2014年高考全国2卷理科数学试题(含解析)

由一个底面半径为 3cm，高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比
值为（
）
A. 17 B. 5 C. 10 D. 1
27
9
27
3
7．设曲线 y=ax-ln(x+1) 在点 (0,0) 处的切线方程为 y=2x ，则 a= （ ） A.0 B.1 C.2 D.3
8．设 F 为抛物线 C: y 2 3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两点， O 为坐标原点，
解得 | OM | 2 ，因为点 M（ x0 ,1 ），所以 |OM | x02 1 2 ，解得 1 x0 1 ，故 x0
则 △OAB的面积为（ ）
A. 3 3 B. 4
9 3 C. 63 D. 9
8
32
4
9．直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠ BCA=90°， M，N 分别是 A1B1， A1C1 的中点， BC=CA=C1C，
则 BM与 AN所成的角的余弦值为（
）
A. 1
B.
2
C.
10
5
30
D.
2
10
2
10．设函数 f x
熟练基础知识与
3． B
【解析】由面积公式得： 1 2
当 B 45o 时，
1 2 sin B ，解得 sin B
2
2 ，所以 B
45o 或 B
135o ，
2
由余弦定理得： AC2 1 2 2 2 cos45o =1，所以 AC 1，又因为 AB=1，BC= 2 ，所以
此时 ABC 为等腰直角三角形，不合题意，舍去；
n
ti t yi y
b
i1 n
， a? y b?t
2
ti t
i1
18．设 F1 , F2 分别是椭圆
x2 a2
y2 b2 1 a b 0 的左右焦点， M是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直，直
线 MF1 与 C的另一个交点为 N.
（ 1）若直线
MN的斜率为
3 4
，求
C 的离心率；
（ 2）若直线 MN在 y 轴上的截距为 2，且 MN 5 F1N ，求 a,b.
（ 1）证明： PB∥平面 AEC；
（ 2）设二面角 D-AE-C 为 60°， AP=1， AD= 3 ，求三棱锥 E-ACD的体积 .
C. , 2 2,
D.
, 1 1,
第 II 卷（非选择题）
请点击修改第 II 卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题（题型注释）
17．某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y（单位：千元）的数据如下表：
所以 B 135 o ，由余弦定理得：
AC2 1 2 2 2 cos135o=5，所以 AC 5 ，故选 B.
考点：本小题主要考查余弦定理及三角形的面积公式，考查解三角形的基础知识
.
4． A
【解析】设 A=“某一天的空气质量为优良” ， B=“随后一天的空气质量为优良”
，则
P( A B) 0.6
P( B | A)
11． 1 2
【解析】 因为 Tr 1 C1r0 x10 r a r ，所以令 10 r 7 ，解得 r 3，所以 T4 C130 x7 a 3 =15 x 7 ，
解得 a
1
.
2
考点：本小题主要考查二项式定理的通项公式，求特定项的系数，题目难度不大，属于中低 档.
12． 1
【 解 析 】 由 题 意 知 ： f x sin x 2 2sin cos x
A.5 B.
5
C.2
D.1
4．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是
0.75 ，连续两天为优良的概率是
0.6 ，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（
）
A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45
5．如图，网格纸上正方形小格的边长为
1（表示 1cm） , 图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件
11． x
10
a 的展开式中，
x7 的系数为 15，则 a=________.( 用数字填写答案 )
年份 年份代号 t
2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
1
2
3
4
5
6
7
12． 函数 f x sin x 2 2sin cos x 的最大值为 _________.
13 ． 已 知 偶 函 数 f x 在 0,
x 3y 1 0 与 x y 7 0 的交点 A（5， 2）时，取得最大值 8，故选 B.
考点： 本小题主要考查在约束条件下的简单的目标函数的最值问题， 解答这类问题的关键 .
