算更为简便，快捷.对应练习：〔2a －b ＋4〕2知识点3：改变公式的结构例3、运用公式计算： 〔1〕()()y x y x 22++； 〔2〕()()b a b a --+.【解题思路】本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特征，但仔细观察易发现，只要将其中一个因式作适当变形就可以了.【解】〔1〕()()y x y x 22++=()2222422y xy x y x ++=+；〔2〕()()b a b a --+=()2222b ab a b a ---=+-.【方法归纳】观察到两个因式的系数有倍数关系或相反关系是正确变形并利用公式的前提条件.对应练习：计算：()()a b b a --知识点4：利用公式简便运算例4：计算：9992【解题思路】本例中的999接近1000，故可化成两个数的差，从而运用完全平方公式计算.【解】()=+-=+-=-=120001000000120001000110009992222998001.【方法归纳】有些数计算时可拆成两数〔式〕的平方差、完全平方公式的形式，正用乘法公式可使运算简捷、快速.对应练习：计算：100.12知识点5：公式的逆用例5、计算： ()()()()2233525++++-+x x x x【解题思路】此题假设直接运用乘法公式和法那么较繁琐，仔细分析可发现其结构恰似完全平方公式()2222b ab a b a +-=-的右边，不妨把公式倒过来用.【解】()()()()2233525++++-+x x x x =()()[]4352=+-+x x .【方法归纳】解题中，•假设把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思考、联想、探究，进行整体思考、整体变形，•从不同的方面确定解题策略，能使问题迅速获解．对应练习：化简()()()()223372272++++-+a a a a知识点6：公式的变形例6、实数a 、b 满足()1,102==+ab b a .求以下各式的值：〔1〕22b a +；〔2〕()2b a -【解题思路】此例是典型的整式求值问题，假设按常规思维把a 、b 的值分别求出来，非常困难；仔细探究易把这些条件同完全平方公式结合起来，运用完全平方公式的变形式很容易找到解决问题的途径.【解】〔1〕22b a +=()822=-+ab b a ； 〔2〕()()ab b a b a 422-+=-=6.【方法归纳】 ()()ab b a b a 422-+=-；()(),422ab b a b a +-=+()()ab b a b a ab b a b a 2,2222222+-=+-+=+熟悉完全平方公式的变形式，是相关整体代换求值的关键.对应练习：：x ＋y ＝－1，x2＋y2＝5，求xy 的值.知识点7：乘法公式的综合应用例7、计算：()()z y x z y x -+++【解题思路】此例是三项式乘以三项式，特点是：有些项相同，另外的项互为相反数。
初中数学八年级上册 两数和(差)的平方 人教版
B、 (5x-2y)2=25x2-10xy+4y2
C、 (-a-1)2=-a2-2a-1
D、 (-a2-0.3ab)2=a4+0.6a3b+0.09a2b2 2、无论x取何值，（x+a)2=x2-x+a2,则常数 a等于 （D ） A 、2 B 、 -2 C、1/2 D、 -1/2
新知拓展
(a＋b)2 = a2＋2ab＋b2 ①
已知x
1 x
3，
求x2
1 x2
的值.
