格与布尔代数试题

离散数学答案第十章格和布尔代数

第十章格和布尔代数习题10.1 1．解 ⑴不是，因为L 中的元素对{2,3}没有最小上界；⑵是，因为L=｛1,2,3,4,6,9,12,18,36｝任何一对元素a ,b ，都有最小上界和最大下界；⑶是，与⑵同理；⑷不是，因为L 中的元素对{6,7}没有最小上界不存在最小上界。

2．证明 ⑴因为，a ≤b,所以，a ∨b=b ；又因为，b ≤c,所以，b ∧c=b 。

故a ∨b=b ∧c ；⑵因为，a ≤b ≤c,所以，a ∧b=a,b ∧c=b,而a ∨b=b ，因此，(a ∧b )∨(b ∧c )=b ；又a ∨b=b,b ∨c=c,而b ∧c=b, 因此，(a ∨b )∧(b ∨c )=b 。

即(a ∧b)∨(b ∧c)=(a ∨b)∧(b ∨c)。

习题10.21．解由图1知：＜S 1,≤＞不是＜L,≤＞的子格，这是因为，e ∨f=g ∉S 1;＜S 2,≤＞不是＜L,≤＞的子格， ∵e ∧f=c ∉S 2;＜S 3,≤＞是＜L,≤＞的子格.2．解 S 24的包含5个元素的子格有如下的8个：S 1={1,3,6,12,24}, S 2={1,2,6,12,24}, S 3={1,2,4,12,24}, S 4={1,2,4,8,24},S 5={1,2,3,6,12}, S 6={1,2,4,6,12}, S 7={2,4,6,12,24}, S 7={2,4,8,12,24}.3．证明因为，一条线上的任何两个元素都有（偏序）关系，所以，都有最大下界和最小上界，故它是格，又因为它是<L ，∨,∧>的子集，即是<L ，∨,∧>的子代数，故是子格。

4．证明由(10-4)有，a ∧b ≤a ,由已知a ≤c ,由偏序关系的传递性有，a ∧b ≤c ；同理 a ∧b ≤d 。

由(10-5)和以上两式有，a ∧b ≤c ∧d .5．证明因为由(10-4)有，a ∧b ≤a ，因此，(a ∧b )∨(c ∧d )≤a ∨(c ∧d ) ①由分配不等式有，a ∨(c ∧d )≤(a ∨c )∧(a ∨d ) ②再由由(10-4)有，(a ∨c )∧(a ∨d ) ≤a ∨c ③由偏序关系的传递性和①②③则有，(a ∧b )∨(c ∧d )≤a ∨c同理 (a ∧b )∨(c ∧d )≤b ∨d因此有， (a ∧b )∨(c ∧d )≤(a ∨c ) ∧(b ∨d )。

离散数学第6章格与布尔代数

设c是a∧b 的任一下界，即c ≤ a,c ≤ b 则 c∧a=c, c∧b=c c∧(a∧b)=(c∧a)∧b=c∧b=c ∴c ≤ a∧b 故 a∧b是a和b的最大下界
6-1 格的概念
5）下面证明 a∧b=aa∨b=b 若a∧b=a 则 a∨b=(a∧b)∨b=b 反之，若a∨b=b 则 a∧b=a∧(a∨b)=a
b用a∨b代替(∵两式中b是相互独立的) ∴a∨(a∧(a∨b))=a 即 a∨a=a. (2)格的等价定理：〈A，∨，∧〉代数系统，∨.∧满足交换性，结合性，吸收性，则A上存在偏序关系≤，使〈A，≤〉是一个格
从格可引出代数系统〈A，∨，∧〉；而从满足三个条件的〈A，∨，∧〉也可导出格〈A，≤〉证明见书：（格中⑻⑼⑾三个性质很重要，决定了格）
(11) 要证 a≤a∨(a∧b) 第一式显然成立
a∨(a∧b)≤a
a≤a
a∧b≤a
∴a∨(a∧b) ≤a
∴a=a∨(a∧b)
6-1 格的概念
6、格的等价原理：格〈A，≤〉 (1)引理6-1.1：〈A，∨，∧〉代数系统，若∨, ∧满足吸收性，
则∨, ∧满足幂等性证：a,b∈A. a∨(a∧b)=a a∧(a∨b)=a.
第六章格与布尔代数
格论是近代数学的一个重要分支，由它所引出的布尔代数在计算机科学中有很多直接应用。
格的概念分配格有补格布尔代数布尔表达式
6-1 格的概念
1、回忆偏序集〈A，≤〉，≤偏序关系：满足自反性，反对称性，传递性。有限集合上的偏序集可用哈斯图来表示：
COV (A) {a,c, b,c, c, d, d,e, d, f }
∧也易求得 ∴ A，∨，∧〉是格〈A，|〉诱导的代数系统
6-1 格的概念