8． D
正确画图与平移直线是
【解析】由题意可知：直线
AB 的方程为 y
3 ( x 3) ，代入抛物线的方程可得：
3
4
4 y2 12 3y 9 0 ， 设 A ( x1, y1 ) 、 B (x2, y2) ， 则 所 求 三 角 形 的 面 积 为
即
,k
z ，所以 x0
k
1 ,k
z 即 | x0 | | k
11
m
| ，所以 | x0 | | | ，
2
m
2
m
22
2
x02 [ f (x0)] 2
m2 4
3，而已知 x02
解得 m 2 或 m 2 ，故选 C.
2
f x0
m2 ，所以 m2
m2 4
3m2
3，故
4
3，
考点：本小题主要考查利用导数研究的极值，考查三角函数，考查一元二次不等式的解法， 考查分析问题与解决问题的能力 .
V2 16 18 34 ，所以削掉部分的体积与原体积之比为
54 34 54
10
，故选 C.
27
考点：本小题主要考查立体几何中的三视图，考查同学们的空间想象能力
.
6． D
【解析】 由题意知： 当 k 1 时， M 2 ，S 5；当 k 2 时， M 2 ，S 7 ；当 k 3时，
输出 S=7，故选 D。
19．已知函数 f x = ex e x 2x .
（ 1）讨论 f x 的单调性；
（1）求 C的参数方程；
（2）设点 D 在 C 上， C 在 D 处的切线与直线 l : y
确定 D 的坐标 .
3x 2 垂直，根据（ 1）中你得到的参数方程，
22．设函数 f x = x 1 x a (a 0) a
（1）证明： f x ≥ 2；
0.8 ，故选 A.
P( A) 0.75
考点：本小题主要考查条件概率的求法，熟练概率的基础知识是解答好本类题目的关键
.
5． C
【解析】因为加工前的零件半径为 3，高为 6，所以体积 V1 54 ，又因为加工后的零件，
左半部为小圆柱，半径为
2 ，高 4 ，右半部为大圆柱，半径为
3 ，高为 2 ，所以体积
绝密★启用前
2014 年高考全国 2 卷理科数学试题（含解析）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上 请点击修改第 I 卷的文字说明
第 I 卷（选择题）
评卷人
得分
一、选择题（题型注释）
6．执行右图程序框图，如果输入的 x,t 均为 2，则输出的 S= （ ） A.4 B.5 C.6 D.7
（ 2）利用（ 1）中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况， 并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入 .
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
评卷人
得分
三、解答题（题型注释）
15．已知数列 an 满足 a1=1， an 1 3an 1 .
1．设复数 z1 ， z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称， z1 2 i ，则 z1z2 （ ）
A.- 5 B.5
C.- 4+ i
D.- 4 - i
2．设向量 a,b 满足 |a+b|= 10 ， |a-b|= 6 ，则 a b = ( )
A.1 B.2 C.3
D.5
3．钝角三角形 ABC的面积是 1 ， AB=1， BC= 2 ，则 AC=( ) 2
=
sin[ x ] 2sin cos x
= sin cos x sin cos x
cos sin x
2sin cos x
= cos sin x
= sin[ x
] = sin x ，即 f (x) sin x ，因为 x R ，所以 f ( x) 的最大值为 1.
考点： 本小题主要考查两角和与差的三角函数、 本类题目的关键 .
三角函数的最值的求解， 熟练公式是解答好
13． ( 1,3)
【解析】 因为 f ( x) 是偶函数， 所以不等式 f ( x 1) 0 f (| x 1|) f (2) ，又因为 f ( x) 在 [0, ) 上单调递减，所以 | x 1| 2 ，解得 1 x 3 .
考点： 本小题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性， 识是关键 .
22
( 1 ,0,1) ， 2
考点： 本小题主要考查利用空间向量求线线角， 考查空间向量的基本运算， 考查空间想象能
力等数学基本能力，考查分析问题与解决问题的能力
.
10． C
【 解 析】 由题 意知： f x 的极值 为
f ' (x0)
3 cos x0 0 ，
m
m
2
3 ， 所 以 f x0
3，因为
所以 x0 k m
（2）若 f 3 5 ，求 a 的取值范围 .