解: x2
1 x2
(x1)2 2(x 1)
x
x
(x 1)2 2
x
32 2
7
课后作业
1、若 a2+b2 =14 , a+b=6, 求ab ； 2、若 a2- m a+25 是一个完全平 方式，求m；
3、若 a2-12ab + m 是一个完全 平方式，求m；
怎样才能拿得起？王国维《人间词话》中曾提出，古今之成大事业者，须经过三重境界。这三重境界体现的正是儒家精神，所以正是路径所在。 第一重境界是“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”。登上高楼，远眺天际，正是踌(chóu)躇(chú)满志，志存高远，高瞻远瞩，一腔抱负。人生，志向决定方向，格局决定高度；小溪只能入湖，大河则能入海。所以做事，要先立心中志向；成事，要先拓胸中格局。
两数和(差)的平方公式
b 4a 2 2ab 4
2
练习
1、计算 2 （1）(3x 4 y ) （2）(2 x 5)2 （3）(m 2n)2 （4）(2a b)2 1 2 2 （5） ( x y)
解 : 原式 9 x2 24xy 16y 2 解 : 原式 4 x2 20xy 25 解 : 原式 (m 2n)2 m2 4mn 4n2
两数和（差）的平方：
(a b)2 a2 2ab b2
口诀： 首平方，尾平方，积的2倍在中央， 中间符号照原样。
例题
利用公式计算： 2 ( 2 x 3 y ) （1） 2 2 ( 2 x ) 2 2 x 3 y ( 3 y ) 解：原式=
= 4 x2 12xy 9 y 2
（2） (2m 5n)2 解：原式= (2m)2 2 (2m) 5n (5n)2 2 2 4 m 20 m n 25 n = 2 ( 5 n 2 m ) 或 原式= 2 2 ( 5 n ) 2 5 n 2 m ( 2 m ) =
25n 2 20mn 4m2
探究发现
计算下列各式，你能发现什么规律？
( p 1)2 ( p 1)( p 1) p2 2 p 1
( x 3)2
(a b)2
( x 3)( x 3) x 2 6 x 9
(a b)(a b) a2 2ab b2
两数和的平方
小结
两数和（差）的平方公式： (a b)2 a2 2ab b2 特点：
公式的左边是二项式（两数和（差））的平方； 公式的右边是一个三项式，其中有两项是这两个数的 平方，另一项是这两个数积的2倍。
两数和(差)平方
填空： 1) a2+ 2ab +b2=(a+b)2 2) a2+ (-2ab)+b2=(a - b)2 3) 4a2+ 4ab +b2=(2a+b)2 4) 4a2+ (-4ab) +b2=(2a - b)2 5) (2a )2+4ab+b2=( 2a +b)2 6) a2-8ab+16b2=( a-4b )2
（3） 95 ²
（4） 19²
应用新知 & 体验成功
☞
(速算游戏) 个位数是5的两位数的平方. （1）问:152=? 252=? 352=? …… （2）观察 152=225 252= 625 352= 1225 452=2025
…
个位数是 5 的两位数平方后，末尾两个数有什 么规律？前面的一位或两位数又有什么规律？ （3）如果用10a+5表示个位数是5的这个两位数.你 能用所学的知识解释这个规律吗?
2 5 x 3 4 2 2 y x y 9
2
做一做
研究性学习
）2 =9a2―（ ）+16b2 ；
①填空：（
②计算：（―a+b）2和（―a―b）2 ；
③与（a+b）2及（a―b）2比较，你发现了什么律？
探索发现:(a+b)2=(―a―b)2 , （a―b）2 = （―a+b）2 解题规律:
两数和的平方
一块边长为a米的正方形实验田， 因需要 形成四块 将其边长增加 b 米。 实验田，以种植不同的新品种 b (如图）. 用不同的形式表示实验田 的总面积, 并进行比较.