山东大学离散数学题库及答案(计本)

《离散数学》题库答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )(1)⌝Q=>Q →P (2)⌝Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)⌝P ∧(P ∨Q)=>⌝P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？( )(1)(┐P ∧Q)→(Q →⌝R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )(1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q(4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ⌝(P →Q)=>P (6) ⌝P ∧(P ∨Q)=>⌝P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式∀x((A(x)→B(y ，x))∧ ∃z C(y ，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。

答：x,y, x,z5、判断下列语句是不是命题。

若是，给出命题的真值。

( )(1) 北京是中华人民共和国的首都。

(2) 陕西师大是一座工厂。

(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。

(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是()。

答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P ：我生病，Q ：我去学校，则下列命题可符号化为( )。

(1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1） P Q →⌝ （2） Q P ⌝→ （3） Q P ⌝↔ （4）Q P →⌝8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。

(1) ∀x ∃y(x+y=0) (2) ∃y ∀x(x+y=0)答：（1）对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0（2）存在整数y 对任一整数x 满足x+y=09、设全体域D 是正整数集合，确定下列命题的真值：(1) ∀x ∃y (xy=y) ( ) (2) ∃x ∀y(x+y=y) ( )(3) ∃x ∀y(x+y=x) ( ) (4) ∀x ∃y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T10、设谓词P(x)：x 是奇数，Q(x)：x 是偶数，谓词公式 ∃x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?() (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。

09-格与布尔代数-8.2

第三节子布尔代数、积布尔代数、布尔代数同态
定义：给定布尔代数<B, , *, ’ , 0, 1>，≠T B
2015年6月6日星期六
若T对、* 和 ’ 是封闭的，且：0, 1 T
称<T, , *, ’ , 0, 1>是<B, , *, ’ , 0, 1>的子布尔代数显然：<{0, 1}, , *, ’ , 0, 1>和<B, , *, ’ , 0, 1> 都是<B, , *, ’ , 0, 1>的(平凡)子布尔代数
则：<f(B),∨,∧, , f(0), f(1)>是布尔代数（证明参见教材P170 —— 利用布尔代数的定义证明）
布尔代数同态
结论：
2015年6月6日星期六
若 f 是从布尔代数<B, , *, ’ , 0, 1>到格<S,∨,∧>的格同态映射，且f是满射的，
则：<S,∨,∧>是布尔代数
并且可以用基本公式来定义布尔代数
布尔代数的定义从这4个定律，可以推出所有布尔代数的公式
有兴趣的同学可以参阅 R. L. 古德斯坦因著的
对于a, b B ，有定义：设<B, , *, ’ >是一个代数结构，其中：
2015年6月6日星期六
和 * 是B上的二元运算，’ 是B上的一元运算，且 0, 1 B
例9.15：设Bn是由0和1形成的n元组集合，且
2015年6月6日星期六
a = <a1, a2, …, an>，b = <b1, b2, …, bn> 0n = <0, 0, …, 0> ， 1n = <1, 1, …, 1> 对任意 a, b Bn，定义： a b = < a1∨b1, a2∨b2 , …, an∨bn > a * b = < a1∧b1, a2∧b2 , …, an∧bn > a’ = < a1, a2, …, an> < Bn,∨,∧, , F, T>是布尔代数（开关代数）

离散数学第五章格与布尔代数2

离散数学
§2.布尔代数
•布尔代数的定义 •布尔代数的性质 •布尔代数中的宏运算 •有限布尔代数的原子表示 •布尔函数与布尔表达式 •布尔环与布尔代数
2021/5/22
1
离散数学
§2. 布尔代数
定义1.布尔代数(Boolean algebra) 有补的分配格(B,≼, , , , 0, 1) 称为布尔代数。
(S, ,, , , 0, 1) 是布尔代数
这里：S={0,1}，00, 01, 11,其运算表如下：
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3
x
离散数学
x y xy 00 0 01 0 10 0
11 1
xy 0 1 1
1
xx
01 10
表2
通过变元代换，显见表2与表1是完全相同的。即，令
h:S 2X , h (0)= , h (1)= X (这里：X={a})
16
离散数学
[证].布尔代数中的对偶原理实质上来源于两个二元运算和所具有的结合律、交换律、幂等律、吸收律、分配律的对称性，半序关系≼和其逆关系≽的对称性；最小元0和最大元1的对称性；以及任何元素x与其补元 x的对称性。
注：•布尔代数(B, ≽ , , , ,1 , 0)称为原布尔代数 (B , ≼ , , , , 0 , 1)的对偶布尔代数。实际上，它们互为对偶；
P Q = (P1 Q1, P2 Q2, , Pn Qn)
P = (P1 , P2 , , Pn) 即n元命题代数的序关系、运算、最小元和最大元的定义都归结为一元命题代数(ℙ, ≼ , , , , F, T) 。
仿例5我们易证：
(ℙn, ≼ , , , , F, T)≅ (2X, ,, , , , X ) 这里：X={a1, a2, , an}，即 n元命题代数与n元集合代数是同构的。

