4.4电磁感应中的双杆问题分类例析(1)

3. “双杆”中两杆在等宽导轨上做同方向上的加速运动。 “双杆”中的一杆在外力作用下做加速运动，另一杆在安培力作用下做加速运动，最终两杆以同 样加速度做匀加速直线运动。
4．“双杆”在不等宽导轨上同向运动。 “双杆”在不等宽导轨上同向运动时，两杆所受的安培力不等大反向，所以不能利用动量守
恒定律解题。 【例 5】如图所示，间距为 l、电阻不计的两根平行金属导轨 MN 、 PQ（足够长）被固定在同一 水平面内，质量均为 m、电阻均为 R 的两根相同导体棒 a、 b 垂直于导轨放在导轨上，一根轻绳 绕过定滑轮后沿两金属导轨的中线与 a 棒连接， 其下端悬挂一个质量为 M 的物体 C，整个装置放 在方向竖直向上、磁感应强度大小为 B 的匀强磁场中。开始时使 a、b、C 都处于静止状态，现释 放 C，经过时间 t， C 的速度为 1 、 b 的速度为 2 。不计一切摩擦，两棒始终与导轨接触良好， 重力加速度为 g，求： （ 1） t 时刻 C 的加速度值； （ 2）t 时刻 a、b 与导轨所组成的闭合回路消耗的 总电功率。 解析：（1）根据法拉第电磁感应定律， t 时刻回路
由以上各式得
P
m2 g[v0
mg g B2l 2 ( R1 R2 )]
⑤
源自文库
【例 5】如图所示， 在倾角为 300 的斜面上， 固定两条无限长的平行光
滑导轨，一个匀强磁场垂直于斜面向上，磁感强度
B＝ 0.4T ，导轨间
B av
距 L＝ 0.5m。两根金属棒 ab、 cd 平行地放在导轨上，金属棒质量 mab ＝ 0.1kg ，mcd＝ 0.2kg ，两金属棒总电阻 r ＝ 0.2 Ω，导轨电阻不计。现 使金属棒 ab 以 v＝ 1.5m/s 的速度沿斜面向上匀速运动，求（ 1）金属 棒 cd 的最大速度； （2）在 cd 有最大速度时，作用在金属棒 ab 上的
沿轨道向下，若为负值则表示方向向上。 （ 2）对第（ 2）问的求解方法比较多。选研究对象时，
可以用“整体法” ，也可以用隔离法。求功率时，可以根据定义
P＝Fv 计算，也可以根据能的转
化和守恒定律求解。
【例 6】如图 4 所示，金属棒 a 跨接在两金属轨道间，从高 h 处以速度 v 0 沿光滑弧形平行金属轨
3/4 时， cd 棒的速度为 v1，则由动量守恒可知：
mv0 m 3 v0 mv1 4
此时回路中的感应电动势和感应电流分别为：
E ( 3 v0 v1) BL ， I E
4
2R
此时 cd 棒所受的安培力： F IBL
，所以 cd 棒的加速度为 a F m
由以上各式，可得
a
B 2L2v0
。
4mR
【例 3】两根相距 d=0.20m 的平行金属长导轨固定在同一水平面
△ S＝[(x 一ν 2△ t)+ ν1△ t] l — lχ ＝ (ν 1-ν 2) △ t
由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势
E＝ B△ S/△ t＝ B ι (νl 一 ν 2)
回路中的电流
i ＝ E／ 2 R
杆甲的运动方程
F— B li ＝ ma
由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等、方向相反，所以两杆的动量
2 克服摩擦力做功的功率。
解法 1： 设杆 2 的运动速度为 v，由于两杆运动时，两杆间和导轨构成的回路中的磁通量发生变
化，产生感应电动势 E Bl (v0 v)
①
感应电流 I
E
②
R1 R2
杆 2 作匀速运动，它受到的安培力等于它受到的
摩擦力， BlI
m2 g ③
导体杆 2 克服摩擦力做功的功率
P m2 gv ④
P I Ea
⑥
联立①②⑤⑥解得
P BIl 1 B 2l 2( 1
2) 1
2R
解法三：闭合回路消耗的热功率为
b 棒的机械功率为 P机
P热
E2 2R
B 2 l 2(v1 v2 ) 2 2R
BIl v2
22
B l (v1 v2 )v2 2R
故闭合回路消耗的总电功率为
P P热 P机
B 2l 2 ( 1 2 ) 1 2R
（ 1）求作用于每条金属细杆的拉力的大小 .
（ 2）求两金属细杆在间距增加 0.40m 的滑动过程中共产生的热量 .