完全平方公式、平方差公式、一个数负次方
完全平方公式、平方差公式、一
个数负次方
1.完全平方公式：
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍即完全平方公式
(a+b)2=a2+b2+2ab 两数和的完全平方公式(完全平方和)
与(a-b)2=a2+b2-2ab 两数差的完全平方公式(完全平方差)
都叫做完全平方公式．
推导：
这两个公式的结构特征是：左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二中两项的平方和，加上(这两项相加时)或减去(这两项相减时)这两项乘积的2倍；公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等代数式。
2.平方差公式：
当乘式是两个数之和以及这两个数之差相乘时，积是二项式．这是因为具备这样特点的两个二项式相乘，积的四项中，会出现互为相反数的两项，合并这两项的结果为零，于是就剩下两项了．而它们的积等于乘式中这两个数的平方差，即 a2-b2=(a+b) x (a-b)
推导：
3.平方和公式：
a²+b²=(a+b)²-2ab
推导过程：a²+b²=a²+b²+2ab-2ab=(a+b)²-2ab。
两数和(差)的平方 说课稿
尊敬的各位评委、老师大家好！我是来自六台中心学校的数学老师刘超。
今天我说课题目是华师大版八年级（上）册第12章第3节第二课时：两数和（差）的平方，主要内容是公式的推导及应用，下面我就从几个方面来介绍这堂课的说课内容：一、说教材1 教材分析：本节课是学生已经掌握乘法公式中的两数和乘以这两数的差之后进行学习的。
不仅是学习幂的运算、单项式乘法、多项式乘法知识的应用，是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的又一种归纳、总结，渗透从一般到特殊的思想；也是今后学习因式分解、解一元二次方程、配方法、分式运算知识的基础，不但可以提高学生运算速度和准确率，更起到了承上启下的作用，它也是用推理的形式进行恒等变形的又一次训练，因而它是本章的一个重点内容，通过乘法公式的学习可以简化某些整式的运算、培养学生的求简意识及简便方法巧算的意识。
2 教材处理：（1）教材中的多项式乘法导入枯燥乏味，降低学生学习兴趣，故换成从现实生活的数学情境出发，更体现数学源于生活，又服务于生活。
（2）补充了两数和（差）的平方公式又称作完全平方公式，使学生对此有个简单了解，为今后学习打下基础。
（3）例题稍作改动，从其心里上促使认真听课的态度。
3 重点难点：义务教育阶段的数学课程应以培养学生的能力，尤其是创新、创造能力为重，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。
参照义务教育阶段《数学课程标准》的要求，确定本节课的教学重难点如下：重点：经历公式的推导和发现，掌握公式的结构特征，学会运用公式进行简单的计算，体会公式的便捷性。
难点：公式的应用以及广泛意义上理解公式中字母a、b的含义，并会判断要计算的代数式是哪两个数的和（或差）的平方。
4教学目标：义务教育阶段的数学课程标准的基本精神和理念，努力落实基础知识、基本技能、基本思想与基本活动经验，培养学生发现问题、提出问题、分析问题与解决问题的能力，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。
根据以上指导思想，同时参照义务教育阶段《数学课程标准》严格控制要求与难度，确定本节课的教学目标如下：知识技能目标：（1）了解公式的几何背景，理解并掌握公式的结构特征。
12.3.2两数和(差)的平方
图12.3.2课题： 12.3.2两数和（差）的平方一、【学习目标】1、使学生通过自主探索两数和（差）的平方公式的过程2、了解公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并能熟练运用公式进行简单的计算。
【学习重点】熟记公式，熟练地运用公式进行简单的计算。
【学习难点】完全平方公式的推理过程 二 、旧知链接：利用多项式乘多项式的方法计算下列各题：（1）（2x+1）(2y-3) (2). 22）（+m (3) 23）（+p三、新知探究： 展示单元一：两数和的平方公式1、观察旧知链接（2）、（3）的规律，你能很快地写出：（a+b ）2 ＝ 。