(优选)第篇格与布尔代数

第2式证明由对偶原理从上式直接可得。
定理15-1.6 设<A, >是一个格,那么，对于任意的 a,bA, 都有：
ab(a∧b)=a(a∨b)=b
ab(a∧b)证明思路：
(1)先证 ab (a∧b)=a
由ab和a a ，根据定理15-1.2得 a a∧b
又根据a∧b的定义，有
a∧b a
由二元关系的反对称性得：
（优选）第篇格与布尔代数
通常用a∨b 表示{a,b}的上确界,用a∧b 表示{a， b}的下确界,∨和∧分别称为保联(join)和保交(meet) 运算。由于对任何a，b，a∨b及a∧b都是A 中确定的成员，因此 ∨,∧均为A上的运算。
例3 设S={a,b} ， (S) ={, {a},{b},{a,b}} 由格< (S), >诱导的代数系统为< (S),∨,∧> 。其中∨为集合的并运算和∧为集合的交运算。
a∧b = a
(2) 再证 (a∧b)=a ab
设a∧b=a，则a =a∧bb ，这就证明了
(a∧b)=a ab
综合(1)和(2)得： ab(a∧b)
定理15-1.7 设<A, >是一个格,那么，对于任意的
a,b,cA, 都有： aca∨(b∧c) (a∨b)∧c
证明思路： (1)先证 ac a∨(b∧c) (a∨b)∧c 根据定理15-1.6有 ac (a∨c)=c 根据定理15-1.5有a∨(b∧c)(a∨b)∧(a∨c)
可以证明，若<A,>是格，则<A,R>也是格。称R是的逆关系。记为。
格对偶原理可以叙述为：设P是对任意格都真的命题，如果在命题P中把换成，∨换成∧，∧换成∨，就

地六章-格和布尔代数(1)

定义6.7 集合 L 中的偏序关系 R 与其逆关系 R1，称为互相对偶的两个关系。对任意 x, y∈L，xR1y yRx。 6.1.1 节例 6.4 中的关系即为蕴涵关系的逆关系。因此，对任意 P, Q∈S， (P Q) (Q P)
【例6.7】设 n 是一个正整数，Sn 是 n 的所有因数的集合，两个正整数的最大公因数，最小公倍数可看作是 Sn 上两个代数运算，于是，(Sn, , ) 是一个格。
定理6.1 关于格的两种定义（以对应一个代数格；任意一个代数格也都可以对应一个偏序格。
定义中没有要求 , 运算满足等幂律，实际上由 , 满足吸收律即可推出它们一定满足等幂律。任取 L 中元素
a，由 , 满足吸收律知
a(aa)＝a
a(aa)＝a
故
aa＝a(a(aa))
aa＝a(a(aa))
又由 , 满足吸收律知，上面两式的等式右端都等于 a。
因此，
aa＝a
aa＝a
即定义 6.3 中的 , 运算亦满足等幂律。
【例6.4】设 S 是所有的命题集合，定义 “” 关系如下： A B 当且仅当 B 蕴涵 A
则 (S, ) 是一个格。对 A, B∈S， sup{A, B}＝A∧B∈S inf{A, B}＝A∨B∈S
定义6.2 若格 L 的一个子集 M≠Ф 对于运算和封闭，则 M 称作子格。
例如：a 是格 L 的一个固定元素，则使 X≥a(或 X≤a) 的 L 中元素 X 的集合，显然是一个子格。若 a≥b，则使 a≥X≥b 的 L 中元素 X 的集合是一个子格，这样的子格叫作一个闭区间(商)，记作 M(a,b)。
例如，S6＝{1, 2, 3, 6}， S24＝{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}。