解析：（ 1）当两金属杆都以速度 v 匀速滑动时，每条金属杆中产生的感应电动势分别为：
E1=E 2= Bdv
由闭合电路的欧姆定律，回路中的电流强度大小为：
I E1 E2 2r
因拉力与安培力平衡，作用于每根金属杆的拉力的大小为
电磁感应中的双杆问题分类例析
“双杆”类问题是电磁感应中常见的题型，也是电磁感应中的一个难道，下面对“双杆”类 问题进行分类例析
1、“双杆” 在等宽导轨上向相反方向做匀速运动 当两杆分别向相反方向运动时，相当于两个电池正向串联。
2.“双杆” 在等宽导轨上同向运动，但一杆加速另一杆减速 当两杆分别沿相同方向运动时，相当于两个电池反向串联。
本题综合了法拉第电磁感应定律、安培力、左手定则、牛顿第二定律、动量定理、全电路欧 姆定律等知识，考查考生多角度、全方位综合分析问题的能力．
解析： 设任一时刻 t，两金属杆甲、乙之间的距离为 x，速度分别为 vl 和 v2，经过很短的时 间△ t，杆甲移动距离 v1△ t，杆乙移动距离 v2△t ，回路面积改变
为
电
动
b 棒动能的增加量
机
【例 1】两根平行的金属导轨， 固定在同一水平面上， 磁感强度 B ＝ 0.05T 的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计．导轨 间的距离 l＝ 0.20 m ．两根质量均为 m＝ 0.10 kg 的平行金属杆甲、乙可 在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电 阻为 R＝0.50Ω ．在 t＝ 0 时刻，两杆都处于静止状态．现有一与导轨平 行、大小为 0.20 N 的恒力 F 作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑 动．经过 t＝ 5.0s，金属杆甲的加速度为 a＝ 1.37 m／ s，问此时两金属杆的速度各为多少 ?
0) 等于外力 F 的冲量．
Ft＝ mν l＋ mν 2
(t ＝ 0 时为
联立以上各式解得 ν 1＝ [Ft/m ＋ 2R(F 一 ma)／ B2l 2]／ 2
ν 2＝ [Ft ／ m 一 2R(F 一 ma)／ B2l2 ]／ 2
代入数据得移 ν l＝ 8.15 m／s，v2＝ 1.85 m／ s 【例 2】两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两 导轨间的距离为 L 。导轨上面横放着两根导体棒 ab 和 cd，构成矩形
棒速度达到相同后，回路面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，两棒以相同的速度
v
作匀速运动．
（ 1）从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒总动量守恒，有
mv0 2mv
根 据能
量守恒，整个过程中产生的总热量 Q
（ 2）设 ab 棒的速度变为初速度的
1
mv
2 0
2
1 (2m)v 2 2
1 mv02 4
内，并处于竖直方向的匀强磁场中， 磁场的磁感应强度 B=0.2T，
v
v
导轨上面横放着两条金属细杆，构成矩形回路，每条金属细杆
的电阻为 r=0.25 Ω ，回路中其余部分的电阻可不计 .已知两金属
细杆在平行于导轨的拉力的作用下沿导轨朝相反方向匀速平移，速度大小都是
v=5.0m/s ，如图所
示 .不计导轨上的摩擦 .
MN 、PQ，导轨间距离为 l ，匀强磁场垂直于导
B，两根金属杆 1、 2 摆在导轨上，与导轨垂
直，它们的质量和电阻分别为 m1、 m2 和 R1、R2，两杆与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数
为 ，已知：杆 1 被外力拖动，以恒定的速度 v0 沿导轨运动；达到稳定状态时，杆 2 也以恒定速
度沿导轨运动，导轨的电阻可忽略，求此时杆
（ 2）当 ab 棒的速度变为初速度的 3/4 时， cd 棒的加速度是多少？
解析： ab 棒向 cd 棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量发生变化，于是产生
感应电流． ab 棒受到与运动方向相反的安培力作用作减速运动，
cd 棒则在安培力作用下作加速
运动．在 ab 棒的速度大于 cd 棒的速度时， 回路总有感应电流， ab 棒继续减速， cd 棒继续加速． 两
道下滑， 进入轨道的光滑水平部分之后， 在自下向上的匀强磁场中运动， 磁场的磁感应强度为 B.