2、思考：你能说明a ²+b ²与(a+b)²的关系吗？3、图形演示：让学生直观感知：a ²+b ²≠(a+b)²（1）几何探究（整体考虑，分割思考）：试一试：先观察图12.3.2，你能用一个代数式来表示该大正方形的面积吗？还有其他不同的表示方法吗？再用等式表示下图中图形面积的运算：＝ ＋ ＋ ．概括：我们得到了一个非常重要而且十分有用的结果：两数和的平方公式：（a+b ）2 ＝ 。
感悟规律：你发现公式有何特征吗？在代数学习的过程中，常把几何知识运用进来，注意“ ”的思想。
展示单元二：小试牛刀23b)(1)(2a +2)22)(2(b a + 222)23)(3(b a +展示单元三：两数差的平方公式试一试，你一定也能发现：（a －b ）2＝ 同学们大胆进行自主探索或相互讨论，然后发表其思路和结论。
模仿练习： （2x －3y ）2 （2m －5）2我能行：计算：（1）（－2m ＋n ）2 （2）（－2m －n ）2注意：2倍乘积的符号。
总结： （a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2．重点识记：1、两数和的平方，等于它们的平方和加上这两数积的2倍．2、两数差的平方，等于它们的平方和减去这两数积的2倍3、（a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 24、识记口诀：首平方，尾平方，首尾2倍放中央。
两数和差的平方
两数和差的平方公式可以应用于二次方程的求解以及不等式 的证明等问题中。例如，在求解二次方程时，可以利用公式 将方程转化为(a+b)^2=c的形式，从而简化计算过程。
公式的扩展及推广
公式的扩展
通过对公式的扩展，可以得到其他类似的公式。例如，对于两数和差的立方公式 ，可以类似地推导得到(a+b)^3=(a-b)^3+3(a-b)ab+3(a-b)ba=(a-b)^3+6(ab)ab。
圆内接矩形对角线乘积之和
总结词
圆内接矩形对角线乘积之和等于两对角线端点所连线 段的平方和的两倍。
详细描述
设圆内接矩形ABCD的对角线AC和BD的长度分别为a 和b，则根据勾股定理，我们有：AB^2 + BC^2 = AC^2，AD^2 + DC^2 = BD^2。将两式相加，得到 ：2(AB^2 + BC^2 + AD^2 + DC^2) = a^2 + b^2
符号表示
公式中用到的符号包括加号(+)、减号(-)、平方 符号(²)和括号()。
3
数学模型
公式可以表示为(a+b)²=(a-b)²+4ab，其中a和 b是两个数。
公式推导
推导过程
根据完全平方公式的推导方法，可以将(a+b)²的展开式展开为a²+2ab+b²， 同时将(a-b)²的展开式展开为a²-2ab+b²，再结合两者得到(a+b)²=(ab)²+4ab。
05
两数和差的平方的深入研究
公式的深入推导
公式推导的必要性
两数和差的平方公式是数学中的一个 重要公式，对于解决二次方程和不等 式等问题具有关键作用。通过对公式 的深入推导，可以更好地理解其背后 的数学原理，加深对数学知识的掌握 。
初高中数学常用公式
初高中数学常用公式初中数学常用公式：1. 两个数的和的平方等于它们的平方和加上它们的2倍乘积：(a+b)² = a² + b² + 2ab2. 两个数的差的平方等于它们的平方和减去它们的2倍乘积：(a-b)² = a² + b² - 2ab3.两个数的平方差等于它们的和乘以差：a²-b²=(a+b)(a-b)4. 平方根的乘积等于被开方数的平方根：√(a) ∙ √(b) = √(ab)5.平方根的商等于被开方数的平方根的商：√(a)/√(b)=√(a/b)6.平方根的和或差等于被开方数的平方根的和或差：√(a)±√(b)=√(a±b)7.分数乘以整数等于分子乘以整数：a∙(b/c)=(a∙b)/c8.分数乘以分数等于分子相乘，分母相乘：(a/b)∙(c/d)=(a∙c)/(b∙d)9.分数除以整数等于分子除以整数：(a/b)/c=a/(b∙c)10.分数除以分数等于分子相除，分母相除：(a/b)/(c/d)=(a∙d)/(b∙c)11.分数的倒数等于分子和分母互换位置：1/(a/b)=b/a12.