（ 2）设 g x f 2x 4bf x ，当 x 0 时， g x 0 , 求 b 的最大值；
（ 3）已知 1.4142 2 1.4143，估计 ln2 的近似值（精确到 0.001 ）
20．如图， P 是 e O外一点， PA是切线， A 为切点，割线 PBC与 e O相交于点 B，C， PC=2PA， D 为 PC 的中点， AD的延长线交 e O于点 E。
13 24
( y1 y2 ) 4 y1 y2 = 9 ，故选 D. 4
考点： 本小题主要考查直线与抛物线的位置关系， 学们分析问题与解决问题的能力 .
考查两点间距离公式等基础知识， 考查同
9． C
【解析】以 C 为原点，直线 CA为 x 轴，直线 CB为 y 轴，直线 CC1 为 z 轴，则设 CA=CB=，1
考点：本小题主要考查程序框图的基础知识，程序框图是新课标新增内容，是高考的重点， 年年必考，主要以客观题的形式出现，经常也数列、不等式、函数等知识相结合，在知识的 交汇处出题，应熟练这部分的基础知识 .
7． B
【解析】画出不等式组表示的平面区域 经过两条直线
, 可知区域为三角形，平移直线 z 2x y ，可知当
证明：（1） BE=EC；
（ 2） AD DE=2PB2
21．在直角坐标系 xoy 中，以坐标原点为极点， x 轴为极轴建立极坐标系，半圆
2cos ，
C 的极坐标方程为
0, . 2
1． A
参考答案
【解析】由题意知： z2 2 i ，所以 z1z2 -5 ，故选 A。
考点：本小题主要考查复数的乘法，复数的几何意义，复数是高考的重点，年年必考，常常 以选择或填空题的形式出现，难度不大，熟练基础知识是关键。
是（ ）
3sin
x m
.
若存在
f
x 的极值点 x0 满足 x0 2
f x0 2 m2 ，则 m的取值范围
A. , 6 6,
B.
, 4 4,
（ 1）证明 an
1 2
是等比数列，并求
an 的通项公式；
（ 2）证明： 1 a1
1 a2
…
+
1 an
3 2
.
16．如图，四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD为矩形， PA⊥平面 ABCD， E 为 PD的中点 .
则
B(0,1,0)
，M
(
1
,
1 ,1)
，A（ 1，0，0），N (
1
,0,1)
，故
uuuur BM
(1 ,
1
,1)
uuur ，AN
22
2
22
uuuur uuur 所以 cos BM , AN
uuuur uuur
uuBuMur AuNuur | BM | | AN |
3 4 65
30 ，故选 C. 10
2． A
r ur 2 r r 【 解 析 】 因 为 | a b | ( a b)2
r2 r2 r r
r ur 2 r r
a b 2a b =10 ， | a b | (a b) 2
r2 r2 r r
r2Hale Waihona Puke Baidur2
rr
a b 2a b 6 ，两式相加得： a b 8 ，所以 a b 1，故选 A.
考点： 本小题主要考查平面向量的模、 平面向量的数量积等平面向量知识， 基本题型是解答好本类题目的关键。
__________.
单调递减， f 2 0 . 若 f x 1 0，则 x的取值范围是
14．设点 M（ x0,1 ），若在圆 O: x2 y2 1上存在点 N，使得∠ OMN=4°5 ，则 x0 的取值范围是 ________.
人均纯收入 y 2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
（ 1）求 y 关于 t 的线性回归方程；
考查绝对值不等式的解法， 熟练基础知
14． [ 1,1]
【解析】由题意知：直线 即可，如图，
MN与圆 O 有公共点即可，即圆心 O 到直线 MN的距离小于等于 1
过 OA⊥ MN， 垂 足 为 A， 在 Rt OMA 中 ， 因 为 ∠ OMN=45， 所 以 | OA | | OM | sin 45o = 2 | OM | 1， 2