八年级数学下册 分式及其基本性质(第1课时)教案华东师大版

分式及其基本性质(1)

知识技能目标

1.使学生理解分式的概念，能正确判断一个代数式是否为分式，分清分式和整式的区别，了解有理式的概念；

2.理解并掌握判断一个分式有意义、无意义及值为零的方法；

3.使学生理解分式的基本性质．通过对比分数和分式基本性质的异同点，渗透类比的思想方法，学会用运动、变化的观点分析问题．

过程性目标

1.让学生在判断和识别整式与分式的实践过程中，理解并掌握分式的概念．

2.让学生体会从分数变化到分式的运动过程，从中感悟类比的思想方法．

情感态度目标

通过学生比较熟悉的分数入手进行教学，降低教学难度，提高学生的学习兴趣，培养学生类比与比较的思维能力．

重点和难点

重点：分式的概念．

难点：一个代数式不是不分式的判断．

教学过程

一、创设情境

做一做

(1)面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为米；

(2)面积为S平方米的长方形一边长a米，则它的另一边长为米；

(3)已知正方形的周长是a cm，则一边的长是____cm，面积是____cm2；

(4)一箱苹果售价p元，总重m千克，箱重n千克．则每千克苹果的售价是元．

想一想

两个数相除，不能整除时结果可用分数表示．当两个整式不能整除时，它们的商怎样表示呢？

二、探究归纳

1.分式的概念

问在上面所列出的代数式中，哪些是整式？哪些不是？

同于前面学过的整式，是两个分母含有字母的代数式．在实际应用中，某些数量关系只用整式来表示是不够的，我们需要学习新的式子，以满足解决实际问题的需求．我们称这两个代数式为分式．

其中A叫做分式的分子(numerator)，B叫做分式的分母(denominator)．

从分式的意义中，应注意以下三点：

(1)分式是两个整式相除的商，分数线可以理解为除号，并含有括号的作用；

(2)分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分母必须含有字母；

(3)分式分母的值不能为零．如果分母的值为零，那么分式就无意义．

整式和分式统称为有理式(rational expression)，即

分式是有理式的一部分．在有理式中可以包含加、减、乘、除四种运算，

但在整式中除式不能含有字母．

例1 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？

解属于整式的有：(2)、(4)；属于分式的有：(1)、(3)．

想一想识别一个有理式是分式还是整式的关键是什么？

关键是观察分母是否含有字母．如果分母不含字母，就是整式；如果分母含有字母，就是分式，与分子是否含字母无关．

2.分式的基本性质

回忆分数的基本性质是什么？

分数的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变．

分式和分数也有类似的性质．

分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．

想一想分数的基本性质与分式的基本性质有什么区别？

在分数的基本性质中，分子与分母是都乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数

的值不变，这个“数”是一个具体的、唯一确定的值；而在分式的基本性质中，分式的

分子与分母则是都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，“整式”的

值是随整式中字母的取值不同而变化的，所以它的值是变化的．

从分数到分式是把“数”引伸到“式”．分数是分式的特殊情形，即当分式的分子和分母均为数，并且分母是不等于零的数，就成为分数．

三、实践应用

例2当x取什么值时，下列分式有意义？

分析分式有意义的条件是分母的值不能等于零，从此条件出发可以考虑分式何时无意义，从而确定x的值．

解(1)当分式的分母x-2＝0时，这个分式无意义，

(2)分式的分母4x＋1＝0时，这个分式无意义，

例4 下列等式的右边是怎样从左边得到的？

问请同学观察(1)和(2)，等式从左边到右边，分式的分子与分母都经过了怎样的变换？变换后，为什么分式的值不变？

答等式(1)的左边分式的分子与分母都乘以不等于零的整式c而得到右边的分式．

等式(2)的左边分式的分子与分母都除以不等零的整式x而得到右边的分式．

变换后分式的值不变，这是依据分式的基本性质，即分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．

注题中所给出的分式，它的分母的值不能等于零，这是隐含条件．

试一试

填空：

例5 如果把下列分式中x、y的值均扩大为原来的2倍，分式的值如何变化？

分析把x、y变为2x、2y，分别代入原分式计算后再观察变化．

四、交流反思

有理式是分式还是整式的关键是观察分母是否含有字母．如果分母不含字母，就是整式；如果分母含有字母，就是分式，与分子是否含字母无关．

2.因为分式中的分子与分母都是整式，整式的值是随着式中字母取值的不同而变化，要

使分式的值为零，必须使分子的值为零而分母的值不为零．

3.在分式的基本性质中，要注意其中的“都”、“同”和“不”等关键词语．“都”是

指分式的分子与分母共同乘以（或除以）一个不等于零的整式；“同”是指分式的分子

与分母乘以（或除以）的整式必须相同；“不”是指分式的分子与分母乘以（或除以）

的整式的值不能等于零．分式的基本性质是分式变形和运算的理论依据．

五、检测反馈

1.指出下列有理式中，哪些是整式，哪些是分式？

2.当x取什么数时，下列分式有意义？

3.在下列各分式中，当x等于什么数时，分式的值是零？当x等于什么数时，分式没有意义？

4.填空：

(1)若某梨园m平方米产梨n千克,则平均每平方米产梨千克；

(2)m千克盐溶于n千克水,所得盐水的含盐量是（用分式表示）；

(3)若工厂原计划a天完成b件产品，若现在需要提前x天完成，则现要每天要比原来多生产产品件；

(4)一货车送货上山，上山的速度为x千米/时，下山的速度为y千米/时，则该货车的平均速度是千米/时（用分式表示）．

5.把下列各有理式分别填入相应的圈内：