两个数的倒数之和等于它们的和的倒数：1/a+1/b=(a+b)/(a∙b)13.两个数的倒数之差等于它们的差的倒数：1/a-1/b=(b-a)/(a∙b)14.两个数的倒数的和等于它们的和的倒数：1/(1/a+1/b)=(a∙b)/(a+b)15.两个数的倒数的差等于它们的差的倒数：1/(1/a-1/b)=(b∙a)/(b-a)16.非零数的倒数的倒数等于它本身：(1/a)的倒数=a17.平行线与横截线的夹角等于对顶角：∠a=∠b18.两个角的补角之和等于90°：∠a+∠b=90°19.两个角的余角之和等于90°：∠a+∠b'=90°20.同位角相等，对位角相等，即∠a=∠c，∠b=∠d21.同位角和对位角的对应角互补：∠a+∠b=180°，∠c+∠d=180°22.两个相交直线的内错角互补：∠a+∠b=180°，∠c+∠d=180°23.平行线上的内错角互补：∠a+∠d=180°，∠b+∠c=180°24.同位角、对位角、内错角互补的线同位线：∠a+∠c=180°，∠b+∠d=180°25.线到平行线上的一条截线上的内错角相等：∠a=∠e，∠b=∠f26.线到平行线上的一条截线上的同位角、对位角相等：∠a=∠c'，∠b=∠d'27.两条相交直线的外错角相等：∠a=∠c，∠b=∠d28.最内侧与最外侧的两个角互补：∠a+∠d=180°，∠b+∠c=180°29.等腰三角形的底角相等：∠a=∠b30.等腰三角形的底边中点连线平分顶角：CD平分∠b31.一条直线垂直于平行线，则它与平行线所成的角都是直角：∠a=90°，∠b=90°32.同弧上的两个角及弧上邻角互补：∠c=∠e，∠d=∠f33.圆的圆心角是两倍其所对弧的角：∠c=2∠a，∠d=2∠b34.圆周角等于其所对弧的角：∠c=∠a，∠d=∠b35.圆的半弧对应角相等：∠ACB=∠ADB36.外切圆的切线和半径垂直：∠ACB=90°37.内切圆半径连接点与切点垂直：∠ACB=90°38.三角形两边之和大于第三边：AB+BC>AC,AB+AC>BC,AC+BC>AB39.三角形两边之差小于第三边：AC-BC<AB,AB-AC<BC,BC-AC<AB 高中数学常用公式：1.两点之间的距离公式：d=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)2.点到直线的距离公式：d=，Ax₁+By₁+C，/√(A²+B²)3.二次函数的顶点坐标公式：(h,k)=(-b/2a,f(-b/2a))4.二次函数的对称轴公式：x=-b/2a5. 二次函数的判别式公式：Δ = b² - 4ac6.一次函数的斜率公式：k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)7.直线的方程式（点斜式）：y-y₁=k(x-x₁)8. 直线的方程式（斜截式）：y = kx + b9.垂直直线的斜率乘积为-1：k₁∙k₂=-110.等差数列的通项公式：aₙ=a₁+(n-1)d11.等差数列的求和公式：Sₙ=(a₁+aₙ)∙n/212.等差数列前n项和的公式：Sₙ=n/2(2a₁+(n-1)d)13.等比数列的通项公式：aₙ=a₁∙r^(n-1)14.等比数列的求和公式（无穷项）：S=a₁/(1-r),，r，<115.等比数列前n项和的公式：Sₙ=a₁(1-rⁿ)/(1-r)16. 三角函数正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC17. 三角函数余弦定理：c² = a² + b² - 2abcosC18. 三角函数正切定理：tanA = (b - c) / (b + c)19.扇形面积公式：S=(θ/360)πr²20. 弦长公式：l = 2r sin(θ/2)21.正多边形内角和公式：S=(n-2)×180°22.二次方程求根公式：x=(-b±√Δ)/2a23. 立方公式：(a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3ab(a + b) + 3bc(b + c) + 3ca(c + a)24. 平方差公式：(a-b)² = a² - 2ab + b²25.求圆面积：S=πr²26.求圆周长：C=2πr27. 重要三角函数值：sin(30°) = 1/2，sin(45°) = √2/2，sin(60°) = √3/228. 