6.3格与布尔代数

格的性质(续)
6)、保序性：如果b≤c，那么a∧b≤a∧c a ∨ b≤a∨c 7)、分配不等式: •
a∨(b∧c)≤(a∨b)∧(a∨c); a∧(b∨c)≥(a∧b)∨(a∧c); 8)、模不等式： a≤b a∨(b∧c) ≤b∧(a∨c)
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证明： (a∨b)∨c=a∨(b∨c)
先证： (a∨b)∨c ≤ a∨(b∨c) ∵ a ≤ a∨(b∨c) b ≤ b∨c ≤a∨(b∨c) ∴a∨b≤ a∨(b∨c) 又：c ≤ a∨(b∨c) 从而， (a∨b)∨c ≤ a∨(b∨c) 同理有 a∨(b∨c) ≤(a∨b)∨c ，由偏序的反传递性知，(a∨b)∨c=a∨(b∨c)
5的补元是2和3。
例：在<S24,|> 中
24 12 6 4 2 1 S24 8
最大元为24,最小元为1, 1和24互为补元, 3和8互为补元，
3
2,4,6,12均不存在补元。
例：
1 在如上图有界格中0和1互为补 a b c d 元而 a,b,c,d的补元均有三个，譬如，a的补元是b，c，d。 0 1 a c 0 b 在下图中的有界格中，0和1互为补元，但a,b,c均不存在补元。
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代数格
定义10：设L是一个非空集合，∧，∨是L中的两个二元运算，两个运算还满足a,b,c∈L (1)交换律 (2)结合律 a∧b=b∧a，a∨b=b∨a； (a∧b)∧c= a∧(b∧c)， (a∨b)∨c=a∨ (b∨c); (3)吸收律 a∧(b∨c)= a, a∨(b∧c)= a
例1：
记作(L,≤,1,0)或记(L,∧,0,0,1)
例:(Sn,|)是格,则其是有界格,其中最大元是n,最小元是1,因x∈Sn,1|x,x|n。

离散数学9-格与布尔代数

(2)类似于(1)可证，3)由(1)和(2)得证。
17
定理4: 设<A, ∨, ∧>是格，对任意a, b, cA，有 (1)若a≤b和c≤d，则a∧c≤b∧d，a∨c≤b∨d (2)若a≤b，则a∧c≤b∧c，a∨c≤b∨c
18
证明：(1)如果a≤b，又b≤b∨d, 由传递性得 a≤b∨d, 类似由c≤d， d≤b∨d，由传递性得 c≤b∨d,这说明b∨d是{a, c}的上界，而a∨c是{a, c}的最小上界，所以a∨c≤b∨d。类似可证 a∧c≤b∧d。
则称b是a的补元，记为a′。若b是a的补元，则a也是b的补元，即a与b互为补元。一般说来，一个元素可以有其补元，未必唯一，也可能无补元。0′=1和1′=0。
37
定义12: 在有界格中，如果每个元素都有补元，则称格是有补格。
由于补元的定义是在有界格中给出的，可知，有补格一定是有界格。
38
定理11: 在有界分配格中，如果某元素有补元，则补元是唯一的。
34
定理9: 设<A, ∧,∨, 0, 1>是有界格，则对于A中任意元素 a 都有 a∨1 = 1 a∧1 = a a∨0 = a a∧0 = 0
1称为全上界或最大元，0称为全下界或最小元。
图9-6中(a)(b)(c)都有最大元和最小元，所以都是有界格。
35
定理10: 有限格必定是有界格。
36
定义11: 设<A,∨,∧>是有界格，aA，如果存在bA使得 a∨b = 1 a∧b = 0
31
定义8: 设<A,∨,∧>是格，如果A中存在元素a,使得对于A中任意元素x 都有a≼x，则称a为格(A , ≤)的全下界，用0表示。如果L中存在元素 a, 使得对于L中任意元素 x 都有 x≼a则称a为格(A , ≤)的全上界，用1表示。全下界即是格的最小元，是唯一的。全上界即是格的最大元，是唯一的。

(完整版)布尔函数参考答案

湖北大学研究生课程考试参考答案及评分标准一、概念题参考答案及评分标准：1.设2F 是二元有限域，n 为正整数，n F 2是2F 上的n 维向量空间，从n F 2到2F 的映射：22:F F f n →称为n 元布尔函数.一个n 元布尔函数f 可以表示为2F 上的含n 个变元的多项式:∑∈++++++=2)1()1)(1)(,,(),,(22112121F a n n nn i a x a xa x a a a f x x x f ΛK Kn i an aaF a n x x x a a a f ΛK 2122121),,(∑∈=.这里()11ni i i x a =++∏表示2F 中的加法运算，即模2的加法运算.形如上式的表示称为布尔函数f 的小项表示.若将小项表示展开并合并同类项，则会得到如下形式的一个多项式：n n nj i i i i i nj i j ij i ni i i n x x a x x ax x ax a a x x x f d dK ΛΛΛK K ΛK 1,11,1,102111),,(+++++=∑∑∑≤<<≤≤<≤=这里系数∈j i a K ,2F .评分标准：答出n 元布尔函数的定义得5分，答出其多项式表示得5分.2布尔函数的安全性指标主要有：平衡性、代数次数、差分均匀度、非线性度、相关免疫阶、弹性阶和代数免疫度等等.平衡性：一个n 元布尔函数是平衡的，当且仅当其真值表中0和1的个数相同，也就是该布尔函数的Hamming 重量为12n -.代数次数：密码体制中使用的布尔函数通常具有高的代数次数. 差分均匀度：设是一个n 元布尔函数，其差分均匀度定义为2220max max {|()()}n n f F a F x F f x a f x βδβ∈≠∈=∈+-=.非线性度：f 的非线性度()NL f 定义为f 和所有仿射函数的最小Hamming 距离：()min (,)min ()nnl A l A NL f d f l wt f l ∈∈==-.相关免疫阶：设是一个n 元布尔函数，其中是上独立且均匀分布的随机变量，如果与中任意个变元统计独立，则称是m 阶相关免疫函数。