在轨道的水平部分另有一个跨接在两轨道间的金属棒
b，在 a 棒从高处滑下前 b 棒处于静
(1 ） a 棒进入磁场后做什么运动？ b 棒做什么运动？
（ 2）a 棒刚进入磁场时， a、 b 两棒加速度之比 . ？
回路的电能，而闭合回路电能的一部分以焦耳热的形式消耗掉，另一部分则转化为
b 棒的动能，
所以， t 时刻闭合回路的电功率等于 a 棒克服安培力做功的功率，即
P BIl 1 B 2l 2( 1
2) 1
2R
解法二： a 棒可等效为发电机， b 棒可等效为电动机
a 棒的感应电动势为
Ea B l1v
⑤
闭合回路消耗的总电功率为
(3 ）如果两棒始终没有相碰， a 和 b 的最大速度各多大？
(4 ）在整个全过程中，回路中消耗的电能是多大？
[ 解析 ] 1．a 棒在下滑过程中只有重力做正功，动能增加，做加速运动
. 进入轨道的水平部分后在
磁场中运动，因切割磁感应线产生感应电动势，从而在
a、b 棒与两滑轨组成的闭合回路中产生
感应电流， a 棒由此而受到向左的安培力 Fa 作用，运动受阻而开始减速．由于速度变小，感应电
动势、感应电流及安培力都在减小，所以
a 棒的运动性质是加速度逐渐减小的减速运动．
与此同时， b 棒则受到向右的安培力 FB作用自静止起做加速运动．随上述感应电流的减小，
受到的 FB也会相应减小，所以 b 棒的运动性质是加速度逐渐减小的加速运动．
当 a、 b 两棒速度相等时，回路中磁通量不再变化，因而不再有感应电流产生，
说明：在单位时间 t 内，整个系统的功能关系和能量转化关系如下：
C 物体重力势能的减少量
模
型
C 物体重力做功
a：
棒
可
C 物体克服细绳拉力做功
C 物体动能的增加量
等
效
为
细绳拉力对 a 棒做功
发
电
机
a 棒克服安培力做功
a 棒动能的增加量
b，
棒
闭合回路消耗的总电能
可
等
效
安培力对 b 棒做正功
闭合回路产生的焦耳热
a、 b 棒所受安
培力都变为零， 自此以后， 两棒将以相等的速度——即 b 棒所能达到的最大速度向右做匀速运动．
2．从 a 棒进入磁场后直到做匀速运动以前， a、b 棒都做加速度不断在变化的变速运动 . 由于是在
bB d
回路，如图所示．两根导体棒的质量均为
m，电阻均为 R，回路中 L
其余部分的电阻可不计．在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁
v0
场，磁感应强度为 B．设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行．开始
a
c
时，棒 cd 静止，棒 ab 有指向棒 cd 的初速度 v0．若两导体棒在运动 中始终不接触，求：
（ 1）在运动中产生的焦耳热最多是多少．
F 1=F2=IBd 。
由以上各式并代入数据得
F1
F2
B 2d 2v
2
3.2 10 N
r
（ 2）设两金属杆之间增加的距离为△
L ，则两金属杆共产生的热量为
Q I 2 2r
L
，
2v
代入数据得 Q=1.28× 10-2J.
【例 4】如图，在水平面上有两条平行导电导轨 轨所在的平面（纸面）向里，磁感应强度的大小为
的感应电动势 E
Bl ( 1 2) ① t
回路中感应电流 I E
②
2R
以 a 为研究对象，根据牛顿第二定律
T BIl ma
③
以 C 为研究对象，根据牛顿第二定律
Mg T Ma
④
联立以上各式解得
a 2 MgR B 2l 2( 1 2 ) 2R( M m)
（ 2）解法一：单位时间内，通过 a 棒克服安培力做功，把 C 物体的一部分重力势能转化为闭合
c
300
b
d
300
外力做功的功率。
说明：（1）分析清楚棒的受力情况和运动情况是解决本题的关键。在第（
1）问的分析中，
也可以对 cd 棒的运动方向进行判断， 因为不管 cd 的运动方向如何， 它速度最大时 mcd gsin30 0=I ’lB
式一定成立 。直接解 mcdgsin30 0=I ’lB 、 ε ＝ Blv ＋ Blv m、 I ’＝ε /r 式，若 v m为正值则表示方向
解得 P
m2 g[ v0
m2 g B2l 2
(
R1
R2 )]
⑤
解法 2：以 F 表示拖动杆 1 的外力，以 I 表示由杆
定时，对杆 1 有 F m1 g B I l 0
①
对杆 2 有 B I l m2 g 0
②
1、杆 2 和导轨构成的回路中的电流，达到稳
外力 F 的功率 PF Fv 0
③
以 P 表示杆 2 克服摩擦力做功的功率，则有 P PF I 2 ( R1 R2 ) m1gv 0 ④