计算三角函数值：tan(x) = sin(x) / cos(x)，csc(x) = 1/sin(x)，sec(x) = 1/cos(x)，cot(x) = 1/tan(x)29. 正弦函数与余弦函数关系：sin²(x) + cos²(x) = 1，1 + tan²(x) = sec²(x)，1 + cot²(x) = csc²(x)30.等腰三角形的高公式：h=√(a²-(b/2)²)31.二次函数的平移变换公式：(x-h)²=4a(y-k)32.勾股定理：c²=a²+b²33. 欧拉公式：e^(iθ) = cos(θ) + i sin(θ)。
两数和差的平方
公式转换法
定义
公式转换法是指利用公式转换， 将两数的和与差的平方表示成其 他数为a和b，则它们的平方 和为(a+b)^2=a^2+b^2+2ab ，差为(a-b)^2=a^2+b^2-2ab 。
例子
利用公式 (a+b)^2=[(a+b)^2+(ab)^2]/2，则 (4+3)^2=[(4+3)^2+(43)^2]/2=41。
两数和差的平方
xx年xx月xx日
目 录
• 引言 • 两数和差的平方的性质 • 两数和差的平方的计算方法 • 两数和差的平方的实例 • 两数和差的平方的应用 • 两数和差的平方的进一步探讨
01
引言
定义和公式
1
两数和差的平方是指两个数的和或差的平方， 具体公式如下
2
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
04
两数和差的平方的实例
整数实例
总结词
整数和差的平方
详细描述
对于两个整数a和b，它们的和差的平方等于（a+b）2-（a-b）2，这个结论 可以通过整数的平方差公式进行验证。例如，两个整数3和5的和差的平方等 于（3+5）2-（3-5）2=160。
分数实例
总结词
分数和差的平方
详细描述
对于两个分数a和b，它们的和差的平方等于（a+b）2-（a-b）2，这个结论可以通过分数的平方差公 式进行验证。例如，两个分数1/2和3/4的和差的平方等于（1/2+3/4）2-（1/2-3/4）2=19/16。
3
(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
数学八年级上册《两数和(差)的平方》教案
2．两数和(差)的平方【教学目标】知识与技能理解两数和(差)的平方的公式，掌握公式的结构特征，并熟悉地应用公式进行计算．过程与方法经历探索两数和(差)的平方公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力．情感、态度与价值观培养学生探索能力和概括能力，体会数形结合的思想．【重点难点】重点对两数和(差)的平方公式的理解，熟练运用完全平方公式进行简单的计算．难点对公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2的理解，包括它的推导过程，结构特点，语言表述，几何解释．【教学过程】一、创设情景，导入新课王老汉开辟了一个正方形的菜园，它的边长是(a＋b)，则它的面积是多少？【学生活动】(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(用多项式乘以多项式算得)【教师活动】有没有更简洁的方法？回答是有的，今天将给大家一个满意的回答．二、师生互动，探究新知【教师活动】请同学们自学教材P32～P33内容．回答下列问题：1．计算(a＋b)2＝________2．这个公式的左边和右边各有什么特点？用文字叙述．3．你会用(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2计算(a－b)2吗？4．你会结合P33图形验证吗？【学生活动】学生小组内合作、交流、并汇报探究结果，回答上述问题．【教师活动】在学生发言的基础上归纳：两个乘法公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a－b)2＝a2－2ab＋b2文字叙述：两数和(或差)的平方，等于这两数的平方，加上(减去)这两数的积的2倍．口诀“首平方，尾平方，二倍乘积中间放．”三、随堂练习，巩固新知计算：(1)(x－3y)2；(2)(－a＋2b)2.