离散数学格与布尔代数

P’: a∨b≥a
{a,b}的最大下界≤a {a,b}的最小上界≥a
三. 格的性质
<A,∨,∧>是由格<A,≤>诱导的代数系统。a,b,c,d∈A 1. a≤a∨b b≤a∨b a∧b≤a a∧b≤b
此性质由运算∨和∧的定义直接得证。 2.如果a≤b，c≤d，则 a∨c≤b∨d，a∧c≤b∧d。证明：如果a≤b，又b≤b∨d，由传递性得 a≤b∨d, 类似由c≤d， d≤b∨d，由传递性得 c≤b∨d, 这说明b∨d是 {a,c} 的一个上界，而a∨c是 {a,c} 的最小上
可见它们同构。
格同构，它们的哈斯图的形状一定相同。
具有1、2、3个元素的格分别同构于含有一、二、三个
元素的链。
a
a
a
b
b c
具有4个元素的格分别同构a 于下面两种格形 a式之一：
b
c
b
c
d
d
具有5个素的格分别同构于下面五种格形式之一：
a b c b
d
e
a c d b e
a c b
d e
a
c
d
c
e
a b
d e
2. 格同态的保序性
定理：设f是格<A1,≤1> 到<A2, ≤2> 的同态映射，则对任何a,b∈A1，如果a≤1b，则 f(a)≤2f(b)。证明：令<A1,∨1,∧1>和 <A2,∨2,∧2>是格<A1,≤1> 和
<A2, ≤2>诱导的代数系统，任取a,b∈A1，设a≤1b，则 a∧1b=a f(a∧1b)=f(a) 即 f(a)∧2f(b)=f(a) 而 f(a)∧2f(b) ≤2f(b) 所以 f(a)≤2f(b). 3. 格同构的保序性

离散数学第七章格与布尔代数

离散数学第七章格与布尔代数
contents
目录
• 格的概述 • 布尔代数 • 格与布尔代数的应用 • 格与布尔代数的关系 • 格与布尔代数的扩展知识
01
CATALOGUE
格的概述
格的定义与性质
定义
格是一个有序的二元组(L,≤)，其中L 是非空集合，≤是L上的二元关系，满足自反性、反对称性和传递性。
布尔代数性质
布尔代数具有一些基本性质，如交换律、结合律、吸收律等，这些性质使得布尔代数成为逻辑推理和电路设计等领域的重要工具。
布尔代数的运算
逻辑与运算
逻辑与运算用符号"∧"表示，表示两个逻辑量同时为真时结果才为真。
逻辑或运算
逻辑或运算用符号"∨"表示，表示两个逻辑量至少有一个为真时结果才为真。
布尔代数的扩展运算
布尔函数的复合
01
通过将两个或多个布尔函数连接在一起，形成更复杂的布尔函
数。
布尔函数的展开
02
将一个复杂的布尔函数分解为简单的布尔函数，以便更好地理
解和分析。
布尔函数的化简
03
通过消除冗余的输入和输出，简化布尔函数的表示。
格与布尔代数在其他领域的应用
计算机科学
01
格与布尔代数在计算机科学中有着广泛的应用，例如
布尔代数用于描述命题逻辑和谓词逻辑中的各种关系和运算，而格理论则用于描述集合论和集合运算。
格与布尔代数的理论框架为逻辑推理提供了数学基础，有助于深入研究和理解逻辑推理的本质和规律。
计算机科学中的应用
01 02 03 04
计算机科学是离散数学的另一个重要应用领域，其中格与布尔代数在计算机算法、数据结构和程序设计语言等方面有广泛应用。

离散数学习题解答(第五章)格与布尔代数

离散数学习题解答习题五（第五章格与布尔代数）1．设〈L ，≼〉是半序集，≼是L 上的整除关系。

问当L 取下列集合时，〈L ，≼〉是否是格。

a) L={1，2，3，4，6，12}b) L={1，2，3，4，6，8，12}c) L={1，2，3，4，5，6，8，9，10}[解] a) 〈L ，≼〉是格，因为L 中任两个元素都有上、下确界。