【答案】(1)(x－3y)2＝x2－2x·3y＋9y2＝x2－6xy＋9y2.(2)(－a＋2b)2＝(2b－a)2＝(2b)2－2(2b)·a＋a2＝4b2－4ab＋a2.四、典例精析，拓展新知【例】已知x＋y＝4，xy＝2，求(1)x2＋y2；(2)3x2－xy＋3y2；(3)x－y.【分析】(1)x2＋y2＝(x＋y)2－2xy；(2)3x2－xy＋3y2＝3(x＋y)2－7xy；(3)(x－y)2＝(x＋y)2－4xy.【答案】(1)12；(2)34；(3)x－y＝±8.【教学说明】x＋y、xy、x2＋y2是一组典型对称式，注意指导学生灵活进行公式变形．(x＋y)2＝(x－y)2＋4xy五、运用新知，深化理解1．已知：x2＋y2＝6，xy＝5.求x＋y；2．已知a、b满足，(a＋b)2＝1，(a－b)2＝25，试求a2＋b2＋ab 的值．【答案】1．x＋y＝±4；2.a2＋b2＋ab＝7【教学说明】本题是结合典例精析中公式变形后的变式训练，对公式变形不熟练学生给予有效指导．六、师生互动、课堂小结这节课你学到了什么？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上教师归纳总结．1．这两个公式是多项式乘法的特殊情况，熟记它们的特点．2．公式中字母可以是数也可以是单项式或多项式．3．在解决具体问题时，要先考查题目是否符合公式条件，若不符合，需要先进行变形，使变形后的式子符合公式的条件，然后再应用公式计算．4．要特别注意一些易出现的错误，如：(a±b)2＝a2±b2.【教学反思】本节课在初中数学中占有重要地位，特别是公式应完全掌握，教学时为防止类比平方差公式，出现(a＋b)2＝a2＋b2的错误，教师给出了口诀，相信同学们都能掌握该公式的结构特征．教材中将两数和的平方与两数差的平方分开推导，本节课考虑到换元思想将两数和与两数差的平方用两数和来推导，进一步体现转化思想，也加深了对两数和的平方公式的理解．本节课中的公式恒等变形较灵活，逻辑性较强，对学困生以更多指导与关心．。
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两数和（差）的平方
(1)（2x+1）(2x+1) （2）(a b)2
(3) a 22
(4)(2a 3b)2
方法1:
a b2 a ba b
a2 ab ab b2
a2 2ab b2
a b a b 方法2 a2 b2
(a b)2 a2 -2ab + b2
完全平方公式有怎样的结构特征呢？ 你能用语言叙述这两个公式吗？
这两个公式我们又称为完全平方公式
式子
首项
尾项 结果的中间项
结果
符号 系数 完全平方式
(x+2y)2
(2a-5) 2 (-2s+t)2 (-3x-4y)2
(a b)2 a2 +2ab + b2
(a b)2 a2 -2ab + b2
首平方，尾平方，首尾乘积的2倍中间放.
(4x +5y)2 (2x - 3)2
(-3b +2c)2
(-2b-5)2
［（a+b）+c] 2
（1）判断：
① b 4c2 b2 16c2
（ ×）
② x 2 yz2 x2 4xyz 4 y2z（2 ×）
这个公式我们称为两数和的平方公式
(a b)2
a b2
b ab b²
a a² ab
(a-b)²
ab
(a b)2 a 2ab ab b2
a2 2ab b2
计算下列各题
(a b)2
解：
a
1 2 2
=
a2-2
a
b
+
b2
（－2m＋n）2
(a b)2 a2 +2ab + b2
③4m n2 16m2 4mn n2（×）
④ 2a b2 4a2 4ab b2 （ ×）
小结与质疑：
本节课我们共同学习了哪些内容？
首平方，尾平方，首尾乘积的2倍中间放.
注意：1、在解题过程中要准确确定 a和b
2、做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2。 3、第一(二)数是乘积平方时要注意 添括号
2 2与
2
a2
(a b)2
ab
b2
a a 2 ab
b ab b2
(a b)2 a2 +2ab + b2
计算下列各题
(a这个b公)式2 我们a称2为+两2数a和b的平+方b公2式
解：
2a
3b
2=
x 32
- 2x 32
(a b)2 a2 +2ab + b2