b) 〈L ，≼〉不是格。

因为L 中存在着两个元素没有上确界。

例如：812=LUB{8，12}不存在。

126312 4c) 〈L ，≼〉不是格。

因为L 中存在着两个元素没有上确界。

倒例如：46=LUB{4，6}不存在。

2．设A ，B 是两个集合，f 是从A 到B 的映射。

证明：〈S ，⊆〉是〈2B，⊆〉的子格。

其中S={y|y=f (x)，x ∈2A }[证] 对于任何B 1∈S ，存在着A 1∈2A ，使B 1=f （A 1），由于f(A 1)={y|y ∈B ∧(x)(x 863 124 12 10 84 2 6 973 1 5 10∈A1∧f (x)=y)}⊆B 所以B1∈2B，故此S⊆2B；又B0=f (A)∈S (因为A∈2A)，所以S非空；对于任何B1，B2∈S，存在着A1，A2∈2A，使得B1=f (A1)，B2=f (A2)，从而L∪B{B1，B2}=B1∪B2=f (A1)f (A2)=f (A1∪A2) （习题三的8的1））由于A1∪A2⊆A，即A1∪A2∈2A，因此f (A1∪A2)∈S，即上确界L∪B{B1，B2}存在。

对于任何B1，B2∈S，定义A1=f –1(B1)={x|x∈A∧f (x)∈B1}，A2=f-1(B2)={x|x∈A∧f (x)∈B2}，则A1，A2∈2A，且显然B1=f (A1)，B2=f (A2)，于是GLB{B1，B2}=B1∩B2=f (A1)∩f (A2)⊇f (A1∩A2) （习题三的8的2））又若y∈B1∩B2，则y∈B，且y∈B2。

习题与解答(代数系统) 离散答案

第十章
15、17、18、21、22、24、27、28、29。
2
15、设 G 为群，若 x ∈G 有 x =e, 证明 G 为交换群证明： a, b ∈G 由条件 x ∈G 有 x =e
2
所以 a =e ,b =e (ab) =e ,即(ab)(ab)=e 所以 a =a, b =b, ba= a b
下面证明 φ(G1)是是循环群 y∈f(G1), x ∈G1 , 使得 f(x)=y. 而 G1=<a> 所以存在 r 使得 x= a
r r
则 y = f(x) = f(a ) = f(a)f(a)……f(a) =(f(a)) 这证明了 f(a)为 f(G1)的生成元。即 f(G1)=< f(a)> 所以 f(G1)为循环群。 28、设 G=<a>是 15 阶循环群。 (1) 求出 G 的所有的生成元。 (2) 求出 G 的所有子群。解：(1) 生成元为: a,a ,a ,a ,a ,a ,a ,a (2) G 的所有子群: 共 4 个子群 <e>, <a >={e,a ,a ,a ,a },
-1 -1
21、设 G 为群，a 是 G 中给定元素，a 的正规化子 N(a)表示 G 中与 a 可交换的元素构成的集合，即 N(a)={x| x∈G∧xa=ax } 证明：N(a)是 G 的子群证明: (1) a∈N(a), 所以 N(a)非空(因为 a∈G∧aa=aa) (2) x,y ∈N(a) 则 xa=ax ya=ay
-1
-1
-1
=-a
-1 -1
-1
(2) 由于 (ab)(b a )= a(bb )a = aa = 1 所以 (ab)

第五章习题几个典型的代数系统

第五章习题几个典型的代数系统.设A={0,1},试给出半群<A A,>的运算表,其中为函数的复合运算。

.设G={a+bi|a,b∈Z},i为虚数单位,即i2=-1.验证G关于复数加法构成群。

.设Z为整数集合,在Z上定义二元运算如下：x,y∈Z,x y=x+y-2问Z关于运算能否构成群为什么.设A={x|x∈R∧x≠0,1}.在A上定义六个函数如下：f 1(x)=x,f2(x)=x-1,f3(x)=1-x,f 4(x)=(1-x)-1,f5(x)=(x-1)x-1, f6(x)=x(x-1)-1令F为这六个函数构成的集合,运算为函数的复合运算。

(1) 给出运算的运算表。

(2) 验证<F,>是一个群。

.设G为群,且存在a∈G,使得 G={a k|k∈Z}, 证明G是交换群。

.证明群中运算满足消去律..设G为群,若x∈G有x2=e,证明G为交换群。

.设G为群,证明e为G中唯一的幂等元。

.证明4阶群必含2阶元。

设A={a+bi|a,b∈Z,i2=-1},证明A关于复数的加法和乘法构成环,称为高斯整数环。

.(1) 设R1,R2是环,证明R1与R2的直积R1×R2也是环。

(2) 若R1和R2为交换环和含幺环,证明R1×R2也是交换环和含幺环。

. 判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域,如果不能构成,说明理由。

(1) A={a+bi|a,b∈Z},其中i2=-1,运算为复数的加法和乘法。

(2) A={-1,0,1},运算为普通加法和乘法。

(3) A=M(Z),2阶整数矩阵的集合，运算为矩阵加法和乘法。

2(4) A是非零有理数集合Q*,运算为普通加法和乘法。

.设G是非阿贝尔群,证明G中存在元素a和b,a≠b,且ab=ba..设H是群G的子群,x∈G,令xHx-1={xhx-1|h∈H},证明xHx-1是G的子群,称为H的共轭子群。

.设(1) G上的二元运算为矩阵乘法,给出G的运算表(2) 试找出G的所有子群(3) 证明G的所有子群都是正规子群。

第十五章格与布尔代数

性质2：每个链<L,≤>都是分配格。链
（|L|≥3）链
例：试判断下面两个哈斯图是否表示的是分配格？
a
a
b
c
bc d
d
e
e
(1)
(2)
显然(1)是格，但因为b(cd)= ba=b，而 (bc)(bd)=ee=e，故它不是分配格；显然(2)也是格，但因为c(bd)= ca=c，而(cb)(cd)=ed=d，故它也不是分配格，
a
a
b
c
bc
d
d
e
e
(1)
(2)
a
b
c
e
d
f
g
(3)
例：证明<Sn,≤>是一个分配格。证：设∧和∨分别为Sn上的交（或积）和并（或和）运算，对于任意a，b，c∈Sn，有 a∨(b∧c)=lcm(a, gcd(b, c)) =gcd(lcm(a, b),lcm(a, c))=(a∨b∧(a∨c) a∧(b∨c)=gcd(a, lcm(b, c)) =lcm(gcd(a, b),gcd(a, c))=(a∧b)∨(a∧c) （事实上，上面是利用“最大公约数对最小公倍数是分配的，最小公倍数对最大公约数也是分
显然，对于ab，有：
①ab≤a和ab≤b，则表明ab是a和b的下界。
②若c≤a和c≤b，则c≤ab，这表明ab是a和 b的最大下界。
对于ab，有：
①a≤ab和b≤ab，则表明ab是a和b的上界。
②若a≤c，且b≤c，则ab≤c，这表明ab是a 和b的最小上界。
例设n为正整数，Sn为n的正因子的集合，≤为整除关系，则<Sn，≤>构成格。
解：a)的最小元是a，无最大元。b)既无最大元也无最小元。c)无最小元，最大元是d。d)的最小元是a，最大元是d。

习题与解答(代数系统)

同理可证：|bca|=|cab|
所以 |abc|=|bca|=|cab|
18、证明偶数阶群必含 2 阶元
证明：设偶数阶群为 G，不妨设|G|=2n
下面按元素的阶进行划分：
① 元素的阶为 1,只有单位元 e ,所以个数为 1 。
② 元素的阶为 2，设其构成的集合为：A
③ 元素的阶大于 2，设其构成的集合为：B
有逆元。 (4) 格与布尔代数。两个运算满足交换、相互分配、同一律、补元
律。 (5) 环与域，{0,1}关于模 2 加法构成交换群、{1}关于模 2 乘法构
成交换群，模 2 乘法关于模 2 加法有分配律。 13、设 B 是布尔代数, B 中的表达式 f 是
(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c) (1) 化简 f.
首先由定理群在同态映射下的像仍是群，
所以 f(G1)是群。
下面证明 φ(G1)是是循环群
y∈f(G1), x ∈G1 , 使得 f(x)=y. 而 G1=<a>
r
所以存在 r 使得 x= a 则 y = f(x) = f(ar) = f(a)f(a)……f(a) =(f(a))r 这证明了 f(a)为 f(G1)的生成元。即 f(G1)=< f(a)>
14、下面各集合都是 N 的子集，它们能否构成代数系统 V=<N,+>的子代数： (1) {x|x∈N∧x 可以被 16 整除} (2) {x|x∈N∧x 与 8 互质}
(3) {x|x∈N∧x 是 40 的因子} (4) {x|x∈N∧x 是 30 的倍数}
解：(1)是 (2)不是 (3)不是 (4)是 16、设 V=<Z,+,·>，其中+和·分别代表普通加法和乘法，对下面给定的每

布尔代数习题附标准答案

练习8.11．证明在布尔代数中a∨(a’∧b)=a∨b, a∧(a’∨b)=a∧b证明：a∨(a’∧b)=(a∨a’)∧(a∨b) 分配律=1∧(a∨b) 布尔代数的定义=a∨b 布尔代数的定义第二个式子是第一个式子的对偶式，对第一个式子用对偶原理即可得到。

2．证明：(1) (a∨b)∧(c∨d)=(a∧c)∨(b∧c)∨(a∧d)∨(b∧d)(2)(a∧b)∨(c∧d)=(a∨c)∧(b∨c)∧(a∨d)∧(b∨d)并推广到一般情况。

证明：只需证明第一式，用对偶原理即得第二式。

(a∨b)∧(c∨d)=((a∨b)∧c)∨((a∨b)∧d) 分配律=((a∧c)∨(b∧c))∨((a∧d)∨(b∧d)) 分配律= (a∧c)∨(b∧c)∨(a∧d)∨(b∧d) 结合律推广到一般情况：(1) (a1∨a2∨…∨an)∧(b1∨b2∨…∨bn)=(a1∧b1)∨(a1∧b2)∨…∨(a1∧bn)∨(a2∧b1)∨(a2∧b2)∨…∨(a2∧bn)∨…∨(an∧b1)∨(an∧b2)∨…∨(an∧bn)∨(2) (a1∧a2∧…∧an)∨(b1∧b2∧…∧bn)=(a1∨b1)∧(a1∨b2)∧…∧(a1∨bn)∧(a2∨b1)∧(a2∨b2)∧…∧(a2∨bn)∧…∧(an∨b1)∧(an∨b2)∧…∧(an∨bn)3. 证明：(1) (a’∧c’)∨(b∧c)∨(a∧b’)=(a’∧b)∨(a∧c)∨(b’∧c’)证明：左式=(a’∧c’)∨(b∧c)∨(a∧b’)=(((a’∧c’) ∨b) ∧((a’∧c’) ∨c) )∨(a∧b’) 分配律=((a’∨b)∧(c’∨b) ∧(a’∨c)∧(c’∨c))∨(a∧b’)分配律=((a’∨b)∧(c’∨b) ∧(a’∨c))∨(a∧b’)分配律= ((a’∨b)∧(c’∨b) ∧(a’∨c))∨(a∧b’)分配律=(((a’∨b)∧(c’∨b) ∧(a’∨c))∨a)∧(((a’∨b)∧(c’∨b) ∧(a’∨c))∨b’) 分配律= ((a’∨b∨a)∧(c’∨b∨a) ∧(a’∨c∨a))∧((a’∨b∨b’)∧(c’∨b∨b’) ∧(a’∨c∨b’))分配律= (c’∨b∨a)∧(a’∨c∨b’)布尔代数的定义右式=(a’∧b)∨(a∧c)∨(b’∧c’)=(((a’∧b) ∨a)∧((a’∧b)∨ c)))∨(b’∧c’) 分配律=(((a’∨a)∧(b∨a))∧((a’∨ c)∧(b∨ c)))∨(b’∧c’) 分配律=((b∨a)∧(a’∨ c)∧(b∨ c))∨(b’∧c’) 分配律=(((b∨a)∧(a’∨ c)∧(b∨ c))∨b’)∧(((b∨a)∧(a’∨ c)∧(b∨ c))∨c’)) 分配律=(((b∨a∨b’)∧(a’∨ c∨b’)∧(b∨ c∨b’)))∧(((b∨a∨c’)∧(a’∨ c∨c’)∧(b∨ c∨c’)))) 分配律=(a’∨ c∨b’)∧(b∨a∨c’)布尔代数的定义所以，左式=右式，即原式成立。

应用离散数学代数结构格和布尔代数题库试卷习题及答案

§4.7 格和布尔代数习题4.71．确定具有如图4.4所示哈斯图的偏序集是否为格。

图4.4 习题1的图解图(a)不是格，图(b)是格，图(c)是格。

2．证明每个有限格都有一个最小元素和一个最大元素。

证明：用反证法，假设某有限格中没有最大元素，只有极大元，则这几个极大元之间没有上确界，与格的定义矛盾，从而有限格中都有最大元素。

同理可证明有最小元素。

3．给出一个无限格的例子，使得（1）既没有最小元素也没有最大元素。

（2）有最小元素但没有最大元素。

（3）有最大元素但没有最小元素。

（4）有最小元素也有最大元素。

解：（1）对于偏序集<R，≤>，既没有最小元素也没有最大元素。

（2）对于偏序集<N，≤>，有最小元素0，但没有最大元素。

（3）对于偏序集<Z-，≤>，有最大元素-1，但没有最小元素。

（4）对于偏序集<[1,2]，≤>，有最大元素2，有最小元素1。

4．给出一个有限格的例子，其中至少1个元素有多于1个的补元，且至少1个元素没有补元。

解如下哈斯图所示的偏序集是一个格，元素e有补元a和d，元素a有补元e和d，元素d有补元a和e，但元素b和c都没有补元。

1bd5．设是有界格，证明：（1）若≥2，则中不存在以自身为补元的元素。

（2）若≥3，且是链（全序集），则不是有补格。

证明：（1）用反证法，假设L 中存在一个元素a 以自身为补元，所以a -1=a.据有界格的定义，则a ⨁a =a =1，a ⨂a =a =0显然，二者矛盾。

因此若≥2，则中不存在以自身为补元的元素。

（2）用反证法，假设L 是有补格，则L 中每个元素都是有补元的。

若a 和b 是补格，则需要满足a ⨁b =1，a ⨂b =0，但是a,b 间不一定可以比较，也就是说不一定是全序集，与条件矛盾。

6．格是分配格吗？试分析之。

解：不是分配格，例如有三个数，c|a,b 与c,a 都不具有整除关系，但是，但，不满足分配律，所以不是分配格。